ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος"

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Δ δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ

3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής Β/θμιας Εκπαίδευσης Καθηγητής Β/θμιας Εκπαίδευσης Καθηγητής Β/θμιας Εκπαίδευσης Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής Β/θμιας Εκπαίδευσης ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Θωμαΐδης Ιωάννης Καθηγητής Β/θμιας Εκπαίδευσης OMAΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Πολύζος Γεώργιος ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ Αδαμόπουλος Λεωνίδας Επίτιμος Σύμβουλος του ΠΙ Δακτυλογράφηση: Σχήματα: Γαρδέρη Ρόζα Μπούτσικας Μιχάλης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επανέκδοση του παρόντος βιβλίου πραγματοποιήθηκε από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφαντος» μέσω ψηφιακής μακέτας, η οποία δημιουργήθηκε με χρηματοδότηση από το ΕΣΠΑ / ΕΠ «Εκπαίδευση & Διά Βίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ» Οι διορθώσεις πραγματοποιήθηκαν κατόπιν έγκρισης του ΔΣ του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής

4 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσης Μέτης Στέφανος Καθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσης Μπρουχούτας Κων/νος Καθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσης Παπασταυρίδης Σταύρος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσης Η συγγραφή και η επιστηµονική επιµέλεια του βιβλίου πραγµατοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

5

6 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας περιλαμβάνει την ύλη των Μαθηματικών, όπως προβλέπεται από το πρόγραμμα σπουδών της Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ τάξης του Ενιαίου Λυκείου Το βιβλίο αυτό προήλθε από αναμόρφωση του βιβλίου των Μαθηματικών της ης και της 4ης δέσμης της Γ τάξης του Γενικού Λυκείου και αποτελείται από δύο μέρη Το πρώτο μέρος, που φέρει τον τίτλο ΑΛΓΕΒΡΑ, αποτελείται από δυο κεφάλαια Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στη Θεωρία των Πινάκων, η οποία μεταξύ άλλων είναι ένα εργαλείο για τη μελέτη των Γεωμετρικών Μετασχηματισμών και των Γραμμικών Συστημάτων, τα οποία μελετώνται στο ίδιο κεφάλαιο Το δεύτερο κεφάλαιο εισάγει στους Μιγαδικούς Αριθμούς, οι οποίοι είναι προέκταση των Πραγματικών Αριθμών Οι Μιγαδικοί Αριθμοί ανακαλύφθηκαν την περίοδο της Αναγέννησης στην προσπάθεια επίλυσης εξισώσεων τρίτου βαθμού Όμως, στους αιώνες που ακολούθησαν αποδείχτηκε η μεγάλη σημασία τους για πάρα πολλά προβλήματα της μαθηματικής επιστήμης και των εφαρμογών της Το κεφάλαιο αυτό έχει ληφθεί από το βιβλίο των Μαθηματικών Θετικής Κατεύθυνσης Β τάξης Ενιαίου Λυκείου των συγγραφέων: Αδαμόπουλου Λ, Βισκαδουράκη Β, Γαβαλά Δ, Πολύζου Γ και Σβέρκου Α Tο δεύτερο μέρος, που φέρει τον τίτλο ΑΝΑΛΥΣΗ, αποτελείται από τρία κεφάλαια Το πρώτο κεφάλαιο σηματοδοτεί ένα νέο ξεκίνημα Είναι το πέρασμα από τις πεπερασμένες πράξεις στις «άπειρες διαδικασίες» Τα σπέρματα της έννοιας του ορίου υπάρχουν ασφαλώς με πολύ σαφή και συγκεκριμένο τρόπο στα γραπτά του Αρχιμήδη Η ανάπτυξη, όμως, αυτής της έννοιας έγινε στα χρόνια της Αναγέννησης και έκτοτε κατέχει κεντρική θέση στον κόσμο των μαθηματικών εννοιών Κατ αρχάς στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται βασικές και ήδη γνωστές στους μαθητές έννοιες των συναρτήσεων, καθώς και μερικές ακόμη βασικές έννοιες της Ανάλυσης Στη συνέχεια εισάγεται η έννοια του ορίου στο R, η έννοια του ορίου στο + και στο και δίνονται οι πιο χαρακτηριστικές ιδιότητές του Τέλος, δίνεται η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης και παρουσιάζονται οι βασικότερες ιδιότητές της Στο δεύτερο και τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι έννοιες της παραγώγου και του ολοκληρώματος αντιστοίχως και γίνεται χρήση των εννοιών αυτών σε πολλές εφαρμογές Η παράγωγος και το ολοκλήρωμα είναι κατά κάποιο τρόπο οι δύο διαφορετικές όψεις του ίδιου νομίσματος Σε μια έκφρασή τους είναι η κλίση της

7 εφαπτομένης και το εμβαδόν, σε άλλη η ταχύτητα και το μήκος της τροχιάς ενός κινητού κτλ Αυτό το βιβλίο ως ανθρώπινο δημιούργημα δεν είναι τέλειο Ο μόνος τρόπος για να έχουμε στα σχολεία μας ύστερα από μερικά χρόνια ένα καλύτερο μέσο διδασκαλίας είναι ο νηφάλιος και ελεύθερος διάλογος, τον οποίο η επιστημονική παράδοση έχει καθιερώσει για αιώνες τώρα Γι αυτό το λόγο η συγγραφική ομάδα με ιδιαίτερη ικανοποίηση θα δέχεται σχόλια και παρατηρήσεις για το βιβλίο από οποιονδήποτε συνάδελφο, μαθητή ή άλλο πολίτη ενδιαφέρεται για τα ζητήματα της παιδείας Τα σχόλια και οι παρατηρήσεις μπορούν να αποστέλλονται στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Μεσογείων 96, 5 Αγία Παρασκευή Οι Συγγραφείς

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Όριο - συνέχεια συνάρτησης Πραγματικοί Αριθμοί Συναρτήσεις 4 Μονότονες συναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση 4 Όριο συνάρτησης στο R 9 5 Ιδιότητες των ορίων 47 6 Μη πεπερασμένο όριο στο R 58 7 Όριο συνάρτησης στο άπειρο 64 8 Συνέχεια συνάρτησης 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Διαφορικός Λογισμός Η έννοια της παραγώγου 9 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση 4 Κανόνες παραγώγισης 4 Ρυθμός μεταβολής 5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού 7 6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής 7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης 4 8 Κυρτότητα - σημεία καμπής συνάρτησης 54 9 Ασύμπτωτες - Κανόνες De L Hospital 6 Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης 69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Ολοκληρωτικός Λογισμός Αόριστο ολοκλήρωμα 85 Μέθοδοι ολοκλήρωσης 9 Διαφορικές εξισώσεις 4 Ορισμένο ολοκλήρωμα 8 5 Η συνάρτηση F( ) f ( t) dt α 5 6 Θεώρημα Μέσης Τιμής Ολοκληρωτικού Λογισμού 7 Έμβαδόν επιπέδου χωρίου 4 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 47 Σελ

9

10 Β ΜΕΡΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ

11

12 OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο R των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται με τα σημεία ενός άξονα, του άξονα των πραγματικών αριθμών (Σχ ) Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή α, όπου α, β β ακέραιοι με β Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με Q Είναι, δηλαδή, α β α,β ακέραιοι με β Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των ακέραιων αριθμών είναι το {,,,,,,,,}, ενώ το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι το Για τα σύνολα N, Z, Q και R ισχύει: {,,,,} e π Q R Τα σύνολα N {}, Z { }, Q {} και R { } τα συμβολίζουμε συντομότερα με N *, Z *, Q * και R * αντιστοίχως Q R

13 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πράξεις και διάταξη στο R Στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με τη βοήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση Οι ιδιότητες των πράξεων αυτών είναι γνωστές από προηγούμενες τάξεις Στη συνέχεια ορίστηκε η έννοια της διάταξης, οι σπουδαιότερες ιδιότητες της οποίας είναι οι: ) Αν α β και β γ, τότε α γ ) α β α + γ β + γ ) 4) α β αγ βγ,όταν γ > ενώ α β αγ βγ,όταν γ < Αν α β και γ δ, τότε α + γ β + δ α β και γ δ Aν και,τότε αγ βδ α, β, γ, δ > 5) Αν α,β και * ν N, τότε ισχύει η ισοδυναμία: α β α ν β ν α 6) ( αβ και β ) β 7) Αν αβ >, τότε ισχύει η ισοδυναμία α β α β Διαστήματα πραγματικών αριθμών Αν α,β R με α < β, τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α, β καθένα από τα παρακάτω σύνολα: R R R R ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα κλειστό-ανοικτό διάστημα ανοικτό-κλειστό διάστημα

14 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αν α R, τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένα από τα παρακάτω σύνολα: R R R R Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο R το συμβολίζουμε με (, + ) Τα σημεία ενός διαστήματος Δ, που είναι διαφορετικά από τα άκρα του, λέγονται εσωτερικά σημεία του Δ Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α, που συμβολίζεται με α, ορίζεται ως εξής: α, α α, αν αν α α < Γεωμετρικά, η απόλυτη τιμή του α παριστάνει την απόσταση του αριθμού α από το μηδέν, ενώ η απόλυτη τιμή του α β παριστάνει την απόσταση των αριθμών α και β Μερικές από τις βασικές ιδιότητες της απόλυτης τιμής είναι οι εξής: ) α α ) α α ) αβ α β 4) α α β β 5) α β α + β α + β 6) < δ δ < < + δ, δ >

15 4 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να γραφούν υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων τα σύνολα: i) ii) A < ΛΥΣΗ i) Είναι ( ) και < ή Άρα A (, ) [, + ) ii) Είναι < < < < < Άρα A, > > ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης Η έννοια της συνάρτησης είναι γνωστή από προηγούμενες τάξεις Στην παράγραφο αυτή υπενθυμίζουμε τον ορισμό της πραγματικής συνάρτησης με πεδίο ορισμού ένα υποσύνολο του R, επαναλαμβάνουμε γνωστές έννοιες και τέλος ορίζουμε πράξεις μεταξύ των πραγματικών συναρτήσεων

16 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y Το y ονομάζεται τιμή της f στο και συμβολίζεται με f() Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: f : A R f( ) Το γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f συνήθως συμβολίζεται με D f Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα A, λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f (A) Είναι δηλαδή: ΠΡΟΣΟΧΗ f( A) { y y f( ) για κάποιο A} Στα επόμενα και σε όλη την έκταση του βιβλίου : Θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων Όταν θα λέμε ότι Η συνάρτηση f είναι ορισμένη σ ένα σύνολο Β, θα εννοούμε ότι το Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της Στην περίπτωση αυτή με f (B) θα συμβολίζουμε το σύνολο των τιμών της f σε κάθε B Είναι δηλαδή: f( B) { y y f( ) για κάποιο B} Συντομογραφία συνάρτησης Είδαμε παραπάνω ότι για να οριστεί μια συνάρτηση f αρκεί να δοθούν δύο στοιχεία: το πεδίο ορισμού της και η τιμή της, f (), για κάθε του πεδίου ορισμού της Συνήθως, όμως, αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση f δίνοντας μόνο τον τύπο με τον οποίο εκφράζεται το f () Σε μια τέτοια περίπτωση θα θεωρούμε συμβατικά ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, για τους οποίους το f () έχει νόημα Έτσι, για παράδειγμα, αντί να λέμε δίνεται η συνάρτηση f :(, ] R,

17 6 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ με f( ) 4 θα λέμε δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( ) 4 ή, πιο απλά, δίνεται η συνάρτηση f( ) 4, ή δίνεται η συνάρτηση y 4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ποιo είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο: + i) f ( ) ii) ( ) ln f ΛΥΣΗ i) H συνάρτηση f ορίζεται, όταν και μόνο όταν + και Το τριώνυμο όμως + έχει ρίζες τους αριθμούς και Έτσι, η ανίσωση + αληθεύει, όταν και μόνο όταν ή Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A (, ) (,] [, + ) ii) Η συνάρτηση f ορίζεται, όταν και μόνο όταν ln Είναι όμως ln ln ln ln e < e Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α (, e] Γραφική παράσταση συνάρτησης Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο Το σύνολο των σημείων Μ(, y) για τα οποία ισχύει y f (), δηλαδή το σύνολο των σημείων Μ(, f()), A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται

18 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 συνήθως με C f Η εξίσωση, λοιπόν, y f () επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της C f Επομένως, η y f () είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της f Επειδή κάθε A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο y R, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ίδια τετμημένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της f το πολύ ένα κοινό σημείο (Σχ 7α) Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης (Σχ 7β) Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f, τότε: α) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C f β) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f (A) των τεταγμένων των σημείων της C f γ) Η τιμή της f στο A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας και της C f (Σχ 8) Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C f, μιας συνάρτησης f μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f

19 8 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η γραφική παράστασης της συνάρτησης f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της f, γιατί αποτελείται από τα σημεία Μ (, f ()) που είναι συμμετρικά των Μ(, f ()), ως προς τον άξονα (Σχ 9) β) Η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τα τμήματα της C f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C f που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν (Σχ ) Μερικές βασικές συναρτήσεις Στην παράγραφο αυτή δίνουμε τις γραφικές παραστάσεις μερικών βασικών συναρτήσεων, τις οποίες γνωρίσαμε σε προηγούμενες τάξεις Η πολυωνυμική συνάρτηση f ( ) α + β Η πολυωνυμική συνάρτηση f ( ) α, α

20 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 Η πολυωνυμική συνάρτηση f ( ) α, α α Η ρητή συνάρτηση f( ), α Οι συναρτήσεις f( ), g ( ), < Επειδή g ( ), κλάδους Ο ένας είναι η γραφική παράσταση της y ως προς τον άξονα y y, η γραφική παράσταση της y αποτελείται απο δύο και ο άλλος η συμμετρική της

21 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Οι τριγωνικές συναρτήσεις: f() ημ, f() συν, f() εφ Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις f () ημ και f () συν είναι περιοδικές με περίοδο Τ π, ενώ η συνάρτηση f ( ) εφ είναι περιοδική με περίοδο Τ π Η εκθετική συνάρτηση f() α, <

22 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Υπενθυμίζουμε ότι: αν α >, τότε: α < < ενώ αν < α <, τότε: < > Η λογαριθμική συνάρτηση f() log α, < α Υπενθυμίζουμε ότι: y ) log α y 4) log α ( ) log α + log ) log α α log και 5) log α log α log ) log α α και log α 6) log α log 7) αν α >, τότε: log < log < ενώ αν < α <, τότε: log α < log α > 8) α e lnα, αφού α e lnα Οι παραπάνω τύποι ισχύουν με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων μπορούμε να σχεδιάσουμε τις γραφικές παραστάσεις ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων, όπως στην παρακάτω εφαρμογή

23 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να παραστήσετε γραφικά κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις: i) f ( ), ii) ( ), iii) h() ΛΥΣΗ i) Αρχικά παριστάνουμε γραφικά τη συνάρτηση φ() και έπειτα την f ( ) φ( ) ii) Αρχικά παριστάνουμε γραφικά τη συνάρτηση φ ( ) και έπειτα την ( iii) Επειδή h() g( ), η γραφική παράσταση της h προκύπτει, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της g κατά μία μονάδα προς τα δεξιά Ισότητα συναρτήσεων Έστω οι συναρτήσεις: f( ) + + και g()

24 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παρατηρούμε ότι: οι συναρτήσεις f και g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο A R και για κάθε A ισχύει f() g(), αφού + ( ) f( ) g( ) Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες Γενικά: OΡΙΣΜΟΣ Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει f() g() Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε f g Έστω τώρα f, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντιστοίχως και Γ ένα υποσύνολο των Α και Β Αν για κάθε Γ ισχύει f() g(), τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο σύνολο Γ (Σχ ) Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις f( ) και g + ( ), που έχουν πεδία ορισμού τα σύνολα A R {} και B R {} αντιστοίχως, είναι ίσες στο σύνολο Γ R {,}, αφού για κάθε Γ ισχύει f() g() + Πράξεις με συναρτήσεις Έστω οι συναρτήσεις f( ), g ( ) και οι φ ( ) +, φ ( ), φ ( ), φ ( ) 4 Παρατηρούμε ότι: α) Το πεδίο ορισμού των φ, φ και φ είναι το σύνολο [,], που είναι η τομή των πεδίων ορισμού A (, ] και B [, + ) των f, g, ενώ το πεδίο ορισμού της φ 4 είναι το

25 4 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σύνολο (,], που είναι η τομή των Α, Β αν εξαιρέσουμε τα για τα οποία ισχύει g(), και β) φ () f() + g(), φ () f() g(), φ () f() g(), ( f 4 ) ( ) φ g ( ) Τις συναρτήσεις φ, φ, φ και φ 4 τις λέμε άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και πηλίκο αντιστοίχως των f, g Γενικά: δύο συνα- Ορίζουμε ως άθροισμα f + g, διαφορά f g, γινόμενο fg και πηλίκο ρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους ( f + g)() f() + g() ( f g)() f() g() ( fg)() f()g() f g f g ( ) f( ) g ( ) Το πεδίο ορισμού των f + g, f g και fg είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και f Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της είναι το A g B, εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g(), δηλαδή το σύνολο { A και B, με g ( ) } Σύνθεση συναρτήσεων Έστω η συνάρτηση φ( ) Η τιμή της φ στο μπορεί να οριστεί σε δύο φάσεις ως εξής: α) Στο R αντιστοιχίζουμε τον αριθμό y και στη συνέχεια β) στο y αντιστοιχίζουμε τον αριθμό y, εφόσον y Στη διαδικασία αυτή εμφανίζονται δύο συναρτήσεις: α) η f(), που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A R (α φάση) και

26 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 β) η g( y) y, που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο B [, + ) (β φάση) Έτσι, η τιμή της φ στο γράφεται τελικά φ() g( f()) Η συνάρτηση φ λέγεται σύνθεση της f με την g και συμβολίζεται με g f Το πεδίο ορισμού της φ δεν είναι ολόκληρο το πεδίο ορισμού Α της f, αλλά περιορίζεται στα A για τα οποία η τιμή f ( ) ανήκει στο πεδίο ορισμού Β της g, δηλαδή είναι το σύνολο A [, + ) Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με g f, τη συνάρτηση με τύπο ( g f)( ) g( f( )) Το πεδίο ορισμού της g f αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της f για τα οποία το f() ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο A { A f ( ) B } Είναι φανερό ότι η g f ορίζεται αν A, δηλαδή αν f( A) B ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου, θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που οι συνθέσεις τους έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω οι συναρτήσεις f() ln και g( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις: i) g f ii) f g

27 6 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΣΗ Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το D f (, + ), ενώ η g το D g [, + ) i) Για να ορίζεται η παράσταση g( f()) πρέπει: και f( ) D g () D f ή, ισοδύναμα, > > > f( ) ln, δηλαδή πρέπει Επομένως, ορίζεται η g f και είναι ( g f)( ) g( f( )) g(ln ) ln, για κάθε [ + ) ii) Για να ορίζεται η παράσταση f(g()) πρέπει: και g ( ) D f D g ή, ισοδύναμα, g ( ) > >, > > δηλαδή πρέπει > Επομένως, ορίζεται η f ΣΧΟΛΙΑ g και είναι ( f g)( ) f( g ( )) f( ) ln, για κάθε ( + ) Στην παραπάνω εφαρμογή παρατηρούμε ότι g f f g Γενικά, αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g f και f g, τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h ( g f ), τότε ορίζεται και η ( h g) f και ισχύει h ( g f) ( h g) f Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g και h και τη συμβολίζουμε με h g f Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις

28 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων; + i) f( ), ii) f( ) + + iii) f( ) iv) f() ln( e ) Για ποιες τιμές του R η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα, όταν: i) f() 4 +, ii) f( ) +, iii) f ( ) e Για ποιες τιμές του R η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν: i) f() + + και g() + ii) f() + και g() + 4 Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν ότι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις συναρτήσεις: Α(),89 + 7,64 (για τους άνδρες) και Γ(),75 + 7,48 (για τις γυναίκες) όπου σε εκατοστά, το μήκος του βραχίονα Σε μία ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό από βραχίονα μήκους,45 m α) Αν προέρχεται από άνδρα ποιο ήταν το ύψος του; β) Αν προέρχεται από γυναίκα ποιο ήταν το ύψος της; 5 Σύρμα μήκους cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη cm και ( ) cm Με το πρώτο κομμάτι σχηματίζουμε τετράγωνο και με το δεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του 6 Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:

29 8 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ i) f( ) +, ii) f( ),, iii) f( ) + < iv) f( ) ln +, Και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο των τιμών της f σε καθεμιά περίπτωση 7 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g Στις περιπτώσεις που είναι f g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει f() g() i) f( ) και g ( ) ( ) ii) f( ) + και g ( ) iii) f( ) και g ( ) + 8 Δίνονται οι συναρτήσεις f( ) + και g ( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις f + g, f g, fg και f g 9 Ομοίως για τις συναρτήσεις f( ) + και g ( ) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση g f, αν i) f() και g ( ), ii) f() ημ και g ( ) π iii) f ( ) και g() εφ 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f() + και g ( ) Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις g f και f g Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων, αν

30 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 i) f() ημ( + ), ii) f() ημ + iii) f() ln(e ), iv) f() ημ () B ΟΜΑΔΑΣ Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι: Ένα κουτί κυλινδρικού σχήματος έχει ακτίνα βάσης cm και όγκο 68 cm Το υλικό των βάσεων κοστίζει 4 λεπτά του ευρώ ανά cm, ενώ το υλικό της κυλινδρικής επιφάνειας,5 λεπτά του ευρώ ανά cm Να εκφράσετε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του Πόσο κοστίζει ένα κουτί με ακτίνα βάσης 5 cm; Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ, ΑΓ και ΓΔ Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του ΑΜ, όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ 4 Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους cm είναι εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ βάσης ΒΓ cm και ύψους ΑΔ 5 cm Να εκφράσετε το εμβαδό Ε και την περίμετρο Ρ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του Α 5 Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: + + ημ + ημ i) f( ), ii) f ( ), [, π]

31 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Από τη γραφική παράσταση της f να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της σε καθεμιά περίπτωση 6 Να βρείτε συνάρτηση f τέτοια, ώστε να ισχύει: i) ( f g)( ) + +, για κάθε R, αν g() + ii) ( f g)( ) +, για κάθε R, αν g() iii) συν, για κάθε R, αν g ( ) 7 Δίνονται οι συναρτήσεις f() + και g() α + Για ποια τιμή του a R ισχύει f g g f 8 Δίνονται οι συναρτήσεις: α+ β f ( ), με β α και g ( ) + α Να αποδείξετε ότι α) f( f()), για κάθε R {} α και β) g(g()), για κάθε [,] 9 Οι πολεοδόμοι μιας πόλης εκτιμούν ότι, όταν ο πληθυσμός Ρ της πόλης είναι εκατοντάδες χιλιάδες άτομα, θα υπάρχουν στην πόλη N ( + ) χιλιάδες αυτοκίνητα Έρευνες δείχνουν ότι σε t έτη από σήμερα ο πληθυσμός της πόλης θα είναι t + 4 εκατοντάδες χιλιάδες άτομα i) Να εκφράσετε τον αριθμό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συνάρτηση του t ii) Πότε θα υπάρχουν στην πόλη χιλιάδες αυτοκίνητα; ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - AΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως αύξουσα συνάρτηση, γνησίως φθίνουσα συνάρτηση είναι γνωστές από προηγούμενη τάξη Συγκεκριμένα, μάθαμε ότι:

32 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f λέγεται () : γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με < ισχύει: f( ) < f( ) (Σχ α) γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με < ισχύει: f( ) > f( ) (Σχ β) Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f Δ (αντιστοίχως f Δ) Για παράδειγμα, η συνάρτηση f() : είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), αφού για < έχουμε <, δηλαδή f( ) < f( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ], αφού για < έχουμε <, οπότε <, δηλαδή f( ) > f( ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της f είναι ένα διάστημα Δ και η f είναι γνησίως μονότονη σ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η f είναι γνησίως μονότονη () Μια συνάρτηση f λέγεται, απλώς: αύξουσα σ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε, Δ με < ισχύει f ) f ( ) ( φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε, Δ με < ισχύει f ) f ( ) (

33 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ακρότατα συνάρτησης Οι έννοιες μέγιστο, ελάχιστο συνάρτησης είναι και αυτές γνωστές από προηγούμενες τάξεις Συγκεκριμένα μάθαμε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το f( ), όταν f ( ) f( ) για κάθε A (Σχ 7α) Παρουσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το f( ), όταν f( ) f( ) για κάθε A (Σχ 7β) Για παράδειγμα: Η συνάρτηση f() + (Σχ 8α) παρουσιάζει μέγιστο στο, το f(), αφού f ( ) f( ) για κάθε R Η συνάρτηση f( ) (Σχ 8β) παρουσιάζει ελάχιστο στο, το f(), αφού ( ) f () για κάθε R

34 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η συνάρτηση f() ημ (Σχ 9α) παρουσιάζει μέγιστο, το y, σε καθένα από τα σημεία kπ +, k και ελάχιστο, το y, σε καθένα από τα σημεία π π kπ, k, αφού ημ για κάθε R Η συνάρτηση f() (Σχ 9β) δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε ελάχιστο, αφού είναι γνησίως αύξουσα α β Όπως είδαμε και στα προηγούμενα παραδείγματα, άλλες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται ολικά ακρότατα της f Συνάρτηση Έστω η συνάρτηση f( ) Παρατηρούμε ότι για οποιαδήποτε, ισχύει η συνεπαγωγή: Αν, τότε f ( ) f( ), που σημαίνει ότι: Τα διαφορετικά στοιχεία, D f έχουν πάντοτε διαφορετικές εικόνες Λόγω της τελευταίας ιδιότητας η συνάρτηση f( ) λέγεται συνάρτηση (ένα προς ένα) Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f : A R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f ( ) f( )

35 4 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι: Μια συνάρτηση f : A R είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν f( ) f( ), τότε Έτσι για παράδειγμα: Η συνάρτηση f() α + β, με α είναι συνάρτηση (Σχ α, β) αφού, αν υποθέσουμε ότι f( ) f( ), τότε έχουμε διαδοχικά: α + β α + β α α Η συνάρτηση f() β δεν είναι συνάρτηση (Σχ γ), αφού f( ) f( ) β για οποιαδήποτε, R Η συνάρτηση f() (Σχ ) δεν είναι συνάρτηση, αφού f( ) f() αν και είναι ΣΧΟΛΙΑ Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f() y έχει ακριβώς μια λύση ως προς Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο (Σχ α) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση

36 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 Α Έτσι, οι συναρτήσεις f () α + β, α, f () α, α, f () α, < α και f 4 () log α, < α, είναι συναρτήσεις Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες, όπως για παράδειγμα η συνάρτηση g( ),, > (Σχ 4) Αντίστροφη συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση f : A R Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι, τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, f(a), της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει f() y Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g: f( A) R με την οποία κάθε y f( A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό A για το οποίο ισχύει f() y Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f(a) της f, έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και ισχύει η ισοδυναμία: f( ) y g( y)

37 6 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αυτό σημαίνει ότι, αν η f αντιστοιχίζει το στο y, τότε η g αντιστοιχίζει το y στο και αντιστρόφως Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της f Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με f Επομένως έχουμε οπότε f( ) y f ( y) f ( f ()), A και f ( f (y)) y, y f( A) Για παράδειγμα, έστω η εκθετική συνάρτηση f() α Όπως είναι γνωστό η συνάρτηση αυτή είναι με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το (, + ) Επομένως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f της f Η συνάρτηση αυτή, σύμφωνα με όσα είπαμε προηγουμένως, έχει πεδίο ορισμού το (, + ) έχει σύνολο τιμών το R και αντιστοιχίζει κάθε y (, + ) στο μονάδικό R για το οποίο ισχύει α y Επειδή όμως α y log y θα είναι f (y) log α y Επομένως, η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης f() α, < α, είναι η λογαριθμική συνάρτηση g() log α Συνεπώς log α α, R και α log α, (, + ) Ας πάρουμε τώρα μια συνάρτηση f και ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις C και C των f και της f στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχ 7) Επειδή f( ) y f ( y), αν ένα σημείο Μ(α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση C της f, τότε το σημείο Μ (β,α) θα ανήκει στη γραφική παράσταση C της f και α

38 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 αντιστρόφως Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy Επομένως: Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy Έτσι, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() α και g() log α, < α, είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση f() e + είναι και να βρεθεί η αντίστροφή της ΛΥΣΗ Έστω, R με f( ) f( ) Θα δείξουμε ότι Πράγματι έχουμε διαδοχικά: f( ) f( ) e e + + e e e e Για να βρούμε την αντίστροφη της f θέτουμε y f() και λύνουμε ως προς Έχουμε λοιπόν: f( ) y e + y e y y e y ln, y >

39 8 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επομένως, f y ln +, y > y + ln, y > ( y y ) + ln, y >, οπότε η αντίστροφη της f είναι η συνάρτηση f ( ) + ln, > ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες i) f( ) ii) f() ln( ) iii) f() e + iv) f() ( ), Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι και για καθεμία απ αυτές να βρείτε την αντίστροφή της i) f() v) f() ln( ) ii) f() + vi) f() e + iii) f() ( )( ) + iv) f( ) e vii) f( ) e + viii) f( ) Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, φ και ψ

40 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις f, g, φ, ψ έχουν αντίστροφη και για καθεμία απ αυτές να χαράξετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της 4 Να δείξετε ότι: i) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ ii) Αν δύο συναρτήσεις f, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση f + g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ iii) Αν δύο συναρτήσεις f, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f ( ) και g ( ) για κάθε Δ, τότε η συνάρτηση fg είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Ανάλογα συμπεράσματα διατυπώνονται, αν οι f, g είναι γνησίως φθίνουσες σε ένα διάστημα Δ 4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η έννοια του ορίου γεννήθηκε στην προσπάθεια των μαθηματικών να απαντήσουν σε ερωτήματα όπως: Τι ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού; Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μιας καμπύλης σε ένα σημείο της; Τι ονομάζουμε εμβαδό ενός μικτόγραμμου χωρίου; Στις παραγράφους που ακολουθούν, αρχικά προσεγγίζουμε την έννοια του ορίου διαισθητικά, στη συνέχεια διατυπώνουμε τον αυστηρό μαθηματικό ορισμό του ορίου και μερικές βασικές ιδιότητές του και τέλος, εισάγουμε την έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης

41 4 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του ορίου Έστω η συνάρτηση f ( ) Η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D R {} και γράφεται f ( )( + ) f ( ) +, Επομένως, η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία y + με εξαίρεση το σημείο A(,) (Σχ 8) Στο σχήμα αυτό, παρατηρούμε ότι: Καθώς το, κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα, προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό, το f(), κινούμενο πάνω στον άξονα y y, προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό Και μάλιστα, οι τιμές f() είναι τόσο κοντά στο όσο θέλουμε, για όλα τα που είναι αρκούντως κοντά στο Στην περίπτωση αυτή γράφουμε lim f ( ) και διαβάζουμε το όριο της f(), όταν το τείνει στο, είναι Γενικά: Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό l, καθώς το προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό, τότε γράφουμε lim f ( ) και διαβάζουμε το όριο της f(), όταν το τείνει στο, είναι l ή το όριο της f() στο είναι l

42 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4 ΣΧΟΛΙΟ Από τα παραπάνω σχήματα παρατηρούμε ότι: Για να αναζητήσουμε το όριο της f στο, πρέπει η f να ορίζεται όσο θέλουμε κοντά στο, δηλαδή η f να είναι ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής ( β α, ) (, ) ή α, ) ή (, β) ( Το μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Σχ 9α, 9β) ή να μην ανήκει σ αυτό (Σχ 9γ) Η τιμή της f στο, όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο (Σχ 9α) ή διαφορετική από αυτό (Σχ 9β) Έστω, τώρα, η συνάρτηση +, < f ( ), + 5, > της οποίας η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ημιευθείες του διπλανού σχήματος Παρατηρούμε ότι: Όταν το προσεγγίζει το από αριστερά ( < ), τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό Στην περίπτωση αυτή γράφουμε: lim f ( ) Όταν το προσεγγίζει το από δεξιά ( > ), τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό 4 Στην περίπτωση αυτή γράφουμε: Γενικά: lim f ( ) 4 + Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό l, καθώς το προσεγγίζει το από μικρότερες τιμές ( < ), τότε γράφουμε: lim f ( ) και διαβάζουμε: το όριο της f(), όταν το τείνει στο από τα αριστερά, είναι l Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό l, καθώς το προσεγγίζει το από μεγαλύτερες τιμές ( > ), τότε γράφουμε: lim + f ( )

43 4 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ και διαβάζουμε: το όριο της f(), όταν το τείνει στο από τα δεξιά, είναι l Τους αριθμούς lim f ( ) και lim f ( ) τους λέμε πλευρικά όρια της f στο + και συγκεκριμένα το l αριστερό όριο της f στο, ενώ το l δεξιό όριο της f στο Από τα παραπάνω σχήματα φαίνεται ότι: lim f ( ), αν και μόνο αν lim f ( ) lim f ( ) + Για παράδειγμα, η συνάρτηση f ( ) (Σχ 4) δεν έχει όριο στο, αφού: για < είναι f ( ), οπότε lim f ( ), ενώ για > είναι f ( ), οπότε lim f ( ), και έτσι + lim f ( ) lim f ( ) + Ορισμός του ορίου στο R Στα προηγούμενα γνωρίσαμε την έννοια του ορίου διαισθητικά Είδαμε ότι, όταν γράφουμε lim f ( ), εννοούμε ότι οι τιμές f() βρίσκονται όσο θέλουμε κοντά στο l, για όλα τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο Για να διατυπώσουμε, τώρα, τα παραπάνω σε μαθηματική γλώσσα εργαζόμαστε ως εξής:

44 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4 Στη θέση της φράσης οι τιμές f ( ) βρίσκονται οσοδήποτε θέλουμε κοντά στο l χρησιμοποιούμε την ανισότητα f ( ) < ε, () όπου ε οποιοσδήποτε θετικός αριθμός Στη θέση της φράσης για όλα τα που βρίσκονται αρκούντως κοντά στο χρησιμοποιούμε την ανισότητα < < δ, () όπου δ είναι ένας αρκούντως μικρός θετικός αριθμός (Η ανισότητα < δηλώνει ότι ) Για να συνδέσουμε τις δυο αυτές φράσεις σύμφωνα με τον διαισθητικό ορισμό λέμε ότι για οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε μπορούμε να βρούμε έναν θετικό αριθμό δ τέτοιον ώστε, αν το ικανοποιεί τη (), τότε το f() θα ικανοποιεί την () Έχουμε δηλαδή τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ* Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ( α, ) (, β) Θα λέμε ότι η f έχει στο όριο l R, όταν για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιος, ώστε για κάθε α, ) (, ), με < < δ, να ισχύει: ( β f ( ) < ε Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο, τότε αυτό είναι μοναδικό και συμβολίζεται, όπως είδαμε, με lim f ( ) Στη συνέχεια, όταν γράφουμε lim f ( ) l, θα εννοούμε ότι υπάρχει το όριο της f στο και είναι ίσο με l Συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες: (α) (β) lim lim f ( ) f ( ) lim ( f ( ) ) lim f ( + h) h Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (, β) και την ανισότητα < < δ την αντικαταστήσουμε με την < < + δ, τότε έχουμε τον ορισμό του lim f ( ), ενώ αν η f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (α, ) και +

45 44 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ την ανισότητα < < δ την αντικαταστήσουμε με την δ < <, τότε έχουμε τον ορισμό του lim f ( ) Αποδεικνύεται ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ( α, ) (, β), τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim f ( ) lim f ( ) lim + f ( ) Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (, β), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α, ), τότε ορίζουμε: Για παράδειγμα, lim f ( ) lim f ( ) + lim lim + (Σχ 44) Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (α, ), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (, β), τότε ορίζουμε: Για παράδειγμα, lim f ( ) lim f ( ) lim lim (Σχ 45) ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικνύεται ότι το lim f ( ) είναι ανεξάρτητο των άκρων α, β των διαστημάτων (α, ) και (, β) στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η f Έτσι για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε το όριο της συνάρτησης f ( ) στο, περιοριζόμαστε στο υποσύνολο (, ) (,) του πεδίου ορι- σμού της, στο οποίο αυτή παίρνει τη μορφή ( ) f ( ) Επομένως, όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα, το ζητούμενο όριο είναι lim f ( )

46 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 45 ΣΥΜΒΑΣΗ Στη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο μια ιδιότητα Ρ θα εννοούμε ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες: α) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ( α, ) (, β) και στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ β) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, ), έχει σ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (, β) γ) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (, β), έχει σ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (α, ) ημ Για παράδειγμα, η συνάρτηση f ( ) είναι θετική κοντά στο, αφού ορίζεται στο σύνολο π π,, και είναι θετική σε αυτό Όριο ταυτοτικής - σταθερής συνάρτησης Με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι: lim lim c c Η πρώτη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης f() (Σχ 47α) στο είναι ίσο με την τιμή της στο, ενώ η δεύτερη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της σταθερής συνάρτησης g() c (Σχ 47β) στο είναι ίσο με c

47 46 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε το lim f( ) και το f( ), εφόσον υπάρχουν, όταν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι: Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη βοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το lim f ( ), όταν:, i) f ( ), ii) f ( ),, >, iii) f ( ), iv) f ( ) +, +, > Ομοίως όταν: + i) f ( ), ή ii) ( + ) f ( ),

48 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 47 4 Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο [, + ) και έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Να εξετάσετε ποιοι από τους επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς i) lim f ( ) ii) lim f ( ) + iii) lim f ( ) iv) lim f ( ) v) lim f ( ) 4 vi) lim f ( ) 4 5 Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο α, ) (, ), με lim f ( ) λ 6 και + ( β lim f ( ) λ Να βρείτε τις τιμές του λ R, για τις οποίες υπάρχει το lim f ( ) 5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όριο και διάταξη Για το όριο και τη διάταξη αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν lim f ( ) >, τότε f() > κοντά στο (Σχ 48α) Αν lim f ( ) <, τότε f() < κοντά στο (Σχ 48β)

49 48 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο και ισχύει f ( ) g( ) κοντά στο, τότε lim f ( ) lim g( ) Όρια και πράξεις Τα δύο βασικά όρια lim, lim c c και το θεώρημα που ακολουθεί διευκολύνουν τον υπολογισμό των ορίων ΘΕΩΡΗΜΑ Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο, τότε: lim ( f ( ) + g( )) lim f ( ) + lim g( ) lim ( κf ( )) κ lim f ( ), για κάθε σταθερά κ R lim ( f ( ) g( )) lim f ( ) lim g( ) 4 lim f ( ) f ( ) lim, εφόσον lim g( ) g( ) lim g( ) 5 lim f ( ) lim f ( ) 6 lim k f ( ) k lim f ( ), εφόσον f ( ) κοντά στο Οι ιδιότητες και του θεωρήματος ισχύουν και για περισσότερες από δυο συναρτήσεις Άμεση συνέπεια αυτού είναι: ν lim[ f ( )] lim f ( ) ν, ν *

50 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 Για παράδειγμα, ν ν lim Έστω τώρα το πολυώνυμο P() α ν ν + α ν ν + + α + α και R Σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε: ) lim ( ) ( lim α α α P ν ν ν ν lim ) lim ( ) ( lim α α α ν ν ν ν lim lim lim α α α ν ν ν ν ) ( P α α α ν ν ν ν Επομένως, ) ( ) ( lim P P Για παράδειγμα, ) 7 6 lim( + + Έστω η ρητή συνάρτηση ) ( ) ( ) ( Q P f, όπου P(), Q() πολυώνυμα του και R με Q( ) Τότε, ) ( ) ( ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( lim Q P Q P Q P f Επομένως, ) ( ) ( ) ( ) ( lim Q P Q P, εφόσον ) ( Q Για παράδειγμα, lim ΣΧΟΛΙΟ Όταν Q( ), τότε δεν εφαρμόζεται η ιδιότητα 4 του παραπάνω θεωρήματος Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε όπως στην εφαρμογή ii), που ακολουθεί

51 5 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: i) ] ) lim[( 9 + ii) lim + iii) lim + ΛΥΣΗ i) Έχουμε lim ) lim( ) lim ( 9 9 ] [ + + ) lim( ) lim( 9 ] [ + 9 ii) Επειδή 4) ( lim, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του πηλίκου (ιδιότητα 4) Παρατηρούμε όμως ότι για μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος Οπότε η συνάρτηση ) ( + f, για, γράφεται: ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( 6) 5 ( ) ( f Επομένως, 4 lim ) ( lim + + f iii) Για μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με + + και έτσι έχουμε: f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) (

52 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 Επομένως, lim f ( ) lim ( + ) lim( ( + ) ) + + lim Να βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο στο της συνάρτησης 4, f ( ), < ΛΥΣΗ Αν <, τότε f() 4, οπότε lim f ( ) lim( 4) 4 Αν >, τότε f ( ), οπότε lim + f ( ) lim Επομένως lim f ( ) Κριτήριο παρεμβολής Υποθέτουμε ότι κοντά στο μια συνάρτηση f εγκλωβίζεται (Σχ 5) ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις h και g Αν, καθώς το τείνει στο, οι g και h έχουν κοινό όριο l, τότε, όπως φαίνεται και στο σχήμα, η f θα έχει το ίδιο όριο l Αυτό δίνει την ιδέα του παρακάτω θεωρήματος που είναι γνωστό ως κριτήριο παρεμβολής ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω οι συναρτήσεις f, g, h Αν h( ) f ( ) g( ) κοντά στο και lim h( ) lim g(, ) τότε lim f ( )

53 5 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για παράδειγμα, lim ημ Πράγματι, για έχουμε οπότε ημ ημ, ημ Επειδή lim( ) lim, σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, έχουμε: Tριγωνομετρικά όρια lim ημ Το κριτήριο παρεμβολής είναι πολύ χρήσιμο για τον υπολογισμό ορισμένων τριγωνομετρικών ορίων Αρχικά αποδεικνύουμε ότι: ΑΠΟΔΕΙΞΗ* Για προφανώς ισχύει η ισότητα ημ <, για κάθε R (η ισότητα ισχύει μόνο όταν ) Για, π από το διπλανό σχήμα έχουμε ημ (ΜΜ ) < (ΜΑ) < (τοξμα) Άρα ημ <, για κάθε, π () π Για, είναι, π, οπότε λόγω της () έχουμε, ημ( ) < ή, ισοδύναμα, ημ < π π π Για, είναι > ημ, οπότε ημ < Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις ισχύει ημ, με την ισότητα να ισχύει μόνο για Με τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας και του κριτηρίου παρεμβολής θα αποδείξουμε ότι:

54 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 lim ημ ημ lim συν συν ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αρχικά θα αποδείξουμε ότι Πράγματι: lim ημ και lim συν () Σύμφωνα με την προηγούμενη ανισότητα έχουμε ημ, οπότε ημ Επειδή lim( ) lim, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, θα είναι lim ημ Γνωρίζουμε ότι συν ημ, οπότε Επομένως π π συν ημ, για κάθε,, lim συν lim ημ lim ημ Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι lim ημ ημ Πράγματι έχουμε lim ημ lim ημ( + h) lim(ημσυνh + συνημh) h h ημ lim συνh + συν lim ημh () h h ημ + συν ημ Ανάλογα αποδεικνύεται και ότι lim συν συν ημ α) lim συν β) lim

55 54 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ* π Αν < <, τότε από το διπλανό σχήμα προκύπτει ότι εμβ(τριγ ΟΑΜ) < εμβ(τομ ΟΑΜ) < εμβ(τριγ ΟΑΝ), οπότε έχουμε διαδοχικά: ημ < < εφ ημ < < εφ < < ημ συν ημ συν < < π π ημ( ) Αν < <, τότε < <, οπότε έχουμε συν ( ) < < και άρα ημ συν < < π π Επομένως, για κάθε,, ισχύει ημ συν < < ημ Επειδή lim συν, από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι lim β) Έχουμε συν (συν )(συν + ) lim lim (συν + ) συν lim (συν + ) ημ lim ( + συν )

56 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 55 Όριο σύνθετης συνάρτησης Με τις ιδιότητες που αναφέρουμε μέχρι τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε τα όρια απλών συναρτήσεων Αν, όμως, θέλουμε να υπολογίσουμε το lim f ( g( )), της σύνθετης συνάρτησης f g στο σημείο, τότε εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε u g() Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το u lim g( ) και Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το lim f ( u) u u Αποδεικνύεται ότι, αν g( ) u κοντά στο, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με l, δηλαδή ισχύει: lim f ( g ( )) lim f ( u) ΠΡΟΣΟΧΗ u u Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου τα όρια της μορφής lim f ( g( )) με τα οποία θα ασχοληθούμε θα είναι τέτοια, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη: g( ) u κοντά στο και γι αυτό δεν θα ελέγχεται Για παράδειγμα: α) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο π Αν θέσουμε u +, τότε lim u 4 lim ημ limημ π + 4 lim π π +, οπότε 4 4 π π + lim ημu ημ 4 π u 4 β) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο ημ lim 4

57 56 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Είναι ημ ημ Έτσι, αν θέσουμε u, τότε lim u lim, οπότε ημ ημ ημu lim lim lim u u ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε τα όρια: 5 i) lim( 4 + 5) iii) ii) lim( + ) 8 lim( + + ) iv) lim[ ( 5) ] v) lim vi) + lim + + vii) lim ( + ) viii) + + lim Έστω μια συνάρτηση f με lim f ( ) 4 Να βρείτε το lim g( ) αν: i) ( ) ( ( )) f ( ) g f 5 ii) g ( ) ( f ( )) + iii) g ( ) ( f ( ) + )( f ( ) ) Να βρείτε τα όρια 4 6 i) lim 8 iii) lim ii) iv) + lim ( + ) lim 7

58 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 57 4 Να βρείτε τα όρια i) lim ii) lim iii) lim iv) + 5 lim Να βρείτε (αν υπάρχει), το όριο της f στο αν: i) ii), f ( ) και 5, >, < f ( ) και +, 6 Να βρείτε τα όρια: i) ημ lim ii) εφ lim iii) εφ4 lim ημ iv) ημ ημ ημ5 lim v) lim vi ) lim Να βρείτε τα όρια: i) ημ lim π + συν ii) συν lim ημ iii) ημ lim ημ 8 Να βρείτε το lim f ( ), αν: i) f ( ) + για κάθε R 4 π ii) f ( ) για κάθε συν, π α + β, 9 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) Να βρείτε τις τιμές των α, β R, α + β, > για τις οποίες ισχύει lim f ( ) Β ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε τα όρια:

59 58 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ i) iii) lim 8 lim + ii) lim + ν ( ν + ) + ν Να βρείτε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρχουν i) lim ii) lim 5 5 iii) lim iv) lim Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με γ Να υπολογίσετε τα όρια: i) lim( α β), ii) lim( α β ) π θ β iii) lim π α θ π θ 4 Να βρείτε το lim f ( ), αν: f ( ) i) lim(4 f ( ) + 4 ) ii) lim 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R Στο σχήμα 54 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f κοντά στο Παρατηρούμε ότι, καθώς το κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό, οι τιμές f () αυξάνονται απεριόριστα και γίνονται μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο όριο + και γράφουμε lim f ( ) +

60 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 59 Στο σχήμα 55 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f κοντά στο Παρατηρούμε ότι, καθώς το κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό, οι τιμές f() ελαττώνονται απεριόριστα και γίνονται μικρότερες από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό M (M > ) Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο όριο και γράφουμε ΟΡΙΣΜΟΣ* lim f ( ) Έστω μια συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής α, ) (, ) Ορίζουμε ( β lim f ( ) +, όταν για κάθε Μ > υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε για κάθε ( α, ) (, β), με < < δ να ισχύει f() > Μ lim f ( ), όταν για κάθε Μ > υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε για κάθε ( α, ) (, β), με < < δ να ισχύει f() < Μ + Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν όταν και Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής α, ) (, ), ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες: ( β

61 6 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ lim f ( ) + lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) + + lim f ( ) + Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες: Αν lim f ( ) +, τότε f() > κοντά στο, ενώ αν lim f ( ), τότε f() < κοντά στο Αν lim f ( ) +, τότε lim ( f ( )), ενώ αν lim f ( ), τότε lim ( f ( )) + Αν lim f ( ) + ή, τότε lim f ( ) Αν lim f ( ) και f() > κοντά στο, τότε lim +, ενώ αν lim f ( ) f ( ) και f() < κοντά στο, τότε lim f ( ) Αν lim f ( ) + ή, τότε lim f( ) + k Αν lim f ( ) +, τότε lim f ( ) + Σύμφωνα με τις ιδιότητες αυτές έχουμε: lim και γενικά lim ν, ν N * (Σχ 57α)

62 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 lim ενώ lim και γενικά lim και γενικά lim ν, ν N, ν N (Σχ 57β) Επομένως, δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της f ( ), ν N ν+ Για τα όρια αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα: ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο αθροίσματος) Αν στο R το όριο της f είναι: α R α R + + και το όριο της g είναι: τότε το όριο της f + g είναι: + + ; ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο γινομένου) Αν στο R, το όριο της f είναι: και το όριο της g είναι: τότε το όριο της f g είναι: α> α< α> α< ; ; + + Στους πίνακες των παραπάνω θεωρημάτων, όπου υπάρχει ερωτηματικό, σημαίνει ότι το όριο (αν υπάρχει) εξαρτάται κάθε φορά από τις συναρτήσεις που παίρνουμε Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή Δηλαδή, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι: ( ) ( ) και ( ) Επειδή f g f + ( g) και f g f, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια της διαφοράς g και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι: ( ) ( ), ( ) ( ) και,

63 6 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για παράδειγμα: αν πάρουμε τις συναρτήσεις f ( ) και g( ), τότε έχουμε: lim lim f ( ), lim g( ) lim + και lim( f ( ) + g( )) lim + ενώ, αν πάρουμε τις συναρτήσεις ( ) + f και g ( ), τότε έχουμε: και lim f ( ) lim +, lim g( ) lim + lim( f ( ) + g( )) lim + + lim Ανάλογα παραδείγματα μπορούμε να δώσουμε και για τις άλλες μορφές ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Να βρεθούν τα όρια: 5+ 6 i) lim ii) + lim ( ) ΛΥΣΗ i) Επειδή lim και > κοντά στο, είναι lim + Επειδή επιπλέον είναι lim( 5+ 6), έχουμε: 5+ 6 lim lim ( ) ii) Επειδή lim( ) και ( ) > κοντά στο, είναι lim ( ) επιπλέον είναι lim( + ) 4, έχουμε + Επειδή + lim lim ( + ) ( ) ( )

64 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 + Να βρεθούν τα πλευρικά όρια της συνάρτησης f( ) στο και στη συνέχεια να εξετασθεί, αν υπάρχει το όριο της f() στο ΛΥΣΗ Επειδή lim( ) και > για >, είναι lim + + Επειδή επιπλέον lim ( + ), έχουμε + lim + + lim + ( Επειδή lim( ) και < για <, είναι lim Επειδή επιπλέον lim ( + ), έχουμε + ) + lim + lim ( + ) Παρατηρούμε ότι τα δύο πλευρικά όρια δεν είναι ίσα Επομένως δεν υπάρχει όριο της f στο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο όταν: i) iii) + 5 f ( ), 4 ii) f ( ), 4 + 4( ) f ( ), Να βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο, όταν: 4 i) f ( ), ii) iii) f ( ) +, + f ( ),

65 64 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Β ΟΜΑΔΑΣ 9 Να βρείτε (εφόσον υπάρχει) το lim Να αποδείξετε ότι: π i) Η συνάρτηση f() εφ δεν έχει όριο στο ii) Η συνάρτηση f() σφ δεν έχει όριο στο Δίνονται οι συναρτήσεις ( λ ) + f ( ) και g( ) + + μ Να βρείτε τις τιμές των λ, μ R για τις οποίες υπάρχουν στο R τα όρια lim f ( ) και lim g( ) Στη συνέχεια να υπολογίσετε τα παραπάνω όρια 4 Να βρείτε το lim f ( ), όταν: 4 i) lim + ii) f ( ) f ( ) lim + iii) lim[ f ( )( )] + 7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στα παρακάτω σχήματα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων f, g, h σε ένα διάστημα της μορφής (α, + ) Παρατηρούμε ότι καθώς το αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο,

66 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 65 το f() προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό l Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f έχει στο + όριο το l και γράφουμε το g() αυξάνεται απεριόριστα Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο + όριο το + και γράφουμε lim g( ) + το h() μειώνεται απεριόριστα Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο + όριο το και γράφουμε lim h( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ lim f ( ) l Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης f στο +, πρέπει η f να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (α,+ ) Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν, όταν για μια συνάρτηση που είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (, β) Έτσι, για τις συναρτήσεις f, g, h των παρακάτω σχημάτων έχουμε: lim f ( ) l lim g( ) + και lim h( ) Για τον υπολογισμό του ορίου στο + ή ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια: ν lim και lim, + lim ν, αν ν άρτιος, αν ν περιττός και lim, * N * N Για παράδειγμα, lim, lim + + και lim +

67 66 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για τα όρια στο +, ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο με την προϋπόθεση ότι: οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης Έστω η συνάρτηση f () 5 + Αν εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των ορίων για τον υπολογισμό του lim f( ), καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή Στην περίπτωση + αυτή εργαζόμαστε ως εξής: Για έχουμε Επειδή έχουμε και lim f( ) lim ( ) lim( ) + + Γενικά Για την πολυωνυμική συνάρτηση P() α ν ν + α ν ν + + α, με α ν ισχύει: lim P ( ) lim ( ν ) και lim P ( ) lim ( ν ) + α ν + α ν Για παράδειγμα, 5 lim(4 6 7) 5 lim (4 ) Έστω τώρα η συνάρτηση f ( ) Για έχουμε: + + f ( ) Επειδή + lim + + lim lim

68 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 67 και έχουμε Γενικά, lim lim lim f ( ) lim ν ν αν + αν + + α + α Για τη ρητή συνάρτηση f( ) κ κ β + β + + β + β ισχύει: κ κ f και lim f( ) lim, α ν, β κ Για παράδειγμα, Όρια εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης Αποδεικνύεται () ότι: Αν α > (Σχ 6), τότε lim α, lim α + + lim log, lim log + α + α Αν < α < (Σχ 6), τότε lim α +, lim α + lim log +, lim log α + α

69 68 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πεπερασμένο όριο ακολουθίας Η έννοια της ακολουθίας είναι γνωστή από προηγούμενες τάξεις Συγκεκριμένα: ΟΡΙΣΜΟΣ Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση α : N * ER Η εικόνα α(ν) της ακολουθίας α συμβολίζεται συνήθως με α ν, ενώ η ακολουθία α συμβολίζεται με (α ν ) Για παράδειγμα, η συνάρτηση α ν,v N * είναι μια ακολουθία ν Επειδή το πεδίο ορισμού κάθε ακολουθίας, είναι το N * {,,, 4, }, έχει νόημα να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της για πολύ μεγάλες τιμές του ν, δηλαδή όταν ν E + Ο ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ανάλογος του ορισμού του ορίου συνάρτησης στο + και διατυπώνεται ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Θα λέμε ότι η ακολουθία (α ν ) έχει όριο το l R και θα γράφουμε lim α ν l, όταν ν για κάθε ε >, υπάρχει ν N * τέτοιο, ώστε για κάθε ν > ν να ισχύει α l < ε ν Οι γνωστές ιδιότητες των ορίων συναρτήσεων όταν E +, που μελετήσαμε στα προηγούμενα, ισχύουν και για τις ακολουθίες Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων αυτών μπορούμε να υπολογίζουμε όρια ακολουθιών Για παράδειγμα, ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε τα όρια: i) lim ( + 5) + ii) lim (5 + ) iii) 5 lim + 8 iv) lim v) lim vi) + lim + + +

70 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 69 vii) lim viii) lim + Να βρείτε τα όρια: i) lim ii) lim ( ) iii) lim iv) lim( ( + α)( + β) ), α β + v) lim ( ) + Να βρείτε τα όρια: i) lim + + ii) lim ( + ) + iii) lim + iv) lim ( + + ) + v ) lim vi) lim ( + + ) + + B ΟΜΑΔΑΣ Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ, να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: ( µ ) + + i) lim( + + µ ) ii) lim + µ 5+ 6 Να προσδιορίσετε το λ R, ώστε το lim( + 5+ λ) να υπάρχει στο R + Αν, να βρείτε τις τιμές των αβ, R, για τις οποίες ισχύει lim f( ) + 4 Να βρείτε τα όρια: 5 + i) lim + ii) lim iii) lim +

71 7 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις f, g, h των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα παρακάτω σχήματα Παρατηρούμε ότι: Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο και ισχύει: lim f( ) f( ) Η συνάρτηση g είναι ορισμένη στο αλλά lim g ( ) g ( ) Η συνάρτηση h είναι ορισμένη στο αλλά δεν υπάρχει το όριό της Από τις τρεις γραφικές παραστάσεις του σχήματος μόνο η γραφική παράσταση της f δε διακόπτεται στο Είναι, επομένως, φυσικό να ονομάσουμε συνεχή στο μόνο τη συνάρτηση f Γενικά, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο, όταν lim f( ) f( ) Για παράδειγμα, η συνάρτηση f ( ) είναι συνεχής στο, αφού lim f( ) lim f() Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν:

72 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 α) Δεν υπάρχει το όριό της στο ή β) Υπάρχει το όριό της στο, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, f( ), στο σημείο Για παράδειγμα: Η συνάρτηση +, αν f ( ), αν > δεν είναι συνεχής στο, αφού lim f( ) lim( ) +, ενώ, οπότε δεν υπάρχει το όριο της f στο Η συνάρτηση, αν f ( ), αν δεν είναι συνεχής στο, αφού, ενώ f() Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, απλά, συνεχής συνάρτηση Για παράδειγμα: Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε R ισχύει lim P ( ) P ( ) Κάθε ρητή συνάρτηση Q είναι συνεχής, αφού για κάθε του πεδίου ορισμού της ισχύει P ( ) P ( ) lim Q ( ) Q ( ) Οι συναρτήσεις f() ημ και g() συν είναι συνεχείς, αφού για κάθε R ισχύει limημ ημ και limσυν συν Τέλος, αποδεικνύεται ότι: Οι συναρτήσεις ( ) α και ( ) α, < α είναι συνεχείς

73 7 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις Από τον ορισμό της συνέχειας στο και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει το παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο, τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις: με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το R Για παράδειγμα: Οι συναρτήσεις f() εφ και g() σφ είναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχών συναρτήσεων Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, +, αφού η συνάρτηση g() είναι συνεχής Η συνάρτηση f ( ) ημ είναι συνεχής, αφού είναι της μορφής f ( ) g( ), όπου g() ημ η οποία είναι συνεχής συνάρτηση ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων f () και f () ημ Τέλος, αποδεικνύεται ότι για τη σύνθεση συνεχών συναρτήσεων ισχύει το ακόλουθο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f ( ), τότε η σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο Για παράδειγμα, η συνάρτηση φ() ημ( ) είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f () και g() ημ ΕΦΑΡΜΟΓΗ + a, αν Για ποια τιμή του α η συνάρτηση f () ημ είναι συνεχής;, αν >

74 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 ΛΥΣΗ Στο διάστημα (, ) η f έχει τύπο f() + α και επομένως είναι συνεχής ως πολυωνυμική Στο διάστημα (, + ) η f έχει τύπο f ( ) ημ και επομένως είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Για να είναι η f συνεχής, αρκεί να είναι συνεχής και στο, δηλαδή αρκεί lim f( ) f ( ) Έχουμε όμως: lim f( ) lim( + α) α, ημ lim f( ) lim και + f ( ) α Επομένως, αρκεί α ή, ισοδύναμα, α Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα και βασικά θεωρήματα Πολλά από τα θεωρήματα της Ανάλυσης αναφέρονται σε συναρτήσεις οι οποίες είναι συνεχείς σε διαστήματα του πεδίου ορισμού τους Είναι, επομένως, απαραίτητο να γνωρίζουμε τι εννοούμε όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β) (Σχ 6α) Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β) και επιπλέον lim f( ) f ( α ) και lim f( ) f ( β ) (Σχ 6β) α + β β β Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής (α, β], [α, β)

75 74 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δυο βασικές ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων σε διαστήματα εκφράζονται από τα παρακάτω θεωρήματα: Θεώρημα του Bolzano Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [α, β] Επειδή τα σημεία Α(α, f(α)) και Β(β, f(β)) βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο Συγκεκριμένα ισχύει το παρακάτω θεώρημα του οποίου η απόδειξη παραλείπεται ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] Αν: η f είναι συνεχής στο [α, β] και, επιπλέον, ισχύει f(α) f(β) <, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( α,β) τέτοιο, ώστε f( ) Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f() στο ανοικτό διάστημα (α, β) ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ (Σχ 65) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της

76 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 75 Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες τιμές του Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: α) Βρίσκουμε τις ρίζες της f β) Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πρόσημο της συνάρτησης f() ημ συν, [ π, ] Αρχικά υπολογίζουμε τις ρίζες της f() στο [, π ] Έχουμε π 5π ημ συν ημ συν εφ ή 4 4 Έτσι οι ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της στα διαστήματα, π 4, π 5π, 4 4 και π, 54 π Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της f σε κάθε διάστημα Διάστημα Επιλεγμένος αριθμός f( ) Πρόσημο, π 4 π 5π, 4 4 π + 5π, 4 π π Επομένως, στα διαστήματα, π 4, π, 54 π είναι f() <, ενώ στο διάστημα π 5π, είναι f() > 4 4

77 76 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Το επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και είναι γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] Αν: η f είναι συνεχής στο [α, β] και f ( α) f ( β) τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον ( αβ, ) τέτοιος, ώστε f( ) η ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι f(α) < f(β) Τότε θα ισχύει f(α) < η < f(β) (Σχ 67) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g() f() η, ], παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο [α, β] και g(α)g(β) <, αφού g(α) f(α) η < και g(β) f(β) η > Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει ( αβ, ) τέτοιο, ώστε g( ) f( ) η, οπότε f( ) η ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], τότε, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα, δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι: Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα

78 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 77 Στην ειδική περίπτωση που το Δ είναι ένα κλειστό διάστημα [α, β], ισχύει το παρακάτω θεώρημα ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης και ελάχιστης τιμής) Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α, β], τότε η f παίρνει στο [α, β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m (Σχ 69δ) Δηλαδή, υπάρχουν, [ αβ, ] τέτοια, ώστε, αν m f( ) και Μ f( ), να ισχύει ΣΧΟΛΙΟ m f( ) M, για κάθε [ αβ, ] Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [α, β] είναι το κλειστό διάστημα [m, Μ], όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Για παράδειγμα, η συνάρτηση f() ημ, [ π, ] έχει σύνολο τιμών το [, ], αφού είναι συνεχής στο [, π] με m και Μ

79 78 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τέλος, αποδεικνύεται ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α, Β) (Σχ 7α), όπου Α lim f( ) και B lim f( ) α + β Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Β, Α) (Σχ 7β) Για παράδειγμα, Το σύνολο τιμών της f() ln +, (,) e, η οποία είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής συνάρτηση (Σχ 7), είναι το διάστημα (, ), αφού lim f( ) + και lim f( ) e Το σύνολο τιμών της f( ), (,), η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση, (Σχ 7) είναι το διάστημα (, + ), αφού lim f( ) + και lim f( ) + Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής [α, β], [α, β) και (α, β]

80 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 79 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να δειχτεί ότι η εξίσωση + συν 4 έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (π, π) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση f() + συν 4, [ π, π] Τότε: Η f είναι συνεχής στο [π, π] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Είναι f(π) f(π) <, αφού f(π) π + συνπ 4 π 5 < και f(π) π +συνπ 4 π > Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( π, π ) τέτοιο, ώστε f( ), οπότε + συν 4 και συνεπώς + συν 4 Άρα, η εξίσωση + συν 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (π, π) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων Να βρείτε τα σημεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο τις παρακάτω συναρτήσεις: i) f( ) + 4, <,, αν

81 8 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ +, < ii) f( ) +,, αν +, iii) f( ) +, αν, Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις και μετά να χαράξετε τη γραφική τους παράσταση, αν, i) f( ), > ii) f( ) 5+ 6, 5,, < e, iii) f( ) iv) f( ) ln, +, > 4 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις, i) f( ), > ii) ημ, < f ( ) συν, 5 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς: i) f ( ) ημ(συν ) ii) f( ) ln( + + ) iii) v) f( ) ln(ln ) iv) f ( ) e ημ 6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ημ + έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (, π) 7 Για κάθε μία από τις παρακάτω πολυωνυμικές συναρτήσεις f, να βρείτε έναν ακέραιο α τέτοιον, ώστε στο διάστημα (α, α + ) η εξίσωση f() να έχει μία τουλάχιστον ρίζα 5 i) f( ) + ii) f( ) iii) f( ) + 4 iv) f( ) + +

82 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 8 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α( μ)( v) + β( λ)( ν) + γ ( λ)( μ), όπου α, β, γ > και λ < μ < ν, έχει δυο ρίζες άνισες, μια στο διάστημα (λ, μ) και μια στο (μ, ν) 9 Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f για όλες τις πραγματικές τιμές του, όταν: i) f() + ii) f() 4 9 iii) f ( ) εϕ, ( ππ, ) iv) f() ημ + συν, [ π, ] Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων i) f() ln, [, e] ii) f() +, (, ) iii) f() ημ +,, π 6 iv) f() e +, (, ] B ΟΜΑΔΑΣ ( κ)( + κ), Αν f( ), να προσδιορίσετε το κ, ώστε η f να είναι κ + 5, > συνεχής στο α + β, < Αν f( ) 5,, να βρείτε τις τιμές των α, β R για τις α+ β, > οποίες η f να είναι συνεχής στο i) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο Να βρείτε το f(), αν για κάθε R * ισχύει f( ) συν ii) Ομοίως, να βρείτε το g() για τη συνάρτηση g που είναι συνεχής στο και για κάθε R ισχύει g( ) ημ 4 Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο [,] και πληρούν τις σχέσεις f() < g() και f() > g(), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε f(ξ) g(ξ)

83 8 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: α) e β) + ln έχουν μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (, ) 6 Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο i) f() e και g( ) ii) f() ln και g( ) 7 i) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [,], για την οποία ισχύει + f () για κάθε [, ] α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f() β) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί το πρόσημό της στο διάστημα (,) γ) Ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της f και ποια η γραφική της παράσταση; ii) Με ανάλογο τρόπο να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f στο σύνολο R, για την οποία ισχύει f () για κάθε R 8 Δίνεται το τετράγωνο ΟΑΒΓ του διπλανού σχήματος και μία συνεχής στο [, ] συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο αυτό i) Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του τετραγώνου και ii) Να αποδείξετε με το θεώρημα του Bolzano ότι η C f τέμνει και τις δύο διαγώνιες 9 Στο διπλανό σχήμα η καμπύλη C είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που είναι συνεχής στο [α,β] και το Μ (, y ) είναι ένα σημείο του επιπέδου, i) Να βρείτε τον τύπο της απόστασης d() (Μ Μ) του σημείου Μ (, y ) από το σημείο Μ(, f()) της C f για κάθε [ αβ, ]

84 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [α, β] και στη συνέχεια ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της C f που απέχει από το Μ λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο της C f που απέχει από το Μ περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ι Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής, αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας Αν f() ln και g() e, τότε α) ( g f)( ), R * Α Ψ β) ( f g)( ), R Α Ψ f Αν lim ( ) l R, τότε lim f( ) A Ψ Είναι lim lim lim lim + + A Ψ + 4 Αν f() > για κάθε R και υπάρχει το lim f( ), τότε κατ ανάγκη lim f( ) > Α Ψ 5 Ισχύει: α) lim + Α Ψ β) + ημ Α Ψ

85 84 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Αν f( ) κοντά στο, τότε lim( f( )) Α Ψ 7 Αν f ( ), ( α, + ), τότε κατ ανάγκη θα είναι lim f( ) Α Ψ + 8 Αν υπάρχει το lim( f( ) g ( )), τότε είναι ίσο με f(6) g(6) Α Ψ 6 9 Αν lim f( ), τότε κατ ανάγκη θα είναι lim f( ) ή lim f( ) Α Ψ Αν lim f( ), τότε lim f( ) Α Ψ Αν η f είναι συνεχής στο R και για 4 7+ ισχύει f( ), τότε το f(4) είναι ίσο με 4 Α Ψ Αν η f είναι συνεχής στο [, ] και f( ) 4, f ( ), τότε υπάρχει πραγματικός αριθμός (, ) τέτοιος, ώστε f( ) π Α Ψ ΙΙ Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις Αν lim f( ) l, lim g ( ) m, lm, R και f() < g() κοντά στο, τότε κατ ανάγκη θα είναι: Α) l < m Β) l m Γ) l m Δ) l m Ε) m < l Το όριο lim ( ) είναι ίσο με: + ( + ) Α) 8 Β) Γ) Δ) + Ε) 8 Το lim + είναι ίσο με: Α) + Β) Γ) Δ) Ε)

86 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 85 4 Αν το lim δεν υπάρχει, τότε: Α) Β) Γ) Δ) ΙΙΙ Δίνονται οι συναρτήσεις f( ) ( ) + και g ( ) Από τους Παρακάτω ισχυρισμούς λάθος είναι ο: Α) η g είναι συνεχής στο Β) η f είναι συνεχής στο Γ) η g έχει δυο σημεία στα οποία δεν είναι συνεχής Δ) lim f( ) + Ποια από τα παρακάτω όρια είναι καλώς ορισμένα; Α) lim + Β) lim Γ) lim Δ) lim + Ε) lim[ln( + + )] ΣΤ) lim[ln( + )] Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ [, ], με f ( ), f() και f() Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισμούς δεν προκύπτει κατ ανάγκη από τις υποθέσεις; Α) Υπάρχει (,) τέτοιος, ώστε f( ) Β) lim f( ) Γ) lim f( ) f ( ) Δ) [, ] f ( ) Ε) Η μέγιστη τιμή της f στο [,] είναι το και η ελάχιστη τιμή της το

87 86 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια της συνάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοια της συνάρτησης, ως έκφραση μιας εξάρτησης ανάμεσα σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες, εμφανίζεται μ έναν υπονοούμενο τρόπο ήδη από την αρχαιότητα Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν οι πίνακες χορδών της Αλμαγέστης, του Έλληνα μαθηματικού και αστρονόμου της αλεξανδρινής περιόδου Κλαύδιου Πτολεμαίου Στη μια στήλη αυτών των πινάκων υπάρχουν τα μήκη των τόξων ενός κύκλου και στην άλλη τα μήκη των αντίστοιχων χορδών Χρησιμοποιώντας την έννοια του ημιτόνου στον μοναδιαίο κύκλο μπορούμε να εκφράσουμε αναλυτικά τη συνάρτηση των πινάκων του Πτολεμαίου ως εξής: χορδή τόξου ( ) AB AM ημ Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν στις αρχές του 7υ αιώνα Τα γεγονότα που έδωσαν αποφασιστική ώθηση στην ανάπτυξη της έννοιας της συνάρτησης ήταν η δημιουργία της Άλγεβρας (χρήση γραμμάτων και ειδικών συμβόλων για την αναπαράσταση μαθηματικών πράξεων, σχέσεων, αγνώστων κλπ) και της αναλυτικής γεωμετρίας (χρήση του αλγεβρικού συμβολισμού σε γεωμετρικά προβλήματα) Ο Descartes, στο έργο του La Geometrie (67), παρουσιάζοντας τη μέθοδο προσδιορισμού μιας καμπύλης από μια εξίσωση ως προς και y (τα οποία εκφράζουν τα ευθύγραμμα τμήματα-συντεταγμένες των σημείων της καμπύλης), περιέγραψε για πρώτη φορά τη δυνατότητα αναλυτικής αναπαράστασης μιας σχέσης εξάρτησης ανάμεσα σε μεταβλητές ποσότητες: Αν λοιπόν πάρουμε διαδοχικά ένα άπειρο πλήθος διαφορετικών τιμών για το τμήμα y τότε θα προκύψει ένα άπειρο πλήθος τιμών για το τμήμα και επομένως μια απειρία διαφορετικών σημείων, με τη βοήθεια των οποίων μπορεί να σχεδιαστεί η ζητούμενη καμπύλη Ο όρος συνάρτηση (από το λατινικό ρήμα fungor, που σημαίνει εκτελώ, λειτουργώ) εμφανίστηκε για πρώτη φορά το 67 σ ένα χειρόγραφο του Leibniz με τίτλο Η αντίστροφη μέθοδος των εφαπτομένων ή περί συναρτήσεων (Methodus tangentium inversa, seu de functionibus), στο οποίο εξετάζεται ο υπολογισμός των τεταγμένων y των σημείων μιας καμπύλης όταν είναι γνωστή κάποια ιδιότητα των

88 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 87 αντίστοιχων εφαπτομένων Ο όρος αυτός άρχισε να αποκτά από εκείνη την εποχή μια ιδιαίτερη σημασία για την αναπαράσταση ποσοτήτων που εξαρτώνται από άλλες μεταβλητές ποσότητες, ιδιαίτερα όταν η εξάρτηση αυτή μπορεί να πάρει τη μορφή μιας αναλυτικής έκφρασης Ο J Bernoulli έδωσε το 78 τον επόμενο γενικό ορισμό: Ονομάζω συνάρτηση ενός μεταβλητού μεγέθους μια ποσότητα που σχηματίζεται με οποιοδήποτε τρόπο από αυτό το μεταβλητό μέγεθος και από σταθερές Η αντίληψη της συνάρτησης ως αναλυτικής έκφρασης κυριάρχησε για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα, στη διάρκεια του οποίου η μαθηματική ανάλυση ορίζονταν ως η γενική επιστήμη των μεταβλητών και των συναρτήσεών τους Ο επόμενος ορισμός, που ταυτίζει την έννοια της συνάρτησης με αυτήν της αναλυτικής έκφρασης, δόθηκε από τον L Euler το 748, στο έργο του Εισαγωγή στην απειροστική ανάλυση Συνάρτηση μιας μεταβλητής ποσότητας ονομάζεται μια αναλυτική έκφραση που σχηματίζεται με οποιοδήποτε τρόπο από αυτή τη μεταβλητή ποσότητα και αριθμούς ή σταθερές ποσότητες Η παραπέρα εξέλιξη της έννοιας της συνάρτησης προήλθε κυρίως από την προσπάθεια μαθηματικής ερμηνείας φυσικών προβλημάτων, όπως πχ το πρόβλημα μιας παλλόμενης χορδής, στερεωμένης στα δυο άκρα της Σ αυτό το πρόβλημα, που απασχόλησε ιδιαίτερα τους επιστήμονες στη διάρκεια του 8ου αιώνα, ζητείται να προσδιοριστεί μια συνάρτηση της μορφής y f(, t) που περιγράφει το σχήμα της χορδής σε μια δεδομένη χρονική στιγμή t Το είδος όμως των συναρτήσεων που υπεισέρχονται σ αυτό το ζήτημα είναι τόσο γενικό, που ανάγκασε τους μαθηματικούς να αναθεωρήσουν την καθιερωμένη αντίληψη ότι κάθε συνάρτηση ταυτίζεται με μια αναλυτική έκφραση και να αναζητήσουν γενικότερους ορισμούς Ο L Euler, ήδη από το 755 διατύπωσε ένα τέτοιο ορισμό, απαλλαγμένο από την άμεση αναφορά στην έννοια της αναλυτικής έκφρασης Αν κάποιες ποσότητες εξαρτώνται από άλλες ποσότητες με τέτοιο τρόπο ώστε, όταν οι τελευταίες αλλάζουν συμβαίνει το ίδιο και με τις πρώτες, τότε οι πρώτες ονομάζονται συναρτήσεις των τελευταίων Αυτός ο ορισμός είναι πολύ ευρύς και περιλαμβάνει κάθε μέθοδο με την οποία μια ποσότητα θα μπορούσε να προσδιοριστεί από άλλες Αν λοιπόν το υποδηλώνει μια μεταβλητή ποσότητα, τότε όλες οι ποσότητες που εξαρτώνται από το με οποιοδήποτε τρόπο ή προσδιορίζονται από αυτό, ονομάζονται συναρτήσεις του Οι νέες αυτές αντιλήψεις οδήγησαν βαθμιαία στην έννοια της συνάρτησης ως αυθαίρετης αντιστοιχίας ανάμεσα στα στοιχεία δυο συνόλων, που δεν ακολουθεί υποχρεωτικά κάποιο νόμο Ο J Fourier, το 8, επισήμανε ρητά αυτό το σημείο με την εξής παρατήρηση: Γενικά, η συνάρτηση f() παριστάνει μια διαδοχή τιμών

89 88 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ή τεταγμένων, καθεμιά από τις οποίες είναι αυθαίρετη Αν δοθεί μια απειρία τιμών στην τετμημένη, θα υπάρχουν ίσου πλήθους τεταγμένες f() Όλες έχουν πραγματικές αριθμητικές τιμές, θετικές ή αρνητικές ή μηδέν Δεν προϋποθέτουμε ότι αυτές οι τεταγμένες υπόκεινται σ ένα κοινό νόμο διαδέχονται η μια την άλλη με οποιοδήποτε τρόπο και καθεμιά από αυτές δίνεται σαν να ήταν μια μοναδική ποσότητα Η έννοια της συνέχειας Την περίοδο που η έννοια της συνάρτησης ταυτίζονταν με αυτήν της αναλυτικής έκφρασης, υπήρχαν δυο διαφορετικές αντιλήψεις για την έννοια της συνέχειας Η μία από αυτές, με καθαρά γεωμετρική προέλευση, εξέφραζε την ιδιότητα μιας καμπύλης να μη παρουσιάζει διακοπές η άλλη, με προέλευση κυρίως από τη φυσική, εξέφραζε την ιδιότητα ενός φαινομένου να ακολουθεί τον ίδιο νόμο, την ιδιότητα μιας συνάρτησης να διατηρεί την ίδια αναλυτική έκφραση σ ολόκληρο το πεδίο ορισμού της Σ αυτήν την τελευταία αντίληψη περί συνέχειας άσκησε έντονη κριτική ο A L Cauchy το 844, σημειώνοντας τα εξής: Στα έργα των Euler και Lagrange, μια συνάρτηση ονομάζεται συνεχής ή ασυνεχής ανάλογα με το αν οι διαφορετικές τιμές αυτής της συνάρτησης υπόκεινται ή όχι στον ίδιο νόμο, προκύπτουν ή όχι από μια μοναδική εξίσωση Όμως αυτός ο ορισμός πολύ απέχει από το να θεωρηθεί μαθηματικά ακριβής γιατί αν οι διαφορετικές τιμές μιας συνάρτησης εξαρτώνται από δυο ή περισσότερες διαφορετικές εξισώσεις, τίποτα δεν μας εμποδίζει να μειώσουμε τον αριθμό αυτών των εξισώσεων ή ακόμη και να τις αντικαταστήσουμε από μια απλή εξίσωση, της οποίας η ανάλυση θα μας έδινε όλες τις υπόλοιπες Επομένως, αν κανείς θεωρήσει τον ορισμό των Euler και Langrange εφαρμόσιμο σε όλα τα είδη των συναρτήσεων, τότε μια απλή αλλαγή του συμβολισμού είναι συχνά αρκετή για να μετασχηματίσει μια συνεχή συνάρτηση σε ασυνεχή και αντίστροφα Έτσι πχ, αν το συμβολίζει μια πραγματική μεταβλητή, τότε η συνάρτηση που ισούται με + ή, ανάλογα με το αν η μεταβλητή είναι θετική ή αρνητική, πρέπει για το λόγο αυτό να τοποθετηθεί στην κλάση των ασυνεχών συναρτήσεων όμως η ίδια συνάρτηση θα μπορούσε να θεωρηθεί ως συνεχής όταν γραφεί στη μορφή () Ασυνέχεια στο λόγω διακοπής της καμπύλης σ' αυτό το σημείο Ασυνέχεια στο λόγω μεταβολής της αναλυτικής έκφρασης σ' αυτό το σημείο () Είναι φανερό ότι ο Cauchy χρησιμοποιεί εδώ, χωρίς να την ονομάζει, τη συνάρτηση απόλυτη τιμή

90 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 89 Έτσι, ο χαρακτήρας της συνέχειας των συναρτήσεων, θεωρούμενος από το σημείο όπου οι γεωμέτρες σταμάτησαν για πρώτη φορά, είναι ασαφής και αβέβαιος Η αβεβαιότητα όμως θα εξαφανιστεί, αν στη θέση του ορισμού του Euler αντικαταστήσουμε αυτόν που έχω δώσει στο κεφάλαιο ΙΙ του έργου μου Αλγεβρική ανάλυση Ο ορισμός, στον οποίο αναφέρεται εδώ ο Cauchy, αποτελεί ουσιαστικά την πρώτη απόπειρα μελέτης της έννοιας της συνέχειας με λογική αυστηρότητα Αποσυνδέοντας αυτήν την έννοια από κάθε γεωμετρική εποπτεία και εξάρτηση από την έννοια της αναλυτικής έκφρασης, τη μετασχημάτισε σε μια καθαρά αριθμητική ιδιότητα των συναρτήσεων, που μπορεί να γίνει αντικείμενο λογισμού Ο ορισμός αυτός του Cauchy, που δόθηκε το 8, έχει ως εξής: (έναν παρόμοιο ορισμό είχε δώσει και ο B Bolzano το 87) Έστω f() μια συνάρτηση της μεταβλητής και ας υποθέσουμε ότι για κάθε τιμή του σ ένα δοσμένο διάστημα η συνάρτηση αυτή έχει πάντοτε μια μοναδική και πεπερασμένη τιμή Αν δώσουμε στην μεταβλητή μια απειροελάχιστη αύξηση α, η συνάρτηση θα αυξηθεί κατά τη διαφορά f( + α) f(), η οποία εξαρτάται από τη νέα μεταβλητή α και την τιμή που είχε το Σ αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση f() θα ονομάζεται συνεχής στο διάστημα της μεταβλητής, αν για κάθε τιμή του σ αυτό το διάστημα, η απόλυτη τιμή της διαφοράς f( + α) f() μικραίνει επ άπειρον μαζί μ αυτήν του α Με άλλα λόγια, η f() θα παραμένει συνεχής ως προς, αν μια απειροελάχιστη αύξηση της μεταβλητής παράγει πάντοτε μια απειροελάχιστη αύξηση της ίδιας της συνάρτησης Η έννοια του ορίου Η έννοια της συνέχειας καθώς και ορισμένες άλλες βασικές έννοιες της ανάλυσης που θα γνωρίσουμε στα επόμενα κεφάλαια (όπως πχ η παράγωγος και το ολοκλήρωμα) περιείχαν, στα πρώτα στάδια της εξέλιξής τους, ορισμένες ασάφειες, που οφείλονταν κυρίως στην αδυναμία των μαθηματικών να διαπραγματευθούν με λογική αυστηρότητα την έννοια του απείρως μικρού και του απείρως μεγάλου Αυτή η αδυναμία οδηγούσε πολλούς να αμφισβητούν τα θεμέλια πάνω στα οποία στηρίζονταν το οικοδόμημα της μαθηματικής ανάλυσης και να συνδέουν τα εντυπωσιακά αποτελέσματά της με ορισμένες μεταφυσικές ερμηνείες Οι μαθηματικοί προσπάθησαν να ξεπεράσουν αυτές τις δυσκολίες εισάγοντας την ιδέα του ορίου, με την οποία, αρχικά, εκφράζονταν η δυνατότητα μιας μεταβαλλόμενης ποσότητας να προσεγγίζει επ άπειρον μια σταθερή ποσότητα χωρίς στην πραγματικότητα να τη φτάνει ποτέ Ο d Alembert όρισε το 765 αυτήν την έννοια στην Εγκυκλοπαίδεια του Diderot ως εξής: Ένα μέγεθος ονομάζεται όριο ενός άλλου όταν το δεύτερο μπορεί να προσεγγίζει το

91 9 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ πρώτο σε μια απόσταση οσοδήποτε μικρή, αν και ένα μέγεθος δεν μπορεί να ξεπερνά ποτέ το μέγεθος που προσεγγίζει έτσι ώστε η διαφορά μιας τέτοιας ποσότητας από το όριό της να είναι εντελώς αμελητέα Σύμφωνα λοιπόν μ αυτόν τον ορισμό, που περικλείει την έννοια της κίνησης ως μια διαδικασία προσέγγισης, ο αριθμός είναι το όριο της ακολουθίας,9,99,999,9999, αλλά όχι όριο ακολουθίας,9,99 (γιατί αυτή φτάνει το ), ούτε όριο της ακολουθίας,9,,9999, (γιατί αυτή ξεπερνά το ) Ο τρόπος με τον οποίο οι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν την έννοια αυτή του ορίου φαίνεται χαρακτηριστικά στο επόμενο παράδειγμα, στο οποίο ο SF Lacroi α αποδεικνύει το 8 ότι lim + + α α: α Έστω ότι δίνεται η συνάρτηση, στην οποία υποθέτουμε ότι το αυξάνεται θετικά χωρίς τέλος Διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με το, βρίσκουμε + α α, ένα αποτέλεσμα που δείχνει καθαρά ότι η συνάρτηση θα παραμένει πάντοτε α + μικρότερη από το α αλλά θα προσεγγίζει συνέχεια αυτήν την τιμή, αφού το μέρος α του παρονομαστή μειώνεται όλο και περισσότερο και μπορεί να μειωθεί όσο θέλουμε Η διαφορά ανάμεσα στο δοσμένο κλάσμα και την τιμή α εκφράζεται ως α α α + α +α και επομένως γίνεται ολοένα και πιο μικρή, όσο το γίνεται μεγαλύτερο, και μπορεί να γίνει μικρότερη από οποιαδήποτε ποσότητα, οσοδήποτε μικρή Συνεπώς, το δοσμένο κλάσμα μπορεί να προσεγγίζει το α όσο κοντά θέλουμε: άρα το α είναι το α όριο της συνάρτησης ως προς την αόριστη αύξηση του + α Για να τυποποιήσουμε αυτήν την μακροσκελή διαδικασία, οι μαθηματικοί προσπάθησαν να αποσυνδέσουν την έννοια του ορίου από την έννοια της κίνησης και να την ορίσουν με καθαρά αριθμητικούς όρους, έτσι ώστε να γίνει ένα αντικείμενο μαθηματικού λογισμού Το αποτέλεσμα αυτής της προσπάθειας υπήρξε ο σημερινός στατικός ορισμός με τη βοήθεια των ανισοτήτων και της απόλυσης τιμής, που διατυπώθηκε από τον Weierstrass στα μέσα του 9ου αιώνα Με αυτόν τον ορισμό, η έννοια του ορίου απογυμνώθηκε από κάθε στοιχείο εποπτείας αλλά έγινε έτσι δυνατό να αποδειχθούν με λογική αυστηρότητα οι ιδιότητες των ορίων και να τυποποιηθεί η διαδικασία υπολογισμού τους

92 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Στιγμιαία ταχύτητα Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι S S(t) είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή t H συνάρτηση S καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t και ονομάζεται συνάρτηση θέσης του κινητού Ας υποθέσουμε, τώρα, ότι κάποια χρονική στιγμή t το κινητό βρίσκεται στη θέση Μ και ότι μετά από παρέλευση χρόνου h, δηλαδή τη χρονική στιγμή t t + h, βρίσκεται στη θέση Μ (Σχ ) Στο χρονικό διάστημα από t έως t η μετατόπιση του κινητού είναι ίση με S(t) S(t ) Άρα, η μέση ταχύτητα του κινητού σ αυτό το χρονικό διάστημα είναι St () St ( ) μετατόπιση t t χρόνος Όσο το t είναι πλησιέστερα στο t, τόσο η μέση ταχύτητα του κινητού δίνει με καλύτερη προσέγγιση το ρυθμό αλλαγής της θέσης του κινητού κοντά στο t Για το λόγο αυτό το όριο της μέσης ταχύτητας, καθώς το t τείνει στο t, το ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t και τη συμβολίζουμε με υ(t ) Δηλαδή: St () St ( ) υ ( t ) lim t t t t

93 9 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για παράδειγμα, αν S(t) t + 4t είναι η συνάρτηση θέσης ενός κινητού (Σχβ), τότε η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού κατά τις χρονικές στιγμές t, t και t είναι αντιστοίχως: υ( ) lim () () St S t + 4t lim lim ( t )( t ) t t t t t t υ( ) lim () ( ) St S t + 4t 4 lim lim ( t )( t ) t t t t t t υ( ) lim () () St S t + 4t lim lim ( t )( t ) t t t t t t ΣΧΟΛΙΟ Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο t ισχύει St () St ( ) >, οπότε είναι υ( t t t ), ενώ, όταν το κινητό κινείται προς τα αριστερά κοντά στο t ισχύει St () St ( ) <, οπότε είναι υ( t ) t t Πρόβλημα εφαπτομένης Είναι γνωστό από την Ευκλείδεια Γεωμετρία ότι εφαπτομένη ενός κύκλου σε ένα σημείο του Α ονομάζουμε την ευθεία η οποία έχει με τον κύκλο ένα μόνο κοινό σημείο, το Α Ο ορισμός αυτός δεν μπορεί να γενικευτεί για οποιαδήποτε καμπύλη, γιατί, με έναν τέτοιο ορισμό η παραβολή y θα είχε στο σημείο Α(, ) δύο εφαπτόμενες ε και ζ (Σχ 4α), ενώ η y δεν θα είχε στο σημείο Α(,) καμία εφαπτομένη (Σχ 4β)

94 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Επομένως, πρέπει να αναζητήσουμε έναν άλλον ορισμό της εφαπτομένης του κύκλου, ο οποίος να μπορεί να γενικευτεί για όλες τις καμπύλες Θεωρούμε, λοιπόν, ένα άλλο σημείο Μ του κύκλου (Σχ 5) Τα σημεία Α, Μ ορίζουν μια τέμνουσα του κύκλου, την ευθεία ΑΜ Καθώς το σημείο Μ, κινούμενο πάνω στον κύκλο πλησιάζει στο Α, η τέμνουσα ΑΜ φαίνεται να έχει ως οριακή θέση την εφαπτομένη του κύκλου στο Α Τη διαπίστωση αυτή θα δούμε, τώρα, πως μπορούμε να την αξιοποιήσουμε για να ορίσουμε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε ένα σημείο της Έστω f μία συνάρτηση και Α(, f( )) ένα σημείο της γραφικής της παράστασης Αν πάρουμε ένα ακόμη σημείο Μ(, f()),, της γραφικής παράστασης της f και την ευθεία ΑΜ που ορίζουν τα σημεία Α και M, παρατηρούμε ότι:

95 94 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Καθώς το τείνει στο με >, η τέμνουσα ΑΜ φαίνεται να παίρνει μια οριακή θέση ε (Σχ 6α) Την ίδια οριακή θέση φαίνεται να παίρνει και όταν το τείνει στο με < (Σχ 6β) Την οριακή θέση της ΑΜ θα μπορούσαμε να την ονομάσουμε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α Επειδή η κλίση της τέμνουσας ΑΜ f( ) f( είναι ίση με ), είναι λογικό να αναμένουμε ότι η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(, f( )) θα έχει κλίση το f lim ( ) f ( ) Έτσι δίνουμε τον παρακάτω ορισμό ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση και Α(, f( )) ένα σημείο της C f Αν υπάρχει το f( ) f( ) lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α(, f( )) είναι y f( ) λ( ), όπου f( ) f( ) λ lim Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f() και το σημείο της Α(,) Επειδή lim ( ) () f f lim lim( + ), ορίζεται εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α(,) Η εφαπτομένη αυτή έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και εξίσωση y ( ) Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Στα προηγούμενα, οι ορισμοί της στιγμιαίας ταχύτητας ενός κινητού και της εφαπτομένης σε σημείο μιας καμπύλης μας οδήγησαν σε ένα όριο της μορφής f lim ( ) f ( )

96 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 95 Για την ιδιαίτερη περίπτωση που το παραπάνω όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το f lim ( ) f ( ) και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο και συμβολίζεται με f ( ) Δηλαδή: f f f ( ) lim ( ) ( ) Για παράδειγμα, αν f() +, τότε στο έχουμε lim ( ) () f f lim lim ( )( ) lim + ( + ) Επομένως, f () f f Αν, τώρα, στην ισότητα f ( ) lim ( ) ( ) θέσουμε + h, τότε έχουμε f + h f f ( ) lim ( ) ( ) h h Πολλές φορές το h συμβολίζεται με Δ, ενώ το f( + h) f( ) f( + Δ) f( ) συμβολίζεται με Δ f( ), οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται: f f ( ) lim Δ ( ) Δ Δ Η τελευταία ισότητα οδήγησε το Leibniz να συμβολίσει την παράγωγο στο με df ( ) d ή df ( ) d Ο συμβολισμός f ( ) είναι μεταγενέστερος και οφείλεται στον Lagrange Είναι φανερό ότι, αν το είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της f, τότε: Η f είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν υπάρχουν στο R τα όρια και είναι ίσα f lim ( ) f ( ) f, lim ( ) f ( ) +

97 96 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για παράδειγμα,, η συνάρτηση f( ) <, είναι παραγωγίσιμη στο με f (), αφού και lim ( ) ( ) f f lim lim ( ) ( ) f f lim +, ενώ, < η συνάρτηση f( ) 5, δεν είναι παραγωγίσιμη στο, αφού και lim ( ) ( ) f f lim f lim ( ) f ( ) 5 lim + 5 ΣΧΟΛΙΑ Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό: Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης S(t) τη χρονική στιγμή t Δηλαδή, είναι υ(t ) S (t ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της C f μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f, στο σημείο Α(, f( )) είναι η παράγωγος της f στο Δηλαδή, είναι λ f ( ), οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης ε είναι: y f( ) f ( )( ) Την κλίση f ( ) της εφαπτομένης ε στο Α(, f( )) θα τη λέμε και κλίση της C f στο Α ή κλίση της f στο

98 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 97 Κατακόρυφη εφαπτομένη Ας δούμε, τώρα, αν μπορούμε να ορίσουμε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας συνεχούς συνάρτησης f σ ένα σημείο της Α(, f( )), όταν η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο Έστω για παράδειγμα η συνάρτηση f( ) (Σχ ) Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ αυτό, αφού f lim ( ) f ( ) lim lim + Παρατηρούμε όμως ότι, αν Μ(, f()),, είναι ένα σημείο της C f, τότε, καθώς το τείνει στο, η τέμνουσα ΟΜ φαίνεται να παίρνει ως οριακή θέση την κατακόρυφη ευθεία που περνάει από το Ο, δηλαδή τείνει να συμπέσει με τον άξονα y y Στην περίπτωση αυτή ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Ο(,) ορίζουμε την κατακόρυφη ευθεία Έστω τώρα και η συνάρτηση f( ) (Σχ ) Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ αυτό, αφού f lim ( ) f ( ) lim lim και f lim ( ) f ( ) lim lim Παρατηρούμε όμως και εδώ ότι, αν Μ(, f()),, είναι ένα σημείο της C f, τότε, καθώς το τείνει στο, η τέμνουσα ΟΜ τείνει να συμπέσει με τον άξονα y y Στην περίπτωση αυτή ως εφαπτομένη της C f στο Ο(, ) ορίζουμε την κατακόρυφη ευθεία Γενικά:

99 98 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει μια από τις παρακάτω συνθήκες: f α) lim ( ) f ( ) + (ή ) f β) lim ( ) f ( ) + f γ) lim ( ) f ( ) f και lim ( ) f ( ), + f και lim ( ) f ( ) +, + τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(, f( )) την κατακόρυφη ευθεία Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης, f( ) < (Σχ ), δέχεται στο σημείο της Ο(,) κατακόρυφη εφαπτομένη, την, αφού είναι συνεχής στο και ισχύει f lim ( ) f ( ) lim lim + f lim ( ) f ( ) lim lim Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο και δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του παραπάνω ορισμού, τότε δεν ορίζουμε εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(, f( )) Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης, < f( ),, δεν έχει εφαπτομένη στο Ο(,), αφού

100 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 99 ενώ f lim ( ) f ( ) lim, lim ( ) ( ) f f lim lim + Παράγωγος και συνέχεια Έστω η συνάρτηση f( ) Η f είναι συνεχής στο, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ αυτό, αφού f lim ( ) f ( ) lim, ενώ + f lim ( ) f ( ) lim Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια συνάρτηση f μπορεί να είναι συνεχής σ ένα σημείο χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ αυτό Αν, όμως, η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε θα είναι και συνεχής στο, δηλαδή ισχύει το παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για έχουμε οπότε f( ) f( ) f( ) f( ) ( ), f lim[ ( ) ( )] lim ( ) f ( f f ) ( ) f lim ( ) f ( ) lim( ) f ( ), αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως, lim f( ) f( ), δηλαδή η f είναι συνεχής στο

101 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο ΕΦΑΡΜΟΓΗ Για ποιες τιμές του α R, η συνάρτηση f ( ) + + α, < είναι: α i) συνεχής στο ; ii) παραγωγίσιμη στο ; ΛΥΣΗ i) Η f είναι συνεχής στο, αν και μόνο αν lim f( ) lim f( ) f ( ) + ή, ισοδύναμα, α α ή α ii) Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν a,, η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής και επομένως δεν είναι παραγωγίσιμη Αν α, η συνάρτηση γράφεται Για <, έχουμε + +, < f( ) + +, οπότε f( ) f ( ) + + ( + ) +, f lim ( ) f ( ) lim( + ) Για > έχουμε οπότε f( ) f ( ) + + ( + ) +,

102 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ f lim ( ) f ( ) lim( + ) + Άρα f lim ( ) f ( ) f lim ( ) f ( ) + και επομένως, για α η f είναι παραγωγίσιμη στο Αν α, η συνάρτηση γράφεται Για <, έχουμε οπότε Για > έχουμε οπότε Άρα + +, < f( ) +, f( ) f ( ) + + ( + ) +, f lim ( ) f ( ) lim( + ) f( ) f ( ) + ( ), f lim ( ) f ( ) lim( ) + f lim ( ) f ( ) f lim ( ) f ( ) + και επομένως, για α η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο, όταν i) f() +, ii) f( ), iii) f() ημ,

103 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Να βρείτε (αν υπάρχει) την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο, όταν i) f( ), ii) f( ), + +, < iii) f( ), iv) f( ) +,, Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() f() είναι παραγωγίσιμη στο 4 Αφού μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο τις παρακάτω συναρτήσεις, να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμες στο σημείο αυτό i) f( ) +, <,, αν ii) f( ) +, αν 5 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f (αν ορίζεται) στο Α(, f( )) για κάθε μία από τις συναρτήσεις των ασκήσεων και Β ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ημ στο σημείο Αν για μία συνάρτηση f ισχύει f( + h) + h + h + h, για κάθε h R, να αποδείξετε ότι: i) f() ii) f (), < Αν f ( ), να αποδείξετε ότι ορίζεται εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο Α(,) και σχηματίζει με τον άξονα των γωνία ημ+, π 4 συν, 4 Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f ( ) στο, 5 Αν + f( ) + +, για κάθε R, να αποδείξετε ότι: i) f()

104 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii) f( ) f ( ) +, για < και f( ) f ( ) +, για > iii) f () 6 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο και για κάθε R ισχύει: να αποδείξετε ότι ημ f ( ) ημ i) f() ii) f () f 7 Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και lim ( ) 4, να αποδείξετε ότι: i) f() ii) f () 4 8 Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε f i) lim ( ) ( ) h f f ( ) h h f ii) lim ( ) ( ) + h f h f ( ) h h 9 Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων θέσεως τριών κινητών που κινήθηκαν πάνω στον άξονα στο χρονικό διάστημα από sec έως 8 sec Να βρείτε:

105 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ i) Ποιο κινητό ξεκίνησε από την αρχή του άξονα κίνησης; ii) Ποιο κινητό κινήθηκε μόνο προς τα δεξιά; iii) Ποιο κινητό άλλαξε φορά κίνησης τη χρονική στιγμή t sec, ποιο τη χρονική στιγμή t 4 sec και ποιο τη χρονική στιγμή t 5 sec; iv) Ποιο κινητό κινήθηκε προς τα αριστερά σε όλο το χρονικό διάστημα από sec έως 4 sec; v) Ποιο κινητό τερμάτισε πιο κοντά στην αρχή του άξονα κίνησης; vi) Ποιο κινητό διάνυσε το μεγαλύτερο διάστημα; ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α Θα λέμε ότι: H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο (, ) αβ Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και επιπλέον ισχύει f lim ( ) f ( α ) f R και lim ( ) f ( β ) R α + α β β Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Α το σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη Αντιστοιχίζοντας κάθε A στο f (), ορίζουμε τη συνάρτηση f : A R f ( ), η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f H πρώτη παράγωγος της f συμβολίζεται και με df που διαβάζεται ντε εφ προς ντε χι Για πρακτικούς d λόγους την παράγωγο συνάρτηση y f () θα τη συμβολίζουμε και με y ( f ())

106 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 Αν υποθέσουμε ότι το Α είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της f, αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της f, με ν, και συμβολίζεται με f ( ν) Δηλαδή f (ν) [ f (ν ) ], ν Η εύρεση της παραγώγου συνάρτησης, με βάση τον ορισμό που δώσαμε, δεν είναι πάντα εύκολη Στη συνέχεια θα δούμε μερικές βασικές περιπτώσεις παραγώγισης συναρτήσεων, που θα τις χρησιμοποιούμε στην εύρεση παραγώγου συναρτήσεων (αντί να χρησιμοποιούμε τον ορισμό κάθε φορά) Παράγωγος μερικών βασικών συναρτήσεων Έστω η σταθερή συνάρτηση f ( ) c, c R Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f (), δηλαδή (c) Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: f( ) f( ) c c Επομένως, δηλαδή (c) f lim ( ) f ( ), Έστω η συνάρτηση f() Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f (), δηλαδή () Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: f( ) f( ) Επομένως, f lim ( ) f ( ) lim, δηλαδή ()

107 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έστω η συνάρτηση f() ν, ν {,} Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f () ν ν, δηλαδή ( ν ) ν ν Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: ν ν ν ν ν f( ) f( ) ( )( ) ν ν ν + + +, οπότε f lim ( ) f ( ) ν ν ν ν lim( ) + δηλαδή ( ν ) ν ν ν ν ν + + ν, Έστω η συνάρτηση f( ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) και ισχύει f ( ), δηλαδή ( ) Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του (, + ), τότε για f( ) f( ) οπότε δηλαδή ( ) ( )( + ) ( ) ισχύει: ( ) + ( + f lim ( ) f ( ) lim, + ) ( ) + Όπως είδαμε στην παράγραφο η f ( ) δεν είναι παραγωγίσιμη στο, Έστω συνάρτηση f() ημ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f () συν, δηλαδή (ημ) συν

108 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Πράγματι, για κάθε R και h ισχύει f( + h) f( ) ημ( + h) ημ ημ συνh+ συν ημ h ημ h h h (συνh ) ημh ημ + συν h h Επειδή έχουμε ημh συνh lim και lim, h h h h f lim ( + h ) f ( ) ημ + συν συν h h Δηλαδή, (ημ) συν Έστω η συνάρτηση f() συν Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f () ημ, δηλαδή (συν) ημ Πράγματι, για κάθε R και h ισχύει: f( + h) f( ) συν( + h) συν συν συνh ημ ημh συν h h h οπότε Δηλαδή, (συν) ημ ΣΧΟΛΙΟ συνh ημ h συν ημ, h h f lim ( + h ) f ( ) συνh h lim lim h h h h h ημ συν ημ h συν ημ ημ Τα όρια ημ συν lim, lim, τα οποία χρησιμοποιήσαμε για να υπολογίσουμε την παράγωγο των συναρτήσεων f() ημ, g() συν είναι η παράγωγος στο των συναρτήσεων f, g αντιστοίχως, αφού

109 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ημ ημ ημ lim lim f ( ) συν συν συν lim lim g ( ) Έστω η συνάρτηση f() e Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f () e, δηλαδή (e ) e Έστω η συνάρτηση f() ln Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) και ισχύει f ( ), δηλαδή ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ (ln ) Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() ln, στο οποίο η εφαπτομένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων ΛΥΣΗ Επειδή f ( ) (ln ), η εξίσωση της εφαπτομένης ε της Cf σε ένα σημείο Μ(, f( )) είναι y ln ( ) Η ευθεία ε διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(, ), αν και μόνο αν ln ( ) ln e Άρα, το ζητούμενο σημείο είναι το Μ(e,)

110 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε και ε είναι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() ημ στα σημεία Ο(,) και Α(π,) αντιστοίχως Να βρεθούν: i) Οι εξισώσεις των ε και ε ii) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι ε, ε και ο άξονας των ΛΥΣΗ i) Επειδή f () (ημ) συν, είναι f () και f (π) οπότε οι ε, ε έχουν εξισώσεις y και y ( π) αντιστοίχως ii) Αν λύσουμε το σύστημα των παραπάνω δύο εξισώσεων βρίσκουμε ότι οι ευθείες ε, ε τέμνονται στο σημείο Β π π, Άρα, το τρίγωνο ΟΑΒ έχει εμβαδόν Ε π π π 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο όταν: i) f() 4, ii) f ( ), 9 π iii) f() συν, 6 iv) f (, e v) f() e, ln Nα βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων: i) f ( ), <, ημ, ii) f ( ), < iii), <, / f ( ) iv) f ( ) 4,, > /

111 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Nα αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σημεία της παραβολής y στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης να είναι μεταξύ τους παράλληλες Ισχύει το ίδιο για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() ; 4 Να παραστήσετε γραφικά την παράγωγο της συνάρτησης f του διπλανού σχήματος 5 Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f :[ 8, ] R, η οποία είναι συνεχής, με f(), και της οποίας η παράγωγος παριστάνεται γραφικά στο διπλανό σχήμα Β ΟΜΑΔΑΣ ημ, < π Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η συνάρτηση f ( ), είναι παραγωγίσιμη στο α+ β, π π Έστω η συνάρτηση f( ) και το σημείο Α(ξ, f(ξ)), ξ της γραφικής παράστασης της f Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(ξ, f(ξ)) και Β( ξ, ) εφάπτεται της C f στο Α Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f() σε οποιοδήποτε σημείο της Μ(α, α ), α έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο Ν εκτός του Μ Στο σημείο Ν η κλίση της C f είναι τετραπλάσια της κλίσης της στο Μ 4 Έστω ε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f( ) σε ένα σημείο της M ξ, Αν Α, Β είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τους ξ άξονες και y y αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι i) Το Μ είναι μέσο του ΑΒ ii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του ξ R *

112 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Παράγωγος αθροίσματος ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (f + g) ( ) f ( ) + g ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για, ισχύει: ( f + g)( ) ( f + g)( ) f( ) + g ( ) f( ) g ( ) f( ) f( ) g ( ) g ( ) + Επειδή οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: lim ( f + g )( ) ( f + g )( ) lim ( ) ( ) f f g ( ) g ( ) + lim f ( ) + g ( ), δηλαδή (f + g) ( ) f ( ) + g ( ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε ισχύει: (f + g) () f () + g () Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Δηλαδή, αν f, f,, f k, είναι παραγωγίσιμες στο Δ, τότε Για παράδειγμα, ( f + f + + f )( ) f ( ) + f ( ) + + f ( ) k (ημ + + e + ) (ημ) + ( ) + (e ) + () συν + + e k

113 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Παράγωγος γινομένου ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (f g) ( ) f ( )g( ) + f( )g ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για ισχύει: ( f g)( ) ( f g)( ) f( ) g ( ) f( ) g ( ) f( ) g ( ) f( ) g ( ) + f( ) g ( ) f( ) g ( ) f( ) f( ) g ( ) g ( ) g ( ) + f( ) Επειδή οι f, g είναι παραγωγίσιμες, άρα και συνεχείς στο, έχουμε: lim ( f g )( ) ( f g )( ) lim ( ) ( ) f f g g lim g ( ) f( )lim ( ) ( ) + δηλαδή f ( ) g ( ) + f( ) g ( ), (f g) ( ) f ( )g( ) + f( )g ( ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε ισχύει: Για παράδειγμα, (f g) () f ()g() + f()g () ( e ln ) ( e ) ln + e (ln ) e ln + e, > Το παραπάνω θεώρημα επεκτείνεται και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Έτσι, για τρεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ισχύει: (f()g()h()) [(f()g()) h()] (f()g()) h() + (f()g()) h () [f ()g() + f()g ()]h() + f()g()h () f ()g()h() + f()g ()h() + f ( )g()h ()

114 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για παράδειγμα, ( ηµ ) ) ηµ + ( ηµ ) + ηµ ( n) συν > Αν f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ ένα διάστημα Δ και c R, επειδή (c), σύμφωνα με το θεώρημα () έχουμε: Για παράδειγμα, Παράγωγος πηλίκου ΘΕΩΡΗΜΑ (cf()) cf () (6 ) 6( ) 6 8 Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο και g ( ), τότε και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο g f και ισχύει: f f ( ) g( ) f ( ) g ( ( ) g [ g( )] ) Η απόδειξη παραλείπεται Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ και για κάθε Δ ισχύει g ( ), τότε για κάθε Δ έχουμε: f f ( ) g ( ) f( ) ( ) ( ) g [ g ( )] Για παράδειγμα, ( ) (5 ) (5 ) (5 ) 5 5 (5 ) (5 ) 5 (5 ) 5, (5 ) 5 Χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες προτάσεις μπορούμε τώρα να βρούμε τις παραγώγους μερικών ακόμη βασικών συναρτήσεων Έστω η συνάρτηση f ( ) ν *, ν N Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R* και ισχύει f () ν ν, δηλαδή ( ν ) ν ν

115 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Πράγματι, για κάθε R* έχουμε: ( ν ) () ν ν ν ν ν ν ν ν ( ( ) ) ν Για παράδειγμα, ( ) 4 4, 5 Είδαμε, όμως, πιο πριν ότι ( ν ) ν ν, για κάθε φυσικό ν > Επομένως, αν κ {,}, τότε ( κ ) κ κ Έστω η συνάρτήση f() εφ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R R { συν } και ισχύει f ( ), δηλαδή συν ( εφ) συν Πράγματι, για κάθε R έχουμε: ( ) ( ) ( ) ημ ημ συν ημ συν συνσυν + ημημ εφ συν συν συν συν + ημ συν συν Έστω η συνάρτηση f() σφ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R R { ημ } και ισχύει f ( ) ημ, δηλαδή ( σφ) ημ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ln Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f( )

116 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 ΛΥΣΗ Έχουμε: ln ( ln )( ) ln ( ) (ln + ) ( ) ln f ( ) ( ) ( ) ln ln + ln ln ( ) ( ) Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) και + g() + έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο Α(,) και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης αυτής ΛΥΣΗ Αρκεί να δείξουμε ότι f () g () Έχουμε: και οπότε Άρα ()( + ) ( + ) f ( ) + ( + ) ( + ) g () ( + ), f () και g () f () g () Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α(,) είναι: Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης y ( ) y + Έστω ότι ζητάμε την παράγωγο της συνάρτησης y ημ, η οποία είναι σύνθεση της g() και της f() ημ Επειδή ημ ημ συν, έχουμε (ημ) (ημσυν) (ημ) συν + ημ(συν) συν ημ (συν ημ ) συν Παρατηρούμε ότι η παράγωγος της y ημ δεν είναι η συνάρτηση y συν, όπως ίσως θα περίμενε κανείς από τον τύπο (ημ) συν Αυτό εξηγείται με το παρακάτω θεώρημα:

117 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η f είναι παραγωγίσιμη στο g( ), τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( f g) ( ) f (g( )) g ( ) Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g(δ), τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει Δηλαδή, αν u g(), τότε (f(g())) f (g()) g () (f(u)) f (u) u Με το συμβολισμό του Leibniz, αν y f(u) και u g(), έχουμε τον τύπο dy dy du d du d που είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το σύμβολο dy δεν είναι πηλίκο Στον κανόνα της αλυσίδας απλά συμπεριφέρεται ως d πηλίκο, πράγμα που ευκολύνει την απομνημόνευση του κανόνα Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι τα εξής: Η συνάρτηση f() α, R είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) και ισχύει f () α α, δηλαδή ( α α () ) α Πράγματι, αν y α e αln και θέσουμε u αln, τότε έχουμε y e u Επομένως, u u αln α α α y ( e ) e u e α α Η συνάρτηση f() α, α > είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f () α lnα, δηλαδή (α ) α lnα () Αποδεικνύεται ότι, για α > η f είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο και η παράγωγός της είναι ίση με, επομένως δίνεται από τον ίδιο τύπο

118 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Πράγματι, αν y α e ln α και θέσουμε u lnα, τότε έχουμε y e u Επομένως, y (e u )' e u u e ln α lnα α lnα Η συνάρτηση f( ) ln, R * * είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει Πράγματι (ln ) αν >, τότε (ln ) (ln ), ενώ αν <, τότε ln ln( ), οπότε, αν θέσουμε y ln( ) και u, έχουμε y lnu Επομένως, y u u u (ln ) ( ) και άρα (ln ) Ανακεφαλαιώνοντας, αν η συνάρτηση u f() είναι παραγωγίσιμη, τότε έχουμε: (u α ) αu α u ( u) u u (ημu) συνu u (συνu) ημu u ( u) εφ συν u u ( u) σφ ημ u u u u ( e ) e u u u ( α ) α lnα u (ln u ) u u ΕΦΑΡΜΟΓEΣ Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων i) f() ( + 5) 9 ii) g( ) e + iii) h( ) ln +

119 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΛΥΣΗ i) Αν θέσουμε u + 5, τότε η συνάρτηση y f() γράφεται y u 9, οπότε έχουμε y (u 9 ) 9u 8 u 9( + 5) 8 ( + 5) 9( + 5) ( + 5) 8 Ομοίως, έχουμε + + ii) g ( ) ( e ) e ( + ) (θέσαμε u + ) iii) h e ( ) e ( ) (ln( )) ( ) + (θέσαμε u + ) + ( + ) ( ) + Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ε του κύκλου C: + y ρ στο σημείο του Μ (, y ) ΛΥΣΗ Αν λύσουμε την εξίσωση του κύκλου ως προς y, βρίσκουμε ότι y ρ, αν y και y ρ, αν y Επομένως, ο κύκλος C αποτελείται από τα σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f ( ) ρ και f ( ) ρ

120 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 οι οποίες είναι ορισμένες στο κλειστό διάστημα [ ρ, ρ] και παραγωγίσιμες στο ανοικτό διάστημα ( ρ, ρ) Αν, τώρα, με y f() συμβολίσουμε εκείνη από τις παραπάνω συναρτήσεις στην οποία ανήκει το Μ (, y ), τότε θα ισχύει λ ε f ( ) () και + f () ρ () Έτσι, με παραγώγιση και των δύο μελών της (), έχουμε οπότε, για, θα ισχύει Έτσι, λόγω της () θα έχουμε οπότε, για y, θα είναι + f () f () + f ( ) f ( ) + y λ ε y λε Άρα, η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση: η οποία γράφεται διαδοχικά: αφού + y ρ y y ( ), y yy y + + yy + y + yy ρ, () Αν y, που συμβαίνει όταν το σημείο Μ (, y ) είναι το Α(ρ,) ή το Α ( ρ,), τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι οι εφαπτόμενες της C f στα σημεία αυτά είναι οι κατακόρυφες ευθείες ρ και ρ αντιστοίχως Και οι δυο αυτές εξισώσεις δίνονται από τον παραπάνω τύπο () για (, y ) (ρ, ) και (, y ) ( ρ, ) αντιστοίχως Με ανάλογο τρόπο βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης οποιασδήποτε άλλης κωνικής τομής

121 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i) f() ii) f( ) + ln 4 iii) f( ) + 4 Ομοίως των συναρτήσεων: iv) f ( ) συν ημ + ln i) f() ( )( ) ii) f() e ημ iii) ( ) + iv) f ημ + συν ( ) + συν v) f() ημσυν Ομοίως των συναρτήσεων: e i) f( ) ii) f() εφ + σφ ln iii) f ( ) ημ iv) f e ( ) Nα βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων: +, < i) f( ) + 6, + ημ, ii) f ( ), > 5 Nα βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f, στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα των, όταν i) f( ) ii) f( ) iii) f( ) e ( + ) 6 Aν f( ) g Ισχύει f g ; και g ( ) + +, να βρείτε τις συναρτήσεις f, +

122 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f() και g( ) + στο κοινό σημείο τους Α(,), είναι κάθετες α + α 8 Δίνεται η συνάρτηση f( ) + α, α R * Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες η κλίση της C f στο σημείο της Α(,) είναι ίση με 9 Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() + 5, στα οποία η εφαπτομένη είναι: i) παράλληλη προς την ευθεία y 9 + ii) κάθετη προς την ευθεία y Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f ( ) η οποία άγεται από το σημείο Α(, ) Δίνεται η συνάρτηση f() α + β + γ, α, βγ, R Να βρείτε τις τιμές των αβγ,, R για τις οποίες η C f, διέρχεται από το σημείο Α(,) και εφάπτεται της ευθείας y στην αρχή των αξόνων Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: i) f() ( ) ii) f() ( ) / iii) f ( ) ημ iv) f( ) ln + v) f( ) e Nα βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο όταν: i) f( ) +, ii) f () () / + () /, 4 iii) f() ημ (π), iv) f( ) 6 4 Nα βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: i) f() ln ii) f() 5 +, iii) f() (ln), > iv) f() ημ e συν

123 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 Aν f ( ) ημ, να αποδείξετε ότι f () + 4 f( ) B ΟΜΑΔΑΣ Nα αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f( ) και g() + έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο οι εφαπτομένες τους είναι κάθετες Να αποδείξετε ότι η ευθεία y έχει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() δύο κοινά σημεία και εφάπτεται αυτής σε ένα από τα σημεία αυτά Δίνονται οι συναρτήσεις f() α + β + και g ( ) Να βρείτε τα α, β R για τα οποία οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f() e και g() Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(,) εφάπτεται και στην C g 5 Να βρείτε πολυώνυμο τρίτου βαθμού τέτοιο, ώστε f() 4, f ( ), f () 4 και f () () 6 6 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο f δεύτερου βαθμού του οποίου η γραφική παράσταση να εφάπτεται των ευθειών y + και y στα σημεία Α(,) και Β(,) αντιστοίχως 7 Αν μία συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιμη στο σημείο α, να αποδείξετε ότι i) α e f( ) e f ( α) α ii) lim e ( f( α) + f ( α )) α α 8 Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() ημ ημ, [ π, ], στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα των 9 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i) f( ), ii) f( ) 4

124 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ και στη συνέχεια την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο Ο(,) σε καθεμια περίπτωση χωριστά Έστω f μια παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση για την οποία ισχύει f () και g η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα g() f( + + ), R Να αποδείξετε οτι η εφαπτομένη της C f στο Α(, f()) εφάπτεται της C g στο Β(, g()) Έστω μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο διάστημα (,), για την οποία ισχύει f(ημ) e συν, για κάθε ( π /, π / ) i) Να βρείτε την f () ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(, f()) σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο 4 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Στην αρχή του κεφαλαίου αυτού, ορίσαμε τη στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t ως το όριο St () St ( ) S t t t t t Το όριο αυτό το λέμε και ρυθμό μεταβολής της τετμημένης S του κινητού ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t Γενικά, ΟΡΙΣΜΟΣ Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f ( ), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο f ( ) Για παράδειγμα, ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t είναι η παράγωγος υ ( t ), της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t Η παράγωγος υ ( t ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t και συμβολίζεται με α(t ) Είναι δηλαδή α(t ) υ (t ) S (t ) Στην οικονομία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος Έτσι, η παράγωγος K ( ) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσότητα, όταν και

125 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται οριακό κόστος στο Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο και οριακό κέρδος στο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ένα βότσαλο που ρίχνεται σε μία λίμνη προκαλεί κυκλικό κυματισμό Μία συσκευή μέτρησης δείχνει ότι τη χρονική στιγμή t που η ακτίνα r του κυματισμού είναι 5 cm, ο ρυθμός μεταβολής της r είναι cm/sec Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε που περικλείεται από το κυκλικό κύμα, τη χρονική στιγμή t ΛΥΣΗ Επειδή E π r και η ακτίνα r είναι συνάρτηση του χρόνου t, έχουμε οπότε Επομένως, E(t) πr (t), E (t) πr(t) r (t) E (t ) πr(t ) r (t ) π 5 π (cm /sec) Aν το συνολικό κόστος παραγωγής μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι K() και η συνολική είσπραξη από την πώλησή τους είναι E(), τότε P() E() ( ) K() είναι το συνολικό κέρδος και μ ( ) είναι το μέσο κόστος i) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους μηδενίζεται όταν ο ρυθμός μεταβολής του κόστους και ο ρυθμός μεταβολής της είσπραξης είναι ίσοι ii) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους μηδενίζεται όταν το μέσο κόστος είναι ίσο με το οριακό κόστος ΛΥΣΗ i) Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι P () E () K () Επομένως, P ( ) E ( ) K ( ) E ( ) K ( )

126 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 ii) Ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι Επομένως K ( K K ) ( ) ( ) µ K ( ) K ( ) µ K ( ) K ( ) K ( ) K ( ) K ( ) µ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Mια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λιώνει Η ακτίνα της, που ελαττώνεται, δίνεται σε cm από τον τύπο r 4 t, όπου t ο χρόνος σε sec Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας Ε και του όγκου V της μπάλας, όταν t sec (Θυμηθείτε ότι E 4πr και V 4 π r ) Ο όγκος V ενός σφαιρικού μπαλονιού που φουσκώνει αυξάνεται με ρυθμό cm /sec Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η ακτίνα του r τη χρονική στιγμή t, που αυτή είναι ίση με 9 cm; To κόστος παραγωγής, K(), και η τιμή πώλησης, Π(), μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις K( ) και Π() 4 αντιστοίχως Να βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους, P() Π() K(), είναι θετικός 4 Δύο πλοία Π και Π αναχωρούν συγχρόνως από ένα λιμάνι Λ Το πλοίο Π κινείται ανατολικά με ταχύτητα 5 km/h και το Π βόρεια με ταχύτητα km/h i) Να βρείτε τις συναρτήσεις θέσεως των Π και Π

127 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii) Να αποδείξετε ότι η απόσταση d (Π Π ) των δυο πλοίων αυξάνεται με σταθερό ρυθμό τον οποίο και να προσδιορίσετε 5 Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y, Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής 4 της τετμημένης του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι (t) > για κάθε t Β ΟΜΑΔΑΣ Αν η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό cm /sec, να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής όταν r 85 cm Έστω Τ το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία Ο(,), Α(,) και Β(,ln), με > Αν το μεταβάλλεται με ρυθμό 4 cm/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Τ, όταν 5cm Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί στη ράμπα του διπλανού σχήματος και το κουτί κινείται με ταχύτητα m/s Να βρείτε πόσο γρήγορα ανυψώνεται το κουτί, δηλαδή το ρυθμό μεταβολής του y 4 Ένα αερόστατο Α αφήνει το έδαφος σε απόσταση m από έναν παρατηρητή Π με ταχύτητα 5 m/min Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνία θ που σχηματίζει η ΑΠ με το έδαφος τη χρονική στιγμή κατά την οποία το μπαλλόνι βρίσκεται σε ύψος m 5 Mία γυναίκα ύψους,6 m απομακρύνεται από τη βάση ενός φανοστάτη ύψους 8 m με ταχύτητα,8 m/s Με ποια ταχύτητα αυξάνεται ο ίσκιος της;

128 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 6 Ένα περιπολικό Α κινείται κατά μήκος της καμπύλης y, πλησιάζοντας την ακτή και ο προβολέας του φωτίζει κατευθείαν εμπρός (Σχήμα) Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του περιπολικού δίνεται από τον τύπο α (t) α(t) να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ της ακτής στο οποίο πέφτουν τα φώτα του προβολέα τη χρονική στιγμή κατά την οποία το περιπολικό έχει τετμημένη 7 Μία σκάλα μήκους m είναι τοποθετημένη σ έναν τοίχο Το κάτω μέρος της σκάλας γλυστράει στο δάπεδο με ρυθμό, m/sec Τη χρονική στιγμή t, που η κορυφή της σκάλας απέχει από το δάπεδο,5 m, να βρείτε: i) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ (Σχήμα) ii) Την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή Α της σκάλας m 8 Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση + y Καθώς περνάει από το σημείο A,, η τεταγμένη y ελαττώνεται με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α 5 TO ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Στην παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε ένα από τα πλέον βασικά θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού που είναι γνωστό ως Θεώρημα Μέσης Τιμής Αρχικά διατυπώνουμε το Θεώρημα του Rolle, το οποίο είναι ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής και στη συνέχεια διατυπώνουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής, το οποίο αποδεικνύεται με τη βοήθεια του Θεωρήματος του Rolle

129 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle) Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και f (α) f (β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε: f (ξ) Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο Μ(ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα των Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f() 4 + 5, [, ] (Σχ 9) Επειδή η f είναι συνεχής στο [,], παραγωγίσιμη στο (,), με f () 4 και f() f(), σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, θα υπάρχει ένας αριθμός ξ (, ) τέτοιος, ώστε f (ξ) Για την εύρεση του αριθμού ξ, έχουμε: f ( ξ) ξ 4 ξ ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού ΘΜΤ) Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε: f ( ξ ) f( β) f( α) β α

130 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(ξ, f ( ξ)) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f( ), [ 4, ] Επειδή η f είναι συνεχής στο [,4] και παραγωγίσιμη στο (,4), με f ( ), σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής, θα υπάρχει ένας αριθμός ξ (, 4 ) τέτοιος, ώστε f( 4) f( ) f ( ξ ) 4 Για την εύρεση του αριθμού ξ, έχουμε: f ( ξ ) ξ ξ ξ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Nα αποδειχτεί ότι: i) Η συνάρτηση f() λ + * (λ + ), λ R, ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [,] ii) Η εξίσωση λ * + (λ + ), λ R έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (,) ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [,] αφού είναι συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική είναι παραγωγίσιμη στο (,) με f () λ + (λ + ) και ισχύει f() f()

131 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii) Αφού, λοιπόν, για τη συνάρτηση f() λ + (λ + ), λ R * ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle, θα υπάρχει ξ (,) τέτοιο, ώστε f (ξ) ή, ισοδύναμα, λξ + ξ (λ + ) Επομένως, το ξ (,) θα είναι ρίζα της εξίσωσης λ + (λ + ) Να αποδειχτεί ότι για τη συνάρτηση f () α + β + γ, α και για οποιοδήποτε διάστημα [, ], ο αριθμός (, ), που ικανοποιεί το συμπέρασμα του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, είναι το κέντρο του διαστήματος [, ], δηλαδή είναι + ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η συνάρτηση f() α + β + γ είναι συνεχής στο [, ] ως πολυωνυμική και παραγωγίσιμη στο (, ), με f () α + β Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει (, ), τέτοιο, ώστε f ( ) f( ) f( ) () Είναι όμως: f( ) f( ) α + β + γ α β γ α ( )( + ) + β ( ) ( )[ α( + ) + β] α( + ) + β Επομένως, η σχέση () γράφεται: + α + β α( + ) + β Ένα αυτοκίνητο διήνυσε μία διαδρομή χιλιομέτρων σε,5 ώρες Να αποδειχθεί ότι κάποια χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της διαδρομής, η ταχύτητα του αυτοκινήτου ήταν 8 χιλιόμετρα την ώρα ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω S(t), t [,, 5 ] η συνάρτηση θέσης του κινητού Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει t [,, 5], τέτοια ώστε υ(t ) S (t ) 8 Η συνάρτηση S είναι συνεχής στο [,,5] και παραγωγίσιμη στο (,,5) Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει t (,,5) τέτοιο, ώστε S( 5, ) S( ) υ( t) S ( t) 8 χιλιόμετρα την ώρα 5, 5,

132 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Nα εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα που αναφέρεται, και στη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει, να βρείτε όλα τα ξ ( α, β ) για τα οποία ισχύει f (ξ) i) f() +, [, ] ii) f() ημ,, π iii) f() + συν, [, π] iv) ( ), [, ] Να εξετάσετε, ποιές από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα που αναφέρεται και στη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει το θεώρημα, να βρείτε όλα τα ξ ( α, β ) για τα οποία f( β) f( α) ισχύει f ( ξ ) β α i) f() +, [, 4] ii) f() ημ,, π +, iii) f( ), [, ], > Αν α < β, να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f() e και g() ln ικανοποιούν τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα [α, β] και στη συνέχεια ότι: e α β α e e β < < e και β α ln β lnα < < β β α α Για τη συνάρτηση g() ln υποθέτουμε επιπλέον ότι < α < β Β ΟΜΑΔΑΣ Δίνεται η συνάρτηση f() i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (,) και μια, τουλάχιστον, στο διάστημα (,) ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (,)

133 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( )ημ Να αποδείξετε ότι: i) Η εξίσωση f () έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο ανοικτό διάστημα (,) ii) Η εξίσωση εφ έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο ανοικτό διάστημα (,) i) Δίνεται μια συνάρτηση f με f ( ) για κάθε R Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 i) Να αποδείξετε ότι + ημ αληθεύει μόνο για, για κάθε R ii) Aν f είναι μία συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R, με f ( ), να αποδείξετε ότι για όλα τα αβ, R ισχύει: + f( β) f( α) β α 5 Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [, 4] και ισχύει f ( ) 5 για κάθε (, 4 ) Αν f(), να αποδείξετε ότι 9 f ( 4) 6 Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [,] και ισχύει f ( ) για κάθε (, ) Αν f( ) και f(), να αποδείξετε ότι f(), εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για την f σε καθένα από τα διαστήματα [,] και [,] 7 Να αποδείξετε με το θεώρημα του Rolle ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() και g() + + έχουν ακριβώς δυο κοινά σημεία τα Α(,), Β(,) 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤHΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Το Θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού θεωρείται μία από τις σπουδαιότερες προτάσεις της ανάλυσης, αφού με τη βοήθειά του αποδεικνύονται πολλά άλλα θεωρήματα Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα το ΘΜΤ για να αποδείξουμε τα επόμενα δύο βασικά θεωρήματα

134 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε, ισχύει f( ) f( ) Πράγματι Αν, τότε προφανώς f( ) f( ) Αν <, τότε στο διάστημα [, ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής Επομένως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f( ) f( ) f ( ξ ) Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f (ξ), οπότε, λόγω της (), είναι f( ) f( ) Αν <, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f( ) f( ) Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι f( ) f( ) ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f () g () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: f() g() + c () ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η συνάρτηση f g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει (f g) () f () g () Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση f g είναι σταθερή στο Δ Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει f() g() c, οπότε f() g() + c

135 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΙΟ Το παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση, f( ) <, > Παρατηρούμε ότι, αν και f () για κάθε (, ) (, + ), εντούτοις η f δεν είναι σταθερή στο (, ) (, + ) ΕΦΑΡΜΟΓΗ Δίνεται μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει f () f() για κάθε R () f( ) i) Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση φ( ) είναι σταθερή και ii) Να βρεθεί ο τύπος της f, αν δίνεται επιπλέον ότι f() ΛΥΣΗ i) Για κάθε R έχουμε: φ () f () ( ) f ( ) e f( e ) f ( ) f( ), e e e ( ) Επομένως, η φ είναι σταθερή στο R ii) Επειδή η φ είναι σταθερή, υπάρχει c R τέτοιο, ώστε φ() c για κάθε R ή, ισοδύναμα, c για κάθε R Επομένως f( ) e f() ce για κάθε R Επειδή f(), έχουμε c, οπότε f() e για κάθε R e

136 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 Μονοτονία συνάρτησης Έστω η συνάρτηση f() Παρατηρούμε ότι στο διάστημα (,), στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα, ισχύει f () <, ενώ στο διάστημα (,+ ), στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει f () > Βλέπουμε, δηλαδή, ότι υπάρχει μια σχέση ανάμεσα στη μονοτονία και στο πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης Συγκεκριμένα ισχύει: ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Αν f () < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f () > Έστω, με < Θα δείξουμε ότι f( ) < f( ) Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομένως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f( ) f( ) f ( ξ ), οπότε έχουμε f( ) f( ) f (ξ)( ) Επειδή f (ξ) > και >, έχουμε f ( ) f ( ) >, οπότε f ( ) < f ( ) Στην περίπτωση που είναι f () < εργαζόμαστε αναλόγως Για παράδειγμα: η συνάρτηση f( ), είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), αφού είναι συνεχής στο [, + ) και ισχύει f ( ) > για κάθε (, + )

137 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ η συνάρτηση f() είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), αφού είναι συνεχής στο [, + ) και f () ( ) > για κάθε (, + ), ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ], αφού είναι συνεχής στο (, ] και f () ( ) < για κάθε (, ) η συνάρτηση f( ) είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ), και (, + ), αφού f ( ) < για κάθε (, ) και για κάθε (, + ) ΣΧΟΛΙΟ Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(), αν και είναι γνησίως αύξουσα στο R, εντούτοις έχει παράγωγο f () η οποία δεν είναι θετική σε όλο το R, αφού f () Ισχύει όμως f ( ) για κάθε R ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Nα βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f() + είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα ΛΥΣΗ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με f () 6 6 6( ) Το πρόσημο της f δίνεται στον παρακάτω πίνακα + f () + +

138 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Επομένως, η συνάρτηση f : είναι γνησίως αύξουσα στο (, ], αφού είναι συνεχής στο (, ] και ισχύει f () > στο (, ) είναι γνησίως φθίνουσα στο [,], αφού είναι συνεχής στο [,] και ισχύει f () < στο (,) είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), αφού είναι συνεχής στο [, + ) και ισχύει f () > στο (, + ) Το πρόσημο της f και το είδος μονοτονίας της f στα διαστήματα (, ], [,] και [, + ) συγκεντρώνονται συνοπτικά στον παρακάτω πίνακα: + f () + + f () f() f() i) Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση f () συν, [, π ] είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii) Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση συν έχει ακριβώς μια λύση στο [, π] ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Είναι f () ( συν ) + ημ >, για κάθε [, π] Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, π] Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, σύμφωνα με την παράγραφο 8, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [f(), f(π)] [, π ] ii) Έχουμε: συν συν, f( ), [, π ] Επειδή το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα [,π ], που περιέχει το, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, π ), τέτοιο ώστε f ( ) Επειδή επιπλέον η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, π], η είναι μοναδική ρίζα της f() στο διάστημα αυτό Η ρίζα αυτή, όπως φαίνεται και στο σχήμα 8, είναι η τετμημένη του σημείου τομής της y και της y συν

139 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Αν για τις συναρτήσεις f, g ισχύουν: f () g() και g () f() για κάθε R, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση φ() [f()] + [g()] είναι σταθερή Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: i) f ( ) + 4 ii) f() iii) f( ) + Ομοίως των συναρτήσεων: 4, i) f( ) +, > ii) f( ) 4 Ομοίως των συναρτήσεων: i) f( ) ii) f() ln iii) f ( ) ημ+ ημ, [ π, ] e 5 Δίνονται οι συναρτήσεις f() και g( ) + i) Να αποδείξετε ότι oι f, g είναι γνησίως αύξουσες ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών τους iii) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: και + έχουν ακριβώς μία ρίζα την 6 Να αποδείξετε ότι: i) H συνάρτηση f() e + ln( + ) είναι γνησίως αύξουσα ii) Η εξίσωση e ln( + ) έχει ακριβώς μία λύση την

140 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Β ΟΜΑΔΑΣ Αν για μία συνάρτηση f που είναι ορισμένη σ όλο το R ισχύει f( ) f( y) ( y) για όλα τα y, R, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() + α είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,] ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα [,] iii) Αν < α <, να αποδείξετε ότι η εξίσωση + α έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (,) Η θέση ενός κινητού πάνω σε έναν άξονα τη χρονική στιγμή t δίνεται από τη συνάρτηση: S(t) t 4 8t +8t 6t +6, t 5 Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού και στη συνέχεια να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα: i) Πότε το κινητό έχει ταχύτητα μηδέν; ii) Πότε το κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά; iii) Πότε η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται και πότε μειώνεται; 4 Η τιμή V (σε ευρώ) ενός προϊόντος, t μήνες μετά την παραγωγή του, δίνεται από τον τύπο 5t V 5 t + ( ) Να αποδείξετε ότι το προϊόν συνεχώς υποτιμάται χωρίς, όμως, η τιμή του να μπορεί να γίνει μικρότερη από το μισό της αρχικής τιμής του 5 Να αποδείξετε ότι: 9 i) Η συνάρτηση f( ) είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της και να βρείτε το σύνολο των τιμών της f σε καθένα από τα διαστήματα αυτά ii) H εξίσωση α 9 + α είναι ισοδύναμη με την f() α και στη συνέχεια ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες για κάθε α R 6 Να βρείτε τις τιμές του α * R για τις οποίες η συνάρτηση f() α είναι γνησίως αύξουσα στο R

141 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Να αποδείξετε οτι: i) H συνάρτηση f() ημ συν είναι γνησίως αύξουσα στο κλειστό διάστημα, π ii) ημ συν >, για κάθε, π iii) H συνάρτηση f ( ) ημ είναι γνησίως φθίνουσα στο ανοικτό διάστημα, π 8 Να αποδείξετε ότι: i) H συνάρτηση f () ημ + εφ,, π είναι γνησίως αύξουσα ii) ημ+ εφ, για κάθε, π 7 TOΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του τοπικού ακροτάτου Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα (α, β] Παρατηρούμε ότι στο σημείο η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο Το ίδιο συμβαίνει και στα σημεία και Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε f ( ) f( ) για κάθε A ( δ, + δ ) Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το f( ) τοπικό μέγιστο της f

142 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 4 Aν η ανισότητα f ( ) f( ) ισχύει για κάθε A, τότε, όπως είδαμε στην παράγραφο, η f παρουσιάζει στο A ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο, το f( ) Στο διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι στο σημείο η τιμή της συνάρτησης είναι μικρότερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό ελάχιστο Το ίδιο συμβαίνει και στα σημεία και β Γενικά, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε f( ) f( ), για κάθε A (, + ) δ δ Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το f( ) τοπικό ελάχιστο της f Αν η ανισότητα f( ) f( ) ισχύει για κάθε A, τότε, όπως είδαμε στην παράγραφο, η f παρουσιάζει στο A ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο, το f( ) Τα τοπικά μέγιστα και τοπικά ελάχιστα της f λέγονται τοπικά ακρότατα ή, απλά, ακρότατα αυτής, ενώ τα σημεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα λέγονται θέσεις τοπικών ακροτάτων Το μέγιστο και το ελάχιστο της f λέγονται ολικά ακρότατα αυτής Για παράδειγμα, η συνάρτηση, αν f ( ), αν > παρουσιάζει: i) στο τοπικό ελάχιστο, το f(), το οποίο είναι και ολικό ελάχιστο και ii) στο τοπικό μέγιστο, το f() Η συνάρτηση f αν και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, εντούτοις δεν παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο

143 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΙΑ i) Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο (Σχα) ii) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα (Σχ β) Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης (Σχ α) Προσδιορισμός των τοπικών ακροτάτων Με μια προσεκτική παρατήρηση του σχήματος β βλέπουμε ότι αν σ ένα εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και επιπλέον είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε στο σημείο Α(, f( )) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι οριζόντια, δηλαδή ισχύει f ( ) Αυτό επιβεβαιώνεται από το παρακάτω θεώρημα, που είναι γνωστό ως Θεώρημα του Fermat ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: f ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε ( δ, + δ) και f ( ) f( ), για κάθε ( δ, + δ ) ()

144 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 4 Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει f f f f f ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) + Επομένως, αν ( δ, ), τότε, λόγω της (), θα είναι f ( ) f ( ), οπότε θα έχουμε f f f ( ) lim ( ) ( ) αν (, + δ ), τότε, λόγω της (), θα είναι () f( ) f( ), οπότε θα έχουμε f f f ( ) lim ( ) ( ) () + Έτσι, από τις () και () έχουμε f ( ) Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη ΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η f είναι διαφορετική από το μηδέν, δεν είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων Επομένως, όπως φαίνεται και στα σχήματα 9 και, οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ είναι: Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της) Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση, < f( ) ( ), Η f είναι συνεχής στο R και παραγωγίσιμη σε όλο το R εκτός από το, με:, < f ( ) ( ), > Οι ρίζες της f () είναι οι και

145 44 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Επειδή η f μηδενίζεται στα σημεία και, ενώ δεν υπάρχει στο, τα κρίσιμα σημεία της f είναι οι αριθμοί, και Όμως, όπως φαίνεται στο σχήμα, τα σημεία και είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων, ενώ το σημείο δεν είναι θέση τοπικού ακροτάτου Άρα δεν είναι όλα τα κρίσιμα σημεία θέσεις τοπικών ακροτάτων της f Επομένως, χρειαζόμαστε ένα κριτήριο το οποίο να μας πληροφορεί ποια από τα κρίσιμα σημεία της f είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων αυτής Σχετικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής i) Αν f () > στο (α, ) και f () < στο (, β), τότε το f ( ) είναι τοπικό μέγιστο της f (Σχ 5α) ii) Αν f () < στο (α, ) και f () > στο (, β), τότε το f ( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f (Σχ 5β) iii) Aν η f () διατηρεί πρόσημο στο ( α, ) (, β), τότε το f ( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α, β) (Σχ 5γ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Επειδή f () > για κάθε ( α, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ] Έτσι έχουμε f ( ) f( ), για κάθε ( α, ] () Επειδή f () < για κάθε (, β ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β) Έτσι έχουμε: f () f ( ), για κάθε [, β ) () Επομένως, λόγω των () και (), ισχύει: f ( ) f( ), για κάθε ( αβ,, ) που σημαίνει ότι το f( ) είναι μέγιστο της f στο (α, β) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής

146 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 45 ii) Εργαζόμαστε αναλόγως iii) Έστω ότι f () >, για κάθε ( α, ) (, β) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (α, ] και [, β) Επομένως, για < < ισχύει f( ) < f( ) < f( ) Άρα το f( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο της f Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β) Πράγματι, έστω, ( αβ, ) με < Αν, ( α, ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ], θα ισχύει f( ) < f( ) Αν, [, β ), επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, β), θα ισχύει f( ) < f( ) Τέλος, αν < <, τότε όπως είδαμε f( ) < f( ) < f( ) Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f ( ) < f( ), οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β) Ομοίως, αν f () < για κάθε ( α, ) (, β) Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f() 4 4 που είναι ορισμένη στο R Η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με f () 4 Οι ρίζες της f () είναι (διπλή) ή, το δε πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

147 46 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ + f () + Σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ], γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ) και παρουσιάζει ένα μόνο τοπικό ακρότατο, συγκεκριμένα ολικό ελάχιστο για, το f() 7 ΣΧΟΛΙΑ Όπως είδαμε στην απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος στην πρώτη περίπτωση το f ( ) είναι η μέγιστη τιμή της f στο (α, β), ενώ στη δεύτερη περίπτωση το f ( ) είναι η ελάχιστη τιμή της f στο (α, β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα κλειστό διάστημα [α, β], όπως γνωρίζουμε (Θεώρημα 8),η f παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο Για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f Υπολογίζουμε τις τιμές της f στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της f Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f ( ) , [ 5,] Έχουμε f () 6 + 4, [ 5,] Οι ρίζες της f () είναι οι, 4 Επομένως, τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα, 4 Οι τιμές της f στα κρίσιμα σημεία και στα άκρα του διαστήματος [, 5] είναι f(), f(4), f() 9 και f(5) 4 Άρα, η μέγιστη τιμή της f στο [, 5] είναι ίση με και παρουσιάζεται για, ενώ η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με και παρουσιάζεται για 4 Για να εφαρμόσουμε το προηγούμενο θεώρημα απαιτείται να προσδιορίσουμε το πρόσημο της f εκατέρωθεν του Όταν ο προσδιορισμός αυτός δεν είναι εύκολος ή είναι αδύνατος, τότε το παρακάτω θεώρημα, του οποίου η απόδειξη παραλείπεται, μπορεί να μας πληροφορήσει αν το είναι θέση τοπικού ακρότατου ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β) και ένα σημείο του (α, β) στο οποίο η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη Αν f ( ) και f ( ) <, τότε το f ( ) είναι τοπικό μέγιστο Αν f ( ) και f ( ) >, τότε το f ( ) είναι τοπικό ελάχιστο

148 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 47 Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να βρούμε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης Έχουμε f() + συν, ( π, ) f () ημ και f () συν, οπότε οι ρίζες της f είναι οι π 6 και 5 π 6 Για π 6, είναι f π 6 <, ενώ για 5 π, είναι 6 Έτσι έχουμε f 5π 6 > α) f π 6 και f π 6 < π, οπότε το f 6 είναι τοπικό μέγιστο της f β) f 5π 6 και f 5π 6 > 5π, οπότε το f 6 είναι τοπικό ελάχιστο της f ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Nα βρεθεί το [, ] έτσι, ώστε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος να έχει μέγιστο εμβαδό ΛΥΣΗ Το εμβαδό του ορθογωνίου είναι E() (ΑΒ)(ΑΔ) ( ) +6 Έχουμε E () ( + )( ) Οι ρίζες της E () είναι οι, Η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον παρακάτω πίνακα

149 48 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Άρα, η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι ίση με 4 και παρουσιάζεται όταν Έστω η συνάρτηση f() ln i) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii) Να αποδειχτεί ότι ln, για κάθε > ΛΥΣΗ i) Έχουμε f ( ), (, + ) Η εξίσωση f () έχει μία μόνο ρίζα, την Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: ii) Επειδή η f για παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, για κάθε (, + ) ισχύει: Η ισότητα ισχύει μόνο όταν f( ) f() ln ln Μία βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης Π(), σε ευρώ, κάθε μονάδας ενός προϊόντος, συναρτήσει του πλήθους των μονάδων παραγωγής, σύμφωνα με τον τύπο Π() 4 6 Το κόστος παραγωγής μιας μονάδας είναι 4 ευρώ Αν η βιομηχανία πληρώνει φόρο ευρώ για κάθε μονάδα προϊόντος, να βρεθεί πόσες μονάδες προϊόντος πρέπει να παράγει η βιομηχανία, ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος ΛΥΣΗ Η είσπραξη από την πώληση μονάδων παραγωγής είναι E() Π() (4 6) Το κόστος από την παραγωγή μονάδων είναι K() 4 Το ολικό κόστος μετά την πληρωμή του φόρου είναι: K ολ () 4 + 5

150 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 49 Επομένως, το κέρδος της βιομηχανίας είναι P() E() K ολ () Έχουμε P'() + 48, οπότε η P () έχει ρίζα την 9 Η μονοτονία και τα ακρότατα της Ρ στο (, + ) φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Επομένως, το μέγιστο κέρδος παρουσιάζεται όταν η βιομηχανία παράγει 9 μονάδες από το προϊόν αυτό και είναι ίσο με 546 χιλιάδες ευρώ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ H παράγωγος μιας συνάρτησης f είναι f () ( ) ( ) ( ) Για ποιες τιμές του η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και για ποιες παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο; α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i) f() + + ii) g() + iii) h() β) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών των εξισώσεων: + +, +,

151 5 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i) f( ) e,, > +, < ii) g( ) 4+, 4 Nα μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i) f() e ii) f(), > 5 Nα βρείτε τις τιμές των α, β R για τις οποίες η συνάρτηση f() α + β + παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία και Να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων 6 Να αποδείξετε ότι, από όλα τα οικόπεδα σχήματος ορθογωνίου με εμβαδό 4 m, το τετράγωνο χρειάζεται τη μικρότερη περίφραξη 7 Με συρματόπλεγμα μήκους 8 m θέλουμε να περιφράξουμε οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου Να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν 8 Μία ώρα μετά τη λήψη mgr ενός αντιπυρετικού, η μείωση της θερμοκρασίας ενός ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση T( ), < < Να βρείτε 4 ποια πρέπει να είναι η δόση του αντιπυρετικού, ώστε ο ρυθμός μεταβολής της μείωσης της θερμοκρασίας ως προς, να γίνει μέγιστος 9 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος με πλευρά cm Αν το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει τις κορυφές του στις πλευρές του ΑΒΓΔ, i) να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ συναρτήσει του ii) να βρείτε το έτσι, ώστε το εμβαδόν E() του ΕΖΗΘ να γίνει ελάχιστο Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι K( ) ευρώ, για 5, ενώ η είσπραξη από την πώληση των μονάδων είναι E() 4 ευρώ Να βρεθεί η ημερήσια παραγωγή του εργοστασίου, για την οποία το κέρδος γίνεται μέγιστο

152 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 Β ΟΜΑΔΑΣ Δίνεται η συνάρτηση f() ημ +, [, π ] i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και ακρότατα ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ημ έχει ακριβώς μία ρίζα στο (, π) i) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f() ln + και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της ii) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση φ() ln iii) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g() ln και h( ) + έχουν ένα μόνο κοινό σημείο στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτομένη Να αποδείξετε ότι για κάθε > ισχύει i) α) e > + ii) α) συν > β) e > + + β) ημ > 6 iii) α) ( + ) ν > + ν, ν με ν ν νν ( ) β) ( + ) > + ν +, ν με ν 4 Να αποδείξετε ότι, αν για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο R, ισχύει τότε η f δεν έχει ακρότατα f () + 6 f ( ) + 6 +,

153 5 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 Στο διπλανό σχήμα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f, g σ ένα διάστημα [α, β] Το σημείο ξ ( α, β ) είναι το σημείο στο οποίο η κατακόρυφη απόσταση (ΑΒ) μεταξύ των C f και C g παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των C f και C g στα σημεία Α(ξ, f(ξ)) και Β(ξ, g(ξ)) είναι παράλληλες 6 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() ( α) ( β) ( γ), με α < β < γ έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα 7 Με ένα σύρμα μήκους 4 m κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς m και ένα τετράγωνο πλευράς y m i) Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων συναρτήσει της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώνου ii) Για ποια τιμή του το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο 8 Δίνεται η συνάρτηση f( ) και το σημείο A 9, i) Να βρείτε το σημείο Μ της C f που απέχει από το σημείο Α τη μικρότερη απόσταση ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο Μ είναι κάθετη στην ΑΜ 9 Όπως γνωρίζουμε, ο στίβος του κλασικού αθλητισμού αποτελείται από ένα ορθογώνιο και δύο ημικύκλια Αν η περίμετρος του στίβου είναι 4 m, να βρείτε τις διαστάσεις του, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου μέρους να γίνει μέγιστο Η ναύλωση μιας κρουαζιέρας απαιτεί συμμετοχή τουλάχιστον ατόμων Αν δηλώνουν ακριβώς άτομα, το αντίτιμο ανέρχεται σε ευρώ το άτομο Για κάθε επιπλέον άτομο το αντίτιμο ανά άτομο μειώνεται κατά 5 ευρώ Πόσα άτομα πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή, ώστε να έχουμε τα περισσότερα έσοδα;

154 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 Έστω Ε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου του διπλανού σχήματος Υποθέτουμε οτι τη χρονική στιγμή t είναι r cm και r 5 cm και ότι για t > η ακτίνα r αυξάνεται με σταθερό ρυθμό,5 cm/s, ενώ η ακτίνα r αυξάνεται με σταθερό ρυθμό,4 cm/s Να βρείτε: i) πότε θα μηδενιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου και ii) πότε θα μεγιστοποιηθεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα κανάλι του οποίου η κάθετη διατομή ΑΒΓΔ φαίνεται στο διπλανό σχήμα i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της διατομής ΑΒΓΔ είναι ίσο με E 4ημθ( + συνθ) m m m ii) Για ποια τιμή του θ το εμβαδόν της κάθετης διατομής μεγιστοποιείται; Ένας κολυμβητής Κ βρίσκεται στη θάλασσα ft () μακριά από το πλησιέστερο σημείο Α μιας ευθύγραμμης ακτής, ενώ το σπίτι του Σ βρίσκεται ft μακρυά από το σημείο Α Υποθέτουμε ότι ο κολυμβητής μπορεί να κολυμβήσει με ταχύτητα ft/s και να τρέξει στην ακτή με ταχύτητα 5 ft/s i) Να αποδείξετε οτι για να διανύσει τη διαδρομή ΚΜΣ του διπλανού σχήματος χρειάζεται χρόνο + Τ ( ) + 5 ii) Για ποια τιμή του o κολυμβητής θα χρειαστεί το λιγότερο δυνατό χρόνο για να φθάσει στο σπίτι του; 4 Ένας εργολάβος επιθυμεί να χτίσει ένα σπίτι στο δρόμο που συνδέει δύο εργοστάσια E και E τα οποία βρίσκονται σε απόσταση km και εκπέμπουν καπνό με παροχές Ρ και km () ft,48 cm

155 54 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8P αντιστοίχως Αν η πυκνότητα του καπνού σε μια απόσταση d από ένα τέτοιο εργοστάσιο είναι ανάλογη της παροχής καπνού του εργοστασίου και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης d, να βρείτε σε ποια απόσταση από το εργοστάσιο E πρέπει ο εργολάβος να χτίσει το σπίτι για να έχει τη λιγότερη δυνατή ρύπανση (Παροχή καπνού μιας καπνοδόχου ενός εργοστασίου λέγεται η ποσότητα του καπνού που εκπέμπεται από την καπνοδόχο στη μονάδα του χρόνου) 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Κοίλα - κυρτά συνάρτησης Έστω οι συναρτήσεις f() και g( ) (Σχ 8) Οι πληροφορίες τις οποίες μας δίνει η πρώτη παράγωγος για τη συμπεριφορά κάθε μιας από τις δύο συναρτήσεις, όπως φαίνεται και στο σχήμα 8 είναι ίδιες Δηλαδή οι συναρτήσεις, είναι γνησίως φθίνουσες στο (, ] είναι γνησίως αύξουσες στο [, + ) παρουσιάζουν τοπικό ελάχιστο για, το οποίο είναι ίσο με Όμως, οι συναρτήσεις αυτές έχουν διαφορετικές γραφικές παραστάσεις Δηλαδή, ανέρχονται και κατέρχονται με διαφορετικό τρόπο σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, ] και [, + ) Επομένως, οι πληροφορίες που μας δίνει το πρόσημο της πρώτης παραγώγου δεν είναι ικανές για τη χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης Ας θεωρήσουμε τώρα τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο διάστημα [, + )

156 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 55 f Παρατηρούμε ότι καθώς το αυξάνεται: η κλίση f () της C f αυξάνεται, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), ενώ η κλίση της g () της C g ελαττώνεται, δηλαδή η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ) Στην πρώτη περίπτωση λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο (, + ), ενώ στη δεύτερη περίπτωση λέμε ότι η g στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο (, + ) Γενικότερα, δίνουμε τον παρακάτω ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θα λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ Εποπτικά, μία συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σε ένα διάστημα Δ, όταν ένα κινητό, που κινείται πάνω στη C f, για να διαγράψει το τόξο που αντιστοιχεί στο διάστημα Δ πρέπει να στραφεί κατά τη θετική (αντιστοίχως αρνητική) φορά (Σχ 4)

157 56 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για να δηλώσουμε στον πίνακα μεταβολών ότι μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σε ένα διάστημα Δ, χρησιμοποιούμε το συμβολισμό (αντιστοίχως ) ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω (αντιστοίχως πάνω ) από τη γραφική της παράσταση (Σχ 9), με εξαίρεση το σημείο επαφής τους Η μελέτη μιας συνάρτησης ως προς τα κοίλα και κυρτά διευκολύνεται με τη βοήθεια του επόμενου θεωρήματος, που είναι άμεση συνέπεια του προηγούμενου ορισμού και του θεωρήματος μονοτονίας ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Αν f () > για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ Αν f () < για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι κοίλη στο Δ Για παράδειγμα, η συνάρτηση f() (Σχ 4), είναι κοίλη στο (, ], αφού f () 6 <, για (, ) και η f είναι συνεχής στο (, ] ενώ, είναι κυρτή στο [, + ), αφού f () 6 >, για (, + ) και η f είναι συνεχής στο [, + ) ΣΧΟΛΙΟ Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f() 4 (Σχ 4) Επειδή η f () 4 είναι γνησίως αύξουσα στο R, η f() 4 είναι κυρτή στο R Εντούτοις, η f () δεν είναι θετική στο R, αφού f () Σημεία καμπής Στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() (Σχ 4) παρατηρούμε ότι, (α) στο σημείο Ο(, ) η γραφική παράσταση της f έχει εφαπτομένη και (β) εκατέρωθεν του, η κυρτότητα της καμπύλης αλλάζει

158 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 57 Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η γραφική παράσταση της f κάμπτεται στο σημείο Ο(, ) Το σημείο Ο λέγεται σημείο καμπής της C f Γενικά δίνουμε τον παρακάτω ορισμό ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του Αν η f είναι κυρτή στο (α, ) και κοίλη στο (, β), ή αντιστρόφως, και η C f έχει εφαπτομένη στο σημείο Α(, f( )), τότε το σημείο Α(, f( )) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f Όταν το Α(, f( )) είναι σημείο καμπής της C f, τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο καμπή και το λέγεται θέση σημείου καμπής Στα σημεία καμπής η εφαπτομένη της C f διαπερνά την καμπύλη Αποδεικνύεται, επιπλέον, ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν το Α(, f( )) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε f ( ) Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος Δ στα οποία η f είναι διαφορετική από το μηδέν δεν είναι θέσεις σημείων καμπής Επομένως, οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ είναι: i) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f μηδενίζεται, και ii) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η f (Σχ 4) Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση, < f( ) 4 ( ), (Σχ 44) Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R {} με 6, < f ( ) ( ), >

159 58 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα: + f () f () κοίλη κυρτή κυρτή κυρτή Επειδή η f μηδενίζεται στα σημεία και, ενώ δεν υπάρχει στο, οι πιθανές θέσεις των σημείων καμπής είναι τα σημεία, και Όμως, όπως φαίνεται στον παραπάνω πίνακα και στο σχήμα, τα σημεία και δεν είναι θέσεις σημείων καμπής, αφού σ αυτά η f δεν αλλάζει κυρτότητα, ενώ το σημείο είναι θέση σημείου καμπής, αφού στο Ο(, f ( )) υπάρχει εφαπτομένη της C f και η f στο αλλάζει κυρτότητα Παρατηρούμε λοιπόν ότι από τις πιθανές θέσεις σημείων καμπής, θέση σημείου καμπής είναι μόνο το, εκατέρωθεν του οποίου η f αλλάζει πρόσημο Γενικά: Έστω μια συνάρτηση f oρισμένη σ ένα διάστημα (α, β) και ( αβ, ) Αν η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του και ορίζεται εφαπτομένη της C f στο Α(, f( )), τότε το Α(, f( )) είναι σημείο καμπής ΕΦΑΡΜΟΓH Nα προσδιορισθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f() , είναι κυρτή ή κοίλη και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης ΛΥΣΗ i) Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με f () ( )( + ) Το πρόσημο της f φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα: + f () + + f () ΣΚ ΣΚ Επομένως, η f είναι κυρτή σε καθένα από τα διαστήματα (, ] και [, + ) και κοίλη στο διάστημα [,]

160 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 59 Επειδή η f μηδενίζεται στα σημεία, και εκατέρωθεν αλλάζει πρόσημο, τα σημεία Α(,) και Β(,) είναι σημεία καμπής της C f Τα συμπεράσματα αυτά καταχωρούνται στην τελευταία γραμμή του παραπάνω πίνακα ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σημεία καμπής των γραφικών τους παραστάσεων i) f() ii) g ( ) Ομοίως για τις συναρτήσεις: i) f() e ii) g() (ln 5), iii) h( ) + < + +, Ομοίως για τις συναρτήσεις: i) f( ) e ii) g( ), π π εφ, iii) h ( ) iv) ϕ( ), v) ψ ( ) <, 4 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μίας συνάρτησης f στο διάστημα [,]

161 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων και σημείων καμπής 5 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C της συνάρτησης θέσεως S(t) ενός κινητού που κινείται πάνω σε έναν άξονα Αν η C παρουσιάζει καμπή τις χρονικές στιγμές t και t, να βρείτε: i) Πότε το κινητό κινείται κατά τη θετική φορά και πότε κατά την αρνητική φορά ii) Πότε η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται και πότε μειώνεται Β ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: f( ) + και να αποδείξετε ότι δύο από αυτά είναι συμμετρικά ως προς το τρίτο Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f() e α έχει για κάθε τιμή του α R, ακριβώς ένα σημείο καμπής που βρίσκεται στην παραβολή y + Να αποδείξετε ότι για κάθε α (, ) η συνάρτηση f() 4 α είναι κυρτή σε όλο το R 4 Δίνεται η συνάρτηση f() + i) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής ii) Αν, είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και η θέση του σημείου καμπής, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α(, f( )), Β(, f( )) και Γ(, f( )) είναι συνευθειακά

162 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 5 Έστω f μια συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη στο (,), για την οποία ισχύει f () f() + Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει σημεία καμπής 9 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL Aσύμπτωτες Έστω η συνάρτηση f( ) (Σχ 45) Όπως είδαμε: lim f( ) lim Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το τείνει στο από θετικές τιμές, η γραφική παράσταση της f τείνει να συμπέσει με την ευθεία Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim f( ), lim f( ) είναι + ή, τότε η ευθεία + λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f Για την ίδια συνάρτηση παρατηρούμε ότι: lim f( ) lim + + Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το τείνει στο +, η γραφική παράσταση της f τείνει να συμπέσει με την ευθεία y Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο + Επίσης παρατηρούμε ότι lim f( ) lim Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το τείνει στο, η γραφική παράσταση της f τείνει να συμπέσει με την ευθεία y Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο Γενικά:

163 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Αν lim f( ) (αντιστοίχως lim f( ) ), τότε η ευθεία y λέγεται οριζόντια + ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + (αντιστοίχως στο ) Έστω η συνάρτηση και η ευθεία f( ) + g() (Σχ 46) Επειδή lim[ f( ) g ( )] lim, καθώς το + + τείνει στο +, οι τιμές της f προσεγγίζουν τις τιμές της g Δηλαδή, η γραφική παράσταση της f προσεγγίζει την ευθεία y Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία y είναι ασύμπτωτη (πλάγια) της C f στο + Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Η ευθεία y λ + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +, αντιστοίχως στο, αν lim[ f( ) ( λ + β)], αντιστοίχως + lim[ f( ) ( λ + β)] Η ασύμπτωτη y λ + β είναι οριζόντια αν λ, ενώ αν λ λέγεται πλάγια ασύμπτωτη Για τον προσδιορισμό των ασυμπτώτων μιας συνάρτησης ισχύει το παρακάτω θεώρημα, του οποίου η απόδειξη παραλείπεται ΘΕΩΡΗΜΑ Η ευθεία y λ + β είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +, αντιστοίχως στο, αν και μόνο αν αντιστοίχως f lim ( ) λ R και lim[ f( ) λ] β R, + + f lim ( ) λ R και lim[ f( ) λ] β R

164 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 ΣΧΟΛΙΑ Αποδεικνύεται ότι: Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του δεν έχουν ασύμπτωτες Οι ρητές συναρτήσεις P ( ), με βαθμό του αριθμητή P() μεγαλύτερο τουλάχιστον Q ( ) κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f αναζητούμε: Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η f δεν ορίζεται Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής Στο +,, εφόσον η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ( α, + ) αντιστοίχως (,α) ΕΦΑΡΜΟΓH Nα βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ΛΥΣΗ f ( ) * Επειδή η f έχει πεδίο ορισμού το R και είναι συνεχής σ αυτό, θα αναζητήσουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη στο και πλάγιες στο και + Είναι lim f( ) + και lim f( ), + Άρα, η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f Εξετάζουμε, τώρα, αν υπάρχει στο + ασύμπτωτη της μορφής y λ + β Έχουμε: lim ( ) f + lim + +, οπότε λ και + lim( f( ) λ) lim lim, οπότε β + + +

165 64 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Επομένως, η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + Ανάλογα βρίσκουμε ότι η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f και στο Κανόνες de L Hospital e Έστω η συνάρτηση f( ) Για να εξετάσουμε αν η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f, χρειάζεται να υπολογίσουμε το e lim Παρατηρούμε ότι, αν εφαρμόσουμε τον κανόνα του ορίου πηλίκου, παρουσιάζεται απροσδιοριστία της μορφής Οι μέθοδοι που εφαρμόσαμε στο κεφάλαιο του ορίου για την άρση της απροσδιοριστίας (απλοποίηση κτλ) δεν εφαρμόζονται στο πιο πάνω όριο Για τα όρια πηλίκου που οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές, ±, ισχύουν τα επόμενα ± θεωρήματα (η απόδειξή τους παραλείπεται), που είναι γνωστά ως κανόνες de l Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή f Αν lim f( ), lim g ( ), R {, + } και υπάρχει το lim ( ) (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: g ( ) f lim ( ) f lim ( ) g ( ) g ( ) Έτσι το παραπάνω όριο () υπολογίζεται ως εξής: Έχουμε: () και lim( e ), lim lim ( ) e e lim + ( ) Επομένως: e lim +, που σημαίνει ότι η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f

166 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 65 ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή ± ± ) f Αν lim f( ) +, lim g ( ) +, R {, + } και υπάρχει το lim ( ) g ( ) (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: f lim ( ) f lim ( ) g ( ) g ( ) Για παράδειγμα, ο υπολογισμός του lim Έχουμε: και Επομένως: ΣΧΟΛΙΑ lim e + + e γίνεται ως εξής: +, lim + + lim ( ) e e lim + ( ) + + lim + e + Το θεώρημα ισχύει και για τις μορφές +, +, Τα παραπάνω θεωρήματα ισχύουν και για πλευρικά όρια και μπορούμε, αν χρειάζεται, να τα εφαρμόσουμε περισσότερες φορές, αρκεί να πληρούνται οι προϋποθέσεις τους ΕΦΑΡΜΟΓEΣ 4e Δίνεται η συνάρτηση f( ) + Να αποδειχτεί ότι: e + i) Η ευθεία y + είναι ασύμπτωτη της C f στο ii) Η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της C f στο + ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Αρκεί να δείξουμε ότι lim[ f( ) ( + )]

167 66 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Πράγματι, έχουμε ii) Αρκεί να δείξουμε ότι Πράγματι, έχουμε e lim[ f( ) ( + 4 )] lim e lim[ f( ) ( )] + e lim[ f( ) ( )] lim 4 4 lim + + e e + Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ΛΥΣΗ f( ) e Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R η γραφική της παράσταση δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες Θα αναζητήσουμε, επομένως, ασύμπτωτες στο και στο + f Για να είναι η y λ + β ασύμπτωτη της C f στο, αρκεί τα όρια λ lim ( ) και f β lim[ f( ) λ ] να είναι πραγματικοί αριθμοί Επειδή lim ( ) lim e +, η C f δεν έχει ασύμπτωτη στο f Για να είναι η y λ + β ασύμπτωτη της C f στο +, αρκεί τα όρια λ lim ( ) + β lim[ f( ) λ ] να είναι πραγματικοί αριθμοί Έχουμε: f λ lim ( ) lim και + + e β lim[ f( ) λ] lim + + e και + + lim ( ) + ( e ) (Κανόνας De L Hospital) lim + e Άρα, η ευθεία y, δηλαδή ο άξονας, είναι ασύμπτωτη της C f στο +

168 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 67 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε (αν υπάρχουν) τις κατακόρυφες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: i) f( ) ii) f() εφ, π, π iii) f( ) + iv) f( ),, > Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: + + i) f( ) + ii) f( ) + Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: i) f( ) ii) f( ) iii) f( ) + 4 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: ημ i) lim ln( + ) συν ii) lim 4 ημ iii) lim συν B ΟΜΑΔΑΣ Δίνεται η συνάρτηση f( ) + + και οι ευθείες ε : y και ε : y + Να αποδείξετε ότι i) H ε είναι ασύμπτωτη της C f στο, ενώ η ε είναι ασύμπτωτη της C f στο + ii) Για κάθε R ισχύει + + > ( + ) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η C f βρίσκεται πάνω από την ε κοντά στο και πάνω από την ε κοντά στο +

169 68 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f όταν: i) f( ) ln ii) f( ) Να βρείτε τις τιμές των α, β R, ώστε η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη στο ημ+ α, f ( ) β e, > ln, < 4 Δίνεται η συνάρτηση f( ), Να αποδείξετε ότι: i) η f είναι συνεχής ii) f () 5 Δίνονται οι συναρτήσεις ln( + ), αν, αν f ( ) και g ( ) ln +, >, αν αν Να αποδείξετε ότι: i) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, ενώ ii) Η g είναι συνεχής αλλά μη παραγωγίσιμη στο 6 Δίνεται η συνάρτηση, f( ) ( e )ln, (,] i) Να υπολογίσετε τα όρια e lim και limln ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Ο(,)

170 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 69 ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Στην παράγραφο αυτή θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που αποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με ικανοποιητική ακρίβεια Η πορεία την οποία ακολουθούμε λέγεται μελέτη της συνάρτησης και περιλαμβάνει τα παρακάτω βήματα: ο Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f o Εξετάζουμε τη συνέχεια της f στο πεδίο ορισμού της ο Βρίσκουμε τις παραγώγους f και f και κατασκευάζουμε τους πίνακες των προσήμων τους Με τη βοήθεια του προσήμου της f προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f, ενώ με τη βοήθεια του προσήμου της f καθορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και βρίσκουμε τα σημεία καμπής 4ο Μελετούμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της (οριακές τιμές, ασύμπτωτες, κτλ) 5ο Συγκεντρώνουμε τα παραπάνω συμπεράσματα σ ένα συνοπτικό πίνακα που λέγεται και πίνακας μεταβολών της f και με τη βοήθειά του χαράσσουμε τη γραφική παράσταση της f Για καλύτερη σχεδίαση της C f κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών της f ΣΧΟΛΙΟ ) Όπως είναι γνωστό, αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι άρτια, τότε η C f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y, ενώ αν είναι περιττή, η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο Επομένως, για τη μελέτη μιας τέτοιας συνάρτησης μπορούμε να περιοριστούμε στα A, με ) Αν μια συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο Τ, τότε περιορίζουμε τη μελέτη της C f σ ένα διάστημα πλάτους Τ ΕΦΑΡΜΟΓEΣ Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f() 4 4 +

171 7 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΛΥΣΗ H f έχει πεδίο ορισμού το R Η f είναι συνεχής στο R ως πολυωνυμική Έχουμε f () 4 4 ( ) Οι ρίζες της f είναι οι, (διπλή) και το πρόσημό της δίνονται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα Έχουμε επίσης f () 4 ( ) Οι ρίζες της f είναι οι, και το πρόσημό της δίνονται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και βρίσκουμε τα σημεία καμπής 4) Η συνάρτηση f δεν έχει ασύμπτωτες στο + και, αφού είναι πολυωνυμική τέταρτου βαθμού Είναι όμως: και 4 4 lim( 4 + ) lim lim( 4 + ) lim + 5) Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της f και χαράσσουμε τη γραφική παράσταση της f

172 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f( ) + 4 ΛΥΣΗ H f έχει πεδίο ορισμού το R {} Η f είναι συνεχής ως ρητή Έχουμε + 4 ( )( ) + 4 f ( ) ( ) ( ) Οι ρίζες της f είναι, και το πρόσημό της δίνονται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα Έχουμε επίσης ( )( ) ( )( ) 8 f ( ) ( ) ( ) Η f δεν έχει ρίζες και το πρόσημό της δίνεται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη 4 4) Επειδή lim f( ) +, lim f( ), η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη + της C f Εξετάζουμε τώρα αν υπάρχει στο + ασύμπτωτη της μορφής y λ + β Έχουμε: lim ( ) f lim + + και + 4, οπότε λ lim( f( ) λ ) lim lim + + +, οπότε β Επομένως, η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της C f στο + Ανάλογα βρίσκουμε ότι η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της C f και στο

173 7 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Επίσης έχουμε: lim f( ) lim + 4 και lim f( ) lim ) Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της f και χαράσσουμε τη γραφική της παράσταση ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i) f() 9 + ii) f( ) + Ομοίως τις συναρτήσεις: i) f( ) + ii) f( ) iii) f ( ) 4 Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f ( ) + ημ στο διάστημα [ π, π]

174 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f( ) και g() +, (, + ) έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο Α(,) ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των C f και C g στο διάστημα (, + ) Αν f, g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο R, με να αποδείξετε ότι f() g() και f () > g () για κάθε R, f() < g() στο (, ) και f() > g() στο (, + ) Ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα Αν θ είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του είναι Ε ( + συνθ)ημθ Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ (, π) για την οποία εμβαδόν του τριγώνου μεγιστοποιείται 4 Ένα σύρμα μήκους m διατίθεται για την περίφραξη ενός ανθόκηπου σχήματος κυκλικού τομέα Να βρείτε την ακτίνα r του κύκλου, αν επιθυμούμε να έχουμε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια του κήπου 5 Δύο διάδρομοι πλάτους m τέμνονται κάθετα (Σχήμα) Να βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό μήκος μιας σκάλας που μπορεί, αν μεταφερθεί οριζόντια, να στρίψει στη γωνία Υπόδειξη: m m π i) Να εκφράσετε τα ΟΑ, ΟΒ συναρτήσει της γωνίας θ, < θ < ii) Να αποδείξετε ότι

175 74 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii) Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ, για την οποία το ΑΒ γίνεται ελάχιστο ln 6 i) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f( ) ii) Να αποδείξετε ότι α α+ > (α + ) α για κάθε α > e iii) Να αποδείξετε ότι για > ισχύει f( ) f( ) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις, 4 7 i) Αν α, β > και για κάθε R ισχύει α + β, να αποδείξετε ότι αβ ii) Αν α > και για κάθε R ισχύει α +, να αποδείξετε ότι α e 8 i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() e είναι κυρτή, ενώ η g() ln είναι κοίλη ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(,) και της C g στο Β(,) iii) Να αποδείξετε ότι: α) e +, R β) ln, (, + ) Πότε ισχύουν οι ισότητες; iv) Η C f βρίσκεται πάνω από την C g 9 i) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f() e λ, λ > ii) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του λ > για την οποία ισχύει e λ, για κάθε R iii) Για την τιμή του λ που θα βρείτε παραπάνω να αποδείξετε ότι η ευθεία y λ εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g() e ημ, Δίνεται η συνάρτηση f ( ),

176 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 75 Να αποδείξετε ότι i) Η f είναι παραγωγίσιμη στο και στη συνέχεια ότι η ευθεία y (ο άξονας ) είναι η εφαπτομένη της C f στο Ο(, ) ii) Ο άξονας έχει με την C f άπειρα κοινά σημεία, παρόλο που εφάπτεται της C f iii) Η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της C f στο + και στο A Έστω μια συνάρτηση φ τέτοια, ώστε Να αποδείξετε ότι: φ(), φ () και φ () + φ() για κάθε R () i) Η συνάρτηση ψ() [φ ()] + [φ()] είναι σταθερή στο R και να βρείτε τον τύπο της ii) φ() για κάθε R Β Έστω δύο συναρτήσεις f και g τέτοιες ώστε: Να αποδείξετε ότι: f(), f () και f () + f() για κάθε R g(), g () και g () + g() για κάθε R i) Οι συναρτήσεις φ() f() ημ και ψ() g() συν ικανοποιούν τις υποθέσεις () του ερωτήματος Α

177 76 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii) f ( ) ημ και g() συν για κάθε R Στο διπλανό σχήμα ο κύκλος έχει ακτίνα cm και η ε εφάπτεται σε αυτόν στο σημείο Α Το τόξο ΑΜ είναι θ rad και το ευθ τμήμα ΑΝ είναι θ cm Η ευθεία ΜΝ τέμνει τον άξονα στο σημείο P(, ) Να δείξετε ότι: θσυνθ ημθ i) ( θ ) θ ημθ ii) lim ( θ ) θ Ένας πεζοπόρος Π ξεκινάει από ένα σημείο Α και βαδίζει γύρω από μια κυκλική λίμνη ακτίνας ρ km με ταχύτητα υ 4 km/h Aν S είναι το μήκος του τόξου ΑΠ και το μήκος της απόστασης ΑΠ του πεζοπόρου από το σημείο εκκίνησης τη χρονική στιμή t: A) Να αποδείξετε ότι i) θ S θ και l 4ημ, ii) S 4t, θ t και l 4ημ t Β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης ως προς τον χρόνο t Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης ως προς τον χρόνο t, όταν π α) θ, β) θ π π και γ) θ 4 ; 4 Ένας αγρότης θέλει να προσλάβει εργάτες για να μαζέψουν 5 κιλά ντομάτες Κάθε εργάτης μαζεύει 5 κιλά την ώρα και πληρώνεται 6 ευρώ την ώρα Για το συντονισμό και επιστασία των εργατών ο αγρότης θα προσλάβει και έναν επιστάτη τον οποίο θα πληρώνει ευρώ την ώρα Ο αγρότης, επιπλέον, θα πληρώσει στο σωματείο των εργατών εισφορά ευρώ για τον επιστάτη και κάθε εργάτη Να βρείτε πόσους εργάτες πρέπει να προσλάβει ο αγρότης για να του κοστίσει το ελάχιστο δυνατόν και ποιο θα είναι το ελάχιστο κόστος

178 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 77 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ι Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής δικαιολογώντας συγχρόνως την απάντηση σας Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,], παραγωγίσιμη στο (, ) και f ( ) για όλα τα (,), τότε f ( ) f () A Ψ Αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο [α, β] με f ( β) < f ( α), τότε υπάρχει ( αβ, ) τέτοιο, ώστε f ( ) < A Ψ Αν οι f, g είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο [α, β], με f(α) g(α) και f (β) g(β), τότε υπάρχει ( αβ, ) τέτοιο, ώστε στα σημεία Α(, f( )) και Β(, g( )) οι εφαπτόμενες να είναι παράλληλες 4 Αν f () ( ) ( ) για κάθε R, τότε: α) το f() είναι τοπικό μέγιστο της f β) το f() είναι τοπικό ελάχιστο της f 5 α) Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης άρτιου βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη β) Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη A A A A A Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 6 Η συνάρτηση f() α + β + γ + δ με α, βγδ,, R και α έχει πάντα ένα σημείο καμπής A Ψ 7 Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν στο σημείο καμπής, τότε και η h f g έχει στο σημείο καμπής A Ψ 8 Δίνεται ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο R και ότι η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα Αν υπάρχει κάποιο σημείο Α(, f( )) της C f του οποίου η απόσταση από τον άξονα είναι μέγιστη (ή ελάχιστη), τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια A Ψ

179 78 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: + α) f( ) Α Ψ + β) g ( ) ( ) Α Ψ Αν γραφική παράσταση της συνάρτησης f δίνεται από το παρακάτω σχήμα, τότε: i) το πεδίο ορισμού της f είναι το (,4) Α Ψ ii) το πεδίο ορισμού της είναι το [,4] f Α Ψ iii) f () > για κάθε (, 4 ) Α Ψ iv) υπάρχει (, 4): f ( ) Α Ψ Η συνάρτηση f ( ) + + έχει: α) μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (,) Α Ψ β) μια, ακριβώς, ρίζα στο (,) Α Ψ γ) τρεις πραγματικές ρίζες Α Ψ Αν για τις παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f, g ισχύουν f() 4, f (), f (5) 6, g() 5, g (), g (4), τότε ( f g)( ) ( g f)( ) Α Ψ ΙI Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση

180 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 79 + h Το lim π εφ π εφ 6 6 h h ισούται με: Α) Β) 4 Το lim + h ισούται με: h h Α) Β) Αν f() 5 τότε η f () ισούται με: Α) 5 5 Β) ln 5 Δ) 5 Ε) 5 ln5 Γ) Δ) Ε) 4 Γ) Γ) 5 Δ) Ε) 4 Αν f() συν ( + ) τότε η f (π) ισούται με: Α) συν (π + )ημ(π + ) Β) συν (π + ) Γ) συν (π + )ημ(π + ) Δ) πσυν (π + ) 5 Αν f() ( ) τότε η έβδομη παράγωγος αυτής στο ισούται με: Α) Β) Γ) Δ) 7 Ε) δεν υπάρχει 6 Αν οι εφαπτόμενες των συναρτήσεων f ( ) ln και g() στα σημεία με τετμημένη είναι παράλληλες, τότε το είναι: Α) Β) Γ) Δ) Ε) 4 7 Αν f ( ) e β, g() e α f( ) f ( ) και, τότε το β ως συνάρτηση του α ισούται με: g ( ) g ( ) Α) α Β) α Δ) α α Ε) α α + α α Γ) α + α 8 Αν f () > για κάθε [, ] και f(), τότε: Α) f() Β) f( ) > Γ) f() > Δ) f( )

181 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Να αντιστοιχίσετε καθεμιά από τις συναρτήσεις α, β, γ, δ σε εκείνη από τις συναρτήσεις Α, Β, Γ, Δ, Ε, Z που νομίζετε ότι είναι η παράγωγός της

182 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις να αντιστοιχίσετε στην ευθεία που είναι ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης στο + ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ f( ) + Α y f( ) + + Β y e f( ) + Γ y + Δ y Ε y

183 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοια της παραγώγου Οι αρχαίοι Έλληνες ονόμαζαν εφαπτομένη μιας καμπύλης την ευθεία που έχει ένα μόνο κοινό σημείο μ αυτήν, χωρίς να την τέμνει και την κατασκεύαζαν με βάση γεωμετρικές ιδιότητες που απορρέουν απ αυτόν τον ορισμό Έτσι ήταν γνωστός ο τρόπος κατασκευής εφαπτομένων στον κύκλο και τις κωνικές τομές (έλλειψη, παραβολή, υπερβολή) Επίσης, με προσφυγή σε κινηματικές μεθόδους, ο Αρχιμήδης είχε επινοήσει μέθοδο κατασκευής της εφαπτομένης μιας καμπύλης που είναι σήμερα γνωστή ως έλικα του Αρχιμήδη Η επόμενη εξέλιξη στο ζήτημα αυτό έγινε στις αρχές του 7ου αιώνα, όταν άρχισε η συστηματική εφαρμογή αλγεβρικών μεθόδων στη γεωμετρία Το επόμενο παράδειγμα δείχνει τον τρόπο με τον οποίο η Άλγεβρα εφαρμόζεται στον προσδιορισμό της εφαπτομένης μιας παραβολής Έστω y f() η εξίσωση μιας παραβολής με κορυφή την αρχή των αξόνων και Μ(, y ) ένα σημείο της, στο οποίο ζητείται να κατασκευαστεί μια εφαπτομένη ε Η κατασκευή αυτή μπορεί να γίνει αν προσδιορίσουμε ένα άλλο χαρακτηριστικό σημείο της ε, όπως πχ το σημείο Τ στο οποίο τέμνει τον άξονα των τετμημένων Θεωρούμε ένα άλλο σημείο της παραβολής, το Ν(, y ), πολύ γειτονικό του Μ, τέτοιο ώστε + h (το h θεωρείται εδώ μια απειροελάχιστη μεταβολή του ) Στην περίπτωση αυτή τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΡΤ και ΝΣΤ μπορούν να θεωρηθούν κατά προσέγγιση όμοια και άρα θα ισχύει κατά προσέγγιση η αναλογία N Σ ΣΤ Αν θέσουμε ΤΡ s, τότε διαδοχικά θα ισχύει: ΜΡ ΤΡ y s h + h ή y y + y s s ή y y y h ή y y y () s h s Το πρώτο μέλος αυτής της κατά προσέγγιση ισότητας γράφεται: f( ) f( ) f( + h) f( ) ( + h) + h+ h + h h h h h y και έτσι η () γίνεται + h Αν τώρα θέσουμε, όπως οι μαθηματικοί του 7ου s y y αιώνα, h βρίσκουμε από την τελευταία ότι ή s s Γνωρίζοντας λοιπόν το σημείο επαφής Μ(, y ), προσδιορίζουμε από την τελευταία το μήκος ΤΡ s

184 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 που μας δίνει αμέσως το σημείο Τ Η ευθεία ΜΤ είναι η ζητούμενη εφαπτομένη της παραβολής Η προηγούμενη διαδικασία ήταν ένας από τους δρόμους που οδήγησαν ιστορικά, στην έννοια της παραγώγου Κανόνες παραγώγισης Στο δεύτερο μισό του 7ου αιώνα, οι μαθηματικοί είχαν κατορθώσει να μετασχηματίσουν όλη τη μακροσκελή διαδικασία παραγώγισης σε εφαρμογή ορισμένων κανόνων και τύπων, με τη βοήθεια κατάλληλα επιλεγμένων συμβόλων Πρωτοπόροι προς αυτήν την κατεύθυνση υπήρξαν οι I Newton και ο G Leibniz O Leibniz συμβόλιζε την απειροελάχιστη μεταβολή μιας ποσότητας με d (διαφορικό του ) έτσι, πχ για τη συνάρτηση y του προηγούμενου παραδείγματος, η αντίστοιχη μεταβολή του y (διαφορικό του y) ήταν: dy d( ) ( + d) + d + (d) d + (d) Παραλείποντας την πολύ μικρή (συγκρινόμενη με τις άλλες) ποσότητα (d) προέκυπτε η dy d (εδώ η παράγωγος ονομάζονταν διαφορικός συντελεστής ) και τελικά η dy, ένας συμβολισμός που διατηρείται μέχρι σήμερα, χωρίς όμως να d έχει νόημα πηλίκου Με τον τρόπο αυτό ο Leibniz απέδειξε το 677 τον κανόνα για τον υπολογισμό της μεταβολής του γινομένου δύο μεταβλητών και y, που αποτελεί μια πρωτόγονη μορφή του σημερινού κανόνα της παραγώγου ενός γινομένου συναρτήσεων d(y) ( + d)(y + dy) y y + dy + yd + ddy y dy + yd + ddy Παραλείποντας και εδώ την πολύ μικρή ποσότητα ddy, παίρνουμε τη σχέση d(y) dy + yd Με την εισαγωγή και καθιέρωση αυτών των κανόνων και συμβολισμών, η έννοια της παραγώγου εξελίχθηκε σ ένα εξαιρετικά αποτελεσματικό εργαλείο και διεύρυνε σε μεγάλο βαθμό τις εφαρμογές της μαθηματικής ανάλυσης Παράλληλα όμως, οι ασάφειες που επισημάναμε αποτελούσαν μια διαρκή πρόκληση για τους μαθηματικούς που αντιμετώπιζαν με κριτικό πνεύμα τα θεμέλια της επιστήμης τους Ο πρώτος αυστηρός ορισμός αυτής της έννοιας, που στηρίζεται στην έννοια του ορίου, δόθηκε για πρώτη φορά το 8 από τον AL Cauchy: Όταν η συνάρτηση y f() παραμένει συνεχής σ ένα διάστημα της μεταβλητής και δοθεί σ αυτή τη μεταβλητή μια τιμή που ανήκει σ αυτό το διάστημα, τότε κάθε απειροελάχιστη αύξηση της μεταβλητής παράγει μια απειροελάχιστη αύξηση της συνάρτησης Συνεπώς, αν τεθεί Δ i, τότε οι δυο όροι του πηλίκου διαφορών y f( + i) f( ) i

185 84 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ θα είναι απειροελάχιστες ποσότητες Αλλά ενώ αυτοί οι δυο όροι θα προσεγγίζουν επ άπειρον και ταυτόχρονα το όριο μηδέν, το πηλίκο μπορεί να συγκλίνει προς κάποιο άλλο όριο, θετικό ή αρνητικό Αυτό το όριο, όταν υπάρχει έχει μια ορισμένη τιμή για κάθε συγκεκριμένο, αλλά μεταβάλλεται μαζί με το Η μορφή της νέας συνάρτησης που θα εκφράζει το όριο του λόγου f( + i) f( ) i θα εξαρτάται από τη μορφή της δοσμένης συνάρτησης y f() Για να ξεχωρίσουμε αυτήν την εξάρτηση, δίνουμε στη νέα συνάρτηση το όνομα παράγωγος συνάρτηση και τη συμβολίζουμε, με τη βοήθεια ενός τόνου, y ή f () Με αφετηρία αυτόν τον ορισμό, ο Cauchy υπολόγισε τις παραγώγους των βασικών συναρτήσεων και απέδειξε τους κανόνες της παραγώγισης Πχ για τον ιδιαίτερα σημαντικό κανόνα της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης, έδωσε την ακόλουθη απόδειξη: Έστω z μια δεύτερη συνάρτηση του, συνδεόμενη με την πρώτη y f ( ) μέσω του τύπου z F(y) Η z ή F[f ( )] είναι αυτή που ονομάζεται συνάρτηση μιας συνάρτησης της μεταβλητής και αν οι απειροελάχιστες και ταυτόχρονες αυξήσεις των, y και z συμβολιστούν με Δ, Δy, Δz αντίστοιχα, τότε θα είναι z F( y+ y) F( y) F( y+ y) F( y) y () y Από αυτήν, περνώντας στα όρια, έχουμε z F ( y ) y F [ f ( )] f () (*) (*) Ένα αδύνατο σημείο αυτής της απόδειξης, που αφορά την ισότητα (), είναι ότι για μικρές, μη μηδενικές τιμές του Δ, μπορεί να ισχύει Δy f( + Δ) f()

186 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αρχική συνάρτηση Πολλές φορές στην πράξη παρουσιάζονται προβλήματα, που η λύση τους απαιτεί πορεία αντίστροφη της παραγώγισης Τέτοια προβλήματα είναι για παράδειγμα τα παρακάτω: Η εύρεση της θέσης S(t) ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστή η ταχύτητά του υ(t) που, όπως γνωρίζουμε, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης S(t) Η εύρεση της ταχύτητας υ(t) ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστή η επιτάχυνσή του γ(t) που, όπως γνωρίζουμε, είναι η παράγωγος της συνάρτησης υ υ(t) Η εύρεση του πληθυσμού Ν(t) μιας κοινωνίας βακτηριδίων τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστός ο ρυθμός αύξησης Ν (t) του πληθυσμού Το κοινό χαρακτηριστικό των προβλημάτων αυτών είναι ότι, δίνεται μια συνάρτηση f και ζητείται να βρεθεί μια άλλη συνάρτηση F για την οποία να ισχύει F () f() σε ένα διάστημα Δ Οδηγούμαστε έτσι στον παρακάτω ορισμό ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ () ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F () f(), για κάθε () Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό

187 86 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για παράδειγμα, η συνάρτηση F() είναι μια παράγουσα της f() στο R, αφού ( ) Παρατηρούμε ότι και όλες οι συναρτήσεις της μορφής G() + c F() + c, όπου c R, είναι παράγουσες της f στο R, αφού ( + c) Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε όλες οι συναρτήσεις της μορφής G() F() + c, c R, είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα c R της f στο Δ παίρνει τη μορφή G() F() + c, c R ΑΠΟΔΕΙΞΗ Κάθε συνάρτηση της μορφής G() F() + c, όπου c R, είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού G () (F() + c) F () f ( ), για κάθε Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ Τότε για κάθε ισχύουν F () f ( ) και G () f ( ), οπότε G () F (), για κάθε Άρα, σύμφωνα με το πόρισμα της 6, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G() F() + c, για κάθε Αόριστο ολοκλήρωμα Το σύνολο όλων των παραγουσών μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της f στο Δ, συμβολίζεται f ( ) d και διαβάζεται ολοκλήρωμα εφ του ντε Δηλαδή, όπου F μια παράγουσα της f στο Δ Για παράδειγμα, f( ) d F( ) + c, c R, συνd ημ +c, αφού (ημ) συν

188 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 87 Από τον τρόπο που ορίστηκε το αόριστο ολοκλήρωμα προκύπτει ότι: Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει f ( ) d f( ) + c, c R Η διαδικασία εύρεσης του αόριστου ολοκληρώματος είναι αντίστροφη πορεία της παραγώγισης και λέγεται ολοκλήρωση Η σταθερά c λέγεται σταθερά ολοκλήρωσης Από τον πίνακα των παραγώγων βασικών συναρτήσεων βρίσκουμε τον παρακάτω πίνακα αόριστων ολοκληρωμάτων Οι τύποι του πίνακα αυτού ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι παραστάσεις του που εμφανίζονται έχουν νόημα ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ d c 6 d + c 7 d ln + c α + α 4 d + c α 9 α + 5 συνd ημ+ c 8 ημd συν+ c συν d εφ+ c ημ d σφ+ c ed e + c α α d + c lnα Συνέπεια του ορισμού του αόριστου ολοκληρώματος και των κανόνων παραγώγισης είναι οι εξής δύο ιδιότητες: Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν παράγουσα σ ένα διάστημα Δ, τότε λ f ( ) d λ f ( ) d, λ R * ( f( ) + g ( )) d f( ) d + gd ( ) Σύμφωνα με τους παραπάνω τύπους έχουμε για παράδειγμα: 4d 4 d 4 + c (ημ e ) d ημd e d ημd e d

189 88 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ συν e + c d d d d d ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Να βρεθεί συνάρτηση f τέτοια, ώστε η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο Α(, ) και να ισχύει f (), για κάθε R ΛΥΣΗ Επειδή f (), έχουμε διαδοχικά: f ( ) d ( ) d f( )+ c + c, c c, R f( ) + c c, c c, R f( ) + c, c R Για να διέρχεται η f από το σημείο Α(, ) πρέπει και αρκεί f() ή, ισοδύναμα, + c, δηλαδή c Επομένως, f() + Η είσπραξη E(), από την πώληση μονάδων ενός προϊόντος ( ) μιας βιομηχανίας, μεταβάλλεται με ρυθμό E () (σε χιλιάδες ευρώ ανά μονάδα προϊόντος), ενώ ο ρυθμός μεταβολής του κόστους παραγωγής είναι σταθερός και ισούται με (σε χιλιάδες ευρώ ανά μονάδα προϊόντος) Να βρεθεί το κέρδος της βιομηχανίας από την παραγωγή μονάδων προϊόντος, υποθέτοντας ότι το κέρδος είναι μηδέν όταν η βιομηχανία δεν παράγει προϊόντα ΛΥΣΗ Αν P() είναι το κέρδος και K() είναι το κόστος παραγωγής για μονάδες προϊόντος, τότε P() E() K(),

190 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 89 οπότε Δηλαδή οπότε και άρα P () E () K () 98 P () 98, P ( ) d ( 98 d ) P ( ) 98 + c, c R Όταν η βιομηχανία δεν παράγει προϊόντα, το κέρδος είναι μηδέν, δηλαδή ισχύει P(),οπότε c Επομένως, P ( ) 98 Άρα, το κέρδος από μονάδες προϊόντος είναι P( ) (σε χιλιάδες ευρώ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) Α ΟΜΑΔΑΣ ( + ημ + συν d ) ii) iii) d iv) + + d + 8 d + v) vi) vii) + d +

191 9 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Να βρείτε τη συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το διάστημα (, + ), για την οποία ισχύει f ( ) και f ( 9) Να βρείτε τη συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f (), f () 6 και f ( ) 4 4 Να βρείτε τη συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f () + και η γραφική της παράσταση στο σημείο της Α(, ) έχει κλίση 5 Ο πληθυσμός Ν(t), σε εκατομμύρια, μιας κοινωνίας βακτηριδίων, αυξάνεται με ρυθμό N () t e t / ανά λεπτό Να βρείτε την αύξηση του πληθυσμού στα πρώτα 6 λεπτά 6 Μια βιομηχανία έχει διαπιστώσει ότι για εβδομαδιαία παραγωγή εξαρτημάτων έχει οριακό κόστος + 5 (ευρώ ανά μονάδα προϊόντος) Να βρείτε τη συνάρτηση κόστους της εβδομαδιαίας παραγωγής, αν είναι γνωστό ότι τα σταθερά εβδομαδιαία έξοδα της βιομηχανίας, όταν δεν παράγει κανένα εξάρτημα, είναι (ευρώ) 7 Μια νέα γεώτρηση εξώρυξης πετρελαίου έχει ρυθμό άντλησης που δίνεται από τον τύπο R () t + t t, όπου R(t) είναι ο αριθμός, σε χιλιάδες, των βαρελιών 4 που αντλήθηκαν στους t πρώτους μήνες λειτουργίας της Να βρείτε πόσα βαρέλια θα έχουν αντληθεί τους 8 πρώτους μήνες λειτουργίας της Β ΟΜΑΔΑΣ Η θερμοκρασία Τ ενός σώματος, που περιβάλλεται από ένα ψυκτικό υγρό, ελαττώνεται με ρυθμό καe kt, όπου α, κ είναι θετικές σταθερές και t ο χρόνος Η αρχική θερμοκρασία T() του σώματος είναι T + α, όπου T η θερμοκρασία του υγρού η οποία με κατάλληλο μηχάνημα διατηρείται σταθερή Να βρείτε τη θερμοκρασία του σώματος τη χρονική στιγμή t Ένας βιομήχανος, ο οποίος επενδύει χιλιάδες ευρώ στη βελτίωση της παραγωγής του εργοστασίου του, αναμένει να έχει κέρδος P() χιλιάδες ευρώ από αυτή την επένδυση Μια ανάλυση της παραγωγής έδειξε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους P(), που οφείλεται στην επένδυση αυτή, δίνεται από τον τύπο P () 5,8e / Να βρείτε το συνολικό κέρδος που οφείλεται σε αύξηση της επένδυσης από 4 ευρώ σε 6 ευρώ Από την πώληση ενός νέου προϊόντος μιας εταιρείας διαπιστώθηκε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κόστους K(t) δίνεται από τον τύπο K (t) 8,6t (σε ευρώ την

192 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 ημέρα), ενώ ο ρυθμός μεταβολής της είσπραξης E(t) στο τέλος των t ημερών δίνεται από τον τύπο E (t) +,t (σε ευρώ την ημέρα) Να βρείτε το συνολικό κέρδος της εταιρείας από την τρίτη έως και την έκτη ημέρα παραγωγής 4 Έστω f, g δύο συναρτήσεις με f() g(), f() g() + και f () g () για κάθε R Να αποδείξετε ότι: i) f ( ) g() +, για κάθε R ii) Αν η συνάρτηση g έχει δύο ρίζες α, β με α < < β, τότε η συνάρτηση f έχει μια τουλάχιστον, ρίζα στο (α, β) MEΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ο πίνακας των αόριστων ολοκληρωμάτων, που δώσαμε παραπάνω, δεν είναι αρκετός για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα μίας οποιασδήποτε συνάρτησης, όπως πχ τα ολοκληρώματα + d και e d Σε τέτοιες περιπτώσεις ο υπολογισμός γίνεται απλούστερος με τη βοήθεια των παρακάτω μεθόδων ολοκλήρωσης Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες Η μέθοδος αυτή εκφράζεται με τον τύπο: f( ) g ( ) d f( ) g ( ) f ( ) gd ( ) που είναι συνέπεια του κανόνα παραγώγισης του γινομένου δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f, g σε ένα διάστημα Δ Πράγματι, για κάθε, έχουμε οπότε (f()g()) f ()g() + f ()g (),

193 9 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Επομένως f()g () (f()g()) f ()g() f( ) g ( ) d ( f( ) g ( )) d f ( ) gd ( ) ή, ισοδύναμα, f( ) g ( ) d f( ) g ( ) + c f ( gd ) ( ) () Επειδή το ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της () περιέχει μια σταθερά ολοκλήρωσης, το c μπορεί να παραλειφθεί, οπότε έχουμε τον παραπάνω τύπο Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα του β μέλους υπολογίζεται ευκολότερα Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα e d Έχουμε: e d ( e ) d e e d e e + c Αν, τώρα, δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα, αλλάζοντας τους ρόλους των και e, βρίσκουμε e d ed e ed Το τελευταίο, όμως, ολοκλήρωμα είναι πιο σύνθετο από το αρχικό ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα i) ed ii) ημ d iii) (4 )lnd iv) eημ d ΛΥΣΗ i) Έχουμε e d ( e ) d e ( ) e d e e d e e ( ) d e e + ed e e + e + c

194 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής όπου P() πολυώνυμο του και α R * ii) Έχουμε Pe ( ) α d Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής P ( )ημ( α d, ) P ( )συν( α d ) όπου P() πολυώνυμο του και α R * iii) Έχουμε ( 4 + )ln d ( + ) ln d ( + )ln ( + ) d ( + )ln ( + ) d ( + )ln + c 4 Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής όπου P() πολυώνυμο του και α R * P ( )ln( α d ), iv) Θέτουμε I e ημ( d ), οπότε έχουμε I ( e ) ημ( d ) e ημ( ) e συν( d ) e ημ( ) ( e )συν( ) d e ημ( ) e συν( ) 4 e ημd Επομένως, οπότε e ημ( ) e συν( ) 4I 5I e ημ( ) e συν( ) + c,

195 94 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής e α ημ( β ) d, e α συν( β ) d * όπου α, β R Ο πληθυσμός P(t), t, μιας πόλης, που προέκυψε από συγχώνευση κοινοτήτων, αυξάνεται με ρυθμό (σε άτομα ανά έτος) που δίνεται από τον τύπο P (t) te t/, t, όπου t είναι ο αριθμός των ετών μετά τη συγχώνευση Να βρεθεί ο πληθυσμός P(t) της πόλης t χρόνια μετά τη συγχώνευση, αν γνωρίζουμε ότι ο πληθυσμός ήταν κάτοικοι κατά τη στιγμή της συγχώνευσης ΛΥΣΗ Έχουμε t / P () t dt te dt t / ( e ) tdt t/ t/ e t e dt t/ t/ te e + c, οπότε P(t) te t/ e t/ + c, για κάποιο c R Όταν t, ο πληθυσμός είναι Συνεπώς: P( ) e e + c c Άρα, ο πληθυσμός της πόλης, t χρόνια μετά τη συγχώνευση, είναι P(t) te t/ e t/ + Ολοκλήρωση με αντικατάσταση Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε ολοκληρώματα που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή f( g( )) g ( d ) Η μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο: f ( g ( )) g ( d ) f ( udu ), όπου u g( ) και du g ( ) d Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα f( u) du του

196 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 95 δευτέρου μέλους υπολογίζεται ευκολότερα Η απόδειξη του τύπου αυτού στηρίζεται στο γνωστό κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης Πράγματι, αν F είναι μια παράγουσα της f, τότε F (u) f(u), () οπότε και άρα F (g()) f(g()) f( g( )) g ( d ) F ( g ( )) g ( ) d ( F ( g ( ))) d (αφού (F(g())' F (g())g ()) F( g( )) + c Fu ( ) + c, (όπου u g()) f ( u ) du (λόγω της ()) Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα + d Θέτουμε u + και du ( + ) d d, οπότε το ολοκλήρωμα γράφεται: + d udu u / du / u + c ( + ) / + c ( + ) + c ΕΦΑΡΜΟΓEΣ Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα e i) d ii) ( + e ) εφ d

197 96 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΛΥΣΗ i) Θέτουμε u + e, οπότε du ( + e ) d e d Επομένως, ii) Έχουμε εφd ημd, έχουμε: ημ d Επομένως, αν θέσουμε u συν, οπότε du (συν) d συν εφd Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα i) ii) d ΛΥΣΗ π π i) Θέτουμε u +, οπότε du + d d 6 6 Επομένως, iii) ( ) 99 d ii) Θέτουμε u, οπότε du ( ) d d Επομένως, + d u du ln u c ln + c iii) Θέτουμε u, οπότε du d Άρα u d u du c c Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα i) ii)

198 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 97 ΛΥΣΗ + i) Η συνάρτηση f( ) έχει πεδίο ορισμού το R {,} και γράφεται f( ) ( )( ) Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Α, Β έτσι, ώστε να ισχύει + A B +, για κάθε R {,} ( )( ) Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε τελικά: (Α + Β ) Α + Β +, για κάθε R {,} Η τελευταία ισότητα ισχύει για κάθε R {,}, αν και μόνο αν Επομένως, ή, ισοδύναμα, A B 5 7 5ln + 7ln + c Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής κ + λ d, με β 4αγ > + + α β γ ii) Αν εκτελέσουμε τη διαίρεση του πολυωνύμου + 7 με το πολυώνυμο 5 + 6, βρίσκουμε ότι Επομένως, d d d ln + 7ln + c (λόγω του (i)) Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής P ( ) d, + + α β γ όπου P() πολυώνυμο του βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του και β 4αγ >

199 98 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα Α ΟΜΑΔΑΣ i) iv) e d ii) ( + ) ημd v) 4συν e d iii) d vi) lnd, ln vii) d viii) συν e d i) e ημ d Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) ημd ii) ( ) ( ) d iii) + ( + 6) 4 v) + d d iv) + d Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα e i) e ημe d ii) d e + iii) ln d ημ iv) v) d B ΟΜΑΔΑΣ Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα ημ ημ i) d ii) εφ ln(συν ) d + συν iii) συν e d

200 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 99 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) + 4 d ii) d + iii) ln( + ) d Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) ln d ii) (ln t) dt iii) e συνe d 4 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) εφd ii) συν d ημ και και d συν + συν d ημ iii) ημ d και συν d 5 Με τη βοήθεια των τύπων συνα ημ α και να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: + συνα συν α i) ημ d ii) συν d iii) ημ συν d 6 Με τη βοήθεια των τύπων ημα συνβ ημ( α β) + ημ( α + β), συνα συνβ συν( α β) + συν( α + β) ημα ημβ συν( α β) συν( α + β) να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) ημ συνd ii) συν συν5d iii) ημ ημ4d 7 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) + d iii) + + d ii) + + d iv) d

201 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Γενικά Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι, όταν γνωρίζουμε τη συνάρτηση θέσης y S(t) ενός κινητού, μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού Πολλές φορές, όμως, είναι γνωστή η ταχύτητα υ υ(t) ή η επιτάχυνση α α(t) του κινητού και ζητείται η θέση του Για παράδειγμα: Αν ένα κινητό κινείται ευθυγράμμως με σταθερή ταχύτητα c, για να προσδιορίσουμε τη θέση του y S(t), αρκεί να λύσουμε ως προς y την εξίσωση y c () Αν σε ένα σώμα μάζας m ασκείται δύναμη F F(t), τότε το σώμα κινείται με επιτάχυνση α α(t) η οποία, σύμφωνα με το ο νόμο της μηχανικής, δίνεται από τον τύπο F mα ή, ισοδύναμα, F my, όπου y S(t) η συνάρτηση θέσης του σώματος Επομένως, για να προσδιορίσουμε τη θέση y S(t) του σώματος, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση m y F () Εξισώσεις όπως οι () και () λέγονται διαφορικές εξισώσεις Γενικά, ΟΡΙΣΜΟΣ Διαφορική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση που περιέχει τη μεταβλητή, μια άγνωστη συνάρτηση y f ( ) και κάποιες από τις παραγώγους της y, y, Για παράδειγμα, οι εξισώσεις y, y y, y + y είναι διαφορικές εξισώσεις Η μεγαλύτερη από τις τάξεις των παραγώγων που εμφανίζονται στην εξίσωση ονομάζεται τάξη της διαφορικής εξίσωσης Έτσι οι εξισώσεις y και y y είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως, ενώ η y + y είναι δευτέρας τάξεως Κάθε συνάρτηση y f() που επαληθεύει τη διαφορική εξίσωση λέγεται λύση της εξίσωσης Για παράδειγμα, η συνάρτηση y είναι μια λύση της διαφορικής εξίσωσης y, αφού y ( ) Το σύνολο όλων των λύσεων μιας διαφορικής εξίσωσης λέγεται γενική λύση της εξίσωσης

202 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για παράδειγμα, η γενική λύση της εξίσωσης y είναι η y + c, c R Συχνά ζητάμε εκείνη τη λύση y f ( ) της διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί μια αρχική συνθήκη y f ( ) Για να βρούμε τη λύση αυτή, βρίσκουμε πρώτα τη γενική λύση της εξίσωσης και με τη βοήθεια της αρχικής συνθήκης προσδιορίζουμε τη ζητούμενη λύση Για παράδειγμα, η λύση y f() της διαφορικής εξίσωσης y, που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη f(), είναι η συνάρτηση y +, αφού από τη γενική λύση y + c, για και y είναι c Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε μόνο με δυο ειδικές μορφές διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως: Τις εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές και Τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές Έχει αποδειχτεί πειραματικά, ότι ο ρυθμός μεταβολής, ως προς το χρόνο, του πληθυσμού y P(t) μιας κοινωνίας, η οποία δεν επηρεάζεται από εξωτερικούς παράγοντες, είναι ανάλογος του πληθυσμού Δηλαδή, ισχύει P (t) αp(t), όπου α θετική σταθερά Αν ο αρχικός πληθυσμός της κοινωνίας είναι P, δηλαδή P() P, για να βρούμε τον πληθυσμό P(t) ύστερα από χρόνο t, θα λύσουμε την παραπάνω διαφορική εξίσωση Επειδή y P(t) >, η εξίσωση γράφεται P () t α, Pt () οπότε ολοκληρώνοντας και τα δυο μέλη της, έχουμε διαδοχικά: P ( t) dt P( t) α dt ln P ( t) αt + c αt + c P( t) e, αt P ( t) ce, με c e c Επειδή P() P, είναι c P, οπότε P(t) P e αt

203 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η παραπάνω διαφορική εξίσωση λέγεται διαφορική εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές Γενικά, OΡΙΣΜΟΣ Διαφορική εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής α(y) y β() (), όπου y f() η άγνωστη συνάρτηση, α(y) συνάρτηση του y και β() συνάρτηση του Για να λύσουμε την εξίσωση αυτή ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη της ως προς Έχουμε α( yyd ) β( d ) Επειδή y f ( ), είναι dy f ()d y d, οπότε έχουμε αydy () βd ( ) () Αν Α(y) είναι μια παράγουσα α(y) και Β() μια παράγουσα της β(), τότε η () γράφεται Α(y) Β() + c, c R () Από την τελευταία εξίσωση προσδιορίζουμε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης ΣΧΟΛΙΟ Η ισότητα () μας επιτρέπει να γράφουμε τη διαφορική εξίσωση () στην άτυπη μορφή της α(y)dy β()d και να ολοκληρώνουμε τα μέλη της, το μεν πρώτο μέλος της ως προς y, το δε δεύτερο μέλος της ως προς ΕΦΑΡΜΟΓH Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις i) y y, και y > ii) y y, y iii) + yy, y >

204 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΛΥΣΗ i) Σε καθένα από τα διαστήματα (, ) και (, + ), η εξίσωση γράφεται: y y dy, y d y dy d dy d y ln y ln + c ln + c, c R, c > Άρα, σε καθένα από τα διαστήματα (, ) και (, + ) είναι y c, όπου c > ii) Η εξίσωση γράφεται: dy y d dy d y dy y d + c y Άρα, y + c, όπου c R (Σχ ) iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά + y dy d ydy d ydy d y + c + y c, c > Άρα, y c, όπου c > (Σχ )

205 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως Από τη Φυσική γνωρίζουμε ότι στο διπλανό κύκλωμα ισχύει ο κανόνας του Kirchhoff Δηλαδή, L di () t + R I() t V() t () dt Για να προσδιορίσουμε την ένταση, I(t), του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα, είναι ανάγκη να λύσουμε τη διαφορική εξίσωση () Η εξίσωση αυτή λέγεται γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής y + α()y β(), όπου y f ( ) είναι η άγνωστη συνάρτηση και α(), β() συναρτήσεις του Για την επίλυση της εξίσωσης αυτής: Αναζητούμε μια παράγουσα Α() της συνάρτησης α() και έπειτα Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης με e Α() Έτσι, έχουμε διαδοχικά y e Α() + α()e Α() y β()e Α() y e Α() + Α ()e Α() y β()e Α() y e Α() + (e Α() ) y β()e Α() (ye Α() ) β()e Α() ( ) β ( ) A ( ) A ( ) ye d e d ye Α() Β() + c, όπου Β() μια παράγουσα της β()e Α() ΕΦΑΡΜΟΓH Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y + y

206 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 ΛΥΣΗ Επειδή μια παράγουσα της α() είναι η Α(), πολλαπλασιάζουμε και τα δυο μέλη της εξίσωσης με e Έτσι, έχουμε διαδοχικά y e + e y e (ye ) (e ) ye e + c y + ce, c R Να λύσετε τις διαφορικές εξισώσεις: ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ i) y 4y, y > ii) y y, y > iii) y y iv) y e y συν Να λύσετε τις διαφορικές εξισώσεις: i) y + y ii) y + y e iii) y + y iv) y + y Να βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης y y, y <, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(, ) 4 Να βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης y y που ικανοποιεί τη συνθήκη y() / 5 Να λύσετε τις διαφορικές εξισώσεις: i), αν y() ii) ( + )y + y ln, αν y()

207 6 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Β ΟΜΑΔΑΣ Η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος Ι σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα ικανοποιεί την εξίσωση di + I ημt Αν I(), να βρείτε την ένταση I(t) dt y Να βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης ye y e, η οποία διέρχεται από το σημείο Α(, ) Να λύσετε τη διαφορική εξίσωση y y, > 4 Η κλίση της εφαπτομένης μιας γραμμής (C) με εξίσωση y y(), y > στο σημείο M(, y) είναι ίση με y Να βρείτε την εξίσωση της (C), αν είναι γνωστό ότι διέρχεται από το σημείο Α(, ) 5 Έστω α, βλ, R σταθερές, με α > λ > i) Να λύσετε την εξίσωση y + αy βe λt ii) Αν y y(t) είναι μια λύση της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι ισχύει lim yt ( ) t + 6 Έχει αποδειχτεί πειραματικά ότι ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας θ ενός σώματος, όταν αυτό βρεθεί σε περιβάλλον σταθερής θερμοκρασίας Τ με θ > T, είναι dθ dt k( θ Τ ), k > Να βρείτε τη θερμοκρασία θ(t), αν θ() θ 7 Ο πληθυσμός P P(t) μιας χώρας μεταναστεύει με σταθερό ρυθμό m > Δίνεται ότι ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού Ρ, αν δεν υπήρχε η μετανάστευση, θα ήταν ανάλογος του Ρ i) Να δικαιολογήσετε ότι ο πληθυσμός Ρ ικανοποιεί την εξίσωση P kp m, k > σταθερά ii) Να βρείτε τη συνάρτηση P P(t), αν P() P iii) Να αποδείξετε ότι: Αν m < kp, τότε ο πληθυσμός αυξάνεται

208 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Αν m > kp, τότε ο πληθυσμός μειώνεται Αν m kp, τότε ο πληθυσμός παραμένει σταθερός 8 Έστω y y(t) το ύψος και V V(t) ο όγκος του νερού μιας δεξαμενής τη χρονική στιγμή t Η δεξαμενή αδειάζει από μια κυκλική οπή εμβαδού α που βρίσκεται στον πυθμένα της Σύμφωνα με το νόμο του Torricelli ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του νερού είναι dv dt α gy, g m/s i) Αν η δεξαμενή είναι κυλινδρική με ύψος,6 m, ακτίνα m και η ακτίνα της οπής είναι, m, να αποδείξετε ότι το y ικανοποιεί την εξίσωση y 5 5 y ii) Να βρείτε το ύψος y(t), αν είναι γνωστό ότι τη χρονική στιγμή t η δεξαμενή ήταν γεμάτη iii) Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να αδειάσει τελείως η δεξαμενή; (Δίνεται ότι ο όγκος του κυλίνδρου είναι V πr υ) 9 Ένας βηματοδότης αποτελείται από μια μπαταρία και έναν πυκνωτή, ενώ η καρδιά παίζει το ρόλο της αντίστασης, όπως φαίνεται στο σχήμα Όταν ο διακόπτης S βρίσκεται στη θέση Ρ, ο πυκνωτής φορτίζεται ενώ, όταν βρίσκεται στη θέση Q, ο πυκνωτής εκφορτίζεται και προκαλεί ηλεκτρικό ερέθισμα στην καρδιά Κατά τη διάρκεια αυτή στην καρδιά εφαρμόζεται ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε που ικανοποιεί την εξίσωση de dt RC E, t < t < t όπου R, C σταθερές Να βρείτε την E(t), αν E(t ) E

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 8 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β, 8B, 9 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΜΑΘΗΜΑΤΑ Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; (5 ΕΣΠ Β ) Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις 07 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας 1 ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ Α τάξης Γενικού Λυκείου Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) 1.iv) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = ln(1.

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) 1.iv) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = ln(1. .. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 45 48 A Οµάδας.i) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης () + 3+ Οι ρίζες του τριωνύµου 3 + είναι και. Πρέπει 3 + 0 και Άρα D (, ) (, ) (, + ).ii) Ποιο είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία των πανελλαδικών εξετάσεων [] [] Ορισμοί ) Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017

Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Α Λυκείου Γεωμετρία Κεφάλαιο 3 3.1 Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2 1 ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (εκτός της απόδειξης του θεωρήματος) 3.3 2 ο Κριτήριο ισότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη, απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό Θετικών Σπουδών ή Σπουδών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2011. σελ. 15 σελ. 16 σελ. 17 έως 21 σελ. 23 σελ. 24 Όλα ορισμός έντονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση λέγεται : α Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα αβ γ Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ ] Β δ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠOΥΡΓΕIO ΠΑIΔΕIΑΣ ΚΑI ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΔΑΜΙΑΝΟΥ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΣΒΕΡΚΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ Η συγγραφή και η επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Συγκεκριμένα: ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση. Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 37 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

Συγκεκριμένα: ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση. Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 37 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0 5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Είναι γνωστό ότι η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα ζήτημα που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες για τους μαθητές. Οι δυσκολίες αυτές συνδέονται τόσο με το

Διαβάστε περισσότερα