Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Συναρτήσεις Μεταφοράς, Δομικά Διαγράμματα, Διαγράμματα Ροής Σημάτων Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας 1. Να κατανοήσετε Συνάρτησης μεταφοράς 2. Να γνωρίσετε τα Διαγράμματα βαθμίδων 3. Να αντιληφθείτε τα Διαγράμματα ροής σημάτων 4. Να κατανοήσετε πως βρίσκουμε την ολική απόκριση συστήματος με περισσότερες από μία εισόδους 5. Να αναγνωρίζετε το Τυπολόγιο 4

Περιεχόμενα ενότητας Συνάρτηση μεταφοράς Διαγράμματα βαθμίδων ή Λειτουργικά διαγράμματα Διαγράμματα ροής σημάτων Εύρεση της ολικής απόκρισης συστήματος με περισσότερες από μία εισόδους Τυπολόγιο Λυμένες ασκήσεις εξάσκησης Ασκήσεις για λύση 5

Συνάρτηση μεταφοράς (1) Κατά τη μελέτη των συστημάτων ελέγχου χρησιμοποιούνται συχνά οι συναρτήσεις μεταφοράς που χαρακτηρίζουν τις σχέσεις εισόδου - εξόδου των γραμμικών μη χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων. Συνάρτηση μεταφοράς (transfer function) ορίζεται το πηλίκο του μετασχηματισμού Laplace της εξόδου ενός γραμμικού αμετάβλητου συστήματος προς το μετασχηματισμό Laplace της εισόδου του, όταν οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές και αντιστοιχεί σε μία σχέση με την οποία περιγράφεται η δυναμική του συστήματος υπό εξέταση. 6

Συνάρτηση μεταφοράς (2) 7

Συνάρτηση μεταφοράς (3) Η συνάρτηση μεταφοράς εκφράζει τις δυναμικές χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός γραμμικού συστήματος που η μελέτη τους θα μας απασχολήσει μελλοντικά. Το πολυώνυμο του παρονομαστή της Σ.Μ ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο και η μελέτη του μας δίνει την δυνατότητα να ελέγξουμε ορισμένες προδιαγραφές του συστήματος όπως η ευστάθεια κλπ. 8

Ιδιότητες της συνάρτησης μεταφοράς (1) 1. Η συνάρτηση μεταφοράς G(s) από ένα σύστημα μπορεί (με βάση τον ορισμό της) να προκύψει με την εφαρμογή του μετασχηματισμού L στη διαφορική εξίσωση του, με την προϋπόθεση ότι όλες οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Αν ένα Γ.Σ. περιγράφεται από την: Να βρεθεί η G(s) 9

Ιδιότητες της συνάρτησης μεταφοράς (2) Λύση 10

Ιδιότητες της συνάρτησης μεταφοράς (3) 2. Η διαφορική εξίσωση από ένα γραμμικό σύστημα μπορεί να προκύψει από την Σ.Μ. G(s) με αντικατάσταση σε αυτή της μεταβλητής s με τον διαφορικό τελεστή D και του συμβόλου G(s) με το λόγο y/x. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Δίνεται η Σ.Μ. ενός Γ.Σ. Ποια η διαφορική εξίσωση του συστήματος. 11

Ιδιότητες της συνάρτησης μεταφοράς (4) Λύση 12

Ιδιότητες της συνάρτησης μεταφοράς (5) 3. Η Σ.Μ. G(s) ενός Γ.Σ. ισούται με τον μετασχηματισμό L της συνάρτησης εξόδου Y(s), όταν το σύστημα διεγείρεται από τον μοναδιαίο παλμό δ(t) με μηδενικές Α.Σ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Έστω το δικτύωμα του σχήματος, να αποδειχθεί γι αυτό η παραπάνω ιδιότητα. 13

Ιδιότητες της συνάρτησης μεταφοράς (6) Λύση Η διαφορική εξίσωση του δικτυώματος είναι: 14

Ιδιότητες της συνάρτησης 5. Ο παρονομαστής της συνάρτησης μεταφοράς εξισωμένος με το μηδέν, δίνει την χαρακτηριστική εξίσωση (Χ.Ε) της διαφορικής εξίσωσης του Γ.Σ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Αν η συνάρτηση μεταφοράς συστήματος είναι: Η χαρακτηριστική εξίσωση (Χ.Ε) του συστήματος θα είναι: μεταφοράς (7) 15

Ιδιότητες της συνάρτησης 6. Οι ρίζες του αριθμητού της συνάρτησης μεταφοράς λέγονται μηδενικά ( zeros) ενώ οι ρίζες του παρονομαστή της Σ.Μ. λέγονται πόλοι (poles). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Αν η συνάρτηση μεταφοράς απ ένα Γ.Σ. είναι μεταφοράς (8) Το σύστημα αυτό εμφανίζει τo μηδενικό s=-1 και τους πόλους p1=-3 και p2=2. 16

Διάγραμμα πόλων μηδενικών (pole-zero diagram) 17

Διαγράμματα βαθμίδων ή Λειτουργικά διαγράμματα Τα δομικά διαγράμματα (block diagrams) ή διαγράμματα βαθμίδων ή λειτουργικά διαγράμματα περιγράφουν ένα σύστημα εποπτικά και αποτελούν τη σχηματική παράσταση των λειτουργιών των συνιστωσών του συστήματος. Κάθε βαθμίδα του διαγράμματος συμβολίζεται με ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, μέσα στο οποίο σημειώνεται είτε το όνομα της βαθμίδας (π.χ. ενισχυτής), είτε η αντίστοιχη συνάρτηση μεταφοράς της βαθμίδας (π.χ G(s)=10/s). 18

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΒΑΘΜΙΔΩΝ (Block diagrams) Τα πλεονεκτήματα της χρήσης των δομικών διαγραμμάτων είναι η ευκολία με την οποία καταρτίζονται και οι πληροφορίες που παρέχουν για τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Η ανάλυση των συστημάτων ελέγχου με τη μέθοδο απλοποίησης λειτουργικών διαγραμμάτων βοηθάει στην κατανόηση του είδους και της φύσης της συνεισφοράς κάθε μονάδας που συμπεριλαμβάνεται στο σύστημα συγκριτικά με την ανάλυση που βασίζεται στη μελέτη των αντίστοιχων εξισώσεων του μαθηματικού μοντέλου. 19

Δομικό διάγραμμα Σ.Α.Ε κλειστού βρόχου (1) 20

Δομικό διάγραμμα Σ.Α.Ε Το πολυώνυμο 1+G(s)H(s) ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο (Χ.Π). κλειστού βρόχου (2) Η εξίσωση 1+ G(s)H(s)=0 ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση (Χ.Ε) του συστήματος. 21

Συνάρτηση μεταφοράς Σ.Α.Ε κλειστού βρόχου - Απόδειξη 22

Διαγράμματα ροής σημάτων Signal flow graphs (1) Τα διαγράμματα ροής σημάτων όπως και τα δομικά διαγράμματα, παρέχουν μία εποπτική εικόνα ενός συστήματος και αποτελούν μία εναλλακτική μέθοδο αναπαράστασης των σχέσεων που συνδέουν τις μεταβλητές ενός συστήματος. Η θεωρία των διαγραμμάτων ροής σημάτων αναπτύχθηκε από τον S. J. Mason (July 1953) και εφαρμόζεται σε κάθε σύστημα χωρίς να χρειάζεται να γίνει απλοποίηση του λειτουργικού διαγράμματος η οποία σε πολύπλοκα διαγράμματα είναι ιδιαίτερα επίπονη. 23

Διαγράμματα ροής σημάτων Signal flow graphs (2) Το διάγραμμα ροής σημάτων (Δ.Ρ.Σ.) είναι η γραφική παράσταση ενός συνόλου γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων της μιγαδικής μεταβλητής. Ένα διάγραμμα ροής αποτελείται από κόμβους, κλάδους και βρόχους. 24

Διαγράμματα ροής σημάτων Signal flow graphs (3) Ο κάθε κόμβος (node) παριστάνει μία μεταβλητή (σήμα) και ανήκει σε μία από τις παρακάτω κατηγορίες: α. κόμβος πηγής ή εισόδου: Ο κόμβος από τον οποίο ξεκινούν ένας ή περισσότεροι κλάδοι και στον οποίο δεν καταλήγει κανένας κλάδος (source node). β. κόμβος εξόδου: Ο κόμβος στον οποίο καταλήγουν ένας ή περισσότεροι κλάδοι και από τον οποίο δεν ξεκινάει κανένας κλάδος (sink node). γ. Μικτός κόμβος: Ο κόμβος στον οποίο εισέρχονται και εξέρχονται κλάδοι (mixed node). 25

Διαγράμματα ροής σημάτων Signal flow graphs (4) 26

Διαγράμματα ροής σημάτων Signal flow graphs (5) Kάθε κλάδος (branch) συνδέει δύο κόμβους και έχει δύο χαρακτηριστικά, τη φορά και το μέγεθος. Φορά (direction) είναι η κατεύθυνση του σήματος από τον ένα κόμβο στον άλλο, ενώ μέγεθος (gain) είναι ο συντελεστής α ή συνάρτηση μεταφοράς, που συνδέει τις μεταβλητές x1 και x2. H φορά και το μέγεθος συνδέονται με τη σχέση x2=αx1. 27

Διαγράμματα ροής σημάτων Signal flow graphs (6) Δρόμος (path) είναι μία διαδοχή κλάδων που έχουν την ίδια φορά. Απευθείας δρόμος (forward path) είναι ο δρόμος που ξεκινά από τον κόμβο εισόδου και καταλήγει στον κόμβο εξόδου. Βρόχος (loop) είναι η κλειστή διαδρομή που αρχίζει και καταλήγει στον ίδιο κόμβο. Δύο βρόχοι ενός διαγράμματος ροής σήματος ονομάζονται ανεξάρτητοι (non touching) όταν δεν έχουν κανένα κοινό κόμβο. 28

Διαγράμματα ροής σημάτων Signal flow graphs (7) 29

Διαγράμματα ροής σημάτων Signal flow graphs (8) Παράδειγμα: Να βρεθούν οι δρόμοι για το ακόλουθο Δ.Ρ.Σ 30

Λύση: Διαγράμματα ροής σημάτων Signal flow graphs (9) 31

Διαγράμματα ροής σημάτων Signal flow graphs (10) Παράδειγμα: Να βρεθούν οι βρόχοι για το ακόλουθο Δ.Ρ.Σ 32

Διαγράμματα ροής σημάτων Signal flow graphs (11) Λύση 33

ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ΜΑΣΟΝ Mason s gain formula 1953 (1) Ο τύπος του Mason δίνει τη σχέση μεταξύ της εισόδου και της εξόδου ενός συστήματος μέσω του διαγράμματος ροής σημάτων, απ' ευθείας, χωρίς διαδοχικές απλοποιήσεις και είναι: 34

ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ΜΑΣΟΝ Mason s gain formula 1953 (2) όπου: Tn=Το κέρδος του η-οστού απ' ευθείας δρόμου που συνδέει είσοδο με έξοδο. Δ= Η ορίζουσα του διαγράμματος και δίνεται από τη σχέση:. L1=Το κέρδος κάθε βρόχου. ΣL1=Το άθροισμα των κερδών όλων των βρόχων του Δ.Ρ.Σ 35

ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ΜΑΣΟΝ Mason s gain formula 1953 (3) L2=Το γινόμενο των κερδών δύο μη εφαπτόμενων βρόχων. ΣL2=Το άθροισμα των γινομένων των κερδών όλων των βρόχων ανά δύο που να μην εφάπτονται μεταξύ τους. L3=Το γινόμενο των κερδών τριών μη εφαπτόμενων βρόχων. ΣL3=Το άθροισμα των γινομένων των κερδών όλων των βρόχων ανά τρεις που να μην εφάπτονται μεταξύ τους. Δn = Η υποορίζουσα της διαδρομής Τn και υπολογίζεται από τη σχέση του Δ μη λαμβάνοντας υπ' όψη τους βρόχους που εφάπτονται στη n-οστή προς τα εμπρός διαδρομή. 36

Διαγράμματα ροής σημάτων Παρατηρήσεις: Όταν έχουμε ένα πολύπλοκο λειτουργικό (δομικό) διάγραμμα και θέλουμε να υπολογίσουμε τον λόγο ελέγχου Υ/U (έξοδος/είσοδος) τότε μετατρέπουμε το λειτουργικό διάγραμμα σε διάγραμμα ροής σημάτων και στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη γενική εξίσωση υπολογισμού του κέρδους εξόδου εισόδου. Γενικά η απλοποίηση των πολύπλοκων δομικών διαγραμμάτων διευκολύνεται πολύ με τη σχεδίαση των διαγραμμάτων ροής σήματος και την εφαρμογή του κανόνα του Mason. 37

Εύρεση της ολικής απόκρισης συστήματος με περισσότερες από μια εισόδους H ολική έξοδος του συστήματος (Response of multiple input system) θα ισούται με το άθροισμα των επιμέρους εξόδων του (θεώρημα υπέρθεσης ή επαλληλίας superposition principle). Δηλαδή: 38

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ Yx(s) V(s)=R(s)=0 39

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ Yv(s) X(s)=R(s)=0 40

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ Yr(s) V(s)=X(s)=0 41

Υπολογισμός της εξόδου Η ολική έξοδος του συστήματος 3 εισόδων μιας εξόδου θα είναι: 42

Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων (1) Τυπολόγιο 43

Λυμένες ασκήσεις εξάσκησης Χαρακτηριστικά των Σ.Α.Ε.: ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΣΕ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 46

Άσκηση 1 47

Άσκηση 2 (1) 48

Άσκηση 3 (1) Να σχεδιαστεί το Δ.Ρ.Σ του δομικού συστήματος του σχήματος και με εφαρμογή του Mason s Rule να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς του. ΛΥΣΗ 52

Άσκηση 3 (2) Υπολογισμός της Σ.Μεταφοράς 53

Άσκηση 4 (1) Με εφαρμογή του Mason s Rule να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος που περιγράφεται από το ακόλουθο Δ.Ρ.Σ. 54

Άσκηση 4 (2) Δρόμοι - Forward Paths 55

Άσκηση 4 (3) Βρόχοι - Loops 56

Άσκηση 4 (4) Βρόχοι - Loops 57

Άσκηση 4 (5) Ζεύγη βρόχων που δεν εφάπτονται 58

Άσκηση 4 (6) Υπολογισμός της Σ.Μ 59

Άσκηση 5 (1) Να σχεδιαστεί το Δ.Ρ.Σ του δομικού συστήματος του σχήματος και με εφαρμογή του Mason s Rule να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς του. 60

Άσκηση 5 (4) Υπολογισμός της Συνάρτησης μεταφοράς Αντικαθιστώντας στον τύπο του MASON έχουμε: 63

Άσκηση 6 (1) Στο σχήμα απεικονίζεται το σύστημα ελέγχου της μετατόπισης ενός υδραυλικού ενισχυτή. α) Να γραφούν οι εξισώσεις λειτουργίας του συστήματος. β) Να σχεδιαστεί το δομικό διάγραμμα και το διάγραμμα ροής σημάτων του συστήματος. 64

Άσκηση 6 (2) Λύση α) Το μαθηματικό μοντέλο του υδραυλικού ενισχυτή είναι: 65

Άσκηση 6 (3) Λύση α) Το μαθηματικό μοντέλο μετασχηματισμένο κατά Laplace είναι: 66

Άσκηση 6 (4) Λύση Βάσει των μετασχηματισμένων κατά Laplace εξισώσεων του μοντέλου σχεδιάζονται το δομικό διάγραμμα και το διάγραμμα ροής σήματος του συστήματος. 67

Άσκηση 7 (1) Ας θεωρήσουμε το υδραυλικό σύστημα του σχήματος. α)να βρεθεί η Σ.Μ Gs () Q () 2 s Qs () β) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί προσεγγιστικά η βηματική απόκριση αν R C R C R C 1 1 2 2 2 1 γ) Να σχεδιαστεί το διάγραμμα ροής σημάτων του συστήματος και να επαναληφθεί το ερώτημα (α) με τη χρήση του τύπου του Mason. 68

Άσκηση 7 (2) Λύση α) Το μαθηματικό μοντέλο του υδραυλικού συστήματος είναι: 69

Άσκηση 7 (3) Μετασχηματίζουμε κατά Laplace το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος θεωρώντας μηδενικές τις Α.Σ: 70

: Άσκηση 7 (4) Ο Υπολογισμός της Σ. Μεταφοράς είναι: 71

Άσκηση 7 (5) Υπολογισμός της βημ. απόκρισης 72

Άσκηση 7 (8) Σχεδίαση της βημ. Απόκρισης Βάσει της σχέσης (10) σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της παροχής q2(t). 75

Άσκηση 7 (9) Κατασκευή του Δ.Ρ.Σ γ) Βάσει των μετασχηματισμένων κατά Laplace εξισώσεων του μοντέλου σχεδιάζουμε το διάγραμμα ροής σημάτων του συστήματος 76

Άσκηση 7 (10) Εφαρμογή του τύπου του Mason 77

Άσκηση 7 (11) Υπολογισμός της Σ.Μ 78

Άσκηση 8 (1) Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος προπορείαςκαθυστέρησης (Lead-Lag) του διπλανού σχήματος ΛΥΣΗ - A Τρόπος: Θα υπολογίσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς σύμφωνα με το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος. 79

Άσκηση 8 (2) Από το προηγούμενο μετασχηματισμένο κύκλωμα προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις κατά Laplace 80

Άσκηση 8 (5) ΛΥΣΗ - Β Τρόπος: Θα υπολογίσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς σύμφωνα με το διάγραμμα ροής σημάτων και τον τύπο του Mason. Αρχικά πρέπει να υπολογίσουμε όλες τις ενδιάμεσες εξισώσεις του κυκλώματος του διπλανού σχήματος. Αφού υπολογίσουμε όλες τις ενδιάμεσες εξισώσεις του κυκλώματος σχεδιάζουμε τώρα το διάγραμμα ροής σημάτων του κυκλώματος. 83

Άσκηση 8 (7) Υπολογισμός του Δ. 85

Άσκηση 8 (8) Yπολογισμός Δ1 : Επειδή όλοι οι κλάδοι αγγίζουν τον απευθείας κλάδο, έπεται ότι Δ 1 = 1 (10) Αντικαθιστώντας τις (8), (9) και (10) στην (7) προκύπτει ότι η συνάρτηση μεταφοράς που ζητείται. 86

Άσκηση 9 (1) Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς του δομικού διαγράμματος του παρακάτω σχήματος α) με απλοποίηση β) σχεδιάζοντας το αντίστοιχο διάγραμμα ροής σημάτων και εφαρμόζοντας του τύπο του Mason. 87

Άσκηση 9 (2) i) Έτσι με την εφαρμογή όπου μεταφέρουμε το σημείο λήψεως της βαθμίδας με συνάρτηση μεταφοράς την G4(s) προκύπτει το παρακάτω δομικό διάγραμμα. 88

Άσκηση 9 (3) ii) Με την εφαρμογή των παραπάνω μετασχηματισμών για τις βαθμίδες με συναρτήσεις μεταφοράς τις G3(s), G4(s), H1(s) προκύπτει το παρακάτω δομικό διάγραμμα. 89

Άσκηση 9 (4) iii) Με την εφαρμογή των παραπάνω μετασχηματισμών προκύπτει το παρακάτω απλοποιημένο δομικό διάγραμμα. 90

Άσκηση 9 (5) iii) Έτσι με την εφαρμογή των παραπάνω μετασχηματισμών βρήκαμε την τελική απλοποίηση του αρχικού δομικού διαγράμματος. 91

Άσκηση 9 (6) β) Με το Διάγραμμα Ροής Σημάτων και τον τύπο του Μason. 92

Άσκηση 9 (8) Έτσι αντικαθιστώντας όλες τις παραπάνω τιμές στην εξίσωση (1) έχουμε: 94

Άσκηση 10 (1) Στο σύστημα ελέγχου γωνιακής ταχύτητας του παρακάτω σχήματος τα ταχύμετρα αναφοράς και ανατροφοδότησης είναι τα ίδια. Οι παράμετροι του συστήματος είναι: kα [V/V] (ενισχυτής), Rf [Ω], Lf [H], kf [V/A] πεδίου (γεννήτρια), R [Ω], kt [N*m/A] (σταθερά ροπής κινητήρα), α [V/rad/s] (σταθερά ταχύτητας των ταχυμέτρων συνεχούς), J [N*m*s2/rad] (συντελεστής ροπής αδράνειας) και B [N*m*s/rad] (συντελεστής τριβής). α) Να γραφούν οι εξισώσεις λειτουργίας του συστήματος κατά Laplace υποθέτοντας μηδενικές αρχικές συνθήκες. β) Να σχεδιαστούν το δομικό διάγραμμα και το διάγραμμα ροής σημάτων του συστήματος και να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς του (s) G(s) E με τον τύπο του Mason. (s) γ) Να βρεθεί η μόνιμη τιμή της βηματικής απόκρισης του συστήματος. 95

Άσκηση 10 (2) Το σύστημα σερβομηχανισμού ταχύτητας του σχήματος ελέγχει αυτόματα την γωνιακή ταχύτητα ω του φορτίου, παρά τις μεταβολές στο φορτίο. Διάταξη WARD LEONARD 96

Άσκηση 10 (3) 97

Άσκηση 10 (4) Βάσει όλων των μετασχηματισμένων κατά Laplace εξισώσεων σχεδιάζουμε το δομικό διάγραμμα του συστήματος ελέγχου γωνιακής ταχύτητας. 98

Άσκηση 10 (5) Από το δομικό διάγραμμα κατασκευάζουμε το διάγραμμα ροής σημάτων του συστήματος. 99

Άσκηση 10 (6) 100

Άσκηση 10 (7) 101

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ σε πρακτικά Σ.Α.Ε

Άσκηση 1 103

Άσκηση 2 104

Άσκηση 3 105

Άσκηση 4 106

Άσκηση 5 107

Άσκηση 6 108

Τέλος Ενότητας