ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΚΙ ΜΕΒΛΗΗ ΡΟΠΗ Οογενής δίσκος άζας m=kg και ακτίνας =,5m ηρεεί σε οριζόντιο είεδο ε το οοίο αρουσιάζει συντελεή τριβής s =,5. Στην εριφέρεια του δίσκου έχει τυλιχτεί νήα αελητέας άζας ο ελεύερο άκρο του οοίου τη χρονική ιγή = ασκείται οριζόντια εξωτερική δύναη F. ο έτρο της δύναης F δίνεται αό τη σχέση F=3-6 (S.I) όου = η γωνία εριροφής του δίσκου. Η δύναη F ετά το ηδενισό του έτρου της καταργείται.. Να ελετηεί η κίνηση του δίσκου έχρι τη χρονική ιγή ου ηδενίζεται το έτρο της δύναης F. Β. η χρονική ιγή = ου αρχίζει να ειδρά ο δίσκο η δύναη F να υολογιούν: Β. Η αρχική γωνιακή ειτάχυνση του δίσκου. Β. Ο ρυός εταβολής της ροφορής του δίσκου. Γ. Να υολογιεί η έγιη τιή της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου. Δ. Όταν ο δίσκος έχει ραφεί κατά γωνία = rad: K F Δ. Να υολογιεί ο ρυός αραγωγής έργου αό τη δύναη F. Δ. ν αναλύσουε την κίνηση του δίσκου σε ία εταφορική και ία ροφική κίνηση ερί άξονα ου διέρχεται αό το κέντρο άζας και είναι κάετος ο είεδο της κίνησης, να υολογιούν οι ρυοί εταβολής της κινητικής dk ενέργειας της εταφορικής και ροφικής κίνησης, dk και αντίοιχα. Δ 3. Με τη βοήεια κατάλληλων εωρηάτων ή αρχών να εριγραφούν οι ενεργειακοί ετασχηατισοί ου συβαίνουν και να γίνει η αριητική τους εαλήευση για την χρονική ιγή ου ο δίσκος έχει ραφεί κατά γωνία = rad. Δίνονται: g=m/s, =, = και η ροή αδρανείας του δίσκου ως ρος άξονα ου διέρχεται αό το κέντρο άζας του και είναι κάετος σε αυτόν Ι κ = m. ΠΝΗΣΗ. Στο αελητέας άζας νήα ασκούνται η δύναη F και η δύναη αό το δίσκο Σ F = T ' = F (). T '. Για το νήα ισχύει ό το νήα ασκείται ο δίσκο η δύναη T. λλά () T =- T ' T = F T = 3 6 (S.I) (). ' K Ν Γ + + F - -
Στο δίσκο είσης ασκούνται οι δυνάεις του βάρους του και η δύναη τριβής. Εειδή Σ F y = N= N= mg (3)., η κάετη αντίδραση Ν Η οριακή (έγιη) τιή της ατικής τριβής είναι, ορ = s N, ορ = s mg, ορ =,5 = N (). Έω ότι ο δίσκος α εκτελέσει κύλιση χωρίς ολίσηση. ν α cm η ειτάχυνση του α κέντρου άζας του δίσκου και α γων η γωνιακή του ειτάχυνση, ισχύει α γων = cm (5). ό το Θ.Ν.Μ για τη εταφορική κίνηση του δίσκου: ΣF=mα cm + = mα cm (6). ό το Θ.Ν.Μ για τη ροφική κίνηση του δίσκου, εωρώντας ως ετικές τις δεξιόροφες ροές έχουε: (5) Στ (Κ) : Ι (Κ) α γων - = m α γων (- )=mα cm (7) ό (6) και (7) = T 3 (8α) () =- (S.I) (8) η χρονική ιγή = ο δίσκος ηρεεί και =. ό την (8) για = έχουε = Ν<, ορ =Ν, άρα ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισαίνει. ό τη σχέση (8) ροκύτει ότι καώς ο δίσκος ρέφεται η ελαττώνεται άρα η συνήκη της κύλισης χωρίς ολίσησης α ικανοοιείται έχρι το ηδενισό της F. ό τις (6) και (8) ροκύτει α cm = (S.I) (9) και αό (5) και (9) α γων =- (S.I) (). ό τις (9) και () ροκύτει ότι ο δίσκος κυλίεται χωρίς ολίσηση ειταχυνόενος ε ελαττούενη ειτάχυνση. (3) α γων Β. Για = αό τη (): = rad/s Β. ό το Θ.Ν.Μ για τη ροφική κίνηση του δίσκου dl dl ( = ) = Στ(Κ) = I(K) αγων m α ( = ) = γων και ε αριητική αντικατάαση dl kg m ( = ) =. s Γ. Η γωνιακή ταχύτητα γίνεται έγιη όταν ο δίσκος αύει να ειταχύνεται. () Δηλαδή α γων = = rad. υτή είναι η γωνία ου α έχει εριραφεί ο δίσκος τη χρονική ιγή ου γίνεται έγιη η γωνιακή του ταχύτητα. ος τρόος Θεωρούε ότι η κύλιση χωρίς ολίσηση έχει αναλυεί σε ία εταφορική κίνηση ου αντιροσωεύεται αό την κίνηση του κέντρου άζας του και σε ία ροφική κίνηση ερί άξονα ου διέρχεται αό το κέντρο άζας του και είναι κάετος ο είεδο της κίνησής του. Εφαρόζουε το Θ.Ε.Ε για τη ροφική κίνηση του δίσκου και για γωνία ροφής rad : τ - T τ = T I (K) ω max (). - -
Οι ροές της και της είναι εταβλητού έτρου και ροκύτουν αό τις σχέσεις: τ =(3-6) τ = 3 (8) -3 (S.I) και τ = (-) τ = - (S.I) και τα έργα τους υολογίζονται γραφικά αό τα αντίοιχα διαγράατα τ-: Θ(rad) τ (Nm) 3 τ (Nm) 3 τt K Γ Γ x K Θ(rad) Διάγραα τ (Nm) Θ(rad) τ (Nm) τ T Θ(rad) Διάγραα ό τα διαγράατα () και () αντίοιχα ροκύτουν: 3 =3,75J () τ = T τ = T =,5J (3) () ό () 3,75-,5= (3) ωmax ω max = rad/s= rad/s ος τρόος Εφαρόζουε το Θ.Ε.Ε για τη εταφορική κίνηση του δίσκου εωρώντας ότι όλες οι δυνάεις έχουν εταφερεί ο κέντρο άζας Κ του δίσκου. Εειδή ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισαίνει η ετατόιση x του κέντρου άζας συνδέεται ε τη - 3 -
γωνία ροφής του ε τη σχέση: x=. Με τη βοήεια της σχέσης αυτής οι εκφράσεις () και (8) ας δίνουν αντίοιχα τα έτρα των δυνάεων και σε συνάρτηση ε τη ετατόιση x του κέντρου άζας: =3-x (S.I) και T =-x (S.I) ε x m + = m υ (). cmmax α έργα των δυνάεων και υολογίζονται γραφικά αό τα διαγράατα -x και -x. T (N) x(m) 3 T (N) 3 T x(m) x(m) T (N) T (N) Διάγραα 3 T Διάγραα x(m) ό τα διαγράατα (3) και () αντίοιχα ροκύτουν: = 3=3,75J (5) T T = =,5J (6) - -
(5) ό () 3,75+,5= (6) mυ cmmax υ cmax =,5 m/s ω max =,5 ω max = rad/s= rad/s 3 ος τρόος Θεωρούε την κύλιση χωρίς ολίσηση ως ία σύνετη κίνηση και εφαρόζουε το Θ.Ε.Ε για γωνία ροφής rad : + = m υ + I cmmax (K) ω max, όως το έργο της είναι ηδέν =. Άρα = mω max 3 + m ωmax = mω max (7). Όως το σηείο εφαρογής της κάε ιγή έχει ταχύτητα υ =υ CM +υ ε υ διότι για την ειτρόχιο ταχύτητα υ ε λόγω της ροφικής κίνησης ισχύει υ ε =υ CM. Άρα dx A dx = dxa = dx δηλαδή το σηείο ετατοίζεται κατά x =x =, x A όταν το κέντρο άζας ετατοίζεται κατά x.με τη βοήεια της σχέσης = η () δίνει =3-6x A (S.I) ε x m ο έργο της δύναης υολογίζεται γραφικά αό το διαγράα -x. =υ CM T (N) X (m) 3 T (N) 3 x (m) Διάγραα 5 ό το διάγραα (5) ροκύτει: T = 3 (8) =7,5 J (8). ό (7) ωmax= rad/s= rad/s. - 5 -
ος τρόος Ο δίσκος εκτελεί ία όνο ροφική κίνηση ερί ιγιαία ακίνητο άξονα ου διέρχεται αό το σηείο εαφής Γ του δίσκου ε το είεδο κύλισης και είναι κάετος σε αυτόν. Εφαρόζουε άλι το Θ.Ε.Ε : τ + T τ = T Seiner : I = I +M (Γ) (Κ).λλά = και ε εφαρογή του Θεωρήατος T τ I (Γ) = τ 3 m.άρα τ = T 3 m ω max (9) Η έκφραση της ροής της ως ρος το σηείο Γ είναι: τ = τ (Γ) =3-6 (S.I) και το έργο της υολογίζεται γραφικά: (Γ) () τ (Nm) τ (Γ) Θ(rad) (Nm) 3 3 3 3 ό το διάγραα (6) ροκύτει : τ T Θ(rad) Διάγραα 6 τ = 3 3 T () =7,5 J ().ό (9) ω max = rad/s= rad/s. Δ.Ο ρυός αραγωγής έργου αό τη δύναη F (ιγιαία ισχύς) είναι: df df df =Fυ =Fυ cm =Fω().H ιγιαία τιή της γωνιακής ταχύτητας ω όταν ο δίσκος έχει ραφεί κατά γωνία ˆ = rad υολογίζεται ε εφαρογή του Θ.Ε.Ε: τ = T 3 m ω (). ό το διάγραα (6) ροκύτει: τ = T (3 + 3 ) =5,65 J (3). (3) ό () 5,65= d F = 3 ω ω= 7,5 rad/s.(). ό () () ˆ= (3-6 ) 7,5 d d F =,5 7,5 F = 7,5 3 J/s (5) - 6 -
Δ.Ο ρυός εταβολής της κινητικής ενέργειας της εταφορικής κίνησης ην οοία αναλύηκε η σύνετη κίνηση είναι : =ΣF υ cm =ma cm υ cm = ma cmω (9) =m(-)ω ˆ= () = 7,5 =5 3 J/s (6). O ρυός εταβολής της κινητικής ενέργειας της ροφικής κίνησης ερί άξονα ου διέρχεται αό το κέντρο άζας είναι : ρ =Στ (Κ) ω ρ () = I(Κ) αγωνω ρ = Ι (Γ) ω (-)ω ˆ= () ρ = 7,5 ρ =,5 3 J/s (7). Δ 3.Άν εωρήσουε ότι η κύλιση χωρίς ολίσηση αναλύεται σε ία εταφορική κίνηση ου εριγράφεται ε την κίνηση του κέντρου άζας και ία ροφική κίνηση ερί άξονα ου διέρχεται αό το κέντρο άζας, τότε οι ενεργειακοί ετασχηατισοί ορούν να εριγραφούν ως εξής: Η ενέργεια ου ροσφέρεται ο δίσκο έσω του έργου της F ( F ), αφ ενός εν ετατρέεται έσω του έργου της ( T ) σε κινητική ενέργεια της εταφορικής κίνησης,αφ ετέρου δε έσω του έργου της ροής της ( τ ) ετατρέεται κατά ένα έρος της σε κινητική ενέργεια της ροφικής κίνησης και το υόλοιο καταναλώνεται ως έργο της ροής της ( τ ) η οοία αντιτίεται ην ροφική κίνηση του δίσκου. υτό το ίδιο οσό ενέργειας αοδίδεται έσω του έργου της ( ) ως κινητική ενέργεια ην εταφορική κίνηση.σχηατικά τα ροηγούενα αοδίδονται ως εξής: F Κ T τ τ T Κ ρ ροιικά για τις δύο κινήσεις έχουε: T + T + - τ + T τ = Κ + Κ ρ τ = Κ + Κ ρ η σχέση αυτή αοτελεί την έκφραση της ρχής Διατήρησης της Ενέργειας η οοία τη χρονική ιγή ου ο δίσκος έχει ραφεί - 7 -
κατά γωνία = rad ορεί να ετατραεί σε ρχή Διατήρησης της Ενέργειας ην ονάδα του χρόνου (ρχή Διατήρησης της Ισχύος) ως εξής: d T d τ + = + + ρ ρ () υ cm + τ ω= + + ρ ρ ω + ω = (3-6)ω = 7,5 3 J/s= + (6) ρ 7,5 3 J/s= 5 3 J/s +,5 3 J/s. (7) λούερα, για τη ροφική κίνηση ερί άξονα ου διέρχεται αό το Γ, η ρχή d Διατήρησης της Ενέργειας δίνει : τ τ =K ρ(γ) = ρ(γ) ω = ρ(γ) ω = ρ(γ) ω = ( Ι (Γ) ω ) ω = Ι = η τελευταία σχέση αοτελεί την έκφραση (Γ) ωα γων Ι(Γ) αγων του Θεελιώδους Νόου της Μηχανικής για την ροφική κίνηση του δίσκου ερί άξονα ου διέρχεται αό το Γ και είναι κάετος ο δίσκο. Σχηατικά: ˆ= () F τ K ρ. (Γ) ΠΡΗΡΗΣΕΙΣ. Ο αναλυτικός υολογισός του έργου της ροής της, τ ον ο τρόο και τον υολογισό του έργου της, T ον ο τρόο, ορεί να αοφευχεί ως εξής : ο έργο της ροής της γράφεται τ = Σ Δ τ τ = τ Σ Δ τ = Σ Δ τ =Σ Δ () ο έργο της ροής της αντίοιχα γράφεται τ = Δ Σ τ τ = Σ τ Δ τ = Σ Δ =Σ Δ (8 α) =Σ 3 Δ τ τ κατά έλη των () και (): τ T τ =3 τ τ = 3 = 3 Σ Δ ().Με διαίρεση τ. Η διαδικασία αυτή ορεί να εωρηεί το "ηχανικό ανάλογο" της διαδικασίας ου ακολουείται σε κυκλώατα ου διαρρέονται αό ρεύατα εταβλητής έντασης όταν έλουε να ειερίσουε το συνολικό οσό ερότητας ου ανατύσσεται λόγω φαινοένου - 8 -
Joule ις ειέρους αντιάσεις και του κυκλώατος: Q Q Q = = Q ΣiΔ Σi Δ Σi Δ Σi Δ Q = Q Σi Δ Σi Δ Q =. Q. Ο υολογισός των διαφόρων ενεργειακών ρυών ορεί ροφανώς να γίνει και ε την χρήση αραγώγων. Στην αρουσίαση αυτή το αοφύγαε ροκειένου να φανεί ο ρόλος των διαφόρων δυνάεων και ροών ους ενεργειακούς ετασχηατισούς. * Η ανάρτηση αυτή αφιερώνεται σ' όλους όσους όχησαν ροσαώντας να διεκδικήσουν την εισαγωγή τους ην ριτοβάια Εκαίδευση, σ' αυτούς ου έχουν ακόα ζωντανή τη φλόγα και ιεύουν ην αυταξία των σουδών. Συτωατικά έαα αό το δίκτυο ότι ις φετινές εξετάσεις συετέχει και ο γιος του συναδέλφου Γ. Κυριακόουλου. Μαζί ε τις ευχές ου για ειτυχία τους αφιερώνω αυτή την ανάρτηση. - 9 -