Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/17
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε πραγματική συνάρτηση x(t) μπορεί να γραφεί ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνιστώσας Σήματα και Συστήματα 2/17
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε πραγματική συνάρτηση x(t) μπορεί να γραφεί ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνιστώσας Λύση: α) Γράφουμε τη x(t) ως x(t) = x(t) 2 + x(t) 2 + x( t) x( t) 2 2 Σήματα και Συστήματα 2/17
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε πραγματική συνάρτηση x(t) μπορεί να γραφεί ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνιστώσας Λύση: α) Γράφουμε τη x(t) ως x(t) = x(t) 2 + x(t) 2 + x( t) 2 = x(t) + x( t) 2 + x( t) 2 x(t) x( t) 2 Σήματα και Συστήματα 2/17
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε πραγματική συνάρτηση x(t) μπορεί να γραφεί ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνιστώσας Λύση: α) Γράφουμε τη x(t) ως x(t) = x(t) 2 + x(t) 2 + x( t) x( t) 2 2 x(t) + x( t) x(t) x( t) = + 2 2 = x e (t) + x 0 (t) Σήματα και Συστήματα 2/17
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε πραγματική συνάρτηση x(t) μπορεί να γραφεί ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνιστώσας Λύση: α) Γράφουμε τη x(t) ως x(t) = x(t) 2 + x(t) 2 + x( t) x( t) 2 2 x(t) + x( t) x(t) x( t) = + 2 2 = x e (t) + x 0 (t) όπου x e (t) = x(t)+x( t) 2 και x 0 (t) = x(t) x( t) 2 Σήματα και Συστήματα 2/17
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε πραγματική συνάρτηση x(t) μπορεί να γραφεί ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνιστώσας Λύση: α) Γράφουμε τη x(t) ως x(t) = x(t) 2 + x(t) 2 + x( t) x( t) 2 2 x(t) + x( t) x(t) x( t) = + 2 2 = x e (t) + x 0 (t) όπου x e (t) = x(t)+x( t) 2 και x 0 (t) = x(t) x( t) 2 Προφανώς η x e (t) είναι άρτια και η x 0 (t) περιττή Σήματα και Συστήματα 2/17
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: β) Το πραγματικό μέρος του MF μιας πραγματικής συνάρτησης είναι ο MF της άρτιας συνιστώσας της και το φανταστικό μέρος του είναι ο MF της περιττής συνιστώσας της Σήματα και Συστήματα 3/17
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: β) Το πραγματικό μέρος του MF μιας πραγματικής συνάρτησης είναι ο MF της άρτιας συνιστώσας της και το φανταστικό μέρος του είναι ο MF της περιττής συνιστώσας της Λύση: β) Ο MF της x(t) λόγω γραμμικότητας είναι: X(Ω) = F{x(t)} = F{x e (t)} + F{x 0 (t)} = X e (Ω) + X 0 (Ω) Σήματα και Συστήματα 3/17
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: β) Το πραγματικό μέρος του MF μιας πραγματικής συνάρτησης είναι ο MF της άρτιας συνιστώσας της και το φανταστικό μέρος του είναι ο MF της περιττής συνιστώσας της Λύση: β) Ο MF της x(t) λόγω γραμμικότητας είναι: X(Ω) = F{x(t)} = F{x e (t)} + F{x 0 (t)} = X e (Ω) + X 0 (Ω) αλλά είναι γνωστό ότι ο MF μιας άρτιας πραγματικής συνάρτησης είναι πραγματική συνάρτηση και ο MF μιας περιττής πραγματικής συνάρτησης είναι φανταστική συνάρτηση Συνεπώς η X e (Ω) είναι το πραγματικό μέρος του X(Ω) και η jx 0 (Ω) το φανταστικό μέρος του Σήματα και Συστήματα 3/17
Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 93) Να υπολογιστεί η μορφή του MF της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης u(t) με εφαρμογή της ιδιότητας της παραγώγισης Σήματα και Συστήματα 4/17
Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 93) Να υπολογιστεί η μορφή του MF της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης u(t) με εφαρμογή της ιδιότητας της παραγώγισης Λύση: Έχουμε: δ(t) = du(t) dt αλλά F{δ(t)} = 1 οπότε jωf{u(t)} = 1 F{δ(t)} = F{ du(t) } = jωf{u(t)} dt Σήματα και Συστήματα 4/17
Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 93) Να υπολογιστεί η μορφή του MF της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης u(t) με εφαρμογή της ιδιότητας της παραγώγισης Λύση: Έχουμε: δ(t) = du(t) dt F{δ(t)} = F{ du(t) } = jωf{u(t)} dt αλλά F{δ(t)} = 1 οπότε jωf{u(t)} = 1 Το σωστό αποτέλεσμα είναι F{u(t)} = 1 jω + πδ(ω) και αυτό γιατί όταν ισχύει ΩX 1 (Ω) = ΩX 2 (Ω) X 1 (Ω) = X 2 (Ω) + kδ(ω) Σήματα και Συστήματα 4/17
Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 94) Να υπολογιστεί ο MF της συνάρτησης x(t) = 1 σ t2 e 2σ 2 2π Σήματα και Συστήματα 5/17
Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 94) Να υπολογιστεί ο MF της συνάρτησης x(t) = 1 σ t2 e 2σ 2 2π Λύση: Η συνάρτηση αυτή θα μπορούσε να αντιπροσωπεύει την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής τύπου Gauss με μέση τιμή 0 και διασπορά σ 2 Έχουμε X(Ω) = 1 σ 2 2π e t2 2σ 2 e jωt dt = Για να το λύσουμε χρησιμοποιούμε τον τύπο π e (αx2 +βx+γ) dx = α e β2 4αγ 4α 1 ( ) e 1 σ 2 2σ 2 t2 +jωt dt 2π Σήματα και Συστήματα 5/17
Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 94) Άρα X(Ω) = e Αν η X(Ω) πολλαπλασιαστεί με 1/ Ω2 2(1/σ 2 ) 2π σ τότε έχει τη μορφή 2 πυκνότητας πιθανότητας Gauss με μέση τιμή 0 και διασπορά 1/σ 2 Σήματα και Συστήματα 6/17
Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 94) Άρα X(Ω) = e Αν η X(Ω) πολλαπλασιαστεί με 1/ Ω2 2(1/σ 2 ) 2π σ τότε έχει τη μορφή 2 πυκνότητας πιθανότητας Gauss με μέση τιμή 0 και διασπορά 1/σ 2 Μικρή διασπορά της x(t) συνεπάγεται μεγάλη διασπορά της X(Ω) και αντίστροφα Όσο μεγαλύτερο είναι το εύρος μιας συνάρτησης στο πεδίο του χρόνου τόσο μικρότερο είναι το εύρος της στο πεδίο συχνοτήτων και αντίστροφα Σήματα και Συστήματα 6/17
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 94) Έστω ότι η πηγή τάσης, v(t) της μορφής του σχήματος 219(α) εφαρμόζεται στο RL κύκλωμα του σχήματος 219(β) Να υπολογιστεί το ρεύμα βρόχου στη μόνιμη κατάσταση Σήματα και Συστήματα 7/17
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 94) Έστω ότι η πηγή τάσης, v(t) της μορφής του σχήματος 219(α) εφαρμόζεται στο RL κύκλωμα του σχήματος 219(β) Να υπολογιστεί το ρεύμα βρόχου στη μόνιμη κατάσταση Λύση: Θα αναπτύξουμε σε σειρά Fourier τη v(t) ακολουθώντας το παράδειγμα 215 Σήματα και Συστήματα 7/17
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 94) Θυμίζουμε την μορφή της συνάρτησης από το παράδειγμα 215 Σήματα και Συστήματα 8/17
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 94) Θυμίζουμε την μορφή της συνάρτησης από το παράδειγμα 215 Έτσι προκύπτει (θέτοντας Ω 0 = 2π/T = 1): v(t) = 4V π ( 1 cos t 3 cos 3t + 1 cos 5t ) 5 Σήματα και Συστήματα 8/17
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 94) Όροι συνημιτόνου (όροι ημιτόνου) καθώς το σήμα είναι μετατοπισμένο κατά π/2 Άρτια συμμετρία (περιττή συμμετρία) Ίδιες αρμονικές συχνότητες (περιττές) και με το ίδιο πλάτος Στην ουσία έχουμε το ίδιο σήμα με διαφορά μόνο στη φάση Η ολική εμπέδηση (σύνθετη αντίσταση) του κυκλώματος είναι Z(Ω) = R + jωl Σήματα και Συστήματα 9/17
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 94) Θα υπολογίσουμε την απόκριση i n (t) για κάθε αρμονική συνιστώσα της v(t) Για Ω = nω 0 (που αντιστοιχεί στον n-οστο αρμονικό όρο) η εμπέδηση είναι όπου Z(nΩ 0 ) = R + jnω 0 L = 1 + jn Z(nΩ 0 ) = Z(nΩ 0 ) θ(n) Z(nΩ 0 ) = 1 + n 2 Σήματα και Συστήματα 10/17
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 94) Θα υπολογίσουμε την απόκριση i n (t) για κάθε αρμονική συνιστώσα της v(t) Για Ω = nω 0 (που αντιστοιχεί στον n-οστο αρμονικό όρο) η εμπέδηση είναι όπου Z(nΩ 0 ) = R + jnω 0 L = 1 + jn Z(nΩ 0 ) = Z(nΩ 0 ) θ(n) Z(nΩ 0 ) = 1 + n 2 θ(n) = tan 1 n Σήματα και Συστήματα 10/17
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 94) Θυμίζουμε ότι στην αναπαράσταση φάσορα έχουμε: { 1 i(t) = Re ˆVe jωt} Z(Ω) όπου ˆV είναι το μιγαδικό πλάτος της v(t) Με βάση τα παραπάνω υπολογίζουμε την απόκριση i n (t) σε κάθε όρο v n (t) της σειράς Fourier της v(t) και χρησιμοποιώντας την αρχή της υπέρθεσης έχουμε τελικά: i(t) = 4V π [ 1 2 cos (t tan 1 1) 1 ] 3 10 cos (3t tan 1 3) + Σήματα και Συστήματα 11/17
Πρόβλημα 5 (βιβλίο σελίδα 97) Να υπολογιστεί το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της συνάρτησης x(t) = { 0, T 2 < t < 0 A sin Ω 0 t, 0 < t < T 2 x(t) = x(t + T) Σήματα και Συστήματα 12/17
Πρόβλημα 5 (βιβλίο σελίδα 97) Λύση: Εφαρμόζοντας τους σχετικούς τύπους του τριγωνομετρικού αναπτύγματος έχουμε με Ω 0 = 2π T, T/2 α 0 = 1 T 0 A sin(ω 0 t)dt = A π Σήματα και Συστήματα 13/17
Πρόβλημα 5 (βιβλίο σελίδα 97) Λύση: Εφαρμόζοντας τους σχετικούς τύπους του τριγωνομετρικού αναπτύγματος έχουμε με Ω 0 = 2π T, Για n > 0 α n = 2 T α 0 = 1 T T/2 0 T/2 0 A sin(ω 0 t)dt = A π A sin(ω 0 t) cos(nω 0 t)dt Σήματα και Συστήματα 13/17
Πρόβλημα 5 (βιβλίο σελίδα 97) Λύση: Εφαρμόζοντας τους σχετικούς τύπους του τριγωνομετρικού αναπτύγματος έχουμε με Ω 0 = 2π T, Για n > 0 α n = 2 T = A T α 0 = 1 T T/2 0 T/2 0 T/2 0 A sin(ω 0 t)dt = A π A sin(ω 0 t) cos(nω 0 t)dt {sin[(1 + n)ω 0 t] + sin[(1 n)ω 0 t]}dt Σήματα και Συστήματα 13/17
Πρόβλημα 5 (βιβλίο σελίδα 97) Λύση: Εφαρμόζοντας τους σχετικούς τύπους του τριγωνομετρικού αναπτύγματος έχουμε με Ω 0 = 2π T, Για n > 0 Για n = 1 α n = 2 T = A T α 0 = 1 T T/2 0 T/2 0 α 1 = A T T/2 0 A sin(ω 0 t)dt = A π A sin(ω 0 t) cos(nω 0 t)dt {sin[(1 + n)ω 0 t] + sin[(1 n)ω 0 t]}dt T/2 0 A sin(2ω 0 t)dt = 0 Σήματα και Συστήματα 13/17
Πρόβλημα 5 (βιβλίο σελίδα 97) και για n > 1 α n = A { cos[(1 + n)ω 0t] cos[(1 n)ω } 0t] T/2 T (1 + n)ω 0 (1 n)ω 0 0 { 0, n περιττός = 2A (n 1)(n+1)π, n άρτιος Σήματα και Συστήματα 14/17
Πρόβλημα 5 (βιβλίο σελίδα 97) και για n > 1 α n = A { cos[(1 + n)ω 0t] cos[(1 n)ω } 0t] T/2 T (1 + n)ω 0 (1 n)ω 0 0 { 0, n περιττός = 2A (n 1)(n+1)π, n άρτιος Παρόμοια, για τους συντελεστές b n έχουμε b n = 2 T T/2 0 A sin(ω 0 t) sin(nω 0 t)dt Σήματα και Συστήματα 14/17
Πρόβλημα 5 (βιβλίο σελίδα 97) και για n > 1 α n = A { cos[(1 + n)ω 0t] cos[(1 n)ω } 0t] T/2 T (1 + n)ω 0 (1 n)ω 0 0 { 0, n περιττός = 2A (n 1)(n+1)π, n άρτιος Παρόμοια, για τους συντελεστές b n έχουμε b n = 2 T = A T T/2 0 T/2 0 A sin(ω 0 t) sin(nω 0 t)dt {cos[(1 + n)ω 0 t] cos[(1 n)ω 0 t]}dt Σήματα και Συστήματα 14/17
Πρόβλημα 5 (βιβλίο σελίδα 97) και για n > 1 α n = A { cos[(1 + n)ω 0t] cos[(1 n)ω } 0t] T/2 T (1 + n)ω 0 (1 n)ω 0 0 { 0, n περιττός = 2A (n 1)(n+1)π, n άρτιος Παρόμοια, για τους συντελεστές b n έχουμε Για n = 1 b n = 2 T = A T T/2 0 T/2 0 A sin(ω 0 t) sin(nω 0 t)dt T/2 {cos[(1 + n)ω 0 t] cos[(1 n)ω 0 t]}dt T/2 b 1 = A T 0 dt A T 0 cos(2ω 0 t)dt = A 2 Σήματα και Συστήματα 14/17
Πρόβλημα 5 (βιβλίο σελίδα 97) και για n > 1 b n = A T Άρα τελικά είναι: { sin[(1 n)ω0 t] sin[(1 + n)ω } 0t] T/2 = 0 (1 n)ω 0 (1 + n)ω 0 0 x(t) = A π + A 2 sin(ω 0t) 2A π [ 1 3 cos(2ω 0t) + 1 ] 15 cos(4ω 0t) + Σήματα και Συστήματα 15/17
Πρόβλημα 6 (βιβλίο σελίδα 98) Να υπολογιστεί το ανάπτυγμα Fourier της συνάρτησης x(t) = sin 5 t Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Euler, έχουμε ότι sin nθ = ejnθ e jnθ 2j Έτσι η δοσμένη συνάρτηση γράφεται x(t) = ( e jt e jt ) 5 2j Σήματα και Συστήματα 16/17
Πρόβλημα 6 (βιβλίο σελίδα 98) Χρησιμοποιώντας το διωνυμικό τύπο για την ύψωση σε δύναμη ενός αθροίσματος n (α + β) n ( n ) = α k β n k k έχουμε ότι k=0 x(t) = 1 ( e 5jt 5e j3t + 10e jt 10e jt + 5e j3t e 5jt) 32j Σήματα και Συστήματα 17/17
Πρόβλημα 6 (βιβλίο σελίδα 98) Χρησιμοποιώντας το διωνυμικό τύπο για την ύψωση σε δύναμη ενός αθροίσματος n (α + β) n ( n ) = α k β n k k έχουμε ότι k=0 x(t) = 1 ( e 5jt 5e j3t + 10e jt 10e jt + 5e j3t e 5jt) 32j = 5 8 sin t 5 1 sin 3t + sin 5t 16 16 Άρα έχουμε 3 μόνο όρους για το ανάπτυγμα της συνάρτησης σε τριγωνομετρική σειρά Σήματα και Συστήματα 17/17