ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές σε παρακάτω κεφάλαια. 5.1. Ορισµοί. Έστω ένας δακτύλιος. Για να δηλώσουµε ότι το Μ είναι ένα αριστερό - πρότυπο, θα χρησιµοποιούµε το συµβολισµό M. Ανάλογα, ο συµβολισµός σηµαίνει ότι το Μ είναι δεξιό -πρότυπο. Έστω M, N δύο -πρότυπα. Μια απεικόνιση f : M N G, όπου G είναι αβελιανή οµάδα, λέγεται -διπροσθετική αν (i) f ( +, = f (, + f (, (ii) f (, n + n ) = f (, + f (, n ) (iii) f ( r, = f (, r για κάθε, M, n, n N και r. M 5.1.1 Ορισµός. Έστω ένας δακτύλιος και M, N δύο πρότυπα. Τανυστικό γινόµενο των απεικόνιση M, N είναι µια αβελιανή οµάδα G και µια -διπροσθετική f : M N G που έχει την ιδιότητα: για κάθε αβελιανή οµάδα G και κάθε -διπροσθετική απεικόνιση : M N G M N G f G υπάρχει µοναδικός οµοµορφισµός οµάδων µεταθετικό (δηλαδή hf = ). h h : G G που καθιστά το διάγραµµα

62 5.1.2 Πρόταση (Μοναδικότητα). Έστω M, N δύο -πρότυπα. Αν f : M N G και : M N G είναι δύο τανυστικά γινόµενα των Μ και Ν, τότε G G. Απόδειξη: Από τα διαγράµµατα M N G h G f M N G h G συµπεραίνουµε ότι υπάρχουν οµοµορφισµοί h, h µε τις ιδιότητες hf = και h = f αντίστοιχα. Άρα = ( hh ). Συγκρίνοντας τώρα τα µεταθετικά διαγράµµατα M N G G h h η µοναδικότητα στον Ορισµό 5.1.1 δίνει h h = 1. Άρα ο h είναι ισοµορφισµός. G M N G G h h = G 1 G 1. Με ανάλογο τρόπο παίρνουµε 5.1.3 Πρόταση (Ύπαρξη). Έστω M, N δύο -πρότυπο. Τότε υπάρχει τανυστικό γινόµενό τους. Απόδειξη: Έστω F το ελεύθερο -πρότυπο λ M N, όπου για κάθε λ ισχύει λ. Έστω { λ} λ M N η κανονική βάση του F. Με F συµβολίζουµε το λ = e υποπρότυπο του F που παράγεται από τα στοιχεία e ( +, e(, e(, e (, n+ n ) e(, e(, n ) e e ( r, (, r για όλες τις επιλογές των, M, n, n N και r. Θέτουµε M N = F / F.

63 Το στοιχείο e(, + F του F / F συµβολίζεται µε n. Η απεικόνιση f : M N (, n M N είναι -διπροσθετική. Θα δείξουµε ότι ικανοποιεί τη συνθήκη του Ορισµού 5.1.1. Έστω : M N G -διπροσθετική απεικόνιση. Έστω : F G η - γραµµική επέκταση της (δηλαδή ο οµοµορφισµός -προτύπων που ορίζεται από e ) = f (, ) ). Επειδή η είναι -διπροσθετική ισχύει ( K) = 0. ( (, n Εποµένως η επάγει µια απεικόνιση h : F / F G, όπου h ( = (, για κάθε M, n N. Ισχύει βέβαια hf =. Το ότι ο οµοµορφισµός h είναι µοναδικός ως προς την ιδιότητα hf = συνάγεται από το γεγονός ότι τα στοιχεία f (,, όπου M, n N, αποτελούν ένα σύστηµα γεννητόρων του -προτύπου F / F. Σηµείωση Στα παρακάτω, όταν γράφουµε το τανυστικό γινόµενο των M, N θα εννοούµε την αβελιανή οµάδα M N : = F / F, που κατασκευάσαµε στην προηγούµενη απόδειξη, µαζί µε την -διπροσθετική απεικόνιση f : M N M N, που ορίζεται από f (, n : = e + F. Τονίζουµε = (, ιδιαίτερα ότι το n είναι µια πλευρική κλάση ως στοιχείο προτύπου πηλίκου. 5.1.4 Παρατήρηση. i) Ως -πρότυπο, το M N παράγεται από τα στοιχεία n, όπου M, n N. ηλαδή κάθε στοιχείο του M N είναι της µορφής r ( n ) + + r ( n ) 1 1 1... όπου 1, r, M, n N. Γενικά δεν αληθεύει ότι κάθε στοιχείο του M N i i i είναι της µορφής n.

64 ii) Στο M N ισχύουν οι σχέσεις 1 ( + ) n = n + n ( n + n ) = n + n για κάθε r n = rn, n M, n, n N και r. Από αυτές προκύπτουν οι σχέσεις 0N = 0M n= 0 M N, ( ) ( ) n= ( = n για κάθε M, n N. iii) Είναι δυνατόν να ισχύει n = 0 µε 0, n 0, ή ακόµα να ισχύει M N = 0 µε M 0 και N 0. Για παράδειγµα έστω M = και N = n µε µ.κ.δ (, = 1. Θα δείξουµε ότι = 0. Πράγµατι, υπάρχουν xy, µε την ιδιότητα 1 = x + yn. Έτσι για κάθε a και a b= n b n a1 b= ( ax + ay b = ax b + ayn b = ax b + ay nb = 0 b+ ay 0= 0. 5.2 Ιδιότητες Το τανυστικό γινόµενο M N (όταν ορίζεται) είναι -πρότυπο. Θα δούµε τώρα συνθήκες κάτω από τις οποίες καθίσταται πιο γενικό πρότυπο. Έστω, S δυο δακτύλιοι. Έστω Μ µια αβελιανή οµάδα που είναι ταυτόχρονα αριστερό S -πρότυπο και δεξιό -πρότυπο. Το Μ ονοµάζεται ( S, ) -διπρότυπο αν ισχύει ( s ) r = s( r) για κάθε s S, M και r. Τότε θα συµβολίζουµε το Μ 1 Σε πράξεις µε τανυσικά γινόµενα µπορούµε να χρησιµοποιούµε τις σχέσεις αυτές αγνοώντας την κατασκευή της Πρότασης 5.1.3.

65 µε S M. 5.2.1 Πρόταση. Έστω, S δυο δακτύλιοι. Τότε i) Για πρότυπα SM, N το M N είναι αριστερό S -πρότυπο µε δράση που ορίζεται από ii) Για πρότυπα από s( = s n ( s = ns. S M, N το M N είναι δεξιό S -πρότυπο µε δράση που ορίζεται Απόδειξη: i) Για σταθερό s, η απεικόνιση M N (, s n M N είναι -διπροσθετική. Εποµένως (Ορισµός 5.1.1) επάγει έναν οµοµορφισµό οµάδων Ορίζεται έτσι µια απεικόνιση M N n s n M N. S M N M N, ( s, s n που εύκολα ελέγχουµε ότι καθιστά την αβελιανή οµάδα απόδειξη του ii) είναι παρόµοια. M N S -πρότυπο. Η Σηµείωση Έστω ότι ο δακτύλιος είναι µεταθετικός. Tότε κάθε αριστερό πρότυπο Μ καθίσταται δεξιό πρότυπο µε εξωτερικό πολλαπλασιασµό που ορίζεται από r = r, όπου M, r, και εποµένως το Μ είναι ένα (,)- διπρότυπο. Έτσι το M N ορίζεται και είναι ένα -πρότυπο. 5.2.2 Πρόταση. Για κάθε δεξιό -πρότυπο Μ υπάρχει ισοµορφισµός δεξιών - προτύπων M M, και για κάθε αριστερό -πρότυπο Ν υπάρχει ισοµορφισµός αριστερών -προτύπων N N. Απόδειξη: Το είναι (, ) -διπρότυπο και συνεπώς (Πρόταση 5.2.1) το M είναι δεξιό -πρότυπο. Επειδή η απεικόνιση M M, (, r) r είναι -διπροσθετική, λαµβάνουµε έναν καλά ορισµένο οµοµορφισµό οµάδων

66 (Ορισµός 5.1.1) φ : M M, r r. Ο φ είναι οµοµορφισµός (δεξιών) -προτύπων. Ορίζοντας τον οµοµορφισµό - προτύπων εύκολα επαληθεύουµε ότι ψ : M M, 1 φ ψ 1 ψ φ = 1 = M και M, και άρα ο φ είναι ισοµορφισµός. Ο άλλος ισοµορφισµός της πρότασης αποδεικνύεται µε παρόµοιο τρόπο. Παράδειγµα Σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση έχουµε Q Q Q Q. Q 5.2.3 Πρόταση. i) Έστω πρότυπα M, N και L. Τότε υπάρχει ισοµορφισµός - προτύπων ( M N) L M L N L. ii) Έστω M, N και L. Τότε υπάρχει ισοµορφισµός -προτύπων L ( M N) L M L N. Απόδειξη: i) H απεικόνιση ( M N) L M L N L (( n, ), l) ( l, n l) είναι -διπροσθετική και άρα υπάρχει καλά ορισµένος οµοµορφισµός -προτύπων (Ορισµός 5.1.1) f : ( M N) L M L N L (, l ( l, n l). Στην αντίθετη κατεύθυνση, οι -διπροσθετικές απεικονίσεις M L (, l) (,0) l ( M N) L N L ( n, l) (0, l ( M N) L δίνουν καλά ορισµένους οµοµορφισµούς -προτύπων

67 g M : M L ( M N) L Ορίζουµε τον οµοµορφισµό -προτύπων g N : N L ( M N) L. g : M L N L ( M N) L ( l, n l ) g ( l) + g ( n l ) M N και ελέγχουµε ότι οι fg και gf είναι οι αντίστοιχες ταυτοτικές συναρτήσεις. ii) Παρόµοια. Ως άσκηση στους συµβολισµούς (!) αφήνουµε στον αναγνώστη να αποδείξει την ιδιότητα M i i L M i L. Όµως προσοχή: δεν ισχύει γενικά i M i L M i L. ες την άσκηση 1. i i 5.2.4 Πόρισµα. Έστω σώµα και πεπερασµένης διάστασης -διανυσµατικοί χώροι V και W µε αντίστοιχες βάσεις v,..., v } και w,..., w }. Τότε µία βάση του - { 1 { 1 n διανυσµατικού χώρου V W είναι το { v w1,..., v w }. 1 n Απόδειξη: Επειδή τα στοιχεία v w παράγουν το i j V W, αρκεί να δείξουµε ότι di ( V W) = n. Αν γράψουµε V, τότε υπάρχουν ισοµορφισµοί διανυσµατικών χώρων V W W ( W) ( W)... ( W) W W... W λόγω των Προτάσεων 5.2.3 και 5.2.2. Άρα di ( ) V W = di W. Σηµείωση Χρειάζεται προσοχή στο δακτύλιο του τανυστικού γινοµένου. Για

68 παράδειγµα, ενώ di ( C C ) = 2, έχουµε ( C C ) C di = 4. 5.2.5 Παραδείγµατα 1. Έστω G µια πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα. Τότε η G είναι πεπερασµένη αν και µόνο αν G Q = 0. Πράγµατι, αν η G είναι πεπερασµένη τάξης n, τότε για κάθε g G, a, b, b 0 έχουµε και άρα G Q = 0. a na a a g = g = ng = 0G = 0 b nb nb nb Αντίστροφα, έστω ότι G Q = 0. Επειδή η G είναι πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα, έχουµε G H, όπου H πεπερασµένη υποοµάδα της G και 0 (όπως προκύπτει από το θεώρηµα ταξινόµησης των πεπερασµένα παραγόµενων αβελιανών οµάδων). Τώρα από την Πρόταση 5.2.3 έχουµε ( H ) ( ) G Q Q Q και µε τη βοήθεια της Πρότασης 5.2.2 έχουµε ( ) ( ) 0 = Q Q... Q Q... Q. Άρα = 0. Τότε G = H που είναι πεπερασµένη. 2. Έστω ένας µεταθετικός δακτύλιος και Ι, J ιδεώδη του. Τότε υπάρχει ισοµορφισµός -προτύπων ( / I) ( / J) / ( I J) Πράγµατι, η απεικόνιση +. ( ) ( ) ( ) ( ) f I J I J r I r J rr I J / / : / / / +, +, + + +,

69 είναι διπροσθετική και άρα υπάρχει καλά ορισµένος οµοµορφισµός αβελιανών οµάδων ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Φ + + + + + / / : / I / J / I J, r I r J rr I J. Εύκολα επαληθεύεται ότι ο Φ είναι οµοµορφισµός -προτύπων. Στην αντίθετη κατεύθυνση, παρατηρούµε ότι ο οµοµορφιαµός -προτύπων ( ) ( ) ( ) ( ) g: / I / J, r r+ I 1+ J, έχει την ιδιότητα I + J efg. Συνεπώς επάγεται ένας οµοµορφισµός - προτύπων ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ψ : / I + J / I / J, r+ I + J r+ I 1+ J. Εύκολα επαληθεύεται ότι οι συνθέσεις ΦΨ, ΨΦ είναι οι αντίστοιχες ταυτοτικές συναρτήσεις και άρα ο Φ είναι ισοµορφισµός. 3. Έχουµε n d, όπου d = µκδ (,. Αυτό προκύπτει άµεσα από το προηγούµενο παράδειγµα για =, I = ( ), J = (. Αν Α και Β είναι δύο -άλγεβρες, τότε το τανυστικό γινόµενο A B καθίσταται - άλγεβρα µε πολλαπλασιασµό που ορίζεται από ( a b)( a b ) = aa bb, όπου a, a A και b, b B (γιατί είναι καλά ορισµένος;) Ασκήσεις 1. Έστω p πρώτος αριθµός. Τότε i ( i p / p ) i Q Q. i Q 2. i) Ποιο είναι το Q ;

70 ii) Έστω ένας µεταθετικός δακτύλιος, Ι ένα ιδεώδες του και Μ ένα - M πρότυπο. Τότε υπάρχει ισοµορφισµός -προτύπων M. I IM Με βάση αυτό δώστε µια νέα απόδειξη του Παραδείγµ. 5.2.5 3. 5. Έστω ένας δακτύλιος. i) Το τανυστικό γινόµενο δυο ελεύθερων -προτύπων είναι ελεύθερο. ii) Αν ο είναι µεταθετικός, τότε το τανυστικό γινόµενο δυο προβολικών - προτύπων είναι προβολικό. 6. Αληθεύει ότι το τανυστικό γινόµενο δύο -αλγεβρών διαίρεσης είναι πάντοτε - άλγεβρα διαίρεσης; 7. Έστω Α, Β δυο -άλγεβρες. i) Αν Ι και J είναι αµφίπλευρα ιδεώδη των Α, Β αντίστοιχα, τότε το I J είναι αµφίπλευρο ιδεώδες της άλγεβρας A B. ii) Έστω ότι di A, di B<. Αν η Α δεν είναι ηµιαπλή, τότε η A B δεν είναι απλή. (Υπόδειξη: Θεώρηµα 4.1.5) 8. Έστω ένα αλγεβρικά κλειστό σώµα. Τότε το τανυστικό γινόµενο δύο απλών - αλγεβρών του Artin είναι απλή -άλγεβρα του Artin. 9. i) Έστω GHδυο, πεπερασµένες οµάδες. Τότε υπάρχει ισοµορφισµός αλγεβρών G [ H] G [ ] H [ ]. ii) Έστω G µια πεπερασµένη αβελιανή οµάδα τάξης. Ποιο είναι το πλήθος των ανά δύο µη ισόµορφων απλών C [ G S3] -προτύπων, όπου S 3 είναι η οµάδα µεταθέσεων 3 συµβόλων;. Πόσα από αυτά έχουν διάσταση 1;