Έλεγχος Τυχαιοποίησης για την Ταυτοποίηση του Συστήματος μη-γκαουσιανής Χρονοσειράς

Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 19 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2006), σελ 249-256 Έλεγχος Τυχαιοποίησης για την Ταυτοποίηση του Συστήματος μη-γκαουσιανής Χρονοσειράς Δ. Κουγιουμτζής 1, Ε. Μπόρα-Σέντα 2 1 Γενικό Τμήμα, Πολυτεχνική Σχολή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης dkugiu@gen.auh.gr 2 Μαθηματικό Τμήμα, Σχολή Θετικών Επιστημών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης bora@mah.auh.gr Περίληψη Πολλοί στατιστικοί έλεγχοι έχουν επικεντρωθεί στο διαχωρισμό των χρονοσειρών σε γραμμικές και μη-γραμμικές, δηλαδή αν προέρχονται από γραμμικό στοχαστικό σύστημα ή μη-γραμμικό (στοχαστικό ή αιτιοκρατικό) σύστημα. Επιπλέον, μια μη-γκαουσιανή γραμμική χρονοσειρά ταξινομείται σε δύο κλάσεις, ανάλογα αν υπάρχει μονοσήμαντη αντιστοιχία σε Γκαουσιανή με κατάλληλο μετασχηματισμό των παρατηρήσεων της. Για την ταξινόμηση μιας χρονοσειράς σε μια από τις τρεις παραπάνω κλάσεις χρησιμοποιήθηκε συνδυασμός δύο μηδενικών υποθέσεων. Η πρώτη είναι ότι η χρονοσειρά παράγεται από μια Γκαουσιανή στοχαστική διαδικασία μέσω μονότονου μετασχηματισμού. Η δεύτερη μηδενική υπόθεση επεκτείνει την πρώτη ώστε να περιλαμβάνει και μη-μονότονο μετασχηματισμό. Ο συνδυασμός αποδοχής ή/και απόρριψης της κάθε μιας μηδενικής υπόθεσης οδηγεί σε μια από τις τρεις κλάσεις. Ως στατιστική ελέγχου χρησιμοποιήθηκε το σφάλμα προσαρμογής μη γραμμικού μοντέλου (επιλέχθηκε το τοπικό γραμμικό μοντέλο). Επειδή η κατανομή του μηγραμμικού στατιστικού είναι άγνωστη, έγινε έλεγχος τυχαιοποίησης χρησιμοποιώντας δύο γνωστούς αλγόριθμους παραγωγής τυχαιποιημένων, ή αλλιώς υποκατάστατων (surrogae) χρονοσειρών, για τις δύο μηδενικές υποθέσεις, αντίστοιχα. Τα αποτελέσματα από Mone Carlo προσομοιώσεις έδειξαν καλή διακριτική απόδοση του προτεινόμενου ελέγχου. Η εφαρμογή του ελέγχου σε δείκτες όγκου συναλλαγών από διάφορες διεθνείς αγορές ανέδειξε τη χρησιμότητα του ελέγχου στην ταυτοποίηση του δυναμικού συστήματος της αγοράς και κατ επέκταση στη δυνατότητα βελτίωσης της πρόβλεψης των τιμών του όγκου συναλλαγών. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη γραμμική ανάλυση μιας στάσιμης χρονοσειράς {x 1, x 2,, x n }, ή απλά {x }, συχνά γίνεται χρήση της υπόθεσης κανονικότητας [Brockwell and Davis (1991)]. Τυπικά αυτό σημαίνει πως η παρατηρούμενη στοχαστική διαδικασία {Χ } (για χρόνο παρατήρησης =1,,n) είναι Γκαουσιανή (κανονική), δηλαδή η κοινή κατανομή των (X, X +1,, X +k ) είναι Γκαουσιανή για κάθε k. Στην πράξη όμως συνήθως ούτε η περιθώρια κατανομή F X (x) είναι κανονική. - 249 -

Σε κάποιες περιπτώσεις ένας απλός μονότονος στατικός μετασχηματισμός, y =g -1 (x ), όπου η συνάρτηση g -1 μπορεί να είναι απλά ο λογάριθμος ή γενικότερα η συνάρτηση g να είναι ο μετασχηματισμός δύναμης Box-Cox [Box and Cox (1964)], μπορεί να διορθώσει την περιθώρια κατανομή σε κανονική, ή ακόμα περισσότερο να ικανοποιήσει την υπόθεση της κανονικότητας της χρονοσειράς {y }. Για την υπόθεση αυτή υπάρχουν κάποιοι παραμετρικοί έλεγχοι, όπως ο έλεγχος της πολυ-μεταβλητής λοξότητας και κύρτωσης του Mardia (1970), το λεγόμενο Ζ p -τεστ [Mudholkar e al (1992)], καθώς και άλλοι έλεγχοι προσαρμοσμένοι ειδικά σε χρονοσειρές [Kariya e al (1999)]. Η αποδοχή της μηδενικής υπόθεσης για την {y } υποδηλώνει ότι η {x } προέρχεται από Γκαουσιανή διαδικασία μέσω της g. Μια άλλη ενδιαφέρουσα υπόθεση στην ανάλυση της {x } είναι η μη-γραμμικότητα, δηλαδή η ύπαρξη μη-γραμμικών συσχετίσεων στη χρονοσειρά και κατ επέκταση η ύπαρξη μη-γραμμικού δυναμικού συστήματος που παράγει τη χρονοσειρά. Για να ισχύει αυτό θα πρέπει να απορριφθεί η υπόθεση ότι η χρονοσειρά προέρχεται από γραμμική στοχαστική διαδικασία. Έχουν προταθεί παραμετρικοί έλεγχοι για συγκεκριμένες εναλλακτικές υποθέσεις, δηλαδή εκφράσεις της μη-γραμμικότητας [Cromwell e al (1994)]. Για τη γενική εναλλακτική υπόθεση επίσης έχουν προταθεί έλεγχοι που κάνουν χρήση τεχνικών boosrap [Hjellvik and Tjøsheim (1995)], αλλά μεγάλο ενδιαφέρον έχουν γνωρίσει οι έλεγχοι τυχαιοποίησης, όπου το πρόβλημα είναι στη δημιουργία υποκατάστατων χρονοσειρών (surrogae daa), που είναι συνεπείς προς τη μηδενική υπόθεση [Schreiber and Schmiz (2000), Kugiumzis (2002a)]. Έχει επικρατήσει στη βιβλιογραφία ο έλεγχος για την υπόθεση της γραμμικότητας να λέγεται έλεγχος μη-γραμμικότητας. Οι παραπάνω έλεγχοι υποδεικνύουν τρεις δυνατές κατηγορίες για τη στοχαστική διαδικασία (και γενικότερα το δυναμικό σύστημα) που παράγει τη χρονοσειρά: (α) μονότονος μετασχηματισμός Γκαουσιανής διαδικασίας, (β) μη-μονότονος μετασχηματισμός Γκαουσιανής διαδικασίας, και (γ) μη-γραμμική στοχαστική (ή αιτιοκρατική) διαδικασία. Σε αυτήν την εργασία παρουσιάζουμε ένα συνδυασμό δύο ελέγχων για να εντάξουμε τη χρονοσειρά σε μια από τις τρεις κατηγορίες. 2. Ο ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 2.1 Μηδενικές υποθέσεις των δύο ελέγχων Για τον έλεγχο μη-γραμμικότητας της {x } θεωρούμε ως μηδενική υπόθεση Η 0 ότι η {x } προέρχεται από μια γραμμική στοχαστική διαδικασία, που ορίζεται ως μετασχηματισμός h τυπικής Γκαουσιανής διαδικασίας {s } με συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ρ s, δηλαδή x = h( s ), { s}~ Ν (0,1, ρ ). (1) Παρατηρούμε πως οι περιπτώσεις (α) και (β) συνθέτουν την Η 0 ενώ η εναλλακτική υπόθεση Η 1 είναι η περίπτωση (γ). s - 250 -

Η δεύτερη μηδενική υπόθεση Η είναι όπως η Η 0 0 αλλά για μονότονο μετασχηματισμό h (περίπτωση (α)). Είναι φανερό πως η εναλλακτική υπόθεση αναλύεται στις περιπτώσεις (β) και (γ). Ο συνδυασμός των αποτελεσμάτων των δύο παραπάνω ελέγχων οδηγεί σε καταχώρηση της {x} σε μια από τις τρεις δυνατές κατηγορίες ως εξής: 1) Αν η Η 0 και η Η δεν απορρίπτονται τότε η {x 0 } ανήκει στην κατηγορία (α). 2) Αν η Η 0 δεν απορρίπτεται και η 0 Η απορρίπτεται τότε η {x } ανήκει στην κατηγορία (β). 3) Αν η Η 0 απορρίπτεται τότε και η 0 Η απορρίπτεται και άρα η {x } ανήκει στην κατηγορία (γ). 4) Θεωρητικά δε μπορεί η Η 0 να απορρίπτεται αλλά να μην απορρίπτεται η αφού η Η 0 αποτελεί μέρος της Η 0. 2.2 Έλεγχος τυχαιοποίησης για τις δύο μηδενικές υποθέσεις Οι παραπάνω υποθέσεις απαιτούν στατιστικό ελέγχου q που να εντοπίζει μηγραμμικές συσχετίσεις. Τα μη-γραμμικά μέτρα δεν έχουν γνωστή κατανομή (κάτω από τη Η 0 ή την Η 0 ) γι αυτό σχηματίζεται εμπειρική κατανομή από τις τιμές του q υπολογισμένες σ ένα πλήθος υποκατάστατων (surrogae) χρονοσειρών που αντιπροσωπεύουν τη μηδενική υπόθεση. Αυτός ο έλεγχος τυχαιοποίησης (randomizaion es) αναφέρεται και ως έλεγχος υποκατάστατων δεδομένων (surrogae daa es) [Theiler e al (1992), Schreiber and Schmiz (2000)]. Για τη δημιουργία υποκατάστατων χρονοσειρών για τις υποθέσεις Η 0 και χρησιμοποιούνται οι μετασχηματισμοί g και g -1 που μετατρέπουν τη περιθώρια Γκαουσιανή κατανομή στην περιθώρια κατανομή της {x } και αντίστροφα και ορίζονται ως ( ) x = g y = F Φ y, (2) 1 ( ) x ( ) 1 1 x ( ) y = g ( x ) =Φ F ( x ), (3) όπου F x είναι η περιθώρια αθροιστική συνάρτηση κατανομής της {x } και Φ είναι η αθροιστική συνάρτηση της τυπικής Γκαουσιανής κατανομής. Αν η {x } είναι σύμφωνη με την 0 Η τότε η {y } που προκύπτει από τη (3) είναι Γκαουσιανή. Ο αλγόριθμος του μετασχηματισμού Fourier με διαμόρφωση των τιμών (Ampliude Adjused Fourier Transform, AAFT) φτιάχνει νέες Γκαουσιανές χρονοσειρές με την ίδια συνάρτηση αυτοσυσχέτισης με αυτή της {y } τυχαιοποιώντας τις φάσεις (της μετασχηματισμένης σειράς Fourier). Στη συνέχεια μετασχηματίζει αυτές τις χρονοσειρές μέσω της (2) για να αποκτήσουν την ίδια περιθώρια κατανομή με τη {x }. Έτσι για την κάθε υποκατάστατη χρονοσειρά {z } ισχύει - 251 - Η 1 Η 0 Η 0

F ( z ) = F ( x ) και r ( τ ) r ( τ), τ = 1,, τ, (4) z x z x όπου η διατήρηση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης είναι προσεγγιστική και ισχύει για κάποιο εύρος υστερήσεων [Theiler e al (1992)]. Για την Η 0 δεν είναι απαραίτητο η {y } που προκύπτει από τη (3) να είναι Γκαουσιανή. Ο αλγόριθμος του στατικού μετασχηματισμού αυτοπαλινδρομούμενης διαδικασίας (Saically Transformed Auoregressive Process STAP) μετασχηματίζει την r x στην αντίστοιχη Γκαουσιανή αυτοσυσχέτιση r u (με βάση το μετασχηματισμό g στη (2)), αντιστοιχίζοντας έτσι μια τυπική Γκαουσιανή διαδικασία {U } με αυτοσυσχέτιση r u στη {x }. Εκφράζοντας τη {U } ως αυτοπαλινδρομούμενη διαδικασία (AR) δημιουργούνται πραγματοποιήσεις που μέσω της g στη (2) δίνουν τις υποκατάστατες χρονοσειρές που πληρούν τις συνθήκες στην (4) [Kugiumzis (2002b)]. Η εκτίμηση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης από τις υποκατάστατες STAP χρονοσειρές είναι αμερόληπτη αλλά παρουσιάζει μεγαλύτερη διασπορά από την εκτίμηση με τις AAFT χρονοσειρές. Από την άλλη πλευρά οι χρονοσειρές AAFT δε διατηρούν την αρχική αυτοσυσχέτιση όταν δεν ισχύει η Η. 0 2.3 Στατιστικό ελέγχου Σύμφωνα με τα παραπάνω για τον έλεγχο της Η 0 αρκεί να θεωρήσουμε ως max στατιστικό ελέγχου την αυτοσυσχέτιση για κάποια υστέρηση τ, q=r(τ). Για να πετύχουμε διακριτική ικανότητα του στατιστικού και για το δεύτερο έλεγχο θεωρούμε ως στατιστικό το σφάλμα προσαρμογής με μη-γραμμικό μοντέλο, το τοπικό γραμμικό μοντέλο (local linear model, LLM). Γι αυτό θεωρούμε την ανακατασκευή σημείων x =[x,x -1,,x -(m-1) ], =m,,n, στον Ευκλείδειο χώρο διάστασης m. Για την εκτίμηση του x +1 από το x, βρίσκουμε τα K κοντινότερα γειτονικά σημεία στο x και θεωρούμε το μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης για τα σημεία αυτά και τις εικόνες τους ένα χρονικό βήμα μπροστά. Η λύση των ελαχίστων τετραγώνων για τις παραμέτρους του τοπικού γραμμικού μοντέλου χρησιμοποιείται για να υπολογισθεί η εκτίμηση x ˆ+ 1. Το στατιστικό ελέγχου από αυτό το μη-γραμμικό μοντέλο (για χρονικές στιγμές =m,,n-1) είναι ο συντελεστής συσχέτισης εκτιμώμενων και πραγματικών τιμών, q=r(m), όπου θεωρούμε ένα στατιστικό ελέγχου για κάθε διάσταση m [Kanz and Schreiber (1997)]. Τέλος η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται σε στάθμη σημαντικότητας α αν η τάξη του στατιστικού q 0 της {x } στην κατάταξη των Μ+1 τιμών του q (όπου Μ το πλήθος των υποκατάστατων χρονοσειρών) είναι μικρότερη από το ακέραιο μέρος του Μα/2 ή μεγαλύτερη από το ακέραιο μέρος του Μ(1-α/2). 3. MONTE CARLO ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Για να αξιολογήσουμε τα αποτελέσματα του συνδυασμού των δύο ελέγχων κάνουμε Mone Carlo προσομοιώσεις χρησιμοποιώντας ένα αντιπροσωπευτικό σύστημα από κάθε μια από τις τρεις κατηγορίες. Θεωρούμε ως γεννήτρια Γκαουσιανή διαδικασία - 252 -

{s } το AR μοντέλο s = s 1 0.5s 2 + ε, όπου ε τυπικός Γκαουσιανός λευκός 3 θόρυβος. Για την κατηγορία (α) θεωρούμε το μονότονο μετασχηματισμό x = s και για την κατηγορία (β) το μη-μονότονο μετασχηματισμό - 253 - x = s. Για την κατηγορία 2 (γ) θεωρούμε τη χαοτική απεικόνιση Henon s = 1 1.4s 1+ 0.3s 2 και προσθέτουμε λευκό Γκαουσιανό θόρυβο ε με τυπική απόκλιση τη μισή της {s } για να πάρουμε την παρατηρούμενη χρονοσειρά, x = s + ε. Έτσι η {x } προέρχεται από στοχαστικό μη-γραμμικό σύστημα. Εφαρμόσαμε τους ελέγχους τυχαιοποίησης με 40 STAP υποκατάστατες χρονοσειρές για την Η 0 και με 40 AAFT υποκατάστατες χρονοσειρές για την Η 0 για κάθε πραγματοποίηση από το κάθε ένα από τα τρία συστήματα. Έγιναν 1000 Mone Carlo επαναλήψεις για μήκος χρονοσειράς n=256 και n=2048. Η σχετική συχνότητα απόρριψης των ελέγχων σε στάθμη σημαντικότητας α=0.05 με το στατιστικό προσαρμογής του μη-γραμμικού μοντέλου (m=2, Κ=40) καθώς και με τις αυτοσυσχετίσεις για υστερήσεις 1,2,3 δίνονται στον Πίνακα 1. Πίνακας 1. Πιθανότητα απόρριψης (α=0.05) για τους δύο ελέγχους από 1000 Mone Carlo επαναλήψεις. υπόθεση και αλγόριθμος στατιστικό ελέγχου (α) AR(2) και x = s 3 (β) AR(2) και x 2 = s 2 (γ) απεικόνιση Henon n=256 n=2048 n=256 n=2048 n=256 n=2048 Η 0 (STAP) r(1) 0.021 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 r(2) 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 r(3) 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 R 0.038 0.067 0.019 0.016 0.999 1.000 Η 0 (AAFT) r(1) 0.086 0.067 0.837 1.000 0.119 0.955 r(2) 0.051 0.050 0.043 0.094 0.014 0.021 r(3) 0.054 0.039 0.064 0.108 0.490 1.000 R 0.076 0.066 0.830 1.000 1.000 1.000 Παρατηρούμε πως για την περίπτωση (α) η πιθανότητα απόρριψης δεν υπερβαίνει σημαντικά τη στάθμη σημαντικότητας για όλα τα στατιστικά. Μάλιστα για τον έλεγχο της Η 0 (STAP) τα στατιστικά της αυτοσυσχέτισης δίνουν σχεδόν πάντα μηδενική απόρριψη, που δηλώνει την ακριβή διατήρηση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης από τα STAP υποκατάστατα δεδομένα. Για την περίπτωση (β) η Η 0 σωστά πάλι δεν απορρίπτεται ενώ η Η 0 (AAFT) απορρίπτεται με τα στατιστικά R και r(1) σε υψηλά ποσοστά για n=256 και με απόλυτη βεβαιότητα για n=2048. Μάλιστα η απόρριψη γίνεται στον ίδιο βαθμό με το γραμμικό και το μη-γραμμικό

στατιστικό. Για την περίπτωση (γ) απορρίπτονται και οι δύο μηδενικές υποθέσεις με απόλυτη βεβαιότητα με το R ακόμα και για μικρό n. Η Η 0 απορρίπτεται και πάλι επίσης με τα γραμμικά στατιστικά. Γενικά οι Mone Carlo προσομοιώσεις έδωσαν καλό μέγεθος των ελέγχων (size of es) και μεγάλη ισχύ που μας επιτρέπει με μεγάλη βεβαιότητα να κατηγοριοποιήσουμε σωστά τις χρονοσειρές από το κάθε σύστημα που μελετήσαμε. 4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Εφαρμόσαμε το συνδυασμό των δύο ελέγχων σε χρονοσειρές όγκου συναλλαγών σε έξι χρηματιστήρια για να χαρακτηρίσουμε το δυναμικό σύστημα που ορίζει την κίνηση των συναλλαγών. Τα δεδομένα είναι ημερήσια και επιλέχτηκαν περίοδοι που δίνουν φαινομενικά στάσιμες χρονοσειρές. Η περιγραφή των χρονοσειρών και τα αποτελέσματα των ελέγχων δίνονται στον Πίνακα 2. Οι δείκτες είναι το χρηματιστήριο Αθηνών (ΧΑΑ), του Λονδίνου (FTSE100), του Hong Kong (Hang Seng) και οι δείκτες από χρηματιστήρια των ΗΠΑ Dow Jones, NASDAQ και SP500. Πίνακας 2 Αποτελέσματα των δύο ελέγχων σε χρονοσειρές όγκου συναλλαγών. Όγκος συναλλαγών διεθνών αγορών Απόρριψη ελέγχων τυχαιοποίησης Δείκτης Περίοδος n Η 0 (STAP) Η 0 (AAFT) ΧΑΑ 2/10/00 28/9/04 991 R για m=1 - FTSE100 12/3/02 28/9/04 460 - R για m=1,...,10 Hang Seng 26/10/01 28/9/04 724 - - Dow Jones 2/10/00 28/9/04 1001 - - NASDAQ 25/10/99 28/9/04 1238 - - SP500 16/2/01 28/9/04 905 - - Οι έλεγχοι για την Η 0 και την Η 0 έγιναν με 1000 STAP και AAFT υποκατάστατες χρονοσειρές για κάθε δείκτη αντίστοιχα. Το μη-γραμμικό στατιστικό R υπολογίσθηκε για m=1,...,10 και K=40. Υπολογίσθηκε επίσης το r(τ) για τ=1,2,3. Στις χρονοσειρές των δεικτών Hang Seng, Dow Jones και SP500 δεν εντοπίστηκαν στατιστικά σημαντικές διαφορές στις αρχικές και τις αντίστοιχες υποκατάστατες χρονοσειρές (STAP και AAFT). Άρα γι αυτές τις χρονοσειρές μπορούμε να υποθέσουμε ότι προέρχονται από μονότονο μετασχηματισμό Γκαουσιανής διαδικασίας και να προχωρήσουμε με γραμμική ανάλυση ύστερα από μετασχηματισμό για να πετύχουμε περιθώρια Γκαουσιανή κατανομή (π.χ. με τη συνάρτηση g -1 στη (3)). Για τη χρονοσειρά FTSE100 όμως δε μπορούμε να το κάνουμε αυτό, αφού ο συνδυασμός των δύο ελέγχων την κατατάσσει στην περίπτωση (β). Τέλος για τη χρονοσειρά του όγκου συναλλαγών του ΧΑΑ υπάρχει ασθενής ένδειξη μη-γραμμικότητας αφού απορρίπτεται η Η 0 αλλά μόνο για m=1. Συγκεκριμένα η τάξη του R για m=1 είναι στη θέση 965 (σε σύνολο 1001) τιμών, δηλαδή p<0.05. Η έλλειψη απόρριψης της Η 0 σε - 254 -

αυτήν την περίπτωση οφείλεται σε μειωμένη αυτοσυσχέτιση των AAFT υποκατάστατων χρονοσειρών σε σχέση με την αρχική χρονοσειρά, έτσι ώστε η διαφορά στη μη-γραμμικότητα μεταξύ των AAFT χρονοσειρών και της αρχικής χρονοσειράς να μην παρουσιάζεται στις τιμές του μη-γραμμικού στατιστικού. Τα αποτελέσματα των ελέγχων μας επιτρέπουν να βελτιώσουμε την πρόβλεψη με αυτοπαλινδρομούμενα μοντέλα σε κάποιες περιπτώσεις. Πράγματι η πρόβλεψη μέσω αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου στη μετασχηματισμένη χρονοσειρά είναι καλύτερη από την απευθείας πρόβλεψη στην αρχική μη-γκαουσιανή χρονοσειρά για όλες τις χρονοσειρές, εκτός αυτής του δείκτη FTSE100, με σημαντικότερες βελτιώσεις για το δείκτη ΧΑΑ και Hang Seng [Kugiumzis and Bora-Sena (2006)]. Τα αποτελέσματα των προβλέψεων αυτών είναι σε συμφωνία με τα αποτελέσματα των ελέγχων. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Με το συνδυασμό δύο ελέγχων τυχαιοποίησης προτείνουμε το χωρισμό των στάσιμων χρονοσειρών σε τρεις κλάσεις, στις γραμμικές χρονοσειρές που μπορούν να θεωρηθούν Γκαουσιανές με κατάλληλο μονότονο μετασχηματισμό των παρατηρήσεων τους, σε γραμμικές χρονοσειρές που δε μπορούν γίνουν Γκαουσιανές με μονότονο μετασχηματισμό, και τέλος σε μη-γραμμικές χρονοσειρές. Οι Mone Carlo προσομοιώσεις σε συστήματα χρονοσειρών, αντιπροσωπευτικά για κάθε κλάση, έδειξαν πως ο συνδυασμός των δύο ελέγχων κατηγοριοποιεί τις χρονοσειρές στη σωστή κλάση. Σημειώνεται πως ο έλεγχος για τη μηδενική υπόθεση της πρώτης κλάσης αρχικά είχε προταθεί ως έλεγχος μη-γραμμικότητας. Αργότερα όμως αναδείχθηκε η αδυναμία του να ξεχωρίσει μη-γραμμικές χρονοσειρές από γραμμικές χρονοσειρές της δεύτερης κλάσης [Kugiumzis (2002b)]. Για τη μηδενική υπόθεση της πρώτης κλάσης, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε κάποιο παραμετρικό έλεγχο (πολυμεταβλητής) κανονικότητας αλλά προτιμήσαμε τον έλεγχο τυχαιοποίησης με υποκατάστατα δεδομένα από τον αλγόριθμο AAFT γιατί συνδυάζεται με το δεύτερο έλεγχο τυχαιοποίησης με δεδομένα από τον αλγόριθμο STAP. Ο προτεινόμενος διαχωρισμός στις τρεις κλάσεις μπορεί να οδηγήσει σε κατάλληλη επιλογή μοντέλου (γραμμικού ή μη-γραμμικού) σε συνδυασμό με μετασχηματισμό σε Γκαουσιανή περιθώρια κατανομή. Τα αποτελέσματα σε 6 χρονοσειρές όγκου συναλλαγών από διεθνείς αγορές συνηγορούν σε αυτήν την κατεύθυνση. ABSTRACT Many saisical ess aim a discriminaing he ime series o linear and nonlinear. Moreover, a linear ime series is classified o wo classes, depending on wheher i can be brough o a Gaussian ime series using a suiable sample ransform. For he classificaion of a non-gaussian ime series o one of he hree classes a combinaion of wo saisical ess is used. The null hypohesis of he firs es is ha he ime series is generaed by a Gaussian process hrough a monoonic ransform. The second null hypohesis expands he firs so ha i includes non-monoonic ransform as well. - 255 -

The combined oucome of he wo ess le us infer for he classificaion of he ime series in he hree classes. The goodness of fi of a nonlinear model, he local linear model, is used as es saisic. In view of he lack of an analyic disribuion of he nonlinear es saisic, randomizaion ess are called using wo algorihms for he generaion of he so-called surrogae daa ha represen he wo null hypoheses. The resuls of Mone Carlo simulaions exhibied good discriminaing performance of he proposed combined es. The applicaion of he combined es o volume ime series of inernaional sock indices shows he usefulness of he combined es in idenifying he underlying dynamical sysem and he poenial for enhancing predicions. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Box G.E.P. and Cox D.R. (1964). An analysis of ransformaions. Journal of he Royal Saisical Sociey, Series B, 42, 71-78. Brockwell P.J. and Davis R.A. (1991). Time Series: Theory and Mehods. Springer- Verlag, Springer Series in Saisics, New York. Cromwell J.B., Labys W.C. and Terraza M. (1994). Univariae Tess for Time Series Models. Sage Publicaions, Thousand Oaks, CA. Hjellvik V. and Tjøsheim D (1995). Nonparameric ess of lineariy for ime series. Biomerika, 82, 351 368. Kanz H. and Schreiber T. (1997). Nonlinear Time Series Analysis, Cambridge Universiy Press, Cambridge. Kariya T., Tsay R.S., Terui N. and Li H. (1999). Tess of mulinormaliy wih applicaion o ime series. Communicaions in Saisics - Theory and Mehods, 28, 519 536. Kugiumzis D. (2002a). Surrogae daa es on ime series. Modelling and Forecasing Financial Daa, Techniques of Nonlinear Dynamics, eds. Soofi A. and Cao L., Kluwer Academic Publishers, Chp 12. Kugiumzis D. (2002b). Saically ransformed auoregressive process and surrogae daa es for nonlineariy. Physical Review E, 66, 025201. Kugiumzis D. and Bora-Sena E. (2006). Gaussian analysis of non-gaussian ime series. Submied o Compuaional Saisics and Daa Analysis. Mardia K.V. (1970). Measures of mulivariae skewness and kurosis wih applicaions. Biomerika, 57, 519 530. Mudholkar G.S., McDermo M. and Srivasava D-K. (1992). A es of p-variae normaliy. Biomerika, 79, 850 854. Schreiber T. and Schmiz A. (2000). Surrogae Time Series, Physica D, 142, 346 382. Theiler J., Eubank S., Longin A. and Galdrikian B. (1992). Tesing for nonlineariy in ime series: he mehod of surrogae daa. Physica D, 58, 77 94. - 256 -