ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα. Αυτό το πρόγραμμα είναι αποδοτικό, ή έχει ένα σφάλμα Αυτό το πρόγραμμα δεν εκτελείται γρήγορα Αποδείξτε (χωρίς χρήση πινάκων αληθείας) ότι: Αυτό το πρόγραμμα έχει σφάλμα. [8] Απλοποιείστε (με οποιοδήποτε τρόπο) τις προτάσεις (i) [ p ( q r)] [( p q) r] και (ii) [( p q) r] [ p ( q r)]. Μετά την απλοποίηση, σε τι συμπεράσματα οδηγείστε σε σχέση με τις προτάσεις p ( q r) και ( p q) r ; Έστω Α η πρόταση Αυτό το πρόγραμμα είναι αποδοτικό, Γ: Αυτό το πρόγραμμα εκτελείται γρήγορα και Σ: Αυτό το πρόγραμμα έχει ένα σφάλμα Τα δεδομένα μας είναι: ΑΓ (1) Α Σ () Γ (3) Από (1) και (3) συμπεραίνουμε με Modus Tollens A (4) Από () και (4) συμπεραίνουμε με τον κανόνα του διαζευκτικού συλλογισμού Σ που είναι και το ζητούμενο (i) [ p ( q r)] [( p q) r] [ p ( q r)] [ ( p q) r] [ p ( q r)] [ ( p q) r] ( p q r) ( p q r) T (ii) [( p q) r] [ p ( q r)] [ ( p q) r] [ p ( q r)] ( p q r) ( p q r) T Άρα, η πιο απλοποιημένη μορφή που μπορούν να πάρουν και οι δύο προτάσεις είναι «T». Παρατηρούμε ότι οι προτάσεις (i) και (ii) είναι ταυτολογίες, συνεπώς και η πρόταση [ p ( q r)] [( p q) r] είναι ταυτολογία, ισχύει δηλαδή ότι Σελίδα 1 από 8
[ p ( q r)] [( p q) r], άρα οι προτάσεις (i) και (ii) είναι ισοδύναμες Θέμα : [17 μονάδες] Έστω οι προτάσεις Α=«Κάποιος φοιτητής του ΗΥ118 δεν διάβασε το βιβλίο», Β=«Όλοι οι φοιτητές του ΗΥ118 πέρασαν το μάθημα» και Γ= «Κάποιος φοιτητής του ΗΥ118 που πέρασε το μάθημα δεν διάβασε το βιβλίο». [6] Εκφράστε τις προτάσεις Α, Β και Γ σε κατηγορηματικό λογισμό. Πρέπει να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές ορισμένες στο σύνολο όλων των φοιτητών του Τμήματος (όχι μόνο του ΗΥ118). [4] Γράψτε σε κατηγορηματικό λογισμό την άρνηση των προτάσεων Α, Β και Γ, μεταφέροντας την άρνηση όσο το δυνατόν πλησιέστερα στις προτασιακές μορφές. c. [7] Αποδείξτε ότι η πρόταση Γ προκύπτει λογικά από τις προτάσεις Α και Β. Έστω: Μ(x): O x είναι φοιτητής του ΗΥ118 Δ(x): Ο x διάβασε το βιβλίου του ΗΥ118 Π(x): O x πέρασε το ΗΥ118, με Π.Ο. του x το σύνολο των φοιτητών του Τμ. Επ. Υπολογιστών. Οι προτάσεις γράφονται ως: Α: x( M ( x) ( x)) Β: x( M ( x) Π ( x)) Γ: x( Μ( x) Π( x) ( x)) A: ( x( M ( x) ( x))) x ( M ( x) ( x)) x( M ( x) ( x)) x( M ( x) ( x)) Β: ( x( M ( x) Π( x))) x ( M ( x) Π( x))) x( M ( x) Π ( x))) Γ: ( x( Μ( x) Π( x) ( x))) x ( Μ( x) Π( x) ( x))) x( Μ( x) Π( x) ( x))) c. Από την πρόταση Α γνωρίζουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας φοιτητής του ΗΥ118 που δεν διάβασε το βιβλίο. Έστω ότι ο Ο είναι ένας απο αυτούς. Άρα M ( O) ( O) (1) Η πρόταση Β ισχύει για όλους τους φοιτητές του ΗΥ118, άρα και για τον Ο, οπότε M ( O) Π ( O) () Από τις (1) και () προκύπτει ότι Π(Ο) αλλά και ( O) Σελίδα από 8
Υπάρχει λοιπόν τουλάχιστον ένας (ο Ο) για τον οποίο ισχύει M ( O) ( O) Π( Ο ) που είναι ακριβώς η πρόταση Γ. Θέμα 3: [16 μονάδες] [8] Αποδείξτε με δύο διαφορετικούς τρόπους ότι «αν ο n είναι άρτιος τότε και ο n -4n+6 είναι άρτιος». [8] Έστω το εξής θεώρημα: Για κάθε φυσικό αριθμό n, το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών που είναι μικρότεροι από αυτόν δεν είναι ίσο με n. Έστω επίσης και η παρακάτω επιχειρούμενη απόδειξη: Με αντίφαση: Ας υποθέσουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n, το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών που είναι μικρότεροι από αυτών είναι ίσο με n. Παρατηρώ ωστόσο ότι 5 1 + + 3 + 4 = 10. Αντίφαση. Επομένως το θεώρημα ισχύει. Είναι η παραπάνω απόδειξη ορθή; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Άμεση απόδειξη: Έστω n άρτιος. Τότε n = k για κάποιον ακέραιο k n -4n+6 = (k) -4(k)+6 = (k -4k+3). O k είναι ακέραιος, άρα και ο m=k -4k+3 είναι ακέραιος και τελικώς ο n -4n+6=m είναι άρτιος. ο.ε.δ. Απαγωγή σε άτοπο Έστω n άρτιος και n -4n+6 περιττός. Υπάρχουν δηλαδή k και m Z τέτοιοι που: n=k και n -4n+6=m+1. n -4n+6=m+1 n -4n+4+=m+1 (n-) =m-1 (k-) =m-1 (k-1) =m-1 Το πρώτο μέλος της ισότητας είναι άρτιος αριθμός ενώ το ο είναι περιττός. Άτοπο. Άρα η υπόθεσή μας είναι λανθασμένη Έμμεση απόδειξη Έστω ότι ο n -4n+6 είναι περιττός. Υπάρχει δηλαδή k Z τέτοιο που n -4n+6 = k+1 n -4n+4+ = k+1 (n-) =k-3. O k-3 είναι περιττός άρα και ο (n-) είναι περιττός, οπότε και ο n- είναι περιττός και τελικά ο n είναι επίσης περιττός Με μαθηματική επαγωγή Βάση της επαγωγής Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε επαγωγική απόδειξη. Ωστόσο, χρειάζεται προσοχή! Η πρόταση, όπως είναι διατυπωμένη, αναφέρεται σε όλους τους άρτιους n. Επομένως, θα πρέπει η επαγωγή να γίνει για όλους τους ακεραίους k, με n=k. Για k=1, n= κι επομένως, n -4n+6=4-8+6= Ισχύει Επαγωγική Υπόθεση Σελίδα 3 από 8
Υποθέτω ότι πρόταση για κάποιο k, δηλαδή ότι (k) -4(k)+6= 4k -8k+6 είναι άρτιος (έστω m) Επαγωγικό βήμα Θα αποδείξω ότι ισχύει για k+1. Τότε, n=(k+1)=k+ n -4n+6= (k+) -4(k+)+6=4k +8k+4-8k-8+6=(4k -8k+6)+8k-4 = m+(4k-) που είναι άρτιος ακέραιος. Έστω P(n) η πρόταση: «Το άθροισμα όλων των φυσικών που είναι μικρότεροι από το n ισούται με n με Π.Ο του n το. Το θεώρημα μας λέει ότι η πρόταση n P( n) ισχύει Για να χρησιμοποιήσουμε την αποδεικτική διαδικασία με αντίφαση πρέπει να υποθέσουμε ότι το θεώρημα δεν ισχύει και να καταλήξουμε σε άτοπο. Να υποθέσουμε δηλαδή ότι ισχύει η πρόταση ( n P( n)) και με βάση αυτό να καταλήξουμε σε άτοπο. Αλλά ( n P( n)) np( n) (1) Ωστόσο, το θεώρημα απλώς υποστηρίζει ότι n P( n) που προφανώς δεν είναι ισοδύναμο με το (1). Επομένως, η αποδεικτική διαδικασία είναι εσφαλμένη. Θέμα 4: [16 μονάδες] [8] Τρία νέα μοντέλα κινητών τηλεφώνων (τα A, B και C) δοκιμάστηκαν σε 40 άτομα προκειμένου να διαπιστωθεί η χρηστικότητά τους. Τα τεστ έδωσαν τα εξής αποτελέσματα: 3 άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι από το κινητό A. 18 άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι από το κινητό B. 31 άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι από το κινητό C. 11 άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι και από τα δύο κινητά A και B. 19 άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι και από τα δύο κινητά A και C. 14 άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι και από τα δύο κινητά B και C. 37 άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι από τουλάχιστον ένα από τα κινητά. 1. Πόσα άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι και από τα τρία κινητά;. Πόσα άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι από ακριβώς ένα κινητό; [8] Έστω σύνολο X={(ø, a)} και το σύνολο Y={a, (c,ø)}. Υπολογίστε (1) τα δυναμοσύνολα P(X) και P(Y) των συνόλων X και Y, αντίστοιχα () το καρτεσιανό γινόμενο P(X)x P(X). Έστω Α,Β και Γ τα σύνολα των ανθρώπων που ικανοποιήθηκαν από τα κινητά Α, Β και C αντίστοιχα. Γνωρίζουμε ότι: Α =3 Β =18 Γ =31 Α Β =11 Α Γ =19 Β Γ =14 Α Β Γ =37 Σελίδα 4 από 8
1. Ζητείται το Α Β Γ Ξέρουμε ότι Α Β Γ = Α + Β + Γ - Α Β - Α Γ - Β Γ + Α Β Γ 37=3+18+31-11-19-14+ Α Β Γ Α Β Γ =9. Για ευκολία χρησιμοποιούμε διάγραμμα Venn Θέλουμε να υπολογίσουμε τον πληθικό αριθμό του τμήματος που είναι σκιασμένο (α+β+γ) Γνωρίζουμε ότι α+ε+δ+η=3 β+ε+η+ζ=18 δ+η+ζ+γ=31 δ+η=19 ε+η=11 η+ζ=14 και από το προηγούμενο ερώτημα η=9 Από το παραπάνω σύστημα εξισώσεων προκύπτει ότι α=, β=, γ=7 και τελικά το ζητούμενο α+β+γ=11 X={(,a)}, Y={a,(c, )} P(X)={, {(,a)}} P(Y)= {, {a}, {(c, )}, {a,(c, )}} Σελίδα 5 από 8
P(X) P(X) = {(, ), (,{(,a)}), ({(,a)}, ), ({(,a)}, {(,a)})} Θέμα 5: [16 μονάδες] [8] Η αρχή του περιστερώνα διατυπώνεται ως εξής: «Αν τοποθετήσεις περισσότερα από n αντικείμενα σε n θέσεις, τότε αναγκαστικά θα τοποθετήσεις τουλάχιστον δύο αντικείμενα σε μία θέση». Αποδείξτε επαγωγικά την αρχή αυτή για όλους τους ακεραίους n> 0. [8] Αποδείξτε επαγωγικά ότι για όλους τους ακεραίους n> 1 ισχύει ότι: Βάση της επαγωγής Για n=1 η αρχή διατυπώνεται «Αν τοποθετήσεις περισσότερα από 1 αντικείμενα σε 1 θέση, τότε αναγκαστικά θα τοποθετήσεις τουλάχιστον δύο αντικείμενα σε μία θέση» που προφανώς ισχύει Επαγωγική υπόθεση (για n=k) Έστω ότι ισχύει η αρχή: «Αν τοποθετήσεις περισσότερα από k αντικείμενα σε k θέσεις, τότε αναγκαστικά θα τοποθετήσεις τουλάχιστον δύο αντικείμενα σε μία θέση». Επαγωγικό Βήμα (για n=k+1) Θέλω να αποδείξω ότι «Αν τοποθετήσεις περισσότερα από k+1 αντικείμενα σε k+1 θέσεις, τότε αναγκαστικά θα τοποθετήσεις τουλάχιστον δύο αντικείμενα σε μία θέση» Ας αριθμήσουμε τις θέσεις από 1 έως k+1. Για την πληρότητα της απόδειξης θα εξετάσω όλες τις περιπτώσεις (ακόμη και τις τετριμμένες) - Αν στη θέση k+1 τοποθετήσω περισσότερα από 1 αντικείμενα η αρχή ισχύει - Αν στη θέση k+1 τοποθετήσω 1 μόνο αντικείμενο από τα m>k+1 αντικείμενα μου μένουν m-1 αντικείμενα να τα τοποθετήσω στις υπόλοιπες k θέσεις. Αλλά m>k+1 m-1>k Το πρόβλημα λοιπόν ανάγεται στην τοποθέτηση περισσότερων από k αντικειμένων σε k θέσεις, οπότε από την υπόθεση η αρχή ισχύει. - Αν στη θέση k+1 δεν τοποθετήσω αντικείμενο, τότε πάλι στις υπόλοιπες k θέσεις θα πρέπει να τοποθετήσω m>k+1>k αντικείμενα, που επαληθεύει την αρχή από την υπόθεση. Βάση της επαγωγής Για n= 1 1 3 + 1 (1 ) = 1 = = ο.ε.δ. i= i 4 Επαγωγική υπόθεση Σελίδα 6 από 8
Έστω ότι για n=k k i= 1 k+ 1 (1 ) = i k Επαγωγικό Βήμα ο.ε.δ. Θα αποδείξω ότι ισχύει και για n=k+1 k+ 1 k 1 1 1 (1 ) = (1 ) (1 ) = ( από υπόθεση ) i= i i= i ( k+ 1) k+ 1 1 k+ 1 ( k+ 1) 1 k+ 1 k + k (1 ) = = = k ( k+ 1) k ( k+ 1) k ( k+ 1) k+ 1 k( k+ ) k+ = ( k+ 1) + k ( k 1) Θέμα 6: [14 μονάδες] [7] Για δύο οποιαδήποτε σημεία ( a, b ) και ( a, b) ( c, d) a + b = c + d. (, ) c d R ορίζουμε τη σχέση ως εξής: 1. Αποδείξτε ότι η σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας επί του R.. Βρείτε όλα τα στοιχεία του συνόλου {( x, y) R : ( x, y) (0,0)}. 3. Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία της κλάσης ισοδυναμίας του σημείου (3, 4). [7] Πόσες είναι όλες οι σχέσεις ισοδυναμίας που μπορούμε να ορίσουμε επί του συνόλου Α = {1,, 3}; 1. (a,b) (a,b) μια και προφανώς a +b = a +b. Άρα ισχύει η ανακλαστική ιδιότητα. (a,b) (b,a) μια και λόγω της αντιμεταθετικότητας της πρόσθεσης a +b = b +a.άρα ισχύει η συμμετρική ιδιότητα. Αν (a,b) (c,d) και (c,d) (e,f) τότε a +b = c +d = e +f οπότε (a,b) (e,f). Άρα ισχύει και η μεταβατική ιδιότητα. Επομένως η είναι σχέση ισοδυναμίας.. (x,y) (0,0) x +y =0 x=0 και y=0. Το ζητούμενο σύνολο είναι το {(0,0)} 3. [(3,4)] = {(x,y) R x +y = 3 +4 =5} Τα ζητούμενα σημεία είναι εκείνα για τα οποία ισχύει x +y =5 και γεωμετρικά ανήκουν σε ένα κύκλο με κέντρο το (0,0) και ακτίνα 5. Σελίδα 7 από 8
Μια σχέση ισοδυναμίας διαμερίζει το σύνολο επί του οποίου είναι ορισμένη σε κλάσεις ισοδυναμίας. Πιο συγκεκριμένα, γνωρίζουμε ότι υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση μεταξύ κλάσεων ισοδυναμίας και διαμερίσεων του συνόλου στο οποίο είναι ορισμένη η σχέση ισοδυναμίας. Επομένως, για να μετρήσουμε όλες τις δυνατές σχέσεις ισοδυναμίας, αρκεί να μετρήσουμε όλες τις δυνατές διαμερίσεις. Όλες οι δυνατές διαμερίσεις του Α είναι οι παρακάτω: {{1}, {}, {3}} {{1,}, {3}} {{1}, {,3}} {{1,3}, {}} {{1,,3}} Επομένως, δεδομένου ότι υπάρχουν 5 δυνατές διαμερίσεις, υπάρχουν και 5 δυνατές σχέσεις ισοδυναμίας. Θέμα 7: [15 μονάδες] Έστω το σύνολο A = {a, b, c, d, e, f} επί του οποίου ορίζουμε τη σχέση R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (f, f), (a, b), (a, c), (a, d), (d, e), (e, f), (a, e), (a, f), (d, f)}. [5] Αποδείξτε ότι η R είναι σχέση μερικής διάταξης [5] Σχεδιάστε το διάγραμμα Hasse της R. c. [5] Βρέστε μια μέγιστη αλυσίδα και μια μέγιστη αντιαλυσίδα της R. H σχέση έχει την ανακλαστική ιδιότητα (όλα τα ζεύγη της μορφής (x,x) x A, ανήκουν στην R, την αντισυμμετρική (η μόνη περίπτωση που ζεύγη tης μορφής (x,y) και (y,x) ανήκουν στην R είναι για x=y και τη μεταβατική ιδιότητα (για όλα τα (x,y) και (y,z) που ανήκουν στην R παρατηρώ ότι και το (x,z) ανήκει στην R). Άρα είναι σχέση μερικής διάταξης c. Μια μέγιστη αλυσίδα είναι το σύνολο {a,d,e,f } Μια μέγιστη αντιαλυσίδα είναι το { b,c,f} Σελίδα 8 από 8