Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις έννοιες των ράντων. 4
Περιεχόμενα ενότητας Ράντες. Σχετικά παραδείγματα-ασκήσεις. 5
Ράντα (1) Ράντα ονομάζουμε ένα σύνολο κεφαλαίων K 1, K 2, K 3, τα οποία καταβάλλονται σε ίσα, τακτά χρονικά διαστήματα. Καθένα από τα κεφάλαια αυτά K 1, K 2, K 3, ονομάζεται όρος της ράντας. Η χρονική στιγμή καταβολής των κεφαλαίων ονομάζεται λήξη του όρου. Όταν η καταβολή των όρων της ράντας εξαρτάται από στοχαστικά γεγονότα όπως π.χ. ο θάνατος ενός ασφαλισμένου, τότε καλείται τυχαία ράντα. Αντίθετα, οι ράντες που η καταβολή των όρων τους δεν εξαρτάται από τυχαία γεγονότα ονομάζονται βέβαιες ράντες. 6
Ράντα (2) Σε κάθε βέβαια ράντα διακρίνουμε τα εξής: Την περίοδο της ράντας. Το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ της καταβολής δυο διαδοχικών όρων της ράντας ονομάζεται περίοδος. Το μέγεθος της περιόδου. Όταν η περίοδος είναι το έτος η ράντα ονομάζεται ετήσια, αντίστοιχα όταν η περίοδος είναι το εξάμηνο, το τρίμηνο, ο μήνας η ράντα καλείται εξαμηνιαία, τριμηνιαία, μηνιαία κλπ. Τη διάρκεια της ράντας. Όταν το πλήθος των όρων της ράντας είναι πεπερασμένο η ράντα καλείται πρόσκαιρη, ενώ όταν το πλήθος των όρων είναι άπειρο η ράντα καλείται διηνεκής. Το μέγεθος του όρου της ράντας. Όταν όλοι οι όροι ράντας είναι ίση τότε η ράντα καλείται σταθερή, ενώ όταν οι όροι της ράντας μεταβάλλονται π.χ. σε γεωμετρική πρόοδο τότε η ράντα ονομάζεται μεταβλητή. 7
Ράντα (3) Την ημέρα καταβολής των όρων της ράντας. Όταν η καταβολή των όρων της ράντας γίνεται στην αρχή της κάθε περιόδου τότε η ράντα καλείται προκαταβλητέα, ενώ στην αντίθετη περίπτωση που καταβολή των όρων γίνεται στο τέλος κάθε περιόδου η ράντα ονομάζεται ληξιπρόθεσμη. Την αρχή ράντας και το τέλος της ράντας. Αρχή ράντας καλείται η αρχή της πρώτης περιόδου, ενώ τέλος ράντας ονομάζεται το τέλος της περιόδου στην οποία γίνεται η καταβολή του τελευταίου όρου της ράντας. Την παρούσα αξία. Παρούσα ή αρχική αξία της ράντας καλείται η αξία της ράντας, δηλαδή του συνόλου των κεφαλαίων K 1, K 2, K 3,, στην αρχή της πρώτης περιόδου. Την τελική αξία της ράντας. Τελική αξία της ράντας καλείται η αξία της ράντας, δηλαδή του συνόλου των κεφαλαίων K 1, K 2, K 3,, στο τέλος της τελευταίας περιόδου. 8
Πρόσκαιρες Ράντες (1) Η παρούσα αξία ληξιπρόθεσμη ράντας, δηλαδή η αξία όλων των όρων της ράντας στην αρχή της ράντας, υπολογίζεται με βάση τη σύνθετη κεφαλαιοποίηση. Έστω ότι καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου κεφάλαια αξίας 1 ευρώ, για n περιόδους με επιτόκιο i για κάθε την κάθε περίοδο. Η παρούσα αξία της ράντα αυτής ισούται με την άθροιση των παρουσών αξιών των αντίστοιχων καταβολών. Για παράδειγμα, η παρούσα αξία ενός ευρώ που θα έχει καταβληθεί στο τέλος της πρώτης περιόδου θα είναι ίση, σύμφωνα με τον τύπο του ανατοκισμού: Κ 0 =Κ t (1+i) t Κ 0 = 1 (1+i) 1 9
Πρόσκαιρες Ράντες (2) Επίσης, η παρούσα αξία ενός ευρώ που θα έχει καταβληθεί στο τέλος της δεύτερης περιόδου θα είναι ίση: Κ 0 =Κ T (1+i) T Κ 0 = 1 (1+i) 2 Αν, λοιπόν, θέσουμε όπου 1 (1+i) = y 10
Πρόσκαιρες Ράντες (3) Τότε οι παρούσες αξίες των ευρώ που θα έχουν καταβληθεί στο τέλος της πρώτης, της δεύτερης περιόδου, της τρίτης κ.ο.κ θα είναι αντίστοιχα ίσες. Y =1 (1+i) 1, Y 2 =1 (1+i) 2, Y 3 =1 (1+i) 3, Y n-1 =1 (1+i) n-1 Και Y n =1 (1+i) n 11
Πρόσκαιρες Ράντες (4) Διάγραμμα 1. Πρόσκαιρες Ράντες 12
Πρόσκαιρες Ράντες (5) a jn =(1 (1+i) 1 ) + (1 (1+i) 2 + (1 (1+i) 3 +,...+ (1 (1+i) n-1 + (1 (1+i) n ή a jn = Υ + Υ 2 + Υ 3 +...+Υ n-1 + Υ n Η παράσταση στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο α = Υ, λόγο λ = Υ και τελευταίο όρο τ = Υ n. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με: 13
Πρόσκαιρες Ράντες (6) Σ = [(τ *(τελευταίος όρος * λ (λόγος)) α* (πρώτος όρος)] (λ (λόγος) -1) Κατ αντιστοιχία η παρούσα αξία της υπό εξέτασης ράντας θα είναι ίση με: a jn =Y + (Y) 2 + (Y) 3 +,...+ (Y) n-1 + (Y) n = (Y n * Y - Y ) (Y -1) = (Y* Y n -1) (Y -1) Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με Υ και απλοποιούμε a jn == [(Y* (Y n -1) Υ] / [(Y -1) Υ] = (Y* Y n -1) (Y -1) = (Y n -1) ) (Υ/ Υ - 1/ Υ) = (Y n - 1) ) (1-1/ Υ) Ανατικαθιστούμε όπου Υ = 1/ (1+i): a jn = (1/(1+i) n -1) ) (1-1/ 1/(1+i)) = (1/(1+i) n -1) ) (1-1- i) = (1/(1+i) n -1) ) -i Πολλπαλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με το πρόσημο (-): a j n= (1-1/(1+i) n ) ) i 14
Πρόσκαιρες Ράντες (7) Ο συντελεστής a jn = 1- (1 (1+t)) n t είναι η παρούσα αξία μιας μοναδιαίας ληξιπρόθεσμης ράντας με επιτόκιο i για n όρους μιας νομισματικής μονάδας. 15
Πρόσκαιρες Ράντες (8) Εάν οι όροι της ράντας είναι ίση με R νομισματικές μονάδες τότε η παρούσα αξία της ράντας θα είναι ίση με: A jn = R* [(1 (1+i)) 1 + [(1 (1+i)) 2 + [(1 (1+i)) 3 +..+ [(1 (1+t)) n-1 + [(1 (1+t)) n ] = R* a j n = R* [1- (1 (1+i)) 1n i] 16
Πρόσκαιρες Ράντες (9) Με ανάλογο τρόπο μπορεί να υπολογισθεί η τελική αξία S n j ληξιπρόθεσμης ράντας, δηλαδή η αξία όλων των όρων της ράντας στο τέλος της τελευταίας περιόδου. Έστω ότι καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου κεφάλαια αξίας 1 ευρώ, για n περιόδους με επιτόκιο i για κάθε την κάθε περίοδο. Η τελική αξία της ράντα αυτής ισούται με την άθροιση των τελικών αξιών των αντίστοιχων καταβολών. Για παράδειγμα, η τελική αξία του ευρώ που θα έχει καταβληθεί στο τέλος της τελευταίας περιόδου θα είναι ίση: 17
Πρόσκαιρες Ράντες (10) Κ t = K 0 (1+i) t K t = 1*(1+i) 0 =1 Επίσης η τελική αξία ενός ευρώ που θα έχει καταβληθεί στο τέλος της προτελευταίας περιόδου θα είναι ίση: Κ t = K 0 (1+i) t K t = 1*(1+i) 1 =(1+i) 1 Επίσης η τελική αξία ενός ευρώ που θα έχει καταβληθεί δυο περιόδους πριν την λήξη της ράντας θα είναι ίση: Κ t = K 0 (1+i) t K t = 1*(1+i) 2 =(1+i) 2 Αν λοιπόν θέσουμε όπου (1+i) = y τότε οι τελικές αξίες των ευρώ που θα άεχουν καυαβληθεί στο τέλος της τελευταίας, προτελευταίας κ.ο.κ περιόδου θα είναι αντίστοιχα ίσες. 18
Πρόσκαιρες Ράντες (11) Διάγραμμα 2. πρόσκαιρες ράντες (11) Εάν συμβολίσουμε την τελική αξία μιας ληξιπρόθεσμης πρόσκαιρης ράντας μιας νομοσματικής μονάδας με S j n όπου n ο αριθμός των περιόδων και i το επιτόκιο, τότε η παρούσα ή αλλιώς η αρχική αξία S j n Της παραπάνω ράντα θα ισούται με το άθροισμα των επιμέρους παρουσών αξιών των όρων της ράντας, δηλαδή: S jn = 1+ (1+i) 1 +(1+i) 2 +(1+i) 3 + +(1+i) n-1 19
ή Πρόσκαιρες Ράντες (12) S j n = Υ + Υ 2 + Υ 3 +...+Υ n-1 Η παράσταση στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο α = 1, λόγο λ = Υ και τελευταίο όρο τ = Υ n-1. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με: 20
Πρόσκαιρες Ράντες (13) Η παράσταση στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο α = 1, λόγο λ = Υ και τελευταίο όρο τ = Υ n- 1. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με: Σ = [(τ *(τελευταίος όρος * λ (λόγος)) α* (πρώτος όρος)] (λ (λόγος) -1) 21
Πρόσκαιρες Ράντες (14) Κατ αντιστοιχία η παρούσα αξία της υπό εξέτασης ράντας θα είναι ίση με: S j n = Υ + Υ 2 + Υ 3 +...+Υ n-1 = ((Υ n-1 *Υ) -1) / (Y-1) = ( Υ n -1/ (Y-1) Αντικαθιστούμε όπου Y=1+i S jn =((1+i) n -1)/ (1+i-1) = =((1+i) n -1)/ i Ο συντελεστής S jn είναι η τελική αξία μιας μοναδιαίας ληξιπρόθεσμης ράντας με επιτόκιο i για n όρος μιας νομισματικής μονάδας. Στο τελος του βιβλίου (Σόρμας & Σαριαννίδης, 2010) υπάρχουν πίνακες με αποτελέσματα του εν λόγω συντελεστή για διάφορες τιμές i και n. Εάν οι όροι της ράντας είναι ίση με R νομισματικές μονάδες τότε η παρούσα αξία της ράντας θα είναι ίση με S jn =1*R + R*(1+i) 1 + R*(1+i) 2 + R*(1+i) 3 + R*(1+i) n-1 = R *(1+(1+i) 1 + R*(1+i) 2 + R*(1+i) 3 + R*(1+i) n-1 ) 22
Πρόσκαιρες Ράντες (15) 1. Να βρεθεί η παρούσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης ράντας όρου 2.000 ευρώ, διάρκειας 15 ετών, όταν το επιτόκιο είναι 9%. Λύση Η παρούσα αξία ράντας μπορεί να υπολογιστεί είτε με την βοήθεια του πίνακα είτε με τον υπολογισμό του συντελεστή [1- (1 (1+t)) n ] t Δηλαδή Α jn = R* a jn = R*[1- (1 (1+t)) n ] i a) Με την χρήση του παραρτήματος Β1- Όρος της ράντας = R= 2.000 ευρώ. Από τους πίνακες στο τέλος του βιβλίου (Σόρμας & Σαριαννίδης, 2010) λαμβάνουμε συντελεστή ράντας = a jn = a 15 0,09 = 8,06 Πίνακας 1. Πρόσκαιρες Ράντες Α jn = R* a jn = 8,06*2.000 = 16.120 ευρώ παρούσα αξία. 23
Πρόσκαιρες Ράντες(15) 2. Καταθέτης επιθυμέι να λαμβάνει 1.500 ευρώ στο τέλος κάθε μήνα, για 5 έτη. Τι ποσό πρέπει να καταθέσει στην τράπεζα όταν το ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο είναι 10 %. Λύση Η περίοδος της ράντας είναι ο μήνας και συνεπώς ο αριθμός των περιόδων είναι ίσος με 5*12=60. Το μηνιαίο επιτόκιο είναι 0,10/12=0,008333 α) Με τη χρήση του πίνακα του παραρτήματος Β.14 Όρος της ράντας = R = 1.500 ευρώ Συντελεστής ράντας = a jn = a 0,008333 60 =47,065 Πίνακας 2. Παράδειγμα 1 A j n = R* a jn = 47,065*1.500= 70.597,5 Συνεπώς, απαιτούνται 70.597,5 ευρώ κατάθεσης για την 1.500 ευρώ κάθε μήνα για 60 μήνες. 24
Παράδειγμα 2 (2) β) Με τον υπολογισμό του σχετικού συντελεστή A jn = R* [(1 (1/(1+i) n ))]/ i =1.500 * [(1 (1/(1+0,083) 60 ))]/ 0,0083 = 1.500* [(1 (1/1,6453)]/ 0,0083 = 1.500*(0,392211/0,008333) = 70.597,60 25
Παράδειγμα 3 (1) 3. Τι αξίας δάνειο μπορεί να πάρει ένας επενδυτής που έχει την δυνατότητα να πληρώνει 3.000 ευρώ το μήνα, για 7 μήνες με ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο 7 %. Λύση Ο αριθμός των περιόδων είναι ίσος με 7. Το μηνιαίο επιτόκιο είναι 0,07/12=0,005833 α) Με τη χρήση του πίνακα του παραρτήματος Β.13 Όρος της ράντας = R = 3.000 ευρώ. Συντελεστής ράντας = a jn = a 0,005833 7 =47,065 Πίνακας 3. Δεδομένα παραδείγματος 3. A j n = R* a jn = R* a 0,0058337 =3.000 *6,839 = 20.517. Το δάνειο που μπορεί να λάβει ο επενδυτής θα είναι αξίας 20.517 ευρώ. 26
Παράδειγμα 3 (2) Το δάνειο που μπορεί να λάβει ο επενδυτής θα είναι αξίας 20.517 ευρώ. β) Με τον υπολογισμό του σχετικού συντελεστή A jn = R* [(1 (1/(1+i) n ))]/ i =3.000 * [(1 (1/(1+0,0058) 7 ))]/ 0,0058 = 3.000* [(1 (1/1,0415)]/ 0,0058 = 3.000*(0,039895/0,0058) = 20.517 27
Παράδειγμα 3 (3) γ) Ο αριθμός των περιόδων είναι μόνο 7 που σημαίνει ότι η άσκηση μπορεί να λυθεί με απλή προεξόφληση των χρηματοροών. Άλλωστε ισχύει η ισοδυναμία: A jn = R* [(1 (1/(1+i) n ))]/ i =3.000 /[(1,005833) 1 )] + 3.000 /[(1,005833) 2 )]+ 3.000 /[(1,005833) 3 )]+ 3.000 /[(1,005833) 4 )]+ 3.000 /[(1,005833) 5 )]+ 3.000 /[(1,005833) 6 )]+ 3.000 /[(1,005833) 7 )] = 2.982+2.965+2.948+2.931+2.914+2.897+2.880 = 20.517 28
Παράδειγμα 4 (1) Επενδυτής κατέθετε για 3 έτη στην αρχή κάθε έτους 1.000 και θα συνεχίσει να καταθέτει με τον ίδιο τρόπο, το ίδιο ποσό και για άλλα 5 έτη από σήμερα. Εάν το επιτόκιο είναι 7% να υπολογιστεί η παρούσα αξία της ράντας (η αξία της ράντας σήμερα). Λύση Θα προεξοφλήσουμε όλες τις καταβολές με το γνωστό τύπο της ράντας βρίσκοντας την αρχική αξία στο χρόνο -3 (πριν 3 έτη), στη συνέχεια με τον τύπο του ανατοκισμού θα μεταφέρουμε την αξία αυτή στον έτος μηδέν (παρούσα αξία). 29
Παράδειγμα 4 (2) Διάγραμμα 2. πρόσκαιρες ράντες παράδειγμα 4 Η εν λόγω ράντα έχει επιτόκιο i=7%, με όρο R=1.000 και διάρκεια n=8. Με την χρήση του παραρτήματος Β1. Ο Όρος της ράντας = R= 1.000 ευρώ. Ενώ ο Συντελεστής ράντας = a jn = a 0,078 = 5,97 30
Παράδειγμα 2 (4) β) Με τον υπολογισμό του σχετικού συντελεστή A jn = (1+i) * R ((1-(1 / (1+i) n )) / i) = 1,05*1.000* ((1-(1 / (1+0,05) 8 )) / 0,05) = 1.050* (1-0,676839) / 0,05 = 6.783 31
Βιβλιογραφία Σαριαννίδης, Ν. & Μποντζίδου, Ε. (2010). Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά. ISBN 978-960-92844-0-0. Σόρμας, Α. & Σαριαννίδης, Ν. (2010). Οικονομικά Μαθηματικά. ISBN 978-960-92844-2-4. 32