ΠΜΣ: Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Διδάσκων: Ν. Τσάντας Homework 1 1. Ασκήσεις: δείτε τις σελίδες 2-6 του παρόντος. 2. Πρόκειται για ατομικές ασκήσεις οι οποίες συνεισφέρουν το 25% του τελικού σας βαθμού. 3. Το παραδοτέο είναι ολόσωμο κείμενο Word όλων των ασκήσεων μαζί σε ελληνική γλώσσα μαζί με τα αρχεία δεδομένων των μοντέλων που κατασκευάσατε στο winqsb (.lpp), στο Lindo (.ltx), στο Excel ή στο POM-QM. 4. Όλα τα παραπάνω αρχεία θα πρέπει να συμπτυχθούν σε ένα zip αρχείο και να αποσταλούν ηλεκτρονικά (e-mail: tsantas@upatras.gr) στον διδάσκοντα μέχρι την 23.59 της 28ης Απριλίου 2013. Το αρχείο zip θα το ονομάσετε με λατινικούς χαρακτήρες "eponymo_onoma_hw1.zip". Στο μήνυμα πρέπει να αναφέρετε απαραίτητα το ονοματεπώνυμό σας. Εργασίες που παραλαμβάνονται εκπρόθεσμα επισύρουν βαθμολογικές κυρώσεις (0.5 βαθμό για κάθε ημερολογιακή ημέρα καθυστέρησης). Εργασίες που υποβάλλονται με καθυστέρηση μεγαλύτερη από 3 ημέρες δεν γίνονται δεκτές. 5. Χρησιμοποιήστε λατινικούς χαρακτήρες "eponymo_onoma_hw1.doc" προκειμένου να ονομάσετε και το αρχείο Word. Τα αρχεία δεδομένων θα τα ονομάσετε με τον αύξοντα αριθμό της άσκησης που αντιστοιχούν (π.χ. 01.lpp, 02.ltx, κλπ). 6. Στο κείμενο της εργασίας, για κάθε άσκηση, πρέπει να υπάρχει μια ενότητα με την εννοιολογική προσέγγιση, δηλαδή την περιγραφή του προβλήματος και των υποθέσεών του. Στη συνέχεια μια ενότητα με την ανάπτυξη του κατάλληλου γραμμικού μοντέλου και τέλος, μια ενότητα με τις απαντήσεις στα υπόλοιπα ερωτήματα της άσκησης (π.χ. ανάλυση ευαισθησίας). 7. Πίνακες αποτελεσμάτων του winqsb ή του Lindo, κ.λπ. πρέπει να είναι μέρος του κειμένου ως εικόνες. 8. Στην πρώτη σελίδα της εργασίας πρέπει να αναφέρετε το όνομά σας. Οι σελίδες είναι Α4, όλα τα margins 2.5, το spacing 1.5 και η γραμματοσειρά Arial 12. 1
ΑΣΚΗΣΗ 1. Ο προπονητής της ομάδας μπάσκετ ενός πανεπιστημίου ανέθεσε σε έναν διαιτολόγο να παρασκευάσει ένα snack το οποίο θα μπορούν να καταναλώνουν οι παίκτες κατά τη διάρκεια των προπονήσεων. Ο διαιτολόγος σκοπεύει να αναμίξει 2 συστατικά για την παρασκευή του τελικού προϊόντος. Τα συστατικά είναι συσκευασμένα σε κυτία ίδιου βάρους. Οι ακόλουθες πληροφορίες σχετίζονται με το πρόβλημα. Συνεισφορά συστατικού ανά κυτίο Διατροφικό στοιχείο Α Β Ελάχιστη Απαίτηση Υδατάνθρακες 2 5 20 (gr) Πρωτεΐνη 6 1 12 (gr) Θερμίδες 90 50 450 (Kcal) Κόστος συστατικού ανά κυτίο 0.20 0.10 1. Διατυπώστε με σαφήνεια το πρόβλημα και τις πιθανές βασικές υποθέσεις του μοντέλου. 2. Διαμορφώστε το κατάλληλο μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για την επίλυσή του. 3. Χρησιμοποιείστε κάποιο λογισμικό για να λύσετε το πρόβλημα γραφικά. Παρουσιάστε τη γραφική επίλυση και διατυπώστε τα αποτελέσματα 4. Χρησιμοποιείστε κάποιο λογισμικό για να επιλύσετε το μοντέλο σας και αλγεβρικά. Παρουσιάστε τα αποτελέσματά σας με ακρίβεια και συγκρίνετέ τα με εκείνα του προηγούμενου ερωτήματος. 5. Πραγματοποιείστε ανάλυση ευαισθησίας στα δεξιά μέλη όλων των περιορισμών και σχολιάστε. ΑΣΚΗΣΗ 2. Η WOPM, εταιρεία επενδύσεων, σχεδιάζει ένα τετραετές πρόγραμμα επενδύσεων σε διάφορα έργα τα οποία απαιτούν εισροές κεφαλαίων καθ όλη τη διάρκεια του επενδυτικού ορίζοντα. Η εταιρεία θέλει να επιλέξει το βέλτιστο χαρτοφυλάκιο επενδύσεων όταν μπορεί να επενδύσει και μερικώς σε οποιαδήποτε επένδυση. Υποθέτουμε ότι τα έργα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους (σε σχέση με την απόδοση τους και τα κεφάλαια που απαιτούν). Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η αξία των εισροών (παρούσα αξία) που θα αποκομίσει από κάθε έργο η εταιρεία καθώς και οι εκροές που απαιτούνται σε κάθε έτος. Απαιτήσεις σε κεφάλαια ανά έτος Έργο ΠΑ 1 ο έτος 2 ο έτος 3 ο έτος 4 ο έτος 1. 90 15 20 20 15 2. 40 10 15 20 5 3. 10 10 0 0 4 4. 37 15 10 10 10 Διαθέσιμα κεφάλαια 40 50 40 35 Υπενθυμίζεται ότι η εταιρεία έχει τη δυνατότητα να συμμετέχει μερικώς (ως ποσοστό) σε κάθε επένδυση, οπότε τόσο η συμμετοχή της (εκροές) όσο και οι εισροές θα είναι οι ανάλογες. 1. Να διατυπώσετε το πρόβλημα και τις πιθανές βασικές του υποθέσεις 2. Να διαμορφώσετε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για την επίλυσή του. 3. Να επιλύσετε το μοντέλο με τη χρήση κάποιου λογισμικού και να διατυπώσετε με σαφήνεια την άριστη λύση. 4. Να διερευνήσετε διεξοδικά την περίπτωση λήψης δανείου για αύξηση του διαθέσιμου ποσού για επένδυση κατά το πρώτο έτος 2
5. Να υποθέσετε ότι δεν υπάρχει δυνατότητα μερικής συμμετοχής, να επιλύσετε ξανά το μοντέλο και να συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας 6. Να υποθέσετε επιπλέον (σε σχέση με το ερώτημα 5) κάθε μία από τις εξής παραλλαγές ξεχωριστά. Σε κάθε περίπτωση να πραγματοποιήσετε τις κατάλληλες μετατροπές και να επιλύσετε ξανά το μοντέλο. i. Προκύπτουν δύο ακόμη έργα όμοια με το 2 ο και η εταιρεία θέλει να επενδύσει σε ένα μόνο από τα τρία. ii. Προκύπτουν δύο ακόμη έργα όμοια με το 2 ο και η εταιρεία θέλει να επενδύσει το πολύ σε ένα από τα τρία. iii. Προκύπτουν δύο ακόμη έργα όμοια με το 2 ο και η εταιρεία θέλει να επενδύσει σε δύο από τα iv. τρία. Προκύπτουν δύο ακόμη έργα όμοια με το 2 ο και η εταιρεία θέλει να επενδύσει το πολύ σε δύο από τα τρία. v. Το έργο 2 δεν μπορεί να γίνει αν δεν γίνει το έργο 1. vi. Το έργο 2 και το έργο 1 ή πρέπει να γίνουν και τα δύο ή δεν θα γίνει κανένα από τα δύο. ΑΣΚΗΣΗ 3. Η Saturn Computer Services είναι μία εταιρεία συναρμολόγησης προσωπικών υπολογιστών. Διαθέτει στην αγορά με το δικό της λογότυπο ένα μοντέλο υπολογιστή το οποίο συναρμολογεί από εξαρτήματα τα οποία εισάγει από την Ασία. Το προϊόν πωλείται κυρίως στα τμήματα του τοπικού πανεπιστήμιου και σε ιδιώτες στην εγγύς περιοχή. Η εταιρεία σε μία τυπική παραγωγική περίοδο έχει κανονική παραγωγική δυναμικότητα 160 υπολογιστές ανά εβδομάδα (δηλαδή με εργασία αμειβόμενη με κανονικά ωρομίσθια). Μπορεί όμως με υπερωριακή εργασία να αυξήσει τη δυναμικότητα αυτή κατά 50 τεμάχια την εβδομάδα. Το κόστος συναρμολόγησης, επιθεώρησης και ελέγχου, συσκευασίας και διανομής με κανονική παραγωγή ανέρχεται σε 190 ανά τεμάχιο ενώ με υπερωρίες ανέρχεται σε 260 ανά τεμάχιο. Επιπλέον, το κόστος διατήρησης αποθέματος ανέρχεται σε 10 ανά τεμάχιο ανά εβδομάδα αποθήκευσης. Η επιχείρηση λειτουργεί μόνο κατόπιν παραγγελίας και όλες οι παραγγελίες πρέπει να ικανοποιούνται εγκαίρως. Στον ακόλουθο πίνακα βλέπετε το πρόγραμμα παραγγελιών για τις επόμενες 6 εβδομάδες. Εβδομάδα 1 η 2 η 3 η 4 η 5 η 6 η Ζήτηση 105 170 230 180 150 250 1. Να διατυπώσετε το πρόβλημα και τις πιθανές βασικές του υποθέσεις 2. Να διαμορφώσετε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για την επίλυσή του. 3. Να επιλύσετε το μοντέλο με τη χρήση κάποιου λογισμικού και να διατυπώσετε με σαφήνεια την άριστη λύση. 4. Να διερευνήσετε τις συνέπειες αυξομείωσης της διαθεσιμότητας κανονικής ή υπερωριακής παραγωγικής δυναμικότητας για την επιχείρηση, ειδικά για τις τρεις τελευταίες εβδομάδες της παραγωγής. 5. Να διερευνήσετε τις συνέπειες αυξομείωσης του κόστους διατήρησης αποθεμάτων για την 1 η, 2 η και 3 η εβδομάδα. 6. Χρησιμοποιήστε κατάλληλες μετατροπές στο μοντέλο σας για να απαντήσετε στο εξής ερώτημα: Τι θα έπρεπε να συμβεί ώστε να συμφέρει την επιχείρηση να παράγει όλη την ποσότητα που χρειάζεται κατά την πρώτη και τη δεύτερη το πολύ εβδομάδα; 7. Επιλύστε ξανά το αρχικό μοντέλο σας με ακέραιο προγραμματισμό και συγκρίνετε τα αποτελέσματα. 3
ΑΣΚΗΣΗ 4. Η εταιρεία CPL παράγει τρεις τύπους αμόλυβδης βενζίνης, Super (S), Extra (Ε) και Απλή (Α). Κάθε τύπος βενζίνης παράγεται από την κλασματική απόσταξη και μίξη τριών τύπων πρώτης ύλης - αργού πετρελαίου (1, 2, 3). Οι τιμές πώλησης ανά βαρέλι τελικού προϊόντος βενζίνης δίνονται στον πίνακα 1, ενώ, η τιμή αγοράς κάθε τύπου πρώτης ύλης ανά βαρέλι και η ημερήσια διαθεσιμότητα πρώτης ύλης κατά την περίοδο προγραμματισμού δίνονται στον πίνακα 2. Πίνακας 1 Προϊόν Τιμή πώλησης (χρηματικές μονάδες) Πίνακας 2 Πρώτη ύλη Τιμή Αγοράς (χρηματικές μονάδες) Διαθέσιμη ποσότητα (βαρέλια) S 70 1 45 5.000 E 60 2 35 5.000 A 50 3 25 5.000 Οι τρεις τύποι βενζίνης διαφέρουν σε περιεκτικότητα οκτανίων και θείου. Η βενζίνη τύπου S πρέπει να έχει μέση περιεκτικότητα οκτανίων με δείκτη τουλάχιστον 10 και να περιέχει κατά μέσο όρο το πολύ 1% θείο. Η βενζίνη τύπου Ε πρέπει να έχει μέση περιεκτικότητα οκτανίων με δείκτη τουλάχιστον 8 και να περιέχει το πολύ 2% θείο. Η βενζίνη τύπου Α πρέπει να έχει μέση περιεκτικότητα οκτανίων τουλάχιστον 6 και να περιέχει κατά μέσο όρο το πολύ 1% θείο. Ο μέσος δείκτης οκτανίων και τα μέσα ποσοστά θείου για κάθε πρώτη ύλη δίνονται στον Πίνακα 3. Πίνακας 3 Πρώτη ύλη Οκτάνια (δείκτης) Ποσοστό θείου 1 12 0.5% 2 6 2.0% 3 8 3.0% Η μετατροπή ενός βαρελιού πρώτης ύλης οποιουδήποτε τύπου, σε προϊόν βενζίνης οποιουδήποτε επίσης τύπου, προκαλεί κόστος ίσο με 4χμ. Το διυλιστήριο έχει συνολική παραγωγική δυναμικότητα ίση με 14000 βαρέλια βενζίνης ημερησίως. Η ημερήσια ζήτηση που πρέπει οπωσδήποτε να καλύψει η εταιρεία λόγω εξασφαλισμένων παραγγελιών είναι: βενζίνη Super 3.000 βαρέλια, βενζίνη Extra 2000 βαρέλια και Απλή 1000 βαρέλια. Αναμένεται ότι εν γένει η ζήτηση ξεπερνά την παραγωγική δυναμικότητα της επιχείρησης και εννοείται ότι η εταιρεία επιθυμεί να καλύψει οποιαδήποτε ζήτηση εφόσον φυσικά επαρκεί η παραγωγική της δυναμικότητα. Για να αυξήσει όμως τη ζήτηση για τα προϊόντα της, η επιχείρηση εφαρμόζει προωθητικές ενέργειες. Έτσι, υπάρχει η δυνατότητα διαφήμισης των προϊόντων. Ας υποθέσουμε ότι μία απλή γραμμική σχέση συνδέει τη διαφημιστική δαπάνη με την αύξηση των πωλήσεων πέρα από τις παραγγελίες που αναφέρθηκαν παραπάνω. Η σχέση αυτή υποδεικνύει ότι για κάθε 1χμ που δαπανάται ημερησίως σε διαφήμιση για έναν τύπο τελικού προϊόντος βενζίνης, αυξάνεται η ημερήσια ζήτηση του τύπου αυτού κατά 10 βαρέλια. 1. Διατυπώστε με σαφήνεια το πρόβλημα της εταιρείας και τις πιθανές βασικές υποθέσεις του μοντέλου. 2. Διαμορφώστε το κατάλληλο μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για την επίλυσή του. 3. Χρησιμοποιείστε κάποιο λογισμικό για να επιλύσετε το μοντέλο σας. Παρουσιάστε τα αποτελέσματά σας με ακρίβεια. 4. Πραγματοποιείστε παραμετρική ανάλυση για τη διαθεσιμότητα πρώτων υλών και σχολιάστε διεξοδικά. 5. Πραγματοποιήστε ανάλυση ευαισθησίας σε δύο τουλάχιστον αντικειμενικούς συντελεστές που παρουσιάζουν ενδιαφέρον και σχολιάστε αναλυτικά. 4
ΑΣΚΗΣΗ 5. Η αεροπορική εταιρεία ΧΨΖ ψάχνει να βρει τρόπους ελάττωσης του κόστους των καυσίμων των πτήσεών της εκμεταλλευόμενη το γεγονός ότι σε ορισμένες πόλεις προς τις οποίες εκτελεί πτήσεις τα καύσιμα έχουν χαμηλότερο κόστος. Επειδή το κόστος των καυσίμων αντιπροσωπεύει ένα μεγάλο μέρος των λειτουργικών εξόδων της εταιρείας, είναι σημαντικό για την εταιρεία το εν λόγω κόστος να παρακολουθείται στενά. Η εταιρεία δεν παραγνωρίζει το γεγονός ότι τα καύσιμα προσθέτουν βάρος στο αεροσκάφος και επομένως, προσθέτοντας επιπλέον βάρος, ανεβαίνει το κόστος πτήσης μεταξύ πόλεων. Εξετάζοντας μία ολοκληρωμένη διαδρομή (κύκλο πτήσεων), το αεροπλάνο ξεκινάει από την Αθήνα και πετάει στο Λονδίνο, από το Λονδίνο στο Παρίσι, από το Παρίσι στη Ρώμη και από τη Ρώμη στην Αθήνα. Κατά την διάρκεια μιας πτήσης μεταξύ δύο πόλεων αυτού του κύκλου πτήσεων το αεροσκάφος πρέπει να έχει μία ελάχιστη και μία μέγιστη ποσότητα καυσίμων. Αυτά τα δεδομένα καθώς και επιπλέον πληροφορίες δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Ελάχιστη απαιτούμενη ποσότητα καυσίμων (σε χιλιάδες λίτρα) Μέγιστη επιτρεπόμενη ποσότητα καυσίμων (σε χιλιάδες λίτρα) Κανονική κατανάλωση καυσίμων (σε χιλιάδες λίτρα) Κόστος καυσίμων (ανά λίτρο) στην πόλη αναχώρησης Αθήνα- Λονδίνο 24 36 12 1,15 Λονδίνο-Παρίσι 15 23 7 1,25 Παρίσι-Ρώμη 9 17 3 1,10 Ρώμη- Αθήνα 11 20 5 1,18 Τα στοιχεία που αφορούν την κανονική κατανάλωση καυσίμων έχουν υπολογιστεί υποθέτοντας ότι το αεροσκάφος έχει εφοδιαστεί με την ελάχιστη απαιτούμενη ποσότητα καυσίμων. Εάν στο αεροσκάφος φορτωθούν επιπλέον ποσότητες καυσίμων πέραν της ελάχιστης απαιτούμενης ποσότητας η κατανάλωση καυσίμων ανεβαίνει. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε 1000 λίτρα επιπλέον της ελάχιστης απαιτούμενης ποσότητας, η κατανάλωση του αεροσκάφους λόγω επιπλέον βάρους αυξάνεται κατά 5% ( ή 50 λίτρα για κάθε 1000 λίτρα επιπλέον καυσίμων). Για παράδειγμα, εάν το αεροσκάφος εφοδιαστεί με 25000 λίτρα στην Αθήνα, η κατανάλωση καυσίμων από την Αθήνα στο Λονδίνο θα είναι 12,05 χιλιάδες λίτρα, ενώ εάν είχε εφοδιαστεί με 26000 λίτρα η κατανάλωση θα ήταν 12.1 χιλιάδες λίτρα. 1. Δώστε το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού γι αυτό το πρόβλημα ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος αγοράς των καυσίμων για το συγκεκριμένο κύκλο πτήσεων. Υποθέστε ότι στην αρχή του κύκλου οι δεξαμενές του αεροσκάφους είναι άδειες. 2. Κάνοντας χρήση κάποιου λογισμικού βρείτε πόσα λίτρα καυσίμων πρέπει να αγοραστούν σε κάθε πόλη και ποιο είναι το συνολικό κόστος αγοράς τους. Επίσης, να υπολογίσετε την ποσότητα καυσίμων που απομένουν στις δεξαμενές του αεροσκάφους όταν προσγειώνεται στην Αθήνα, στο τέλος του κύκλου πτήσεων. 3. Υποθέστε ότι όταν το αεροπλάνο φθάσει στην Αθήνα, ο κύκλος πτήσεων ολοκληρώνεται και ξεκινάει νέος κύκλος. Συνεπώς τα καύσιμα που θα έχει το αεροσκάφος φθάνοντας στην Αθήνα θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη κάθε φορά που ξεκινάει ένας νέος κύκλος πτήσεων. Πώς θα τροποποιηθεί το μοντέλο που μορφοποιήσατε στο Ερώτημα 1; Πόσα λίτρα καυσίμων πρέπει να αγοραστούν σε κάθε πόλη και ποιο είναι το συνολικό κόστος αγοράς τους στην περίπτωση αυτή; 4. Σχολιάστε τη δυική τιμή του περιορισμού που αφορά τη μέγιστη ποσότητα καυσίμων που πρέπει να έχει το αεροσκάφος στην πτήση Αθήνα-Λονδίνο στην περίπτωση που εκτελεί διαδοχικούς κύκλους πτήσεων, όπως ορίστηκε στο Ερώτημα 3. 5
ΑΣΚΗΣΗ 6. Η «Wallasidis Juice Company» παράγει τρία προϊόντα από μη επεξεργασμένο χυμό σταφύλι: εμφιαλωμένο σταφυλοχυμό, κατεψυγμένο συμπυκνωμένο χυμό, και ζελέ. Αγοράζει τον μη επεξεργασμένο χυμό σταφυλιών από τρεις αμπελώνες ανά την Ελλάδα (έστω Α, Β, Γ). Κατά τον τρύγο τα σταφύλια που μαζεύονται στους αμπελώνες μετατρέπονται αμέσως σε μη επεξεργασμένο χυμό σε εγκαταστάσεις επί τόπου και αποθηκεύονται σε δεξαμενές ψύξης. Στη συνέχεια, ο μη επεξεργασμένος χυμός μεταφέρεται σε τέσσερις διαφορετικές εγκαταστάσεις (εργοστάσια) στη Κρήτη, Ηλεία, Αττική και Μακεδονία όπου υποβάλλεται σε επεξεργασία για να μετατραπεί σε εμφιαλωμένο σταφυλοχυμό, κατεψυγμένο συμπυκνωμένο χυμό, και ζελέ. Η παραγωγή των αμπελώνων διαφέρει από περίοδο σε περίοδο αλλά και τα εργοστάσια έχουν διαφορετικές ικανότητες επεξεργασίας. Πιο συγκεκριμένα όμως, σε έναν δεδομένο μήνα ο αμπελώνας Α έχει 1400 τόνους μη επεξεργασμένου χυμού σταφυλιών, ο αμπελώνας Β έχει 1100 τόνους και ο αμπελώνας Γ έχει 1700 τόνους. Η ικανότητα επεξεργασίας μη επεξεργασμένου χυμού το μήνα είναι 1200 τόνοι στις εγκαταστάσεις στη Κρήτη, 1100 τόνοι στην Ηλεία, 1400 τόνοι στην Αττική και 1400 τόνοι στις εγκαταστάσεις της Μακεδονίας. Το κόστος ανά τόνο μεταφοράς μη επεξεργασμένου χυμού από τους αμπελώνες στα εργοστάσια είναι το ακόλουθο (ευρώ/τόνο). Εργοστάσιο Αμπελώνας Κρήτη Ηλεία Αττική Μακεδονία Α 850 720 910 750 Β 970 790 1050 880 Γ 900 830 780 820 Τα εργοστάσια έχουν διαφορετικές ηλικίες, τεχνολογία και εξοπλισμό, κόστη εργασίας κλπ, οπότε το κόστος κάθε προϊόντος σε κάθε εργοστάσιο (ευρώ/τόνο) διαφέρει ως εξής: Εργοστάσιο Προϊόν Κρήτη Ηλεία Αττική Μακεδονία Εμφιαλωμένος Χυμός 2100 2350 2200 1900 Κατεψυγμένος Χυμός 4100 4300 3950 3900 Ζελέ 2600 2300 2500 2800 Αυτό το συγκεκριμένο μήνα που εξετάζουμε, πρέπει να παραχθούν συνολικά και από τα τέσσερα εργοστάσια 1200 τόνοι εμφιαλωμένου χυμού, 900 τόνοι κατεψυγμένου συμπυκνωμένου χυμού και 700 τόνοι ζελέ. Εντούτοις, πρέπει να σημειωθεί ότι η διαδικασία παραγωγής για τον κατεψυγμένο συμπυκνωμένο χυμό παρουσιάζει ένα ποσοστό αφυδάτωσης ενώ η διαδικασία για την παραγωγή ζελέ περιλαμβάνει ένα στάδιο παρασκευής που εξατμίζει ένα μέρος του νερού που περιέχεται στο χυμό. Έτσι, για να προκύψει ένας τόνος κατεψυγμένου συμπυκνωμένου χυμού απαιτούνται δύο τόνοι μη επεξεργασμένου χυμού και για να παραχθεί ένας τόνος ζελέ απαιτούνται l.5 τόνοι μη επεξεργασμένου χυμού σταφυλιού. Η διοίκηση παραγωγής επιθυμεί να καθορίσει πόσοι τόνοι μη επεξεργασμένου χυμού σταφυλιών πρέπει να αποσταλούν από κάθε αμπελώνα σε κάθε μια από τις εγκαταστάσεις επεξεργασίας καθώς και το τελικό προϊόν που θα παραχθεί σε κάθε εργοστάσιο. Κατά συνέπεια, έχουμε ένα πρόβλημα που περιλαμβάνει τόσο το εφοδιαστικό τμήμα των λειτουργιών (logistics) όσο και πτυχές της διαδικασίας παραγωγής. Η άριστη λύση πρέπει να δίνει κατευθύνσεις για την ελαχιστοποίηση των συνολικών δαπανών δηλαδή του κόστους μεταφοράς του μη επεξεργασμένου χυμού σταφυλιών από τους αμπελώνες στις εγκαταστάσεις και τις δαπάνες επεξεργασίας για την παρασκευή των τελικών προϊόντων. 1. Διατυπώστε με σαφήνεια το πρόβλημα της εταιρείας και τις πιθανές βασικές υποθέσεις του μοντέλου. 2. Διαμορφώστε το κατάλληλο μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για την επίλυσή του. 3. Χρησιμοποιείστε κάποιο λογισμικό για να επιλύσετε το μοντέλο σας. Παρουσιάστε τα αποτελέσματά σας με ακρίβεια. 4. Πραγματοποιήστε ανάλυση ευαισθησίας σε δύο τουλάχιστον αντικειμενικούς συντελεστές που παρουσιάζουν ενδιαφέρον και σχολιάστε. 5. Πραγματοποιήστε ανάλυση ευαισθησίας σε δύο τουλάχιστον δεξιά μέλη που παρουσιάζουν ενδιαφέρον και σχολιάστε. 6