5η Εργασία ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ακαδημαϊκό Έτος : 2013-2014 ΞΑΝΘΗ 15/3/2014
Ασκήσεις: 1. Να δείξετε ότι η μέση τιμή Τ.Μ. που υπακούει στη διωνυμική κατανομή, είναι ίση np. Επειδή η Τ.Μ. που ακολουθεί την διωνυμική κατανομή είναι διακριτή, η μέση τιμή υπολογίζεται ως εξής: Αφού για k=0, ο πρώτος όρος του αθροίσματος είναι μηδέν. Για αυτό το άθροισμα πλέον ξεκινάει από k=1. Στη συνέχεια: και θέτοντας όπου k-1=m, έχουμε ότι για k=1 προκύπτει m=1-1=0, ενώ για k=n έχουμε m=n-1 Άρα: Επειδή το άθροισμα αυτό δίνει την ολική πιθανότητα για n-1, έχουμε ότι: 2
2. Να δείξετε ότι η διασπορά περί την μέση τιμή των τιμών Τ.Μ. που υπακούει στη διωνυμική κατανομή, είναι ίση np(1-p). Για να αποδείξουμε τη ζητούμενη σχέση θα χρησιμοποιήσουμε την σχέση : Για αυτό θα την αποδείξουμε αρχικά: Επειδή η μέση τιμή μ είναι ανεξάρτητη του i και σταθερή, μπορεί να βγει από το άθροισμα. Οπότε: και θέτοντας m=k-1 έχουμε για k=1 ότι m=0 ενώ για k=n προκύπτει m=n-1. Άρα: 3
διότι κάθε άθροισμα εκφράζει την ολική πιθανότητα. Άρα δεδομένου ότι: 4
3. Να δείξετε ότι η μέση τιμή Τ.Μ. που υπακούει στη γεωμετρική κατανομή, είναι ίση 1/p. και θέτοντας k=k-1 οπότε για k=1 έχουμε: k=0. Άρα: 2 ος Τρόπος 5
4. Να δείξετε ότι η διασπορά περί την μέση τιμή των τιμών Τ.Μ. που υπακούει στη γεωμετρική κατανομή, είναι ίση (1-p)/p 2. Με χρήση πάλι του τύπου αποδεικνύουμε τη ζητούμενη διασπορά. Όμως: 6
5. Ηλεκτρικός κινητήρας αστοχεί σε τυχαία χρονική στιγμή εντός ενός εικοσιτετραώρου. Επισκευάζεται και τίθεται εκ νέου σε λειτουργία. Ο απαιτούμενος χρόνος επισκευής είναι Τ.Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα (x, 24), όπου x η χρονική στιγμή που σημειώθηκε η αστοχία (σε ώρες). Ποια η πιθανότητα ότι η συσκευή λειτουργεί τουλάχιστον 12 ώρες το εικοσιτετράωρο; Εάν θεωρήσουμε ότι υπάρχει δυνατότητα να συμβεί μία μόνον βλάβη στη διάρκεια του εικοσιτετραώρου, τότε διακρίνουμε 2 ενδεχόμενα είτε να χαλάσει ο κινητήρας πριν από το 1 ο 12ωρο είτε μέσα στο 2 ο 12ωρο. Δλδ: Α1 = { Η βλάβη να γίνει στο 1 ο 12ωρο } Α2 = { Η βλάβη να γίνει στο 2 ο 12ωρο } Β = { Η συσκευή έχει δουλέψει τουλάχιστον για 12 ώρες } Ο δειγματικός μας χώρος είναι εικονικά ο εξής: Α1 Α2 Β Β Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η εξής: αφού η τομή των δύο αυτών συνόλων είναι το κενό σύνολο. Οπότε έχουμε: Επειδή είναι ισοπίθανα τα γεγονότα η βλάβη να συμβεί είτε στο 1 ο 12ωρο είτε στο 2 ο, έχουμε ότι : Εάν συμβεί η βλάβη στη διάρκεια του 2 ου 12ώρου, τότε ο κινητήρας θα έχει δουλέψει στα σίγουρα τουλάχιστον 12 ώρες. Δλδ με τη μορφή των πιθανοτήτων έχουμε ότι: 7
Τελικά μας μένει να προσδιορίσουμε μόνο τον όρο: Ρ(Β Α1) Την πιθανότητα δλδ ενώ η βλάβη έχει συμβεί στο 1 ο 12ωρο, η μηχανή έχει δουλέψει συνολικά στο τέλος του 24ώρου τουλάχιστον 12 ώρες. Οπότε άμα θέσουμε σαν Χ την χρονική στιγμή(σε ώρες) που εκδηλώθηκε η βλάβη στη μηχανή προκειμένου να δουλέψει συνολικά περισσότερες από 12 ώρες θα πρέπει η διάρκεια επισκευής της βλάβης να μην ξεπεράσει τις 12 ώρες διότι μόνο τότε η μηχανή θα δουλέψει το λιγότερο 12 ώρες σε ολόκληρο το 24ωρο. Αν για παράδειγμα η διάρκεια επισκευής είναι 13 ώρες τότε η μηχανή θα δουλεύει 24-13=11 ώρες που δεν θέλουμε. Ενώ αν επισκευάζεται για 12 ώρες, 24-12=12 ώρες θα δουλεύει που το θέλουμε. Επίσης άμα ο χρόνος επισκευής είναι μικρότερος από τις 12 ώρες, πχ 10 ώρες τότε ο κινητήρας μας θα δουλεύει συνολικά για 24-10=14 ώρες που μας αρέσει. Άρα συνοψίζουμε ότι για να δουλεύει η μηχανή τουλάχιστον 12 ώρες θα πρέπει η διάρκεια επισκευής (έστω Υ σε ώρες) να μην ξεπερνάει τις 12 ώρες. Οπότε: αφού το ενδεχόμενο να συμβεί η βλάβη μεσα στο 1 ο 12ωρο και το ενδεχόμενο να ολοκληρωθεί μέσα στο «επιτρεπόμενο» 12ωρο είναι στατιστικά ανεξάρτητα γεγονότα. Επίσης επειδή θέλουμε να γινει η βλαβη στο 1 ο 12ωρο και δεδομένης της συνθήκης κανονικοποίησης έχουμε για την σ.π.π. ότι: Αφού από την στιγμή Χ που θα γίνει η βλάβη το σύνολο των δυνατών τιμών για να τελειώσει η επισκευή είναι 24-x=N(Ω) και επίσης εφόσον θέλουμε να διαρκέσει το πολύ 12 ώρες η επισκευή της βλάβης το πλήθος των δυνατών τιμών από τη στιγμή Χ εως τη στιγμή Χ+12(όπου θα ολοκληρωθεί η επισκευή της βλάβης) είναι 12. Για αυτό προκύπτει: Οπότε για να βρούμε την πιθανότητα Ρ(Β Α1) θα πρέπει να ολοκληρώσουμε σε όλο το διάστημα [0,12] αφού θελουμε η έναρξη της βλάβης να είναι εκεί μέσα. Άρα: 8
6. Να αναφέρετε παράδειγμα φυσικού φαινομένου που ακολουθεί την ομοιόμορφη διωνυμική κατανομή γεωμετρική κατανομή Ομοιόμορφη Κατανομή Η διάμετρος σωλήνων που χρησιμοποιούνται στις πολυκατοικίες για τη μεταφορά του νερού είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ, η οποία ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [3, 7] σε cm. Ποια η πιθανότητα ώστε η διάμετρος να είναι μικρότερη του 4 ; Διωνυμική Κατανομή Εργοστάσιο παράγει έπιπλα με ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων 4%. Έχουμε στη διάθεση μας τυχαίο δείγμα 10 προϊόντων. Ποια η πιθανότητα ώστε να υπάρχει τουλάχιστον ένα ελαττωματικό προϊόν στο δείγμα μας; Γεωμετρική Κατανομή Σε ένα δοχείο περιέχονται 5 κίτρινα και 3 κόκκινα σφαιρίδια. Εξάγουμε τυχαία ένα σφαιρίδιο, σημειώνουμε το χρώμα του και το ξαναβάζουμε πίσω στο κουτί. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ώστε κατά την 6 η εξαγωγή να εμφανισθεί για 4 η φορά κίτρινο σφαιρίδιο. Σχετική Βιβλιογραφία: Πιθανότητες και Στατιστική, Εκδόσεις Κλειδάριθμος, Δημήτριος Α. Γεωργίου Εισαγωγή στις πιθανότητες με στοιχεία στατιστικής, Εκδόσεις Τζιόλα, Μπερτσεκάς Δημήτρης Π. Πιθανότητες και στατιστική, Εκδόσεις Τζιόλα, Μυλωνάς Νίκος Probability, Random Processes, and Ergodic Properties, Robert M. Gray An Introduction To Probability and Random Processes, Kenneth Baclawski, Gian- Carlo Rota Introduction to Probability, Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell 9