ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΝ (ΑΛΛΗΛΟΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ) ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μέχρι τώρα η μελέτη μας επικεντρώθηκε σε οικονομικά υποδείγματα μιας εξισώσεως, όπου έχουμε πάντα μια εξαρτημένη μεταβλητή και μια ή περισσότερες επεξηγηματικές μεταβλητές. Σε τέτοια υποδείγματα η σχέση αιτίου αποτελέσματος είχε πάντα φορά από τις επεξηγηματικές μεταβλητές προς την εξαρτημένη μεταβλητή. Όπως όμως έχει αναφερθεί στο εισαγωγικό κεφάλαιο, στην οικονομία είναι σύνηθες μια οικονομική μεταβλητή να επηρεάζει άλλες οικονομικές μεταβλητές, αλλά ταυτόχρονα να επηρεάζεται και από αυτές. Η υποδειγματοποίηση τέτοιων περιπτώσεων επιτυγχάνεται με τα οικονομετρικά υποδείγματα ταυτόχρονων ή αλληλοεξαρτημένων εξισώσεων στα οποία έχουμε περισσότερες από μια εξαρτημένες μεταβλητές και περισσότερες από μια εξισώσεις. Βασικό χαρακτηριστικό των συστημάτων αυτών είναι ότι η εξαρτημένη μεταβλητή σε μια εξίσωση είναι δυνατόν να εμφανίζεται ως επεξηγηματική μεταβλητή σε άλλη εξίσωση του ίδιου συστήματος. Τέτοιες μεταβλητές ονομάζονται ενδογενείς μεταβλητές, όπως ήδη γνωρίζουμε. Όπως θα αποδείξουμε ευθύς αμέσως, στη γενική περίπτωση, η χρήση OLS σε συστήματα ταυτόχρονων εξισώσεων οδηγεί σε μεροληπτικές εκτιμήσεις των παραμέτρων που σχετίζονται με τις ενδογενείς μεταβλητές.
Έστω για ευκολία το απλοποιημένο κεϋνσιανό υπόδειγμα προσδιορισμού του εισοδήματος: C Y u με 0 0 Y C I C = καταναλωτικές δαπάνες (ενδογενής μεταβλητή) Y = εισόδημα (ενδογενής μεταβλητή) I =επένδυση (εξωγενής μεταβλητή) u = στοχαστική διαταραχή = οριακή ροπή για κατανάλωση (MPC). Υποθέτουμε ότι: Eu 0 Θα έχουμε: E uu j 0 για κάθε j 0 Cov I, u 0 E u Y Y u I Y 0 0 I u I Y 0 Οπότε: u και Y Y
E u Cov Y u EY Y u E u Άρα, Άρα πράγματι υπάρχει συσχέτιση μεταξύ της επεξηγηματικής μεταβλητής Y και των διαταραχών u. Ο OLS εκτιμητής της οριακής ροπής για κατανάλωση θα δίνεται κατά τα γνωστά από τη σχέση: c y ( y u ) y y u ˆ y y y οπότε E yu ˆ E y Επειδή δεν μπορούμε να βρούμε την E πιθανότητας: yu y παίρνουμε τα όρια yu p lim lim ˆ lim yu N p p p lim y y y p lim N ˆ p lim y Επειδή 0 ο OLS εκτιμητής είναι ασυνεπής και μάλιστα υπερεκτιμά την πραγματική MPC. 3
Η ασυνέπεια στις εκτιμήσεις των παραμέτρων των ενδογενών μεταβλητών όταν χρησιμοποιούμε OLS, δεν αφορά μόνο το συγκεκριμένο σύστημα ταυτόχρονων (αλληλοεξαρτημένων) εξισώσεων που μόλις εξετάσαμε, αλλά οποιοδήποτε τέτοιο σύστημα με μοναδική εξαίρεση τα λεγόμενα τριγωνικά ή αιτιατά συστήματα (riangular or casual models) που θα δούμε παρακάτω. Η ασυνέπεια στις εκτιμήσεις των παραμέτρων των ενδογενών μεταβλητών προέρχεται από το γεγονός ότι οι ενδογενείς μεταβλητές συσχετίζονται με τους διαταρακτικούς όρους. Ποιοτικά αυτό μπορεί να δικαιολογηθεί καθώς η εξαρτημένη μεταβλητή σε μια εξίσωση ενός συστήματος ταυτόχρονων εξισώσεων εμφανίζεται ως επεξηγηματική μεταβλητή σε μια άλλη εξίσωση του ίδιου συστήματος και, καθώς είναι στοχαστικής φύσης, είναι πιθανό να συσχετίζεται με το στοχαστικό όρο (της εξίσωσης στην οποία εμφανίζεται ως επεξηγηματική). Η μόνη περίπτωση που, όπως λέχθηκε ήδη, τα OLS μπορούν να μας δώσουν αμερόληπτες εκτιμήσεις και επομένως μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συστήματα ταυτόχρονων εξισώσεων είναι στα λεγόμενα τριγωνικά ή αιτιατά συστήματα. Ένα τέτοιο σύστημα τριών εξισώσεων είναι το παρακάτω: Y 0 u () Y Y u () 0 Y3 30 3Y 3Y 3 3 u3 (3) Με:, = εξωγενείς μεταβλητές Y, Y, 3 Y = ενδογενείς μεταβλητές και 4
Cov u, u Cov u, u Cov u, u 0 3 3 Η εξίσωση () περιέχει μόνο εξωγενείς μεταβλητές και άρα δεν υπάρχει θέμα συσχέτισής τους με τον διαταρακτικό όρο u. Επομένως η () μπορεί να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας OLS. Στην εξίσωση () η Y εμφανίζεται ως επεξηγηματική μεταβλητή. Όμως η Y επηρεάζεται από το u, το οποίο έχουμε υποθέσει ασυσχέτιστο με το u. Στην ουσία η Y μπορεί να θεωρηθεί, όσον αφορά την εξίσωση () ως προκαθορισμένη. Επομένως και η εξίσωση () μπορεί να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας OLS. Με την ίδια επιχειρηματολογία και η εξίσωση (3) μπορεί να εκτιμηθεί με OLS. Στο σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζεται το διάγραμμα αιτιότητας για το παραπάνω σύστημα από το οποίο φαίνεται ότι στην ειδική περίπτωση των τριγωνομετρικών συστημάτων οι αιτιατές εξαρτήσεις μεταξύ των ενδογενών μεταβλητών είναι μονόπλευρες. 5
Διαγράμματα αιτιότητας για το προηγούμενο σύστημα (τα βέλη υποδηλώνουν τη φορά των αιτιατών σχέσεων). Στη γενική περίπτωση ενός συστήματος με Μ εξισώσεις και Μ ενδογενείς μεταβλητές οι μέθοδοι εκτίμησης των δομικών εξισώσεων μπορούν να διακριθούν σε δυο κατηγορίες: (α) μέθοδος εκτίμησης όπου κάθε εξίσωση εκτιμάται ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες. Τέτοιες μέθοδοι εκτίμησης είναι γνωστές ως «μέθοδοι περιορισμένης πληροφόρησης» (limied informaion mehods). (β) μεθόδους εκτίμησης όπου όλες οι εξισώσεις του συστήματος εκτιμώνται ταυτόχρονα. Τέτοιες μέθοδοι εκτίμησης είναι γνωστές ως «μέθοδοι πλήρους πληροφόρησης» (full informaion mehods). Οι κυριότερες μέθοδοι στην κατηγορία (α) είναι η έμμεση μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (indirec leas squares), η μέθοδος της μέγιστης 6
πιθανοφάνειας με περιορισμένη πληροφόρηση (limied informaion maximum likelihood, LIML) και η μέθοδος των βοηθητικών μεταβλητών, ή μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων δυο σταδίων (mehod of insrumenal variables or wo sage leas squares). Στην κατηγορία (β) οι πλέον γνωστές μέθοδοι είναι αυτή των ελαχίστων τετραγώνων τριών σταδίων (hree sage leas squares), καθώς και η μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας πλήρους πληροφόρησης (full informaion maximum likelihood, FIML). Από θεωρητικής πλευράς οι μέθοδοι της κατηγορίας (β) υπερέχουν, καθώς, όπως μπορεί να αποδειχθεί, είναι ασυμπτωτικά πιο αποτελεσματικές. Όμως έχουμε και δυο μειονεκτήματα έναντι των μεθόδων της κατηγορίας (α): )οι εκτιμήσεις είναι εξόχως μη γραμμικές )αν η εξειδίκευση σε μια διαρθρωτική εξίσωση δεν είναι σωστή, το σφάλμα εξειδικεύσεως μεταδίδεται και στις υπόλοιπες εξισώσεις και επηρεάζει όλες τις εκτιμήσεις. Παρατήρηση: Ένα πολύ σημαντικό θέμα στο οποίο δεν αναφερθήκαμε μέχρι τώρα στη μελέτη των συστημάτων ταυτόχρονων εξισώσεων είναι αυτό της ταυτοποίησης του συστήματος (sysem idenificaion). Το στάδιο της ταυτοποίησης προηγείται αυτού της εκτίμησης ενός συστήματος ταυτόχρονων εξισώσεων. Συνοπτικά η ταυτοποίηση έχει να κάνει με το κατά πόσο είναι δυνατό να έχουμε αριθμητικές εκτιμήσεις για όλες τις δομικές παραμέτρους ενός συστήματος. Αν αυτό δεν είναι δυνατό για κάποια εξίσωση του συστήματος, τότε λέμε ότι η εξίσωση 7
υποταυτοποιείται. Στις εξισώσεις που δεν έχουμε το πρόβλημα της υποταυτοποίησης η εξίσωση είτε ταυτοποιείται ακριβώς (jus idenified), οπότε έχουμε μια τιμή για κάθε δομική παράμετρο, είτε υπερταυτοποιείται ( over idenified), οπότε έχουμε περισσότερες από μια (αριθμητικές ) τιμές για τουλάχιστον μια από τις δομικές παραμέτρους. Στην ανάλυση για τα συστήματα ταυτόχρονων εξισώσεων που προηγήθηκε υποθέσαμε σιωπηρά ότι τα συστήματα ταυτοποιούνται. 8