Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} 3. T={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3)} 4. ΑxA Προσδιορίστε το κατά πόσον κάθε μία από τις παραπάνω σχέσεις είναι (α) ανακλαστική, (β) συμμετρική, (γ) μεταβατική και (δ) αντισυμμετρική. Λύση Άσκησης Φ4.1 1. Η R δεν είναι ανακλαστική αφού το 2ЄΑ αλλά το (2, 2) δεν ανήκει στη σχέση. Η R δεν είναι συμμετρική γιατί το (1, 2) ανήκει στη σχέση αλλά όχι το (2, 1). Η R είναι και μεταβατική και αντισυμμετρική. 2. Η S είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Αντισυμμετρική δεν είναι γιατί ενώ 1 2, το (1, 2) και το (2, 1) ανήκουν στην S. 3. H T δεν είναι ανακλαστική αφού το 3 Є Α αλλά το (3, 3) δεν ανήκει στη σχέση. Η Τ δεν είναι συμμετρική γιατί το (2, 3) ανήκει στη σχέση αλλά το (3, 2) όχι. Η Τ δεν είναι μεταβατική γιατί το (1, 2) και το (2, 3) ανήκουν στη σχέση αλλά το (1, 3) όχι. Αντισυμμετρική δεν είναι γιατί ενώ 1 2, το (1, 2) και το (2, 1) ανήκουν στην S. 4. Το καρτεσιανό γινόμενο έχει όλες τις ιδιότητες, εκτός από την αντισυμμετρική. Άσκηση Φ4.2: Έστω το σύνολο A={1,2,3,4}. Βρείτε παραδείγματα σχέσεων R 1 έως R 8 που να έχουν ιδιότητες όπως αυτές φαίνονται παρακάτω. Σχέση Ανακλαστική Συμμετρική Μεταβατική R 1 NAI NAI NAI R 2 NAI NAI OXI R 3 NAI OXI NAI R 4 NAI OXI OXI R 5 OXI NAI NAI R 6 OXI NAI OXI R 7 OXI OXI NAI R 8 OXI OXI OXI Λύση Άσκησης Φ4.2: R1 = {(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3), (4,4) } R2 = {(1,2),(2,3),(1,4),(2,1),(3,2),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} H R2 δεν είναι μεταβατική μια και (3,2) R2, (2,1) R2 αλλα (3,1) R2

R3 = {(1,2),(3,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} H R3 δεν είναι συμμετρική μια και (1,2) R3 αλλα (2,1) R3 R4 = {(1,2),(2,3),(3,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} H R4 δεν είναι συμμετρική: (1,2) R4 και (2,1) R4 ούτε µεταβατική: (1,2) R4 και (2,3) R4 αλλα (1,3) R4 R5 = {(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(1,1),(2,2),(1,3),(3,1),(3,3)} Η R5 δεν είναι ανακλαστική :(4,4) R5 R6 = {(1,2),(2,3),(3,4),(2,1),(3,2),(4,3)} Δεν είναι ανακλαστική μια και (1,1) R6, ούτε μεταβατική: (1,2) R6 και (2,3) R6 αλλα (1,3) R6 R7 = {(1,2),(2,3),(1,4),(1,3)} Δεν είναι ανακλαστική: (1,1) R7 ούτε συμμετρική: (1,2) R7 αλλα (2,1) R7 R8 = {(1,2),(2,3),(1,4)} Δεν είναι ανακλαστική: (1,1) R8 Δεν είναι συμμετρική: (1,2) R8 αλλα (2,1) R8, Ούτε μεταβατική: (1,2) R8 και (2,3) R8 αλλά (1,3) R8 Άσκηση Φ4.3 Για καθεµία από τις παρακάτω σχέσεις επί του συνόλου {1,2,3,4} να αποφασίσετε αν είναι ανακλαστικές, συµµετρικές, αντισυµµετρικές και µεταβατικές. a. {(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)} b. {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4)} c. {(2,4),(4,2)} d. {(1,2),(2,3),(3,4)} e. {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} f. {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,4)} Λύση Άσκησης Φ4.3 Παρατήρηση: Σε όλες τις παρακάτω αρνητικές απαντήσεις, αναφέρεται ένας µόνο λόγος για τον οποίο η σχέση δεν έχει την αντίστοιχη ιδιότητα. Προσέξτε ότι µπορεί να υπάρχουν και άλλοι λόγοι ωστόσο ένας φτάνει! a. Ανακλαστική: Όχι -λείπει (1,1) Συµµετρική: Όχι -λείπει (4,2) Αντισυµµετρική: Όχι - έχει (2,3) και (3,2) αλλά το 2 δεν είναι ίσο µε το 3. Μεταβατική: Ναι b. Ανακλαστική: Ναι Συµµετρική: Ναι

Αντισυµµετρική: Όχι - έχει (1,2) και (2,1) αλλά το 1 δεν είναι ίσο µε το 2. Μεταβατική: Ναι c. Ανακλαστική: Όχι λείπει (1,1)... Συµµετρική: Ναι Αντισυµµετρική: Όχι -έχει (2,4) και (4,2) αλλά το 2 δεν είναι ίσο µε το 4. Μεταβατική: Όχι λείπει (2,2) d. Ανακλαστική: Όχι -λείπει (1,1) Συµµετρική: Όχι -λείπει (4,1) Αντισυµµετρική: Ναι Μεταβατική: Όχι λείπει (1,4) e. Ανακλαστική: Ναι Συµµετρική: Ναι Αντισυµµετρική: Ναι Μεταβατική: Ναι f. Ανακλαστική: Όχι λείπει (1,1)... Συµµετρική: Όχι -λείπει (4,1) Αντισυµµετρική: Όχι -έχει (1,3) και (3,1) αλλά το 1 δεν είναι ίσο µε το 3. Μεταβατική: Όχι λείπει (2,1)... Άσκηση Φ4.4: Έστω μία σχέση R που ορίζεται στο σύνολο των ακεραίων ως εξής: xry = {(x-y) mod 5 = 0}. Απαντήστε τις παρακάτω ερωτήσεις δικαιολογώντας την απάντησή σας. (1) Είναι η R ανακλαστική; (2) Είναι η R μη-ανακλαστική; (3) Είναι η R συμμετρική; (4) Είναι η R ασύμμετρη; (5) Είναι η R αντισυμμετρική; (6) Είναι η R μεταβατική; (7) Είναι η R σχέση ισοδυναμίας; (8) Είναι η R σχέση μερικής διάταξης; Λύση Άσκησης Φ4.4 (1) Είναι ανακλαστική, γιατί για κάθε ακέραιο, x-x=0 το οποίο διαιρείται χωρίς υπόλοιπο από το 5. (2) Δεν είναι μη-ανακλαστική εφόσον είναι ανακλαστική. (3) Είναι συμμετρική, γιατί xry => x-y mod 5 = 0 => -(x-y) mod 5 = 0 => y-x mod 5 = 0 => yrx (4) Δεν είναι ασύμμετρη, εφόσον είναι συμμετρική. (5) Δεν είναι αντισυμμετρική εφόσον πχ 10 R 5 και 5 R 10 αλλά 10 5. (6) Είναι μεταβατική, γιατί xry => x-y mod 5 = 0 => x-y = 5k για κάποιο ακέραιο k (α) yrz => y-z mod 5 = 0 => y-z = 5l για κάποιο ακέραιο l (b) xrz. Με πρόσθεση κατά μέλη των (α) και (b) έχουμε ότι x-z = 5(k+l) πράγμα που σημαίνει ότι

(7) Είναι σχέση ισοδυναμίας αφού είναι ανακλαστική, συμμετρική, μεταβατική. (8) Δεν είναι σχέση μερικής διάταξης αφού δεν έχει την αντισυμμετρική ιδιότητα. Άσκηση Φ4.5: Αναφέρετε κατά πόσον η σχέση καθετότητας ευθειών στο επίπεδο (δύο ευθείες λ1 και λ2 σχετίζονται με τη σχέση εάν η λ1 είναι κάθετη στη λ2 είναι (i) ανακλαστική, (ii) συμμετρική, (iii) μεταβατική και (iv) αντισυμμετρική. Δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας. Λύση Άσκησης Φ4.5 (i) Δεν είναι ανακλαστική: Μία ευθεία δεν είναι κάθετη στον εαυτό της. (ii) Eίναι συμμετρική: Aν μία ευθεία λ1 είναι κάθετη σε μία ευθεία λ2 τότε και η λ2 είναι κάθετη στη λ1. (iii) Δεν είναι αντισυμμετρική: Αν λ1 λ2 και λ2 λ1, ασφαλώς οι λ1 και λ2 δεν ταυτίζονται. (iv) Δεν είναι μεταβατική: Αν λ1 λ2 και λ2 λ3, τότε δεν ισχύει ότι λ1 λ3. Άσκηση Φ4.6: Έστω η διμελής σχέση Ɍ που ορίζεται επί του συνόλου των σημείων του επιπέδου ως εξής: Δύο σημεία p 1 και p 2 σχετίζονται μέσω της σχέσης Ɍ αν και μόνο αν η ευθεία που τα ενώνει περνάει από την αρχή των αξόνων (το σημείο (0,0)). Είναι η σχέση Ɍ σχέση ισοδυναμίας; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Λύση Άσκησης Φ4.6 Η R είναι ανακλαστική γιατί υπάρχει ευθεία που περνάει από το ζεύγος σημείων p1 και Ο(0,0) Η R είναι συμμετρική γιατί αν το ζεύγος σημείων (p1,p2) είναι σημεία μιας ευθείας που περνά από το Ο, τότε το ζεύγος σημείων (p2,p1) είναι σημεία της ίδιας ευθείας που περνά από το Ο Η R είναι μεταβατική γιατί αν το ζεύγος σημείων (p1,p2) ορίζει μία ευθεία που περνάει από το (0,0) και το ζεύγος σημείων (p2,p3) ορίζει μία ευθεία που περνάει από το (0,0), οι ευθείες αυτές ταυτίζονται άρα και τα σημεία (p1,p3) βρίσκονται σε μία ευθεία που περνά από το (0,0). Άρα η R είναι σχέση ισοδυναμίας. Άσκηση Φ4.7: Έστω Α το σύνολο των ακεραίων εκτός του μηδενός, και έστω η σχέση στο AxA που ορίζεται ως: (a, b) (c, d) αν και μόνο αν ad=bc. Αποδείξτε ότι η σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας. Λύση Άσκησης Φ4.7 Πρέπει να δείξουμε ότι η σχέση είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Ι) Ανακλαστική: (a, b) (a, b) αφού ab=ba. Άρα η είναι ανακλαστική. ΙΙ) Συμμετρική: Έστω ότι (a, b) (c, d). Τότε ad=bc, από όπου προκύπτει ότι cb=da και επομένως (c, d) (a, b). Επομένως η είναι συμμετρική. ΙΙΙ) Μεταβατική: Έστω ότι (a, b) (c, d) και (c, d) (e, f). Τότε ad=bc και cf=de. Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ισότητες, adcf=bcde. Απλοποιώντας τα c, d (αφού είναι 0) προκύπτει af=be, δηλαδή (a, b) (e, f). Άρα η είναι και μεταβατική. Άρα η είναι σχέση ισοδυναμίας.

Άσκηση Φ4.8: Υποθέστε ότι C1 και C2 είναι δύο σχέσεις σε ένα σύνολο Α, και Τ η τομή των C1 και C2. Αποδείξτε ότι: (α) Εάν οι C1 και C2 είναι συμμετρικές, τότε και η T είναι συμμετρική. (β) Εάν οι C1 και C2 είναι μεταβατικές, τότε και η T είναι μεταβατική. Λύση Άσκησης Φ4.8 (α) Υποθέστε ότι (α, β)є Τ. Τότε (α, β) Є C1 και (α, β) Є C2. Αφού η C1 είναι συμμετρική, (β, α) Є C1. Αφού η C1 είναι συμμετρική, (β, α) Є C2. Άρα (β, α) Є Τ. Άρα η Τ είναι συμμετρική. (β) Υποθέστε ότι (α, β) Є Τ και (β, γ) Τ. Τότε (α, β) Є C1 και (β, γ) Є C1. Αφού η C1 είναι μεταβατική, (α, γ) Є C1. Επίσης, (α, β) Є C2 και (β, γ) Є C2. Αφού η C2 είναι μεταβατική, (α, γ) Є C2. Άρα (α, γ) Є Τ. Άρα η Τ είναι μεταβατική. Άσκηση Φ4.9: Έστω R και S σχέσεις σε ένα σύνολο Α. Υποθέτοντας ότι το Α έχει τουλάχιστον τρία στοιχεία, αναφέρετε κατά πόσον καθεµία από τις ακόλουθες προτάσεις είναι αληθής ή ψευδής. Εάν είναι ψευδής, δώστε ένα αντιπαράδειγµα στο σύνολο Α={1, 2, 3}. 1. Εάν η R και η S είναι συµµετρικές, τότε η R S είναι συµµετρική. 2. Εάν η R και η S είναι ανακλαστικές, τότε η R S είναι ανακλαστική. 3. Εάν η R και η S είναι ανακλαστικές, τότε η R S είναι ανακλαστική. 4. Εάν η R και η S είναι µεταβατικές, τότε η R S είναι µεταβατική. 5. Εάν η R και η S είναι αντισυµµετρικές, τότε η R S είναι αντισυµµετρική. 6. Εάν η R είναι ανακλαστική, τότε η R R -1 είναι µη-κενή. Λύση Άσκησης Φ4.9 1, 2, 3, 6 - αληθείς. 4 ψευδής: R={(1, 2)}, S={(2, 3)} µεταβατικές. Η ένωσή τους όµως όχι. 5 = ψ ευδής: R={(1, 2)}, S={(2, 1)} αντισυµµετρικές. Η ένωσή τους όµως όχι. Άσκηση Φ4.10: Έστω R η ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο Α={1, 2, 3, 4, 5, 6}: R={(1,1), (1,5), (2,2), (2,3), (2,6), (3,2), (3,3), (3,6), (4,4), (5,1), (5,5), (6,2), (6,3), (6,6)} Να βρεθούν οι κλάσεις ισοδυναμίας που συνεπάγεται η R. Λύση Άσκησης Φ4.10 Οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι οι {1, 5}, {2, 3, 6} και {4}. Άσκηση Φ4.11: Κάποιος χρησιμοποιεί το παρακάτω σκεπτικό για να ισχυριστεί ότι η απαίτηση της ανακλαστικότητας για μια σχέση ισοδυναμίας είναι περιττή. Πιο συγκεκριμένα, ισχυρίζεται πως

αν μια σχέση είναι συμμετρική και μεταβατική, πρέπει υποχρεωτικά να είναι και ανακλαστική. Συμφωνείτε; Απόδειξη: Έστω R σχέση ορισμένη στο Α για την οποία υποθέτουμε πως είναι συμμετρική και μεταβατική. Για τυχαία x, y στο Α, αν xry τότε yrx λόγω της συμμετρικότητας της R. Αλλά τότε λόγω της μεταβατικότητας, ισχύει επίσης ότι xrx. Επομένως η R είναι ανακλαστική. Λύση Άσκησης Φ4.11 Η παραπάνω απόδειξη μας λέει ότι όντως, αν κάποιο στοιχείο σχετίζεται με κάποιο άλλο, τότε αναγκαστικά (λόγω συμμετρικότητας και μεταβατικότητας) θα σχετίζεται με τον εαυτό του. Ωστόσο, δεν εξασφαλίζει ότι κάθε στοιχείο του Α επί του οποίου είναι ορισμένη η σχέση σχετίζεται με τον εαυτό του (πχ τα στοιχεία που δεν σχετίζονται με άλλα). Επομένως, δεν εξασφαλίζει ότι η ισχύς της συμμετρικής και της μεταβατικής ιδιότητας οδηγούν στην ισχύ της ανακλαστικής ιδιότητας. Άσκηση Φ4.12: Έστω R μία σχέση επί του συνόλου Α={a, b, c, d} τέτοια ώστε R={(a,a), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,b), (c,c), (d,b), (d,d)}. Απαντήστε τα παρακάτω ερωτήματα δικαιολογώντας την απάντησή σας. 1. Είναι η R μη-ανακλαστική; 2. Είναι η R συμμετρική; 3. Είναι η R ασύμμετρη; 4. Είναι η R αντισυμμετρική; 5. Είναι η R μεταβατική; Λύση Άσκησης Φ4.12 1. ΌΧΙ, γιατί τα (a,a), (b,b), (c,c), (d,d) ανήκουν στη σχέση 2. ΌΧΙ, γιατι δεν ανήκουν στη σχέση τα (c,a), (d,a), (a,b) που χρειάζονται για να θεωρηθεί συμμετρική 3. ΌΧΙ, γιατί τα (b,c), (c,b) και τα (b,d), (d,b) ανήκουν στη σχέση 4. ΌΧΙ, γιατί ενώ b c, τα (b,c), (c,b) ανήκουν στη σχέση 5. ΌΧΙ, γιατί τα (a,c), (c,b) ανήκουν στη σχέση ενώ το (a,b) δεν ανήκει Άσκηση Φ4.13: Έστω R μία σχέση επί του συνόλου Α={1,2,3,4} τέτοια ώστε R={(1,1), (1,4), (2,3), (3,1), (3,3), (4,4)}. Βρέστε 1. Τη συμμετρική κλειστότητα της R. 2. Τη μεταβατική κλειστότητα της R. Λύση Άσκησης Φ4.13 1. Για να αποκτήσει η σχέση R τη συμμετρική ιδιότητα πρέπει να προσθέσω τα στοιχεία (4,1), (3,2), (1,3). Επομένως η συμμετρική κλειστότητα της R είναι: R = {(1,1), (1,3), (1,4), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,4)} 2. Για να αποκτήσει η σχέση R τη μεταβατική ιδιότητα πρέπει να προσθέσω τα στοιχεία (2,1), (3,4), (2,4). Επομένως η μεταβατική κλειστότητα της R είναι: R = {(1,1), (1,4), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3), (2,4), (3,4), (4,4)}

Άσκηση Φ4.14: Πόσες συμμετρικές σχέσεις μπορούν να οριστούν επί ενός συνόλου Α αν Α =n; Λύση Άσκησης Φ4.14 Η αναπαράσταση μίας συμμετρικής σχέσης μέσω πίνακα έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Τα n στοιχεία της διαγωνίου μπορεί να έχουν οποιαδήποτε τιμή (0 ή 1) Τα ( )/2=( 1)/2 στοιχεία κάτω από τη διαγώνιο μπορεί να είναι οτιδήποτε. Τα ( )/2=( 1)/2 στοιχεία πάνω από τη διαγώνιο πρέπει να είναι ότι και τα συμμετρικά τους στον πίνακα ως προς τη διαγώνιο. Επομένως, το πλήθος των συμμετρικών σχέσεων είναι 2 () =2 () Άσκηση Φ4.15: Έστω ένα σύνολο A={1,2,3,4,5}, οι σχέσεις Ɍ={(1,2),(2,3)} και S={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)} Υπολογίστε: (α) Tις R -1 και S -1 (β) Την ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική κλειστότητα της Ɍ (γ) Την ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική κλειστότητα της S Λύση Άσκησης Φ4.15 R -1 = {(2,1),(3,2)} S -1 = {(2,1),(3,2),(4,3),(1,4)} Ανακλαστική κλειστότητα της R = {(1,2),(2,3),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)} Συμμετρική κλειστότητα της R = {(1,2),(2,3),(2,1),(3,2)} Μεταβατική κλειστότητα της R = {(1,2),(2,3),(1,3)} Ανακλαστική κλειστότητα της S = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)} Συμμετρική κλειστότητα της S = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,1),(2,1),(3,2),(4,3),(1,4)} Μεταβατική κλειστότητα της S = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,1),(1,3),(2,4),(3,1),(1,4),(2,1),(4,2),(4,3),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} Άσκηση Φ4.16: Έστω ένα σύνολο Α. Πόσες διαφορετικές ανακλαστικές σχέσεις μπορούμε να ορίσουμε επί του συνόλου Α; Λύση Άσκησης Φ4.16 Έστω η αναπαράσταση της σχέσης μέσω πίνακα. Τα n= A στοιχεία της διαγωνίου πρέπει να είναι

1. Τα υπόλοιπα (nxn-n) στοιχεία μπορεί να είναι είτε 1 είτε 0. Επομένως μπορούμε να έχουμε 2 n(n-1) ανακλαστικές σχέσεις. Άσκηση Φ4.17: Ας συμφωνήσουμε ότι «δύο πραγματικοί αριθμοί x,y είναι περίπου ίσοι αν η απόλυτη τιμή της διαφοράς τους είμαι μικρότερη ή ίση του 0.5». Για παράδειγμα, 3.14. Πιο τυπικά, ορίζουμε την σχέση " επί του συνόλου R των πραγματικών αριθμών ως εξής:, R,[( ) ( 0.5)]. Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα δικαιολογώντας την απάντησή σας. A. Είναι η σχέση ", σχέση ισοδυναμίας; B. Είναι η σχέση ", σχέση μερικής διάταξης; Λύση Άσκησης Φ4.17 Α. OXI. Για να είναι σχέση ισοδυναμίας πρέπει να έχει την ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική ιδιότητα. Είναι ανακλαστική γιατί ισχύει Είναι συμμετρική γιατί x 0.5 0.5 Δεν είναι μεταβατική γιατί αν x '() * δεν συνεπάγεται απαραίτητα ότι *. π.χ. 2.5 3 '() 3 3.5 (++ά ό.) '() 2.5 3.5 Β. ΌΧΙ. Για να είναι σχέση μερικής διάταξης πρέπει να έχει την ανακλαστική, αντισυμμετρική, μεταβατική ιδιότητα. Όμως δεν έχει ούτε τη μεταβατική (βλ. ερώτημα Α) ούτε την αντισυμμετρική ιδιότητα (εφόσον 3 2.5 και 2.5 3 χωρίς να ισχύει ότι 2.5=3) Άσκηση Φ4.18: Μπορεί μία σχέση να είναι ταυτόχρονα σχέση ισοδυναμίας και σχέση μερικής διάταξης; Λύση Άσκησης Φ4.18 Έστω Α = {a,b,c} και η σχέση επί του A, R = {(a,a),(b,b),(c,c)}. H R είναι σχέση ισοδυναμίας γιατί είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Επίσης, η R είναι σχέση μερικής διάταξης, διότι είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική. Γενικά, η R μπορεί να είναι σχέση ισοδυναμίας και σχέση μερικής διάταξης, μόνο αν είναι της μορφής: R = {(a,a),(b,b),(c,c), a,b,c, A} Σε κάθε άλλη περίπτωση, αν η R είναι συμμετρική, τότε δε μπορεί να είναι αντισυμμετρική. Για παράδειγμα η σχέση R = {(a,b),(b,a) ab} είναι συμμετρική αλλά δεν είναι αντισυμμετρική. Άσκηση Φ4.19 Βρείτε τις µεταβατικές κλειστότητες των παρακάτω σχέσεων που ορίζονται στο σύνολο {a,b,c,d,e}. (a) R1 = {(a,c), (b,d), (c,a), (d,b), (e,d)} (b) R2 = {(b,c), (b,e), (c,e), (d,a), (e,b), (e,c)} (c) R3 = {(a,b), (a,c), (a,e), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b), (d,a), (e,d)} (d) R4 = {(a,e), (b,a), (b,d), (c,d), (d,a), (d,c), (e,a), (e,b), (e,c), (e,e)} Λύση Άσκησης Φ4.19 R1 = { (a,c), (b,d), (c,a), (d,b), (e,d), (e,b), (a,a), (d,d), (b,b), (c,c)}

Για να καλύπτεται η ιδιότητα της µεταβατικότητας από την R1 δεδοµένου των (d,b), (e,d) προσθέτουµε στη σχέση το ζεύγος (e,b). Αντίστοιχα, προσθέτουµε το (a,a) (λόγω των (α,c), (c,a)), και το (d,d) (λόγω των (d,b), (b,d)) κλπ. Οµοίως βρίσκεται η µεταβατική κλειστότητα για τις παρακάτω σχέσεις. R2 = {(b,c), (b,e), (c,e), (d,a), (e,b), (e,c), (c,b), (c,c), (e,e), (b,b)} R3 = {(a,b), (a,c), (a,e), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b), (d,a), (e,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (b,e), (e,a), (a,d), (d,e), (d,c), (d,b), (e,c), (e,b), (b,d), (c,d), (c,e)} R4 = {(a,b), (a,c), (a,e), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b), (d,a), (e,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (b,e), (e,a), (a,d), (d,e), (d,c), (d,b), (e,c), (e,b), (b,d), (c,d), (c,e)} Άσκηση Φ4.20 Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις που αναπαριστώνται µε µορφή πίνακα είναι σχέσεις ισοδυναµίας; 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 Ra Rb Rc Λύση Άσκησης Φ4.20 Για να είναι µία σχέση, σχέση ισοδυναµίας θα πρέπει απαραιτήτως να ικανοποιεί τις τρεις παρακάτω ιδιότητες: Ανακλαστική Συµµετρική Μεταβατική Η σχέση που αναπαριστάται από τον πίνακα (α) είναι η: Ra = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (1,3), (2,3), (3,1), (3,2) } Η Ra δεν είναι σχέση ισοδυναµίας καθώς δεν έχει η συµµετρική ιδιότητα. Π.χ., το (2,1) δεν ανήκει στη σχέση ενώ το (1,2) ανήκει σε αυτή. Οµοίως, Rb = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,3), (2,4), (3,1), (4,2)} Η Rb είναι σχέση ισοδυναµίας γιατί έχει και τις τρεις ιδιότητες. Rc = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2) } Η Rc είναι σχέση ισοδυναµίας γιατί έχει και τις τρεις ιδιότητες. Άσκηση Φ4.21 Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις που αναπαριστώνται με τη μορφή πίνακα είναι σχέσεις μερικής διάταξης; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 Ra Rb Rc 1 1 0 1 Λύση Άσκησης Φ4.21 Για να είναι µία σχέση, σχέση µερικής διάταξης θα πρέπει απαραιτήτως να έχει τις τρεις παρακάτω ιδιότητες: Ανακλαστική Αντισυµµετρική Μεταβατική Ra = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (2,1)} Η Ra είναι σχέση µερικής διάταξης. Rb = { (1,1), (2,2), (3,3), (3,1) } Η Rb είναι σχέση µερικής διάταξης. Rc = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,3), (2,3), (3,4), (4,1), (4,2) } Η Rc δεν είναι σχέση µερικής διάταξης καθώς δεν καλύπτεται η ιδιότητα της µεταβατικότητας. Απουσιάζουν µεταξύ άλλων τα στοιχεία (1,4), (2,4). Άσκηση Φ4.22 Έστω το σύνολο Α={1, 2, 3, 4}. Θεωρείστε την ακόλουθη σχέση στο Α: R={(1,1), (2,2), (2,3), (3,2), (4,2), (4,4)}. (α) Σχεδιάστε τον κατευθυνόμενο γράφο που περιγράφει την R. (β) Αναφέρετε κατά πόσον η R είναι: (i) ανακλαστική, (ii) συμμετρική, (iii) μεταβατική και (iv) αντισυμμετρική. Δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας. Λύση Άσκησης Φ4.22 (α) (β) (i) H R δεν είναι ανακλαστική γιατί 3ЄΑ, αλλά (3,3) R. (ii) H R δεν είναι συμμετρική γιατί (4,2) ЄR αλλά (2,4) R. (iii) H R δεν είναι μεταβατική γιατί (4,2) ЄR και (2,3) ЄR αλλά (4,3) R (iv) H R δεν είναι αντισυμμετρική γιατί (2,3) ЄR και (3,2) ЄR αλλά 2 3.

Άσκηση Φ4.23 Η παρακάτω σχέση που αναπαρίσταται µε τη µορφή κατευθυνόµενου γράφου είναι σχέση µερικής διάταξης; Λύση Άσκησης Φ4.23 Ενώ στη σχέση υπάρχουν τα στοιχεία (c,d) και (d,b) δεν υπάρχει το (c,b) άρα δεν ισχύει η µεταβατική ιδιότητα και εποµένως η σχέση δεν µπορεί να είναι σχέση µερικής διάταξης. Άσκηση Φ4.24 Ποια σχέση περιγράφεται από το παρακάτω διάγραµµα Hasse; Λύση Άσκησης Φ4.24 R={(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,b), (b,e), (a,e), (a,c), (c,d), (a,d), (b,d)} Άσκηση Φ4.25 Μπορεί σχέση R = A x A ορισµένη επί ενός συνόλου Α να είναι σχέση µερικής διάταξης; Λύση Άσκησης Φ4.25 Η σχέση R = A x A ορισµένη επί ενός συνόλου Α δεν µπορεί να είναι µερικής διάταξης. Αυτό είναι αρκετά διαισθητικό δεδοµένου ότι το καρτεσιανό γινόµενο παράγει όλα τα πιθανά ζευγάρια/ακµές µεταξύ των στοιχείων ενός συνόλου αναιρώντας οποιαδήποτε αντισυµµετρική ιδιότητα. Μοναδική εξαίρεση αποτελούν σχέσεις που βασίζονται σε σύνολα που περιέχουν µόνο ένα στοιχείο. Άσκηση Φ4.26 a. Δείξτε ότι η σχέση R = {(0,0), (0, 4), (1,1), (1,3), (2, 2), (3,1), (3,3), (4,0), (4, 4)} που ορίζεται επί του συνόλου A = {0, 1, 2, 3, 4} είναι σχέση ισοδυναμίας και βρείτε όλες τις κλάσεις ισοδυναμίας που ορίζονται από αυτήν. b. Αν η ίδια σχέση R οριζόταν επί του συνόλου Β = {0,1,2,3, 4,5}, θα εξακολουθούσε να είναι σχέση ισοδυναμίας; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Λύση Άσκησης Φ4.26 a) Αφού η σχέση έχει τα (0,0) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) είναι ανακλαστική. Παρατηρούµε ότι για κάθε στοιχείο (x,y) στη σχέση, το (y,x) ανήκει επίσης στη σχέση. Εποµένως, η σχέση είναι συµµετρική. Παρατηρούµε ότι για κάθε ζευγάρι στοιχείων της µορφής (x,y) και (y,z) στη σχέση, το (x,z) ανήκει επίσης στη σχέση. Εποµένως, η σχέση είναι µεταβατική. Αφού η σχέση έχει την ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική ιδιότητα, είναι σχέση ισοδυναµίας. Οι κλάσεις ισοδυναµίας της είναι οι {0,4}, {1,3} και {2}. b) εν θα ήταν πλέον σχέση ισοδυναµίας γιατί το γεγονός ότι λείπει το στοιχείο (5,5) θα έκανε τη σχέση να µην έχει την ανακλαστική ιδιότητα. Άσκηση Φ4.27 Σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις ξεχωριστά, βρέστε ένα παράδειγµα σχέσης R και ενός συνόλου Χ επί του οποίου είναι ορισµένη η R, έτσι ώστε να πληρούνται οι αντίστοιχες απαιτήσεις: (a) X και R τέτοια ώστε η R να είναι μεταβατική αλλά να μην είναι ούτε συμμετρική, ούτε αντισυμμετρική, ούτε ανακλαστική. (b) X και R τέτοια ώστε η R να είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική, αλλά όχι αντισυμμετρική. (c) X και R τέτοια ώστε η R να είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική, αλλά όχι συμμετρική. (d) X και R τέτοια ώστε η R να είναι ανακλαστική, συμμετρική, αντισυμμετρική και μεταβατική. Λύση Άσκησης Φ4.27 a) Χ=(1,2,3,4,5) και R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,4)} b) Χ=(1,2) και R={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} c) X=(1,2,3) και R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)} d) X= (1, 2, 3) και R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)} Άσκηση Φ4.28 Ένα περιοδικό σχετικό µε αυτοκίνητα, συγκρίνει τα καινούργια µοντέλα µε βάση δύο κριτήρια: (α) την κατανάλωση Κ λίτρων βενζίνης ανά εκατό χιλιόµετρα και (β) την επιτάχυνσή τους Ε. Έτσι, ένα αυτοκίνητο, αναπαρίσταται µε το διατεταγµένο ζεύγος (Κ, Ε). Επίσης, στο περιοδικό θεωρούν ότι ένα αυτοκίνητο (Κ, Ε) είναι τουλάχιστον τόσο καλό όσο ένα αυτοκίνητο (Κ, Ε ), αν Κ Κ και Ε Ε. Σε αυτή την περίπτωση, γράφουν ότι (Κ, Ε) (Κ, Ε ). Αποδείξτε ότι η σχέση είναι σχέση µερικής διάταξης. Λύση Άσκησης Φ4.28 Παρατηρούµε ότι για οποιοδήποτε αυτοκίνητο (Κ, Ε), ισχύει ότι (Κ, Ε) (Κ, Ε) (κάθε αυτοκίνητο είναι τουλάχιστον τόσο καλό όσο ο εαυτός του). Εποµένως η σχέση είναι ανακλαστική. Εάν (Κ,Ε) (Κ,Ε ) και (Κ,Ε ) (Κ,Ε), τότε θα πρέπει Κ Κ και Κ Κ και επίσης Ε Ε και Ε Ε δηλαδή Κ=Κ και Ε=Ε, πράγµα που σηµαίνει ότι (Κ,Ε) = (Κ,Ε ). Άρα η σχέση είναι αντισυµµετρική. Εάν Ε α Ε β και Ε β Ε γ τότε Ε α Ε γ Επίσης εάν Κ α Κ β Κ β Κ γ Κ α Κ γ Άρα η σχέση είναι µεταβατική Εφόσον η σχέση είναι ανακλαστική αντισυµµετρική και µεταβατική, η σχέση είναι σχέση µερικής διάταξης.

Άσκηση Φ4.29 (a) Σχεδιάστε το διάγραμμα Hasse για την παρακάτω μερική διάταξη: ({{a},{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d},{a.c},{c,d}}, ) (b) Ποια είναι η μέγιστη αλυσίδα; Ποια είναι η μέγιστη αντι-αλυσίδα; Λύση Άσκησης Φ4.29 Oι µεγαλύτερες αλυσίδες είναι οι: ({a}, {a,b}, {a,b,c}, {a,b,c,d}) ({a}, {a,c}, {a,b,c}, {a,b,c,d}) Η µεγαλύτερη αντί αλυσίδα είναι η : {{a,b},{a,c},{c,d}} Άσκηση Φ4.30 Ορίζουµε την εξής ιδιότητα P µίας σχέσης R: Μία σχέση R έχει την ιδιότητα P αν για κάθε x, y, z στο σύνολο επί του οποίου είναι ορισµένη η σχέση ισχύει ότι: (x R y) Λ (x R z) y R z. Ισχύει ότι η σχέση R είναι συµµετρική και µεταβατική αν και µόνο αν η R έχει την ιδιότητα P; Λύση Άσκησης Φ4.30 Ευθύ: Αν η σχέση R είναι συµµετρική και µεταβατική τότε έχει την ιδιότητα P. Από τη µεταβατική ιδιότητα προκύπτει ότι για κάθε x, y, z, ((x R y) ^ (y R z)) -> x R z (1) Από τη συµµετρική ιδιότητα προκύπτει ότι για κάθε x, y, x R y -> y R x (2) Εποµένως, αντικαθιστώντας τη (2) στην (1) προκύπτει ότι (y R x) ^ (y R z) -> x R z Αφού η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε x,y, z µπορώ να αντικαταστήσω το y µε το x κι το x µε το y. Προκύπτει ότι ισχύει (x R y) Λ (x R z) y R z ηλαδή η ιδιότητα P. Αντίστροφο: Αν η σχέση R έχει την ιδιότητα P τότε είναι συµµετρική και µεταβατική. εν ισχύει! Αντιπαράδειγµα: H R={{1,3), (1,5), (3,5), (5,3), (3,3), (5,5)} ορισµένη στο Α={1,2,3,4,5}. Η R έχει την ιδιότητα P αλλά δεν είναι συµµετρική. Άρα, ισχύει µόνον το ευθύ, όχι το αντίστροφο της πρότασης! Άσκηση Φ4.31 Να βρεθεί το πλήθος των σχέσεων που µπορεί να οριστεί από το σύνολο Α={α, β, γ} στο σύνολο

{1, 2}. ικαιολογείστε την απάντησή σας. Λύση Άσκησης Φ4.31 Υπάρχουν 3*2=6 στοιχεία στο ΑxB δηλαδή 2 6 υποσύνολα του ΑxB. Εποµένως, δεδοµένου ότι µία σχέση µπορεί να είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του καρτεσιανού, υπάρχουν 64 σχέσεις που µπορούµε να ορίσουµε. Άσκηση Φ4.32 Πόσες είναι όλες οι δυνατές διµελείς σχέσεις που µπορούν να οριστούν επί ενός συνόλου Α µε Α =5; Λύση Άσκησης Φ4.32 2 5x5 = 2 25 (δες την προηγούµενη άσκηση) Άσκηση Φ4.33 Έστω Α το σύνολο των άσθενών ενός νοσοκοµείου και Β το σύνολο των διαγνωστικών εξετάσεων που παρέχει το νοσοκοµείο. Εστω R1 και R2 οι σχέσεις που αποτελούνται από όλα τα διατεταγµένα ζεύγη (a,b) όπου «ο ασθενής a πρέπει να κάνει την εξέταση b» και «o ασθενής a έχει κάνει την εξέταση b αντίστοιχα. Να περιγράψετε τα διατεταγµένα ζεύγη για κάθε µία από τις παρακάτω σχέσεις: a. R1 R2 b. R1 R2 c. R1 R2 d. R1 - R2 e. R2 R1 Λύση Άσκησης Φ4.33 a. R1 R2 ={(a,b) Ο ασθενής a πρέπει να κάνει ή έχει κάνει την εξέταση b} b. R1 R2={(a,b) Ο ασθενής a πρέπει να κάνει την εξέταση b και την έκανε} c. R1 R2={(a,b) Ο ασθενής a είτε πρέπει να κάνει την εξέταση b αλλά δεν την έχει κάνει, είτε την έχει ήδη κάνει χωρίς να πρέπει} d. R1 - R2={(a,b) Ο ασθενής πρέπει να κάνει την εξέταση b αλλά δεν την έχει κάνει} e. R2 -R1 ={(a,b) Ο ασθενής έχει κάνει την εξέταση b χωρίς να πρέπει} Άσκηση Φ4.34 Ποια από τις παρακάτω συλλογές συνόλων αποτελούν διαµέριση του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών; ικαιολογείστε την απάντησή σας. (a) {6 : 8} όπου :: ={ ;: +1} (b) {= : 8} όπου := ={ ;:< +1} (c) {? : 8} όπου :? ={ ;:<<+1} Λύση Άσκησης Φ4.34 Στην συλλογή συνόλων του ερωτήµατος (a), κάθε ακέραιος υπάρχει σε δυο σύνολα. Πχ, το 3 υπάρχει στην σχέση και για n=3 και για n=4. Εποµένως η τοµή των συνόλων δεν είναι κενή και έτσι δεν αποτελούν διαµέριση του R.

Στην συλλογή συνόλων του ερωτήµατος (b) όλοι οι ακέραιοι αριθµοί ανήκουν ακριβώς σε ένα σύνολο και όλοι οι υπόλοιποι πραγµατικοί επίσης. Αφού όλοι οι πραγµατικοί ανήκουν σε κάποιο σύνολο η ένωση των συνόλων δίνει το R. Αφού κανένας πραγµατικός δεν υπάρχει σε δυο σύνολα η τοµή τους είναι το κενό σύνολο. Άρα αποτελούν διαµέριση του R. Στη συλλογή συνόλων του ερωτήµατος (c) οι ακέραιοι δεν βρίσκονται σε κανένα σύνολο. Εποµένως η ένωση των συνόλων δεν µας δίνει το R και άρα δεν είναι διαµέριση του R. Άσκηση Φ4.35 Έστω οι παρακάτω σχέσεις που είναι ορισμένες επί του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Δείξτε κατά πόσον έχουν την ανακλαστική, συμμετρική, αντισυμμετρική και μεταβατική ιδιότητα. Αν κάποια σχέση έχει μία ιδιότητα, αποδείξτε το. Αν δεν την έχει, δώστε ένα αντιπαράδειγμα. 1. Σχέση S όπου (x,y) S αν και μόνο αν x 2 = y 2 2. Σχέση T όπου (x,y) T αν και μόνο αν x-y 3 Λύση Άσκησης Φ4.35 1. 2. (x,x) Sx 2 =x 2 Άρα έχει την ανακλαστική ιδιότητα (x,y) S x 2 = y 2 y 2 =x 2 (y,x) S, x 2 Άρα έχει τη συμμετρική ιδιότητα (-2,2) S, (2,-2) S και 2-2. Άρα δεν έχει την αντισυμμετρική ιδιότητα Έστω ότι (x,y) S x 2 = y 2 και (y,z) S y 2 = z 2 Τότε και x 2 = z 2 (x,z) S. Άρα έχει τη μεταβατική ιδιότητα (x,x) T x-x=0 3 Άρα έχει την ανακλαστική ιδιότητα Έστω x=-6 και y=1. -6-1=-7 3 Άρα (-6,1) T Όμως (1,-6) Τ διότι 1-(-6)=7>3. Δεν έχει τη συμμετρική ιδιότητα Έστω x=1, y=-1. x-y=2 3 (x,y) T. Αλλά και y-x=0 3 (y,x) T, ενώ x y. Δεν έχει την αντισυμμετρική ιδιότητα Έστω x=9, y=7, z=5. (x,y) T, (y,z) T αλλά (x,z) Τ Δεν έχει ούτε τη μεταβατική ιδιότητα Άσκηση Φ4.36 Έστω Z το σύνολο των ακεραίων, και έστω η σχέση S επί του Z που ορίζεται ως: a S b αν και μόνο αν ο 3a+b είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 4. (α) Αποδείξτε ότι η σχέση S είναι σχέση ισοδυναμίας. (b) Βρείτε την κλάση ισοδυναμίας του 0. Λύση Άσκησης Φ4.36 (a) Για να είναι σχέση ισοδυναµίας πρέπει να έχει την ανακλαστική, τη συµµετρική και τη µεταβατική ιδιότητα (a,b) S4 (3a+b) 1. 3a+a=4a (a,a) S (Έχει την ανακλαστική ιδιότητα) 2. Αν (a,b) S 3a+b=4kb=4k-3a3b=12k-9a3b+a=12k-8a=4(3k-2a) (b,a) S (Έχει την συµµετρική ιδιότητα) 3. Έστω (a,b) S και (b,c) S (a,b) S 3a+b=4k 3a=4k-b (1) (b,c) S 3b+c=4lc=4l-3b (2) Από (1) και (2) προσθέτοντας κατά µέλη 3a+c=4k-b+4l-3b=4k+4l-4b=4(k+l-b) (πολλαπλάσιο το 4) Άρα και (a,c) S (Έχει την µεταβατική ιδιότητα)

(b) Η κλάση ισοδυναµίας είναι εξ ορισµού το σύνολο [0]S ={x 0Sx}άρα είναι εκείνα τα x για τα οποία 3*0+x=4nx=4n για κάποιο ακέραιο n Είναι το σύνολο των ακέραιων πολλαπλάσιων του 4 Άσκηση Φ4.37 Έστω σχέση ^ R R, με R R {0}, τέτοια ώστε ( x, y) S xy> 0. Αποδείξτε ότι η S είναι σχέση ισοδυναμίας επί του R. Επίσης, να προσδιοριστούν οι κλάσεις ισοδυναμίας της. Λύση Άσκησης Φ4.37 Για να είναι σχέση ισοδυναµίας πρέπει να έχει την ανακλαστική, τη συµµετρική και τη µεταβατική ιδιότητα 1. x R *, x 2 >0 (x,x) S ( Έχει την ανακλαστική ιδιότητα) 2. Αν (x,y) Sxy>0yx>0(y,x) S (Έχει την συµµετρική ιδιότητα) 3. Έστω (x,y) και (y,z) S Τότε xy>0, δηλαδή x,y οµόσηµα και yz>0 δηλαδή y και z οµόσηµα. Άρα και x,z οµόσηµα, οπότε xz>0 (x,z) S (Έχει τη µεταβατική ιδιότητα) Έστω a R *. [a]s={ x R * ax>0} Άρα x οµόσηµο του a Οι δύο κλάσεις ισοδυναµίας της S είναι (i) το σύνολο των θετικών πραγµατικών και (ii) το σύνολο των αρνητικών πραγµατικών αριθµών Άσκηση Φ4.38 Έστω η σχέση S που ορίζεται επί του συνόλου Z των ακεραίων αριθμών ως εξής: 2 2 ( x, y) S x y = 3k, με k Z. Δείξτε ότι η S είναι σχέση ισοδυναμίας. Λύση Άσκησης Φ4.38 Για να είναι σχέση ισοδυναµίας πρέπει να έχει την ανακλαστική, τη συµµετρική και τη µεταβατική ιδιότητα 1. x Z, (x,x) Sx 2 -x 2 =0=3*0 ( Έχει την ανακλαστική ιδιότητα) 2. Αν (x,y) Sx 2 -y 2 =3ky 2 -x 2 =-( x 2 -y 2 )= -3k (Έχει την συµµετρική ιδιότητα) 3. Έστω (x,y) και (y,z) S Τότε x 2 -y 2 =3k και y 2 -z 2 =3m. Προσθέτοντας κατά µέλη προκύπτει ότι x 2 -z 2 =3k-3m=3(k-m) (x,z) S (Έχει τη µεταβατική ιδιότητα) Άσκηση Φ4.39 Για κάθε µία από τις παρακάτω σχέσεις επί του συνόλου {1,2,3,4} - Να τις αναπαραστήσετε με πίνακα (τα στοιχεία του συνόλου να παρατίθενται σε αύξουσα σειρά) - Να τις αναπαραστήσετε με γράφο - Να ελέγξετε αν έχουν την ανακλαστική, συμμετρική, μεταβατική και αντισυμμετρική ιδιότητα. a. {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)} b. {(1,1),(1,4),(2,2),(3,3),(4,1)} c. {(1,2), (1,3), (1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)} d. {(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}

Λύση Άσκησης Φ4.39 a.1 1 2 3 4 1 0 1 1 1 2 0 0 1 1 3 0 0 0 1 4 0 0 0 0 a.2 a.3 Ανακλαστική: Όχι λείπει (1,1)... Συµµετρική: Όχι -λείπει (2,1) Μεταβατική: Όχι λείπει (2,4).. Αντισυµµετρική: Ναι b.1 1 2 3 4 1 1 0 0 1 2 0 1 0 0 3 0 0 1 0 4 1 0 0 0 b.2 b.3 Ανακλαστική: Όχι λείπει (4,4) Συµµετρική: Ναι Μεταβατική: Ναι Αντισυµµετρική: Όχι έχει (1,4) και (4,1)

c.1 1 2 3 4 1 0 1 1 1 2 1 0 1 1 3 1 1 0 1 4 1 1 1 0 c.2 c.3 Ανακλαστική: Όχι λείπει (1,1) Συµµετρική: Ναι Μεταβατική: Όχι λείπει (1,1) Αντισυµµετρική: Όχι έχει (1,4) και (4,1) κλπ d.1 1 2 3 4 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 3 1 1 0 1 4 0 0 0 0 d.2 d.3 Ανακλαστική: Όχι λείπει (1,1)

Συµµετρική: Όχι λείπει (1,3) Μεταβατική: Όχι λείπει (4,3) Αντισυµµετρική: Ναι Άσκηση Φ4.40 Να βρείτε τις ανακλαστικές, συµµετρικές και µεταβατικές, κλειστότητες των παρακάτω σχέσεων επί του {1,2,3,4}: a. {(1,2),(2,1),(2,3),(3,4),(4,1)} b. {(2,1),(2,3),(3,1),(3,4),(4,1),(4,3)} c. {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)} d. {(1,1),(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,2)} Λύση Άσκησης Φ4.40 α. Ανακλαστική κλειστότητα {(1,2),(2,1),(2,3),(3,4),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} Συµµετρική κλειστότητα {(1,2),(2,1),(2,3),(3,4),(4,1),(3,2),(1,4),(4,3)} Μεταβατική κλειστότητα {(1,2),(2,1),(2,3),(3,4),(4,1),(1,1),(2,4),(4,2),(1,3),(1,4),(3,2),(4,4),(3,3),(2,2),(4,3),(3,1)} b. Ανακλαστική κλειστότητα {(2,1),(2,3),(3,1),(3,4),(4,1),(4,3),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} Συµµετρική κλειστότητα {(2,1),(2,3),(3,1),(3,4),(4,1),(4,3),(1,2),(3,2),(1,3),(4,3)} Μεταβατική κλειστότητα {(2,1),(2,3),(3,1),(3,4),(4,1),(4,3),(2,4),(3,3),(4,4)} c. Ανακλαστική κλειστότητα {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} Συµµετρική κλειστότητα {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3)} Μεταβατική κλειστότητα {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)} (η σχέση είναι µεταβατική) d. Ανακλαστική κλειστότητα {(1,1),(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,2),(2,2),(3,3),(4,4)} Συµµετρική κλειστότητα {(1,1),(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,2),(4,1),(1,2),(1,3),(4,3)} Μεταβατική κλειστότητα {(1,1),(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,2),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3),(4,3),(4,4),(2,4),(4,1)} Άσκηση Φ4.41 Να βρείτε τη µικρότερη σχέση που περιέχει τη σχέση {(a,b),(a,d),(c,c),(d,a),(c,a)}, που είναι ορισµένη επί του συνόλου Α={a,b,c,d}

1. Ανακλαστική και µεταβατική 2. Συµµετρική και µεταβατική 3. Ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική Σηµείωση: Το κάθε υποερώτηµα είναι ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα. Λύση Άσκησης Φ4.41 1. {(a,b),(a,d),(c,c),(d,a),(c,a),(a,a),(b,b),(d,d),(c,b),(d,b),(c,d)} 2. {(a,b),(a,d),(c,c),(d,a),(c,a),(b,a),(a,c),(a,a),(c,b),(c,d),(b,b),(d,d),(d,c),(d,b)(b,d),(b,c)} 3. Ίδια με παραπάνω Άσκηση Φ4.42 Να σχεδιάσετε το διάγραµµα Hasse για τη διαιρετότητα επί του συνόλου a. {3,5,7,11,13,16,17} b. {2,3,5,10,11,15,25} Λύση Άσκησης Φ4.42 a. Οι αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους άρα η σχέση που περιγράφεται είναι η {(3,3),(5,5),(7,7),(11,11),(13,13),(16,16),(17,17)} Είναι σχέση μερικής διάταξης (έχει την ανακλαστική αντισυμμετρική και μεταβατική ι- διότητα) άρα μπορεί να παρασταθεί με διάγραμμα Hasse b. Η σχέση που περιγράφεται είναι η {(2,2),(3,3),(5,5),(10,10),(11,11),(15,15),(25,25),(2,10),(3,15),(5,10),(5,15),(5,25)} Είναι σχέση μερικής διάταξης (έχει την ανακλαστική αντισυμμετρική και μεταβατική ι- διότητα) άρα μπορεί να παρασταθεί με διάγραμμα Hasse Άσκηση Φ4.43 Έστω a, b Z και η σχέση R = {(a, b) a+b = 2k, k Z}. a. Αποδείξτε ότι η R είναι σχέση ισοδυναμίας. b. Βρείτε την κλάση ισοδυναμίας του 3. Λύση Άσκησης Φ4.43 a. H R είναι: - Ανακλαστική (a+a=2a ara a Z) - Συμμετρική (arb bra λόγω της αντιμεταθετικής ιδιότητας της πρόσθεσης) -Μεταβατική (Αν a+b=2k και b+c=2m τότε προσθέτοντας κατά μέλη

a+2b+c=2m+2k a+c=2m+2k-2b=2(m+k-b) arc) Άρα είναι σχέση ισοδυναμίας b. [3]R={x 3+x=2k}={x R x περιττός} Άσκηση Φ4.44 Έστω το σύνολο των ακεραίων A={2, 3, 4, 6, 8, 12} επί του οποίου ορίζουμε τη σχέση R = {(a,b) : a b}. a. Δώστε την αναπαράσταση πίνακα της σχέσης και την αναπαράσταση γράφου της σχέσης. b. Αποδείξτε ότι είναι σχέση μερικής διάταξης και σχεδιάστε το διάγραμμα Hasse της. c. Δώστε ένα παράδειγμα μέγιστης αλυσίδας και ένα παράδειγμα μέγιστης αντιαλυσίδας. Λύση Άσκησης Φ4.44 a. 2 3 4 6 8 12 2 1 0 1 1 1 1 3 0 1 0 1 0 1 4 0 0 1 0 1 1 6 0 0 0 1 0 1 8 0 0 0 0 1 0 12 0 0 0 0 0 1 b. H σχέση είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική άρα είναι σχέση μερικής διάταξης c. Μια αλυσίδα με μέγιστο μήκος είναι η {2,4,8} και μια αντιαλυσίδα με μέγιστο μήκος είναι η {2,3}

Άσκηση Φ4.45 Έστω η σχέση S L L, με L= { A, B, C, D} που αναπαρίσταται με μορφή πίνακα παρακάτω. Είναι η σχέση αυτή (a) ανακλαστική; (b) συμμετρική; (c) μεταβατική; Βρείτε (d) την ανακλαστική κλειστότητα (e) τη συμμετρική κλειστότητα και (f) τη μεταβατική κλειστότητα της σχέσης S. A B C D Α 1 1 1 0 Β 1 0 0 0 C 0 0 1 1 D 1 0 0 1 Λύση Άσκησης Φ4.45 (a) Δεν είναι ανακλαστική γιατί δεν περιλαμβάνει το (Β,Β) (b) Δεν είναι συμμετρική γιατί ενώ περιλαμβάνει το (Α,C), δεν περιλαμβάνει το (C,A). (c) Δεν είναι μεταβατική γιατί ενώ περιλαμβάνει το (Α,C), και το (C,D), δεν περιλαμβάνει το (A,D). (d) {(A,A), (B,B), (C,C), (D,D), (A,B), (A,C), (B,A), (C,D), (D,A)} (e) {(A,A), (C,C), (D,D), (A,B), (A,C), (C,A), (B,A), (C,D), (D,C), (D,A), (A,D)} (f) {(A,A), (C,C), (D,D), (A,B), (A,C), (B,A), (C,D), (D,A), (A,D), (B,B), (B,C), (B,D), (C,A), (D,C),(C,B)} Άσκηση Φ4.46 1. [8] Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το διάγραμμα Hasse μιας σχέσης μερικής διάταξης. (α) Περιγράψτε τη σχέση ως σύνολο διατεταγμένων ζευγών. (β) Πόσες μέγιστες αλυσίδες έχει αυτή η σχέση μερικής διάταξης και ποιες είναι; Λύση Άσκησης Φ4.46 Η σχέση μερικής διάταξης είναι η {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (6,6), (12,12), (1,2), (1,3), (1,4), (1.6), (1, 12), (2, 4), (2,6), (2, 12), (3, 6), (3, 12), (6, 12)}. Εναλλακτικά, μπορεί κανείς να την περιγράψει ως τη σχέση ακέραιας διαιρετότητας στο σύνολο {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Άσκηση Φ4.47 Αποδείξτε ότι η σχέση λογικής ισοδυναμίας στον προτασιακό λογισμό είναι σχέση ισοδυναμίας. Λύση Άσκησης Φ4.47 Η σχέση λογικής ισοδυναμίας προτάσεων στον προτασιακό λογισμό είναι σχέση ισοδυναμίας γιατί έχει την ανακλαστική ιδιότητα (κάθε λογική πρόταση είναι λογικά ισοδύναμη με τον εαυτό της), τη συμμετρική ιδιότητα (αν μια λογική πρόταση p είναι λογικά ισοδύναμη με την πρόταση q, τότε και η q είναι λογικά ισοδύναμη με την p) και τη μεταβατική ιδιότητα (αν η p είναι ισοδύναμη με την q και η q με την r, τότε και η p είναι ισοδύναμη με την r).