Όριο συνάρτησης στο Στα παρακάτω θα προσεγγίσουμε την διαισθητικά με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων και πινάκων τιμών. 4 4 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f ) = και πεδίο ορισμού το σύνολο ) ) η οποία μπορεί να γραφεί f ) απλούστερα : ) ) f ) = =. η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία = με εξαίρεση το σημείο A4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι: το πλησιάζει το από αριστερά το πλησιάζει το από δεξιά 9 99 999 9999 f ) 39 399 3999 39999 4 4 4 4 πίνακας τιµών της f καθώς το κινούμενο επάνω στον άξονα πλησιάζει τον αριθμό χωρίς να γίνεται ίσο με ) οι τιμές f ) της συνάρτησης f πλησιάζουν πολύ κοντά στον αριθμό 4. Μάλιστα υπάρχει η δυνατότητα με κατάλληλη επιλογή της περιοχής γύρω από το ) που κινείται το να "φέρουμε" τις τιμές της f ) όσο κοντά θέλουμε στον αριθμό 4. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι: το όριο της f ) όταν το τείνει στο είναι το 4 και γράφουµε: im f ) = 4. Το im είναι αρχικό της Λατινικής λέξης imes που σηµαίνει όριο). f ) Γενικά Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι ορισµένη τουλάχιστον) σε ένα σύνολο της µορφής α ) β) Αν οι τιµές της f πλησιάζουν όσο θέλουµε έναν αριθµό καθώς οι τιµές του πλησιάζουν µε οποιονδήποτε τρόπο τον f ) f ) αριθµό ο χωρίς να είναι ίσες µε το το όριο της f όταν το τείνει στο είναι το και γράφουµε im f ) =. ο ) τότε λέµε ότι Όταν λέµε «κοντά» στο ή «τείνει» στο για το ο- ποίο τα δ ) δ ) για κατάλληλο δ >. δ δ 38
παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f µε τύπο f ) = η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισµού το σύνολο [) ) και µπορεί να γραφεί / f ) = f ) = = = =. ) ) καθώς το κινείται πάνω στον άξονα προσεγγίζοντας τον αριθµό οι τιµές f ) της συνάρτησης f πλησιάζουν πολύ κοντά στον αριθµό /. Σχόλια λέµε ότι im f ) = Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης στο θα πρέπει αυτή να ορίζεται κοντά στο δηλαδή να ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής α ) β) ή α ) ή β) Ας θεωρήσουµε τις συναρτήσεις των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται παρακάτω και για τις οποίες ισχύει im f ) = f ) f ) f ) f ) f ) =f ) f ) α ) β ) γ ) το π.ο Α f το π.ο Α f το π.ο Α f im f ) = f ) im f ) = im f ) = f ) Παρατηρούμε ότι: f το ) = δεν ορίζεται Το µπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισµού της συνάρτησης σχ. α) και γ) ) ή να µην ανήκει σ αυτό σχ.β) ). Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο η τιµή f ) µπορεί να είναι ίση µε το όριό της στο αν υπάρχει σχ. γ) ) ή µπορεί να είναι διαφορετική από αυτό σχ α) ). 39
Πλευρικά όρια συνάρτησης στο Έστω η συνάρτηση f µε τύπο f ) = < = >. Θέλουμε να μελετήσουμε τις τιμές της συνάρτησης f καθώς οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής πλησιάζουν στο. Ας θεωρήσουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών. το πλησιάζει το από αριστερά το πλησιάζει το από δεξιά - - - f) - - - ; Από τον παραπάνω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης παρατηρούμε ότι: Καθώς οι τιμές του πλησιάζουν τον αριθμό από αριστερά < ) οι τιμές της f ) πλησιάζουν όσο θέλουμε τον αριθμό. Καθώς οι τιμές του πλησιάζουν τον αριθμό από δεξιά > ) οι τιμές της f ) πλησιάζουν όσο θέλουμε τον αριθμό. Στην περίπτωση αυτή η "οριακή" τιμή της f όταν το πλησιάζει το είναι διαφορετική ανάλογα με το αν η προσέγγιση του γίνεται από αριστερά < ) ή από δεξιά > ). Βλέπουμε λοιπόν ότι υπάρχει ανάγκη να ορίσουμε "πλευρικά" όπως λέμε όρια για την f όταν το τείνει στο οπότε για τη συνάρτηση f του παραδείγματος έχουμε Για παράδειγμα im f ) = και im f ) =. < Έστω η συνάρτηση f ) = 5 > της οποίας η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ημιευθείες του διπλανού σχήματος παρατηρούμε ότι: όταν το προσεγγίζει το από αριστερά < ) τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον αριθμό. γράφουμε: im f ) =. όταν το προσεγγίζει το από δεξιά > ) τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον αριθμό 4 γράφουμε: im f ) = 4 4 f) f) 4
Γενικά: Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό καθώς το προσεγγίζει το από μικρότερες τιμές < ) τότε γράφουμε : im f ) = λέμε ότι : το όριο της f ) όταν το τείνει στο από τα αριστερά είναι Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό καθώς το προσεγγίζει το από μεγαλύτερες τιμές > ) τότε γράφουμε : im f ) = λέμε ότι το όριο της f ) όταν το τείνει στο από τα δεξιά είναι. Από τους προηγούμενους ορισμούς είναι φανερό ότι για να αναζητήσουμε το αριστερό πλευρικό όριο μιας συνάρτησης f στο θα πρέπει αυτή να ορίζεται τουλάχιστον σε ένα διάστημα της μορφής α ) ενώ για να αναζητήσουμε το δεξιό πλευρικό όριο της f στο θα πρέπει αυτή να ορίζεται τουλάχιστον σε ένα διάστημα της μορφής β). Έστω τώρα μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη τουλάχιστον) σε ένα σύνολο της μορφής α ) β ). Από τους ορισμούς που δόθηκαν προκύπτει ότι : im f ) = αν και μόνο αν im f ) = im f ) = Για παράδειγμα < η συνάρτηση f ) = έχει όριο στο = τον αριθμό αφού όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα για < im f ) = im = = και για > im f ) = im ) =. άρα im f ) = = 4
για παράδειγμα η συνάρτηση f ) = δεν έχει όριο στο = αφού: για < είναι f ) = = οπότε im f ) = ενώ για > είναι f ) = = οπότε im f ) = έτσι im f ) im f ) δεν υπάρχει το όριο της f στο = f)= = f) Σχόλια. Αποδεικνύεται ότι αν υπάρχει το όριο μιας συνάρτησης f στο τότε καθορίζεται μονοσήμαντα είναι μοναδικό ) ß είναι ανεξάρτητο από τα άκρα α β των διαστημάτων α ) και β) στα οποία ορίζεται η f. Αυτό μας δίνει τη δυνατότητα να περιοριζόμαστε σε διαστήματα γύρω από το ) όσο μικρά θέλουμε πράγμα που πολλές φορές οδηγεί σε απλοποίηση του τύπου της συνάρτησης και διευκολύνει την εύρεση του ορίου της. για παράδειγμα Έστω ότι ζητάμε το όριο της συνάρτησης η οποία ορίζεται για {} f ) = στο = δεν είναι απαραίτητο να βρούμε τον αναλυτικό τύπο της f αλλά f ) = = ) = αν < < = αν > > περιοριζόμαστε στο υποσύνολο ) ) του πεδίου ορισμού της ) στο οποίο αυτή παίρνει τη μορφή f ) = =. επομένως όπως φαίνεται από το διπλανό σχήμα το ζητούμενο όριο είναι im f ) = =. =. Η έκφραση «για τα κοντά στο» είναι ισοδύναμη με τη φράση «για όλα τα που βρίσκονται αρκούντως κοντά στο» ή «για όλα τα που βρίσκονται σε μια περιοχή του» δηλαδή για τα δ ) δ) όπου δ > συνήθως χρησιμοποιούμε την ανισότητα < < δ όπου δ είναι ένας αρκούντως μικρός θετικός αριθμός. η ανισότητα < δηλώνει ότι ). 4
3. Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σ ένα διάστημα της μορφής α ) ενώ δεν ορίζεται σε διαστήματα της μορφής β) το θα μπορεί να προσεγγίσει το µόνο από αριστερά για < ) τότε αν υπάρχει το αριστερό πλευρικό όριο της f ορίζουμε im f ) = im f ). Για παράδειγμα im = im = = 4. Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σ ένα διάστημα της μορφής β ) ενώ δεν ορίζεται σε διαστήματα της μορφής α ) το μπορεί να προσεγγίσει το μόνο από δεξιά για > ) τότε αν υπάρχει το δεξιό πλευρικό όριο της f ορίζουμε im f ) = im f ). για παράδειγμα im im = = = 5. Στη συνέχεια για να απλοποιήσουµε τις εκφράσεις µας όταν λέµε ότι η f έχει κοντά στο µια ιδιότητα θα εννοούµε ότι υπάρχει σύνολο της µορφής α ) β) τέτοιο ώστε η f να έ- χει την ιδιότητα αυτή για κάθε του πεδίου ορισµού της µε α ) β). Θα αναφέρουμε τα όρια στο δύο βασικών συναρτήσεων της σταθερής f )= c για όλα τα και της ταυτοτικής f ) = για όλα τα. Τα όρια αυτά μαζί με τις ιδιότητες των ορίων που θα δούμε στη συνέχεια είναι χρήσιμα στον υπολογισμό ορίων διάφορων συναρτήσεων. im c= c για κάθε A =c = και im = για κάθε Από τον ορισμό προκύπτουν ότι: 43
im f ) = im f h) = h im f ) = im f ) ) =. Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα τότε λάθος εί- 4 ναι : Α. Γ. im f ) = 4 B. im f ) = im f ) =. f ) = E. f ) = 4. Για τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο διπλανό σχήμα ισχύει Α. Γ. im f ) = 6 B. 4 im f ) im f ) 4 -. υπάρχει το E. 4 4 im f ) 4 im f ) = im f ) 4 - im f ) = 8 4-8 6 4 παράδειγμα Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση συνάρτησης f. Να βρείτε αν υπάρχουν τα όρια i ) im f ) ii) im f ) iii) im f ) iv) im f ) v) im f ) vi) im f ) 3 - - δ δ 44