ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 0 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f(x)+g(x)) f (x)+g (x), x R Μονάδες 7 Α. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο xo του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Α. Αν x, x,, xv είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w, w,, wv είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας), να ορίσετε τον σταθμικό μέσο της μεταβλητής Χ. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν για τη συνάρτηση f ισχύουν f (xo)0 για xo (α,β), f (x)>0 στο (α, xο) και f (x)<0 στο (xo, β), τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο διάστημα (α,β) για xxo. β) Ένα τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο. γ) Η διακύμανση των παρατηρήσεων μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ εκφράζεται με τις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. δ) Αν για τους συντελεστές μεταβολής των δειγμάτων Α και Β ισχύει CVB>CVA, τότε λέμε ότι το δείγμα Β εμφανίζει μεγαλύτερη ομοιογένεια από το δείγμα Α. ε) Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε η έκφραση «η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β» δηλώνει ότι Α Β. Μονάδες 0
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 86 87 Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Έστω Α, Β και Γ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, A B και A B ανήκουν στο σύνολο λύσεων της εξίσωσης (x ) (8x 6x+)0. Η πιθανότητα του ενδεχομένου Γ ανήκει στο σύνολο λύσεων της εξίσωσης9x x 0. Β. Να αποδείξετε ότι,p(a B) 4 και P(A B). Μονάδες Β. Να υπολογίσετε την πιθανότητα P(A B ), καθώς επίσης και την πιθανότητα του ενδεχομένου Δ: «πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β». Μονάδες 8 Β. Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Ε: «πραγματοποιείται μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β». Μονάδες 6 Β4. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα. Μονάδες 6 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Β. Έχουμε (x )(8x 6x+)0 x 0 ή 8x 6x+0, με Δ( 6) 4 8 6 4>0 6 + 4 8 6 4 x ή x ή x 8 6 8 4 άρα το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης είναι L{,, 4 }. Επειδή Α Β Α τότε Ρ(Α Β) Ρ(Α) () και Α Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Α Β) () Α Β Ω τότε από (), (), ισχύει: Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β) Επειδή οι πιθανότητες Ρ(Α Β), Ρ(Α), Ρ(Α Β) ανήκουν στο σύνολο L και Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β), 4 < < τότε ισχύει Ρ(Α Β) 4, Ρ(Α) και Ρ(Α Β) Β. Επειδή ισχύει Α Β Α (Β ) Β Α Β Α οπότε Ρ(Α Β )Ρ(Β Α)Ρ(Β) Ρ(Α Β) ()
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Όμως Ρ(Α Β)Ρ(Α)+Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Β)Ρ(Α Β) Ρ(Α)+Ρ(Α Β) Ρ(Β) +4 Ρ(Β) (4) Από τις (), (4) έχουμε: Ρ(Α Β )Ρ(Β) Ρ(Α Β) 4 6 Είναι Δ(Α Β) άρα Ρ(Δ)Ρ((Α Β) ) Ρ(Α Β) 4 4 Β. Είναι Ε(Α Β) (Β Α) με Α Β, Β Α ασυμβίβαστα. Από τον Απλό Προσθετικό Νόμο, έχουμε: Ρ(Ε)Ρ[(Α Β) (Β Α)]Ρ(Α Β)+Ρ(Β Α) Ρ(Α) Ρ(Α Β)+Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α)+Ρ(Β) Ρ(Α Β) Άρα Ρ(Ε) + 4 + 4 + 6 4 Β4. Έχουμε 9x x 0. Δ( ) 4 9( )9+8 99 Άρα x, ( ) ± 9 Άρα P(Γ). 9 ± 9 8 8 6 8 Έστω ότι τα ενδεχόμενα Β, Γ είναι ασυμβίβαστα τότε από τον Απλό Προσθετικό 8 Νόμο, έχουμε P(B Γ)P(B)+P(Γ) P(B Γ) + P(B Γ) + P(B Γ), άτοπο από τον ορισμό της πιθανότητας. Άρα τα ενδεχόμενα Β, Γ δεν είναι ασυμβίβαστα. ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων μιας συνεχούς ποσοτικής μεταβλητής Χ, τις οποίες ομαδοποιούμε σε ισοπλατείς κλάσεις, όπως παρουσιάζονται στον Πίνακα Ι, όπου fi%, i,,,4, είναι οι σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό των αντιστοίχων κλάσεων. Θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες. Δίνεται ότι : Το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που είναι μικρότερες του 0 είναι 0%. Το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 6 είναι 0%. 4
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Στο κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων, η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην η κλάση είναι 08 o. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι x4. Γ. Να αποδείξετε ότι f % 0, f % 0, f % 0, f4 % 0, f % 0. Δεν είναι απαραίτητο να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον Πίνακα Ι συμπληρωμένο. Mονάδες 6 Γ. Να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων είναι ομοιογενές. Δίνεται ότι 6,6, 7. Μονάδες 7 Γ. Έστω x, x, x και x4 τα κέντρα της ης, ης, ης και 4ης κλάσης αντίστοιχα και v, ν, ν και ν4 οι συχνότητες της ης, ης, ης και 4ης κλάσης αντίστοιχα. 4 Αν x iv i 780, βρείτε το πλήθος ν των παρατηρήσεων του δείγματος. i Μονάδες Γ4. Έστω α, α, α, α4, α πέντε τυχαία επιλεγμένες παρατηρήσεις διαφορετικές μεταξύ τους από το παραπάνω δείγμα ν παρατηρήσεων. Ορίζουμε ως ατη μέση τιμή των πέντε αυτών παρατηρήσεων και Sα την τυπική τους απόκλιση. αi α Εάν βi, για i,,, 4,, να δείξετε ότι η μέση τιμή β του δείγματος S α βi, i,,, 4, είναι ίση με 0 και η τυπική του απόκλιση Sβ είναι ίση με. Μονάδες 7 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ. Κλάσεις xi fi fi% xi fi [8, 0) 9 0, 0 0,9 [0, ) 0, 0 f [, 4) 0, 0,9 [4, 6) 0, 0 f4 [6,8) 7 0, 0, Σύνολο - 00 -
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Έχουμε σύμφωνα με την υπόθεση f % 0%, f % 0%, ο 08 Είναι α 60 f άρα f 0, οπότε f % 0% ο 60 Ακόμη είναι x 4 x f 4 ο α 08 i i 9 4 i 0 4 0 4 9,9 + f + f4 f + f4 4, () f + f + f + f4 + f 0,7 + f + f4 f + f4 0, f4 0, f 0,+ f + 0, + f + 7 0, 4,9 +,9 +,+ f + f 4,9 +,9 +,+ f + f 4 4 Όμως () () οπότε ( ) f + ( 0, f) 4, f + 4, f 4, 4f 4, 4, 4f 0, 4 f 0, Άρα f 4 0,. κ νi Γ. Είναι s ( xi ) νi άρα s ( xi ) s ( xi ) fi ν i i ν i s ( 9 4) 0,+ ( 4) 0,+ ( 4) 0,+ ( 4) 0, + ( 7 4) 0, s 0,+ 9 0,+ 0,+ 0,+ 9 0, s 6, 6 Άρα s 6,6, 7 s,7 Είναι CV άρα CV 0,87 > 0, x 4 Άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. 4 4 Γ. Είναι x x i ν i xiνi + xν x xiνi xν ν i ν i + ν i ν 780 7ν 780 780 4 + 4 + 7f 4 + 7 0, ν ν ν ν 780 780 4, 8,9 ν 00. ν ν αi α Γ4. Έχουμε βi, i,,, 4, άρα βi αi α Αν ω i αi τότε από εφαρμογή σχολικού βιβλίου έχουμε ω α και sω Τότε βi ωi α, από εφαρμογή σχολικού βιβλίου έχουμε β ω α και s β sω s α 6
Άρα β α α 0 και s β s s α α ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΘΕΜΑ Δίνεται κύκλος (Ο, ρ) με κέντρο Ο και ακτίνα ρ και ορθογώνιο ΑΒΓΔ εγγεγραμμένο στον κύκλο αυτόν με πλευρά ΑΒx, όπως φαίνεται στο Σχήμα Ι. ΣΧΗΜΑ Ι Δ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ, ως συνάρτηση του x, δίνεται από τον τύπο f(x) x 00 x, 0<x<0. Μονάδες 4 Δ. Να βρείτε την τιμή του x για την οποία το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ γίνεται μέγιστο. Για την τιμή αυτήν του x, δείξτε ότι το ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. Μονάδες f(+ x) 99 Δ. Να υπολογίσετε το όριο lim x 0 x Μονάδες 8 Δ4. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν P(A-B)>0, να δείξετε ότι P f f 00 P (A) 00 P Μονάδες 8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Δ. Αφού Λ Α90 Ο τότε ΒΔ διάμετρος. Στο ορθογώνιο ΔΑΒ Δ ( Α90 Λ Ο ) σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε: ΑΒ +ΑΔ ΒΔ x + ΑΔ (ρ) ΑΔ 0 ΑΔ 00 x, () Πρέπει x>0 (λόγω της ΑΒ) και 00 >0 x<0 (λόγω της ()) Α x Ο Β Τότε το εμβαδόν ισούται με ΕΑΒ ΑΔ Εx 00 x. Συνεπώς το εμβαδόν δίνεται από τη συνάρτηση: f(x)x 00 x, x (0,0) 7 Δ Γ
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Δ. f (x)x 00 x +x ( 00 x + 00 x ) x 00 () 00 x +x 00 00 00, x (0,0) 00 00 f (x)0 00 0 x 0 x f (x)>0 00 >0 x x>0 <0 x< x 0 0 f (x) + f 00 x 00 Άρα η συνάρτηση εμβαδού γίνεται μέγιστη όταν x Όταν x AB τότε ΑΔ 00 x 00 ( ) 0 Δηλαδή ΑΒΑΔ, οπότε ΑΒΓΔ τετράγωνο. Δ. Α τρόπος f(+ x) Είναι x Επειδή η f(x)x 00 f (x) 00 οπότε f () Άρα lim x 0 f( lim x 0 99 f( + x) f() x 00 x είναι παραγωγίσιμη στο (0,0) με το f () f( + x) f() x + x) f() x 00 99 99 99 99 99 99 99 (00 ) Β τρόπος έχουμε ότι f(x)x f(+x)(+x) f(+ x) lim x 0 x x lim x 0 lim x 0 99 x 99 00 x, τότε 00 (+ x) (+x) 99 8 x x 99 x 99 99 + x 99 99 lim x 0 x + 99 x 99 99 99 + x( 99 + 99 ) +x 99 x
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 99 99 99 lim + x 0 x( 99 + 99) 99 x( ) lim + x 0 x( 99 + 99) 99 99 lim + + x 0 ( 99 + 99) 99 99 99 99 99 99 99 99 + 99 Δ4. Α τρόπος Επειδή Α Β Α έπεται πως Ρ(Α Β) Ρ(Α) συνεπώς 0<Ρ(Α Β) Ρ(Α) η f στο (0,] είναι γνησίως αύξουσα άρα f(p(a B)) f() P(A B) 00 P 00 P (A) 00 P (A B) > 0 00 P (A) > 0 P 00 P (A) Είναι 0<Ρ(Α Β) Ρ(Α) και Ρ(Α Β) Ρ(Α) () οπότε Ρ (Α Β) Ρ (Α) 0> Ρ (Α Β) 00>00 Ρ (Α Β) 00 Ρ (Α) 99 00 P 0> 00 P (A Β) 00 P (A) 99 > 0 99 < () 00 P επειδή 0 < (4) και από () 0 < ( Α Β) 00 P ( Α) 0 00 P < ( Α Β) 0 Από (), (4) πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη ανισότητες της ίδιας φοράς με όλα τους τα μέλη θετικά 0 < < < 00 P ( Α Β) 0 0 P(A Β) Άρα 0 < < 00 P Α 00 P Α Β ( ) ( ) Επειδή η f γνησίως αύξουσα στο ( 0, ] είναι f P(A Β) 00 P f ( Α) 00 P ( Α Β) () 9
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Β τρόπος Ισχύει ότι (Α Β) A 0<P(A B) Αν Α Β Α, έχουμε P < () 00 P (A) 00 P P P (A) < 00 P (A) 00 P 00P (A B) P 4 (A B)<00P (A) P 4 (A) 00(P (A B) P (A))<P 4 (A B) P 4 (A) 00(P (A B) P (A))< (P (A B) P (A))(P (A B)+P (A)) 00>P (A B)+P (A) ισχύει αφού 0< 0<P(A B) οπότε ισχύει και (). Έχουμε P (A) < () < 0 P (A)<000 0P (A B) 00 P (A Β) 00 P (A Β) 000 0 P (A)<000 P (A)< <, προφανώς ισχύει αφού: 0 ( > 0 > 00 > 000>) Οπότε ισχύει η (). P Από (), (): < < 00 P (A) 00 P f γνησίως αύξουσα στο (0, ) ισχύει η ζητούμενη. P Αν Α ΒΑ τότε οπότε 00 P (A) 00 P f P f 00 P (A) 00 P ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τα σημερινά θέματα διακρίνονται ως προς την κλιμάκωση της δυσκολίας των ερωτημάτων και την ποιοτική τους ανάπτυξη. Σε κάποια ερωτήματα απαιτείται αλγεβρική ευχέρεια, πράγμα που πιθανόν να έχει ως αποτέλεσμα τη δυσκολία επίτευξης άριστων επιδόσεων. 0