Σήματα και Συστήματα Νόκας Γιώργος
Δομή του μαθήματος Βασικά σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Γραμμικά, χρονικά αναλλοίωτα (Γ.Χ.Α.) συστήματα. Συνέλιξη διακριτού και συνεχούς χρόνου. Αναπαράσταση περιοδικών σημάτων ως σειρά Fourier. Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου. Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου και διακριτός μετασχηματισμός Fourier (εισαγωγικά μόνο). Δειγματοληψία και ανακατασκευή σημάτων. Παραδείγματα ανάλυσης Γ.Χ.Α. συστημάτων στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας. Παραδείγματα τηλεπικοινωνιακών συστημάτων. Μετασχηματισμός Laplace και χρήση του για ανάλυση Γ.Χ.Α. συστημάτων συνεχούς χρόνου. Μετασχηματισμός Ζ και χρήση του για ανάλυση Γ.Χ.Α. συστημάτων διακριτού χρόνου. Βασικά υπολογιστικά εργαλεία σε Matlab σχετιζόμενα με τα παραπάνω.
Βιβλία απο Εύδοξο
Ενότητα 1 : Εισαγωγή στα Σήματα
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σήμα ονομάζουμε το σύνολο των τιμών που λαμβάνει ένα φυσικό μέγεθος π.χ. σήμα ομιλίας: οι τιμές της πίεσης του αέρα που καταγράφει το μικρόφωνο σεισμικά σήματα: οι τιμές της επιτάχυνσης που δημιουργούν οι δονήσεις του εδάφους στον σεισμογράφο. Σύστημα είναι ένας τελεστής που δρά σε σήματα και δημιουργεί νέα σήματα ή νέες αναπαραστάσεις σημάτων π.χ. Ένα σύστημα αναπαραγωγής CD μετατρέπει το σήμα της κωδικοποιημένης ομιλίας σε ήχο.
ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ -ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΗΜΑΤΑ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ Αποθορυβοποίηση ομιλίας Κωδικοποίηση ομιλίας (mp3)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σύστημα συνεχούς χρόνου Σύστημα διακριτού χρόνου
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Πλεονεκτήματα ψηφιακών συστημάτων Εύκολη τροποποίηση του συστήματος με software. Μεγάλη ακρίβεια που τα αναλογικά δεν έχουν λόγω ανοχής των εξαρτημάτων. Δυνατότηα εύκολης αποθήκευσης Μικρό κόστος Πλεονεκτήματα αναλογικών συστημάτων Επεξεργασία σημάτων υψηλής συχνότητας (Μhz) Τηλεπικοινωνίες
Συνεχή Σήματα Ένα αναλογικό ή συνεχές σήμα είναι μια πραγματική συνάρτηση x (t ) : ℜ ℜ της ανεξάρτητης μεταβλητής t η οποία εκφράζει το συνεχή χρόνο.
Σήματα ενέργειας και ισχύος Η ενέργεια ενός σήματος ορίζεται ως: + 2 Ε := x( t ) dt Η ισχύς ενός σήματος ορίζεται ως: P :=lim T 1 T T/2 2 x (t ) dt T /2 Εάν η ενέργεια ενός σήματος είναι πεπερασμένη (έτσι ωστε η ισχύς του να έιναι μηδέν) τότε ονομάζεται σήμα ενέργειας. Εάν η ισχύς ενός σήματος είναι πεπερασμένη τότε ονομάζεται σήμα ισχύος.
Μοναδιαία βηματική συνάρτηση u(t) unit step function
Μοναδιαία βηματική συνάρτηση u(t) unit step function Για κάθε σήμα συνεχούς χρόνου ισχύει: π.χ. για το σήμα Το σήμα x(t)u(t) είναι :
Μοναδιαία συνάρτηση ανωφέρειας r(t) unit ramp function
Χρονική μετάθεση σημάτων u(t) u(t-t1), t1=2 u(t+t1), t1=2
Μοναδιαία κρουστική συνάρτηση Η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση Dirac δ(t), (unit impulse ή Dirac distribution ορίζεται ως: Προσεγγιστικά η δ(t) μπορεί να αναπαρασταθεί με έναν τετραγωνικό παλμό χρονικής διάρκειας Α και ύψους Α όπου Α ένας μεγάλος αριθμός
Ιδιότητες κρουστικής συνάρτησης Για κάθε K, η συνάρτηση Kδ(t) είναι κρουστική συνάρτηση που ορίζεται απο τις σχέσεις:
Ιδιότητες κρουστικής συνάρτησης 1. Για κάθε σήμα x(t) ισχύει: 2. Η μοναδιαία βημτική συνάρτηση u(t) ισούται με το ολοκλήρωμα της μοναδιαίας κρουστικής. 3. Για κάθε t1 ισχύει
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ Οι περισσότερες φυσικές διεργασίες δημιουργούν σήματα με μορφή ημιτόνου ή συνημιτόνoυ που γενικά τα ονομάζουμε ημιτονοειδή. Μια γενική μορφή ενός σήματος συνημιτόνου είναι η εξής: x(t )= Acos (ω0 t + φ) Όπου Α το πλάτος (amplitude) ω0 η κυκλική συχνότητα σε ακτίνια δευτερόλεπτο (rad/sec) φ η φάση σε ακτίνια
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ Τριγωνομετρικός κύκλος Πηγή: Wikipedia
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ Ένα σήμα συνημιτόνου μπορεί να γραφτεί ώς: x(t )= Acos(ω0 t + φ)= Acos(2 π f 0 t+ φ) Ορίζοντας: 2π ω0=(2 π f 0 )= Τ0 Όπου, f0 είναι η συχνότητα του σήματος σε Hz T0 είναι η περίοδος σε sec
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ- ΣΧΕΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ- ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ Αν σε ένα σήμα αντικαταστήσουμε την μεταβλητή t σε t-tm Τότε το σήμα θα ολισθήσει κατα tm. Δηλαδη το σημείο t=0 θα μετακινηθεί στο t=tm π.χ.
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ Σχέση μετατόπισης /φάσης Έστω οτι θέλουμε να υπολογίσουμε την σχέση μετατόπισης και φάσης. Εξισώνουμε ένα σήμα με καθυστέρηση tm με ένα σήμα φάσης φ ή διαφορετικά:
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ Μιγαδική αναπαράσταση z=(x,y), z=x+jy, x=re{z}, y=im{z} j2=-1
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ για παράδειγμα:
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ Μιγαδική αναπαράσταση
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ Μιγαδική αναπαράσταση
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ Μιγαδική αναπαράσταση H σχέση του euler συνδέει τους μιγαδικούς αριθμούς με την εκθετική συνάρτηση.
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ Μιγαδική αναπαράσταση
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ Μιγαδική αναπαράσταση Την ποσότητα την ονομάζουμε Φάσορα (Phasor) ή μιγαδικό πλάτος (complex amplitude)
ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΗΜΑΤΑ Μιγαδική αναπαράσταση Παράδειγμα
Απόδειξη θεωρήματος αθροίσματος φασόρων
Συνέλιξη συνεχών σημάτων Η συνέλιξη των σημάτων x(t) και u(t) ορίζεται ως :
Παράδειγμα συνέλιξης σημάτων συνεχούς χρόνου
Αναδίπλωση και μετατόπιση
Ολοκλήρωση
Επίλυση
Συνέλιξη σήματος με την μοναδιαία κρουστική συνάρτηση Η συνέλιξη ενός σήματος x(t) με την μοναδιαία κρουστική δ(t) ισούται με το σήμα x(t)
Σήματα διακριτού χρόνου Έστω ένα συνεχές σήμα x(t). Ο μετασχηματισμός ιδανικής δειγματοληψίας του S{x(t)}ορίζεται ως σήμα διακριτου χρόνου: Τ: περίοδος δειγματοληψίας σε sec f= 1/T : Συχνότητα δειγματοληψίας ω = 2π / Τ : κυκλική συχνότητα δειγματοληψίας σε rad/sec
Διακριτή μοναδιαία βηματική συνάρτηση u(kt), T=1 u(kt-2), T=1
Παράδειγμα σήματος διακριτού χρόνου
Μοναδιαίος Παλμός
Συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου Έστω τα σήματα διακριτού χρόνου x(kt), υ(kt). Η συνέλιξη τους συμβολίζεται με (x * υ)(kt) και ισούται με:
Συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου
Ιδιότητες συνέλιξης Επιμεριστικότητα x * (u * v) = (x * u) * v Αντιμετθετικότητα x*u =u*x Επιμεριστικότητα προς την πρόσθεση x * (u + v) = x * u + x * v
Ψηφιακά σήματα Ψηφιακό σήμα είναι ένα διακριτό σήμα με πεπερασμένο αριθμό στοιχείων π.χ. {a1, a2,...an}
Βιβλιογραφία http://users.ece.gatech.edu/mcclella/spfirst/ Α. Βαρδουλάκης Εισαγωγή στη θεωρία σημάτων και συστημάτων