ΕΠΙΛΥΣΗ 2D ΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 1. Εισαγωγή Ο αντικειµενικός σκοός των σηµειώσεων αυτών είναι η ανάτυξη ενός κώδικα ανάλυσης διδιάστατων δικτυωµάτων (2D-trusses) στο υολογιστικό εριβάλλον Mtlb. Ο κώδικας στηρίζεται στη Μέθοδο των Πεερασµένων Στοιχείων (ΜΠΣ, Finite Element Method - FEM). ιευκρινίζεται ότι είναι δυνατόν ο ίδιος στόχος (ανάλυση κατασκευής) να ειτευχθεί ακολουθώντας διαφορετική µητρωϊκή ορεία (βλ. Σχολιασµός ). Η ανάλυση ενός 2 -δικτυώµατος µε τη ΜΠΣ ααιτεί την εκτέλεση των ακολούθων, σαφώς ορισµένων, εργασιών: Περιγραφή του εξεταζοµένου δικτυώµατος Περιγραφή διατοµών Περιγραφή κόµβων Περιγραφή ράβδων ήλωση ιδιοτήτων υλικού της κατασκευής Περιγραφή στηρίξεων Περιγραφή φορτίσεων Σύνθεση του καθολικού µητρώου δυσκαµψίας του δικτυώµατος Ειβολή οριακών συνθηκών και φορτίσεων Υολογισµός κοµβικών µετατοίσεων Υολογισµός χρήσιµων µεγεθών, όως Παραµορφώσεις ράβδων Τάσεις ράβδων υνάµεις ράβδων Βάρος κατασκευής υνάµεις στήριξης Προφανώς, τα ανωτέρω, µε κατάλληλη ροσαρµογή κατά ερίτωση, ισχύουν και για µία οοιαδήοτε κατασκευή (βλ. Σχολιασµός ). Σχετικά µε την ειλογή του υολογιστικού εριβάλλοντος Mtlb, αυτή στηρίχθηκε κυρίως στα εξής: Χαρακτηρίζεται αό εξαιρετική φιλικότητα (ευχρηστία) - 1 -
ιαθέτει µία ολύ λούσια βιβλιοθήκη εργαλείων µε τα οοία εύκολα, γρήγορα, αξιόιστα και ελεγχόµενα είναι δυνατόν να ειτελεσθούν αρκετά σύνθετες διαδικασίες (.χ. γραφικές αεικονίσεις) ιαθέτει ολύ καλή διαχείριση ινάκων σε υψηλό είεδο, στοιχείο βασικό για την εφαρµογή της ΜΠΣ, η οοία εξ ορισµού εριγράφεται µε µητρωϊκές εκφράσεις Είναι ροφανές ότι αντί του Mtlb είναι δυνατή η ειλογή κάοιου άλλου υολογιστικού ή ρογραµµατιστικού εριβάλλοντος (.χ. Mthemtic, MthCd, Fortn, C++, κοκ). 2. Περιγραφή της εξεταζόµενης κατασκευής Περιγραφή διατοµών Κάθε διατοµή ράβδου ορίζεται σαφώς αό το εµβαδόν της, έστω A i. Εναλλακτικά, αντί της άµεσης δήλωσης της οσότητας A i, είναι δυνατόν να δίδονται οι γεωµετρικές διαστάσεις της διατοµής, αό τις οοίες ροκύτει µε εύκολο υολογισµό το εµβαδόν. Το σύνολο των EL ράβδων (umber of Elements) µίας κατασκευής εριγράφεται όως φαίνεται στο Σχήµα 1α. Η ίδια ληροφορία µορεί να αοθηκευτεί σε ένα µητρώο, έστω Are, διαστάσεων 1, όως φαίνεται στο Σχήµα 1β. α/α ράβδου (Element number) ιατοµή (cross-section) A 1 1 A 2 2...... EL A EL (α) αναλυτική γραφή (ίνακας Π1) α/α ραβδου = α/α γραµµης ινακα Π1 Σχήµα 1: Περιγραφή διατοµών ράβδων A1 A 2 Are =... A (β) µητρωϊκή γραφή Στην αναλυτική γραφή (Σχήµα 1α) χρησιµοοιείται ένας ίνακας, έστω Π1, µε δύο στήλες, εκ των οοίων στην ρώτη αναγράφεται ο αύξων αριθµός της ράβδου (α/α ράβδου) και στη δεύτερη το αντίστοιχο εµβαδόν της διατοµής της ράβδου. Παρατηρούµε ότι ο αύξων αριθµός γραµµής του ίνακα Π1 ταυτίζεται µε τον αύξοντα αριθµό ράβδου. Για αράδειγµα, το εµβαδόν της διατοµής της ράβδου 13 αναγράφεται στη 13 η γραµµή του ίνακα Π1 κοκ. Εοµένως, η ρώτη στήλη του ίνακα Π1 µορεί να αραληφθεί δεδοµένου ότι η ληροφορία ου αρέχει εµεριέχεται στη δεύτερη στήλη του ίνακα Π1. Με αυτό το σκετικό, κατασκευάζεται το µητρώο Are (Σχήµα 1β), το οοίο διαθέτει µόνο µία στήλη (τη δεύτερη - 2 -
στήλη του ίνακα Π1). Έχοντας αυτά υ όψιν, είναι δυνατόν να αξιοοιήσουµε το µητρώο Are ροκειµένου να ααντήσουµε στο ακόλουθο βασικό ερώτηµα: Βασικό ερώτηµα 1: Ποια είναι η διατοµή µίας συγκεκριµένης ράβδου; Παράδειγµα: ( 11) Are : µητρώο Are 11 η γραµµή Εοµένως, εάν 11 διατοµές ράβδων ράβδος 11 A είναι η διατοµή της 11 ης ράβδου, τότε θα ισχύει: A = Are ( ) 11 11 Περιγραφή κόµβων Κάθε κόµβος ορίζεται σαφώς µέσω των συντεταγµένων του. Άρα, ο i -κόµβος εριγράφεται εαρκώς µέσω της διατεταγµένης δυάδας ( xi, i ), όου x i είναι η x -συντεταγµένη και i είναι η -συντεταγµένη του κόµβου. ιευκρινίζεται ότι αυτές οι συντεταγµένες εκφράζονται ως ρος ένα καθολικό σύστηµα αναφοράς, το οοίο ειλέγεται αυθαίρετα. Το σύνολο των κόµβων (umber of odes) µίας κατασκευής µορεί να εριγραφεί όως φαίνεται στο Σχήµα 2α. Η ίδια ληροφορία µορεί να αοθηκευτεί σε ένα µητρώο, έστω Coor, διαστάσεων 2, όως φαίνεται στο Σχήµα 2β. α/α κόµβου (ode number) x -συντεταγµένη -συντεταγµένη ( x -coordinte) ( -coordinte) 1 x 1 1 2 x 2 2......... x Coor x1 1 x...... x 2 2 = (α) αναλυτική γραφή (ίνακας Π2) (β) µητρωϊκή γραφή Σχήµα 2: Περιγραφή κόµβων σε όρους συντεταγµένων Στην αναλυτική γραφή (Σχήµα 2α) χρησιµοοιείται ένας ίνακας, έστω Π2, µε τρεις στήλες, εκ των οοίων στην ρώτη αναγράφεται ο αύξων αριθµός του κόµβου (α/α κόµβου) και στις δύο εόµενες αναγράφονται αντίστοιχα οι x -συντεταγµένες και οι -συντεταγµένες των κόµβων. Παρατηρούµε ότι ο αύξων αριθµός γραµµής του ίνακα Π2 ταυτίζεται µε τον αύξοντα αριθµό κόµβου. Για αράδειγµα, οι συντεταγµένες του κόµβου 22 αναγράφονται στην 22 η γραµµή του ίνακα Π2 κοκ. Εοµένως, η ρώτη στήλη του ίνακα Π2 µορεί να - 3 -
αραληφθεί δεδοµένου ότι η ληροφορία ου αρέχει εµεριέχεται στις εόµενες στήλες του ίνακα Π2. Με αυτό το σκετικό, κατασκευάζεται το µητρώο Coor (Σχήµα 2β), το οοίο διαθέτει δύο στήλες (τη δεύτερη και την τρίτη στήλη του ίνακα Π2). Έχοντας αυτά υ όψιν, είναι δυνατόν να αξιοοιήσουµε το µητρώο Coor ροκειµένου να ααντήσουµε στο ακόλουθο βασικό ερώτηµα: Βασικό ερώτηµα 2: Ποιές είναι οι συντεταγµένες ενός συγκεκριµένου κόµβου; Παράδειγµα: Coor ( 2,1) : µητρώο Coor 2 η γραµµή 1 η στήλη Εοµένως, εάν 2 κοµβικές συντεταγµένες κόµβος 2 x -συντεταγµένη X είναι η x -συντεταγµένη του 2 ου κόµβου, τότε θα ισχύει: X = Coor ( ) 2 2,1 Κατ αντιστοιχία θα ισχύει: Coor 4,2 : µητρώο Coor 4 η γραµµή 2 η στήλη ( ) Εοµένως, εάν 4 κοµβικές συντεταγµένες κόµβος 4 -συντεταγµένη Y είναι η -συντεταγµένη του 4 ου κόµβου, τότε θα ισχύει: Y = Coor ( ) 2 4, 2 Περιγραφή ράβδων Κάθε ράβδος ορίζεται σαφώς αό δύο κόµβους, τον κόµβο αρχής και τον κόµβο έρατος., α είναι Εοµένως, η -ράβδος εριγράφεται εαρκώς µέσω της δυάδας (,, ) ο κόµβος αρχής (δείκτης α) και, είναι ο κόµβος έρατος (δείκτης )., όου, α/α ράβδου (Element number) α/α κόµβου αρχής α/α κόµβου έρατος 1 1, 1, 2 2, 2,......... EL EL, EL, 1, 1, 2, 2, Elem =...... EL, EL, Μητρωικη εριγραφη ραβδων (α) αναλυτική γραφή (ίνακας Π3) Σχήµα 3: Περιγραφή ράβδων σε όρους κόµβων (β) µητρωϊκή γραφή - 4 -
Το σύνολο των EL ράβδων (umber of ELements) µίας κατασκευής εριγράφεται όως φαίνεται στο Σχήµα 3α. Η ίδια ληροφορία µορεί να αοθηκευτεί σε ένα µητρώο, έστω Elem, διαστάσεων EL 2, όως φαίνεται στο Σχήµα 3β. Κατ αντιστοιχία µε τα ροηγούµενα, στην αναλυτική γραφή (Σχήµα 3α) χρησιµοοιείται ένας ίνακας, έστω Π3, µε τρεις στήλες, εκ των οοίων στην ρώτη αναγράφεται ο αύξων αριθµός της ράβδου και στις δύο εόµενες αναγράφονται αντίστοιχα ο αύξων αριθµός του κόµβου αρχής και ο αύξων αριθµός του κόµβου έρατος της συγκεκριµένης ράβδου. Παρατηρούµε ότι ο αύξων αριθµός γραµµής του ίνακα Π3 ταυτίζεται µε τον αύξοντα αριθµό ράβδου. Για αράδειγµα, οι κόµβοι αρχής και έρατος της ράβδου 132 αναγράφονται στην 132 η γραµµή του ίνακα Π3 κοκ. Εοµένως, η ρώτη στήλη του ίνακα Π3 µορεί να αραληφθεί δεδοµένου ότι η ληροφορία ου αρέχει εµεριέχεται στις εόµενες στήλες του ίνακα Π3. Με αυτό το σκετικό, κατασκευάζεται το µητρώο Elem (Σχήµα 3β), το οοίο διαθέτει δύο στήλες (τη δεύτερη και την τρίτη στήλη του ίνακα Π3). Έχοντας αυτά υ όψιν, είναι δυνατόν να αξιοοιήσουµε το µητρώο Elem ροκειµένου να ααντήσουµε στο ακόλουθο βασικό ερώτηµα: Βασικό ερώτηµα 3: Ποιοι κόµβοι ορίζουν µία συγκεκριµένη ράβδο; Παράδειγµα: Elem ( 25,1) : µητρώο Elem 25 η γραµµή 1 η στήλη Εάν 25, Περιγραφή ράβδου Ράβδος 25 Κόµβος αρχής είναι ο κόµβος αρχής της 35 ης ράβδου, τότε θα ισχύει: = Elem ( ) 25, 25,1 Κατ αντιστοιχία θα ισχύει: Elem 103, 2 : µητρώο Elem 103 η γραµµή 2 η στήλη Εάν 103, ( ) Περιγραφή ράβδου Ράβδος 103 Κόµβος έρατος είναι ο κόµβος έρατος της 103 ης ράβδου, τότε θα ισχύει: Elem( ) 103, 103, 2 = Στο σηµείο αυτό, ρέει να διευκρινισθεί ότι αό τους δύο κόµβους ου διαθέτει µία τυική ράβδος (ένας κόµβος σε κάθε άκρο της), ο ένας κόµβος, µε αυθαίρετο τρόο, ορίζεται ως κόµβος αρχής, οότε ο άλλος κόµβος καθίσταται κόµβος έρατος. Για αράδειγµα, έστω ότι η ράβδος 15 εκτείνεται µεταξύ των κόµβων 8 και 13. Είναι δυνατόν ως κόµβος αρχής να ορισθεί είτε ο κόµβος 8 είτε ο κόµβος 13 (δική µας αυθαίρετη ειλογή). - 5 -
ήλωση ιδιοτήτων υλικού της κατασκευής Αό τις ιδιότητες του υλικού ου χρησιµοοιείται για την κατασκευή µίας ράβδου, ααιτείται η γνώση του µέτρου ελαστικότητας E και της υκνότητας dens. Το µέτρο ελαστικότητας εµφανίζεται στο µητρώο δυσκαµψίας µίας ράβδου, το οοίο, ως ρος σωµατόδετο σύστηµα αναφοράς, ισούται µε: K loc, AE 1 1 = L 1 1 Η υκνότητα dens εµφανίζεται στο βάρος µίας ράβδου, το οοίο ισούται µε: W = dens A L Το µέγεθος E για κάθε µία αό τις EL ράβδους µίας κατασκευής εριγράφεται όως φαίνεται στο Σχήµα 4α. Η ίδια ληροφορία µορεί να αοθηκευτεί σε ένα µητρώο, έστω Young, διαστάσεων EL 1 (ίνακας-στήλη), όως φαίνεται στο Σχήµα 4β. α/α ράβδου Μέτρο ελαστικότητας E 1 1 E 2 2...... EL E EL Young E1 E... E 2 = (α) αναλυτική γραφή (ίνακας Π4) (β) µητρωϊκή γραφή Σχήµα 4: Περιγραφή µέτρου ελαστικότητας EL Κατ αντιστοιχία µε τα ροηγούµενα, στην αναλυτική γραφή (Σχήµα 4α) χρησιµοοιείται ένας ίνακας, έστω Π4, µε δύο στήλες, εκ των οοίων στην ρώτη αναγράφεται ο αύξων αριθµός της ράβδου και στη δεύτερη αναγράφεται το µέτρο ελαστικότητας της συγκεκριµένης ράβδου. Παρατηρούµε ότι ο αύξων αριθµός γραµµής του ίνακα Π4 ταυτίζεται µε τον αύξοντα αριθµό ράβδου. Για αράδειγµα, το µέτρο ελαστικότητας της ράβδου 14 αναγράφεται στην 14 η γραµµή του ίνακα Π4 κοκ. Εοµένως, η ρώτη στήλη του ίνακα Π4 µορεί να αραληφθεί δεδοµένου ότι η ληροφορία ου αρέχει εµεριέχεται στη δεύτερη στήλη του ίνακα Π4. Με αυτό το σκετικό, κατασκευάζεται το µητρώο Young (Σχήµα 4β), το οοίο διαθέτει µία στήλη (τη δεύτερη του ίνακα Π4). Έχοντας αυτά υ όψιν, είναι δυνατόν να αξιοοιήσουµε το µητρώο Young ροκειµένου να ααντήσουµε στο ακόλουθο βασικό ερώτηµα: - 6 -
Βασικό ερώτηµα 4: Ποιο είναι το µέτρο ελαστικότητας του υλικού µίας ράβδου; Παράδειγµα: 47,1 ( ) Young : µητρώο Young 47 η γραµµή Εάν 47 Περιγραφή µέτρου Ράβδος 47 ελαστικότητας υλικού E είναι το µέτρο ελαστικότητας της 47 ης ράβδου, τότε θα ισχύει: E = Young ( ) 47 47,1 Στην ειδική ερίτωση, όου όλες οι ράβδοι ενός δικτυώµατος έχουν το ίδιο µέτρο ελαστικότητας E, τότε το µητρώο Young, για λόγους οικονοµίας, µορεί να εκφρασθεί ως ίνακας-στοιχείο, δηλαδή: Young = [ E] Ό,τι ακριβώς ισχύει για το µέτρο ελαστικότητας, ισχύει και για την υκνότητα. Πιο συγκεκριµένα, το µέγεθος dens για κάθε µία αό τις EL ράβδους µίας κατασκευής εριγράφεται όως φαίνεται στο Σχήµα 5α. Η ίδια ληροφορία µορεί να αοθηκευτεί σε µητρώα, έστω Young και Dens αντίστοιχα, διαστάσεων EL 1 (ίνακας-στήλη), όως φαίνεται στο Σχήµα 5β. α/α ράβδου Πυκνότητα dens 1 1 dens 2 2...... EL dens 2 (α) αναλυτική γραφή (ίνακας Π5) Dens dens dens... dens 1 2 = EL (β) µητρωϊκή γραφή Σχήµα 5: Περιγραφή υκνότητας ράβδων Σε λήρη αντιστοιχία µε τα ροηγούµενα, στην αναλυτική γραφή (Σχήµα 5α) χρησιµοοιείται ένας ίνακας, έστω Π5, µε δύο στήλες, εκ των οοίων στην ρώτη αναγράφεται ο αύξων αριθµός της ράβδου και στη δεύτερη αναγράφεται η υκνότητα της συγκεκριµένης ράβδου. Παρατηρούµε ότι ο αύξων αριθµός γραµµής του ίνακα Π5 ταυτίζεται µε τον αύξοντα αριθµό ράβδου. Για αράδειγµα, η υκνότητα της ράβδου 18 αναγράφεται στην 18 η γραµµή του ίνακα Π5 κοκ. Εοµένως, η ρώτη στήλη του ίνακα Π5 µορεί να αραληφθεί δεδοµένου - 7 -
ότι η ληροφορία ου αρέχει εµεριέχεται στη δεύτερη στήλη του ίνακα Π5. Με αυτό το σκετικό, κατασκευάζεται το µητρώο Dens (Σχήµα 5β), το οοίο διαθέτει µία στήλη (τη δεύτερη του ίνακα Π5). Έχοντας αυτά υ όψιν, είναι δυνατόν να αξιοοιήσουµε το µητρώο Dens ροκειµένου να ααντήσουµε στο ακόλουθο βασικό ερώτηµα: Βασικό ερώτηµα 5: Ποια είναι η υκνότητα του υλικού µίας ράβδου; Παράδειγµα: 73,1 ( ) Dens : µητρώο Dens 73 η γραµµή Εάν 73 εριγραφή υκνότητας Ράβδος 73 υλικού ρ είναι η υκνότητα της 73 ης ράβδου, τότε θα ισχύει: ρ = Dens ( ) 73 73,1 Στην ειδική ερίτωση, όου όλες οι ράβδοι ενός δικτυώµατος έχουν την ίδια υκνότητα dens, τότε το µητρώο Dens, για λόγους οικονοµίας, µορεί να εκφρασθεί ως ίνακαςστοιχείο, δηλαδή: Dens = [ dens] Περιγραφή στηρίξεων Ο όρος βαθµός ελευθερίας (ΒΕ, degree of freedom - dof) σηµαίνει θεωρητική δυνατότητα κίνησης (µετατόισης ή στροφής) ενός κόµβου. Σε ένα τυικό στοιχείο 2 -ράβδου, υάρχουν δύο κόµβοι 1 (κόµβος αρχής και κόµβος έρατος), κάθε ένας εκ των οοίων θεωρητικά µορεί µετατοισθεί τόσο κατά τη x -διεύθυνση όσο και κατά τη -διεύθυνση. Εοµένως, ένα ραβδόµορφο στοιχείο διαθέτει δύο (2) µεταφορικούς ΒΕ ανά κόµβο ή, ισοδύναµα, τέσσερις (4) ΒΕ συνολικά. Ωστόσο, λόγω στήριξης (εξωτερικό αίτιο), είναι δυνατόν να ααγορεύεται η θεωρητικά ειτρεόµενη κίνηση ενός κόµβου. Στην ερίτωση αυτή ο αντίστοιχος ΒΕ χαρακτηρίζεται ως δεσµευµένος (διαφορετικά χαρακτηρίζεται ως µη-δεσµευµένος ). Ένας τυικός αριθµητικός συµβολισµός (δυαδική εριγραφή) ου χρησιµοοιείται ευρέως στα λογισµικά ανάλυσης κατασκευών µε τη ΜΠΣ είναι ο εξής: εσµευµένος βαθµός ελευθερίας : 1 Μη-δεσµευµένος βαθµός ελευθερίας : 0 1 Είναι δυνατόν να ορισθεί ραβδόµορφο στοιχείο εριγραφόµενο αό 3 ή και ερισσότερους κόµβους - 8 -
Άρα, οι ΒΕ του i -κόµβου µίας κατασκευής εριγράφονται εαρκώς µέσω της διατεταγµένης, dof είναι ο ΒΕ του i -κόµβου κατά τη x -διεύθυνση και dof dof, όου, δυάδας ( i, x i, ) i x dof i, είναι ο ΒΕ του i -κόµβου κατά τη -διεύθυνση (οι διευθύνσεις εκφράζονται ως ρος το καθολικό σύστηµα αναφοράς). Ισχύει δε: dof { } και dof { } i x, 0, 1 i, 0, 1 Οι ΒΕ των κόµβων µίας κατασκευής εριγράφονται όως φαίνεται στο Σχήµα 6α. Η ίδια ληροφορία µορεί να αοθηκευτεί σε ένα µητρώο, έστω BC, διαστάσεων 2, όως φαίνεται στο Σχήµα 6β. α/α κόµβου i, x dof dof, i 1 0 or 1 0 or 1 2 0 or 1 0 or 1......... 0 or 1 0 or 1 (α) αναλυτική γραφή (ίνακας Π6) BC Σχήµα 6: Περιγραφή βαθµών ελευθερίας κόµβων dof dof dof dof...... dof dof, x, 1 1, x, 1 2 =, x, (β) µητρωϊκή γραφή Κατ αντιστοιχία µε τα ροηγούµενα, στην αναλυτική γραφή (Σχήµα 6α) χρησιµοοιείται ένας ίνακας, έστω Π6, µε τρεις στήλες, εκ των οοίων στην ρώτη στήλη αναγράφεται ο αύξων αριθµός του κόµβου, στη δεύτερη στήλη δηλώνεται η δέσµευση ή η µη-δέσµευση του ΒΕ κατά τη x -διεύθυνση, ενώ στην τρίτη στήλη δηλώνεται η δέσµευση ή η µη-δέσµευση του ΒΕ κατά τη -διεύθυνση. Παρατηρούµε ότι ο αύξων αριθµός γραµµής του ίνακα Π6 ταυτίζεται µε τον αύξοντα αριθµό κόµβου. Για αράδειγµα, οι ΒΕ του κόµβου 211 εριγράφονται στην 211 η γραµµή του ίνακα Π6 κοκ. Εοµένως, η ρώτη στήλη του ίνακα Π6 µορεί να αραληφθεί δεδοµένου ότι η ληροφορία ου αρέχει εµεριέχεται στις εόµενες στήλες του ίνακα Π6. Με αυτό το σκετικό, κατασκευάζεται το µητρώο BC (Σχήµα 6β), το οοίο διαθέτει δύο στήλες (τη δεύτερη και την τρίτη στήλη του ίνακα Π6). Έχοντας αυτά υ όψιν, είναι δυνατόν να αξιοοιήσουµε το µητρώο BC ροκειµένου να ααντήσουµε στο ακόλουθο βασικό ερώτηµα: Βασικό ερώτηµα 6α: Ποιες είναι οι συνθήκες στήριξης ενός συγκεκριµένου κόµβου; Είσης, µε το µητρώο BC µορούµε να ααντήσουµε στο ακόµα ιο χρήσιµο ερώτηµα: Βασικό ερώτηµα 6β: Ποιοι είναι οι δεσµευµένοι ΒΕ της εξεταζόµενης κατασκευής; - 9 -
Παράδειγµα: 11,1 ( ) BC : Μητρώο BC 11 η γραµµή 1 η στήλη Εάν 11,x Περιγραφή στηρίξεως Κόµβος 11 ΒΕ κατά τη x -διεύθυνση dof11, x = BC 11,1 dof είναι ο ΒΕ του 11 ου κόµβου κατά τη x -διεύθυνση, τότε ισχύει: ( ) Κατ αντιστοιχία θα ισχύει: 31, 2 ( ) BC : µητρώο BC 31 η γραµµή 2 η στήλη Εάν Περιγραφή στηρίξεως Κόµβος 31 ΒΕ κατά τη -διεύθυνση dof είναι ο ΒΕ του 31 ου κόµβου κατά τη -διεύθυνση, τότε ισχύει: dof = BC ( ) 31, 31, 31, 2 Περιγραφή φορτίσεων Όως αναφέρθηκε ροηγουµένως, κάθε κόµβος ενός τυικού 2 -ραβδόµορφου στοιχείου διαθέτει δύο βαθµούς ελευθερίας, έναν κατά τη x -διεύθυνση και έναν κατά τη -διεύθυνση. Αφού θεωρητικά είναι δυνατή η κίνηση κατά τις ροαναφερθείσες διευθύνσεις, θα είναι δυνατή και η αντίστοιχη ειβολή εξωτερικά ασκουµένων φορτίων. Εοµένως, κάθε i -κόµβος F κατά τη x -διεύθυνση και ένα φορτίο F, µορεί να αραλάβει θεωρητικά ένα φορτίο x, i i κατά τη -διεύθυνση. Συνεώς, οι συνιστώσες των φορτίων ου ασκούνται στους κόµβους µίας κατασκευής θα µορούν να εριγραφούν όως φαίνεται στο Σχήµα 7α. Η ίδια ληροφορία µορεί να αοθηκευτεί σε ένα µητρώο F διαστάσεων 2 (βλ. Σχήµα 7β). α/α κόµβου ύναµη κατά τη x -διεύθυνση ύναµη κατά τη -διεύθυνση 1 F x,1 F,1 2 F x,2 F,2......... F x, F, F Fx,1 F,1 Fx,2 F,2 =...... Fx, F, (α) αναλυτική γραφή (ίνακας Π7) Σχήµα 7: Περιγραφή φόρτισης κόµβων (β) µητρωϊκή γραφή Κατ αντιστοιχία µε τα ροηγούµενα, στην αναλυτική γραφή (Σχήµα 7α) χρησιµοοιείται ένας ίνακας, έστω Π7, µε τρεις στήλες, εκ των οοίων στην ρώτη στήλη αναγράφεται ο αύξων αριθµός του κόµβου, ενώ στις άλλες δύο εριγράφεται η συνιστώσα της εξωτερικά ειβαλλόµενης δύναµης κατά τη x -διεύθυνση και τη -διεύθυνση αντίστοιχα. Παρατηρούµε - 10 -
ότι ο αύξων αριθµός γραµµής του ίνακα Π7 ταυτίζεται µε τον αύξοντα αριθµό κόµβου. Για αράδειγµα, οι συνιστώσες της δύναµης ου ασκούνται στον κόµβου 21 εριγράφονται στην 21 η γραµµή του ίνακα Π7 κοκ. Εοµένως, η ρώτη στήλη του ίνακα Π7 µορεί να αραληφθεί δεδοµένου ότι η ληροφορία ου αρέχει εµεριέχεται στις εόµενες στήλες του ίνακα Π7. Με αυτό το σκετικό, κατασκευάζεται το µητρώο F (Σχήµα 7β), το οοίο διαθέτει δύο στήλες (τη δεύτερη και την τρίτη στήλη του ίνακα Π7). Έχοντας αυτά υ όψιν, είναι δυνατόν να αξιοοιήσουµε το µητρώο F ροκειµένου να ααντήσουµε στο ακόλουθο βασικό ερώτηµα: Βασικό ερώτηµα 7: Ποιες εξωτερικές δυνάµεις ασκούνται σε έναν συγκεκριµένο κόµβο; Παράδειγµα: 3,1 ( ) F : Μητρώο F 3 η γραµµή 1 η στήλη Εάν 3,x Περιγραφή φορτίσεως Κόµβος 3 x -συνιστώσα φόρτισης F3, = F 3,1 F είναι η x -συνιστώσα της δύναµης ου ασκείται στον κόµβο 3, τότε: ( ) x Κατ αντιστοιχία θα ισχύει: 99,2 ( ) F : µητρώο F 99 η γραµµή 2 η στήλη Εάν 99, Περιγραφή φορτίσεως Κόµβος 99 ΒΕ κατά τη -διεύθυνση F είναι η -συνιστώσα της δύναµης ου ασκείται στον κόµβο 99 τότε: F = F ( ) x 99, 99,1 3. Σύνθεση του καθολικού µητρώου δυσκαµψίας του δικτυώµατος Το ικό µητρώο δυσκαµψίας ράβδου Το µητρώο δυσκαµψίας K loc, ενός εερασµένου στοιχείου ληροφορεί σχετικά µε τον τρόο ου αλληλειδρούν µεταξύ τους οι ΒΕ του εν λόγω στοιχείου. Στην ερίτωση ενός δικτυώµατος, το ειλεγέν εερασµένο στοιχείο είναι αυτό της ράβδου και, όως έχει ήδη αναφερθεί, το αντίστοιχο µητρώο δυσκαµψίας ως, ρος το σωµατόδετο σύστηµα αναφοράς, ισούται µε: K loc, AE 1 1 = L 1 1 Με κατάλληλο µετασχηµατισµό (στροφή αξόνων), ροκύτει το µητρώο δυσκαµψίας K glob, µίας ράβδου ως ρος το καθολικό σύστηµα αναφοράς: - 11 -
K ldof1=1 ldof2=2 ldof3=3 ldof4=4 2 2 c c s c c s A E c s s c s s c s s c s s 2 2 glob, = 2 2 L c c s c c s 2 2 ldof1=1 ldof2=2 ldof3=3 ldof4=4 όου: A E L ϑ ( ϑ ) ( ϑ ) : εµβαδόν διατοµής ράβδου : µέτρο ελαστικότητας ράβδου : µήκος ράβδου : γωνία ροσανατολισµού ράβδου c = cos : συνηµίτονο γωνίας ϑ s = sin : ηµίτονο γωνίας ϑ Ως ldof1, ldof2, ldof3 και ldof4 συµβολίζονται, σε τοική αρίθµηση (locl dofs), οι ΒΕ της ράβδου, οι οοίοι έχουν αναγραφεί εριµετρικά του µητρώου καθαρά για εοτικούς λόγους. Εάν είναι γνωστά τα A, E, K glob,. Σε αντίθεση µε τα µεγέθη A και L και ϑ, τότε είναι δυνατόν να υολογισθεί το E, τα οοία δηλώνονται άµεσα στα µητρώα Are και Young αντίστοιχα, τα µεγέθη L και ϑ ρέει να υολογιστούν. Ισχύει: x = x x 2 Προβολή της ράβδου στον οριζόντιο άξονα: ( ) 2,, = 2 Προβολή της ράβδου στον κατακόρυφο άξονα: ( ) 2 Μήκος ράβδου :,, L = x + 2 2 Προσανατολισµός ράβδου: c = cos ( ϑ ) = και s sin ( ϑ ) όου: x, : x -συντεταγµένη του κόµβου αρχής της ράβδου : x -συντεταγµένη του κόµβου έρατος της ράβδου x,, : -συντεταγµένη του κόµβου αρχής της ράβδου : -συντεταγµένη του κόµβου έρατος της ράβδου, x L = = L ιευκρινίζεται ότι ο ροσανατολισµός µίας ράβδου καθορίζεται όως φαίνεται στο Σχήµα 8. Με διακεκοµµένη γραµµή αεικονίζεται η ευθεία αναφοράς (βοηθητική ευθεία), η οοία είναι - 12 -
αράλληλη ρος τον x -άξονα του καθολικού συστήµατος αναφοράς και τοοθετείται στον κόµβο αρχής της -ράβδου. Η γωνία ροσανατολισµού ϑ διαγράφεται ανθωρολογιακά, ξεκινώντας αό την ευθεία αναφοράς και καταλήγοντας στο διαµήκη άξονα της -ράβδου. x, Ράβδος, ϑ x ϑ Ράβδος,, (α) ο αριστερός κόµβος είναι ο κόµβος αρχής Σχήµα 8: Προσανατολισµός ράβδου (β) ο αριστερός κόµβος είναι ο κόµβος έρατος Αό όλα τα αραάνω, καθίσταται ροφανές ότι ο υολογισµός του µητρώου δυσκαµψίας µίας ράβδου ααιτεί και τον καθορισµό των µεγεθών x,, x,,, και,, κάτι ου ειτυγχάνεται µέσω της κατάλληλης διασύνδεσης των µητρώων Coor και Elem, όως εριγράφεται στην εόµενη ενότητα. Σύζευξη µητρώων Coor και Elem Εκτός των βασικών ερωτηµάτων ου αρουσιάστηκαν στις ροηγούµενες ενότητες, είναι δυνατόν να τεθούν σύνθετα ερωτήµατα, όως: Σύνθετο ερώτηµα 1: Ποια είναι η x -συντεταγµένη (ή η -συντεταγµένη) του κόµβου αρχής (ή του κόµβου έρατος) µίας συγκεκριµένης ράβδου; Η αάντηση σε αυτού του τύου τα σύνθετα ερωτήµατα ροκύτει µέσω της κατάλληλης σύζευξης (σύνθετης χρήσης) των µητρώων Coor και Elem. Η γενική µορφή είναι η εξής: - 13 -
Κόµβος αρχής x = Coor Elem, 1, 1,α, ( ( ) ) ( Elem ( ) ) = C oor, 1, 2 Κόµβος έρατος x = Coor Elem, 2, 1,, ( ( ) ) ( Elem( ) ) = C oor, 2, 2 Ακολουθεί η εεξήγηση της ανωτέρω γραφής. - 14 -
, Ανάλυση Μηχανολογικών Κατασκευών Ι - Μάρτιος 2005 ( Elem ( 1 ), ) x = Coor, 1, α x-συντεταγµένη ( Elem ( 1 ), ) = Coor, 2, α -συντεταγµένη ( Elem ( 2 ), ) x = Coor, 1, x-συντεταγµένη ( Elem ( 2 ), ) = Coor, 2 συντεταγµένη κόµβος αρχής ράβδος συντεταγµένη κόµβος αρχής ράβδος συντεταγµένη κόµβος έρατος ράβδος για τη ράβδο για τη ράβδο για τη ράβδο και τον κόµβο αρχής και τον κόµβο αρχής και τον κόµβο έρατος κατά τη x-διεύθυνση κατά τη -διεύθυνση κατά τη x-διεύθυνση κόµβος έρατος ράβδος -συντεταγµένη συντεταγµένη για τη ράβδο και τον κόµβο έρατος κατά τη -διεύθυνση - 15 -
Παραδείγµατα: ( ) ( Elem 13, 1 ) Coor, 1 Άρα: r Elem ( 13, 1 ) ( ) = X 13, Coo,1 συντεταγµένη για τη ράβδο 13 και τον κόµβο αρχής κατά τη x-διεύθυνση ( ) ( Elem 35, 1 ) Coor, 2 Άρα: r Elem ( 35, 1 ) ( ) = Y 35, Coo,1 συντεταγµένη για τη ράβδο 35 και τον κόµβο αρχής κατά τη -διεύθυνση ( ) ( Elem 76, 2 ) Coor, 1 Άρα: o Elem ( 76, 2 ) ( ) = X 76, Co r,1 συντεταγµένη για τη ράβδο 76 και τον κόµβο έρατος κατά τη x-διεύθυνση ( ) ( Elem 103, 2 ) Coor, 2 Άρα: C Elem ( 103, 2 ) ( ) = Y 103, oor,2 συντεταγµένη για τη ράβδο 103 και τον κόµβο έρατος κατά τη -διεύθυνση - 16 -
Καθολικό µητρώο δυσκαµψίας κατασκευής Ένα ολύ σηµαντικό σηµείο της όλης διαδικασίας είναι η ενηµέρωση του καθολικού µητρώου δυσκαµψίας K ολόκληρης της κατασκευής (δικτύωµα στην ροκειµένη ερίτωση) αό τα glob µητρώα δυσκαµψίας K glob, των εί µέρους στοιχείων (ράβδοι στην ροκειµένη ερίτωση). Το κλειδί σε αυτή την εργασία είναι η σωστή τοοθέτηση των στοιχείων των µητρώων K glob, = 1,.., EL στο µητρώο K glob, κάτι ου ειτυγχάνεται µέσω της µετατροής της τοικής αρίθµησης των ΒΕ σε καθολική.? K glob, k11, k12, k13, k14, k22, k23, k 24, = k33, k34, sm k44, K glob, : Μητρώο δυσκαµψίας στοιχείου, διάστασης 4 4 µε τοική αρίθµηση ΒΕ K k k k... k k k... k k... k 1,1 1,2 1,3 1,2 2,2 2,3 2,2 glob = 3,3 3,2 K glob sm...... k 2,2 : Μητρώο δυσκαµψίας ολόκληρης της κατασκευής, διάστασης 2 2 µε καθολική αρίθµηση ΒΕ Σχήµα 9: Σύνθεση του καθολικού µητρώου δυσκαµψίας της εξεταζόµενης κατασκευής? Εύρεση καθολικής αρίθµησης των ΒΕ ενός στοιχείου ράβδου Έστω µία τυική ράβδος (ραβδόµορφο στοιχείο) δύο διαστάσεων µε κόµβο αρχής, και κόµβο έρατος,.(βλ. Σχήµα 10). Τοικός ΒΕ: 2 Ράβδος Τοικός ΒΕ: 4 2 Τοικός ΒΕ: 3 dof #2 Ράβδος dof #4, dof #3 1 Τοικός ΒΕ: 1 x, dof #1 x (α) τοική αρίθµηση (β) καθολική αρίθµηση ΒΕ Σχήµα 10: Σχηµατική ανααράσταση ραβδόµορφου στοιχείου Ισχύουν τα ακόλουθα: - 17 -
Αύξων αριθµός εξεταζοµένου κόµβου Για τον κόµβο αρχής Για τον κόµβο έρατος,, Πλήθος ροηγηθέντων κόµβων (, 1) (, 1) ΒΕ ανά κόµβο 2 2 Πλήθος ροηγηθέντων ΒΕ 2 (, 1) 2 (, 1) ΒΕ εξεταζοµένου κόµβου κατά τη x-διεύθυνση ΒΕ εξεταζοµένου κόµβου κατά τη -διεύθυνση (, ) + =, ( ) 2 1 1 2 1 (, ) + =, ( ) 2 1 2 2 2 1 + 1 = 2 1,, 2 1 + 2 = 2,, ιευκρινίζεται ότι: (Πλήθος ροηγηθέντων κόµβων) = (Αύξων αριθµός εξεταζοµένου κόµβου) 1 (Πλήθος ροηγηθέντων ΒΕ) = (Πλήθος ροηγηθέντων κόµβων) (ΒΕ ανά κόµβο) (ΒΕ εξεταζοµένου κόµβου κατά τη x-διεύθυνση) = (Πλήθος ροηγηθέντων ΒΕ) + 1 (ΒΕ εξεταζοµένου κόµβου κατά τη -διεύθυνση) = (Πλήθος ροηγηθέντων ΒΕ) + 2 Εναλλακτικά: ΒΕ εξεταζοµενου κοµβου ΒΕ εξεταζοµενου κοµβου = + 1 κατα τη -διευθυνση κατα τη x-διευθυνση Ωστόσο, ισχύει ότι:, = Elem(,1) και =, Elem(, 2) Λαµβάνοντας υ όψιν όλα τα αραάνω, ροκύτει: Πίνακας Π8: Βαθµοί Ελευθερίας ράβδου Κόµβος αρχής, = Elem(,1) Ράβδος Κόµβος έρατος, Elem(, 2) = x-διεύθυνση Elem ( ) -διεύθυνση dof2 = 2 Elem(,1) x-διεύθυνση Elem ( ) -διεύθυνση dof4 = 2 Elem (,2) dof1 = 2,1 1 dof3 = 2,2 1-18 -
Άρα οι ΒΕ µίας ράβδου είναι δυνατόν να γραφούν µητρωϊκά ως εξής: T Edof = [dof1 dof2 dof3 dof4] 4. Ειβολή οριακών συνθηκών και φορτίσεων Η ειβολή των οριακών συνθηκών (στήριξη) µορεί να υλοοιηθεί µε δύο τρόους, είτε διαγράφοντας γραµµές και στήλες αό το καθολικό µητρώο δυσκαµψίας [ K της κατασκευής ου αντιστοιχούν σε δεσµευµένους ΒΕ είτε αοσώντας γραµµές και στήλες αό το καθολικό µητρώο δυσκαµψίας της κατασκευής ου αντιστοιχούν σε µη-δεσµευµένους ΒΕ. Ανεξάρτητα αό τον τρόο ου θα ακολουθηθεί, τελικά ροκύτει ένα υό-µητρώο του [ K ] glob στο οοίο διατηρούνται στοιχεία σχετιζόµενα µε µη-δεσµευµένους ΒΕ. Η ειβολή των φορτίσεων συνίσταται στην ανάλυση των εξωτερικά ασκουµένων δυνάµεων σε συνιστώσες, οι οοίες κατόιν ειβάλλονται στους κόµβους της κατασκευής. Αξίζει να σηµειωθεί ότι οι δυνάµεις στήριξης (αντιδράσεις) αοτελούν εξωτερικές δυνάµεις σε µία κατασκευή, ωστόσο δεν είναι γνωστές αό την αρχή. Εειδή σχετίζονται µε δεσµευµένους ΒΕ, δηλαδή σχετίζονται µε γραµµές και στήλες του καθολικού µητρώου δυσκαµψίας της κατασκευής ου δεν λαµβάνονται υ όψιν στην είλυση (υολογισµός κοµβικών µετατοίσεων - βλ. εόµενη αράγραφο), η αρχική µη-γνώση των δυνάµεων στήριξης δεν αοτελεί ρόβληµα. ιευκρινίζεται ότι οι αντιδράσεις υολογίζονται αφού ροηγηθεί η είλυση της κατασκευής. ] glob 5. Υολογισµός κοµβικών µετατοίσεων Οι κοµβικές µετατοίσεις ου σχετίζονται µε δεσµευµένους ΒΕ είναι µηδενικές, δηλαδή: { U } = { } 0 fixed _ dofs Οι κοµβικές µετατοίσεις ου σχετίζονται µε µη-δεσµευµένους ΒΕ ροκύτουν αό την είλυση της εξίσωσης: όου: [ ] glob, free_ dofs το τµήµα του [ ] glob { } free _ dofs : το τµήµα του { } { } free _ dofs : το τµήµα του { } [ K ] { U } = { F } glob, free _ dofs free _ dofs free_ dofs K ου αντιστοιχεί σε µη-δεσµευµένους ΒΕ U ου αντιστοιχεί σε µη-δεσµευµένους ΒΕ F ου αντιστοιχεί σε µη-δεσµευµένους ΒΕ - 19 -
και [ K ] glob : το καθολικό µητρώο δυσκαµψίας της κατασκευής { U } : { F }: διάνυσµα όλων των κοµβικών µετατοίσεων της κατασκευής διάνυσµα όλων των εξωτερικών δυνάµεων ου ασκούνται στην κατασκευή Είναι ροφανές ότι ισχύει: { } [ ] 1 ( ) { } glob, free _ dofs U = K F free _ dofs free _ dofs 6. Υολογισµός χρήσιµων µεγεθών Εκτός αό τον υολογισµό των κοµβικών µετατοίσεων, υάρχουν και άλλα µεγέθη, η γνώση των οοίων είναι άκρως χρήσιµη για την αξιολόγηση µίας κατασκευής. Στην ροκειµένη ερίτωση (δικτύωµα), το ενδιαφέρον εικεντρώνεται και στις οσότητες ου αρουσιάζονται στις εόµενες αραγράφους. Παραµορφώσεις ράβδων Η µεταβολή του µήκους δ L µίας -ράβδου ροκύτει όως φαίνεται στο Σχήµα 11. Πιο συγκεκριµένα, οι κοµβικές µετατοίσεις µίας -ράβδου είναι δυνατόν να αεικονισθούν µε δύο τρόους, τον αόλυτο (Σχήµα 11α) και τον σχετικό (Σχήµα 11β). U,, δ U U x,, δ U x U,,, Ράβδος, U x,, Ράβδος,, x (α) αόλυτος τρόος Σχήµα 11: Κοµβικές µετατοίσεις (β) σχετικός τρόος Σύµφωνα µε τον αόλυτο τρόο, για κάθε κόµβο αναγράφεται η µετατόιση τόσο κατά τη x - διεύθυνση όσο και κατά τη -διεύθυνση. Σύµφωνα µε το σχετικό τρόο, ο κόµβος αρχής - 20 -
θεωρείται ακίνητος (µηδενικές µετατοίσεις), ενώ ο κόµβος έρατος εµφανίζει κίνηση σχετική ως ρος τον κόµβο αρχής, άρα οι σχετικές του µετατοίσεις δ U x και δ U θα δίδονται αό τις αρακάτω σχέσεις: δ U = U U και x x,, x,, δ U = U U,,,, Το άθροισµα των ροβολών των σχετικών µετατοίσεων ράβδου ισούται αριθµητικά µε τη µεταβολή δ U x και U δ εί του άξονα της δ L του µήκους της -ράβδου, δηλαδή: δu x δ L = cos ϑ sinϑ δu Η αραµόρφωση ε µίας ράβδου ισούται µε δ L ε = L όου L : µήκος της -ράβδου δ L : µεταβολή µήκους της -ράβδου Τάσεις ράβδων Η αξονική τάση σ ου εµφανίζεται σε µία -ράβδο ισούται µε: σ = E ε όου: ε : E : αραµόρφωση της -ράβδου µέτρο ελαστικότητας του υλικού της -ράβδου υνάµεις ράβδων Η αξονική δύναµη F ου εµφανίζεται σε µία -ράβδο ισούται µε: - 21 -
F = σ A όου: σ : A : αξονική τάση της -ράβδου εµβαδόν διατοµής της -ράβδου Βάρος κατασκευής Το βάρος W της κατασκευής (δικτυώµατος) ισούται µε: EL W = ρ A L = 1 όου ρ : A : L : υκνότητα υλικού της -ράβδου εµβαδόν διατοµής της -ράβδου µήκος της -ράβδου Σηµειώνεται ότι εάν µία κατασκευή φορτίζεται αό το ίδιον βάρος της και µόνο, τότε το άθροισµα των δυνάµεων στήριξης ισούται µε το βάρος της κατασκευής. υνάµεις στήριξης Οι δυνάµεις στήριξης { } F είναι ίσες µε: fixed _ dofs { F} = [ K ] { U} fixed _ dofs glob, fixed _ dofs όου: [ ] glob, fixed _ dofs το τµήµα του [ ] glob { U }: K ου σχετίζεται µε δεσµευµένους ΒΕ το διάνυσµα των κοµβικών µετατοίσεων Οι δυνάµεις στήριξης ρέει να εξισορροούν τα εξωτερικώς ειβαλλόµενα φορτία, εοµένως θα ρέει να ισχύει: { F} = { F} fixed _ dofs free _ dofs - 22 -
7. Σχολιασµός Περί λογισµικού Ένα λήρες υολογιστικό εριβάλλον για την ανάλυση µίας µηχανολογικής κατασκευής µε τη Μέθοδο των Πεερασµένων Στοιχείων (ΜΠΣ) εµφανίζει τρία διακριτά µέρη (βλ. Σχήµα 12). Ν ΑΡΧΗ Προ-εεξεργασία Ανάλυση Μετα-εεξεργασία Νέα εκτέλεση Ο ΤΕΛΟΣ Προ-εεξεργασία (pre-processing) Αφορά στην εισαγωγή όλων εκείνων των δεδοµένων ου ααιτούνται για τη µελέτη της κατασκευής, δηλαδή: Γεωµετρική εριγραφή της κατασκευής ιακριτοοίηση της κατασκευής ήλωση ιδιοτήτων υλικού της κατασκευής ήλωση στηρίξεων ήλωση φορτίσεων Η γεωµετρική εριγραφή της κατασκευής ειτυγχάνεται µέσω της σχεδίασης αυτής. Με τον όρο διακριτοοίηση της κατασκευής, ισοδύναµα µε τον όρο δηµιουργία λέγµατος, εννοούµε τη διαίρεση της κατασκευής σε λήθος στοιχείων µε εερασµένες γεωµετρικές διαστάσεις (Πεερασµένα Στοιχεία - ΠΣ). Ο τύος των ΠΣ αοτελεί ειλογή του χρήστη. Εοµένως, η ρο-εεξεργασία είναι ουσιαστικά ένα σχεδιαστικό εριβάλλον, στο οοίο ροσοµοιώνεται η ρος µελέτη κατασκευή. Το ροϊόν αυτής της ροσοµοίωσης καλείται µοντέλο Σχήµα 12: Τυική δοµή λογισµικού ΜΠΣ Ανάλυση (Anlsis) Σε αυτό το τµήµα λαµβάνει χώρα ο υολογισµός όλων των οσοτήτων ενδιαφέροντος, όως κοµβικές µετατοίσεις, τάσεις, αραµορφώσεις, ιδιοσυχνότητες, κοκ. Μετά-εεξεργασία (post-processing) Σε αυτό το τµήµα, αρουσιάζονται τα αοτελέσµατα της ανάλυσης. Ο λέον συνήθης τρόος αροσυσίασης είναι µέσω χρωµατικής αεικόνισης. Αυτό σηµαίνει ότι η κατανοµή της οσότητας ενδιαφέροντος,.χ. τάση, εµφανίζεται ως κατανοµή χρωµάτων σε όλη της έκταση της κατασκευής σύµφωνα µε µία χρωµατική κλίµακα. Ειροσθέτως, είναι δυνατή η αρουσίαση αοτελεσµάτων είτε µε τη µορφή γραφηµάτων, είτε µε τη µορφή ινάκων είτε ως εριεχόµενο κάοιου αρχείου δεδοµένων. ιευκρινίζεται ότι η χρωµατική αεικόνιση, αν και δίδει µία γρήγορη και εοτική εικόνα της κατανοµής ενός µεγέθους, είναι δυνατόν να αραλανήσει. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η κατασκευή µίας χρωµατικής κατανοµής στηρίζεται σε διαδικασίες αρεµβολής (interpoltion) µεταξύ αριθµητικών τιµών σε - 23 -
συγκεκριµένα σηµεία, οότε υάρχει ο κίνδυνος αυτό ου αεικονίζεται χρωµατικά να διαφέρει σηµαντικά αό αυτό ου εριγράφεται αριθµητικά. Περί γενικότερης ισχύος της ΜΠΣ Στις ροηγούµενες ενότητες αρουσιάσθηκε η αντιµετώιση ενός 2 -δικτυώµατος. Ακριβώς η η ίδια ορεία εργασιών ακολουθείται για την εξέταση οοιασδήοτε κατασκευής. Το µόνο ου αλλάζει είναι ο τύος του εερασµένου στοιχείου ου ρέει να χρησιµοοιηθεί. Για αράδειγµα, στην ερίτωση ενός λαισίου, ρέει να χρησιµοοιηθεί το εερασµένο στοιχείου της δοκού, ενώ σε ερίτωση είεδης ελαστικότητας ρέει να χρησιµοοιηθεί αντίστοιχος τύος εερασµένου στοιχείου (.χ. 3-κοµβικό τριγωνικό στοιχείο, 4-κοµβικό τετραλευρικό στοιχείο κοκ). Ανάλογα, δε, µε τη διάσταση του ροβλήµατος (.χ. 1, 2 ή 3 ), ειλέγεται η κατάλληλη διατύωση του µητρώου δυσκαµψίας του εερασµένου στοιχείου. Για αράδειγµα, σε ένα 2 -δικτύωµα χρησιµοοιείται το µητρώο δυσκαµψίας της ράβδου σε 2, ενώ σε ένα 3 -δικτύωµα ρέει να χρησιµοοιηθεί η διατύωση του µητρώου δυσκαµψίας της ράβδου σε 3. Περί µητρώου µάζας Εν γένει, ένα σώµα εµφανίζει αντίσταση στην ειβολή εξωτερικών δυνάµεων. Στην ερίτωση όου οι εξωτερικές δυνάµεις τείνουν να αραµορφώσουν το σώµα, η αντίσταση ου αυτό ροβάλλει εριγράφεται οσοτικά µέσω του καθολικού µητρώου δυσκαµψίας του [ K ]. Στην ερίτωση όου οι εξωτερικές δυνάµεις τείνουν να µετακινήσουν το σώµα, η αντίσταση ου αυτό ροβάλλει εριγράφεται οσοτικά µέσω του καθολικού µητρώου µάζας M του [ M ]. Το µητρώο [ M ] συντίθεται όως ακριβώς και το µητρώο [ K ]. Το µητρώο [ ] χρησιµοοιείται όταν είναι ειθυµητή η µελέτη της δυναµικής συµεριφοράς ενός σώµατος, οότε η ρος είλυση εξίσωση λαµβάνει τη µορφή: [ M ]{ Uɺɺ } + [ K ]{ U} = { F} Ειδική κατηγορία αοτελούν τα ροβλήµατα ιδιοανυσµατικής ανάλυσης (ιδιοανάλυσης), όου εκεί ζητείται ο υολογισµός των ιδιοσυχνοτήτων του εξεταζοµένου σώµατος, ενώ η ρος είλυση εξίσωση λαµβάνει τη µορφή: ([ K ] ω 2 [ M ]) det = 0 Στην ερίτωση όου είναι ειθυµητός ο συνυολογισµός του ίδιου βάρους µίας κατασκευής, τότε το µητρώο µάζας [ M ] δεν εεισέρχεται άµεσα στην ρος είλυση εξίσωση: - 24 -
[ K ]{ U} = { F} Ωστόσο, χρησιµοοιείται ροκειµένου να υολογισθεί η βαρυτική δύναµη ου ασκείται σε κάθε εερασµένο στοιχείο, η οοία στη συνέχεια κατανέµεται στους κόµβους του αντίστοιχου στοιχείου, άρα ροστίθεται κατάλληλα στις εξωτερικά ασκούµενες κοµβικές δυνάµεις. Με άλλα λόγια, η είδραση του ίδιου βάρους της κατασκευής εµφανίζεται έµµεσα στο διάνυσµα { F } της ανωτέρω εξίσωσης. Περί ε ιβολής οριακών συνθηκών Όως έχει σχολιασθεί στην αντίστοιχη ενότητα, η ανάλυση µίας κατασκευής στηρίζεται στην είλυση της εξίσωσης: [ K ] { U } = { F } glob, free _ dofs free _ dofs free _ dofs όου [ ] glob, free_ dofs το τµήµα του [ ] glob { } free _ dofs : το τµήµα του { } { } free _ dofs : το τµήµα του { } K ου αντιστοιχεί σε µη-δεσµευµένους ΒΕ U ου αντιστοιχεί σε µη-δεσµευµένους ΒΕ F ου αντιστοιχεί σε µη-δεσµευµένους ΒΕ Τα µητρώα [ K ] και { F } είναι δυνατόν να ροέλθουν αό τα µητρώα [ K ] glob, free _ dofs free _ dofs glob και { } K και { F } F, αντίστοιχα, µε δύο τρόους: είτε διαγράφοντας αό τα µητρώα [ εκείνες τις γραµµές και στήλες ου σχετίζονται µε δεσµευµένους ΒΕ, είτε αοσώντας αό τα µητρώα [ K και { F } εκείνες τις γραµµές και στήλες ου σχετίζονται µε µη-δεσµευµένους ] glob ΒΕ. Όσον αφορά στη διαγραφή, ή αόσαση, των γραµµών και στηλών, δηλαδή όσον αφορά στην ειβολή των συνθηκών στήριξης, αυτή ραγµατοοιείται µε δύο τρόους: 1 ος τρόος: για κάθε εερασµένο στοιχείο συντίθεται το τοικό µητρώο δυσκαµψίας, κατόιν ενηµερώνεται το καθολικό µητρώο δυσκαµψίας της κατασκευής και, αφού ολοκληρωθεί αυτή η διαδικασία για όλα τα ΠΣ της κατασκευής, διαγράφονται (αοσούνται) αό αυτό γραµµές και στήλες ου αντιστοιχούν σε δεσµευµένους (µηδεσµευµένους) βαθµούς ελευθερίας. Με άλλα λόγια, η ειβολή των συνθηκών στήριξης υλοοιείται σε καθολικό (globl) είεδο. 2 ος τρόος: για κάθε εερασµένο στοιχείο συντίθεται το τοικό µητρώο δυσκαµψίας, κατόιν διαγράφονται (αοσούνται) αό αυτό γραµµές και στήλες ου αντιστοιχούν σε δεσµευµένους (µη-δεσµευµένους) βαθµούς ελευθερίας και µετά ενηµερώνεται το ] glob - 25 -
καθολικό µητρώο δυσκαµψίας της κατασκευής. Με άλλα λόγια, η ειβολή των συνθηκών στήριξης υλοοιείται σε τοικό (locl) είεδο. Αό αόψεως ρογραµµατισµού, η δεύτερη αντιµετώιση οδηγεί σε καλύτερη διαχείριση της µνήµης του Η/Υ µιας και αοθηκεύονται σε αυτήν µόνον στοιχεία τα οοία θα αξιοοιηθούν. Παλαιότερα, η διαθέσιµη µνήµη των ειτραέζιων Η/Υ ήταν ολύ εριορισµένη, οότε η διαχείριση της µνήµης ήταν ζήτηµα ρωτίστης σηµασίας, κάτι ου δεν ισχύει λέον σε τόσο σηµαντικό βαθµό. - 26 -