Μαθηματικά Ι. Βοήθημα για λύση ασκήσεων Μέρος 1 ο. 1. Συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. 2. Όριο συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής

Transcript

1 Δρ. Σάλτας Βασίλειος Μαθηματικά Ι Βοήθημα για λύση ασκήσεων Μέρος ο. Συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. Όριο συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. Συνέχεια συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής 4. Παράγωγος συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής 5. Εφαρμογές παραγώγου συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής Καβάλα 0

2 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ..... Εισαγωγή..... Βασικές αρχές συναρτήσεων Βασικές συναρτήσεις Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων Πράξεις με συναρτήσεις μιας μεταβλητής Βασικές ιδιότητες συναρτήσεων μιας μεταβλητής Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΌΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Εισαγωγή Πεπερασμένο όριο συνάρτησης μιας μεταβλητής Βασικές έννοιες και ορισμοί Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση..... Επέκταση της έννοιας όριο συνάρτησης Βασικές έννοιες και ορισμοί Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Δύο χαρακτηριστικά όρια Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Εισαγωγή Βασικοί ορισμοί και έννοιες συνεχών συναρτήσεων Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων Συνέχεια βασικών συναρτήσεων Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση...50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Εισαγωγή Βασικές έννοιες και ορισμοί παραγώγου συνάρτησης Ορισμός της παραγώγου συνάρτησης Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Γεωμετρική ερμηνεία της έννοιας παράγωγος συνάρτησης Γεωμετρική απεικόνιση της παραγώγου συνάρτησης Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Εφαρμογή της παραγώγου συνάρτησης Ρυθμός μεταβολής Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Βασικοί κανόνες παραγώγισης Παράγωγος βασικών συναρτήσεων Υπολογισμός παραγώγων βασικών συναρτήσεων Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Διαδοχική παραγώγιση Βασικές έννοιες και ορισμοί Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Διαφορικό συνάρτησης Βασικές έννοιες και ορισμοί Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Διαφορικό μεγαλύτερης δύναμης Βασικές έννοιες και ορισμοί Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση...7

3 Δρ. Βασίλειος Σάλτας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Τοπικά ακρότατα και σχετικά θεωρήματα Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Απροσδιόριστες μορφές Θεωρήματα De L Hospital Bernoulli Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση...80 Άσκηση : Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια: Τύπος Talor Βασικά θεωρήματα Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Ικανές συνθήκες για τοπικό ακρότατο Κανόνες εύρεσης τοπικών ακρότατων Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Κυρτότητα και σημεία καμπής συνάρτησης Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Μελέτη συνάρτησης Ασύμπτωτες συνάρτησης Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση...94

4 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο Κεφάλαιο ο : Συνάρτηση μιας μεταβλητής.. Εισαγωγή Η έννοια της συναρτησιακής εξάρτησης είναι από τις βασικότερες στα μαθηματικά. Είναι μία από τις έννοιες που παίζουν βασικό ρόλο στις διάφορες μαθηματικές εφαρμογές. Στο κεφάλαιο αυτό, αφού οριστεί λεπτομερειακά η έννοια συνάρτηση και α- φού γίνει σχετική αναφορά σε ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων, θα οριστούν οι έννοιες όριο, συνέχεια και παράγωγος συνάρτησης μιας μεταβλητής, έννοιες που θα παίξουν βασικό ρόλο στην περαιτέρω ανάπτυξη του βοηθήματος αυτού... Βασικές αρχές συναρτήσεων... Ορισμός συνάρτησης Ορισμός : Έστω ότι δίνονται δύο σύνολα Α και Β με πραγματικά στοιχεία. Κάθε απεικόνιση f του συνόλου Α στο σύνολο Β λέγεται συνάρτηση με πεδίο, ορισμού το σύνολο Α και πεδίο τιμών το Β. Με άλλα λόγια, κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχεί σε ένα και μόνο στοιχείο του συνόλου Β. Αν είναι τυχαίο στοιχείο του συνόλου Α και είναι η αντιστοίχησή του, με τη βοήθεια της f, που ανήκει στο σύνολο Β, γράφεται =f(). Το γράμμα λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Η προαναφερόμενη απεικόνιση συμβολίζεται ως εξής: f:a B ή f() ή Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() επικρατεί να συμβολίζεται με D f. Το πεδίο τιμών της Β συμβολίζεται με f(a) και ισούται με: f(a)={/=f(), για κάποιο D f } Έτσι, όταν ορίζεται μία συνάρτηση πρέπει να δίνονται τα ακόλουθα: το σύνολο Α, στο οποίο ορίζεται, δηλαδή το πεδίο ορισμού, ο κανόνας τύπος με βάση τον οποίο για κάθε του συνόλου Α αντιστοιχεί μοναδική τιμή f(), το σύνολο των οποίων είναι το πεδίο τιμών Β της συνάρτησης f(). Σε αρκετές περιπτώσεις και σκόπιμα, η συνάρτηση γράφεται με μαθηματική έκφραση, χωρίς να αναφέρεται το πεδίο ορισμού της. Στην περίπτωση αυτή, θεωρείται, ότι η συνάρτηση ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό, για τον οποίο έχει νόημα η αναγραφόμενη μαθηματική έκφραση. Ορισμός : Έστω μία συνάρτηση F() με πεδίο ορισμού Μ. Αν κάθε τιμή μιας συνάρτησης f(t) ανήκει στο σύνολο Μ, όπως και αν επιλεγεί το t από το πεδίο ορισμού της f(t), ο συμβολισμός F(f(t)) έχει νόημα. Η τιμή της έκφρασης αυτής είναι μοναδικά ορισμένη για κάθε επιλογή του t από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(t). Με τον τρόπο αυτό, αν θέσουμε φ(t)=f(f(t)),

5 4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο ίδιο σύνολο, όπως και η f(t). Η συνάρτηση που λαμβάνεται με τον τρόπο αυτό λέγεται σύνθετη συνάρτηση.... Βασικές συναρτήσεις Ορισμός : Βασική συνάρτηση f() λέγεται η συνάρτηση της ακόλουθης μορφής:. Δυναμοσυνάρτηση:: f()= m, m Ν. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι: D f =R, ενώ το πεδίο τιμών της είναι το R.. Εκθετική συνάρτηση: f()=a, 0<a. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι: D f =R, ενώ το πεδίο τιμών της είναι το R + *.. Λογαριθμική συνάρτηση: f()=log a, 0<a. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι: D f = * R +, ενώ το πεδίο τιμών της είναι το R. 4. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις: i. f()=ημ. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι: D f =R, ενώ το πεδίο τιμών της είναι το f( ) ή Β={ R: - }. ii. f()=συν. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι: D f =R, ενώ το πεδίο τιμών της είναι το f( ) ή Β={ R: - }. iii. iv. f()=εφ. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι: D f ={ R/ (κ+) π, κ Ζ}, ενώ το πεδίο τιμών της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R. f()=σφ. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι: D f ={ R/ κπ, κ Ζ}, ενώ το πεδίο τιμών της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R. Ορισμός 4: Μία συνάρτηση λέγεται αλγεβρική, αν οι τιμές αυτής λαμβάνονται αφού εκτελεστεί πεπερασμένος αριθμός αλγεβρικών πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, δύναμη και ρίζα) σχετικών με την ανεξάρτητη μεταβλητή και τους τυχόν σταθερούς όρους. Ορισμός 5: Οι αλγεβρικές συναρτήσεις λέγονται ρητές, όταν στην ανεξάρτητη μεταβλητή δεν εφαρμόζεται ρίζα. Ορισμός 6: Στην περίπτωση που η μεταβλητή είναι υπόριζη ποσότητα, τότε οι αλγεβρικές συναρτήσεις λέγονται άρρητες και είναι της μορφής: r n n f( ) = a n + a n a + a+ a0, a n, a n-,,a, a, a 0 R, n N, r N-{0, }. Διακρίνονται δύο περιπτώσεις: α) Ο αριθμός r να είναι ζυγός. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι: D f ={ R/ a n n + a +...+a + a + a 0 }. n n- 0 β) Ο αριθμός r να είναι μονός. Τότε το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R.

6 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο 5 Ορισμός 7: Οι ρητές συναρτήσεις χωρίζονται σε δύο βασικές κατηγορίες: i. Πολυωνυμικές συναρτήσεις της μορφής: f()=a n n +a n- n- + +a +a +a 0, a n, a n-,,a, a, a 0 R, n N. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών R. ii. Ρητές συναρτήσεις της μορφής: a + a +...+a + a + a f( ) = b b b b n n n n- 0 m m m + m b a n, a n-,,a, a, a 0 R, b m, b m-,,b, b, b 0 R n,m N. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι: m m D f ={ R/ bm + bm b + b + b0 0 } Σε όλες τις προαναφερόμενες περιπτώσεις, ο κανόνας για τον υπολογισμό του πεδίου ορισμού είναι σε απλή μορφή, με τη βοήθεια κάποιας μαθηματικής έκφρασης. Υπάρχει περίπτωση όπου η συνάρτηση f() αναγράφεται με περισσότερο πολύπλοκη μορφή, με τη χρήση δύο ή περισσοτέρων μαθηματικών εκφράσεων υποσυναρτήσεων, με περιορισμό για τη μεταβλητή, σε κάθε μία εκ των περιπτώσεων. Συναρτήσεις της μορφής αυτής λέγονται πολύτιμες ή κλαδικές. Τέτοιες είναι για παράδειγμα συναρτήσεις όπως οι ακόλουθες δύο:, για < 0, για f( ) =, g ( ) = 0, για = 0, για <, για 0 < Ορισμός 8: Ο κανόνας, με τη βοήθεια του οποίου ορίζεται μία συνάρτηση, μπορεί να είναι και τέτοιος, ώστε για κάθε του πεδίου ορισμού Α της συνάρτησης f(), να αντιστοιχεί το ίδιο ακριβώς νούμερο c R, δηλαδή να είναι f()=c, A. Η συνάρτηση αυτή λέγεται σταθερή. Ορισμός 9: Έστω μία συνάρτηση f() με πεδίο ορισμού Α και Ο το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Τότε το σύνολο των σημείων Μ(, ) για τα οποία ισχύει f()= λέγεται γραφική παράσταση της συνάρτησης f() και συμβολίζεται με C f. Η =f() λέγεται εξίσωση της γραφικής παράσταση της συνάρτησης f().,

7 6 Δρ. Βασίλειος Σάλτας... Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων i. f()=α+β, D f =R, α, β R a) α> b) α< c) α= ii. f()=α +β+γ, D f =R, α R *, β,γ R a) α>0, Δ>

8 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο 7 b) α>0, Δ< c) α>0, Δ= d) α<0, Δ> e) α<0, Δ<

9 8 Δρ. Βασίλειος Σάλτας f) α<0, Δ= iii. f()=α, D f =R, α R a) α> b) α< iv. f()= a, D f=r *, α 0 a) α>0 b) α<

10 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο 9 v. f()=, D f =R vi. f()=, D f =R vii. f()=ημ με D f =R 0.5 π π π π π π viii. g()=συν με D g =R 0.5 π π π -0.5 π π π -

11 0 Δρ. Βασίλειος Σάλτας i. h()=εφ με kπ+ π, k Z π π π -0 π π π k()=σφ με kπ+π, k Z π π π -0 π π π -0-0 i. f()=α, D f =R, 0<α a) α> b) 0<α< 4 - -

12 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο ii. f()=log α, D f = R * +, 0<α a) α> b) 0<α< Η γραφική παράσταση μιας πολύτιμης συνάρτησης f() με τύπο, για παράδειγμα:, για f( ) =, για < φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα (Σχήμα ): Σχήμα Επισημαίνεται επίσης, ότι κάθε γραμμή που σχεδιάζεται στο επίπεδο δεν είναι υποχρεωτικά και γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. Για παράδειγμα η γραμμή του σχήματος που ακολουθεί (Σχήμα ) δεν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης, αφού για κάθε του πεδίου ορισμού της δεν αντιστοιχεί ένα μόνο, όπως απαιτεί και ο ορισμός της συνάρτησης. Για 0 αντιστοιχούν δύο διαφορετικές τιμές και με =f( 0 ) και =f( 0 ).

13 Δρ. Βασίλειος Σάλτας 0 0 Σχήμα Τέλος μπορεί να ειπωθεί, ότι για να είναι μία γραμμή γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης f(), δεν πρέπει να περιέχει διαφορετικά σημεία με την ίδια τετμημένη και διαφορετική τεταγμένη (το αντίθετο, δηλαδή διαφορετικά σημεία με διαφορετική τετμημένη και την ίδια τεταγμένη, μπορεί να ισχύει). Το τελευταίο μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: «Αν μία ευθεία, η οποία είναι παράλληλη με την τεταγμένη, τέμνει δεδομένη γραμμή, τότε την τέμνει σε ένα και μόνο σημείο». Η ιδιότητα αυτή ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή: «Κάθε γραμμή, η οποία επαληθεύει την προαναφερόμενη ιδιότητα, αποτελεί γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης». Ορισμός 0: Δύο συναρτήσεις f() και g() με πεδία ορισμού D f και D g αντίστοιχα, λέγονται ίσες αν: i. Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α. ii. Για κάθε A, f()=g()...4. Πράξεις με συναρτήσεις μιας μεταβλητής Έστω δύο συναρτήσεις f() και g() με πεδία ορισμού D f και D g. Τότε ορίζονται τέσσερις συναρτήσεις s(), d(), h() και p() με τον ακόλουθο τρόπο: i. Άθροισμα συναρτήσεων: s()=f()+g(), D s = D f D g. ii. Διαφορά συναρτήσεων: d()=f()-g(), D d = D f D g. iii. Γινόμενο συναρτήσεων: h()=f().g(), D h = D f D g. iv. f Πηλίκο συναρτήσεων: p()= ( ) g ( ) p= D f D g, g() 0. Ορισμός : Αν f(), g() είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, τότε η συνάρτηση h()=(gof)() λέγεται σύνθεση της f() με τη συνάρτηση g() και ισχύει h()=g(f()). Το πεδίο ορισμού της νέας συνάρτησης είναι το ακόλουθο: D h ={ D f / f() D g }.

14 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο Ανάλογα, η συνάρτηση k()=(fog)() λέγεται σύνθεση της g() με τη συνάρτηση f() και ισχύει k()=f(g()). Το πεδίο ορισμού της νέας συνάρτησης είναι το α- κόλουθο: D k ={ D g / g() D f }...5. Βασικές ιδιότητες συναρτήσεων μιας μεταβλητής Πριν ακολουθήσουν κάποιοι βασικοί ορισμοί σχετικοί με τον όρο συνάρτηση, απαιτείται η αναφορά σε θεμελιώδεις ορισμούς της θεωρίας συνόλων και συγκεκριμένα οι ακόλουθοι επτά (από ορισμό έως και 8): Ορισμός : Ένα σύνολο Μ, αποτελούμενο από πραγματικούς αριθμούς λέγεται φραγμένο άνω, αν υπάρχει τέτοιος πραγματικός αριθμός b, ώστε για κάθε που ανήκει στο Μ ισχύει b. Ορισμός : Ο πραγματικός αριθμός b με την προαναφερόμενη ιδιότητα λέγεται άνω φράγμα του συνόλου Μ. Ορισμός 4: Αν ένα σύνολο Μ αποτελούμενο από πραγματικούς αριθμούς είναι φραγμένο άνω, τότε μεταξύ των άνω φραγμάτων του πάντα υπάρχει ένα μικρότερο το οποίο λέγεται ακριβώς άνω φράγμα του συνόλου Μ και συμβολίζεται με supm. Παράδειγμα: Το σύνολο Σ αποτελούμενο από όλους τους αρνητικούς αριθμούς είναι φραγμένο άνω, αφού κάθε αριθμός του συνόλου αυτού είναι μικρότερος του μηδενός. Το μηδέν είναι ένα άνω φράγμα του συνόλου Σ, αλλά όχι και το μοναδικό. Για παράδειγμα και ο αριθμός ένα είναι ένα άνω φράγμα του συνόλου Σ. Το μηδέν όμως είναι το μικρότερο άνω φράγμα, το ακριβώς άνω φράγμα, δηλαδή supσ=0. Ορισμός 5: Ένα σύνολο Μ, αποτελούμενο από πραγματικούς αριθμούς λέγεται φραγμένο κάτω, αν υπάρχει τέτοιος πραγματικός αριθμός a, ώστε για κάθε που ανήκει στο Μ ισχύει a. Ορισμός 6: Ο πραγματικός αριθμός a με την προαναφερόμενη ιδιότητα λέγεται κάτω φράγμα του συνόλου Μ. Ορισμός 7: Αν ένα σύνολο Μ αποτελούμενο από πραγματικούς αριθμούς είναι φραγμένο κάτω, τότε μεταξύ των κάτω φραγμάτων του πάντα υπάρχει ένα μεγαλύτερο το οποίο λέγεται ακριβώς κάτω φράγμα του συνόλου Μ και συμβολίζεται με infm. Ορισμός 8: Όταν ένα σύνολο Μ είναι φραγμένο άνω και κάτω, τότε θα λέγεται φραγμένο και θα ισχύει: a b. Ορισμός 9: Μία συνάρτηση f() λέγεται φραγμένη άνω, αν το σύνολο των συναρτησιακών της τιμών, λαμβανόμενο ως σύνολο πραγματικών αριθμών, είναι φραγμένο άνω. Κάθε άνω όριο του συνόλου αυτού λέγεται ακριβώς άνω φράγμα της συνάρτησης αυτής. Ορισμός 0: Μία συνάρτηση f() λέγεται φραγμένη κάτω, αν το σύνολο των συναρτησιακών της τιμών, λαμβανόμενο ως σύνολο πραγματικών αριθμών, είναι φραγμένο κάτω. Κάθε κάτω όριο του συνόλου αυτού λέγεται ακριβώς κάτω φράγμα της συνάρτησης αυτής. Ορισμός : Αν μία συνάρτηση f() με πεδίο ορισμού το σύνολο Μ είναι φραγμένη άνω και κάτω, τότε θα λέγεται φραγμένη και συγκεκριμένα θα ισχύει: για κάθε του πεδίου ορισμού Μ, υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί Α και Β για τους

15 4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας οποίους Α f() Β. Ο αριθμός Α είναι το κάτω φράγμα της συνάρτησης f() ενώ ο Β είναι το άνω φράγμα της. Παράδειγμα: Έστω η τριγωνομετρική συνάρτηση f()=ημ η οποία έχει για πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών R. Ισχύει, ότι: - ημ και κατά συνέπεια για τη συνάρτηση f() θα ισχύει: - f(). Έτσι ο αριθμός - είναι το κάτω φράγμα της συνάρτησης f() ενώ το είναι το άνω φράγμα της και γενικότερα η συνάρτηση f()=ημ είναι φραγμένη. Ορισμός : Αν η συνάρτηση f() είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής [α, β] και αν από α β, α< β και <, συνεπάγεται f( ) f( ), τότε η συνάρτηση f() λέγεται αύξουσα στο διάστημα [α, β]. Ορισμός : Αν η συνάρτηση f() είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής [α, β] και αν από α β, α< β και <, συνεπάγεται f( )<f( ), τότε η συνάρτηση f() λέγεται γνησίως αύξουσα στο διάστημα [α, β]. Ορισμός 4: Αν η συνάρτηση f() είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής [α, β] και αν από α β, α< β και <, συνεπάγεται f( ) f( ), τότε η συνάρτηση f() λέγεται φθίνουσα στο διάστημα [α, β]. Ορισμός 5: Αν η συνάρτηση f() είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής [α, β] και αν από α β, α< β και <, συνεπάγεται f( )>f( ), τότε η συνάρτηση f() λέγεται γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [α, β]. Ορισμός 6: Αν η συνάρτηση f() είναι αύξουσα (ή γνησίως αύξουσα) ή φθίνουσα (ή γνησίως φθίνουσα) σε κάποιο διάστημα [α,β], τότε λέγεται μονότονη (ή γνησίως μονότονη) στο διάστημα αυτό. Ορισμός 7: Μία συνάρτηση f(), ορισμένη σε ένα διάστημα [α,β], παρουσιάζει μέγιστο (ή ολικό μέγιστο) στο σημείο 0, όταν [α,β] ισχύει, ότι f() f( 0 ). Ορισμός 8: Μία συνάρτηση f(), ορισμένη σε ένα διάστημα [α,β], παρουσιάζει ελάχιστο (ή ολικό ελάχιστο) στο σημείο 0, όταν [α,β] ισχύει, ότι f() f( 0 ). Θα μελετηθούν κάποιες βασικές περιπτώσεις συναρτήσεων παραδειγμάτων ως προς τη μονοτονία, εξάγοντας ταυτόχρονα κάποια βασικά συμπεράσματα: i. f() =, [0,+ ) Για 0 < συνεπάγεται, ότι 0 < κατά συνέπεια 0 f( )<f( ) και η συνάρτηση f()= θα είναι γνησίως αύξουσα. ii. f()= α, [0,+ ), α 0 Για 0 < και α>0, συνεπάγεται, ότι: a a a a a > > > < f( ) < f( ) συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Για 0 < και α<0, συνεπάγεται, ότι: και κατά συνέπεια η

16 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο 5 a a a a a > < < > f( ) > f( ) και κατά συνέπεια η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. iii. f()=α, R, α>0, α Για α>, συνεπάγεται, ότι: 0 a < > 0 a > a a > > a > a f( ) < f( ) και a κατά συνέπεια η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Για 0<α<, συνεπάγεται, ότι: 0 a < > 0 a < a a < < a < a f( ) > f( ) και a κατά συνέπεια η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. π π iv. f() =ημ,, π π π + π π Αν < τότε < < και 0 <. + Από την τριγωνομετρική ισότητα ημ ημ = συν ημ, συνεπάγεται, ότι: ημ ημ > 0 ημ > ημ f( ) < f( ) και κατά συνέπεια η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα π π,. v. f()=συν, [ 0,π ] + Αν 0 < π τότε 0 < < π και 0 < < π. Από την + τριγωνομετρική ισότητα συν συν = ημ ημ < 0, συνεπά-γεται, συν συν < 0 συν < συν f( ) > f( ) και κατά ότι: συνέπεια η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ 0,π ]. π π vi. f()=εφ,, π π Αν < < < τότε 0 < < π. Από την τριγωνομετρική ισότητα ημ ημ ημ συν ημ συν ημ( ) εφ εφ = = = > 0, συν συν συν συν συν συν συνεπάγεται, ότι: εφ εφ > 0 εφ > εφ f( ) < f( ) και κατά συνέπεια η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, π π.

17 6 Δρ. Βασίλειος Σάλτας σφ vii. f()=σφ, ( 0,π ) Αν 0 < < < π τότε 0 < < π. Από την τριγωνομετρική ισότητα συν συν ημ συν ημ συν ημ( ) σφ = = = < 0, συνεπάγε- ημ ημ ημ ημ ημημ ται, ότι: σφ σφ < 0 σφ < σφ f( ) > f( ) και κατά συνέπεια η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( 0,π ). Ορισμός 9: Αν το πεδίο ορισμού D f της συνάρτησης f() είναι συμμετρικό σχετικά με την αρχή 0, δηλαδή αν το D f, τότε και το - D f και αν για κάθε D f ισχύει f(-)=f(), τότε η συνάρτηση f() λέγεται άρτια, ενώ αν f(-)=-f(), τότε η συνάρτηση f() λέγεται περιττή. Ορισμός 0: Έστω το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() να είναι το D f και η f() είναι τέτοια συνάρτηση ώστε να υπάρχει αριθμός Τ>0 με την ακόλουθη ιδιότητα: αν D f, τότε +T D f. Αν για κάθε D f ισχύει, ότι: f(+τ)=f(-t)=f(), τότε η συνάρτηση f() λέγεται περιοδική με περίοδο Τ. Παρατηρήσεις ) Μία συνάρτηση f() δεν είναι υποχρεωτικό να είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. ) Μία συνάρτηση f() δεν είναι υποχρεωτικό να είναι άρτια ή περιττή. ) Αν Τ είναι η περίοδος μιας συνάρτησης f(), τότε και Τ θα είναι περίοδος της κ.τ.λ.. Μία περιοδική συνάρτηση δεν είναι υποχρεωτικό να έχει τη μικρότερη περίοδο: η συνάρτηση f()=c, c R, έχει για περίοδο κάθε πραγματικό αριθμό Τ. Ορισμός : Μία συνάρτηση f() με πεδίο ορισμού D f λέγεται - (ή «ένα προς ένα»), αν και μόνο αν, για οποιαδήποτε τιμή, D f ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f( ) f( ). Με τη μέθοδο της αντιθετοαντιστροφής η προαναφερόμενη συνεπαγωγή τροποποιείται με τον ακόλουθο τρόπο: αν f( )=f( ), τότε =. Ορισμός : Έστω μία συνάρτηση f:a B. Αν η συνάρτηση αυτή είναι -, τότε για κάθε στοιχείο Β, υπάρχει μοναδικό Α, για το οποίο f()=. Κατά συνέπεια δύναται να οριστεί μία συνάρτηση g() με πεδίο ορισμού το Β και πεδίο τιμών κάποιο τυχαίο σύνολο Γ. Για τη νέα αυτή συνάρτηση ισχύει g()= και λέγεται αντίστροφη της συνάρτησης f(). Συμβολίζεται με f - (). Παρατηρήσεις: ) Επισημαίνεται, ότι: f - (f())=, A και f(f - ())=, B. ) Μία συνάρτηση η οποία είναι γνησίως μονότονη σε κάποιό διάστημα, τότε η συνάρτηση αυτή θα είναι και αντιστρέψιμη, θα υπάρχει δηλαδή η αντίστροφός της. Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση f()=, με [0, + ]. Αφού η συνάρτηση αυτή, όπως προαναφέρθηκε, είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, + ], θα είναι και αντιστρέψιμη, με αντίστροφη τη συνάρτηση φ()=, [0, + ]. Πράγματι, το πεδίο τιμών Β της συνάρτησης f() είναι το διάστημα [0, + ] και για κάθε [0, + ] ισχύει, ότι ( ) =.

18 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο 7 Επομένως συμπεραίνεται, ότι η συνάρτηση f() είναι αντιστρέψιμη και η φ() είναι η αντίστροφός της, ενώ η φ() από την πλευρά της είναι επίσης αντιστρέψιμε με τη συνάρτηση f() να είναι η αντίστροφή της. Έτσι, όπως παρατηρήθηκε, μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη. Επίσης η αντίστροφή της φ() είναι επίσης γνησίως αύξουσα και αυτό για την ακόλουθη αιτία: Έστω =f( ) και =f( ) με <. Τότε φ( )= και φ( )=. Αν υποθέσουμε, ότι, δύναται να λάβουμε f( ) f( ), δηλαδή, το οποίο δεν είναι ορθό. Άρα <, δηλαδή φ( )<φ( ) και έτσι η συνάρτηση φ() θα είναι γνησίως αύξουσα. Ομοίως αποδεικνύεται, ότι μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση έχει αντίστροφη η οποία είναι επίσης γνησίως φθίνουσα. Επισημαίνεται, επίσης ότι αν φ() είναι η αντίστροφη δεδομένης συνάρτησης f(), τότε προφανώς η γραφική της παράσταση θα προκύπτει, αν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() γίνει αλλαγή των ρόλων των δύο αξόνων Ο και O. Αυτό υλοποιείται με τον ακόλουθο τρόπο: περιστρέφεται κατά 90 ο το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με φορά αντίστροφη απ αυτή των δειχτών του ρολογιού. Λαμβάνεται έτσι συμμετρικό σχήμα με άξονα συμμετρίας τον Ο. Παράδειγμα: Για τη συνάρτηση f()= με 0, υπολογίζεται η αντίστροφή της η οποία είναι η φ()=, με γραφικές παραστάσεις αυτές των ακόλουθων δύο σχημάτων (Σχήμα και Σχήμα 4) f()= f()=.5.5 Σχήμα 0 Σχήμα Ακολουθούν κάποιες χαρακτηριστικές περιπτώσεις συναρτήσεων και η εύρεση της αντίστοιχης αντίστροφή της: i. f()=α, α>0, α, R Από τα προαναφερόμενα η συνάρτηση f()=α είναι γνησίως αύξουσα για α> και γνησίως φθίνουσα αν 0<α<. Κατά συνέπεια πάντα όταν α>0, α η f()=α είναι αντιστρέψιμη. Η αντίστροφής της είναι η συνάρτηση φ()=log α. Η τελευταία συνάρτηση ορίζεται για >0, αφού η f()=α έχει ως πεδίο τιμών το διάστημα (0,+ ). Από τις ιδιότητες των αντίστροφων συναρτήσεων, λαμβάνονται οι ισότητες loga a =, > 0 και log a = a, R. Εκτός αυτού, άμεσα λαμβάνεται και ο ισχυρισμός, ότι η συνάρτηση φ()=log α είναι γνησίως αύξουσα, αν α> και γνησίως φθίνουσα, αν 0<α<.

19 8 Δρ. Βασίλειος Σάλτας π π ii. f()=ημ,, π π Είδαμε επίσης, ότι η συνάρτηση f()=ημ,,, είναι γνησίως αύξουσα. Κατά συνέπεια θα είναι αντιστρέψιμη, με αντίστροφη τη συνάρτηση φ()=τοξημ και διαβάζεται «τόξο ημιτόνου». Για τη συνάρτηση αυτή δύναται να λεχθεί, ότι: «τοξημ είναι η γωνία η οποία, σε ακτίνια, βρίσκεται στο διάστημα π, π και έχει ημίτονο ίσο με». Επισημαίνεται, ότι αφού το πεδίο τιμών της f()=ημ είναι το διάστημα [-,], τότε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της θα είναι το διάστημα [-,]. Για την αντίστροφη συνάρτηση φ()=τοξημ της τριγωνομετρικής συνάρτησης f()=ημ, εξάγονται τα ακόλουθα συμπεράσματα: ) Είναι ορισμένη στο διάστημα [-,]. π π ) Το πεδίο τιμών της είναι το διάστημα, ) Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [-,] 4) Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες: α) ημ(τοξημ)=, - π π β) τοξημ(ημ)=, iii. f()=συν, [0,π] Η συνάρτηση f()=συν είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [0,π]. Η αντίστροφή της είναι φ()=τοξσυν και διαβάζεται «τόξο συνημίτονου». Για τη συνάρτηση αυτή δύναται να λεχθεί, ότι: «τοξσυν είναι αυτή η γωνία η οποία, σε ακτίνια, βρίσκεται στο διάστημα [0,π] και έχει συνημίτονο ίσο με». Για τη συνάρτηση αυτή ισχύουν τα ακόλουθα: ) Είναι ορισμένη στο διάστημα [-,] ) Το πεδίο τιμών της είναι το διάστημα [0,π] ) Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [-,] 4) Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες: α) συν(τοξσυν)=, - β) τοξσυν(συν)=, 0 π π π iv. f()=εφ,, Ανάλογα, η συνάρτηση φ()=τοξεφ είναι η αντίστροφη της συνάρτησης f()=εφ και θα ισχύουν τα ακόλουθα: ) Είναι ορισμένη στο διάστημα (-, ) π π ) Το πεδίο τιμών της είναι το διάστημα,

20 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο 9 ) Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (-, ) 4) Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες: α) εφ(τοξεφ)=, (-, ) β) τοξεφ(εφ)=, π π < < v. f()=σφ, (0,π) Τέλος, η συνάρτηση φ()=τοξσφ είναι η αντίστροφη της συνάρτησης f()=σφ και θα ισχύουν τα ακόλουθα: ) Είναι ορισμένη στο διάστημα (-, ) ) Το πεδίο τιμών της είναι το διάστημα (0,π) ) Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-, ) 4) Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες: α) σφ(τοξσφ)=, (-, ) β) τοξσφ(σφ)=, 0<<π..6. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση συν π Άσκηση : Να υπολογιστεί η τιμή της συνάρτησης f()=, για =. ημ 4 π συν συν π ( ) ( ) 4 π ( ) π f = f = f = f( ) = ημ 4 π ημ π f ( ) = 4 Άσκηση : Να υπολογιστεί η τιμή των ακόλουθων παραστάσεων: i. εφ τοξσυν + τοξημ ii. ημ τοξεφ + τοξσυν π i. Από τα συν = 4, ημ π = -ημ π = -, λαμβάνεται, ότι: τοξσυν = π, 4 π τοξημ = και κατά συνέπεια:

21 0 Δρ. Βασίλειος Σάλτας π π π εφ τοξσυν + τοξημ εφ εφ = =. 4 συν συν Αλλά εφ = εφ =. Κατά συνέπεια θα έχουμε, ότι: + συν + συν π συν π 6 εφ = =, από το οποίο συνεπάγεται, ότι: π + συν + 6 εφ τοξσυν + τοξημ = + Άσκηση Να υπολογιστούν, σε σχέση με το, το ακόλουθο: ημ(τοξσυν) Θέτουμε τοξσυν=α, 0 α π και κατά συνέπεια συνα=,. Άρα ημ(τοξσυν)=ημα ημ(τοξσυν)= συν a ημ(τοξσυν)=. Άσκηση 4: Να αποδειχτεί ότι εφ+τοξσφ= π. Θέτουμε τοξεφ=a, π π <a< και τοξσφ=b, 0<b<π. Τότε Αλλά εφa= και σφa=, σφb= και εφb= ( 0). π <a+b< π. σφaσφb- Έτσι σφ(a+b)= = = 0 σφa + σφb + π Επειδή η συνεφαπτομένη μηδενίζεται όταν η γωνία είναι στο διάστημα π π,, τότε a+b= π. Αν αντικατασταθούν τα a, b με τις αντίστοιχες ισότητες π που έχουμε θέσει, λαμβάνεται εφ+τοξσφ=, το οποίο ισχύει για 0. Αν =0 η τελευταία ισότητα δεν ισχύει. Άσκηση 5: Να αποδειχτεί, ότι: τοξεφ, 0 i. τοξεφ = τοξημ, < < ii. τοξσυν = + τοξεφ, 0

22 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο π π i. Θέτουμε τοξημ=α. Τότε a και ημα=. Από το ότι και - π π συνεπάγεται < a <. Κατά συνέπεια: ημa ημa τοξεφ = τοξεφ = τοξεφ = τοξεφ( εφa) = a= τοξημ. ημ a συν a ii. Θέτουμε τοξεφ=α. Τότε π π < a < και εφα=. Διακρίνονται οι εξής περιπτώ- σεις: α) Αν 0, τότε εφα 0 και 0 α π 0 α π. Οπότε: εφ a τοξσυν = τοξσυν. + + εφ a εφ Αλλά συν =, οπότε + εφ τοξσυν = τοξσυν ( συν a) = a = τοξεφ. + π β) Αν 0, τότε εφα 0 και α 0 -π α 0 0 -α<π. Οπότε: εφ a τοξσυν = τοξσυν = τοξεφσυν ( συν a) = + + εφ a = τοξσυν ( συν ( a)) = a = τοξεφ. Άσκηση 7: Να υπολογιστεί το πεδίο ορισμού των ακόλουθων συναρτήσεων: + i. f ( ) = iv. f ( ) = τοξσυν (log ) 7+ ii. f ( ) = (9 )( 4) + 5 v. f ( ) = log( ) iii. f ( ) = τοξημ vi. f ( ) = ημ + i και 4. Οπότε D f =R-{, 4}. ii. (9- )( -4) 0 (-)(+)(-)(+) 0

23 Δρ. Βασίλειος Σάλτας Γ Άρα D f ={ R/ - - ή }. iii. 4. Άρα το πεδίο ορισμού της δεδομένης συνάρτησης θα είναι: D f ={ R/ - }. iv. Πρέπει >0 και - log log0 - log log0 0. Άρα 0 D f ={ R/ 0 0}. v. Πρέπει >0 <0 και Άρα D f ={ R/ (-,-5) (-5,0)}. vi. Πρέπει 0 και ημ 0 κπ (κ+)π, κ Ζ. Άρα το ζητούμενο πεδίο ορισμού θα είναι: D f ={ R/κπ (κ+)π, κ Ζ και 0}. Άσκηση 8: Είναι ίσες οι ακόλουθες συναρτήσεις; if. ( ) = και g ( ) = iif. ( ) = log και g ( ) = log iii. f ( ) = ημ + συν και g( ) = iv. f ( ) = - και g( ) = ( ) i. D f =R-{0} και D g =R. Κατά συνέπεια, αφού D f D g οι δύο συναρτήσεις f() και g() δεν είναι ίσες. ii. D f = R * +, D g = R * +, άρα D f =D g. Αλλά g()=log=log f(). Άρα οι δύο συναρτήσεις f() και g() δεν είναι ίσες. iii. D f =D g =R και f()=ημ +συν ==g(). Άρα οι δύο συναρτήσεις f() και g() είναι ίσες. iv. D f ={ R/ }, D g ={ R/ (-,0] [,+ )}. Κατά συνέπεια, αφού D f D g οι δύο συναρτήσεις f() και g() δεν είναι ίσες. Άσκηση 0: Δίνονται οι συναρτήσεις f()=ln και g()=. Να υπολογιστούν οι συναρτήσεις: i. h()=(gof)() ii. k()=(fog)()

24 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο Πρέπει >0, επομένως D f = R * +. Επίσης για τη δεύτερη συνάρτηση 0 επομένως D g =R +. i. D h ={ D f / f() D g }={ R * + /ln R + }= ={>0/ln 0}= ={>0/ln ln}={>0/ }, άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h() θα είναι το διάστημα [,+ ) και ο δε τύπος της: h()=g(f())= ln. ii. D k ={ D g /g() D f }= { R + / R * + }= ={ 0/ >0}= ={ 0/>0}, άρα το πεδίο ορισμού είναι το διάστημα (0,+ ). Ο δε τύπος της: k()=f(g())= ln. Άσκηση : Εξεταστεί ως προς τη μονοτονία η ακόλουθη συνάρτηση: f()=. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (ως πολυωνυμική) είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R, D f =R. Διακρίνονται δύο περιπτώσεις: i. Αν, [0, + ). Τότε από < συνεπάγεται, ότι f( )<f( ) και κατά συνέπεια η συνάρτηση f() είναι γνησίως αύξουσα. ii. Αν, (-,0]. Τότε από < συνεπάγεται, ότι f( )>f( ) και κατά συνέπεια η συνάρτηση f() είναι γνησίως φθίνουσα. Άσκηση : Να ερευνηθεί αν η συνάρτηση f()=- + παρουσιάζει μέγιστο στο o =0. Ισχύει, ότι f( o )=f(0)=-0 += και f() f(0). Κατά συνέπεια στο o =0 η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο το f(0)=. Άσκηση : Να προσδιοριστεί το διάστημα όπου κάθε μία από τις ακόλουθες συναρτήσεις είναι μονότονη: i. f()=a+b ii. f()= (a +a - ), a> i. Έστω < - >0, τότε f( )-f( )=(a +b)-(a +b)=a( - ). Για a>0 ισχύει, ότι: 0<f( )-f( ) f( )>f( ) και τότε η συνάρτηση f() θα είναι αύξουσα για κάθε R. Για a<0 ισχύει, ότι: 0>f( )-f( ) f( )<f( ) και τότε η συνάρτηση f() θα είναι φθίνουσα για κάθε R. ii. Έστω <, τότε θα ισχύουν τα ακόλουθα: - - f( ) f( ) = ( a + a ) ( a + a ) = a -a + = a a. = ( a -a ) a a

25 4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας Αλλά a >, για >0 και a < a, για <, τότε a -a > 0 και > 0. a a Κατά συνέπεια f( )-f( )>0 για >0 το οποίο δηλώνει ότι η συνάρτηση f() θα είναι αύξουσα για >0. Ανάλογα η συνάρτηση f() θα είναι φθίνουσα για <0. Άσκηση 4: Να εξεταστούν αν είναι άρτιες ή περιττές οι ακόλουθες συναρτήσεις: i. f( )= vi. f( )= 4 ii. f( )= vii. f( )= + 5 iii. f( )= + + viii. f( )=ημ iv. f( )=ημ i. f( )= ( + ) v. f( )=. f( )= i. D f =R, για κάθε R, - R και f(-)= - = =f(). Άρα η συνάρτηση f() είναι άρτια. ii. D f =R, για κάθε R, - R και f(-)= - - -(-) = - - = -( - - )= - f(). Άρα η συνάρτηση f() είναι περιττή. iii. D f =R, για κάθε R, - R και f(-)=(-) +(-)+=- -+ f ( ). Άρα η f ( ) συνάρτηση f() δεν είναι ούτε άρτια αλλά ούτε και περιττή.. D f =R +. Κατά συνέπεια το πεδίο ορισμού δεν είναι συμμετρικό και έτσι D f, - D f. Οπότε η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια, αλλά ούτε και περιττή. Άσκηση 6: Να υπολογιστεί η περίοδος των ακόλουθων συναρτήσεων: i. f()=συν iv. f()=ημ+ 5 ημ+ ημ ii. f()=συν v. f()=εφ -εφ i. f(+t)=f() συν(+t)=συν +T=κπ+ T=κπ, κ Ζ. Για κ=, Τ=π. ή +T=κπ- T=κπ-, κ Ζ, το οποίο απορρίπτεται. ii. f(+t)=f() συν + T + T =συν =κπ+ +T-=4κπ+- T=4κπ, κ Ζ. Για κ=, Τ=4π. ή + T =κπ +T-=4κπ-+ Τ=4κπ-+, το οποίο απορρίπτεται. Άσκηση 7: Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f()=e - είναι «-».

26 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο 5 Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() είναι D f =R. Κατά συνέπεια: f( )=f( ) e = e e = e -= - = =, άρα η συνάρτηση f() είναι «-». Άσκηση 8: Να αποδειχτεί, ότι οι συναρτήσεις: g()= και g()= - με πεδία ορισμού το διάστημα [0, + ), είναι αντίστροφες της συνάρτησης f()=, με πεδίο ορισμού D f =R. Πρέπει αρχικά να ελεγχθεί αν η συνάρτηση f()= είναι «-». Γι αυτό: f( )=f( ) = - =0 ( - )( + ) =0 - =0, οπότε = ή + =0, οπότε =-, το οποίο απορρίπτεται αφού [0, + ). Κατά συνέπεια η συνάρτηση f() είναι «-», άρα δύναται να υπολογιστεί η αντίστροφή της και συγκεκριμένα: = = ή = -. Άρα οι αντίστροφες συναρτήσεις είναι: g()= ή g()= -. Άσκηση 9: Να υπολογιστεί η αντίστροφη συνάρτηση της f()=e - -. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() είναι D f =R. Αρχικά γίνεται έλεγχος αν η συνάρτηση f() είναι «-»: f( )=f( ) e = e e = e e = e - =- - =- =, άρα η συνάρτηση f() είναι «-». Κατά συνέπεια δύναται να βρεθεί η αντίστροφή της f - () με τον ακόλουθο τρόπο: =e - - e - =+ e - + = lne =ln (-)lne=ln + + -= ln =-ln. Άρα f - + ()= -ln, >-. iii. Έστω, D f, με. Τότε: (4)

27 6 Δρ. Βασίλειος Σάλτας Ομοίως (5) και - (6) Αφού προστεθούν κατά μέλη οι σχέσεις (4), (5) και (6) λαμβάνεται ότι: και κατά συνέπεια f( ) f( ), άρα η συνάρτηση f() είναι «-». iv. Ισχύει, ότι -7 και η συνάρτηση f() είναι γνησίως φθίνουσα, κατά συνέπεια: f(-7) f() f() οπότε -5 f(). Άρα το f()=-5 είναι ελάχιστο, ενώ το f(-7) είναι μέγιστο για τη συνάρτηση f(). v =0 f()+5=0 f()= -5 f()=f() =, αφού η συνάρτηση f() είναι «-».

28 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο 7

29 8 Δρ. Βασίλειος Σάλτας Κεφάλαιο ο : Όριο συνάρτησης μιας μεταβλητής.. Εισαγωγή Έστω η συνάρτηση f( ) = ημ, η οποία για =0 δεν ορίζεται. Τίθεται το εξής ερώτημα: «Τι συμβαίνει με τη συναρτησιακή της τιμή όταν =0;» Αφού η συνάρτηση f() αποτελείται από δύο υποσυναρτήσεις την f ()= και την f ()=ημ, με την τελευταία να έχει πεδίο τιμών [-,], εύκολα διαπιστώνεται, ότι για κάθε 0, η συναρτησιακή τιμή της f() θα βρίσκεται μεταξύ και. Γεωμετρικά αυτό σημαίνει, ότι η γραφική παράσταση της f() θα βρίσκεται μεταξύ των ευθειών = και =- και συγκεκριμένα στο εσωτερικό των γωνιών που σχηματίζουν οι δύο αυτές ευθείες, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα (Σχήμα ). = = π π -0. π π Σχήμα Αν στο δοθεί τιμή τέτοια ώστε να είναι όσο το δυνατόν κοντά στο μηδέν, θα αντιστοιχεί σημείο της γραφικής παράστασης το οποίο θα πλησιάζει αρκετά στην αρχή των αξόνων Ο(0,0) ή όπως αλλιώς λέγεται η γραφική παράσταση θα «τείνει» στο σημείο αυτό. Η συναρτησιακή τιμή της συνάρτησης f() από την πλευρά της θα «τείνει» στο μηδέν. Αυτό το οποίο θα πρέπει να τονιστεί είναι αν και το σημείο με τετμημένη ξ=0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f( ) = ημ (το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι D f =R * ), μπορεί να λάβει το τιμή αρκετά κοντά στο σημείο αυτό. Αυτό είναι έτσι, γιατί το σημείο ξ θεωρείται ότι έχει την ιδιότητα: «Υπάρχουν σημεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f() τέτοια, ώστε να βρίσκονται αρκετά κοντά στο σημείο ξ».

30 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο 9 Ορισμός : Ένας αριθμός ξ λέγεται σημείο συσσώρευσης για ένα αριθμητικό σύνολο Μ, όταν σε κάθε περιοχή του (ξ-δ,ξ+δ) περιέχονται σημεία από το σύνολο Μ. Έτσι το σημείο ξ μπορεί να ανήκει μπορεί και όχι στο Μ. Αν για παράδειγμα Μ είναι το ανοιχτό διάστημα (α,β), τότε το σημείο α, όπως και το σημείο β, είναι σημείο συσσώρευσης για το σύνολο αυτό ανεξάρτητα από το ότι δεν ανήκει στο διάστημα αυτό... Πεπερασμένο όριο συνάρτησης μιας μεταβλητής... Βασικές έννοιες και ορισμοί Ορισμός : Ο αριθμός λ λέγεται όριο της συνάρτησης f() για να τείνει στο ξ ( ξ), με ξ να είναι το σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού D f της f(), όταν για κάθε ε>0, υπάρχει τέτοιο δ>0 για το οποίο από το 0< -ξ <δ συνεπάγεται, ότι f()-λ <ε, πάντα όταν η f() ορίζεται. Τότε γράφεται: lim f( ) = λ. Το ξ διαβάζεται ως εξής: «το τείνει στον σημείο ξ». Ο προαναφερόμενος ορισμός είναι γνωστός και ως ορισμός Cauch ( ). Αφού ο αριθμός ε είναι τυχαίος, ο προαναφερόμενος ορισμός, απαιτεί σε γενικές γραμμές, η διαφορά μεταξύ των τιμών της f() και του λ, κατά απόλυτη, να είναι το δυνατόν μικρότερη, αρκεί να ληφθούν τέτοια D f, ώστε να βρίσκονται αρκετά κοντά στο σημείο ξ. Το πόσο κοντά προσδιορίζεται από τον αριθμό δ, ο οποίος εξαρτάται από το ε. Αυτό που πρέπει να επισημανθεί είναι, ότι ο αριθμός δ, όταν αυτός υπάρχει για δεδομένο ε>0, δεν είναι μοναδικός. Αν βρεθεί ένας τέτοιος αριθμός δ, κάθε άλλος θετικός αριθμός και μικρότερος απ αυτόν, θα έχει την ίδια ιδιότητα. Γεννιέται η εξής ερώτηση: «Είναι δυνατόν δύο διαφορετικοί αριθμοί λ και λ να επαληθεύουν τον προαναφερόμενο ορισμό, να είναι δηλαδή όρια της ίδιας συνάρτησης f() για να τείνει στο ξ;» λ λ Ας υποθέσουμε, ότι αυτό ισχύει. Τότε αν λάβουμε ε =, θα βρεθούν αριθμοί δ και δ, τέτοιοι ώστε για κάθε D f, ξ, από τη σχέση -ξ <δ θα συνεπάγεται f()-λ <ε, ενώ από την ανισοτική σχέση -ξ <δ θα συνεπάγεται f()-λ <ε. Τότε, αν το ξ είναι τέτοιο σημείο του πεδίου ορισμού της f(), για το οποίο ισχύει ταυτόχρονα -ξ <δ και -ξ <δ, τότε θα ισχύει: λ -λ = λ -f()+f()-λ λ -f() + f()-λ <ε= λ -λ Με άλλα λόγια λαμβάνεται, ότι: λ -λ < λ -λ το οποίο είναι άτοπο, άρα ο αρχικός ισχυρισμός δεν ήταν ορθός. Κατά συνέπεια το όριο λ της συνάρτησης f() για να τείνει στο ξ είναι μοναδικό. Αυτό δεν σημαίνει σε καμία περίπτωση ότι το όριο μιας συνάρτησης f() υπάρχει πάντα. Υπάρχουν δηλαδή περιπτώσεις συναρτήσεων όπου δεν έχουν όριο για να τείνει στο ξ. Με βάση τον προαναφερόμενο ορισμό Cauch, θα υπολογιστεί το όριο της συνάρτησης f( ) = ημ, D f =R *, για 0. ξ

31 0 Δρ. Βασίλειος Σάλτας Το σημείο με τετμημένη ξ=0 (εν συντομία «το σημείο ξ=0»), αν και δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής, είναι σημείο συσσώρευσης για το σύνολο αυτό. Για να διαπιστωθεί, ότι lim f( ) = 0, πρέπει να αποδειχτεί, ότι για κάθε 0 ε>0, υπάρχει δ>0 τέτοιο, ώστε από την ανισότητα <δ να συνεπάγεται, για κάθε 0, ημ < ε. Ο σκοπός όμως θα εκπληρωθεί αν ληφθεί δ=ε, γιατί για <ε έχουμε: ημ = ημ < ε. Έστω ακόμη ένα παράδειγμα: f()=συν, D f =R. Θέλουμε να αποδείξουμε, ότι το όριο της συνάρτησης αυτής είναι ο αριθμός, για να τείνει στο 0. Θεωρούμε ένα τυχαίο αριθμό ε. Τότε θα ισχύουν τα ακόλουθα: συν = συν = ημ = ημ ημ.. = (στην ανισοτική αυτή σχέση χρησιμοποιούνται οι τριγωνομετρικές ιδιότητες: ημ και ημ ) Έτσι αποδείχτηκε, ότι αν ληφθεί δ=ε, τότε για <δ, δηλαδή για <ε, θα ισχύει συν- <ε. Με τον τρόπο αυτό αποδείχτηκε, ότι limσυν =. Στο τελευταίο παράδειγμα το ξ=0 για το οποίο ζητείται το όριο της συνάρτησης f()=συν, ανήκει στο πεδίο ορισμού της R. Κάτι περισσότερο. Ορθά διαπιστώθηκε, ότι ο αριθμό είναι όριο της συνάρτησης αυτής για 0. Το ίδιο αποτέλεσμα δύναται να λάβουμε και αν γίνει το ίσο με το μηδέν, δηλαδή με το ξ. Επισημαίνεται, ότι τα πράγματα δεν είναι πάντα τόσο απλά. Δεν ισχύει πάντα η αντικατάσταση της ανεξάρτητης μεταβλητής με το σημείο συσσώρευσης ξ. Για, 0 παράδειγμα έστω η ακόλουθη συνάρτηση: f( ) =. Αν υπολογιστεί το όριό, = 0 της για 0 θα βρεθεί ο αριθμός 0, ενώ το f(0)=. Άρα lim f ( ) f (0). Παρατήρηση: Αν f()=c, c R, τότε lim f ( ) = c ή διαφορετικά lim c= c. Θεώρημα : Έστω συνάρτηση f() με πεδίο ορισμού το σύνολο Μ, ξ να είναι το σημείο συσσώρευσης για το Μ και lim f ( ) = λ. Αν η ακολουθία,,,, n, αποτελείται από αριθμούς που ανήκουν στο σύνολο Μ και είναι διαφορετικοί από το ξ και αυτή τείνει στο ξ, τότε η ακολουθία f( ), f( ), f( ),, f( n ), επίσης θα είναι συγκλίνουσα και θα τείνει στο λ. Θεώρημα : Έστω συνάρτηση f() με πεδίο ορισμού το σύνολο Μ, ξ να είναι το σημείο συσσώρευσης για το Μ και lim f( ) = λ. Αν η ακολουθία,,,, n, αποτελείται από αριθμούς που ανήκουν στο σύνολο Μ και είναι διαφορετικοί από το ξ και αυτή τείνει στο ξ, ενώ η αντίστοιχη ακολουθία f( ), f( ), f( ),,f( n ), των συναρτησιακών της τιμών να τείνει στο λ, τότε το lim f ( ) υπάρχει και είναι ίσο με το λ. ξ ξ ξ 0 0 ξ ξ

32 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο Ορισμός : Έστω συνάρτηση f() με πεδίο ορισμού το σύνολο Μ, ξ να είναι το σημείο συσσώρευσης για το Μ. Θα λέγεται, ότι η f() έχει όριο το λ, για να τείνει στο ξ, αν για κάθε επιλογή της ακολουθίας,,,, n,., αποτελούμενη από σημεία του Μ διαφορετικά του ξ, η αντίστοιχη ακολουθία f( ), f( ), f( ),, f( n ), είναι συγκλίνουσα και τείνει στον αριθμό λ. Ο προαναφερόμενος ορισμός είναι γνωστός και ως ορισμός Heine (8 88). Παρατήρηση: Οι δύο ορισμοί για το όριο συνάρτησης (Cauch και Heine) είναι ισοδύναμοι. Με τη βοήθεια του ορισμού Heine εύκολα μπορούμε να εξετάσουμε συναρτήσεις όπου δεν έχουν όριο. Για παράδειγμα η συνάρτηση f( ) = ημ, όταν το τείνει στο 0. Υποθέτουμε, ότι το όριό της υπάρχει και είναι ο αριθμός λ. Τότε δημιουργείται η ακολουθία,,...,,... η οποία τείνει στο 0. Η ακολουθία π π (n ) π των αντίστοιχων συναρτησιακών τιμών για την f( ) = ημ είναι η π π (n ) π ημ, ημ,..., ημ,... ή, -,, -, η οποία είναι μη συγκλίνουσα. Άρα καταλήξαμε σε άτοπο και κατά συνέπεια δεν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f( ) = ημ για 0 (Σχήμα ). 0.5 π π π π Σχήμα Επισημαίνεται επίσης, ότι ο ορισμός Heine διευκολύνει και κατά την απόδειξη βασικών ιδιοτήτων ορίων συναρτήσεων, όπως οι ακόλουθες ιδιότητες: Θεώρημα : Αν f() και g() είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Μ, ξ το σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Μ, έτσι ώστε να ορίζονται οι συναρτήσεις f()+g(), f()-g(), f()g() και f ( ) (g() 0, στο σύνολο Μ), τότε ισχύουν τα ακόλουθα: g( )

33 Δρ. Βασίλειος Σάλτας [ ] i. lim f( ) + g( ) = lim f( ) + lim g( ) ξ ξ ξ [ ] ii. lim f ( ) g( ) = lim f ( ) lim g( ) ξ ξ ξ [ ] iii. lim f ( ). g( ) = lim f ( ).lim g( ) ξ ξ ξ f( ) lim f( ) ξ iv. lim ξ g ( ) = lim g ( ) ξ πάντα όταν τα lim f ( ) ξ περίπτωση όταν lim g ( ) 0. ξ και lim g ( ) ξ υπάρχουν και επί πλέον στην τελευταία Θεώρημα 4: Αν οι συναρτήσεις f(), g() έχουν κοινό πεδίο ορισμού Μ, ξ το σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Μ και για κάθε Μ ισχύει f() g(), τότε lim f ( ) lim g( ), πάντα όταν τα lim f ( ) υπάρχουν. ξ ξ ξ και lim g ( ) Θεώρημα 5: Αν οι συναρτήσεις f(), g() και h() έχουν κοινό πεδίο ορισμού Μ, ξ το σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Μ και για κάθε Μ ισχύει μία από τις ακόλουθες δύο ανισότητες g() f() h() ή h() f() g(), τότε από την ισότητα lim g ( ) = lim h ( ) =λ συνεπάγεται, ότι lim f ( ) = λ. ξ (Κριτήριο Παρεμβολής). ξ Θεώρημα 6: Έστω f() και g() είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Μ, ξ το σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Μ. Έστω επίσης, ότι lim f( ) = 0, ενώ η g() ξ ξ ξ είναι φραγμένη σε κάποια περιοχή του σημείου ξ, τότε [ f g ] lim ( ). ( ) = 0. Θεώρημα 7: Αν η συνάρτηση f() έχει όριο για ξ, τότε είναι φραγμένη σε κάποια περιοχή (ξ-δ,ξ+δ) του σημείου ξ. Παρατηρήσεις ) Όπως και στο προηγούμενο θεώρημα, λαμβάνονται μόνο εκείνα τα σημεία από το διάστημα τα οποία ανήκουν στο πεδίο ορισμού Μ της συνάρτησης f(). ) Αν μία συνάρτηση είναι μη φραγμένη σε κάποια περιοχή ενός δεδομένου σημείου ξ, τότε δεν θα έχει όριο για να τείνει στο σημείο ξ, όπως για παράδειγμα η συνάρτηση f( ) = για 0. Θεώρημα 8: Αν lim f( ) = λ τότε: ξ ξ α) lim n f( ) = n λλ, R+, και n N {0,}, n άρτιος αριθμός ξ β) lim n f( ) = n λ, λ R και n N {0,}, n περιττός αριθμός ξ γ) [ ] n n lim f ( ) = λ, λ R, n N ξ

34 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο... Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Η κάθε άσκηση εύρεσης ορίου συνάρτησης είναι δυνατόν, αν και δύσκολα, να λυθεί με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου συνάρτησης. Εν συνεχεία θα λυθούν τέσσερεις ασκήσεις με τους ορισμούς των Cauch και Heine. Άσκηση : Να δειχτεί ότι το όριο της συνάρτησης f()= ημ, για 0 και 0<<90, είναι ο αριθμός. ημ Αφού 0<<90 συν< < -<ημ <-συν 0<- ημ <-συν ημ 0<- <ημ < = 0<- ημ <. Έστω ε>0. 4 ημ συμπεραίνουμε ότι: lim ν ν =, για ν 0. ν Με βάση τον ορισμό του Cauch: Για την εύρεση του δ>0 λύνεται η εξίσωση <ε και λαμβάνεται ότι: δ= ε. Άσκηση : Να δειχτεί ότι το όριο της συνάρτησης f()= -, για, είναι ο αριθμός. Με βάση τον ορισμό του Cauch πρέπει να δειχτεί ότι για κάθε ε>0, υπάρχει δ>0, έτσι ώστε για και <δ, να ισχύει ότι: ( -) - <ε. Για την επιλογή του δ εργαζόμαστε ως εξής: Με βάση τον ορισμό του Heine: Έστω τυχαία ακολουθία,,, ν, 0, ν 0, θα αποδειχτεί ότι: ημ, ημ,, ημ ν,. Αφού 0<-ημ ν < ν, ν ν επιλέγεται τέτοιο Ν, για το οποίο ν>ν και να ισχύει ότι: 0 < ε από το οποίο ( -) - <ε -- <ε <ε ( ) <ε ε <ε ( + )( ) <ε +. <ε +. <. Επειδή, περιοριζόμαστε στις τιμές του από το διάστημα (0, ). Τότε από την ε ε τελευταία σχέση λαμβάνουμε ότι: (+). < <. Επιλέγεται 6 δ=min ε και αφού εργαστούμε με αντίθετη φορά θα έχουμε ότι: για και, 6 <δ, ισχύει ότι: ( -) - <ε και επομένως lim( -)=, για. Άσκηση : Να δειχτεί ότι το όριο της συνάρτησης f()=+, για, είναι ο αριθμός 5.

35 4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας Με βάση τον ορισμό του Cauch: Για κάθε ε>0, πρέπει να βρεθεί δ>0, τέτοιο ώστε για κάθε και <δ, να ισχύει ότι: ( + ) 5 <ε. Επιλέγεται τυχαίο ε>0. Για να βρούμε το δ εργαζόμαστε με τον ακόλουθο τρόπο: ( + ) 5 <ε + 5 <ε <ε ( ) <ε <ε < ε. Επιλέγεται δ= ε και τότε για δ>0,, <δ, ισχύει ότι: ( + ) 5 <ε και επομένως lim(+)=5, για. Με βάση τον ορισμό του Heine: Έστω ε>0 και η τυχαία ακολουθία,,, ν,, ν, θα αποδειχτεί ότι: +, +,, ν +, 5. Επιλέγεται Ν, ν>ν για το οποίο ε. Τότε για ν>ν θα ισχύει ότι: ( + ) 5 <ε, ν < άρα lim(+)=5, για. Εν συνεχεία θα λυθεί μία άσκηση με άμεση εφαρμογή του ορισμού του ορίου με βάση των Cauch. ότι: Άσκηση 4: Αν ε=0 -, να οριστεί δ>0, τέτοιο ώστε, αν 0< <δ, να ισχύει + <ε. Άσκηση 5: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια: i. lim ii. lim iii. lim iv. lim v. lim vi. lim i. Αρχικά γίνεται «νοητή» αντικατάσταση του με τον αριθμό (αφού ) και λαμβάνεται, ότι 0, το οποίο, όπως θα αναφερθεί και εν συνεχεία, είναι απροσδιόριστη μορφή, δηλαδή δεν δύναται να υπολογιστεί. Γι αυτό γίνεται παραγοντοποίηση 0 αριθμητή και παρανομαστή και λαμβάνεται: + 8 ( )( + 4) + 4 lim( + 4) lim = lim = lim = = 8 ( )( + + 4) lim( + + 4) lim + lim = = = = = = lim + lim + lim ( lim ) + lim + 4 Παρατήρηση: Σχετικά με τα ii, iv και v η παραγοντοποίηση των αριθμητών και των παρανομαστών γίνεται με τη βοήθεια του σχήματος Horner. Άσκηση 6: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

36 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο 5 + i. lim ii. lim iii. lim iv. lim i. Για 4 τα όρια των συναρτήσεων στον αριθμητή και τον παρανομαστή είναι 0, δηλαδή εκ νέου απροσδιοριστία. Γι αυτό πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τις συζυγές παραστάσεις του αριθμητή και του παρανομαστή, εφαρμόζοντας την ταυτότητα α -β =(α-β)(α+β) και συγκεκριμένα: ( )( )( ) ( )( )( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) lim = lim = lim = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) = lim = lim = lim = Παρατήρηση: Σχετικά με τα iii, iv για τη συζυγή παράσταση χρησιμοποιείται η ταυτότητα α -β =(α-β)(α +αβ+β ). Σε κάποιες άλλες περιπτώσεις μπορεί να χρειαστεί η εφαρμογή της ταυτότητας α +β =(α+β)(α -αβ+β ). Γενικά: α ν -β ν =(α-β)(α ν- +α ν- β+ +αβ ν- +β ν- ) ή α ν +β ν =(α+β)(α ν- -α ν- β+ +αβ ν- +(-) ν- β ν- ), ν Ν-{0,,}. Άσκηση 7: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια: i. lim ii. lim iii. lim Επέκταση της έννοιας όριο συνάρτησης... Βασικές έννοιες και ορισμοί Επεκτείνεται η έννοια όριο συνάρτησης, όπου σε κάποιες περιπτώσεις γίνεται λόγος για όριο και όταν αυτό δεν υπάρχει με βάση τους προαναφερμένους ο- ρισμούς του ορίου. Ορισμός 4: Έστω η συνάρτηση f() είναι ορισμένη στο σύνολο Μ. Λέγεται, ότι η f() τείνει στο + για να τείνει στο ξ, όταν για κάθε Α>0 υπάρχει τέτοιος αριθμός δ>0, ώστε από το Μ και 0< -ξ <δ συνεπάγεται f()>α. Γράφεται: lim f( ) =+. ξ Αφού ο αριθμός Α μπορεί να ληφθεί όσο μεγάλος θέλουμε, ο ορισμός αυτός απαιτεί, σε γενικές γραμμές, οι τιμές της συνάρτησης f() να μπορούν να γίνουν όσο επιθυμούμε μεγάλες, αρκεί να λάβουμε τέτοιες τιμές, οι οποίες να είναι αρκετά κοντά στο σημείο ξ. Ορισμός 5: Έστω η συνάρτηση f() είναι ορισμένη στο σύνολο Μ. Λέγεται, ότι η f() τείνει στο - για να τείνει στο ξ, όταν για κάθε Β<0 υπάρχει τέτοιος

37 6 Δρ. Βασίλειος Σάλτας αριθμός δ>0, ώστε από το Μ και 0< -ξ <δ συνεπάγεται f()<β. Γράφεται: lim f( ) =. ξ Για παράδειγμα, έστω ότι πρέπει να αποδειχτεί, ότι lim =+. Για το 0 σκοπό αυτό επιλέγεται τυχαίος αριθμός Α>0. Αν ληφθεί εν συνεχεία δ=, τότε για A <δ, δηλαδή για < A, θα έχουμε < από το οποίο >Α. A Έστω ακόμη ένα παράδειγμα: να δειχτεί, ότι lim log =, a >. Αν Β είναι τυχαίος αρνητικός αριθμός, λαμβάνεται ο αριθμός δ=α Β. Όπως είναι γνωστό η συνάρτηση f()=log α είναι γνησίως αύξουσα για α> στο διάστημα (0,+ ). Τότε από <δ συνεπάγεται, ότι 0<<δ και κατά συνέπεια log α < log α α Β =Β ή f()<b. Θεώρημα : Έστω f() και g() είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Μ, ξ το σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Μ. Τότε: 0 α) Αν f() είναι φραγμένη σε κάποια περιοχή του σημείου ξ, τότε: i) Για lim g ( ) ξ ii) Για lim g ( ) ξ =+ έχουμε lim [ f( ) g( ) ] ξ + =+ = έχουμε lim [ f( ) g( ) ] ξ β) Αν lim f ( ) = a και lim g ( ) = +, τότε: ξ ξ i) Για α>0 έχουμε lim [ f( ). g( ) ] ξ ii) Για α<0 έχουμε lim [ f( ). g( ) ] ξ = + = γ) Αν lim f( ) =+ και lim g ( ) = +, τότε: ξ i) lim [ f( ) g( ) ] ξ ii) lim [ f( ). g( ) ] ξ ξ + =+ =+ + = συν Για παράδειγμα, έστω ότι πρέπει να αποδειχτεί, ότι lim =+. Πραγματικά αυτό ισχύει αφού limσυν = και 0 lim = Έστω ακόμη ένα παράδειγμα: Να δειχτεί, ότι lim( συν + ln ) =. Αυτό ι- σχύει, αφού limσυν = και limσυν ln =. 0 0 Ορισμός 6: Έστω η συνάρτηση f() είναι ορισμένη στο σύνολο Μ με την α- κόλουθη ιδιότητα: για τυχαίο αριθμό α, υπάρχει από το σύνολο Μ με >α, δηλαδή το Μ είναι το διάστημα (α,+ ). Λέγεται, ότι ο αριθμός λ είναι όριο της συνάρτησης f() για να τείνει στο +, αν για τυχαίο αριθμό ε>0, υπάρχει αριθμός Α, τέτοιος ώστε από Α< συνεπάγεται f()-λ <ε. Γράφεται: lim f( ) = λ. + Ορισμός 7: Έστω η συνάρτηση f() είναι ορισμένη στο σύνολο Μ με την α- κόλουθη ιδιότητα: για τυχαίο αριθμό α, υπάρχει από το σύνολο Μ με <α, δηλαδή 0 a

38 Μαθηματικά Ι: Μέρος ο 7 το Μ είναι το διάστημα (-,α). Λέγεται, ότι ο αριθμός λ είναι όριο της συνάρτησης f() για να τείνει στο -, αν για τυχαίο αριθμό ε>0, υπάρχει αριθμός Β, τέτοιος ώ- στε από Β> συνεπάγεται f()-λ <ε. Γράφεται: lim f( ) = λ. Για παράδειγμα, έστω ότι πρέπει να αποδειχτεί, το όριο =. Έστω ε να lim 0 + είναι τυχαίος θετικός αριθμός και επίσης Α= ε. Τότε για >A, δηλαδή για > ε, θα έχουμε <ε, το οποίο δύναται να γραφεί και ως εξής: 0 < ε. Έστω ακόμη ένα παράδειγμα: Να δειχτεί, ότι lim a = 0, για α>. Πραγματικά, έστω ε>0 και έστω να ληφθεί αριθμός Β=log α ε. Τότε για <B, εξαιτίας της μονοτονίας της συνάρτησης α (γνησίως αύξουσα για α>), θα συνεπάγεται, ότι: loga 0 B ε < a < a = a = ε. Κατά συνέπεια για <B θα ισχύει, ότι: α -0 <ε. Θα αναφερθούμε και σε ένα ακόμη παράδειγμα: Να δειχτεί, ότι π lim τοξεφ =. Έστω ε>0 και λαμβάνεται Α= π εφ ε +. Αν >A, τότε αφού η συνάρτηση τοξεφ είναι αύξουσα, θα έχουμε, ότι: π π τοξεφ > τοξεφ A= τοξεφ εφ ε = ε. Από την άλλη πλευρά, έχουμε και ότι τοξεφ< π. Κατά συνέπεια 0< π -τοξεφ<ε, για >A. Ορισμός 8: Έστω η συνάρτηση f() είναι ορισμένη σε ένα διάστημα (α,+ ). Λέγεται, ότι η συνάρτηση f() τείνει στο + για να τείνει στο +, αν για κάθε Α>0, υπάρχει Κ, τέτοιο ώστε, από την ανισότητα >Κ συνεπάγεται, ότι f()>α. Γράφεται: lim f( ) =+. + Με τρόπο ανάλογο με τους προαναφερόμενους ορισμούς, ορίζονται και τα ακόλουθα όρια: i. lim f( ) = ii. lim f( ) =+ iii. lim f( ) = + Παράδειγμα: Έστω ότι πρέπει να αποδειχτεί, ότι για α>, lim a + =+. Λαμβάνεται τυχαίος θετικός αριθμός Α και σχηματίζεται ο αριθμός Κ=log α Α. Με αιτία τη μονοτονίας της συνάρτησης α (γνησίως αύξουσα για α>), από την ανισοτική σχέση K log >K, λαμβάνεται, ότι: a A a > a = a A. Έστω ακόμη ένα παράδειγμα: Να δειχτεί, ότι για α>0 lim + a =+. Έστω Α είναι τυχαίος θετικός αριθμός και έστω Κ= a A. Όπως είναι γνωστό, η συνάρτηση α είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0,+ ), για α>0. Έτσι για >K θα έχουμε a a a a K > = A = A. Θα αναφερθούμε και σε ένα ακόμη παράδειγμα: Να δειχτεί, ότι για α>, lim log a =+. Για να αποδειχτεί αυτό, λαμβάνεται τυχαίος θετικός αριθμός Α και + δημιουργείται ο αριθμός Κ=α Α. Με αιτία τη μονοτονίας της συνάρτησης log α (γνη-