Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Διαφορικός Λογισµός. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Διαφορικός Λογισµός Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών

Κεφάλαιο 3 ιαφορικός Λογισµός 31 Μερικές παράγωγοι Ορισµός 311 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n 2 Η f λέγεται α ) µια ϕορά) µερικώς διαφορίσιµη ή µερικώς παραγωγίσιµη) ως προς την i-οστή µεταβλητή στο σηµείο x U, αν υπάρχει η i-οστή µερική παράγωγος πρώτης τάξης) της f στο σηµείο x f x + hē i ) f x) x) := lim R, x i h 0 h { όπου ē i R n 1, i = j, το ϐασικό διάνυσµα ē i ) j := για i, j = 1,, n, 0, i j ϐ ) µερικώς διαφορίσιµη στο σηµείο x U, αν υπάρχουν οι µερικές παράγωγοί της στο x ως προς όλες τις µεταβλητές της, x i x) R i = 1,, n, γ ) µερικώς διαφορίσιµη ως προς την i-οστή µεταβλητή, αν είναι µερικώς διαφορίσιµη ως προς την i-οστή µεταβλητή σε κάθε σηµείο x U, δηλ αν υπάρχει η i-οστή µερική παράγωγος της f x i : U R, δ ) µερικώς διαφορίσιµη, αν είναι µερικώς διαφορίσιµη ως προς κάθε µεταβλητή ή, ισοδύναµα, αν είναι µερικώς διαφορίσιµη σε κάθε σηµείο x U), x i : U R i = 1,, n, 33

31 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ε ) συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη, αν η f είναι µερικώς διαφορίσιµη και οι µερικές παράγωγοί της ως προς κάθε µεταβλητή είναι συνεχείς, x i CU) i = 1,, n Συµβολισµός Για την i-οστή µερική παράγωγο µιας συνάρτησης f : U R στο σηµείο x U χρησιµοποιούνται στην ϐιβλιογραφία κυρίως οι εξής συµβολισµοί x) = x) = f x) = xi f x) = i f x) = f xi x) x i x i x i Παρατηρηση 18 Για τον ορισµό της i-οστής µερικής παραγώγου σε ένα σηµείο x U δεν είναι απαραίτητο το U να είναι ανοικτό Αρκεί το x να είναι σηµείο συσσώρευσης του U ως προς την i-οστή µεταβλητή, δηλ να υπάρχει µια µηδενική ακολουθία µη µηδενικών όρων h ν ) σύντοµα : 0 h ν 0) µε x + h ν ē i U Παρατηρηση 19 Η i-οστή µερική παράγωγος στο σηµείο x = x 1,, x n ) U R n µιας συνάρτησης f : U R είναι η παράγωγος στο σηµείο x i R της f ως συνάρτηση της i-οστής πραγµατικής µεταβλητής και µε τις υπόλοιπες µεταβλητές σταθερές x j j i): Θεωρώντας την συνάρτηση f i x) := fx 1,, x i 1, x, x i+1,, x n ) έχουµε fx 1,, x i 1, x i + h, x i+1,, x n ) fx 1,, x i 1, x i, x i+1,, x n ) x) = lim x i h 0 h f i x i + h) f i x i ) f i x) f i x i ) = lim = lim = f h 0 h x x i x x ix i ) i Συνεπώς, για την i-οστή µερική παράγωγο της f στο σηµείο x = x 1,, x n ) ισχύουν όλα όσα ισχύουν για την παράγωγο της f i στο σηµείο x i Παραδείγµατα 5 α ) fx, y) = e x2 +y 2 = e x,y) 2, x, y) R 2 : Θεωρώντας τις συναρτήσεις f 1 x) := e x2 +y 2, όπου ϑεωρούµε το y ως σταθερά, και f 2 y) := e x2 +y 2, όπου ϑεωρούµε το x ως σταθερά, έχουµε f 1x) = 2xe x2 +y 2 και f 2y) = 2ye x2 +y 2 για κάθε x, y) R 2 Συνεπώς, σύµφωνα µε την Παρατήρηση 19, η f είναι µερικώς διαφορίσιµη µε µερικές παραγώγους τις x, y) = 2 +y 2 2xex, x x, y) = 2 +y 2 2yex x, y) R 2, y και επειδή οι µερικές της παράγωγοι x : R2 R και y : R2 R είναι συνεχείς, η f είναι συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη ϐ ) f x) = x, x R n : Η f είναι συνεχής στο R n ) και συνεχώς µερικώς διαφο- ϱίσιµη στο R n \ { 0} µε συνεχείς µερικές παραγώγους στο R n \ { 0} x i x) = x i x x R n \ { 0}, 34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 31 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ενώ δεν είναι µερικώς διαφορίσιµη στο 0 ως προς καµία µεταβλητή, αφού δεν υπάρχουν τα όρια f 0 + hē i ) f 0) fhē i ) hē i h lim = lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h Επίσης οι µερικές παράγωγοί της δεν είναι συνεχώς επεκτάσιµες στο R n, αφού x i τα όρια lim x) = lim δεν υπάρχουν Γιατί;) x 0 x i x 0 x γ ) Εστω η h : 0, ) R συνεχώς) διαφορίσιµη Τότε η f x) := h x ), x R n \ { 0}, είναι συνεχώς) µερικώς διαφορίσιµη µε συνεχείς) µερικές παραγώγους x) = h x ) = h x ) x i x i x i x, x Rn \ { 0} Για hz) = e z2 και n = 2 έχουµε το Παράδειγµα 1 και για hz) = z έχουµε το Παράδειγµα 2 αντίστοιχα Στην πρώτη περίπτωση ϐλέπουµε ότι οι x i είναι συνεχώς επεκτάσιµες στο R n, ενώ στην δεύτερη δεν είναι Πού οφείλεται αυτό;) δ ) Για n 2 έστω η f : R n R µε x 1 x n f x) = x n για x 0, 0 για x = 0 Η f είναι συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη στο R n \ { 0} µε µερικές παραγώγους x) = x 1 x i 1 x i+1 x n x 2 nx 2 i ) x i x n+2 x R n \ { 0} ϐλ Παρατ 19) Η f είναι όµως και µερικώς διαφορίσιµη στο σηµείο 0 µε i-οστή µερική παράγωγο f 0 + hē i ) f 0) fhē i ) 0 0) = lim = lim = lim x i h 0 h h 0 h h 0 h = 0 Συνεπώς, η f είναι µερικώς διαφορίσιµη στο R n και συνεχώς µερικώς διαφο- ϱίσιµη στο R n \ { 0} αλλά όχι στο R n, αφού για x ν = x 1) ν,, x n) ν ) µε x i) ν µε x i) ν = 1 ν, xj) ν = 0 ν N, j i: = 0, x j) ν = 1 ν ν N, j i: x i x ν ) = 35 x i x ν ) = 0 0 για ν, ν n 1) n 2 για ν,

31 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ και άρα τα lim x) δεν υπάρχουν x 0 x i Ακόµα περισσότερο, η f παρόλο που είναι µερικώς διαφορίσιµη ως προς κάθε µεταβλητή) στο σηµείο 0, δεν είναι συνεχής σε αυτό, αφού για x ν = x 1) ν,, x n) ν ) µε x 1) ν = 1 ν, xj) ν = 0 ν N, j = 2,, n: f x ν ) = 0 0 για ν, µε x j) ν = 1 ν ν N, j = 1,, n: f x ν) = 1 n n 2 και άρα το lim f x) δεν υπάρχει x 0 1 n n 2 για ν, Παρατηρηση 20 Από το τελευταίο παράδειγµα συγκρατούµε : Μια συνάρτηση f : U R, U R n ανοικτό, n 2, µπορεί να είναι µερικώς διαφορίσιµη σε ένα σηµείο x U χωρίς να είναι συνεχής στο x Ο Ορισµός 311 της µερικής διαφορισιµότητας πραγµατικών συναρτήσεων πολλών µεταβλητών γενικεύεται µε ϕυσικό τρόπο σε διανυσµατικές συναρτήσεις : Ορισµός 312 Η f = f 1,, f m ) : U R m, U R n ανοικτό, m, n N, λέγεται α ) µερικώς διαφορίσιµη στο σηµείο x U, αν οι συνιστώσες συναρτήσεις της f j : U R, j = 1,, m, είναι µερικώς διαφορίσιµες στο x, ϐ ) µερικώς διαφορίσιµη, αν οι συνιστώσες της f j, j = 1,, m, είναι µερικώς διαφορίσιµες, γ ) συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη, αν οι συνιστώσες της f j, j = 1,, m, είναι συνεχώς µερικώς διαφορίσιµες, δηλ αν η f είναι µερικώς διαφορίσιµη και ισχύει j x i CU) j = 1,, m, i = 1,, n Ορισµός 313 Εστω f = f 1,, f m ) : U R m, U R n ανοικτό, m, n N, µερικώς διαφορίσιµη στο σηµείο x = x 1,, x n ) U Ο πίνακας των µερικών παραγώγων της f στο x 1 J f x) := f ) x 1 x) 1 x n x) 1,, f m ) j x) := x) = x 1,, x n ) x R m n, i 1 j m, 1 i n m x 1 x) m x n x) ονοµάζεται Ιακωβιανός πίνακας Jacobian matrix) της f στο x Ειδικότερα, για µερικώς διαφορίσιµες πραγµατικές συναρτήσεις f : U R m = 1) στο x U ο Ιακωβιανός πίνακας της f στο x ονοµάζεται κλίση gradient) της f στο x J f x) = grad f x) = x),, ) x) R n x 1 x n 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 31 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Παρατηρηση 21 Ο Ιακωβιανός πίνακας J f x) R m n µιας µερικώς διαφορίσιµης διανυσµατικής συνάρτησης f στο σηµείο x έχει ως γραµµές του τις κλίσεις των συνιστωσών συναρτήσεων f j, j = 1,, m, στο x grad f 1 x) J f x) = R m n grad f m x) Από την Παρατήρηση 19 και την άλγεβρα παραγώγων πραγµατικών συναρτήσεων µιας πραγµατικής µεταβλητής προκύπτει η ακόλουθη άλγεβρα Ιακωβιανών πινάκων όπου πάντα ϑεωρούµε τις τιµές µιας διανυσµατικής συνάρτησης γραµµένες ως διανύσµατα-στήλες) Θεώρηµα 311 Αλγεβρα Ιακωβιανών πινάκων) Εστω U R n ανοικτό, n, m N, f, ḡ : U R m και ϕ, ψ : U R µε ψ x) 0 µερικώς διαφορίσιµες στο x U Τότε οι συναρτήσεις f + ḡ : U R m, f ḡ : U R, ϕ f : U R m f, ψ : U Rm είναι µερικώς διαφορίσιµες στο x µε Ιακωβιανούς πίνακες α ) J f+ḡ x) = J f x) + Jḡ x) R m n ϐ ) grad f ḡ) x) = f x) T Jḡ x) + ḡ x) T J f x) R n γ ) J ϕ f x) = ϕ x)j f x) + f x) grad ϕ x) R m n δ ) J f x) = ψ x)j f x) f x) grad ψ x) ψ ψ 2 R m n x) Απόδειξη 1) : f 1+g 1) f x 1 x) 1+g 1) x n x) J f+ḡ x) = f m+g m) f x 1 x) m+g m) x n x) 1 x 1 x) 1 g x n x) 1 x 1 x) = + m x 1 x) m g x n x) m x 1 x) = J f x) + Jḡ x) R m n g 1 x n x) g m x n x) 37

31 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2) : grad f m m ) ḡ) x) = f j g j ) x),, f j g j ) x) x 1 x j=1 n j=1 m fj g j ) = x),, f ) jg j ) x) x 1 x n = = = j=1 m grad f j g j ) x) j=1 m j=1 f j x) g j x) + g j x) j x),, f j x) g j x) + g j x) ) j x) x 1 x 1 x n x n m fj x) grad g j x) + g j x) grad f j x) ) j=1 g 1 g f 1 x),, f m x)) x 1 x) 1 x n x) = g m g x 1 x) m x n x) 1 g 1 x),, g m x)) x 1 x) 1 x n x) + m x 1 x) m x n x) = f x) T Jḡ x) + ḡ x) T J f x) 3): ϕf 1) ϕf x 1 x) 1) x n x) J ϕ f x) = ϕf m) ϕf x 1 x) m) x n x) ϕ x) 1 x 1 x) ϕ x) 1 x n x) f 1 x) ϕ x 1 x) f 1 x) ϕ x n x) = + ϕ x) m x 1 x) ϕ x) m x n x) f m x) ϕ x 1 x) f m x) ϕ x n x) ) f 1 x) ϕ x 1 x),, ϕ x n x) = ϕ x)j f x) + f m x) = ϕ x)j f x) + f x) grad ϕ x) 38

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 32 ΜΕΡ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤ ΤΑΞΗΣ 4): Από το 3) έχουµε J f x) = ψ ) 1 x)j f x) + ψ f x) grad ) 1 x), ψ όπου grad ) 1 x) = ψ x 1 ) 1 x),, ψ x n ) ) 1 x) = ψ grad ψ x) ψ 2 x) 32 Μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης Ορισµός 321 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n 2, και k N Η f λέγεται α ) k + 1 ϕορές µερικώς διαφορίσιµη αν είναι k ϕορές µερικώς διαφορίσιµη και υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι k + 1 τάξης της f k+1 f := k f : U R i 1,, i k+1 = 1,, n x ik+1 x i1 x ik+1 x ik x i1 ϐ ) k ϕορές συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη αν είναι k ϕορές µερικώς διαφο- ϱίσιµη και όλες οι µερικές παράγωγοί της τάξης k είναι συνεχείς Παρατηρηση 22 Στην πιό απλή και συχνότερη περίπτωση µια συνάρτηση f : U R, U R n ανοικτό, n 2, λέγεται δυό ϕορές συνεχώς) µερικώς διαφορίσιµη αν υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης της f x i : U R, και είναι συνεχείς) 2 f := : U R x j x i x j x i i, j = 1,, n Παρατηρηση 23 Οι µερικές παράγωγοι k τάξης µε k 2 k f x ik x i1, i 1,, i k {1,, n} ονοµάζονται µερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης ή πολλαπλές µερικές πα- ϱάγωγοι Γράφονται k f x k i := k f x ik x i1 αν i 1 = = i k = i {1,, n} ενώ αν οι δείκτες i l, l = 1,, k, δεν είναι όλοι ίδιοι ονοµάζονται µεικτές µερικές παράγωγοι 39

32 ΜΕΡ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤ ΤΑΞΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Παραδείγµατα 6 α ) Οι συναρτήσεις fx, y) = xy+x+2y) 2, x, y) R 2, gx, y, z) = e xy +z cos x, x, y, z) R 3 είναι k ϕορές συνεχώς µερικώς διαφορίσιµες για κάθε k N Αυτό ισχύει επειδή όλες οι µερικές τους παράγωγοι οποιασδήποτε τάξης µπορούν να ι- δωθούν ως παράγωγοι αθροισµάτων, γινοµένων και συνθέσεων άπειρες ϕορές παραγωγίσιµων και άρα συνεχών) συναρτήσεων µιας µεταβλητής Οι µερικές τους παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης είναι για την f x, y) = y + 2x + 2y), x 2 f x, y) = 2, x2 και για την g g x x, y, z) = yexy z sin x, 2 f x, y) = 5, y x 2 g x 2 x, y, z) = y2 e xy z cos x, 2 g x y x, y, z) = xyexy, 2 g x, y, z) = sin x, x z ϐ ) Η hx, y) := x, y) = x + 4x + 2y), y 2 f x, y) = 5, x y g y x, y, z) = xexy, 2 g y x x, y, z) = xyexy, 2 g y 2 x, y, z) = x2 e xy, 2 g x, y, z) = 0, y z 2 f x, y) = 8 y2 g x, y, z) = cos x, z 2 g x, y, z) = sin x, z x 2 g x, y, z) = 0, z y 2 g x, y, z) = 0 z2 xy x2 y 2 x 2 + y 2 για x, y) 0, 0), x, y) R 2, είναι άπειρες 0 για x, y) = 0, 0) ϕορές συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη στο R 2 \ {0, 0)} µε µερικές παραγώγους πρώτης τάξης h x x, y) = y x4 y 4 + 4x 2 y 2 x 2 + y 2 ) 2, h y x, y) = y 4 4y 2 x 2 xx4 x 2 + y 2 ) 2 Η h είναι επίσης µερικώς διαφορίσιµη στο 0, 0) µε µερικές παραγώγους h hx, 0) h0, 0) 0, 0) = lim = 0, x x 0 x h h0, y) h0, 0) 0, 0) = lim = 0 y y 0 y Η h είναι συνεπώς µερικώς διαφορίσιµη και αφού ισχύει και lim x,y) 0,0) h x, y) = x lim 40 x,y) 0,0) h x, y) = 0 y

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 32 ΜΕΡ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤ ΤΑΞΗΣ γιατί;) είναι συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη ιαπιστώνουµε εξ άλλου ότι και η h είναι συνεχής, πβ Παρατ 20) Αφού στο R 2 \ {0, 0)} η h είναι άπειρες ϕορές συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη, για να εξετάσουµε την µερική διαφορισιµότητά της σε ανώτερες τάξεις αρκεί να την εξετάσουµε σχετικά στο σηµείο 0, 0) Οι µερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης στο σηµείο αυτό είναι οι 2 h 0, 0) = lim x2 x 0 2 h 0, 0) = lim y x y 0 2 h 0, 0) = lim x y x 0 2 h 0, 0) = lim y2 y 0 h x h x h y h y h x, 0) x 0, 0) = 0, x h 0, y) x 0, 0) = lim y h x, 0) y 0, 0) = lim x h 0, y) y 0, 0) = 0 y y y 4 y 2 ) 2 y 0 y x x 4 x 2 ) 2 x 0 x = lim y 0 1) = 1, = lim x 0 1 = 1, Άρα η h είναι δυό ϕορές µερικώς διαφορίσιµη Για να εξετάσουµε αν είναι και συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη, µένει να εξετάσουµε αν οι µερικές παράγωγοί της δεύτερης τάξης είναι συνεχής στο 0, 0) Στο R 2 \ {0, 0)} οι µερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης είναι οι 2 h x, y) = y x4 y 4 + 4x 2 y 2 ) x2 x x 2 + y 2 ) 2 = y x 4 y 4 + 4x 2 y 2 x x 2 + y 2 ) 2 = 4xy 3 x2 + 3y 2 x 2 + y 2 ) 3 2 h y x x, y) = y x4 y 4 + 4x 2 y 2 ) y x 2 + y 2 ) 2 = x4 y 4 + 4x 2 y 2 x 2 + y 2 ) 2 + y y 2 h x, y) = x y x = x6 9x 2 y 4 + 9x 4 y 2 y 6 x 2 + y 2 ) 3 x x4 y 4 4y 2 x 2 x 2 + y 2 ) 2 = x6 9x 2 y 4 + 9x 4 y 2 y 6 x 2 + y 2 ) 3 2 h y 2 x, y) = x x4 y 4 4y 2 x 2 ) y x 2 + y 2 ) 2 = x y = 4x 3 y 3x2 + y 2 x 2 + y 2 ) 3 x 4 y 4 + 4x 2 y 2 x 2 + y 2 ) 2 ) = x4 y 4 4y 2 x 2 x 2 + y 2 ) 2 + x x 4 y 4 4y 2 x 2 x x 2 + y 2 ) 2 x 4 y 4 4y 2 x 2 x 2 + y 2 ) 2 Θεώρηµα 321 Θεώρηµα του Schwarz) Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n 2, δυο ϕορές συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη 41

32 ΜΕΡ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤ ΤΑΞΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τότε 2 f = 2 f i, j = 1,, n x j x i x i x j Απόδειξη Το ϑεώρηµα είναι πόρισµα της ακόλουθης γενίκευσης Θεώρηµα 322 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n 2, µερικώς διαφορίσιµη και έστω ότι υπάρχει η 2 f x j x i : U R, i, j {1,, n}, i j, και είναι συνεχής στο σηµείο x U Τότε υπάρχει η 2 f x i x j x) και ισχύει Απόδειξη Θέλουµε να δείξουµε ότι lim h 0 2 f x) = 2 f x) x i x j x j x i x j x + hē i ) x j x) h = 2 f x j x i x), δηλ ότι x ε > 0 δ > 0 h δ, 0) 0, δ) : j x + hē i ) x j x) 2 f x) h x j x i < ε, και αφού ϑέλουµε συνεπώς να δείξουµε ότι f x + kē j ) f x) x) = lim, x j k 0 k ε > 0 δ > 0 h δ, 0) 0, δ) : lim f x + hē i + kē j ) f x + hē i ) f x + kē j ) + f x) 2 f x) k 0 hk x j x i < ε, δηλ ότι ε > 0 δ > 0 h δ, 0) 0, δ) : lim k 0 Φk) hk 2 f x) x j x i < ε, όπου Φk) := f x + hē i + kē j ) f x + hē i ) f x + kē j ) + f x) Εστω ε > 0 Αφού το U είναι ανοικτό και η δ > 0, τέτοιο ώστε B x, δ) U και 2 f ȳ) 2 f x) x j x i x j x i < ε 2 42 2 f x j x i συνεχής στο x, ϑα υπάρχει ȳ B x, δ)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 32 ΜΕΡ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤ ΤΑΞΗΣ Εστω h, k R \ {0} µε h 2 + k 2 < δ 2 Τότε x + ϑ 1 hē i + ϑ 2 kē j B x, δ) ϑ 1, ϑ 2 ) [0, 1] 2 και άρα για τέτοια h, k, ϑ 1, ϑ 2 2 f x + ϑ 1 hē i + ϑ 2 kē j ) 2 f x) x j x i x j x i < ε 2 και συνεπώς lim 2 f x + ϑ 1 hē i + ϑ 2 kē j ) 2 f x) k 0 x j x i x j x i ε < ε h δ, 0) 0, δ) 2 αν το όριο αυτό υπάρχει ϑ 1, ϑ 2 0, 1) τέτοια ώστε Άρα, αν δείξουµε ότι για τα πιο πάνω h, k υπάρχουν Φk) hk = 2 f x j x i x + ϑ 1 hē i + ϑ 2 kē j ) Φk) και αφού το lim υπάρχει, η απόδειξη ϑα έχει ολοκληρωθεί k 0 hk Θεωρούµε τη συνάρτηση ϕl) := f x + lē i + kē j ) f x + lē i ), η οποία είναι διαφορίσιµη µε παράγωγο ϕ l) = x i x + lē i + kē j ) x i x + lē i ), l [ h, h ] l [ h, h ] Άρα, σύµφωνα µε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής για συναρτήσεις µιας πραγµατικής µεταβλητής, υπάρχει ϑ 1 0, 1) τέτοιο ώστε Φk) = ϕh) ϕ0) = hϕ ϑ 1 h) = h x + ϑ 1 hē i + kē j ) ) x + ϑ 1 hē i ) x i x i Θεωρούµε τώρα τη συνάρτηση ψm) := x i x + ϑ 1 hē i + mē j ), η οποία είναι επίσης διαφορίσιµη µε παράγωγο ψ m) = 2 f x j x i x + ϑ 1 hē i + mē j ), m [ k, k ], m [ k, k ], και άρα, σύµφωνα µε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής για συναρτήσεις µιας πραγµατικής µεταβλητής, υπάρχει ϑ 2 0, 1) τέτοιο ώστε Φk) = h ψk) ψ0)) = hkψ ϑ 2 k) = hk x + ϑ 1 hē i + ϑ 2 kē j ) x j x i 43 2 f

33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Πόρισµα 323 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n 2, k ϕορές συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη Τότε k f x ik x i1 = k f x iπk) x iπ1) για κάθε i 1,, i k {1,, n} και για κάθε µετάθεση π των αριθµών 1,, k Απόδειξη Το αποτέλεσµα προκύπτει από το Θεώρηµα του Schwarz µε επαγωγή ως προς k, και χρήση του γεγονότος ότι κάθε µετάθεση είναι σύνθεση ανταλλάγων της ϑέσης γειτονικών αριθµών Πχ για n = 4, k = 3 έχουµε 3 f x 4 x 2 x 1 = x 4 = 2 = x 1 x 4 x 2 2 f x 2 x 1 = x 4 3 f = x 1 x 4 x 2 2 f x 1 x 2 = x 1 2 f x 4 x 2 = 33 ιαφορίσιµες συναρτήσεις 3 f = 2 x 4 x 1 x 2 x 4 x 1 x 2 2 f = x 1 x 2 x 4 Ορισµός 331 Η f : U R m, U R n ανοικτό, n, m N, λέγεται 3 f x 1 x 2 x 4 α ) διαφορίσιµη differentiable) στο σηµείο x U αν υπάρχει µια γραµµική απεικόνιση D : R n R m τέτοια ώστε lim η 0 f x + η) f x) D η η = 0, 31) ϐ ) διαφορίσιµη αν είναι διαφορίσιµη σε κάθε σηµείο x U Παρατηρηση 24 α ) Σύµφωνα µε την Παρατηρήση 16 ισχύει lim η 0 f x + η) f x) D η η fȳ) f x) Dȳ x) = 0 lim = 0, ȳ x ȳ x που ισοδυναµούν µε lim f x + η) f x) D η = 0 lim fȳ) f x) Dȳ x) = 0 η 0 η ȳ x ȳ x Να προσεχθεί επίσης η πολύ χρήσιµη ισοδύναµη µορφή της Παρατήρησης 5) ϐ ) Στα πλαίσια της ιανυσµατικής Ανάλυσης ϑα ταυτίζουµε πάντα µια γραµµική απεικόνιση D : R n R m µε τον πίνακα D = d ji ) 1 j m, = 1 i n d 11 d 1n d m1 d mn 44 R m n 32)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ που την αναπαριστάνει ως προς τις συνήθεις ϐάσεις ē i R n, i = 1,, n, και ē j R m, j = 1,, m Γράφοντας τα διανύσµατα στους R n και R m ως στήλες των συντεταγµένων τους ως προς τις συνήθεις ϐάσεις, έχουµε λοιπόν d 11 d 1n D η = d m1 d mn η 1 η n R m η = η 1 η n R n γ ) Στην περίπτωση m = 1 έχουµε : Μια πραγµατική συνάρτηση περισσοτέρων µεταβλητών) f : U R, U R n ανοικτό, n N, είναι διαφορίσιµη στο σηµείο x U ανν υπάρχει D = d 1,, d n ) R n, τέτοιο ώστε f x + η) f x) D η lim = 0 η 0 η δ ) Ειδικότερα στην περίπτωση m = n = 1 έχουµε : Μια πραγµατική συνάρτηση µιας πραγµατικής µεταβλητής f : U R, U R ανοικτό, είναι διαφορίσιµη στο σηµείο x U ανν υπάρχει D R, τέτοιο ώστε fx + η) fx) Dη lim = 0 33) η 0 η Οπως γνωρίζουµε αυτός είναι ο ορισµός της διαφορισιµότητας µιας πραγµατικής συνάρτησης µιας πραγµατικής µεταβλητής στο σηµείο x και το µοναδικό D R για το οποίο ισχύει η 33) είναι η παράγωγος f x) = D ε ) Από την Ορισµό 331 µε D όπως στο 32), την Πρόταση 221 και την Παρατήρηση 3 έχουµε : Η f = f 1,, f m ) : U R m είναι διαφορίσιµη στο x U ανν υπάρχουν d j1,, d jn ) R n, j = 1,, m, τέτοια ώστε f j x + η) f j x) d j1,, d jn ) η lim = 0 j = 1,, m, η 0 η δηλαδή ανν οι συνιστώσες f j, j = 1,, m, της f είναι διαφορίσιµες στο x Θεώρηµα 331 Εστω ότι η f = f 1,, f m ) : U R m, U R n ανοικτό, n, m N, είναι διαφορίσιµη στο x U, δηλαδή υπάρχει ένα D R m n όπως στο 32) για το οποίο ισχύει η 31) Τότε α ) η f είναι συνεχής στο x, ϐ ) η f είναι µερικώς διαφορίσιµη στο x µε µερικές παραγώγους j x i x) = d ji j = 1,, m, i = 1,, n 45

33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Απόδειξη α ) ) lim f x + η) f x) = lim η f x + η) f x) D η η 0 η 0 η f x + η) f x) D η = lim η lim η 0 η 0 η ) + D η + lim D η = 0 0 + 0 = 0, η 0 όπου η δεύτερη ισότητα προκύπτει από την άλγεβρα ορίων Θεώρηµα 253 1) και Θεώρηµα 223 3) εφαρµοσµένο σε κάθε συνιστώσα του γινοµένου ϐαθ- µωτής επί διανυσµατική συνάρτηση, ϐλ και Παρατήρηση 221), ενώ για κάθε D R m n ισχύει lim D η = 0, 34) η 0 αφού από την ανισότητα Cauchy-Schwarz Πρόταση 111 1)) έχουµε m m D η 2 = d j1,, d jn ) η) 2 d j1,, d jn ) 2 η 2 j=1 και άρα για D > 0 ε > 0 δ ] ε 0, D = j=1 m j=1 i=1 n d 2 ji η 2 =: D 2 η 2, η B 0, δ) : D η D η < ε ενώ αν D = 0 δεν χρειάζεται να δείξουµε τίποτα) ϐ ) Από την Παρατήρηση 24 5) έχουµε j = 1,, m f j x + η) f j x) d j1,, d jn ) η lim = 0, η 0 η δηλαδή µε δ 0 > 0 τέτοιο ώστε B x, δ 0 ) U ε > 0 δ 0, δ 0 ) η B 0, δ)\{ 0} : f j x + η) f j x) d j1,, d jn ) η η και συνεπώς για η = hē i, h R, i = 1,, n, ε > 0 δ 0, δ 0 ) h δ, 0) 0, δ) : f j x + hē i ) f j x) d ji h h < ε, < ε, δηλαδή f j x + hē i ) f j x) d ji h lim = 0, h 0 h 46

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ και άρα ισοδύναµα j f j x + hē i ) f j x) x) = lim = d ji x i h 0 h Παρατηρηση 25 Από το Θεώρηµα 331 2) προκύπτει ότι ο πίνακας D R m n του Ορισµού 331 είναι µοναδικός και είναι ο Ιακωβιανός πίνακας των µερικών παραγώγων της f = f 1,, f m ) : U R m στο σηµείο x = x 1,, x n ) U R n 1 x D f x) 1 x) = J f x) = m x 1 x) 1 x n x) R m n, m x n x) ο οποίος ονοµάζεται παράγωγος derivative) της f στο x ανν η f είναι διαφο- ϱίσιµη στο x Η µοναδική γραµµική απεικόνιση D f x) : R n R m που αναπαριστάται από αυτόν τον πίνακα ονοµάζεται διαφορικό differential) της f στο x Ειδικότερα, για διαφορίσιµες πραγµατικές συναρτήσεις f : U R m = 1) στο x U η παράγωγος της f στο x δίνεται από την κλίση της f στο x Df x) = grad f x) = x),, ) x) R n x 1 x n Σύµφωνα µε την Παρατήρηση 24 5) η παράγωγος D f x) R m n µιας δια- ϕορίσιµης διανυσµατικής συνάρτησης f = f 1,, f m ) : U R m στο σηµείο x U R n έχει ως γραµµές της τις παραγώγους των συνιστωσών συναρτήσεων f j, j = 1,, m, στο x D f x) = Df 1 x) Df m x) = grad f 1 x) grad f m x) = J f x) R m n Πόρισµα 332 Εστω f : U R m, U R n ανοικτό, n, m N, διαφορίσιµη Τότε α ) η f είναι συνεχής, ϐ ) η f είναι µερικώς διαφορίσιµη Θεώρηµα 333 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n N, µερικώς διαφορίσιµη και έστω ότι όλες οι µερικές της παράγωγοι x i : U R, i = 1,, n, είναι συνεχείς στο x U Τότε η f είναι διαφορίσιµη στο x 47

33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Απόδειξη Αφού το U είναι ανοικτό, υπάρχει δ 0 > 0 τέτοιο ώστε B x, δ 0 ) U Εστω η = η 1,, η n ) B 0, δ 0 ) \ { 0} Τότε ȳ k) := x + k η i ē i B x, δ 0 ) U, k = 1,, n, i=1 αφού ȳ k) x = η 1,, η k, 0,, 0) = k i=0 η 2 i n ηi 2 = η < δ 0 Επίσης, αφού ȳ k) ȳ k 1) = η k ē k για k = 1,, n και µε ȳ 0) := x, υπάρχει σύµ- ϕωνα µε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής για πραγµατικές) συναρτήσεις µιας πραγµατικής µεταβλητής ένα ϑ k [0, 1] fȳ k) ) fȳ k 1) ) = fȳ k 1) + η k ē k ) fȳ k 1) ) ) = η k ȳ k 1) + ϑ k η k ē k x k Συνεπώς f x + η) f x) = fȳ n) ) fȳ 0) ) = = i=1 n fȳ k) ) fȳ k 1) ) k=1 n k=1 η k x k ȳ k 1) + ϑ k η k ē k ) και άρα n ) f x + η) f x) grad f x) η = η k ȳ k 1) + ϑ k η k ē k ) x) x k x k k=1 n η ) ȳ k 1) + ϑ k η k ē k x) x k x k k=1 Οµως, αφού οι συναρτήσεις x k υπάρχει για κάθε ε > 0 ένα δ 0, δ 0 ) τέτοιο ώστε για όλα τα η B 0, δ) να ισχύει είναι συνεχείς στο x για κάθε k = 1,, n, ϑα x + η) x) x k x k < ε n, και αφού για κάθε η B 0, δ) έχουµε ȳ k 1) + ϑ k η k ē k x = η 1,, η k 1, ϑ k η k, 0,, 0) = k 1 ηi 2 + ϑ2 k η2 k k ηi 2 n ηi 2 = η < δ i=1 i=1 i=1 48

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ όπου πάντα m a i := 0 αν m < n), ϑα ισχύει τελικά για κάθε η B 0, δ) \ { 0} i=n f x + η) f x) grad f x) η η < n k=1 ε n = ε Πόρισµα 334 Εστω f = f 1,, f m ) : U R m, U R n ανοικτό, m, n N, µερικώς διαφορίσιµη και έστω ότι οι µερικές της παράγωγοι j x i : U R, j = 1,, m, i = 1,, n, είναι συνεχείς στο x U Τότε η f είναι διαφορίσιµη στο x Απόδειξη Σύµφωνα µε τον Ορισµό 312 οι συνιστώσες f j της f είναι µερικώς δια- ϕορίσιµες και οι µερικές τους παράγωγοι συνεχείς στο x Άρα, σύµφωνα µε το Θεώρηµα 333, οι συνιστώσες f j είναι διαφορίσιµες στο x, και συνεπώς, σύµφωνα µε την Παρατήρηση 24 5), αυτό ισχύει και για την f Πόρισµα 335 Εστω f : U R m, U R n ανοικτό, m, n N, συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη Τότε η f είναι διαφορίσιµη Παρατηρηση 26 Η f = f 1,, f m ) : U R m, U R n ανοικτό, m, n N, ονοµάζεται συνεχώς διαφορίσιµη continuously differentiable) αν είναι διαφο- ϱίσιµη και η παράγωγος της f ) D f : U R m n, D f x) j = x), x i 1 j m, 1 i n είναι συνεχής, όπου µια συνάρτηση A : U R m n, A x) = a ji x)) 1 ονοµάζεται συνεχής αν j m,, 1 i n x 0 U : lim A x) A x 0 ) = 0 x x 0 ή ισοδύναµα x 0 U : lim a ji x) a ji x 0 ) = 0 j = 1,, m, i = 1,, n x x 0 Η τελευταία ισοδυναµία αποδεικνύεται ανάλογα µε την Πρόταση 143 αφού για κάθε D = d ji ) 1 j m, R m n ισχύει 1 i n m n D := max d ji D = d 2 ji mn D 1 j m, 1 i n Συνεπώς για A = D f έχουµε j=1 i=1 f συνεχώς διαφορίσιµη f συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη 49

33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Παρατηρηση 27 Από την προηγούµενη Παρατήρηση 26 και τα Πορίσµατα 335 και 332, που δίνουν το πρώτο µια ικανή και το δεύτερο δύο αναγκαίες συνθήκες για την διαφορισιµότητα µιας συνάρτησης f : U R m, U R n ανοικτό, m, n N, έχουµε την ακόλουθη αλυσίδα µιας ισοδυναµίας και δύο συνεπαγωγών f συνεχώς διαφορίσιµη f συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη f διαφορίσιµη f συνεχής και µερικώς διαφορίσιµη Η αλυσίδα αυτή ισχύει ισοδύναµα για όλες της συνιστώσες της f ξεχωριστά και άρα ειδικότερα για πραγµατικές ϐαθµωτές) συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Επίσης ισχύει ισοδύναµα και για όλα τα σηµεία x U ξεχωριστά Παρατήρηση 26 και Θεωρήµατα 334 και 331), όπου "συνεχώς µερικώς) διαφορίσιµη στο x" ϑα σηµαίνει ότι "η παράγωγος υπάρχει όλες οι µερικές παράγωγοι υπάρχουν) σε ένα ανοικτό υποσύνολο του U που περιέχει το x και είναι συνεχής συνεχείς) στο x" Επισηµαίνουµε ξανά ότι από την µερική διαφορισιµότητα δεν προκύπτει η συνέχεια Παράδειγµα 5 4) και Παρατήρηση 20), ούτε από την συνέχεια η µερική διαφορισιµότητα Παράδειγµα 5 2)) Επίσης δεν ισχύει ότι µια µερικώς διαφορίσιµη συνάρτηση είναι διαφορίσιµη Παράδειγµα 5 4)), ούτε καν όταν είναι συνεχής και µερικώς διαφορίσιµη, ϐλ το επόµενο Παράδειγµα 7 Τέλος µπορεί µια συνάρτηση να είναι διαφορίσιµη χωρίς να είναι συνεχώς µερικώς) διαφορίσιµη, ϐλ το µεθεπόµενο Παράδειγµα 8 Παραδειγµα 7 Εστω η fx, y) = { xy x,y), x, y) R2 \ {0, 0)}, 0, x, y) = 0, 0) Η f είναι συνεχώς διαφορίσιµη στο R 2 \ {0, 0)}, συνεχής στο 0, 0), αφού και άρα xy x, y) 2 x, y) x, y) = x, y) x, y) R2 \ {0, 0)} lim fx, y) = 0, x,y) 0,0) και µερικώς διαφορίσιµη στο 0, 0), αφού υπάρχουν οι µερικές της παράγωγοι fh, 0) f0, 0) f0, h) f0, 0) 0, 0) = lim = 0 = lim x h 0 h h 0 h Οµως, δεν είναι διαφορίσιµη στο 0, 0), αφού δεν υπάρχει το όριο = 0, 0) y fx, y) f0, 0) grad f0, 0) x, y) xy lim = lim x,y) 0,0) x, y) x,y) 0,0) x, y) 2 ϐλ Παράδειγµα 5 4) 50

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Παραδειγµα 8 Εστω η fx, y) = { x, y) 2 1 sin x,y), x, y) 0, 0, x, y) = 0, x, y) R 2 Η f είναι συνεχώς διαφορίσιµη στο R 2 \{0, 0)} µε παράγωγο στο x, y) R 2 \{0, 0)} την κλίση της f στο x, y), ) Dfx, y) = grad fx, y) = x, y), x, y), x y όπου, αφού ht) := t 2 sin 1 t, t > 0 h t) = 2t sin 1 t cos 1 t, έχουµε, ϐλ Παράδειγµα 5 3), x x, y) = 2x sin 1 x, y) x x, y) cos 1 x, y), y x, y) = 2y sin 1 x, y) y x, y) cos 1 x, y) Η f είναι επίσης µερικώς διαφορίσιµη στο 0, 0), αφού δηλ υπάρχει η κλίση fh, 0) f0, 0) 0, 0) = lim h 0 h x 0, 0) = lim y h 0 f0, h) f0, 0) h grad f0, 0) = 0, 0) = lim h 0 h sin 1 h = 0, = lim h 0 h sin 1 h = 0, Η f είναι και διαφορίσιµη στο 0, 0) µε παράγωγο Df0, 0) = grad f0, 0) = 0, 0), αφού fx, y) f0, 0) grad f0, 0) x, y) lim x,y) 0,0) x, y) = lim x,y) 0,0) fx, y) x, y) = lim x, y) sin 1 x,y) 0,0) x, y) = 0 Άρα η f είναι διαφορίσιµη Αλλά δεν είναι συνεχώς µερικώς) διαφορίσιµη, αφού οι µερικές της παράγωγοι δεν είναι συνεχής στο 0, 0), καθώς δεν υπάρχουν τα όρια lim x 0 lim y 0 1 x, 0) = 2x sin x x x x cos 1 x, 1 0, y) = 2y sin y y y y cos 1 y 51

33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θεώρηµα 336 Αλγεβρα παραγώγων) Εστω U R n ανοικτό, n, m N, f, ḡ : U R m και ϕ, ψ : U R µε ψ x) 0 διαφορίσιµες στο x U Τότε οι συναρτήσεις f + ḡ : U R m, f ḡ : U R, ϕ f : U R m f, ψ : U Rm είναι διαφορίσιµες στο x µε τις εξής παραγώγους : α ) Παράγωγος αθροίσµατος διανυσµατικών συναρτήσεων) D f + ḡ) x) = D f x) + Dḡ x) R m n ϐ ) Παράγωγος εσωτερικού γινοµένου διανυσµατικών συναρτήσεων) D f ḡ) x) = ḡ x) T D f x) + f x) T Dḡ x) R n γ ) Παράγωγος ϐαθµωτής επί διανυσµατική συνάρτηση) Dϕ f) x) = ϕ x)d f x) + f x)dϕ x) R m n δ ) Παράγωγος πηλίκου διανυσµατικής δια ϐαθµωτή συνάρτηση) ) f D x) = ψ x)d f x) f x)dψ x) ψ ψ 2 R m n x) Απόδειξη Τό ότι οι εξεταζόµενες συναρτήσεις, αν είναι διαφορίσιµες, έχουν τις πιο πάνω παραγώγους προκύπτει από την άλγεβρα Ιακωβιανών πινάκων Θεώρη- µα 311) Μένει να δείξουµε ότι για αυτές τις παραγώγους ισχύει ανάλογα η 31) 1): = = f + ḡ) x + η) f + ḡ) x) D f x) + Dḡ x) ) η lim η 0 η f x + η) f x) D f x) η = lim η 0 η ḡ x + η) ḡ x) Dḡ x) η + lim = 0 η 0 η 2): Από την απόδειξη του 2) στο Θεώρηµα 311 έχουµε m j=1 m j=1 lim f ḡ) x + η) f ḡ) x) grad f ḡ) x) η η 0 η lim η 0 lim η 0 f j g j ) x + η) f j g j ) x) f j x) grad g j x) + g j x) grad f j x) ) η η fj x + η) f j x) grad f j x) η g j x + η) η + f j x) g j x + η) g j x) grad g j x) η η + g j x + η) g j x)) grad f ) j x) η = 0 η 52

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 3): Σύµφωνα µε την Παρατήρηση 24 5), το αποτέλεσµα ακολουθεί από το ότι ϕf j ) x + η) ϕf j ) x) ϕ x) grad f j x) + f j x) grad ϕ x) ) η lim = 0 η 0 η j = 1,, m, το οποίο ισχύει, όπως είδαµε στην προηγούµενη απόδειξη του 2) 4): Ακολουθεί από το 3) ϐλ και την απόδειξη του 4) στο Θεώρηµα 311), αφού 1 1 lim η 0 η ψ x + η) 1 ) grad ψ x) η + ψ x) ψ 2 x) ) ) ψ x + η) ψ x) grad ψ x) η ψ x + η) ψ x) grad ψ x) η = lim η 0 ψ x + η)ψ 2 = 0 x) η η ψ x + η)ψ x) Θεώρηµα 337 Κανόνας της παραγώγου σύνθετης συνάρτησης ή κανόνας της αλυσίδας) Εστω U R n, V R m ανοικτά, n, m N, f : U R m µε fu) V, ḡ : V R k, k N, και έστω ότι η f είναι διαφορίσιµη στο x U και η ḡ είναι διαφορίσιµη στο ȳ := f x) Τότε η σύνθετη συνάρτηση ḡ f : U R k είναι διαφορίσιµη στο x µε παράγωγο Dḡ f) x) = Dḡ f x))d f x) Απόδειξη Θέτουµε A := D f x), B := Dḡȳ) = Dḡ f x)) Θέλουµε να δείξουµε ότι ḡ lim f) x + η) ḡ f) x) BA η = 0 η 0 η Αφού το V είναι ανοικτό, ϑα υπάρχει δ 1 > 0 τέτοιο ώστε Bȳ, δ 1 ) V Συνεπώς, αφού το U είναι ανοικτό και η f ως διαφορίσιµη είναι και συνεχής στο x U, ϑα υπάρχει δ 2 > 0 τέτοιο ώστε B x, δ 2 ) U και fb x, δ 2 )) Bȳ, δ 1 ) V Εστω λοιπόν στα επόµενα η B 0, δ 2 ) \ { 0} R n και ξ B 0, δ 1 ) \ { 0} R m Τότε x + η B x, δ 2 ) \ { x} U, f x + η) Bȳ, δ 1 ) V και ȳ + ξ Bȳ, δ 1 ) \ {ȳ} V Γνωρίζουµε ότι δηλαδή, ισοδύναµα, ότι lim η 0 f x + η) f x) A η = 0, η ḡȳ + lim ξ) ḡȳ) B ξ = 0, ξ 0 ξ f x + η) = f x) ϕ η) + A η + ϕ η) µε lim η 0 η = 0, ḡȳ + ξ) = ḡȳ) + B ξ + ψ ξ) µε lim ξ 0 ψ ξ) ξ = 0 53

33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Εχουµε συνεπώς ḡ f) x + η) = ḡ f x + η)) = ḡ f x) + A η + ϕ η)) Αν δείξουµε ότι έχουµε το Ϲητούµενο, αφού τότε = ḡ f x)) + BA η + B ϕ η) + ψa η + ϕ η)) B ϕ η) + lim ψa η + ϕ η)) = 0 η 0 η ḡ lim f) x + η) ḡ f) x) BA η B ϕ η) + = lim ψa η + ϕ η)) = 0 η 0 η η 0 η ϕ η) Αφού lim η 0 η = 0 και lim B ξ = 0 = B 0 ϐλ 34)) έχουµε από το Θεώρηµα ξ 0 254 3) Επίσης για ε = 1) Από την άλλη, αφού lim ξ 0 έχουµε για η B 0, δ 3 ) \ { 0} ψa η + ϕ η)) η B ϕ η) lim = 0 η 0 η δ 3 0, δ 2 ) η B 0, δ 3 ) \ { 0} : ϕ η) η ψ ξ) ξ = 0, δηλ, ισοδύναµα, ψ ξ) = ξ ψ 1 ξ) µε lim ψ 1 ξ) = 0, ξ 0 = A η + ϕ η) ψ 1 A η + ϕ η)) η A + 1) ψ 1 A η + ϕ η)) Οµως, αφού lim A η = 0 = A 0, lim ϕ η) = 0 =: ϕ 0) και lim ψ 1 ξ) = 0 =: ψ 1 0), η 0 η 0 ξ 0 και αφού συνθέσεις συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχείς ϐλ Θεώρηµα 253 3) ή, ισοδύναµα, Θεώρηµα 254 3)), έχουµε lim ψ 1 A η + ϕ η)) = 0 η 0 και άρα και το οποίο ολοκληρώνει την απόδειξη lim ψa η + ϕ η)) = 0, η 0 η 54

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 34 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ 34 Γεωµετρική ερµηνεία των παραγώγων Στις προηγούµενες παραγράφους γνωρίσαµε δυο ειδών διαφορισιµότητας διανυσµατικών συναρτήσεων f = f 1,, f m ) : U R m, U R n ανοικτό, m, n N, σε ένα σηµείο x U: την µερική διαφορισιµότητα, σύµφωνα µε την οποία υπάρχει ο Ιακωβιανός πίνακας των µερικών παραγώγων της f στο x 1 x 1 x) J f x) = m x 1 x) 1 x n x) R m n, 35) m x n x) µε στοιχεία τις i-οστές παραγώγους των j-οστών συνιστωσών f j : U R j f j x + hē i ) f j x) x) = lim R, j = 1,, m, i = 1,, n, x i h 0 h και την διαφορισιµότητα, σύµφωνα µε την οποία ο Ιακωβιανός πίνακας J f x) αναπαριστά την ϐέλτιστη γραµµική προσέγγιση στην συνάρτηση f στο σηµείο x, δηλ την γραµµική απεικόνιση D f x) : R n R m, D f x) η = J f x) η, για την οποία ισχύει lim η 0 f x + η) f x) D f x) η η = 0, 36) Τότε ο πίνακας D f x) = J f x) ονοµάζεται παράγωγος και η γραµµική απεικόνιση D f x) : R n R m ονοµάζεται διαφορικό Ξανατονίζουµε, ότι αν υπάρχει ο πίνακας των µερικών παραγώγων 35) αλλά δεν υπάρχει το όριο 36), η f είναι στο x µερικώς διαφορίσιµη, αλλά όχι διαφορίσιµη Επειδή όπου f j x + η) f x) grad f j x) η 36) lim = 0, j = 1,, m 37) η 0 η grad f j x) = j x) ) j x) x 1 x n η κλίση της f j στο x, ϐλέπουµε ότι η διαφορά των δύο εννοιών διαφορισιµότητας δεν εγκειται στο αν η συνάρτηση που εξετάζουµε είναι διανυσµατική ή πραγµατική, αφού από τις 35) κσι 37) προκύπτει f µερικώς διαφορίσιµη στο x f j µερικώς διαφορίσιµες στο x j = 1,, m και f διαφορίσιµη στο x f j διαφορίσιµες στο x j = 1,, m 55

34 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για την κατανόηση της διαφοράς των δυο εννοιών διαφορισιµότητας αρκεί λοιπόν να εξετάσουµε πραγµατικές συναρτήσες περισσότερων µεταβλητών Ας κάνουµε αυτήν την εξέταση για πραγµατικές συναρτήσεις δυο µεταβλητών Αυτά που ϑα πούµε γενικεύονται ανάλογα σε περισσότερες µεταβλητές Στην περίπτωση λοιπόν µιας πραγµατικής συνάρτησης f : U R, x, y) fx, y), δυο µεταβλητών x, y) U R 2, U ανοικτό, το γράφηµα της f µε αναλυτική εξίσωση Γ f = {x, y, fx, y)) R 3 : x, y) U} z = fx, y), x, y) U, είναι η επιφάνεια στον τρισδιάστατο) χώρο R 3, η οποία σχήµατιζεται αν πάνω από κάθε σηµείο x, y) U που ϐρίσκεται στο επίπεδο 0xy σηµειώσουµε παράλληλα στον άξονα 0z το σηµείο x, y, z), όπου z = fx, y) R είναι το ύψος του γραφήµατος στο σηµείο x, y), δηλ η προσηµασµένη) απόσταση του x, y, fx, y)) R 3 από το επίπεδο 0xy Οι µερικές παράγωγοι της f σε ένα σηµείο x 0, y 0 ) U είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων x x fx 0 + h, y 0 ) fx 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim, h 0 h y x fx 0, y 0 + h) fx 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim h 0 h x 0 ε, x 0 + ε) x fx, y 0 ), y 0 ε, y 0 + ε) y fx 0, y), αντίστοιχα, όπου ε > 0 τέτοιο ώστε x 0 ε, x 0 + ε) y 0 ε, y 0 + ε) U Συνεπώς, η x x 0, y 0 ) δίνει την κλίση της εφαπτοµένης ευθείας) στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) της καµπύλης {x, y 0, fx, y 0 )) R 3 : x R µε x, y 0 ) U}, που προκύπτει από την τοµή του γραφήµατος Γ f αναλυτική εξίσωση µε το επίπεδο y = y 0 και έχει z = fx, y 0 ), y = y 0, x R µε x, y 0 ) U Η εφαπτοµένη αυτή ϐρίσκεται στο επίπεδο y = y 0, το οποίο είναι παράλληλο του επιπέδου 0xz, και έχει αναλυτική εξίσωση z = fx 0, y 0 ) + x x 0 ) x x 0, y 0 ), y = y 0, x R 56

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 34 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Αντίστοιχα, η y x 0, y 0 ) δίνει την κλίση της εφαπτοµένης ευθείας) στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) της καµπύλης {x 0, y, fx 0, y)) R 3 : y R µε x 0, y) U}, που προκύπτει από την τοµή του γραφήµατος Γ f µε το επίπεδο x = x 0 και έχει αναλυτική εξίσωση z = fx 0, y), x = x 0, y R µε x 0, y) U Η εφαπτοµένη αυτή ϐρίσκεται στο επίπεδο x = x 0, το οποίο είναι παράλληλο του επιπέδου 0yz, και έχει αναλυτική εξίσωση z = fx 0, y 0 ) + y y 0 ) y x 0, y 0 ), x = x 0, y R Οι δύο αυτές εφαπτόµενες ευθείες τέµνονται στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) Γ f, ϐρίσκονται καθεµία σε ένα επίπεδο που είναι κάθετο στο άλλο, και ορίζουν ένα µοναδικό επίπεδο που τις περιέχει µε αναλυτική εξίσωση z = fx 0, y 0 ) + x x 0 ) x x 0, y 0 ) + y y 0 ) y x 0, y 0 ) = fx 0, y 0 ) + x x 0, y y 0 ) grad fx 0, y 0 ), x, y) R 2, και κλίση grad fx 0, y 0 ) Το επίπεδο αυτό ονοµάζεται εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) του γραφήµατος Γ f της f αν και µόνο αν lim = fx, y) fx 0, y 0 ) x x 0, y y 0 ) grad fx 0, y 0 ) = 0, x,y) x 0,y 0) x x 0, y y 0 ) δηλ αν και µόνο αν η f είναι διαφορίσιµη στο σηµείο x 0, y 0 ) U Τότε η κλίση grad fx 0, y 0 ) του εφαπτόµενου επιπέδου στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) του γραφήµατος Γ f της f είναι η παράγωγος Dfx 0, y 0 ) της f στο σηµείο x 0, y 0 ), grad fx 0, y 0 ) = x x 0, y 0 ), ) y x 0, y 0 ) = Dfx 0, y 0 ) Το εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) του γραφήµατος Γ f της διαφορίσιµης συνάρτησης f στο σηµείο αυτό αποτελείται από τα σηµεία διανυσµατική εξίσωση) x x 0 1 0 y = y 0 + x x 0 ) 0 + y y 0 ) 1 R 3, z fx 0, y 0 ) x x 0, y 0 ) y x 0, y 0 ) 38) x, y R, 57

34 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ και είναι κάθετο στο διάνυσµα που δίνεται από το εξωτερικό γινόµενο 1 0 x x 0, y 0 ) 0 1 y x 0, y 0 ) = ē 1 ē 2 ē 3 1 0 x x 0, y 0 ) = 0 1 y x 0, y 0 ) x x 0, y 0 ) y x 0, y 0 ) 1 Ετσι η αναλυτική εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) του γραφήµατος Γ f της f δίνεται από την εξίσωση x x 0, y 0 ) x x 0 y x 0, y 0 ) y y 0 = 0 1 z fx 0, y 0 ) Τέλος, αν στην διανυσµατική εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου ϑέσουµε την παράµετρο y = y 0, έχουµε την διανυσµατική εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) της καµπύλης {x, y 0, fx, y 0 )) R 3 : x R µε x, y 0 ) U}, x x 0 y = y 0 + x x 0 ) z fx 0, y 0 ) 1 0 x x 0, y 0 ) R 3, x R, ενώ αν ϑέσουµε την παράµετρο x = x 0, έχουµε την διανυσµατική εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) της καµπύλης {x 0, y, fx 0, y)) R 3 : y R µε x 0, y) U}, x x 0 y = y 0 + y y 0 ) z fx 0, y 0 ) 0 1 y x 0, y 0 ) R 3, y R Αντίστοιχα, ϑέτωντας y = y 0 ή x = x 0 στην αναλυτική εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου παίρνουµε τις αναλυτικές εξισώσεις των εφαπτόµενων ευθειών) στις καµπύλες που προκύπτουν από την τοµή του Γ f µε τα επίπεδα y = y 0 ή x = x 0, αντίστοιχα Παραδειγµα 9 Ας εξετάσουµε όλα τα παραπάνω σε µια από τις πιο απλές πραγ- µατικές συναρτήσεις δύο µεταβλητών, προσπαθώντας να τα δούµε κυριολεκτικά) γεωµετρικά Εστω, λοιπόν, η fx, y) = x 2 + y 2 = x, y) 2, x, y) R 2 Το γράφηµα Γ f της f είναι το ελλειπτικό παραβολοειδές µε αναλυτική εξίσωση z = x 2 + y 2, x, y) R 2 Η f έχει στο σηµείο x 0, y 0 ) τις µερικές παραγώγους x x 0, y 0 ) = 2x 0, y x 0, y 0 ) = 2y 0 58

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 34 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ και συνεπώς την κλίση grad fx 0, y 0 ) = 2x 0, y 0 ) Η f είναι διαφορίσιµη σε κάθε σηµείο x 0, y 0 ) R 2, αφού γενικότερα η g x) = x 2, x R n, µε κλίση grad g x) = 2 x είναι διαφορίσιµη, µιας και x + η 2 x 2 2 x η lim = lim η = 0 η 0 η η 0 Συνεπώς υπάρχει το εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο x 0, y 0, x 2 0 + y 2 0) z = x 2 0 + y 2 0 + 2x 0 x x 0 ) + 2y 0 y y 0 ), x, y) R 2 που είναι κάθετο στο δίανυσµα 2x 0, 2y 0, 1) Παρατηρούµε, όπως γεωµετρικά το ϕανταζόµασταν, ότι στα σηµεία x 0, y 0 ) = 0, 0): εφεπ z = 0, grad f0, 0) = 0, 0), κάθ 0, 0, 1), x 0, y 0 ) = ±1, 0): εφεπ z = 1 ± 2x 1), grad f±1, 0) = ±2, 0), κάθ 2, 0, 1), x 0, y 0 ) = 0, ±1): εφεπ z = 1 ± 2y 1), grad f0, ±1) = 0, ±2), κάθ 0, 2, 1) Η τοµή του παραβολοειδούς µε τα επίπεδα y = y 0 και x = x 0 δίνεται αντίστοιχα από τις καµπύλες µε αναλυτικές εξισώσεις z = x 2 + y 2 0, y = y 0, x R και z = x 2 0 + y 2, x = x 0, y R, που έχουν αντίστοιχα τις εφαπτόµενες στο σηµείο x 0, y 0, x 2 0 + y 2 0) z = x 2 0+y 2 0 +2x 0 x x 0 ), y = y 0, x R, z = x 2 0+y 2 0 +2y 0 y y 0 ), x = x 0, y R Ετσι έχουµε στο σηµείο x 0, y 0 ) = 0, 0) τις καµπύλες z = x 2, y = 0, x R και z = y 2, x = 0, y R, µε εφαπτόµενες στο σηµείο 0, 0, 0) z = 0, y = y 0, x R, z = 0, x = x 0, y R, στα σηµεία x 0, y 0 ) = ±1, 0) τις καµπύλες z = x 2, y = 0, x R και z = 1 + y 2, x = ±1, y R, µε εφαπτόµενες στα σηµεία ±1, 0, 1) z = 1 ± 2x 1), y = 0, x R, z = 1, x = ±1, y R, 59

35 ΠΑΡΑΓΩΓ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ και στα σηµεία x 0, y 0 ) = 0, ±1) τις καµπύλες z = x 2 + 1, y = ±1, x R και z = 0y 2, x = x 0, y R, που έχουν τις εφαπτόµενες στο σηµείο 0, ±1, 1) z = 1, y = ±1, x R, z = 1 + ±2y 1), x = x 0, y R 35 Παράγωγος κατά κατεύθυνση Μάθαµε µέχρι τώρα ότι οι µερικές παράγωγοι µιας µερικώς διαφορίσιµης πραγµατικής συνάρτησης πολλών µεταβλητών είναι οι παράγωγοι της συνάρτησης ως προς µια µεταβλητή της, ϑεωρώντας τις υπόλοιπες ως σταθερούς αριθµούς Είδαµε επίσης στην απλούστερη περίπτωση µιας διαφορίσιµης πραγµατικής συνάρτησης δυο µετα- ϐλητών f : U R, U R 2 ανοικτό, ότι οι εφαπτόµενες στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) µε x 0, y 0 ) U) των καµπυλών που δηµιουργούνται από την τοµή του γραφήµατος της συνάρτησης µε τα επίπεδα y = y 0 και x = x 0 έχουν ως κλίσεις τις µερικές παραγώγους x x 0, y 0 ), y x 0, y 0 ), και ότι οι εφαπτόµενες αυτές ευθείες περιέχονται στο και ορίζουν το εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο αυτό του γραφήµατος που έχει κλίση grad fx 0, y 0 ) = x x 0, y 0 ), ) y x 0, y 0 ) Ανακύπτουν δύο ερωτήµατα : α ) Αφού οι µερικές παράγωγοι είναι οι παράγωγοι των x fx, y 0 ) και y fx 0, y), δηλ οι παράγωγοι κατά µήκος των ευθειών y = y 0 και x = x 0 του ε- πιπέδου 0xy, που έχουν τις κατευθύνσεις 0, 1) και 1, 0), δεν ϑα µπορούσαµε να εξετάσουµε τις παραγώγους της f στο σηµείο x 0, y 0 ) κατά µήκος οποιασδήποτε ευθείας που περνάει από το σηµείο x 0, y 0 ), δηλ ως προς οποιαδήποτε κατευθυνση α, β) 0, 0); Η απάντηση είναι καταφατική αν η f είναι διαφορίσιµη στο x 0, y 0 ), και στοιχειοθετεί την έννοια της παραγώγου κατά κατεύθυνση ϐ ) Αφού οι µερικές παράγωγοι, δηλ οι παράγωγοι κατά τις κατευθύνσεις 1, 0) και 0, 1), αντιστοιχούν σε εφαπτόµενες ευθείες που περιέχονται στο εφαπτόµενο επίπεδο του γραφήµατος της στο x 0, y 0 ) διαφορίσιµης συνάρτησης f στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )), ϑα ισχύει αυτό και για τις παραγώγους κατά οποιαδήποτε κατευθυνση ; Και αν ναι, ϑα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε την γνώση της κλισης grad fx 0, y 0 ) του εφαπτόµενου επίπεδου για να υπολογίσουµε την παράγωγο σε µια δεδοµένη κατεύθυνση ; 60

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 35 ΠΑΡΑΓΩΓ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Και πάλι οι απαντήσεις σε αυτά τα δύο ερωτήµατα είναι καταφατικές, αν η f είναι διαφορίσιµη στο x 0, y 0 ) Ας δούµε λοιπόν τι συµβαίνει Ορισµός 351 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, x U και ν R n µε ν = 1 Τό όριο D ν f x) := f x + h ν) f x) x) := lim ν h 0 h λέγεται, αν υπάρχει, κατευθυνόµενη παράγωγος directional derivative) στην κατεύθυνση ν ή παράγωγος κατά κατεύθυνση ν της f στο x Παρατηρηση 28 Αν η f είναι µερικώς διαφορίσιµη στο x έχουµε i = 1,, n Dēi x) = x i x) Θεώρηµα 351 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, διαφορίσιµη Τότε υπάρχει η κατευθυνόµενη παράγωγος σε κάθε x = x 1,, x n ) U και προς κάθε κατεύθυνση ν = ν 1,, ν n ) R n, ν = 1, και ισχύει ϕ n h) D ν f x) = grad f x) ν Απόδειξη Εστω x U Αφού το U είναι ανοικτό υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε B x, ε) U Τότε x + h ν B x, ε) h ε, ε) Θεωρούµε την συνάρτηση ϕ 1 h) x 1 + hν 1 ϕh) = := x + h ν = R n, h ε, ε) για την οποία ισχύει D ϕ0) = ϕ 10) ϕ n0) x n + hν n = ν 1 ν n = ν, αφού ϕh) ϕ0) νh lim = 0 h 0 h Με αυτήν τη συνάρτηση έχουµε f x + h ν) f x) f ϕh)) f ϕ0)) D ν f x) = lim = lim h 0 h h 0 h f ϕ)h) f ϕ)0) = lim = f ϕ) 0) h 0 h Αλλά f ϕ : R n R m µε m = n = 1 και σύµφωνα µε τον κανόνα της αλυσίδας ισχύει f ϕ) 0) = Df ϕ)0) = Df ϕ0))d ϕ0) = Df x)d ϕ0) = grad f x) ν 61

35 ΠΑΡΑΓΩΓ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Παρατηρηση 29 Φυσικά και από το προηγούµενο ϑεώρηµα επαληθεύεται η Παρατήρηση 28, ότι, αν η f είναι διαφορίσιµη στο x, έχουµε i = 1,, n Dēi x) = grad f x) ē i = x),, x),, ) x) 0,, 1,, 0) x 1 x i x n = x i x) Παρατηρηση 30 Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz Πρόταση 111 1)) γνωρίζου- µε ότι, αν grad f x) 0, το εσωτερικό γινόµενο grad f x) ν R µεγιστοποιείται, όταν grad f x) ν = grad f x) και τότε D νf x) = grad f x) Αυτό σηµαίνει ότι στο σηµείο x U η κλίση grad f x) δείχνει στην κατεύθυνση κατά την οποία το f παρουσιάζει την µεγαλύτερη ϑετική) µεταβολή µε ϱυθµό µεταβολής κλίση ) grad f x) Επίσης, αν ϑυµηθούµε ότι η γωνία ϑ [0, 2π) µεταξύ των διανυσµάτων grad f x) και ν R n µε ν = 1 δίνεται από την σχέση cos ϑ = grad f x) ν grad f x) έχουµε D ν f x) = grad f x) cos ϑ Παρατηρηση 31 Για µια συνάρτηση δύο µεταβλητών f : U R, U R 2 ανοικτό, διαφορίσιµη στο x 0, y 0 ), το D ν fx 0, y 0 ) µε ν = ν 1 ν 2 ) R 2 και ν = 1) δίνει την κλίση της εφαπτοµένης στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) της καµπύλης που προκύπτει από την τοµή του γραφήµατος της f Γ f = {x, y, z) R 3 : z = fx, y), x, y) U} µε το επίπεδο κάθετα στο 0xy το οποίο περιέχει την ευθεία ) ) x x0 ν1 = + h, h R y) y 0 ν 2 Η εν λόγω καµπύλη έχει συνεπώς διανυσµατική εξίσωση x x 0 + hν 1 y = y 0 + hν 2 =: γh), h ε, ε) z fx 0 + hν 1, y 0 + hν 2 ) και είναι διαφορίσιµη στο h = 0, αφού ν 1 ν 1 J γ 0) = ν 2 d dh fx 0 + hν 1, y 0 + hν 2 ) h=0 = ν 2 grad fx 0, y 0 ) ν 62

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 35 ΠΑΡΑΓΩΓ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ και γh) γ0) J γ 0)h lim = 0 h 0 h ν 1 h ν 1 h ν 2 h ν 2 h lim = 0, lim = 0, h 0 h h 0 h fx 0 + hν 1, y 0 + hν 2 ) fx 0, y 0 ) grad fx 0, y 0 ) νh lim h 0 h = 0 Συνεπώς D γ 0) = J γ 0) και η εφαπτοµένη ευθεία) στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) = γ ν 0) δίνεται από την x x 0 ν 1 y = γ ν 0) + D γ 0)h = y 0 + h ν 2 z fx 0, y 0 ) grad fx 0, y 0 ) ν = x 0 1 0 y 0 + hν 1 0 + hν 2 1, h R fx 0, y 0 ) x x 0, y 0 ) y x 0, y 0 ) και άρα περιέχεται στο εφαπτόµενο επίπεδο του γραφήµατος της f στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )), ϐλ 38) και έχει κλίση εφαπτοµένης ν x 0, y 0 ) = grad fx 0, y 0 ) ν Πχ αν ξανακοιτάξουµε το ελλειπτικό παραβολοειδές του Παραδείγµατος 9 ϐλέπου- µε ότι σύµφωνα µε την Παρατήρηση 30 η κατεύθυνση της µεγαλύτερης µεταβολής της fx, y) = x 2 + y 2 στο σηµείο x 0, y 0 ) R 2 \ {0, 0)} είναι η κατεύθυνση ν = grad fx 0, y 0 ) grad fx 0, y 0 ) = x 0, y 0 ) x 0, y 0 ), δηλαδή η κατεύθυνση του x 0, y 0 ) R 2 \ {0, 0)}, κατά την οποία η καµπύλη x 1 + h)x 0 y = 1 + h)y 0, h R, z 1 + h) 2 x 2 0 + y0) 2 έχει εφαπτοµένη στο σηµείο x 0, y 0, x 2 0 + y0) 2 την x x 0 x 0 y = y 0 + h y 0, h R, z x 2 0 + y0 2 2 x 0, y 0 ) µε κλίση εφαπτοµένης την παράγωγο κατεύθυνσης ν x 0, y 0 ) = 2 x 0, y 0 ) 63

35 ΠΑΡΑΓΩΓ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Να προσεχθεί ότι η παράγωγος κατεύθυνσης εξαρτάται εδώ µόνο από την απόσταση του σηµείου x 0, y 0 ) από το 0, 0) Στο σηµείο x 0, y 0 ) = 0, 0) ϐλέπουµε ότι D ν f0, 0) = grad f0, 0) ν = 0, 0) ν = 0 ν R 2, ν = 1, δηλαδή κατά µήκος οποιασδήποτε ευθείας του επιπέδου z = 0 που περνάει από το 0, 0), η καµπύλη πάνω από αυτή την ευθεία έχει στο σηµείο 0, 0, 0) ως εφαπτοµένη την εν λόγω ευθεία, δηλαδή έχει κλίση εφαπτοµένης παράγωγο κατεύθυνσης) 0 Παρατηρηση 32 Η κλίση grad f x) µιας διαφορίσιµης συνάρτησης f : U R, U R n ανοικτό, στο σηµείο x U, έχει και µια άλλη ιδιότητα : Είναι κάθετη στο σύνολο στάθµης c R της f, L f c) := { x U : f x) = c}, δηλ για κάθε διαφορίσιµη καµπύλη γ : ε, ε) R n µε γ ε, ε)) L f c) και γ0) = x ισχύει D γ0) grad f x) = 0 Πράγµατι, η συνάρτηση f γ : ε, ε) R µε f γ)h) = c h ε, ε) έχει παράγωγο Df γ)0) = f γ) 0) = 0 Από την άλλη, από τον κανόνα της αλυσίδας έχουµε Df γ)0) = grad f x) D γ0) Ως παράδειγµα, οι καµπύλες στάθµης c > 0 του ελλειπτικού παραβολοειδούς fx, y) = x 2 + y 2 είναι οι κύκλοι κέντρου 0, 0) και ακτίνας c του R 2, L f c) = {x, y) R 2 : x 2 + y 2 = c} Οι διαφορίσιµες καµπύλες που περνάνε από ένα συγκεκριµένο σηµείο x, y) L f c) και ϐρίσκονται εξ ολοκλήρου στο L f c) είναι της µορφής γh) = cosϕh)), sinϕh))), h ε, ε), µε γ0) = cosϕ0)), sinϕ0))) = x, y) και έχουν παράγωγο D γ0) = sinϕ0))ϕ 0), cosϕ0))ϕ 0)) = y, x)ϕ 0) Συνεπώς, D γ0) grad f x) = x, y) x, y)ϕ 0) = 0 64

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 35 ΠΑΡΑΓΩΓ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Α 12 Εστω το σύνολο M = {x, y) R 2 : x = y} \ {0, 0)} και η συνάρτηση fx, y) = { e x 1, x, y) M, 0, x, y) M είξτε ότι α ) Η f είναι µερικώς διαφορίσιµη όταν και µόνο όταν x, y) M ϐ ) Η κατευθυνόµενη παράγωγος D ν f0, 0) υπάρχει για κάθε ν R 2, ν = 1 γ ) Υπάρχει ν R 2, ν = 1, µε D ν f0, 0) grad f0, 0) ν Λύση α ) 1 Εστω x, y) M, x, y) 0, 0) Τότε αφού ε > 0 : Bx, y), ε) M =, 39) ε > 0 ξ, η) R 2 µε x ξ) 2 + y η) 2 < ε 2 : ξ η, µιας και για ε := x y 2 > 0 ξ = η x ξ) 2 + y ξ) 2 > ε 2 = που ισχύει επειδή x y)2 4 = x ξ) y ξ))2, 4 a 2 + b 2 > a b)2 4 3a 2 + b 2 ) > a 2 + b 2 2ab για a, b) 0, 0) Η 39) προκύπτει και πιο άµεσα, αφού x, y) M = {x, y) R 2 : x = y}) Συνεπώς, fξ, η) = 0 ξ, η) Bx, y), ε) και άρα η f είναι στο σηµείο x, y) άπειρες ϕορές διαφορίσιµη και άρα και µερικώς διαφορίσιµη 2 x f0, 0) = lim y y 0 fx, 0) f0, 0) f0, 0) = lim x 0 x f0, y) f0, 0) y 0 0 = lim = 0, x 0 x 0 0 = lim = 0 y 0 y 3 Εστω x, y) M, δηλ x = y 0 και άρα fx, x) 0 Αλλά fξ, x) = 0 ξ x 65

36 ΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ και άρα η ξ fξ, x) δεν είναι συνεχής στο x και συνεπώς ούτε διαφορίσιµη, δηλ το όριο fξ, x) fx, x) fx, x) := lim x ξ x ξ x δεν υπάρχει, που σηµαίνει ότι η f δεν είναι µερικώς διαφορίσιµη ως προς x Αυτό ισχύει ανάλογα και για την µερική παράγωγο ως προς y) ϐ ) Εστω ν = ± 1 2 1, 1) Τότε f 0 + h ν) f 0) D ν f0, 0) = lim = lim h 0 h h 0 e ± h 2 1 h = ± 1 2 Εστω ν = ν 1, ν 2 ) R 2 \ {± 1 2 1, 1)}, ν = 1 Τότε ν 1 ν 2 και άρα f 0 + h ν) f 0) fhν 1, hν 2 ) 0 D ν f0, 0) = lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h = 0 γ ) Σύµφωνα µε το α ) 2 και το ϐ ) έχουµε για ν = 1 2 1, 1) 1 1 = D ν f0, 0) grad f0, 0) ν = 0, 0) 1, 1) = 0 2 2 Παρατήρηση : Η παρούσα άσκηση αποδεικνύει ότι α) η ύπαρξη των κατευθυνόµενων παραγώγων προς κάθε κατεύθυνση σε ένα σηµείο δεν συνεπάγεται την διαφορισιµότητα της συνάρτησης στο σηµείο αυτό και ϐ) η προϋπόθεση της δια- ϕορισιµότητας είναι αναγκαία για την ισχύ του Θεωρήµατος 351 36 ιαφορικοί τελεστές Ορισµός 361 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n 2, µερικώς διαφορίσιµη Το διάνυσµα των µερικών παραγώγων της f στο σηµείο x U, grad f x) := x),, ) x) R n x 1 x n ονοµάζεται κλίση gradient) της f στο x, ενώ το διανυσµατικό πεδίο των µερικών παραγώγων της f grad f =,, ) : U R n x 1 x n ονοµάζεται κλίση της f 66

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 36 ΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Παρατηρηση 33 Η κλίση µιας συνάρτησης f, grad f, µπορεί να ϑεωρηθεί και σαν τιµή εικόνα) στον χώρο των διανυσµατικών πεδίων του U του στοιχείου ορίσµατος) f του χώρου των µερικώς διαφορίσιµων συναρτήσεων του U υπό την απεικόνιση grad : {f : U R : f µερικώς διαφορίσιµη} { f : U R n }, grad f =,, ) x 1 x n Μια απεικόνιση από έναν χώρο συναρτήσεων σε έναν χώρο διανυσµατικών) συναρτήσεων ονοµάζεται διανυσµατικός) τελεστής operator) Αν η πράξη που εκ)τελεί ο τελεστής είναι κάποιας µορφής διαφόριση αυτός ονοµάζεται διαφορικός τελεστής differential operator) Η κλίση grad λοιπόν είναι ένας διανυσµατικός διαφορικός τελεστής από τον χώρο των µερικώς διαφορίσιµων συναρτήσεων στον χώρο των διανυσµατικών πεδίων Ο τελεστής αυτός συµβολίζεται µε το σύµβολο = x 1,, x n που ονοµάζεται ανάδελτα nabla) Εχουµε λοιπόν ), : {f : U R : f µερικώς διαφορίσιµη} { f : U R n }, f = grad f =,, ) ) =,, f x 1 x n x 1 x n Συµβολικά µπορούµε να ερµηνεύσουµε την κλίση ) µιας συνάρτησης f ως το ϐαθ- µωτό γινόµενο του διανύσµατος =,, επί την ϐαθµωτή συνάρτηση x 1 x n f, όπου όµως το πρέπει πάντα να γράφεται µπροστά από την συνάρτηση Ορισµός 362 Εστω f = f 1,, f n ) : U R n, U R n ανοικτό, n 2, ένα µερικώς διαφορίσιµο διανυσµατικό πεδίο Η συνάρτηση div f := n i=1 ονοµάζεται απόκλιση divergence) του f i x i : U R Παρατηρηση 34 Συµβολικά γράφουµε την απόκλιση ) ενος διανυσµατικού πεδίου f ως το εσωτερικό γινόµενο του =,, επί το x 1 x f, n ) div f = f n =,, f 1,, f n ) = f i x 1 x n x i Η απόκλιση div είναι ένας ϐαθµωτός διαφορικός τελεστής από τον χώρο των µερικώς διαφορίσιµων διανυσµατικών πεδίων στον χώρο των συναρτήσεων 67 i=1

36 ΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Παρατηρηση 35 Ενα διανυσµατικό πεδίο f ταυτοτικά µηδενικής απόκλισης, f 0, ονοµάζεται ασυµπίεστο Ορισµός 363 Εστω f = f 1, f 2, f 3 ) : U R 3, U R 3 ανοικτό, ένα µερικώς διαφορίσιµο τρισδιάστατο διανυσµατικό πεδίο Το τρισδιάστατο διανυσµατικό πεδίο curl f 3 := 2, 1 3, 2 ) 1 : U R 3 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 ονοµάζεται στροβιλισµός ή περιστροφή rotation) του f Συµβολισµός Σε ένα µεγάλο µέρος της ϐιβλιογραφίας, κυρίως της Ηπειρωτικής Ευ- ϱώπης, ο στροβιλισµός ενός τρισδιάστατου διανυσµατικού πεδίου f συµβολίζεται µε rot f= curl f) Παρατηρηση 36 Ως γνωστόν, το εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων x = x 1, x 2, x 3 ), ȳ = y 1, y 2, y 3 ) R 3 ορίζεται ως ē 1 ē 2 ē 3 x ȳ := x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ) = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3, όπου η τελευταία ορίζουσα έχει συµβολικό χαρακτήρα Συνεπώς, συµβολικά γράφουµε τον στροβιλισµό ενος τρισδιάστατου ) διανυσµατικού πεδίου f ως το εξωτερικό γινόµενο του =,, επί το x 1 x 2 x f, 3 ) curl f = f ē 1 ē 2 ē 3 =,, f 1, f 2, f 3 ) = x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 f 1 f 2 f 3 = f 3 f 2, f 1 f 3, f 2 ) f 1 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 Να προσεχθεί και εδώ ότι ο ϐαθµωτός διαφορικός τελεστής x i πρέπει να γράφεται πάντα µπροστά από την προς διαφόριση συνάρτηση f j ) Ο στροβιλισµός curl είναι ένας διανυσµατικός διαφορικός τελεστής από τον χώρο των µερικώς διαφορίσιµων τρισδιάστατων διανυσµατικών πεδίων στον χώρο των τρισδιάστατων διανυσµατικών πεδίων Παρατηρηση 37 Ενα τρισδιάστατο διανυσµατικό πεδίο f ταυτοτικά µηδενικού στρο- ϐιλισµού, f 0, ονοµάζεται αστρόβιλο Α 13 Εστω f C 2 U; R 3 ), U R 3 ανοικτό είξτε ότι : div curl f = 0 Ορισµός 364 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n 2, δυό ϕορές µερικώς διαφορίσιµη Η συνάρτηση n 2 f f := x 2 : U R i=1 i ονοµάζεται Λαπλασιανή Laplacian) της f 68