ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y): «O άνθρωπος y είναι φοιτητής» και I(x,y): «Το αντικείμενο x είναι ιδιοκτησία του ανθρώπου y». Θεωρώντας μεταβλητές κάποιες από τις οποίες είναι ορισμένες στο σύνολο των αντικειμένων και άλλες στο σύνολο των ανθρώπων, αποδώστε σε κατηγορηματικό λογισμό την πρόταση: «Υπάρχει ηλεκτρονικός υπολογιστής που ο ιδιοκτήτης του δεν είναι φοιτητής». 2. [9] Έχετε μπροστά σας τρία κλειστά κουτιά. Το ένα περιέχει χρυσάφι και τα άλλα δύο είναι κενά. Κάθε κουτί έχει πάνω του μία επιγραφή. Κουτί 1: Το χρυσάφι δεν βρίσκεται εδώ, Κουτί 2: Το χρυσάφι δεν βρίσκεται εδώ, Κουτί 3: Το χρυσάφι βρίσκεται στο Kουτί 2. Επίσης, γνωρίζετε ότι μόνο μία από τις τρείς επιγραφές είναι αληθής. Ποιο κουτί έχει το χρυσάφι; y Y ( y) x ( x) I( x, y) 1. y Y( y) x I( x, y) ( x) όπου το x παίρνει τιμές στο σύνολο των ανθρώπων και το y στο σύνολο των αντικειμένων. 2. Έστω Bi = To χρυσάφι βρίσκεται στο κουτί i Εφόσον ένα μόνο κουτί έχει χρυσάφι ξέρουμε ότι ισχύει ότι Εφόσον μία μόνο επιγραφή λέει την αλήθεια ξέρουμε ότι: Η οποία είναι ισοδύναμη με την πρόταση Σελίδα 1 από 7
Από τον πίνακα αληθείας, προκύπτει ότι για να είναι αληθείς οι προτάσεις (2.1) και (2.3) πρέπει η πρόταση Β1 να είναι αληθής και οι άλλες δύο ψευδείς. Επομένως, το χρυσάφι βρίσκεται στο κουτί 1. Θέμα 2: [14 μονάδες] 1. [5] Τι μπορείτε να συνάγετε για τα σύνολα Α και Β αν ξέρετε ότι: (a) AB A, (b) AB A, (c) AB A, (d) AB B A (e) A B B A. 2. [9] Δείξτε ότι για σύνολα Α, Β, C, ( B A) ( C A) ( B C) A. Η απόδειξή σας δεν πρέπει να χρησιμοποιεί πίνακα μελών, ούτε ταυτότητες συνόλων, ούτε αναγωγή σε προτασιακό λογισμό. 1. (a) B A, (b) A B, (c) Β=Ø ή Α Β=Ø (d) A B (e) Η σχέση ισχύει για οποιαδήποτε σύνολα, επομένως δεν μπορούμε να βγάλουμε κανένα συμπέρασμα για τα Α, Β. 2. Έστω x (B-A) (C-A). Τότε x (B-A) x (C-A) (x B x A) ( x C x A) x A ( x B x C) x A (x (B C) x [( B C)-A] (B-A) (C-A) ( B C)-A (1) Αντίστροφα έστω x (B C)-A. Τότε x ( B C) x A (x B x C) x A [(x B x A) (x C x A)] x (B-A) x (C-A) x (B-A) (C-A) [(B C)-A] (B-A) (C-A) (2) Από (1) και (2) (B C)-A = (B-A) (C-A) Θέμα 3: [15 μονάδες] 1. [9] Σε ένα κατάστημα ψιλικών υπάρχουν δέκα προϊόντα που κοστίζουν το πολύ ένα ευρώ. Δείξτε ότι σίγουρα μπορούμε να βρούμε δύο διαφορετικά υποσύνολα αυτών των προϊόντων που να έχουν το ίδιο συνολικό κόστος. Σελίδα 2 από 7
2. [6] Αποδείξτε επαγωγικά ότι n 1, n i1 2 4 6i n 3n 1. Κάθε προϊόν μπορεί να κοστίζει από 1 έως 100 λεπτά του Ευρώ. Υπάρχουν 10 2 1 1023 δυνατά μη κενά υποσύνολα προϊόντων. Το μέγιστο συνολικό κόστος όλων των προϊόντων είναι 10x100=1000 λεπτά. Επομένως, από την αρχή του 1023 περιστερώνα, υπάρχουν τουλάχιστον 2 1000 διαφορετικά υποσύνολα προϊόντων με το ίδιο συνολικό κόστος (Κοιτάξτε και την άσκηση Φ5.30). 2. Βάση της επαγωγής: Για n=1 1 (4 6i) = n 3n 2 4 6 = 1 3 2 = 2 που είναι αληθές Επαγωγική Υπόθεση: Έστω ότι για n=k k (4 6i) = k 3k 2 Θα αποδείξω ότι k+1 (4 6i) = (k + 1) 3(k + 1) 2 = k + 1 3k 2 6k 3 = 3 k 2 5k 2 k+1 k (4 6i) = (4 6i) + (4 6(k + 1)) = (Από Υπόθεση) k 3k 2 + (4 6k 6) = k = 3k 2 6k 2 = 3k 2 5k 2 ο.ε.δ. Θέμα 4: [18 μονάδες] 1. [9] Έστω οι σχέσεις που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. a. Για κάθε μία από αυτές αναφέρετε κατά πόσον έχει την (1) ανακλαστική (2) συμμετρική (3) αντισυμμετρική (4) μεταβατική ιδιότητα. Σελίδα 3 από 7
b. Για κάθε σχέση από αυτές που είναι σχέση ισοδυναμίας, δώστε τις κλάσεις ισοδυναμίας και για κάθε σχέση που είναι σχέση μερικής διάταξης, βρέστε μια μέγιστη αντιαλυσίδα. 2. f : S T [9] Έστω συνάρτηση. Δοσμένης μιας σχέσης ισοδυναμίας επί του συνόλου Τ, ορίζουμε μια σχέση επί του S ως εξής: x, x S, f ( x ) f ( x ) x x. Δείξτε ότι η σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας 1 2 1 2 1 2 επί του S. 1. a. Ανακλαστική Συμμετρική Αντισυμμετρική Μεταβατική Σχέση (a) NAI NAI NAI NAI Σχέση (b) NAI NAI OXI NAI Σχέση (c) OXI OXI OXI NAI Σχέση (d) OXI OXI OXI OXI Σχέση (e) OXI OXI NAI NAI b. Σχέσεις ισοδυναμίας είναι οι (a) και (b). Στην (a) κλάσεις ισοδυναμίας είναι οι [1](a)={1} kai [2](a)={2}. Στην b υπάρχει μία κλάση, η [2](b)={2,4}. Mόνο η σχέση (a) είναι σχέση μερικής διάταξης. Η μέγιστη αντιαλυσίδα είναι η {1,2}. 2. Για a S ισχύει ότι f(a) f(a) μια και η είναι ανακλαστική, άρα και a~a (1) Αν a~b για a,b S, τότε και f(a) f(b) άρα και f(b) f(a) (H είναι συμμετρική) άρα και b~a (2). Αν για a,b,c S ισχύει ότι a~b και b~c, τότε f(a) f(b) και f(b) f(c) άρα και f(a) f(c) (H είναι μεταβατική), άρα και a~c (3) Από (1),(2) και (3) η ~ έχει την ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική ιδιότητα. Άρα είναι σχέση ισοδυναμίας. Θέμα 5: [18 μονάδες] 1. [4] Πόσες διαφορετικές λέξεις, έστω και χωρίς νόημα, σχηματίζονται με αναδιατάξεις των γραμμάτων της λέξης REPETITION ; Σελίδα 4 από 7
2. [7] Έξι άνθρωποι μπαίνουν σε ένα ανελκυστήρα στο ισόγειο ενός ξενοδοχείου. Το ξενοδοχείο έχει δέκα επιπλέον ορόφους. Θεωρώντας ότι κάθε άνθρωπος μπορεί να βγει από τον ανελκυστήρα σε ένα τυχαία επιλεγμένο όροφο (εκτός του ισογείου), ποια είναι η πιθανότητα να μην υπάρχουν δύο άνθρωποι που να κατέβουν στο ίδιο όροφο; 3. [7] Ένας επταψήφιος αριθμός τηλεφώνου d1d2d3d4d5d6d7 θεωρείται ότι είναι ευκολομνημόνευτος εάν τα ψηφία του d1d2d3 είναι ακριβώς ίδια με τα ψηφία d4d5d6 ή τα ψηφία d5d6d7. Για παράδειγμα, ο αριθμός 4357435 είναι ευκολομνημόνευτος. Θεωρώντας ότι κάθε ψηφίο μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός από το 0 έως το 9, πόσοι ευκολομνημόνευτοι αριθμοί τηλεφώνου υπάρχουν; 1. Πρέπει να υπολογίσουμε μεταθέσεις 10 γραμμάτων στα οποία υπάρχουν 3 ομάδες από δύο κοινά γράμματα (το Ι, το Ε και το Τ). Επομένως, τελικά 10!/2!2!2! = 453600 λέξεις. 2. Αφού δεν θα κατέβουν 2 άνθρωποι στον ίδιο όροφο, θα κατέβουν 6 άνθρωποι σε 6 διαφορετικούς ορόφους. Σε κάποιον όροφο από τους 10 θα κατέβει ένας άνθρωπος (10 διαφορετικές περιπτώσεις να κατέβει σ αυτό τον όροφο), σε κάποιον άλλο από τους εναπομείναντες 9 κάποιος άλλος (9 περιπτώσεις) και τελικά σε κάποιον 6 ο από τους 10 ο τελευταίος (5 περιπτώσεις) Συνολικά έχουμε 10 9 8 7 6 5 διαφορετικές περιπτώσεις από τις 10 6 συνολικά διαφορετικές εξάδες ορόφων. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι 10 9 8 7 6 5/10 6 3. Υπάρχουν 10 10 3 7ψήφιοι αριθμοί τέτοιοι που d1d2d3 = d4d5d6. Για άλλους τόσους ισχύει ότι d1d2d3 = d5d6d7 και ακριβώς 10 αριθμοί τέτοιοι που d1d2d3 = d4d5d6= d5d6d7 (σ αυτή την περίπτωση ο αριθμός έχει 7 ίδια ψηφία). Συνολικά λοιπόν, εγαρμόζοντας την αρχή εγκλεισμού αποκλεισμού, οι ευκολομνημόνευτοι αριθμοί είναι 2 10 10 3 10=19.990. Θέμα 6: [16 μονάδες] 1. [5] Ένα συρτάρι περιέχει οκτώ διαφορετικά ζευγάρια από γάντια, καθένα από τα οποία αποτελείται από ένα αριστερό και το αντίστοιχό του δεξιό γάντι. Αν επιλέξετε τυχαία τέσσερα γάντια, ποια είναι η πιθανότητα να επιλέξετε δύο ζευγάρια από αντίστοιχα γάντια; 2. [6] Ένα σακκούλι περιέχει τρία μήλα και Ν πορτοκάλια. Προσδιορίστε αριθμητικά το πλήθος Ν των πορτοκαλιών προκειμένου η πιθανότητα να επιλέξουμε δύο μήλα να είναι ίση με την πιθανότητα να επιλέξουμε ένα μήλο και ένα πορτοκάλι (δεν μας ενδιαφέρει ωστόσο η σειρά της επιλογής). 3. [5] Σε ένα πανεπιστήμιο, 4% των φοιτητών και 1% των φοιτητριών έχουν ύψος πάνω από 1,90. Στο φοιτητικό πληθυσμό η αναλογία είναι 3 φοιτήτριες προς 2 Σελίδα 5 από 7
φοιτητές. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα άτομο που είναι πάνω από 1,90, με τι πιθανότητα είναι γυναίκα; 1. Υπάρχουν C(16, 4) τρόποι να επιλέξει κανείς 4 από τα 16 γάντια και C(8,2) τρόποι να διαλέξει κανείς 2 από τα οκτώ ζευγάρια. Επομένως, η πιθανότητα να επιλέξει κανείς δύο ζευγάρια από αντίστοιχα γάντια είναι C(8,2)/ C(16, 4) = 1/65. 2. Η πιθανότητα να επιλέξει κανείς δύο μήλα είναι C(3, 2)/C(3+N,2). H πιθανότητα να επιλέξει κανείς ένα μήλο και ένα πορτοκάλι είναι C(3,1) C(Ν,1)/C(3+N,2). Εξισώνοντας τις δύο πιθανότητες και λύνοντας ως προς Ν προκύπτει Ν=1. 3. Έστω Α το ενδεχόμενο «Ο φοιτητής είναι άνδρας», Γ το ενδεχόμενο «Ο φοιτητής είναι γυναίκα» και Υ το ενδεχόμενο «Ο φοιτητής είναι πάνω από 1,90» Δεδομένα: p(a)=2/5 = 0,4 p(γ)=3/5=0,6 (Τα Α και Γ είναι συμπληρωματικά ενδεχόμενα) p(y A)=0,04 p(y Γ)=0,01 Ζητάμε την p(γ Υ) Από το νόμο του Bayes έχουμε: p(γ Υ) = p(y Γ) p(γ) p(y Γ) p(γ) + p(y A) p(α) = 0,01 0,6 0,01 0,6 + 0,04 0,4 = 0,2727 Θέμα 7: [15 μονάδες] 1. [8] Για ποιες τιμές του n ο γράφος Kn αποτελεί κύκλωμα Euler; Για ποιες τιμές των n, m ο γράφος Kn,m αποτελεί κύκλωμα Euler; Δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας. 2. [7] Έστω οι τέσσερις γράφοι που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Βρείτε (αν υπάρχουν) ζευγάρια ισομορφικών γράφων. (a) (b) (c) (d) 1. Για να αποτελεί ένας γράφος κύκλωμα Euler πρέπει όλοι του οι κόμβοι να έχουν άρτιο βαθμό. Αυτό επιτυγχάνεται για περιττό αριθμό κόμβων n για τον πλήρη Σελίδα 6 από 7
γράφο Kn και για άρτιες τιμές των n, m για τον πλήρη διμερή γράφο Kn,m (κάθε κόμβος έχει βαθμό n-1 ή m-1 αντίστοιχα και στις 2 περιπτώσεις ) 2. Γνωρίζουμε ότι οι ισομορφικοί γράφοι μοιράζονται όλες τους τις ιδιότητες. Επομένως: Γράφος 1 Γράφος 2 Ισομορφισμός (a) (b) Όχι, ο (a) δεν έχει κύκλωμα με 5 κορυφές όπως ο (b) (a) (c) Όχι, ο (a) δεν έχει κύκλωμα με 3 κορυφές όπως ο (c) (a) (d) Όχι, ο (a) δεν έχει κύκλωμα με 3 κορυφές όπως ο (d) (b) (c) Όχι, ο (c) δεν έχει κύκλωμα με 5 κορυφές όπως ο (b) (b) (d) Όχι, ο (d) δεν έχει κύκλωμα με 5 κορυφές όπως ο (b) (c) (d) Ναι, είναι ισομορφικοί (εύκολα φαίνονται οι αντιστοιχίες των κόμβων ) Επομένως, το μόνο ζεύγος ισομορφικών γράφων είναι οι (c), (d). Σελίδα 7 από 7