KΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισµοί Ας θεωρήσουµε δύο σύνολα Α, Β Μία απεικόνιση f : A B καλείται συνάρτηση αν σε κάθε στοιχείο A αντιστοιχεί ένα και µόνο ένα στοιχείο y B Το σύνολο Α καλείται πεδίο ορισµού της συνάρτησης f ενώ το σύνολο Β καλείται σύνολο άφιξης της συνάρτησης f Κάθε στοιχείο y του συνόλου Β καλείται εικόνα του στοιχείου µέσω της συνάρτησης f και συµβολίζεται ως y = f() Aν το σύνολο Β είναι υποσύνολο του συνόλου των πραγµατικών αριθµών τότε η f καλείται πραγµατική συνάρτηση Αν το πεδίο ορισµού της f είναι υποσύνολο του τότε η f καλείται συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής Στο εξής θα ασχοληθούµε µόνο µε πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής Εστω f : A Τότε: Το σύνολο f ( A) = { y : y = f } Προφανώς f( A) καλείται πεδίο τιµών της συνάρτησης f H f καλείται αµφιµονότιµη συνάρτηση στο πεδίο ορισµού της εάν, A: f( ) f( ) ή ισοδύναµα εάν, A: f( ) = f( ) = Η f καλείται επί του συνόλου B αν y B A: f = y Προφανώς η f είναι επί του πεδίου τιµών της f(α) Σηµείωση Μία αµφιµονότιµη συνάρτηση f : A f( A) καλείται συνάρτηση - Η f καλείται άνω φραγµένη στο Α εάν M : f M A Η f καλείται κάτω φραγµένη στο Α εάν M : f M A Η f καλείται φραγµένη στο Α εάν 5
mm, : m f M A Ισοδύναµα η f καλείται φραγµένη στο Α εάν M > : f M A H f καλείται γνησίως αύξουσα (αντ αύξουσα) στο Α εάν, A: < ( αντ ) f( ) < f( ) ( αντ f( ) f( )) Η f καλείται γνησίως φθίνουσα (αντ φθίνουσα) στο Α εάν, A: < ( αντ ) f( ) > f( ) ( αντ f( ) f( )) Αν µία συνάρτηση f είναι (γνησίως) αύξουσα ή (γνησίως) φθίνουσα στο Α τότε λέµε ότι η f είναι (γνησίως) µονότονη στο Α Η f καλείται άρτια συνάρτηση στο Α εάν για κάθε A, A και f ( ) = f Η γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης είναι συµµετρική ως προς τον άξονα y y Η f καλείται περιττή συνάρτηση στο Α εάν για κάθε A, A και f ( ) = f Η γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης είναι συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων Η f καλείται Τ- περιοδική συνάρτηση αν για κάθε A, + T A και f ( + T) = f, όπου ο Τ είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οποίο ισχύει η παραπάνω ισότητα Οι γραφικές παραστάσεις περιοδικών συναρτήσεων είναι επαναλαµβανόµενες κόπιες ανά διαστήµατα µήκους Τ ύο συναρτήσεις f: A f( A), f : A f( A) καλούνται ίσες όταν έχουν κοινό πεδίο ορισµού και ίδιο τύπο, δηλαδή όταν Α = Α και f = f, A Πράξεις µε συναρτήσεις Εστω f: A f( A), f : A f( A) είναι πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής, τότε ορίζουµε τις κάτωθι πράξεις: 6
Πρόσθεση: A A, f + f = f + f Aφαίρεση: A A, f f = f f Πολ/σµός: A A, f f = f f ιαίρεση: A A, f / f = f / f µε f Σύνθεση συναρτήσεων: Eστω f : A f(a), g: f(a) B, τότε ορίζουµε τη σύνθεση g f : A B των συναρτήσεων f και g ως εξής g f = g f Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι για να ορίζεται η σύνθεση g f θα πρέπει πάντοτε το πεδίο τιµών της συνάρτησης f να ταυτίζεται µε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g Αντίστροφη συνάρτηση: Eστω f : A f( A), y = f είναι µία - συνάρτηση, τότε ορίζεται η συνάρτηση f f A A f y : : =, η οποία καλείται αντίστροφη συνάρτηση της f() και ισχύει f f = f f = f f = f f = ( ) ( ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = f και συµµετρικές ως προς την ευθεία y = z = f είναι Παραµετρικές εξισώσεις καµπύλης Θεωρούµε ένα διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας και ορίζουµε τις συναρτήσεις a: I a( I): = a( t) β : I β( I): y = β( t) Για κάθε t I τα σηµεία µε συντεταγµένες (a(t),β(t)) ορίζουν µία καµπύλη του επιπέδου που δεν είναι κατ ανάγκην γραφική παράσταση συνάρτησης Οι συναρτήσεις =α(t), y=β(t), t I καλούνται παραµετρικές εξισώσεις της καµπύλης Eάν η συνάρτηση α(t) είναι - τότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση t = α - (), oπότε oρίζεται η συνάρτηση 7
3 Οριο συναρτήσεων β β β β y: a I ( I): y = ( t) = ( a ) = a Εστω f : A f( A) είναι µία πραγµατική συνάρτηση και έστω είναι σηµείο συσσώρευσης του πεδίου ορισµού Α της f Θα λέµε ότι η f έχει όριο στο σηµείο τον αριθµό λ όταν µπορούµε να βρούµε πάντοτε µία περιοχή του σηµείου τέτοια ώστε όλες οι τιµές f() που αντιστοιχούν στη συγκεκριµένη περιοχή να βρίσκονται εγκλωβισµένες οσοδήποτε κοντά θέλουµε σε µία περιοχή του αριθµού λ Τι εννοούµε όµως όταν µιλάµε για περιοχή σηµείου; Υπενθυµίζουµε ότι στο Κεφάλαιο (σελ 7) ορίσαµε την περιοχή π ε ( ) ενός σηµείου κέντρου και ακτίνας ε να είναι το ανοικτό διάστηµα ( ε, + ε ) Θα επεκτείνουµε αυτό τον ορισµό στην περίπτωση = ± Oρισµός 3 Eστω ε> Καλούµε περιοχή του σηµείου το ανοικτό διάστηµα ( ε, + ε), οταν πε = ( ε, + ), οταν =+ (, ε), οταν = Eχοντας πλέον ορίσει την έννοια της περιοχής σηµείου µπορούµε να περιγράψουµε µε µαθηµατικό τρόπο τον ορισµό του ορίου που δώσαµε διαισθητικά Εχουµε λοιπόν Oρισµός 3 Εστω f : A f( A) και είναι ένα σηµείο συσσώρευσης του Α Θα λέµε ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο σηµείο τον αριθµό λ, συµβολικά f = λ, αν ε > δε (, ) > : π( ) { } A f π( λ) δ Ο παραπάνω ορισµός παριστάνεται γραφικά στα ακόλουθα ενδεικτικά σχήµατα: Σχήµα Εστω, λ Οποιοδήποτε ε> και αν επιλέξουµε, υπάρχει πάντα ένα διάστηµα ( -δ, +δ), έτσι ώστε για κάθε A ( -δ, +δ)-{ } η αντίστοιχη τιµή f() εγκλωβίζεται εκατέρωθεν του πραγµατικού αριθµού λ στο διάστηµα (λ-ε,λ+ε) ε 8
Σχήµα Εστω, λ=+ Οποιοδήποτε Μ> και αν επιλέξουµε, υπάρχει πάντα ένα διάστηµα ( -δ, +δ), έτσι ώστε για κάθε A ( -δ, +δ) )-{ } η αντίστοιχη τιµή f() είναι µεγαλύτερη του Μ Σχήµα 3 Εστω, λ=- Οποιοδήποτε Μ> και αν επιλέξουµε, υπάρχει πάντα ένα διάστηµα ( -δ, +δ), έτσι ώστε για κάθε A ( -δ, +δ)-{ }, η αντίστοιχη τιµή f() είναι µικρότερη του -Μ Σηµείωση Το σηµείο συσσώρευσης δεν ανήκει κατ ανάγκην στο πεδίο ορισµού της συνάρτησης f H f δεν έχει όριο στο σηµείο αν ισχύει η άρνηση του ορισµού, δηλαδή: ε > : δ > A π ( ) { }: f π ( λ) δ ε 9
Για να υπάρχει το όριο f( ) f δεν είναι αναγκαίο να ορίζεται η τιµή Σηµείωση 3 Μία συνάρτηση n : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών καλείται ακολουθία Αποδεικνύεται ότι: f = λ ( ) : = f( ) = λ (3) n n + n n + n H σχέση (3) είναι πολύ χρήσιµη σε περιπτώσεις όπου θέλουµε να δείξουµε ότι δεν υπάρχει το όριο f Αρκεί να βρούµε δύο ακολουθίες n και y n : = y = και f( ) f( y ) n + n n + n n n n n Πρόταση 3 Το όριο µιας συνάρτησης (εάν υπάρχει) σ ένα σηµείο συσσώρευσης είναι µοναδικό Πρόταση 3 Αν f = λ τότε υπάρχει περιοχή του σηµείου όπου η f() διατηρεί το πρόσηµο του ορίου λ Πρόταση 33 Αν f()> (αντίστ f()<) σε µία περιοχή ενός σηµείου τότε f (αντίστ f ) υπό την προϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Υποθέτουµε ότι ένα σηµείο κινείται πάνω στην πραγµατική ευθεία προς την κατεύθυνση ενός σηµείου κινούµενο εξ αριστερών του σηµείου, δηλαδή < και Αν ισχύει f() λ όταν κατά την κίνηση που περιγράψαµε λέµε ότι η συνάρτηση f έχει εξ αριστερών όριο στο σηµείο τον αριθµό λ και γράφουµε: = f λ Υποθέτουµε τώρα ότι ένα σηµείο κινείται πάνω στην πραγµατική ευθεία προς την κατεύθυνση ενός σηµείου κινούµενο εκ δεξιών του σηµείου, δηλαδή > και Αν ισχύει f() λ όταν κατά την κίνηση που περιγράψαµε λέµε ότι η συνάρτηση f έχει εκ δεξιών όριο στο σηµείο τον αριθµό λ και γράφουµε: Προφανώς f λ + = f = λ f = f = λ + Σηµείωση 4 Ενδείκνυται η χρήση πλευρικών ορίων στις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) όταν, το είναι ρίζα του αριθµητή ή του παρονοµαστή µιας ρητής συνάρτησης f() και το πρόσηµο της f εναλλάσσεται εκατέρωθεν του,
(β) όταν υπάρχει ακέραιο µέρος στον τύπο της f, ο είναι ακέραιος αριθµός και εντός του ακεραίου µέρους, (γ) όταν υπάρχει απόλυτη τιµή στον τύπο της f, και το είναι ρίζα της ποσότητας µέσα στο απόλυτο ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΟΡΙΑ Eστω f = λ και g = λ, (λ,λ ) Τότε Πρόταση 34 (Παρεµβολή) ( f g ) ( f g ) = ( f g ) ± = λ ± λ / = λ / λ, λ n f = n λ, f, λ f = λ f g λ λ λ λ Εάν f g h και f = h = λ Τότε g = λ Πρόταση 35 Εστω f : A f( A) : y = f, g: f( A) B: z = g( y) Εάν υπάρχει το f = λ και το y λ g y = m και αν υπάρχει περιοχή π ε ( ) του σηµείου τέτοια ώστε f λ π ε { }, τότε ( g f) = m ΓΝΩΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΓΝΩΣΤΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ηµ ( a) a +, a > = a, + = a < a + + = e ηµ εφ a Για να υπολογίσουµε όρια συναρτήσεων εφαρµόζουµε τις ιδιότητες ορίων, εφόσον όµως δεν προκύπτουν απροσδιόριστες µορφές Στην περίπτωση που έχουµε απροσδιόριστες µορφές θα πρέπει να άρουµε την απροσδιοριστία ώστε στη συνέχεια να µπορέσουµε να χρησιµοποιήσουµε τις συνήθεις ιδιότητες των ορίων Οσον αφορά τις απροσδιόριστες µορφές της µορφής /, /, -, συνήθως χρησιµοποιούµε τεχνικές όπως πχ ο πολ/σµός και διαίρεση µε συζυγή παράσταση
και τον κανόνα L Hospital που θα αναφέρουµε στο επόµενο κεφάλαιο (βλέπε επίσης άσκ 5 (δ), (η)) Οσον αφορά τις απροσδιόριστες µορφές,, -,(+ ), εργαζόµαστε ως εξής: Εστω f : A [, + ), g: A Τότε f λ > = η +, εαν λ f + {,}, λ g =± g ( λ ) g f( λ), εαν λ f, λ g,,, ± Aν συµβεί κάποια από τις απροσδιόριστες µορφές εξής: + εργαζόµαστε ως Εστω h g = f, τότε ( h) ( f g ) ( h) ( g ( f ) ) ln = ln ln = ln λ λ λ λ Για να υπολογίσουµε το λ ( g ln ( f )) χρησιµοποιούµε τον κανόνα L Hospital (απροσδιοριστία την οποία µετασχηµατίζουµε σε απροσδιοριστία / ή / και παίρνουµε τελικά λ g f f e g ( ln( )) λ = 4 Συνέχεια-Θεωρήµατα συνεχών συναρτήσεων Oρισµός 4 Εστω f : A f( A), A Θα λέµε ότι η f είναι συνεχής στο σηµείο Α εάν ε > δε (, ) > : A π( ) f π( f( )) δ ε Επειδή στην περίπτωση αυτή το σηµείο και η τιµή f( ) είναι πραγµατικοί αριθµοί, οι περιοχές πδ, π ε( f) είναι ανοικτά διαστήµατα (βλέπε σελ 8) και ο παραπάνω ορισµός µπορεί να γραφεί ως εξής: ε > δε (, ) > : A: < δ f f( ) < ε Σηµειώνουµε ότι µία συνάρτηση f είναι συνεχής σε µεµονωµένα σηµεία του πεδίου ορισµού της Τελικά έχουµε: Εστω f : A f( A), A, Α H f είναι συνεχής στο σηµείο αν (α) το είναι µεµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού της,
(β) το είναι σηµείο συσσώρευσης του πεδίου ορισµού της, υπάρχει το και επιπλέον f = f( ) f Στο εξής θα θεωρούµε ότι το Α είναι σηµείο συσσώρευσης του Α Τότε Επίσης ισχύει f συνεχής στο f = f = + f( ) f συνεχής στο f( + h) f, h Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής στο και αν υποθέσουµε ότι το είναι σηµείο συσσώρευσης τότε ισχύει η σχέση (3) σελ 9 για λ = f( ), oπότε: άρα: ( ): f( ) f( ), n n n f ( ) = f( ) = f n + n n + n Ετσι προκύπτει και η ακόλουθη: Πρόταση 4 Αν f : A f( A) είναι συνεχής στο A και η g: f( A) Bείναι συνεχής στο f(, τότε και η σύνθεση g f είναι συνεχής στο A και ισχύει ( g f) = g( f( )) = g( f) Η πρόταση αυτή µας επιτρέπει να κάνουµε αλλαγή µεταβλητής στον υπολογισµό ορίων Για παράδειγµα ( ) y= ( y) ηµ ηµ + = y = y y ηµ ( y) =, y αφού οι συναρτήσεις y = /, y = ηµ είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους Σηµεία ασυνέχειας-συνεχής επέκταση Όταν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σηµείο λέµε ότι το είναι σηµείο ασυνέχειας της f Yπάρχουν δύο ειδών σηµεία ασυνέχειας: Σηµεία ασυνέχειας ου είδους: υπάρχουν τα πλευρικά όρια και είναι διαφορετικά Σηµεία ασυνέχειας ου είδους: ένα ή και τα δύο πλευρικά όρια είτε δεν υπάρχουν είτε δεν είναι πεπερασµένα Αν τα πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι ίδια, τότε λέµε ότι η ασυνέχεια είναι απαλείψιµη και µπορούµε να επεκτείνουµε συνεχώς τη συνάρτηση µας 3
Oρισµός 4 Εστω f : A, είναι σηµείο συσσώρευσης του Α, A Αν υπάρχει συνάρτηση g: A { } έτσι ώστε f() = g() A και g = f θα λέµε ότι η g() είναι συνεχής επέκταση της f() Παράδειγµα Εστω Παρατηρούµε ότι: f cos : {} +, f = Εστω > sin sin cos f, = = = άρα υπάρχει η συνεχής επέκταση της f: f, {} g =, = Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων Πρόταση 43 Αν f, g: A είναι συνεχείς στο A τότε και οι f ± g f g f / g, µε g είναι επίσης συνεχείς στο A Επίσης η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση Πρόταση 43 Αν f : A είναι συνεχής στο A τότε δ > έτσι ώστε η f να είναι φραγµένη στο ανοικτό διάστηµα ( -δ, +δ) Βασικά θεωρήµατα συνεχών συναρτήσεων Θεώρηµα 4 (Βοlzano) Αν f :[ a, b] είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α,b] µε f(α) f(b) < τότε υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f() = στο ανοικτό διάστηµα (α,b) Θεώρηµα 4 (ενδιαµέσων τιµών) Αν :[, ] f a b είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α,b] µε f(α) f(b), τότε η f() παίρνει οποιαδήποτε τιµή µεταξύ των τιµών f(a) και f(b), είναι φραγµένη στο [α,b] και το πεδίο τιµών της είναι κλειστό διάστηµα 4
Θεώρηµα 43 Αν f :[ a, b] είναι συνεχής και γνησίως µονότονη στο κλειστό διάστηµα [α,b] τότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής η οποία έχει το ίδιο είδος µονοτονίας µε την f Θεώρηµα 44 Αν f : I f( I) είναι συνεχής και - σε διάστηµα Ι τότε είναι γνησίως µονότονη στο Ι 5 Μερικές γνωστές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους Η εκθετική συνάρτηση Oρίζουµε ως εκθετική συνάρτηση µε βάση ένα θετικό πραγµατικό αριθµό α τη συνάρτηση + f : : f = a Iδιότητες: Το πεδίο τιµών της εκθετικής συνάρτησης είναι το ανοικτό διάστηµα (,+ ) Για κάθε τιµή του α > ισχύει εαν a> εαν < a< f f γνησιως αυξουσα γνησιως φθινουσα Eάν α = προφανώς έχουµε τη σταθερή συνάρτηση f() = H εκθετική συνάρτηση είναι συνεχής και - συνάρτηση Ο άξονας είναι οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της εκθετικής συνάρτησης aa = a a,, a, a > a =, a y y a = a,, y y + y aa = a, y, ab = a b,, a, b > 5
Η συνάρτηση Log a Eφόσον η εκθετική συνάρτηση είναι συνάρτηση - για κάθε α > (α ) ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής που καλείται λογαριθµική συνάρτηση µε βάση το θετικό αριθµό α: Iδιότητες: log a : +, α >, α Το πεδίο ορισµού της λογαριθµικής συνάρτησης είναι το ανοικτό διάστηµα (,+ ) Για κάθε τιµή του α > ισχύει: a>, < a <, f f γνησιως αυξουσα γνησιως φθινουσα H λογαριθµική συνάρτηση είναι συνεχής και - συνάρτηση Ο άξονας y y είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της λογαριθµικής συνάρτησης ( ) loga log + a a = = a,, + loga y = loga + log a y,, y, + log / y = log log y,, y, a a a b + log a = b log a,, b, loga a =, loga = loga + log b =,, ab, >, ab, logb a >, o ταν a> loga > < <, o ταν < a < y'y H συν άρτηση fhl=log 5 4 6 8 ' -5-5 -75 - -5 y'y H συν άρτηση fhl=log 7 5 5 5 4 6 8 ' -5 Εάν α = e, παίρνουµε τον νεπέριο λογάριθµο που συνήθως συµβολίζουµε µε ln Oταν γράφουµε log συνήθως εννοούµε το λογάριθµο µε βάση το 6
3 Tριγωνοµετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους (α) Η συνάρτηση ηµίτονο, ηµ: [-,] είναι π-περιοδική συνάρτηση µε πεδίο τιµών το κλειστό διάστηµα [-,] fhl=sin 5 π π π π ' -5 - Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση ηµ είναι - συνάρτηση και µάλιστα γνησίως µονότονη στο διάστηµα [-π/,π/] (και γενικότερα στα διαστήµατα [kπ-π/, kπ+π/], k ), oπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία καλούµε τόξο ηµιτόνου και συµβολίζουµε ως τοξηµ ή arcsin ή sin - ως εξής: :[,] k π π τοξηµ π, kπ +, k Συνήθως χρησιµοποιούµε το λεγόµενο πρωτεύον τόξο ηµιτόνου (k = ): π π τοξηµ :[,], fhl=arcsin 5 5 - ' -5 - -5 (β) Η συνάρτηση συνηµίτονο, συν: [-,] είναι π-περιοδική συνάρτηση µε πεδίο τιµών το κλειστό διάστηµα [-,] fhl=cos 5-5 π π 3 π π ' - Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση συν είναι - συνάρτηση και µάλιστα γνησίως µονότονη στο διάστηµα [,π] (και γενικότερα στα διαστήµατα [kπ, kπ+π], k ), oπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία καλούµε τόξο συνηµιτόνου και συµβολίζουµε ως τοξσυν ή arccos ή cos - : 7
[ ] τοξσυν :[,] kπ, kπ + π, k Συνήθως χρησιµοποιούµε το λεγόµενο πρωτεύον τόξο συνηµιτόνου (k = ): [ π ] τοξσυν :[,], fhl=arccos 3 5 5 5 - ' (γ) Η συνάρτηση εφαπτοµένη, εφ: -{kπ+π/: k } είναι π-περιοδική συνάρτηση µε πεδίο τιµών όλο το Oι ευθείες = kπ ± π/ είναι κατακόρυφες ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της εφ fhl=tan 75 5 5-5 - -5 5 5-5 ' -5-75 Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση εφ είναι - συνάρτηση και µάλιστα γνησίως αύξουσα στο ανοικτό διάστηµα (-π/,π/), (και γενικότερα στα διαστήµατα (kπ-π/, kπ+π/) k Z), oπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία καλούµε τόξο εφαπτοµένης και συµβολίζουµε ως τοξεφ ή arctan ή tan - : : k π π τοξεφ π, kπ +, k Συνήθως χρησιµοποιούµε το λεγόµενο πρωτεύον τόξο εφαπτοµένης (k = ): π π τοξεφ :, fhl=arctan 5 5 - -5 5 ' -5 - -5 8
(δ) Η συνάρτηση συνεφαπτοµένη, σφ: -{kπ: k } είναι π-περιοδική µε πεδίο τιµών όλο το Oι ευθείες = kπ±π είναι κατακόρυφες ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της σφ 75 5 5-5 -5-75 fhl=cot 5 5 5 3 ' Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση σφ είναι - συνάρτηση και µάλιστα γνησίως φθίνουσα στο ανοικτό διάστηµα (,π), (και γενικότερα στα διαστήµατα (kπ, kπ+π), k ), oπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία καλούµε τόξο συνεφαπτοµένης και συµβολίζουµε ως τοξσφ ή arccot ή cot - : τοξσφ : kπ, kπ + π, k Συνήθως χρησιµοποιούµε το λεγόµενο πρωτεύον τόξο συνεφαπτοµένης (k = ): ( π ) τοξσφ :, Χρήσιµες τριγωνοµετρικές ταυτότητες ηµ ( ± y) = ηµ συνy± συν ηµ y συν ( ± y) = συν συν y ηµ ηµ y εφ± εφ y εφ( ± y) = εφεφ y ηµ = ηµ συν συν = ηµ = συν ηµ ( + y) + ηµ ( y) = ηµ συνy συν ( + y) + συν ( y) = συν συν y συν ( + y) συν ( y) = ηµ ηµ y 4 Υπερβολικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους (α) Η συνάρτηση e sinh :, sinh = καλείται υπερβολικό ηµίτονο Είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο e 9
fhl=sinh 5-3 - - 3 ' -5 - Αφού η sinh είναι συνεχής και γνησίως µονότονη συνάρτηση στο, oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία συµβολίζουµε µε sinh - : (β) Η συνάρτηση e cosh : [, + ), cosh= καλείται υπερβολικό συνηµίτονο Είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση µε πεδίο τιµών το διάστηµα [,+ ) + e fhl=cosh 8 6 4-3 - - 3 ' Παρατηρούµε ότι η cosh είναι συνεχής και γνησίως µονότονη συνάρτηση στο [,+ ), oπότε oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία συµβολίζουµε µε cosh - : co h s :[, ) [, ) + + (γ) Η συνάρτηση e tanh : (,), tanh= e καλείται υπερβολική εφαπτοµένη Είναι συνεχής και περιττή συνάρτηση µε πεδίο τιµών το ανοικτό διάστηµα (-,) e + e fhl=tanh 5-3 - - 3 ' -5-3
Παρατηρούµε ότι η tanh είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο, oπότε oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία συµβολίζουµε µε tanh - : tanh : (,) (δ) Η συνάρτηση e coth : -{} (, ) (, + ), coth= e καλείται υπερβολική συνεφαπτοµένη Είναι συνεχής και περιττή συνάρτηση µε πεδίο τιµών την ένωση διαστηµάτων (-,-) (,+ ), ενώ οι ευθείες y = ± είναι οριζόντιες ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της coth + e e fhl=coth 4 - -5 5 ' - -4 Παρατηρούµε ότι η coth είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση σε καθένα από τα διαστήµατα (-,-), (,+ ), oπότε oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία συµβολίζουµε µε coth - : coth : (, ) (, ) + -{} Xρήσιµες ιδιότητες των υπερβολικών συναρτήσεων cosh sinh = sinh( ± y) = sinh coshy ± cosh sinhy cosh( ± y) = cosh coshy ± sinh sinhy tanh ± tanh y tanh( ± y) = ± tanh tanh y sinh = sinh sinhy cosh sinh cosh = + = 5 Πολυωνυµικές συναρτήσεις Κάθε συνάρτηση της µορφής: f f = a + a + a + + a a n n :, n, i, καλείται πολυωνυµική συνάρτηση βαθµού n 3
Για n = παίρνουµε τις γραµµικές συναρτήσεις f = a + a, οι οποίες καλούνται έτσι διότι η γραφική τους παράσταση είναι µία ευθεία γραµµή Για n = παίρνουµε τα τριώνυµα f = a + a + a, a, οι γραφικές παραστάσεις των οποίων είναι παραβολές Εάν a >, οι παραβολές στρέφουν τα κοίλα προς τα πάνω, ενώ εάν a < οι παραβολές στρέφουν τα κοίλα προς τα κάτω Οι ρίζες του τριωνύµου υπολογίζονται από τη σχέση ρ, a ± =, a όπου είναι η διακρίνουσα: = a 4aa Yπενθυµίζουµε ότι το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες ρ,ρ, αν και µόνον αν η διακρίνουσά του είναι µεγαλύτερη ή ίση του µηδενός Ακόµη: a ρ ρ ρ ρ + =, = a a a Τέλος όσον αφορά το πρόσηµο του τριωνύµου αυτό είναι ετερόσηµο του συντελεστή της µεγιστοβάθµιας δύναµης του (δηλαδή του α ) στο διάστηµα εντός των ριζών, δηλαδή στο (ρ,ρ ), όπου ρ <ρ Αν ρ =ρ, τότε το τριώνυµο είναι οµόσηµο του α Αν η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι αρνητική τότε το τριώνυµο είναι οµόσηµο του α Οι ακόλουθες συναρτήσεις είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους: οι πολυωνυµικές οι τριγωνοµετρικές και οι αντίστροφές τους 3 οι εκθετικές 4 οι λογαριθµικές 5 οι υπερβολικές και οι αντίστροφές τους ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να δείξετε ότι η συνάρτηση 3 f =, είναι αµφιµονότιµη + Λύση Αρκεί να δειχθεί ότι f = f( y) = y,, y Εχουµε λοιπόν: 3
y f f y y y y y y + y + 3 3 3 3 3 3 3 3 = = ( + ) = ( + ) ( ) + ( ) = ( y)( + y+ y ) + ( y) ( y) = ( y)( + y+ y + ( y) ) =, άρα = y, διότι + y+ y + ( y) Εστω f, g, h: τέτοιες ώστε ( g f) = και ( h g) = για κάθε Να δειχθεί ότι f = h Λύση Iσχύει: ( g f) = h( g f) = h ( h ( g f)) = h (( ) ) ( ) h g f = h h g f = h f = h Παρατήρηση: Iσχύει η προσεταιριστική ιδιότητα: ( h g) f = h ( g f ) 3 Να δείξετε ότι: π τοξηµ(συν)=, π π ηµ ( τοξεφ ) =, < + Απόδ π π τοξηµ(συν)= τοξηµ ηµ = ηµ(τοξεφ ) ηµ(τοξεφ ) α() = εφ( τοξεφ )= = =, συν(τοξεφ ) -ηµ (τοξεφ ) - α() όπου το αρνητικό πρόσηµο µπροστά από τη ρίζα απορρίπτεται διότι η συνάρτηση συν(τοξεφ) είναι θετική συνάρτηση στο πεδίο ορισµού της Λύνουµε ως προς α και παίρνουµε: a=, + όπου το αρνητικό πρόσηµο απορρίπτεται λόγω του γεγονότος ότι η συνάρτηση a = ηµ(τοξεφ ) είναι θετική στο ηµιανοικτό διάστηµα [,π/) 4 Mε χρήση του ορισµού να δειχθεί ότι: = +, ln + = ( ) 33
Λύση Ισχύει ο oρισµός που δώσαµε στη σελ 8: = λ ε > δ( ε, ) > : π { } πε( λ) f o δ f Ο παραπάνω ορισµός συγκεκριµενοποιείται ως εξής (βλέπε επίσης σελ 8): (α) f()=/(-), =, λ = +, π δ ( ) = (-δ,+δ), π ε (λ) = (ε,+ ), άρα ο ορισµός του ορίου γίνεται: f =+ ε > δ > : ( δ, + δ) {} f ( ε, + ) Αρκεί λοιπόν να αποδείξουµε ότι f ( ε, + ) ή ισοδύναµα ότι f() > ε Εχουµε: f = >, ( ) δ διότι ( δ, + δ) δ < < + δ δ < < δ < δ > δ Θέτουµε ε = δ δ = ε, οπότε ισχύει: άρα = + ( ) ε > δ = : ( δ, δ) f ε, ε + > δ = (β) f()=ln(/), = +, λ = -, π δ ( ) = (δ,+ ), π ε (λ) = (-,-ε), άρα ο ορισµός του ορίου γίνεται: f = + ε > δ > : ( δ, + ) f (, ε) Αρκεί λοιπόν να αποδείξουµε ότι f (, ε ) ή ισοδύναµα ότι f() < - ε Εχουµε: f = ln = ln ln = ln < lnδ, διότι η συνάρτηση ln() είναι γνησίως αύξουσα και ( δ, + ) > δ ln> lnδ ln< lnδ µε την προϋπόθεση ότι δ> Θέτουµε ε = lnδ δ = e ε και παίρνουµε: ε > δ = e ε > : ( δ, + ) f < ln δ = ε, 34
άρα + ln = 5 Με χρήση ιδιοτήτων ορίων να υπολογίσετε τα κάτωθι όρια: ( a) 3, (β) ηµ, (γ) συν e 3 + 3 + + + + ( δ ), (ε), (στ) 4 3+ 3 + + 5 ( ζ ), (η) ( + ) + + Λύση (α) Παρατηρούµε ότι το σηµείο συσσώρευσης = 3 είναι ρίζα του παρονοµαστή, οπότε χρησιµοποιούµε πλευρικά όρια (βλέπε σελ ) και έχουµε: άρα δεν υπάρχει το όριο + 3 3 = + 3, = 3 (β) Εστω f() = ηµ(/) Θα δείξουµε ότι δεν υπάρχει το όριο χρησιµοποιώντας την παρατήρηση στη σελίδα 9 Ορίζουµε λοιπόν δύο ακολουθίες ( n ), (y n ) που τείνουν στο ίδιο σηµείο συσσώρευσης που στην προκειµένη περίπτωση είναι το =, αλλά οι αντίστοιχες ακολουθίες f( n ), f(y n ) δεν τείνουν στο ίδιο όριο Πράγµατι έστω n =, n, y =, n πn πn+ ( π /) * n, τότε, y, ( n + ), αλλά: n n π * f( n) = ηµ ( π n), yn = ηµ π n+, n, άρα: f( ) =, f( y ) =, οπότε δεν υπάρχει το όριο n (γ) Εχουµε: n + + συν ( e ) = συν ( e ),, άρα από το κριτήριο της παρεµβολής το ζητούµενο όριο είναι το µηδέν (δ) Εχουµε απροσδιόριστη µορφή / Βγάζουµε κοινό παράγοντα από αριθµητή και παρονοµαστή ξεχωριστά την µεγιστοβάθµια δύναµη του και στη συνέχεια εφαρµόζουµε ιδιότητες των ορίων (Θα µπορούσαµε να εφαρµόσουµε L Hospital) 35
+ 3 3 + 3 = 4 3+ 3 3 3 4 + + 3 + = = ( ) = 3 4 + 4 + (ε) Παρατηρούµε ότι το όριο της βάσης είναι όριο του εκθέτη είναι + = +, άρα + + = + (βλέπε (δ)), ενώ το + + + = = + (στ) Παρατηρούµε ότι το όριο της βάσης είναι + = (βλέπε (δ)), ενώ το + 5 όριο του εκθέτη είναι + = +, άρα έχουµε απροσδιόριστη µορφή Εργαζόµαστε ως εξής (βλέπε σελ ): y = + ln ( y ) = + ln + 5 + 5 Aρα ln + 5 = = = + 5 / + ln + ' ( L Hospital) + ln + y = y = e = + (ζ) Εχουµε απροσδιόριστη µορφή (+ ) Εργαζόµαστε ως εξής (βλέπε σελ ): άρα: ln ln y = = e = e, ln ln + + + e e e = = = = (η) Εχουµε απροσδιόριστη µορφή + - Πολλαπλασιάζουµε και διαιρούµε µε τη συζυγή παράσταση: 36
άρα: ( )( ) + + + + = = + + + +, + ( + ) = + = + + + + + = + + = () ()= + + 6 Εστω, f = Να βρεθεί η τιµή του α ώστε η f() να είναι συνεχής a, > Λύση Προφανώς η f() είναι συνεχής για κάθε {} Για το σηµείο =, έχουµε: + f = a, f =, f() =, άρα για να είναι η f συνεχής στο = πρέπει άρα α = f ( ) = f ( ) = f () =, + 7 Εστω f συνεχής συνάρτηση στο για την οποία ισχύει: 5 3 f( ) 6 + = + Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f 3 + 6 Λύση Εστω, τότε: f = Για = έχουµε απροσδιόριστη µορφή 5 / Επειδή όµως η f είναι συνεχής συνάρτηση στο το όριο αυτό πρέπει να υπάρχει και να ισούται µε την τιµή f() Πράγµατι πολλαπλασιάζω και διαιρώ µε συζυγή παράσταση (α 3 -β 3 = (α-β) (α +αβ+β ), για α = 3 + 6 και β = ): f() = f = 3 5 = + 6 3 3 ( ) + 6 3 ( + 6) + + 6+ 4 3 ( )( ) 4 + 3 + + + 3 ( + 6) + + 6+ 4 37
= ( )( + ) 3 ( )( ) 4 + 3 + + + 3 ( + 6) + + 6+ 4 ( + ) = = 5 3 4 3 3 + + + + ( + 6) + + 6+ 4 8 Eστω f συνεχής στο κλειστό διάστηµα [,α] µε f() = f(α) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,α) έτσι ώστε: f( ) = f( +α) Λύση Ορίζουµε τη συνάρτηση g() = f() f(+α) Η g είναι συνεχής στο [,α] και άρα g g a ( f f a ) g() = f() f( a), g( a) = f( a) f( a) = f( a) f() () = (), συνεπώς το ζητούµενο προκύπτει µε εφαρµογή του θεωρήµατος Bolzano 9 Εστω f συνάρτηση για την οποία ισχύει f(+y) = f() + f(y), για κάθε,y Aν η f() είναι συνεχής στο = να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής σε όλο το Λύση Εστω y =, τότε f(+) = f() + f() f()= Για να δείξω τη συνέχεια σε όλο το αρκεί να δείξω ότι f( + h) f, h για κάθε Πράγµατι: f( + h) f = f + f( h) f = f( h) = f( h) = f( h) f() όταν h, αφού υποθέσαµε ότι η f είναι συνεχής στο = Εστω, > f = Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο =, = Λύση Eστω >, τότε (/) < Αρα [/] =, συνεπώς f() = Eστω < < Αν /(n+) < /n, n, τότε: n / < n+, συνεπώς f() = -n, άρα:, > f = n, < < n+ n Eχoυµε λοιπόν για < < : n+ n 38
f f() = f = n< n, n +, n + άρα η f είναι συνεχής στο = ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Με χρήση ιδιοτήτων ορίων να υπολογίσετε τα κάτωθι όρια: 4 + ηµ 3 ( a), (β), (γ) + ηµ + 3 π / ( δ ), (ε), (στ) + + π + 3 ηµ ( ζ ), (η) ( ( + )( + ) ), (θ) + συν [ ] Nα δείξετε ότι οι συναρτήσεις ηµ, συν είναι συνεχείς στο 3 Εστω f = (cos ) n n +, n Για ποιες τιµές του η συνάρτηση f είναι συνεχής; ηµ, 4 Εστω f = Yπολογίστε την τιµή του α ώστε η f να είναι a, = συνεχής στο 5 Εστω, f =, Εξετάστε αν η f είναι συνεχής στο 6 Εστω f πραγµατική συνάρτηση τέτοια ώστε: f( + ) = f, f k λ µ 3 = + + +, [,) Nα βρεθεί η τιµή f() και η συνθήκη που πρέπει να ισχύει ώστε η f να είναι συνεχής στο 39
7 Aν οι πραγµατικές συναρτήσεις f, φ ικανοποιούν την f + ϕ = όπου, να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f, φ είναι συνεχείς στα σηµεία = και = - υπό την προϋπόθεση ότι τα f και ϕ υπάρχουν και είναι πραγµατικοί αριθµοί 8 Nα δείξετε ότι η συνάρτηση f = [ ] + [ ] είναι συνεχής στο 9 Nα δείξετε ότι αν α> τότε υπάρχει µοναδικός θετικός αριθµός τέτοιος ώστε n = * α, n 4