ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ

1 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc 1. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Λ. 1. Η εξίσωση x y x y 0 με, 0 παριστάνει πάντα κύκλο. Σ Λ. Η εξίσωση x y 1 3 παριστάνει κύκλο με κέντρο 0,0 και ακτίνα 1 3. Σ Λ 3. Ο κύκλος C : x 1 y 4 εφάπτεται στον xx. Σ Λ 4. Ο κύκλος C : x 1 y 1 εφάπτεται στον xx. Σ Λ 5. Ο κύκλος C : x 1 y 1 1 εφάπτεται και στους δύο άξονες. Σ Λ 6. Η εφαπτομένη οποιουδήποτε κύκλου με ακτίνα ρ>0, στο σημείο του Μ(α,β) θα έχει εξίσωση: αx+βy=ρ. Σ Λ 7. Έστω Α,Β δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: MAMB 0 είναι κύκλος διαμέτρου ΑΒ. Σ Λ 8. Η εξίσωση x y x 3 y 4 0 με 4 9 16 0 παριστάνει σημείο. Σ Λ 9. Τα σημεία Α(4,) και Β(-,) είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο του κύκλου C : x 1 y 9. Σ Λ 10. O κύκλος C : x y 5 τέμνει την ευθεία : x y σε δύο αντιδιαμετρικά σημεία. Σ Λ 11. Οι κύκλοι C x y και C x y έχουν δύο κοινά 1 : 1 : σημεία. Σ Λ 1. Η εξίσωση x y x y 0 παριστάνει για κάθε 0 κύκλο στον οποίο εφάπτεται η ευθεία : xy 0. Σ Λ 13. Η εξίσωση x y x 1 0, 0 παριστάνει οικογένεια κύκλων των οποίων ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων είναι μία ευθεία. Σ 14. Οι κύκλοι C x y και C x y εφάπτονται εξωτερικά. 1 : 1 4 : 1 15. Η ευθεία : x y1 0 εφάπτεται στον κύκλο Σ C : x y x y 1 0. 16. Η εξίσωση x y xy παριστάνει κύκλο. Σ Λ Σ Λ Λ Λ

*. Κυκλώστε τη σωστή απάντηση σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις. 1. Αν η ευθεία : 4x3y3 0 εφάπτεται του κύκλου τότε το ισούται με: C : x 3 y 4 A: 5 B: 3 G: 3 D: 5 3 E: 3 5 5. Η ευθεία : yx εφάπτεται στον κύκλο C : x y 5 όταν ο ισούται με: A: -5 B: 5 G: 5 D: 5 Ε: 5 3. Ο κύκλος C : x y 4, εφάπτεται A: στον xx B: στον yy G: και στους δύο άξονες D: δεν έχουμε στοιχεία για να γνωρίζουμε 1 4. Η εξίσωση x y x y 0 παριστάνει: A: κύκλο B: ένα σημείο G: δύο ευθείες D: δύο κύκλους Ε: τίποτα από τα πρηγούμενα 5. Αν η εξίσωση x y x y 0 γνωρίζουμε ότι παριστάνει κύκλο, τότε για την εξίσωση x y x y 0 μπορούμε να πούμε: A: παριστάνει σίγουρα κύκλο B: παριστάνει σίγουρα σημείο G: δεν παριστάνει κύκλο αλλά δεν είμαστε σίγουροι αν παριστάνει σημείο ή είναι αδύνατη D: δεν έχουμε στοιχεία για να γνωρίζουμε x y 1 x y 1 0 παριστάνει: 6. Η εξίσωση A: έναν κύκλο και μία ευθεία B: έναν κύκλο και ένα σημείο εκτός αυτού Γ: έναν κύκλο Δ: δύο κύκλους Ε: έναν κύκλο και δύο ευθείες 3 7. Η εξίσωση x xy x 0 παριστάνει: Α: έναν κύκλο και μία ευθεία Β: έναν κύκλο και ένα σημείο εκτός αυτού Γ: έναν κύκλο Δ: δύο κύκλους Ε: έναν κύκλο και δύο ευθείες 8. Ο κύκλος C : x y 4x 4y 0 και η ευθεία : x y1 0: Α: έχουν ένα κοινό σημείο B: έχουν δύο κοινά σημεία αντιδιαμετρικά Γ: έχουν δύο κοινά σημεία αλλά όχι αντιδιαμετρικά Δ: δεν έχουν κανένα κοινό σημείο Ε: δεν έχουμε επαρκή στοιχεία για να γνωρίζουμε

3 9. Η ευθεία yx 1 τέμνει τον κύκλο C : x 1 y 345 στα Α,Β όπου ΑΒ=διάμετρος του C αν και μόνο αν: A: 3 Β: 1 Γ: 0 D: 1 Ε: για καμία τιμή του 10. Για την εξίσωση x x y y 0, γνωρίζουμε ότι: A: παριστάνει σίγουρα κύκλο B: είναι σίγουρα αδύνατη Γ: παριστάνει σίγουρα σημείο D: δεν παριστάνει κύκλο αλλά δεν είμαστε σίγουροι αν παριστάνει σημείο ή είναι αδύνατη Ε: δεν είμαστε σίγουροι γιατί εξαρτάται από τις τιμές των Α,Β,Γ. 11. Δίνεται ο κύκλος C : x 3 y 9 και κέντρο Κ. a) Το κέντρο του κύκλου Κ είναι το σημείο: A:(3,-) B: (-3,-) G: (-3,) D:(3,) E:(5,0) b) H ακτίνα του κύκλου C είναι: A: 9 B: 3 G: 3 D: 81 E: 7 c) O κύκλος C εφάπτεται: A: μόνο στον άξονα x x B: μόνο στον άξονα y y G: και των δύο αξόνων x x και y y D: της ευθείας y=x Ε: κανένα από τα προηγούμενα d) Από το κέντρο του κύκλου C διέρχεται η ευθεία: A: 3x-y=4 B: y=3x+5 G: x+3y=0 D: 3x-y=5 E: y=3x+ e) H απόσταση του κέντρου Κ του κύκλου από την αρχή των αξόνων είναι: A: 1 B: 5 G: 6 D: 13 E: 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Δίνονται τα σημεία Α(4,-) και Β(1,). a) Να βρείτε τα σημεία Μ του άξονα x x για τα οποία ισχύει η σχέση MAMB 0 b) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το τμήμα ΑΒ. c) Να βρείτε τις εφαπτόμενες του προηγούμενου κύκλου που διέρχονται από τα σημεία Μ του (a) ερωτήματος. d) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Α και εφάπτεται του x x. 5 5 [Απ: a) M(0,0) ή M(5,0), b) C: x y 4, c) ε1:x=0 και ε:x=5 d)x y. Αποδείξτε ότι η ευθεία yx 3 εφάπτεται του κύκλου 4 4 ] C : x y x 1 0 και βρείτε το σημείο επαφής. [Απ:Α(,-1) ]

4 3. Έστω ο κύκλος C x y : 4 4 3. a) Να αποδείξετε ότι η ευθεία : 3x3y3 0 εφάπτεται στον κύκλο C. b) Nα βρείτε το σημείο τομής Μ της ευθείας (ε) με τον άξονα x x και μετά την άλλη εφαπτομένη (η) του κύκλου C που διέρχεται από το Μ. c) Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών (ε) και (η). [Απ: b) M( 3,0 ), : 3x 3y 3 0 c) 60 0 ] 4. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής ΑΒ του κύκλου C : x y 5 όταν: a) Το σημείο Μ(1,) είναι το μέσο της b) Διέρχεται από το σημείο Ν(-1,3) και έχει μήκος ίσο με 8. [Απ: a) x+y-5=0, b) y=3, 3x-4y+15=0] 5. Αποδείξτε ότι οι εφαπτόμενες που φέρνουμε από το σημείο Α(-1,7) στον κύκλο C : x y 5 είναι κάθετες. [Απ: (ε):4x-3y+5=0, (δ): -3x-4y+5=0 ] 6. Από το σημείο Μ(4,3) φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο C : x y. Αν Α,Β είναι τα σημεία επαφής, να βρείτε: a) Την εξίσωση της ευθείας ΑΒ. b) Την απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ΑΒ. [Απ: a) 4x+3y-=0, b) /5 ] 7. Έστω ο κύκλος με εξίσωση C : x a y 4 για τον οποίο γνωρίζουμε ότι εφάπτεται στον y y και δεν έχει ως εφαπτομένη την ευθεία (ε): x=4. a) Να βρεθεί ο α. b) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του στο σημείο του που έχει τετμημένη -1 και θετική τεταγμένη. 8. Να βρείτε την ευθεία της οικογένειας x y x y [Απ: a) α=-, b) x 3y 0 ] 5 0, που ορίζει στον κύκλο C : x 1 y 4 χορδή μήκους 6. [Απ: 3x+y-6=0 ή 3x-y=0 ] 9. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α(1,0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x+y+6=0 και 3x+y-1=0. 10. Δίνεται η εξίσωση 19 7 81 [Απ: C : x y 10 10 10 x y x 1 0,. 1 7 81 ή C : x y ] 10 10 10 a) Να αποδείξετε ότι για κάθε παριστάνει κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. b) Να βρείτε εκείνον από τους παραπάνω κύκλους ο οποίος αποκόπτει από την ευθεία ( ) : yx 1 χορδή η οποία είναι διάμετρος.

5 11. Δίνεται η εξίσωση [Απ: a) (,0) και x y x y 0,. 1, b) C : x y x 1 0 ] a) Να αποδειχθεί ότι παριστάνει κύκλο για κάθε. b) Βρείτε τη τιμή του αν η χορδή που ορίζεται στον κύκλο από την ευθεία y x 1 φαίνεται από την αρχή των αξόνων με ορθή γωνία. c) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων. [Απ: b) 1, c) y 1. Δίνεται η εξίσωση x y x 1 1 1 0, (1). a) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η (1) παριστάνει κύκλο και βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. b) Για τις παραπάνω τιμές του βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου του κύκλου. c) Για τις παραπάνω τιμές του δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από σταθερό σημείο. d) Βρείτε το ώστε ο κύκλος (1) να εφάπτεται στην ευθεία : 4x 3y 0. [Απ: a) 0, K,1, * 13. Δίνεται η εξίσωση x y 6x 8 y 0,,, b) y 1, εκτός το Α(1,1), c) A(1,1), d) 10 ή (1). x] 10 ] 9 a) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή των, ο οποίος διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0). b) Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς, ισχύει 3 0. I. Να δείξετε ότι, οι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση * x y 6x 8 y 0,, έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. II. Να βρείτε τα, έτσι ώστε, αν Α,Β είναι τα σημεία τομής του αντίστοιχου κύκλου με την ευθεία : x y 0 να ισχύει 0, όπου Ο η αρχή των αξόνων. III. Για τις τιμές των, που βρήκατε στο II ερώτημα υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ., y x, ΙΙ) 1,, ΙΙΙ) 10 τ.μ] 3 x1 4y 4 (1) [Απ: b) Ι) 3, 4 14. Δίνεται η εξίσωση: a) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο C του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ.

6 b) Να δείξετε ότι το σημείο 1 0, είναι εσωτερικό του κύκλου που ορίζεται από την (1) και να βρείτε την ευθεία (ε) που ορίζει στον κύκλο χορδή με μέσο το. c) Να βρείτε τα σημεία του κύκλου C που ορίζεται από την (1), τα οποία η απόστασή τους από το Ο είναι μέγιστη και ελάχιστη 1 [Απ: a),0,ρ=1, b) 1 0, x y c) 3 1,0,,0 ] 15. Δίνεται η εξίσωση: x y x 4y 3 0 (1), όπου. a) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο C για κάθε του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ. b) Για να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C που είναι κάθετη στην ευθεία (ε): x y 0. c) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που ορίζονται από την (1). [Απ: a),,ρ=, b) y x, y x 4 c) 16. Δίνεται η εξίσωση: x y x y 3 0 (1), όπου. y με 1 x 1] a) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο C για κάθε του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ. b) Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων που ορίζονται από την (1) ανήκουν σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. c) Να δείξετε ότι η ευθεία (ε): x y 3 0 εφάπτεται του κύκλου C για κάθε. [Απ: a), 17. Δίνεται η εξίσωση: x y x 4y 5 0 (1),.,ρ=, b) x y 1] a) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η (1) να παριστάνει κύκλο. b) Να βρείτε τον κύκλο C που ορίζεται από την (1) και εφάπτεται της ευθείας (ε): y x 1. c) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που παριστάνει η (1). d) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των σημείων του κύκλου C του (b) ερωτήματος από το Ο. [Απ: a) 1 ή 1, b) x y x y 6 4 5 0 c) y με x 1 και x 1

7 d) min= 13, max= 13 ] 18. Δίνεται η εξίσωση: x y 1 x y 1 (1),. a) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο C για κάθε του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ. b) Να βρείτε εκείνον τον κύκλο που ορίζεται από την (1) και εφάπτεται στον άξονα xx. [Απ: a),,ρ= 1 4 4, b) C x y, C x y 1 : 1 1 : 4 5 5 ] 19. Θεωρούμε έναν πληθυσμό από 1999 μυρμήγκια. Κάθε μυρμήγκι χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό n 1,,3,...1999 και κινείται επάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy διαγράφοντας μία τροχιά με εξίσωση: x 1 y nx y 1 Nα δείξετε ότι:. a) H τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου του. b) Κατά την κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α ( που είναι η φωλιά τους ). Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α; c) Οι τροχιές όλες των μυρμηγκιών εφάπτονται της ευθείας : x y1 0 στο σημείο Α. [Απ: a) n 1, n, b) 1,0 0. Σε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς Οxy με xy, παριστάνουμε τα σημεία μιας περιοχής. Στο 1,6 είναι τοποθετημένος ένας πομπός κινητής ] τηλεφωνίας. Η λήψη σε κάθε σημείο της περιοχής θεωρείται πολύ καλή, αν αυτό βρίσκεται στον κυκλικό δίσκο που ορίζεται από τον κύκλο C1, ο οποίος έχει κέντρο K και ακτίνα ρ1= 10, ενώ η λήψη θεωρείται καλή αν το σημείο είναι εξωτερικό του C1 και εσωτερικό του κύκλου C, που γράφεται με κέντρο Κ και ακτίνα ρ=4. a) Γράψτε τις εξισώσεις των C1, C. b) Εξετάστε αν η λήψη στα σημεία Α(10,7) και Β(9,4) είναι καλή ή πολύ καλή. c) Ένας αυτοκινητόδρομος της περιοχής (ευθεία) έχει εξίσωση : x y1 0. Εξετάστε αν υπάρχει τμήμα του αυτοκινητόδρομου στο οποίο η λήψη είναι καλή ή πολύ καλή.