ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize z = x + x 2 + 5x + x 4 κάτω από τους περιορισμούς x + x 2 + 2x = (περιορισμός Α) 2x + x 2 + x + x 4 5 (περιορισμός B) 2x 2 + x 4 25 (περιορισμός C) x, x 2, x, x 4 ο αλγόριθμος Simplex χρησιμοποιήθηκε για την επίλυσή του κι ύστερα από 6 επαναλήψεις τερμάτισε στο ακόλουθο tableau (x 5, x 6 περιθώριες μεταβλητές στον Β και Γ περιορισμό αντίστοιχα και x 7, x 8 τεχνητές μεταβλητές στον Α και Β περιορισμό αντίστοιχα): 5 -Μ -Μ B c B β P P 2 P P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 5 8 2.5 6.5 - P 5 5.5.5.5 P 4 8 2 z 4.5.5 2.5. Ποια είναι η βέλτιστη λύση και ποια η βέλτιστη τιμή του προβλήματος; 2. Πως θα επιδρούσε στη βέλτιστη λύση και βέλτιστη τιμή του μοντέλου μια αύξηση τριών μονάδων στον αντικειμενικό συντελεστή c 2 (αν ήταν δηλαδή c 2 = 4);. Πως θα επιδρούσε στη βέλτιστη λύση και βέλτιστη τιμή του μοντέλου μια μείωση δύο μονάδων στον αντικειμενικό συντελεστή c (αν ήταν δηλαδή c = ); 4. Ποια θα ήταν η βέλτιστη τιμή εάν το δεξιό μέλος του περιορισμού Γ μειωνόταν στις 5 μονάδες; 5. Ποια θα ήταν η βέλτιστη τιμή εάν το δεξιό μέλος του περιορισμού B αυξανόταν κι έφτανε τις 5 μονάδες; Προσοχή: οι απαντήσεις σας να είναι αιτιολογημένες και να συνδέονται απαραιτήτως με στοιχεία από το βέλτιστο tableau. ΘΕΜΑ 2 ο : Το Porsche Club America προσφέρει μαθήματα ασφαλούς οδήγησης σε νέους ιδιοκτήτες αυτοκινήτων Porsche. Όμως, για λόγους ασφάλειας, επιβάλλει στους συμμετέχοντες να εγκαταστήσουν roll-bars. Οι βιομηχανίες Deegan κατασκευάζουν, ειδικά για Porsche, δύο μοντέλα roll-bars: (i) το DRB το οποίο στερεώνεται στο αυτοκίνητο με την βοήθεια ειδικών οπών στο πλαίσιο του αυτοκινήτου, και (ii) το DRW το οποίο πρέπει να ηλεκτροσυγκολληθεί στο πλαίσιο μιας και είναι βαρύτερο. Για κάθε roll-bar τύπου DRB απαιτούνται 2 κιλά ειδικού κράματος αλουμινίου, 4 πρώτα λεπτά χρόνο παραγωγής και 6 πρώτα λεπτά χρόνο εγκατάστασης. Ανάλογα, για κάθε roll-bar τύπου DRW απαιτούνται 25 κιλά ειδικού κράματος αλουμινίου, πρώτα λεπτά χρόνο παραγωγής και 4 πρώτα λεπτά χρόνο εγκατάστασης. Για το επόμενο τετράμηνο, οι Deegan κατάφερε να εξασφαλίσει από τον συνήθη προμηθευτή τους 4, κιλά κράματος αλουμινίου, 2 ώρες παραγωγής και 6 ώρες εγκατάστασης. Το κέρδος από κάθε roll-bar τύπου DRB είναι 2 και από κάθε roll-bar τύπου DRW 28.. Διαμορφώστε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού το οποίο να οδηγεί στην εύρεση της βέλτιστης παραγωγής του επόμενου τετραμήνου. Εξηγήστε με σαφήνεια τα στοιχεία του. 2. Χρησιμοποιήστε τη γραφική μέθοδο επίλυσης π.γ.π. για να βρείτε την άριστη λύση και την άριστη τιμή του. Διατυπώστε τα αποτελέσματα με όρους της εκφώνησης του προβλήματος. (Διατηρήστε ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων).. Ένας άλλος προμηθευτής, προσπαθεί να συμφωνήσει με τις βιομηχανίες Deegan για την πώληση (επιπλέον) 5 κιλών κράματος αλουμινίου προς 2 το κιλό. Οι Deegan θα πρέπει να προχωρήσουν στην προμήθειά τους; (Εξηγήστε με σαφήνεια χωρίς να λύσετε εκ νέου το πρόβλημα). 4. Οι Deegan σκέφτονται να προχωρήσουν σε υπερωριακή απασχόληση προκειμένου να εξασφαλίσουν περισσότερο χρόνο για την εγκατάσταση των roll-bars. Τι θα τις συμβουλεύατε; (Εξηγήστε με σαφήνεια).
5. Για λόγους ανταγωνιστικότητας, οι Deegan σκέφτονται να προχωρήσουν σε μείωση της τιμής για το μοντέλο DRB, γεγονός που θα έχει ως αποτέλεσμα το κέρδος να ανέρθει σε 75. Το γεγονός αυτό πως θα επηρεάσει την άριστη λύση και την άριστη τιμή του 2ου ερωτήματος; (Εξηγήστε με σαφήνεια χωρίς να λύσετε εκ νέου το πρόβλημα). ΘΕΜΑ ο : Η Filtron Corporation κατασκευάζει φίλτρα ύδρευσης. Αν και οι δουλειές πάνε καλά, η ζήτηση του κάθε μήνα παρουσιάζει μεγάλη μεταβλητότητα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η εταιρεία να χρησιμοποιεί ένα μικτό σχήμα εργατικού δυναμικού, πλήρους και μερικής απασχόλησης εργαζόμενους, προκειμένου να ανταποκριθεί στην παραγωγική ζήτηση. Αν και η συγκεκριμένη προσέγγιση επιτρέπει στη Filtron να έχει μεγάλη εργασιακή ευελιξία, δημιουργεί ταυτόχρονα αύξηση του κόστους. Για παράδειγμα, εάν η παραγωγή αυξηθεί μεταξύ ενός μήνα και του επομένου του, εργάτες μερικής απασχόλησης πρέπει να προσληφθούν και εκπαιδευτούν, γεγονός που αυξάνει το κόστος, ενώ, εάν η Filtron πρέπει να μειώσει την παραγωγή, τότε, και το εργατικό δυναμικό πρέπει να μειωθεί, γεγονός που την επιβαρύνει με επιδόματα ανεργίας. Για την ακρίβεια, έχει εκτιμηθεί ότι αύξηση της παραγωγής από μήνα σε μήνα επιβαρύνει το κόστος παραγωγής με.25 ανά παραγόμενο φίλτρο, ενώ η μείωση της παραγωγής το επιβαρύνει με. ανά φίλτρο. Τον Φεβρουάριο, η Filtron παρήγαγε, φίλτρα, αλλά πούλησε μόνον 75, τα 25 έμειναν στην αποθήκη. Οι προβλέψεις πώλησης για τον Μάρτιο, Απρίλιο και Μάιο, μιλάνε για 2, φίλτρα, 8 φίλτρα και 5, φίλτρα, αντίστοιχα. Λαμβάνοντας υπόψη ότι Filtron έχει και δυνατότητα αποθήκευσης μέχρι φίλτρων στο τέλος του κάθε μήνα, υποδείξτε ένα π.γ.π. για την εύρεση του πλήθους των φίλτρων τα οποία πρέπει να παραχθούν τον Μάρτιο, Απρίλιο και Μάιο, σε τρόπο ώστε το συνολικό κόστος που προκύπτει από τις αυξομειώσεις της παραγωγής να είναι το ελάχιστο δυνατόν. ΘΕΜΑ 4 ο : Το π.γ.π. που παρουσιάζεται κατωτέρω, παριστά το μαθηματικό μοντέλο ενός προβλήματος, η λύση του οποίου θα καθοδηγήσει έναν μεταπωλητή να υπολογίσει το πλήθος εκάστης, από τέσσερα διαφορετικά είδη ομπρελών, που πρέπει να προμηθευτεί προκειμένου να μεγιστοποιήσει το συνολικό του κέρδος από τη μεταπώληση των συγκεκριμένων ειδών. (Δεχτείτε ότι κάθε ομπρέλα που θα διατίθεται προς πώληση θα πουληθεί). Οι μεταβλητές x, x 2, x και x 4 παριστούν τον αριθμό γυναικείων, θαλάσσης, αντρικών και κήπου ομπρελών, αντίστοιχα. Οι περιορισμοί αναφέρονται, αντίστοιχα, στο διαθέσιμο χώρο για αποθήκευση (σε κάποιες μονάδες), σε ειδικές βάσεις στήριξης, στη ζήτηση και σε κάποια συμφωνία πώλησης η οποία έχει ήδη υπογραφεί. MAX 4X + 6X2 + 5X +.5X4 SUBJECT TO 2) 2 X + X2 + X + X4 <= 2 ).5 X + 2 X2 <= 54 4) 2 X2 + X + X4 <= 72 5) X2 + X >= 2 END OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) 8. VARIABLE VALUE REDUCED COST X 2.. X2..5 X 2.. X4 6.. ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2). 2. ) 6.. 4)..5 5). -2.5 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X 4.. 2.5 X2 6..5 INFINITY X 5. 2.5.5 X4.5 INFINITY.5 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 2. 48. 24. 54. INFINITY 6. 4 72. 24. 48. 5 2. 2. 2. Ο παραπάνω πίνακας είναι η συνδυασμένη αναφορά επίλυσης από το Lindo. Μελετήστε τον πίνακα προσεκτικά, ώστε να απαντήσετε στα ερωτήματα που ακολουθούν. Οι απαντήσεις σας πρέπει απαραίτητα να συνοδεύονται με δικαιολόγηση από τα κατάλληλα στοιχεία του πίνακα.. Ποια είναι η βέλτιστη λύση και ποια η άριστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης; (Διατυπώστε τα αποτελέσματα με όρους της εκφώνησης του προβλήματος). 2. Πόσος χώρος αποθήκευσης έμεινε διαθέσιμος; Πόσες βάσεις χρησιμοποιήθηκαν; Κατά πόσο υπερκαλύφθηκε η συμφωνία που είχε υπογραφεί;. Η βέλτιστη λύση κρίνει ασύμφορη την προμήθεια/πώληση ομπρελών θαλάσσης (x 2 = ). Υποθέστε ότι, παρόλα αυτά, ο μεταπωλητής αγόρασε τέτοιες ομπρέλες οι οποίες στη συνέχεια πουλήθηκαν. Ποια επίδραση έχει (εάν έχει) το γεγονός αυτό στα συνολικά κέρδη; 4. Πως θα επιδρούσε στη βέλτιστη λύση και βέλτιστη τιμή του μοντέλου μια μείωση του κέρδους από τις γυναικείες ομπρέλες κατά δύο μονάδες; 5. Σχολιάστε το εύρος αριστότητας του αντικειμενικού συντελεστή της μεταβλητής x 4 (ομπρέλες κήπου). 6. Στον μεταπωλητή προσφέρθηκε μια διαφήμιση η οποία του εξασφαλίζει ότι η ζήτηση θα αυξηθεί από 72 σε 86. Το κόστος της είναι μόλις 2 χρηματικές μονάδες. Θα πρέπει να δεχθεί; 7. Πως θα επιδρούσε (εάν επιδρούσε) στα συνολικά κέρδη μια μείωση του χώρου αποθήκευσης στις μονάδες; 8. Υποθέστε ότι η συμφωνία πώλησης αφορούσε 2 κι όχι 2 τεμάχια. Ποια επίδραση έχει (εάν έχει) το γεγονός αυτό στα συνολικά κέρδη;
ΘΕΜΑ ο :. Βέλτιστη λύση είναι η x =, x 2 =, x = 5, x 4 = 25 και βέλτιστη τιμή η z =. Ο περιορισμός Β έχει περιθώρια μεταβλητή x 5 = 5, ενώ για την περιθώρια μεταβλητή του περιορισμού Γ είναι x 6 =. 2. Έστω ĉ2 c 2. Επειδή στη βέλτιστη λύση η μεταβλητή x 2 είναι μη βασική, η λύση αυτή θα είναι η βέλτιστη για Δ z 2 c 2 (κόστος ευκαιρίας της x 2 ), δηλαδή για Δ.5. Εδώ είναι Δ =. οπότε η προτεινόμενη μεταβολή δεν έχει καμία επίδραση ούτε στη βέλτιστη λύση αλλά ούτε και στη βέλτιστη τιμή.. Στη βέλτιστη λύση η μεταβλητή x είναι βασική, οπότε θα πρέπει να προχωρήσουμε στην εύρεση του εύρους αριστότητας του αντικειμενικού συντελεστή c. Έστω ĉ c. Τότε η γραμμή των z j c j στο βέλτιστο tableau γίνεται: 5+Δ -Μ -Μ B c B β P P 2 P P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 5 8 2.5 6.5 - P 5+Δ 5.5.5.5 P 4 8 2 z +5Δ 4.5 +.5Δ.5.5Δ 2.5+.5Δ και κατά συνέπεια, η βέλτιστη λύση παραμένει ως έχει αν-ν: 4.5.5 Δ -.5.5 Συνεπώς, εύρος αριστότητας του αντικειμενικού συντελεστή c είναι το διάστημα 2,. Εδώ δόθηκε c = (Δ = -2), οπότε η προτεινόμενη μεταβολή δεν έχει καμία επίδραση στη βέλτιστη λύση, παρά μόνο στη βέλτιστη τιμή που γίνεται z = -5 2 = 7. 4. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα χρειαζόμαστε τη δυϊκή τιμή που αντιστοιχεί στον περιορισμό Γ καθώς επίσης και το εύρος εφικτότητας του b. Από το τελικό Simplex tableau διαπιστώνουμε ότι η δυϊκή τιμή που αναζητούμε ισούται με (η περιθώρια μεταβλητή του περιορισμού Γ είναι η x 6 ), ενώ, προκειμένου να εξασφαλιστεί η εφικτότητα λόγω της μεταβολής του b σε ˆb b πρέπει 8 Δ -25 8 Άρα, το ζητούμενο εύρος εφικτότητας είναι το [, ). Επομένως, για b = 5 η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα είναι μικρότερη της τρέχουσας κατά 2 = 2 μονάδες, ίση με 2 = 8. 5. Ο περιορισμός B είναι χαλαρός (με περιθώρια τιμή x 5 = 8 ) και συνεπώς το b 2 μπορεί να αυξηθεί κατά τις (5 5 =) 5 μονάδες που ζητείται χωρίς να μεταβληθεί η βέλτιστη τιμή (ούτε και η βέλτιστη λύση).
ΘΕΜΑ 2 ο :. Σύμφωνα με την περιγραφή του προβλήματος, ζητούμενο είναι η εύρεση των roll-bars τύπου DRB και DRW που πρέπει να παράγουν στο επόμενο τετράμηνο οι βιομηχανίες Deegan (μεταβλητές απόφασης), προκειμένου να μεγιστοποιηθούν τα συνολικά κέρδη τους (στόχος), λαμβάνοντας υπ όψιν τους περιορισμούς διαθεσιμότητας των πρώτων υλών. Ως εκ τούτου, μεταβλητές απόφασης του προβλήματος είναι το πλήθος x των προς παραγωγή roll-bars DRB και το πλήθος x 2 των προς παραγωγή roll-bars DRW. Τότε, συνολικό κέρδος των βιομηχανιών Deegan του οποίου επιζητείται η μεγιστοποίηση θα ανέρχεται στα 2x + 28x 2 ευρώ. Οι περιορισμοί του προβλήματος προκύπτουν από i) τη διαθεσιμότητα και κατανάλωση των πρώτων υλών: ii) 2x + 25x 2 4, 4x + x 2 2, 6x + 4x 2 96, τη μη-αρνητικότητα των μεταβλητών απόφασης: x, x 2. (διαθεσιμότητα σε κράμα αλουμινίου, kg) (διαθεσιμότητα σε χρόνο παραγωγής, min) (διαθεσιμότητα σε χρόνο συναρμολόγησης, min) 2. Εφικτή περιοχή του προβλήματος είναι το πολύγωνο ΑΒΓΔΕ του οποίου οι κορυφές έχουν συντεταγμένες Α(, ), Β(6, ), Γ(42.858, 685.74), Δ(, 8) και Ε(, 2). Άριστη λύση είναι η κορυφή Δ, σημείο τομής των περιοριστικών ευθειών και, που αντιστοιχεί σε τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z = 424,. Το βέλτιστο ημερήσιο πλάνο παραγωγής, το οποίο ορίζεται από την παραγωγή τεμαχίων roll-bars τύπου DRB και 8 roll-bars τύπου DRW, οδηγεί σε κέρδη 424,.
. Η απάντηση προϋποθέτει τη γνώση της δυϊκής τιμής που αντιστοιχεί στον ο περιορισμό. Από τη γραφική επίλυση του προβλήματος, παρατηρούμε ότι άνω όριο στην παράλληλη κίνηση του b που ελέγχουμε είναι το σημείο Η(9.9, 76.66) και κάτω το σημείο Ε(, 2). Τότε: Η: 29.9 + 2576.66 = b b = 4,99. Ε: 2 + 252 = b b =, κι επομένως, το εύρος εφικτότητας του b είναι το διάστημα [, 499.]. Οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης στα σημεία Η, Ε ισούνται με Η: z = 29.9 + 2876.66 = 42,.8 Ε: z = 2 + 282 = 6, Τότε, η κλίση της ευθείας, που παριστά το ρυθμό μεταβολής της αντικειμενικής συνάρτησης z σε σχέση με τη μεταβολή στη διαθέσιμη ποσότητα του κράματος αλουμινίου (δυική τιμή του ου περιορισμού), είναι ίση με 42,.8-6, κλιση= 8.8 4,99.-, Κατά συνέπεια, για κάθε επιπλέον κιλό κράματος αλουμινίου που μπορεί να εξασφαλιστεί (χωρίς όμως η συνολική διαθεσιμότητα να είναι υψηλότερη των 4,99. κιλών) το συνολικό κέδρος θα αυξάνεται κατά 8.8. Έτσι, για επιπλέον διαθεσιμότητα 5 κιλών κράματος αλουμινίου, τα συνολικά κέρδη θα αυξάνονταν κατά 5(8.8-2) =,4 ευρώ ( 2 κοστίζει στις βιομηχανίες Deegan το κάθε επιπλέον κιλό αλουμινίου). 4. Ο ος περιορισμός ο οποίος αναφέρεται στο χρόνο εγκατάστασης των roll-bars είναι χαλαρός με περιθώρια τιμή 96, (6 + 48) = 4, πρώτα λεπτά. Κατά συνέπεια δεν υπάρχει οποιοσδήποτε λόγος οι βιομηχανίες Deegan να προχωρήσουν στην εξασφάλιση περισσότερου χρόνου για αυτό το σκοπό. 5. Θα πρέπει να προχωρήσουμε σε ανάλυση ευαισθησίας για τον αντικειμενικό συντελεστή c, ο οποίος, σύμφωνα με την εκφώνηση, θα γίνει ίσος με 75 (από 2). Η κορυφή Δ θα είναι βέλτιστη λύση για το γραμμικό μοντέλο του προβλήματός μας όσο ισχύει: που δίνει κλίση της ευθείας κλίση της ευθείας Ζ κλίση της ευθείας 2 c 4 25 c c.8.4 c 2 2 Από την ανωτέρω σχέση, για c 2 = 28, προσδιορίζεται ως εύρος αριστότητας του αντικειμενικού συντελεστή c το [2, 224]. Κατά συνέπεια, εάν το κέρδος από κάθε roll bar τύπου DRB κατεβεί στα 75, το σημείο Δ (που καθορίζει την παραγωγή τεμαχίων roll bars τύπου DRB και 8 roll bars τύπου DRW) θα παραμείνει η βέλτιστη λύση. Βέβαια, η άριστη τιμή, θα ελαττωθεί κατά (2-75) και θα ανέρχεται στα 99,.
ΘΕΜΑ ο : Ας είναι x m I m D m s m το πλήθος των φίλτρων νερού που θα πρέπει να παραχθούν τον m-μήνα το πλήθος των φίλτρων νερού κατά το οποίο θα πρέπει να αυξηθεί το επίπεδο παραγωγής του m-μήνα σε σχέση με τον προηγούμενο το πλήθος των φίλτρων νερού κατά το οποίο θα πρέπει να μειωθεί το επίπεδο παραγωγής του m-μήνα σε σχέση με τον προηγούμενο το πλήθος των φίλτρων νερού που θα πρέπει να αποθηκευτούν τον m-μήνα όπου: m = o Μάρτιος, m = 2 o Απρίλιος, και m = o Μάιος. Τότε το συνολικό κόστος με το οποίο επιβαρύνεται η Filtron Corporation λόγω της αυξομείωσης της παραγωγής και πρέπει να ελαχιστοποιηθεί ανέρχεται σε:.25i +.25I 2 +.25I +.D +.D 2 +.D ευρώ. Οι περιορισμοί του προβλήματος προέρχονται από την αλλαγή στο επίπεδο παραγωγής που μπορεί να πρέπει να γίνει τον Μάρτιο: x, = Ι D x Ι + D =, την αλλαγή στο επίπεδο παραγωγής που μπορεί να πρέπει να γίνει τον Απρίλιο: x 2 x = Ι 2 D 2 x 2 x Ι 2 + D 2 = την αλλαγή στο επίπεδο παραγωγής που μπορεί να πρέπει να γίνει τον Μάιο: x x 2 = Ι D x x 2 Ι + D = την πρόβλεψη της ζήτησης για τον μήνα Μάρτιο: 2,5 + x s = 2, x s = 9,5 την πρόβλεψη της ζήτησης για τον μήνα Απρίλιο: s + x 2 s 2 = 8, την πρόβλεψη της ζήτησης για τον μήνα Μάιο: s 2 + x = 5, τη χωρητικότητα της αποθήκης για τον μήνα Μάρτιο: s, τη χωρητικότητα της αποθήκης για τον μήνα Απρίλιο: s 2, την μη αρνητικότητα των μεταβλητών: x, x 2, x, Ι, Ι 2, Ι, D, D 2, D, s, s 2 Βέλτιστη λύση (δεν ζητείται εδώ) είναι η: x = 25 I = 25 D = S = 75 x 2 = 25 I 2 = D 2 = S 2 = x = 2 I = 75 D = με συνολικό κόστος z = 2,5.
ΘΕΜΑ 4 ο :. Η βέλτιστη λύση είναι η x = 2, x 2 =, x = 2, x 4 = 6 και η βέλτιστη τιμή z = 8. Συνεπώς, το μέγιστο δυνατό συνολικό του κέρδος του μεταπωλητή ανέρχεται στις 8 χ.μ. και για να το πετύχει πρέπει να προμηθευτεί 2 γυναικείες ομπρέλες, 2 αντρικές, 6 κήπου και καμία () θαλάσσης. 2. Ο ος περιορισμός που αφορά το διαθέσιμο χώρο αποθήκευσης είναι δεσμευτικός, κι επομένως ολόκληρος ο διαθέσιμος χώρος αποθήκευσης χρησιμοποιήθηκε. Η περιθώρια τιμή του 2 ου περιορισμού που αφορά στις ειδικές βάσεις στήριξης είναι 6, δηλαδή χρησιμοποιήθηκαν 54-6 = 8 βάσεις. Ο 4 ος περιορισμός που αφορά τη συμφωνία είναι δεσμευτικός, κι άρα η συμφωνία τηρήθηκε επακριβώς (δεν υπερκαλύφθηκε).. Το κόστος ευκαιρίας της μεταβλητής x 2 που παριστά την προμήθεια/πώληση ομπρελών θαλάσσης είναι.5. Συνεπώς, κάθε ομπρέλα θαλάσσης η οποία προμηθεύεται προς πώληση μειώνει το συνολικό κέρδος του μεταπωλητή κατά.5. Στην περίπτωσή μας που προμηθεύτηκε (και πούλησε) τέτοιες ομπρέλες, το συνολικό του κέρδος μειώθηκε κατά.5 = 5 χρηματικές μονάδες. 4. Η ανάλυση ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή c υποδεικνύει ότι η λύση που έχουμε παραμένει βέλτιστη για τιμές στο διάστημα [.5, 5]. Μείωση του κέρδους από τις γυναικείες ομπρέλες κατά δύο μονάδες δίνει c = 2, τιμή μέσα στο εύρος αριστότητας. Επομένως, για c = 2, δεν θα είχαμε μεταβολή της βέλτιστης λύσης, αλλά μόνον της βέλτιστης τιμής που θα γινόταν 8-22 = 294 χρηματικές μονάδες. 5. Το εύρος αριστότητας είναι το διάστημα [, ). Δηλαδή όσο κι αν ανεβούν τα κέρδη από την πώληση των ομπρελών κήπου (x 4 ) ο μεταπωλητής θα πρέπει να προμηθευτεί προς πώληση τα 6 τεμάχια της λύσης μας. Αυτό έχει να κάνει κυρίως με τον περιορισμό 4 και δευτερευόντως με τον. Σύμφωνα με τον 4 ο περιορισμό, πρέπει οπωσδήποτε να αγοραστούν προς πώληση, αθροιστικά, τουλάχιστον 2 τεμάχια ομπρελών θαλάσσης και αντρικών, που είναι ομπρέλες διαφορετικού τύπου από τον τύπο που συζητάμε εδώ. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι: i. παρότι το μοναδιαίο κέρδος από τις ομπρέλες θαλάσσης είναι το μεγαλύτερο από όλα, η βέλτιστη λύση δεν προβλέπει την προμήθειά τους (x 2 = ), ii. η συμφωνία που παριστά ο περιορισμός 4 είναι ασύμφορη μιας και η δυική τιμή που αντιστοιχεί σε αυτόν είναι αρνητική συμπεραίνουμε ότι πρέπει να είναι x = 2, το ελάχιστο δηλαδή που μπορεί να είναι. Συνεπώς, ο ος περιορισμός μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι θα είναι πάντα και x 4 = 6. 6. Ο περιορισμός που αφορά τη ζήτηση είναι ο ος, ο οποίος έχει δυική τιμή.5 μέσα στο διάστημα [24, 96]. Αύξηση της ζήτησης κατά 86-72 = 4 μονάδες θα αποφέρει κέρδη αυξημένα κατά 4.5 = 2 χρηματικές μονάδες (το συνολικό κέρδος δηλαδή θα γινόταν 9 χμ). Η τιμή αυτή είναι μεγαλύτερη από το κόστος των 2 χρηματικών μονάδων της διαφήμισης, κι άρα ο μεταπωλητής πρέπει να τη δεχθεί. 7. Ο περιορισμός που αφορά το χώρο αποθήκευσης είναι ο ος, ο οποίος έχει δυική τιμή 2 μέσα στο διάστημα [96, 68]. Η τιμή των μονάδων είναι μέσα στο εύρος εφικτότητας του περιορισμού, κι επομένως μείωση του αποθηκευτικού χώρου κατά 2- = 2 μονάδες θα είχε ως αποτέλεσμα μείωση των συνολικών κερδών κατά 22 = 4 χρηματικές μονάδες (το συνολικό κέρδος δηλαδή θα γινόταν 278 χμ). 8. Ο περιορισμός που αφορά τη συμφωνία πώλησης είναι ο 4 ος, ο οποίος έχει δυική τιμή -2.5 μέσα στο διάστημα [, 24]. Η τιμή των 2 μονάδων είναι μέσα στο εύρος εφικτότητας του περιορισμού, κι επομένως εάν η συμφωνία αφορούσε την πώληση τουλάχιστον 2 τεμαχίων (αθροιστικά) ομπρελών θαλάσσης και αντρικών, τότε τα συνολικά κέρδη θα μειώνονταν κατά (2-2)2.5 = 2 χρηματικές μονάδες (το συνολικό κέρδος δηλαδή θα γινόταν 298 χμ).