Ισοστατικοί φορείς - Ασκήσεις -

Ισοστατικοί φορείς Ασκήσεις Συγγραφή Ιωάννης Αβραμίδης Κωνσταντίνος Μορφίδης Κριτικός αναγνώστης Αναξαγόρας Ελένας Συντελεστές έκδοσης ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δήμητρα Κατσαρού ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ: Ελένη Αβραμίδου Copyright ΣΕΑΒ, Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creatie Commons Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Οχι Παράγωγα Έργα.. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο https://creatiecommons.org/licenses/byncnd/./gr/ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 78 Ζωγράφου www.kallipos.gr ISBN 9789 ii

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πίνακας Περιεχομένων Επεξηγηματικό σημείωμα Κατάλογος συμβόλων Βιβλιογραφία Πρόλογος Κεφ. Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας και υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης. Εποπτικός έλεγχος κινηματικής ευστάθειας γραμμικών φορέων στο επίπεδο και στο χώρο (Ομάδα Α).. Επίπεδοι φορείς.. Χωρικοί φορείς.. Στήριξη σωμάτων.. Στήριξη απλών δοκών στο χώρο.. Στήριξη πλαισίων στο χώρο. Υπολογιστικός έλεγχος κινηματικής ευστάθειας και υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης γραμμικών φορέων στο επίπεδο και στον χώρο με την αρχή της αποδέσμευσης και τις συνθήκες ισορροπίας (Ομάδα Β).. Επίπεδοι φορείς.. Χωρικοί φορείς. Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας και διαπίστωση του βαθμού υπερστατικότητας σύνθετων γραμμικών φορέων με τις μεθόδους της σταδιακής οικoδόμησης και της σταδιακής αποδόμησης (Ομάδα Γ).. Επίπεδοι φορείς.. Χωρικοί φορείς. Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας σύνθετων γραμμικών φορέων με τη μέθοδο της εναλλαγής ράβδων (Ομάδα Δ). Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας σύνθετων επίπεδων φορέων με τη βοήθεια του διαγράμματος των πόλων στροφής και σχεδίαση της κατάστασης δυνατής μετακίνησης μονοκινηματικών φορέων (Ομάδα Ε) Κεφ. Υπολογισμός εντασιακών μεγεθών. Υπολογισμός μεμονωμένων εντασιακών μεγεθών (Ομάδα Ζ).. Υπολογισμός με τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών και τις συνθήκες ισορροπίας.. Υπολογισμός με την αρχή των δυνατών έργων (κινηματική μέθοδος). Υπολογισμός διαγραμμάτων φορτίων διατομής επίπεδων φορέων (Ομάδα Η).. Αμφιέρειστες δοκοί (Ομάδα Η).. Πρόβολοι (Ομάδα Η).. Μονο και αμφιπροέχουσες δοκοί (Ομάδα Η).. Αρθρωτές δοκοί (δοκοί Gerber) (Ομάδα Η).. Αμφιέρειστα πλαίσια και τόξα (Ομάδα Η).. Τριαρθρωτοί πλαισιακοί και τοξωτοί φορείς (Ομάδα Η)..7 Ενισχυμένες δοκοί (Ομάδα Η7)..8 Επίπεδα δικτυώματα (Ομάδα Η8)..9 Σύνθετοι επίπεδοι φορείς (Ομάδα Η9). Υπολογισμός διαγραμμάτων φορτίων διατομής χωρικών φορέων (Ομάδα Θ).. Χωρικοί πλαισιακοί φορείς (Χωροπλαίσια) (Ομάδα Θ).. Επίπεδοι φορείς με εκτός επιπέδου φόρτιση (Ομάδα Θ).. Χωρικοί δικτυωτοί φορείς (Χωροδικτυώματα) (Ομάδα Θ) Κεφ. Υπολογισμός παραμορφωσιακών μεγεθών. Υπολογισμός μεμονωμένων παραμορφωσιακών μεγεθών (Ομάδα Ι). Υπολογισμός ελαστικών γραμμών (Ομάδα Κ) iii

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφ. Υπολογισμός γραμμών επιρροής. Υπολογισμός γραμμών επιρροής εντασιακών μεγεθών (Ομάδα Λ). Υπολογισμός γραμμών επιρροής παραμορφωσιακών μεγεθών (Ομάδα Μ) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Βοηθητικοί πίνακες Πίνακας Ολοκληρώματα γινομένου δύο συναρτήσεων Πίνακας Γεωμετρικά στοιχεία διατομών. Κεντροβαρικός άξονας, εμβαδόν και ροπή αδράνειας σε κάμψη B. Τεκμαρτή επιφάνεια διάτμησης Γ. Ροπή αδράνειας σε στρέψη Πίνακας Τιμές υλικών σταθερών Πίνακας α Βασικές σχέσεις για τη μέθοδο των συναρτήσεων ω Πίνακας β Τιμές συναρτήσεων ω i

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Eπεξηγηματικό σημείωμα Αρίθμηση ασκήσεων Οι ασκήσεις είναι ταξινομημένες σε σειρές: Σειρά Α έως Σειρά Μ. Ειδικότερα, οι Σειρές Η και Θ υποδιαιρούνται λόγω της έκτασής τους σε υποσειρές (Η έως Η9 και Θ έως Θ, αντιστοίχως). Αρίθμηση σελίδων Οι αρχικές σελίδες του βιβλίου αριθμούνται με λατινικούς αριθμούς i, ii, iii, i,,.... Οι σελίδες του Παραρτήματος αριθμούνται αυτοτελώς ως Π, Π, Π, Π,.... Η αρίθμηση των υπόλοιπων σελίδων του βιβλίου δεν είναι συνεχόμενη, αλλά γίνεται αυτοτελώς για κάθε ομάδα ή υποομάδα ασκήσεων ξεχωριστά, όπου του αριθμού της σελίδας προτάσσεται το γράμμα (Α έως Μ) που συμβολίζει την ομάδα στην οποία ανήκει η άσκηση ή αν η ομάδα περιέχει περισσότερες υποομάδες το γράμμα της ομάδας ακολουθούμενο από τον αριθμό της υποομάδας. Έτσι, π.χ. οι σελίδες που περιέχουν τις ασκήσεις της ομάδας Α, η οποία δεν έχει υποομάδες, αριθμούνται ως Α, Α, Α,... και οι σελίδες που περιέχουν τις ασκήσεις της υποομάδας Η ως Η, Η, Η,... κτλ. Αρίθμηση σχημάτων Τα σχήματα που συνοδεύουν τις εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων δεν αριθμούνται λόγω του πάρα πολύ μεγάλου πλήθους τους, παρουσιάζονται, όμως, πάντοτε στη θέση που αρμόζει μέσα στη ροή του κειμένου. Χρωματισμός σχημάτων Με πράσινο χρώμα συμβολίζονται κατά κανόνα τα βελάκια των φορτίων διατομής (εσωτερικά εντασιακά μεγέθη) στις διάφορες «πραγματικές» καταστάσεις, π.χ. Μ, ή Q, ή Μ Ε,. Τα ίδια φορτία συμβολίζονται με κόκκινο χρώμα όταν δρουν στις καταστάσεις δυνατών μετακινήσεων, όπου προσάγονται ως εξωτερικά φορτία στις αντίστοιχες αρθρώσεις, π.χ. Μ, ή Q, ή Μ Ε,. Επίσης με κόκκινο χρώμα συμβολίζονται οι πρόσθετες δεσμικές ράβδοι (δρομικές ή στροφικές) του γεωμετρικού κυρίου συστήματος (ΓΚΣ) και οι αντιδράσεις Κ mn, K m που αναπτύσσονται σ' αυτές στις διάφορες καταστάσεις, καθώς και γενικότερα οι τελικές αντιδράσεις στις στηρίξεις/πακτώσεις του δεδομένου φορέα. Με ανοικτό μπλε (γαλάζιο) χρώμα σχεδιάζεται η «πραγματική» παραμόρφωση του ΓΚΣ στις διάφορες καταστάσεις και «ξ n =» καθώς και η τελική ελαστική γραμμή του δεδομένου φορέα. Τέλος, με σκούρο μπλε χρώμα σχεδιάζονται γενικώς τα διαγράμματα Μ, Q, Ν του εκάστοτε στατικού φορέα υπό τη δεδομένη φόρτιση, καθώς και η κατάσταση δυνατής μετακίνησης του ΓΚΣ στις διάφορες νοητές μοναδιαίες καταστάσεις «ξ n = ν». Σημειώνεται, επίσης, ότι σε όλα τα σχήματα τα μήκη των δομικών στοιχείων δίνονται σε [m]. Μονάδες μέτρησης Οι μονάδες μέτρησης ακολουθούν το Διεθνές Σύστημα Μονάδων SI (Système International). Στο σύστημα αυτό μονάδα μήκους είναι το μέτρο (m), μονάδα μάζας είναι το χιλιόγραμμο (kg), μονάδα χρόνου είναι το δευτερόλεπτο (s) και μονάδα θερμοδυναμικής θερμοκρασίας είναι το Kelin (K). H μονάδα μέτρησης δυνάμεων, η οποία μας ενδιαφέρει κυρίως εδώ, είναι το Ν (Newton), που αποτελεί παράγωγη μονάδα και ορίζεται βάσει του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα (=m g) ως ίση με τη δύναμη η οποία ενεργώντας επί της μονάδας μάζας (kg) της προσδίδει επιτάχυνση ίση προς τη μονάδα της επιτάχυνσης (m/s ): Ν = kg m/s Συνήθως, χρησιμοποιούμε πολλαπλάσια της μονάδας αυτής, όπως το kn= N ή το ΜΝ= N. Η αντιστοιχία με το χιλιόγραμμο βάρους (kg* ή kp, όπου kp = kg g = kg 9.8m/s ) και τον τόνο βάρους (t βάρους = kp) του παλαιότερου μετρικού συστήματος (ΜΤS, με θεμελιώδεις μονάδες το μέτρο m, τον τόνο βάρους t βάρους και το δευτερόλεπτο s) προκύπτει με την επιτάχυνση βαρύτητας g m/s αντί του 9.8m/s. (Σημ.: H προσέγγιση αυτή αρκεί, συνήθως, για τεχνικές εφαρμογές) ως εξής: t βάρους = t μάζας g = kg m/s = kg m/s = Ν = kn kν = t βάρους = kp = kp. Για τη θερμοκρασία ισχύει: t [ºC] = T [K] 7. [K], όπου t [ºC] η θερμοκρασία σε μονάδες (βαθμούς) Κελσίου (Celsius) και T [K] η θερμοκρασία σε μονάδες Kelin. Σημειώνεται ότι σε όλα τα σχήματα του παρόντος βιβλίου οι αριθμητικές τιμές μηκών δίνονται σε μέτρα. Συχνά χρησιμοποιούμενες συντμήσεις: ΑΔΕ Αρχή των Δυνατών Έργων = Αρχή των δυνατών, νοητών μετακινήσεων ΑΣΔΕ Αρχή των Συμπληρωματικών Δυνατών Έργων = Αρχή των νοητών, βοηθητικών δυνάμεων

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατάλογος συμβόλων Συστήματα αναφοράς(καρτεσιανά, τρισορθογώνια, δεξιόστροφα) {, y, z} τοπικό σύστημα αναφοράς (για κάθε δομικό στοιχείο) {, Y, } καθολικό σύστημα αναφοράς (για όλο τον φορέα) Γεωμετρικά δεδομένα διατομής L μήκος δομικού στοιχείου [m] I, I T, J ροπή αδράνειας σε στρέψη (στρεπτική σταθερά) [m ] Ι y, Ι ροπή αδράνειας σε κάμψη ως προς τον άξονα y [m ] Ι z ροπή αδράνειας σε κάμψη ως προς τον άξονα z [m ] επιφάνεια διατομής [m ] Sy τεκμαρτή (ενεργός) επιφάνεια ολίσθησης λόγω Q y [m ], Sy =α Sy Α Sz τεκμαρτή (ενεργός) επιφάνεια ολίσθησης λόγω Q z [m ], Sz =α Sz Α h, d ύψος διατομής [m] b πλάτος διατομής [m] Ιδιότητες υλικού Ε μέτρο ελαστικότητας [kn/m ] G μέτρο oλίσθησης [kn/m ] ν λόγος του Poisson [], E=G/{()} α t συντελεστής θερμικής διαστολής [/ ο C] φ ερπ συντελεστής ερπυσμού [] ε ξηρ/υγρ μέτρο συστολής/διαστολής ξήρανσης/ύγρανσης [] Ιδιότητες διατομών και δομικών στοιχείων EI δυσκαμψία [knm ], όπου Ι= Ι y ή I z G S δυστμησία [kn], όπου S = Α Sy ή Α Sz E δυστένεια [kn] GI T, GJ δυστρεψία [knm ] c N ελαστική σταθερά δρομικού ελατηρίου [kn/m] c ελαστική σταθερά στροφικού ελατηρίου [knm/rad] Εξωτερικά μεγέθη έντασης (φορτία και αντιδράσεις στήριξης) P, H, Ρ, μοναχική δύναμη κατά [kn] P y μοναχική δύναμη κατά y [kn] P z, V, P, μοναχική δύναμη κατά z [kn] L, LT μοναχική στρεπτική ροπή [knm] Ly, L μοναχική ροπή ως προς τον άξονα y [knm] Μ Lz μοναχική ροπή ως προς τον άξονα z [knm] P διάνυσμα μοναχικών (συγκεντρωμένων) φορτίων (δυνάμεων και ροπών) q (), n() κατανεμημένο φορτίο κατά την έννοια του άξονα [kn/m] q y (), κατανεμημένο φορτίο κατά την έννοια του άξονα y [kn/m] q z (), q(), p() κατανεμημένο φορτίο κατά την έννοια του άξονα z [kn/m] m L (), m T () κατανεμημένη στρεπτική ροπή [knm/m] m Ly (), m L () κατανεμημένη ρoπή ως προς τον άξονα y [knm/m] m Lz () κατανεμημένη ρoπή ως προς τον άξονα z [knm/m] p διάνυσμα κατανεμημένων φορτίων (δυνάμεων και ροπών) Α αντίδραση (δύναμη) στήριξης Μ Π ροπή πάκτωσης i

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Καταναγκασμοί t() ομοιόμορφη (= σταθερή σε όλη τη διατομή στη θέση ) θερμοκρασιακή φόρτιση [ ο C] Δt() ανομοιόμορφη (= γραμμικά μεταβαλλόμενη κατά το ύψος της διατομής στη θέση ) θερμοκρασιακή φόρτιση [ ο C] u Lm επιβεβλημένη (καταναγκασμένη) μετατόπιση της στήριξης m κατά [m] Lm επιβεβλημένη (καταναγκασμένη) μετατόπιση της στήριξης m κατά y [m] w Lm επιβεβλημένη (καταναγκασμένη) μετατόπιση της στήριξης m κατά z [m] φ Lim επιβεβλημένη (καταναγκασμένη) στροφή ως προς τον άξονα i (i=, y, z) της πάκτωσης m [rad] ρ u αξονικός ρήκτης = Δu L [m] ρ w εγκάρσιος ρήκτης = Δw L [m] ρ φ στροφικός ρήκτης = Δφ L [m] ρ θ στρεπτικός ρήκτης = Δθ L [m] Εσωτερικά εντασιακά μεγέθη (φορτία διατομής) Μ, Μ T ροπή στρέψης [knm] Μ y, Μ ροπή κάμψης ως προς τον άξονα y [knm] Μ z ροπή κάμψης ως προς τον άξονα z [knm] Q y τέμνουσα δύναμη κατά y [kn] Q z, Q τέμνουσα δύναμη κατά z [kn] N αξονική δύναμη [kn] ik,r ροπή στο σημείο ή στον κόμβο i προς τη διεύθυνση του σημείου ή κόμβου k {i, k : δείκτες θέσης, r : δείκτης αιτίου} Μ(), r διάγραμμα ροπών κάμψης λόγω του αιτίου r Αντίστοιχοι συμβολισμοί προς τους δύο προηγούμενους ισχύουν και για τα υπόλοιπα φορτία διατομής. σ διάνυσμα φορτίων διατομής Μετακινήσεις u, u μετατόπιση κατά [m] u y, μετατόπιση κατά y [m] u z, w μετατόπιση κατά z [m] u α, u δ μετατόπιση αριστερής και δεξιάς όχθης μιας αξονικής άρθρωσης (Ν=) Δu=u α u δ χάσμα (της ελαστικής γραμμής) = διαφορά αξονικών μετατοπίσεων α, δ μετατόπιση αριστερής και δεξιάς όχθης μιας διατμητικής άρθρωσης: Q y = w α, w δ μετατόπιση αριστερής και δεξιάς όχθης μιας διατμητικής άρθρωσης: Q z = Δ= α δ άλμα (της ελαστικής γραμμής) = διαφορά βυθίσεων κατά y Δw=w α w δ άλμα (της ελαστικής γραμμής) = διαφορά βυθίσεων κατά z φ, θ στροφή ως προς τον άξονα [rad] φ y, φ στροφή ως προς τον άξονα y [rad] φ z στροφή ως προς τον άξονα z [rad] φ α, φ δ στροφή αριστερής και δεξιάς όχθης μιας καμπτικής άρθρωσης: y = Δφ=φ α φ δ γόνατο (στην ελαστική γραμμή) = διαφορά στροφών Αντίστοιχοι συμβολισμοί προς τους δύο προηγούμενους ισχύουν και στις περιπτώσεις στρεπτικής (Μ T =) και καμπτικής άρθρωσης (Μ z =). φ i, φ k στροφές των κόμβων i και k ενός δομικού στοιχείου ik τ i, τ k στροφές άκρων δοκού ik (ως προς τον άξονα y) ψ ik στροφή της χορδής της δοκού ik (ως προς τον άξονα y) w(), r ελαστική γραμμή (βύθιση κάθετα στον τοπικό άξονα ) λόγω του αιτίου r u διάνυσμα μετακινήσεων ii

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παραμορφώσεις διατομών ε αξονική παραμόρφωση (μήκυνση, βράχυνση) [] ε ελ, ε el ελαστική αξονική παραμόρφωση {=Ν/(ΕΑ)} ε t θερμοκρασιακή αξονική παραμόρφωση {=α t t} γ z, γ διατμητική παραμόρφωση (ολίσθηση) κατά z [] γ y διατμητική παραμόρφωση (ολίσθηση) κατά y [] ζ κ y, κ κ z κ ελ, κ el κ t ε στρεπτική παραμόρφωση (συστροφή) [/m] καμπτική παραμόρφωση (καμπύλωση) ως προς τον άξονα y [/m] καμπτική παραμόρφωση (καμπύλωση) ως προς τον άξονα z [/m] ελαστική καμπύλωση {=Μ/(ΕΙ)} θερμοκρασιακή καμπύλωση {=α t Δt/h} διάνυσμα παραμορφώσεων Ενεργειακές και εργικές προτάσεις E γενικό σύμβολο για ένα μέγεθος έντασης ή παραμόρφωσης Κ γενικό σύμβολο για ένα μέγεθος έντασης (αντίδραση στήριξης, φορτίο διατομής) δ γενικό σύμβολο για ένα μέγεθος παραμόρφωσης (μετακίνηση, παραμόρφωση) d σύμβολο (τελεστής) διαφόρισης (παραγώγισης) δ σύμβολο (τελεστής) μεταβολής (Δεν πρέπει να συγχέεται με το σύμβολο δ που συμβολίζει, γενικώς,μεγέθη παραμόρφωσης) Ε ο άνω δείκτης «ν» συμβολίζει ότι πρόκειται για δυνατό μέγεθος: Ε =δε π.χ. νοητή (δυνατή) μοναχική δύναμη, δυνατό φορτίο Μ () νοητό (δυνατό, βοηθητικό) διάγραμμα ροπών w δυνατή (νοητή) μετατόπιση φ δυνατή (νοητή) στροφή W ίδιο έργο (εσωτερικό W i, εξωτερικό W e ) W* ίδιο συμπληρωματικό έργο (εσωτερικό W i *, εξωτερικό W e *) W p παθητικό έργο (εσωτερικό W pi, εξωτερικό W pe ) W p * παθητικό συμπληρωματικό έργο (εσωτερικό W pi *, εξωτερικό W pe *) W ή δw δυνατό έργο (εσωτερικό W i ή δw i, εξωτερικό W e ή δw e ) W* ή δw* συμπληρωματικό δυνατό έργο (εσωτ. W i * ή δw i *, εξωτ. W e * ή δw e *) U ενέργεια παραμόρφωσης Π (Π i, Π e ) δυναμικό (εσωτερικό, εξωτερικό) Π* (Π i *, Π e *) συμπληρωματικό δυναμικό (εσωτερικό, εξωτερικό) δπ, δ Π η, η μεταβολή του δυναμικού dπ, d Π ο, ο διαφορικό του δυναμικού Γραμμές επιρροής ξ τετμημένη φορτιζόμενου πέλματος Ρ Ζ (ξ) κινητή κατακόρυφη δύναμη επί του φορτιζόμενου πέλματος Κ a,ρζ(ξ)= γραμμή επιρροής του εντασιακού μεγέθους Κ a λόγω Ρ Ζ (ξ)= δ a,ρζ(ξ)= γραμμή επιρροής του παραμορφωσιακού μεγέθους δ a λόγω Ρ Ζ (ξ)= [απλούστερα: Κ a,ξ και δ a,ξ ] η(ξ), η ξ το γράμμα η συμβολίζει τις τεταγμένες γραμμών επιρροής iii

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Βιβλιογραφία Το υλικό του παρόντος ηλεκτρονικού βιβλίου αντλήθηκε κατά κύριο λόγο από το έντυπο σύγγραμμα: [] Αβραμίδης, Ι.Ε. και Μορφίδης, Κ.Ε. (8). Στατική των Κατασκευών, Τόμος Ια: Ισοστατικοί φορείς Σύνοψη Θεωρίας και Ασκήσεις. Θεσσαλονίκη: Σοφία. καθώς επίσης εν μέρει και από το σύγγραμμα: [] Αβραμίδης, Ι.Ε. (). Στατική των Κατασκευών, Τόμος Ι: Θεμελιώδεις αρχές και ισοστατικοί φορείς. Θεσσαλονίκη: Αυτοέκδοση. Για περαιτέρω μελέτη προτείνονται τα ακόλουθα συγγράμματα: Επιλογή ελληνόφωνης βιβλιογραφίας Βαλιάσης, Θ. (). Στατική των γραμμικών φορέων. Θεσσαλονίκη: Ζήτη. Κωμοδρόμος, Π. (9). Ανάλυση Κατασκευών Σύγχρονες μέθοδοι με χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών. Λευκωσία: Αυτοέκδοση. Μητσοπούλου, Ε. (9). Κλασικές και μητρωικές μέθοδοι ανάλυσης. Θεσσαλονίκη: Σοφία Νιτσιώτας, Γ. (98). Στατική των γραμμικών φορέων Κλασική Στατική. Θεσσαλονίκη: Ζήτη. Νιτσιώτας, Γ. και ΤσαμκιράνηΓεωργανοπούλου, Α. (977). Στατική των Κατασκευών Γενική επισκόπηση των φορέων και των μεθόδων. Θεσσαλονίκη: Ζήτη. Σταυρίδης, Λ. (8). Στατική των δομικών φορέων Μία βασική προσέγγιση στη φέρουσα συμπεριφορά και το σχεδιασμό τους. Αθήνα: Κλειδάριθμος. Επιλογή αγγλόφωνης βιβλιογραφίας Chajes,. (98). Structural nalysis. Englewood Cliffs: PrenticeHall. [Καλύπτει με απλό, κατανοητό και σύντομο τρόπο ισοστατικούς και υπερστατικούς φορείς, συμπεριλαμβανομένων και των μητρωικών μεθόδων] Ghali,., Neille,.. and Brown, T.G. (). Structural nalysis Unified Classical and atri pproach. London: Spon Press. [Αναφέρεται εκτενώς σε μεθόδους επίλυσης υπερστατικών φορέων και καλύπτει πέραν αυτών πολλά άλλα πεδία της Στατικής και Δυναμικής των Κατασκευών (π.χ., θεωρία ης τάξης και ελαστική ευστάθεια, ανάλυση πλακών, μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων, πλαστική ανάλυση γραμμικών φορέων, θέματα προγραμματισμού κ.ά.)] Norris, C.W., Wilbur, J.B. and Utku, S. (99). Elementary Structural nalysis. Kogakusha: cgraw Hill. [Καλύπτει με πολύ ικανοποιητικό τρόπο όλα τα βασικά αντικείμενα της Στατικής των Κατασκευών] West, H.H. (98). nalysis of Structures n Integration of Classical and odern ethods. New York: John Wiley & Sons. [Παρουσιάζει με αναλυτικό και εύληπτο τρόπο τις κλασικές μεθόδους της Στατικής συνδέοντάς τες εξαρχής με τις σύγχρονες μητρωικές μεθόδους ανάλυσης] i

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιλογή γερμανόφωνης βιβλιογραφίας Duddek, H. und hrens, H. (998). Statik der Stabtragwerke. In: Betonkalender (Teil I). Berlin: Ernst & Sohn. Hees, G. und Pohlmann, G. (988). Baustatik. In: Bautechnik IV Konstruktier Ingenieurbau (Teil B). Berlin/Heidelberg/New York: Springer. [Στις παραπάνω δύο βιβλιογραφικές αναφορές παρουσιάζονται με πλήρη, αλλά σύντομο στη διατύπωση τρόπο οι μέθοδοι της Κλασικής Στατικής] Krätzig, W.B., Harte, R., eskouris, K. und Wittek, U. (999). Tragwerke Theorie und Berechnungsmethoden statisch bestimmter Stabtragwerke. Berlin: uflage, Springer. Krätzig, W.B. und Wittek, U. (998). Tragwerke Theorie und Berechnungsmethoden statisch unbestimmter Stabtragwerke. Berlin: Springer. [Tα παραπάνω δύο γερμανικά συγγράμματα δίνουν μια πλήρη και εις βάθος παρουσίαση των κλασικών μεθόδων της Στατικής των γραμμικών φορέων, με τρόπο που προβάλλει έντονα τη μεθοδολογική δομή τους και τις σχέσεις τους με τις σύγχρονες μητρωικές μεθόδους ανάλυσης] Σχετικά με την ιστορική εξέλιξη της Στατικής Kurrer, K.E. (8). The History of the Theory of Structures rom rch nalysis to Computational echanics. Berlin: Ernst & Sohn.

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόλογος Το ηλεκτρονικό αυτό βιβλίο απευθύνεται κυρίως σε προπτυχιακούς φοιτητές σε Τμήματα Πολιτικών Μηχανικών ΑΕΙ και ΑΤΕΙ, οι οποίοι παρακολουθούν το αντίστοιχο μάθημα, δηλαδή τη ΣΤΑΤΙΚΗ Ι που αφορά σε ισοστατικούς φορείς. Στο βιβλίο παρουσιάζεται αναλυτικά μία σειρά επιλεγμένων ασκήσεων που στοχεύουν στην εμπέδωση της κατανόησης των μεθόδων υπολογισμού των στατικών μεγεθών, δηλαδή των μεγεθών έντασης και παραμόρφωσης, ισοστατικών φορέων. Η χρήση του βιβλίου προϋποθέτει την προηγούμενη ή παράλληλη ενασχόληση του σπουδαστή με την αντίστοιχη θεωρία. Το υλικό του βιβλίου αντλήθηκε κατά κύριο λόγο από το έντυπο σύγγραμμα «ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ τόμος Ια, Ισοστατικοί φορείς Σύνοψη Θεωρίας και Ασκήσεις» (Αβραμίδης & Μορφίδης, 8), καθώς επίσης εν μέρει και από το σύγγραμμα «ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ, τόμος Ι, Θεμελιώδεις αρχές και ισοστατικοί φορείς» (Αβραμίδης, ). Σε τί μας χρειάζεται η Κλασική Στατική σήμερα; Ο ηλεκτρονικός υπολογιστής και το σύγχρονο λογισμικό ανάλυσης κατασκευών, που βασίζεται στη Μητρωική Στατική, έχουν απαλλάξει τον σημερινό πολιτικό μηχανικό από την ανούσια εκτέλεση αριθμητικών πράξεων, επιτρέποντάς του να επικεντρώνει την προσοχή του σε ουσιαστικότερα θέματα μελέτης, με στόχο την επίτευξη μιας ασφαλούς και ταυτόχρονα οικονομικής κατασκευής. Για τον λόγο αυτόν, το κέντρο βάρους των απαιτούμενων από έναν μελετητή γνώσεων έχει φύγει από τη λεπτομερή εκμάθηση τρόπων και τεχνικών επίλυσης και έχει μετατεθεί μεταξύ άλλων στην εμπέδωση και συνειδητοποίηση των θεμελιωδών αρχών και των υποκείμενων παραδοχών των χρησιμοποιούμενων θεωριών και μεθόδων υπολογισμού, και παράλληλα στην εξοικείωση με τους τρόπους ελέγχου των αριθμητικών αποτελεσμάτων που προκύπτουν από τη χρήση του ηλεκτρονικού υπολογιστή. Οι σύγχρονες αυτές απαιτήσεις προδιέγραψαν σε μεγάλο βαθμό τη διαμόρφωση και παρουσίαση του παρόντος βιβλίου. Σε αντίθεση προς τη Μητρωική Στατική, η οποία εξ αρχής είναι αποκλειστικά προσανατολισμένη στη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή, στην Κλασική Στατική οι φορείς υπολογίζονται γενικώς «με το χέρι». Κι αυτό, διότι βασικός σκοπός της δεν είναι αυτοί καθαυτοί οι αριθμητικοί υπολογισμοί, αλλά η εμπέδωση των θεμελιωδών στατικών αρχών, μεθόδων και παραδοχών μέσα από τη «χειρωνακτική» επίλυση σχετικά απλών στατικών φορέων, η οποία οδηγεί στην απόκτηση μιας «βιωματικής» αντίληψης της λειτουργίας του επιλυόμενου φορέα. Οι ασκήσεις του παρόντος βιβλίου Έχοντας ως στόχο τη δυνατότητα συστηματικής και μεθοδικής εξάσκησης του αναγνώστη, οι ασκήσεις είναι ταξινομημένες σε τέσσερα κεφάλαια και μέσα σε κάθε κεφάλαιο σε δύο ή περισσότερες ομάδες (βλ. πίνακα περιεχομένων). Κάθε ομάδα ασκήσεων αναφέρεται σε ένα διακριτό τμήμα της θεωρίας που αφορά είτε σε κάποια μέθοδο υπολογισμού στατικών μεγεθών είτε σε κάποιον τύπο στατικού φορέα. Οι λύσεις των ασκήσεων παρατίθενται λεπτομερώς και αναλυτικά, ενώ συχνά και σε διάφορα σημεία γίνονται υπενθυμίσεις θεμελιωδών εννοιών ή επισημάνσεις βασικών παραδοχών, προκειμένου μέσω της επανάληψης να εμπεδωθούν καλύτερα οι μέθοδοι και οι τεχνικές των στατικών υπολογισμών. Για λόγους απλούστευσης των υπολογισμών και προβολής των ουσιωδών χαρακτηριστικών των χρησιμοποιούμενων μεθόδων επίλυσης, οι περισσότερες ασκήσεις του παρόντος τόμου αφορούν σε επίπεδους φορείς, χωρίς αυτό, βέβαια, να περιορίζει τη γενικότητα της χρησιμοποιούμενης διαδικασίας επίλυσης. Παρουσιάζονται, όμως, και αρκετές ασκήσεις χωρικών φορέων. Γενικώς, οι ασκήσεις που περιλαμβάνονται στο βιβλίο αυτό είναι εισαγωγικού χαρακτήρα και γι' αυτό αφορούν σχετικά απλούς φορείς. Εντούτοις, επιλύονται και συνθετότερα συστήματα, χωρίς, όμως, το πλήθος των απαιτούμενων αριθμητικών πράξεων να ξεπερνά τα ανεκτά όρια μιας επίλυσης «με το χέρι». Επισήμανση προς σπουδαστές Απευθυνόμενοι προς τους νέους σπουδαστές θα θέλαμε να τονίσουμε ότι η Στατική δεν μαθαίνεται με απλή ανάγνωση της θεωρίας ή των έτοιμων λυμένων ασκήσεων. Αντίθετα, ο αναγνώστης που θέλει να την κάνει κτήμα του, θα πρέπει να υποβληθεί στον κόπο, αφού προηγουμένως έχει μελετήσει και κατανοήσει τη σχετική θεωρία, να επιλύσει αυτοδύναμα με χαρτί και μολύβι ένα αρκετό πλήθος διαφορετικών ασκήσεων. Μόνο η «χειρωνακτική» αυτή επίλυση, που συχνά γίνεται κοπιώδης και κουραστική, θα τον καταστήσει βαθύτερο γνώστη των στατικών μεθόδων και τεχνικών επίλυσης, των υποκείμενων παραδοχών και των διαφόρων δυνατοτήτων ελέγχου των αριθμητικών i

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ αποτελεσμάτων, βοηθώντας τον ταυτόχρονα να αποκτήσει σταδιακά το απαραίτητο για τον μηχανικό της πράξης «στατικό αισθητήριο». Θεσσαλονίκη, Σεπτέμβριος Ιωάννης Ε. Αβραμίδης Κώστας Ε. Μορφίδης ii

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Κεφάλαιο Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας και υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης Σύνοψη Οι ασκήσεις του κεφαλαίου αυτού αφορούν τον έλεγχο της κινηματικής ευστάθειας, δηλαδή της στερεότητας, γραμμικών φορέων στο επίπεδο και στο χώρο, καθώς επίσης και στις μεθόδους υπολογισμού των αντιδράσεων στήριξής τους. Οι ασκήσεις είναι ταξινομημένες σε πέντε ομάδες (Α, Β, Γ, Δ και Ε). Η ομάδα Α αναφέρεται στον εποπτικό έλεγχο της κινηματικής ευστάθειας, η ομάδα Β στον υπολογιστικό της έλεγχο, η ομάδα Γ στον έλεγχο με τη βοήθεια των μεθόδων της σταδιακής οικοδόμησης (σύνθεσης) και της σταδιακής αποδόμησης του φορέα, η ομάδα Δ στον έλεγχο με τη μέθοδο της εναλλαγής ράβδων, και, τέλος, η ομάδα Ε στον έλεγχο με τη βοήθεια του διαγράμματος πόλων στροφής. Επιπλέον, στην ομάδα Β παρουσιάζεται ο τρόπος υπολογισμού των αντιδράσεων στήριξης επίπεδων και χωρικών φορέων με την αρχή της αποδέσμευσης και τις συνθήκες ισορροπίας, ενώ στην ομάδα Ε παρουσιάζεται ο τρόπος σχεδίασης της δυνατής μετακίνησης μονοκινηματικών φορέων. Οι ασκήσεις αυτές στόχο έχουν (α) να αναπτυξουν το αισθητήριο του σπουδαστή όσον αφορά τη στερεότητα ενός δεδομένου φορέα, (β) να εμβαθύνουν την κατανόηση της συστηματικής εφαρμογής των συνθηκών ισορροπίας στον υπολογισμό αντιδράσεων στήριξης και (γ) να δημιουργήσουν τις βάσεις για την εφαρμογή της κινηματικής μεθόδου και της αρχής των δυνατών έργων. Προαπαιτούμενη γνώση Απαραίτητες είναι οι βασικές γνώσεις Στατικής, όπως αυτή διδάσκεται στο μέθημα της Τεχνικής Μηχανικής. Επίσης, απαραίτητη είναι η προηγούμενη μελέτη και κατανόηση της σχετικής με το παρόν κεφάλαιο θεωρίας, όπως αυτή παρουσιάζεται σε βιβλία Στατικής των Κατασκευών (βλ. π.χ. [] και []).

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο. Εποπτικός έλεγχος κινηματικής ευστάθειας γραμμικών φορέων στο επίπεδο και στον χώρο (Ομάδα Α).. Επίπεδοι φορείς Για τις ακόλουθες περιπτώσεις να ελεγχθεί εποπτικά, αν οι δεσμικές ράβδοι έχουν τοποθετηθεί με τέτοιο τρόπο, ώστε οι επίπεδοι γραμμικοί φορείς να εδράζονται στερεά (κινηματικά ευσταθώς) στο επίπεδο ΧΖ. Επίσης, στις περιπτώσεις στερεάς στήριξης να διαπιστωθεί αν η στήριξη είναι ισοστατική ή υπερστατική. Α Σ Κ Η Σ Η α/α Y φ, w, u Στήριξη με δεσμικές ράβδους Επίπεδος φορέας στο επίπεδο ΧΖ Συνήθης συμβολισμός στήριξης Βαθμοί ελευθερίας του φορέα θεωρούμενου ως απολύτως στερεού u, w, φ Στήριξη χαλαρή ή στερεή; Η στήριξη του φορέα είναι ισοστατική ή υπερστατική; Π α ρ α τ η ρ ή σ ς ιε πρόβολος,, στερεή ισοστατική,, στερεή ισοστατική,, στερεή ισοστατική αμφιέρειστη δοκός,, στερεή ισοστατική,, στερεή ισοστατική,, φ χαλαρή () 7 μονοπροέχουσα δοκός,, στερεή ισοστατική

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Α φ Επίπεδος φορέας Σ, u Κ Y στο επίπεδο ΧΖ, w Η Σ Η α/α Στήριξη με δεσμικές ράβδους Συνήθης συμβολισμός στήριξης Βαθμοί ελευθερίας του φορέα θεωρούμενου ως απολύτως στερεού u, w, φ Στήριξη χαλαρή ή στερεή; Η στήριξη του φορέα είναι ισοστατική ή υπερστατική; Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς 8 αμφιπροέχουσα δοκός,, στερεή ισοστατική 9,, φ χαλαρή (),, στερεή ισοστατική,, στερεή ισοστατική Ω,, φ () χαλαρή ημιπλαίσιο,, ισοστατική στερεή αμφιέρειστο δίστυλο πλαίσιο,, στερεή ισοστατική

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Α Σ Κ Η Σ Η α/α Y φ, w, u Στήριξη με δεσμικές ράβδους Επίπεδος φορέας στο επίπεδο ΧΖ Συνήθης συμβολισμός στήριξης Βαθμοί ελευθερίας του φορέα θεωρούμενου ως απολύτως στερεού u, w, φ Στήριξη χαλαρή ή στερεή; Η στήριξη του φορέα είναι ισοστατική ή υπερστατική; Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς,, ισοστατική αμφιέρειστο κλειστό πλαίσιο στερεή μονόπακτη δοκός,, στερεή μία φορά υπερστατική () 7 μονόπακτη δοκός,, στερεή δύο φορές υπερστατική () 8 αμφίπακτη δοκός,, στερεή τρεις φορές υπερστατική () 9,, στερεή μία φορά υπερστατική (7) u,, χαλαρή (8),, στερεή μία φορά υπερστατική (9) Ω,, φ () χαλαρή

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Α Σ Κ Η Σ Η α/α Y φ, u, w Στήριξη με δεσμικές ράβδους Επίπεδος φορέας στο επίπεδο ΧΖ Συνήθης συμβολισμός στήριξης Βαθμοί ελευθερίας του φορέα θεωρούμενου ως απολύτως στερεού u, w, φ Στήριξη χαλαρή ή στερεή; Η στήριξη του φορέα είναι ισοστατική ή υπερστατική; Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς Ω,, φ () χαλαρή,, στερεή μία φορά υπερστατική Παρατηρήσεις:. Οι τρεις δρομικές δεσμικές ράβδοι συντρέχουν (προεκτεινόμενες νοητά) σε ένα σημείο (= αριστερό άκρο του φορέα) και, συνεπώς, ο φορέας είναι δυνατόν να εμφανίσει απειροστή στροφή ως προς το σημείο αυτό.. Για την παγίωση ενός σημείου στο επίπεδο αρκούν δύο δρομικές δεσμικές ράβδοι. Η τρίτη ράβδος στο ίδιο σημείο δεν αποκλείει κανέναν επιπλέον βαθμό ελευθερίας και, συνεπώς, ο φορέας είναι δυνατόν να εμφανίσει πεπερασμένη στροφή ως προς το σημείο αυτό.. Οι τρεις δρομικές δεσμικές ράβδοι συντρέχουν (προεκτεινόμενες νοητά) στο σημείο Ω και, συνεπώς, ο φορέας είναι δυνατόν να εμφανίσει απειροστή στροφή ως προς το σημείο αυτό.. Ο φορέας στηρίζεται ήδη στερεά λόγω των τριών δεσμικών ράβδων στο αριστερό του άκρο (βλ. φορέα Α). Η τέταρτη δεσμική ράβδος στο δεξιό άκρο του καθιστά τη στήριξη κινηματικά μία φορά υπερορισμένη και στατικά μία φορά αόριστη (απλά υπερστατική).. Η προσθήκη έναντι του φορέα της προηγούμενης περίπτωσης Α, μίας ακόμη δρομικής δεσμικής ράβδου στο δεξιό άκρο, καθιστά τη στήριξη του φορέα δύο φορές κινηματικά υπερορισμένη και στατικά δύο φορές αόριστη (διπλά υπερστατική).. Η προσθήκη έναντι του φορέα της προηγούμενης περίπτωσης Α7 μίας στροφικής δεσμικής ράβδου στο δεξιό άκρο καθιστά τη στήριξη του φορέα τρεις φορές κινηματικά υπερορισμένη και στατικά τρεις φορές αόριστη (τριπλά υπερστατική). 7. Η προσθήκη έναντι του φορέα της περίπτωσης Α μίας ακόμη οριζόντιας δρομικής δεσμικής ράβδου στο δεξιό άκρο καθιστά τη στήριξη του φορέα κινηματικά μία φορά υπερορισμένη και στατικά μία φορά αόριστη (απλά υπερστατική). 8. Οι τρεις δρομικές δεσμικές ράβδοι είναι παράλληλες μεταξύ τους και, συνεπώς, ο φορέας είναι δυνατόν να εμφανίσει πεπερασμένες οριζόντιες μετατοπίσεις.

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 9. Η προσθήκη έναντι του φορέα της προηγούμενης περίπτωσης Α μίας οριζόντιας δρομικής δεσμικής ράβδου στο αριστερό άκρο καθιστά τη στήριξη του φορέα στερεή και, μάλιστα, κινηματικά μία φορά υπερορισμένη και στατικά μία φορά αόριστη (απλά υπερστατική).. Ισχύει ό,τι και στην περίπτωση Α. Οι άξονες των τριών δρομικών δεσμικών ράβδων τέμνονται στο σημείο Ω και, συνεπώς, ο φορέας είναι δυνατόν να εμφανίσει απειροστή στροφή ως προς το σημείο αυτό.. Οι περισσότερες από την προηγούμενη περίπτωση Α δρομικές δεσμικές ράβδοι δεν δεσμεύουν κανέναν επιπλέον βαθμό ελευθερίας, αφού όλες τους διέρχονται προεκτεινόμενες νοητά από το ίδιο σημείο Ω. Η στήριξη εξακολουθεί να είναι χαλαρή. Βιντεοπαρουσιάσεις των ασκήσεων Α, Α και Α στο YouTube: Άσκηση Α https://youtu.be/ispovlkoc Άσκηση Α https://youtu.be/jbzkig Άσκηση Α https://youtu.be/sy7jmu

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.. Χωρικοί φορείς.. Στήριξη σωμάτων Για τις ακόλουθες περιπτώσεις (Ασκήσεις Α έως Α9) να ελεγχθεί εποπτικά αν οι έξι δεσμικές ράβδοι στήριξης εξασφαλίζουν την κινηματικά ευσταθή (στερεή) στήριξη του απεικονιζόμενου χωρικού φορέα θεωρούμενου ως στερεό σώμα. Αν όχι, να προταθούν αλλαγές θέσης ή είδους (δρομική στροφική) των δεσμικών ράβδων, έτσι ώστε η στήριξη να καταστεί στερεή. Y Άσκηση Α Άσκηση Α Άσκηση Α7 Άσκηση Α8 Άσκηση Α9 7

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Α Y Η στήριξη είναι χαλαρή: Υπάρχουν δύο συνευθειακές δρομικές δεσμικές ράβδοι (βλ. παράγρ..()) και, επίσης, περισσότερες των τριών δεσμικές ράβδοι που διέρχονται από το ίδιο σημείο (βλ. παράγρ..()). Δεν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα Υ. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Η στήριξη εξακολουθεί να είναι χαλαρή: Μία στροφική δεσμική ράβδος είναι κάθετη στο επίπεδο που σχηματίζουν δύο παράλληλες μεταξύ τους δρομικές δεσμικές ράβδοι (βλ. παράγρ..()). Η στροφή περί τον άξονα Υ παραμένει ελεύθερη. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Στερεή στήριξη. Βιντεοπαρουσίαση της άσκησης στο YouTube: https://youtu.be/rtnseku Σημείωση: Στα παραπάνω και στα ακόλουθα σχήματα, που αφορούν τη στήριξη ενός σώματος στον τρισδιάστατο χώρο, οι δρομικές δεσμικές ράβδοι συμβολίζονται με μικρές αμφιαρθρωτές ράβδους μπλε χρώματος ενώ οι στροφικές δεσμικές ράβδοι με διακεκομμένες μικρές γραμμές κόκκινου χρώματος που καταλήγουν σε μικρό σταυρό. 8

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Α Y Η στήριξη είναι χαλαρή: Περισσότερες από τρεις δρομικές δεσμικές ράβδοι βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (βλ. παράγρ..()). Δεν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα Χ. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Στερεή στήριξη. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Στερεή στήριξη. 9

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Α7 Y Η στήριξη είναι χαλαρή: Μία στροφική δεσμική ράβδος είναι κάθετη στο επίπεδο που σχηματίζουν δύο παράλληλες μεταξύ τους δρομικές δεσμικές ράβδοι (βλ. παράγρ..()). Δεν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα Ζ. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Η στήριξη εξακολουθεί να είναι χαλαρή. Η στροφή περί τον άξονα Ζ παραμένει ελεύθερη. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Στερεή στήριξη. Αλλαγή θέσης και είδους συνδέσμου Στερεή στήριξη.

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Α8 Y Η στήριξη είναι χαλαρή: Περισσότερες από τρεις δρομικές δεσμικές ράβδοι είναι παράλληλες μεταξύ τους (βλ. παράγρ..()). Δεν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα Ζ. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Στερεή στήριξη. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Στερεή στήριξη.

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Α9 Y Η στήριξη είναι χαλαρή: Υπάρχουν περισσότερες από τρεις στροφικές δεσμικές ράβδοι (βλ. παράγρ..(7)). Δεν δεσμεύεται η μετατόπιση κάθετα στους άξονες των δύο δρομικών δεσμικών ράβδων. Αλλαγή θέσης συνδέσμου Αλλαγή θέσης και είδους συνδέσμου Y Στερεή στήριξη.

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.. Στήριξη απλών δοκών στον χώρο Για τις ακόλουθες επτά περιπτώσεις (Ασκήσεις Α έως Α) να ελεγχθεί εποπτικά αν οι έξι δεσμικές ράβδοι (που εδώ συμβολίζονται με απλουστευμένο τρόπο) έχουν τοποθετηθεί έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η κινηματικά ευσταθής (στερεή) στήριξη του γραμμικού φορέα στον χώρο. Α Σ Κ Η Σ Η α/α Y Χωρικός φορέας με απλουστευμένο συμβολισμό των δεσμικών ράβδων στήριξης Η στήριξη του φορέα είναι Παρατηρήσεις (πρόβολος στον χώρο) Στερεή () Στερεή () Χαλαρή: εν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα Χ () Στερεή () Στερεή () Χαλαρή: εν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα () Χαλαρή: εν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα Y (7)

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Παρατηρήσεις:. Οι τρεις μη συνευθειακές δρομικές και οι τρεις μη συνευθειακές στροφικές δεσμικές ράβδοι στο αριστερό άκρο της δοκού δεσμεύουν τους τρεις μεταφορικούς και τους τρεις στροφικούς βαθμούς ελευθερίας αντίστοιχα, τους οποίους διαθέτει η δοκός ως απολύτως στερεό σώμα στο χώρο. Η στήριξη αυτή αντιστοιχεί στην πλήρη πάκτωση του αριστερού άκρου της δοκού, η οποία έτσι καθίσταται πρόβολος στον χώρο.. Οι τρεις δρομικές δεσμικές ράβδοι, και δεσμεύουν τους τρεις μεταφορικούς βαθμούς ελευθερίας της δοκού, δηλαδή τις παράλληλες μεταθέσεις κατά Χ, Υ και Ζ. Η στροφική δεσμική ράβδος δεσμεύει τη στροφή περί τον άξονα Χ. Η δρομική δεσμική ράβδος δεσμεύει (δεδομένης της παγίωσης του αριστερού άκρου) τη στροφή της δοκού περί τον άξονα Υ. Τέλος, η δρομική δεσμική ράβδος δεσμεύει τη στροφή της δοκού περί τον άξονα Ζ, δεδομένης της παγίωσης του αριστερού άκρου.. Εμπίπτει στις περισσότερες των περιπτώσεων της παραγράφου. (βλ. π.χ..() και.()). Η δεσμική ράβδος είναι περιττή, αφού η δεσμική ράβδος δεσμεύει τη μετατόπιση κατά Χ ενώ δεν δεσμεύεται η στροφή περί τον άξονα Χ.. Ισχύει ό,τι και για την άσκηση Α. Το γεγονός ότι ο φορέας δεν είναι μία απλή ευθύγραμμη δοκός δεν μεταβάλλει τη στερεότητα της στήριξής του.. Οι τρεις δρομικές δεσμικές ράβδοι, και δεσμεύουν τις παράλληλες μεταθέσεις κατά Χ, Υ και Ζ. Με δεδομένη την παγίωση του αριστερού άκρου, η δρομική δεσμική ράβδος δεσμεύει τη στροφή του φορέα περί τον άξονα Υ, η δρομική δεσμική ράβδος δεσμεύει τη στροφή του φορέα περί τον άξονα Χ και η δρομική δεσμική ράβδος δεσμεύει τη στροφή του φορέα περί τον άξονα Ζ.. Η στροφική δεσμική ράβδος είναι κάθετη στο επίπεδο που σχηματίζεται από τις δύο παράλληλες δρομικές δεσμικές ράβδους και (βλ. παράγρ..()). Η στροφή περί τον άξονα Ζ παραμένει αδέσμευτη. 7. Τέσσερεις ή περισσότερες δρομικές δεσμικές ράβδοι βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (βλ. παράγρ..()). Η στροφή περί τον άξονα Υ παραμένει αδέσμευτη.

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.. Στήριξη πλαισίων στον χώρο Για τις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις πλαισίων (Ασκήσεις Α7, Α8, Α9), που είναι παράλληλα τοποθετημένα προς το επίπεδο ΧΖ και εδράζονται στο στερεό υπόβαθρο μέσω των απεικονιζόμενων εφεδράνων, ζητούνται: () Να αντικατασταθούν τα εφέδρανα με τις αντίστοιχες δεσμικές ράβδους. () Να ελεγχθεί η κινηματική τους ευστάθεια στον χώρο. () Να ευρεθεί αν η στήριξή τους είναι χαλαρή ή στερεή εντός του επιπέδου ΧΖ και, στη δεύτερη περίπτωση, αν είναι ισοστατική ή υπερστατική. P P P Y Άσκηση 7 Y P P P Y Άσκηση 8 Y P P P Y Άσκηση 9 Y

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Απλοποιημένη συμβολική απεικόνιση στηρίξεων στον χώρο Απλοποιημένη συμβολική απεικόνιση στηρίξεων στο επίπεδο Χ Ζ P P P P P Y 7 Y Στερεή ισοστατική στήριξη (έξι άγνωστες αντιδράσεις στηρίξεων) Στερεή ισοστατική στήριξη (τρεις άγνωστες αντιδράσεις στηρίξεων) P P P P P Y 8 Y Στερεή, μια φορά υπερστατική στήριξη (επτά άγνωστες αντιδράσεις στηρίξεων) Στερεή ισοστατική στήριξη (τρεις άγνωστες αντιδράσεις στηρίξεων) P P P P P Y 9 Y Στερεή, δυο φορές υπερστατική στήριξη (οκτώ άγνωστες αντιδράσεις στηρίξεων) Στερεή, μια φορά υπερστατική στήριξη (τέσσερεις άγνωστες αντιδράσεις στηρίξεων)

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Να ελεγχθεί εποπτικά η κινηματική ευστάθεια των ακόλουθων δύο χωροπλαισίων: Y Άσκηση Y Άσκηση ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Α Θεωρώντας το δεδομένο χωροπλαίσιο ως απολύτως στερεό φορέα διαπιστώνουμε: ότι η στερεή στήριξη απαγορεύει τις μετατοπίσεις του κατά Χ, Υ και Ζ, ότι, επιπλέον, η απλή (κατά Χ) κύλιση απαγορεύει τη στροφή του ως προς τους άξονες Υ και Ζ, και ότι, επιπλέον, η διπλή (κατά Χ και Υ) κύλιση απαγορεύει τη στροφή του ως προς τον άξονα Χ. Συνεπώς, το δεδομένο χωροπλαίσιο εδράζεται στερεά. Άσκηση Α Θεωρώντας το δεδομένο χωροπλαίσιο ως απολύτως στερεό φορέα διαπιστώνουμε: ότι η απλή (κατά Υ) κύλιση απαγορεύει τις μετατοπίσεις του κατά Χ και Ζ, ότι, επιπλέον, η απλή (κατά Χ) κύλιση απαγορεύει τη μετατόπισή του κατά Υ και τη στροφή του ως προς τον άξονα Υ, και ότι, επιπλέον, η απλή (κατά Υ) κύλιση απαγορεύει τη στροφή του ως προς τον άξονα Χ καθώς και σε συνδυασμό με την κύλιση τη στροφή του ως προς τον κατακόρυφο άξονα Ζ. Συνεπώς, το δεδομένο χωροπλαίσιο εδράζεται στερεά. 7

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο. Υπολογιστικός έλεγχος κινηματικής ευστάθειας και υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης γραμμικών φορέων στο επίπεδο και στο χώρο με την αρχή της αποδέσμευσης και τις συνθήκες ισορροπίας (Ομάδα Β).. Επίπεδοι φορείς Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις στήριξης των παρακάτω ισοστατικά εδραζόμενων επίπεδων γραμμικών φορέων, με τη βοήθεια της αρχής της αποδέσμευσης του Lagrange και των συνθηκών ισορροπίας. Η στερεότητα της στήριξης των δεδομένων φορέων να επιβεβαιωθεί με υπολογισμό της ορίζουσας det του μητρώου Α των συντελεστών των αγνώστων αντιδράσεων στις συνθήκες ισορροπίας. B q=kn/m B P =kn. P =kn...... B q=kn/m B P =kn P =kn...... q=kn/m =knm L q=kn/m B. B..... m =knm/m L P=kN. B7... 8

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Β ιάγραμμα ελευθέρου σώματος q=kn/m fl kn/m. q=kn/m. ή απλούστερα kn/m. fl (/) m kn/m=kn... Εξισώσεις ισορροπίας: kn m m kn kn m m m knm Σημ.: Το αρνητικό πρόσημο της ροπής πάκτωσης Μ, η οποία εισήχθη στους υπολογισμούς ως δεξιόστροφη, σημαίνει ότι η πραγματική της φορά είναι αριστερόστροφη. Μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας: Έλεγχος : det φορέας στερεός 9

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Β P =kn P =kn fl ιάγραμμα ελευθέρου σώματος P =kn P =kn.. Εξισώσεις ισορροπίας: P P kn P P kn m P knm Σημ.: Το αρνητικό πρόσημο της ροπής πάκτωσης Μ, η οποία εισήχθη στους υπολογισμούς ως δεξιόστροφη, σημαίνει ότι η πραγματική της φορά είναι αριστερόστροφη. Μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας: P P P Έλεγχος : det φορέας στερεός Άσκηση Β q=kn/m fl ιάγραμμα ελευθέρου σώματος q=kn/m.... Εξισώσεις ισορροπίας: m.m kn m m.m kn m Έλεγχος :.. 7.kN 7.kN. m m. m.m kn m 7. 7.

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Σημ.: Το αρνητικό πρόσημο της αντίδρασης Α Ζ, η οποία εισήχθη στους υπολογισμούς με φορά αντίθετη του άξονα Ζ, δηλαδή προς τα επάνω, σημαίνει ότι η πραγματική της φορά είναι κατά την έννοια του Ζ, δηλαδή προς τα κάτω. Μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας:.. Έλεγχος : det 9 φορέας στερεός Άσκηση Β P =kn P =kn. fl ιάγραμμα ελευθέρου σώματος kn kn...... Εξισώσεις ισορροπίας: m m kn m kn m m kn m kn Έλεγχος : 7 kn kn Μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας: 7 Έλεγχος : det φορέας στερεός

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Β ιάγραμμα ελευθέρου σώματος kn/m knm kn/m knm. fl θ cosθ=.7 sinθ=.8...... knm fl knm P P P.. fl.8..... L Συνισταμένη φορτίου: P Συνιστώσες : P kn m L kn m.m P P kn m m kn.m kn knm Έλεγχος. P P sinθ kn 8 m m m kn m.m kn knm m. P P cosθ kn 7kN 7.kN kn Η μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας και ο έλεγχος της ορίζουσας detα επαφίεται στον αναγνώστη ως μικρή άσκηση.

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Β ιάγραμμα ελευθέρου σώματος kn/m. fl P = m kn/m=kn... Εξισώσεις ισορροπίας: m m kn m m Έλεγχος : P P kn kn kn Σημ.: Εφόσον μας ενδιαφέρουν μόνο οι αντιδράσεις στήριξης, το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης Ρ Ζ μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο της δοκού. Μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας: P Έλεγχος : det 9 φορέας στερεός

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Β7 m L=kNm/m ιάγραμμα ελευθέρου σώματος P=kN.. fl. kn.... Ροπή λόγω μεταφοράς φορτίουρ : Συνισταμένη φορτίου ροπών : Εξισώσεις ισορροπίας: m m kn m Έλεγχος : 8 m m P m kn L m knm m m Μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας: 9 knm knm kn kn 9 Έλεγχος : det φορέας στερεός

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.. Χωρικοί φορείς Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις στήριξης των παρακάτω ισοστατικά εδραζόμενων χωρικών γραμμικών φορέων, με τη βοήθεια της αρχής της αποδέσμευσης του Lagrange και των συνθηκών ισορροπίας. Y. P =kn.. Β8 P =kn Κάτοψη Y.. P.

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο. Y. z y y z P =kn y z. 8.. Β9 P=kN Κάτοψη. Y. y y P =kn y. 8..

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Β8 Y. P =kn.. fl P =kn Y Y Εξισώσεις ισορροπίας: m Y m Y m m Y Y Y Y kn kn kn Y 7

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Β9. Y.. P =kn 8. fl.. P =kn.. Y Y 8.. Εξισώσεις ισορροπίας: 8m 8m Y 8m m Y 8m m m Y Y kn Y P Y 8 8 kn P Y kn 8

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο. Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας και διαπίστωση του βαθμού υπερστατικότητας σύνθετων γραμμικών φορέων με τις μεθόδους της σταδιακής οικoδόμησης και της σταδιακής αποδόμησης (Ομάδα Γ).. Επίπεδοι φορείς Να προσδιοριστεί ο βαθμός στερεότητας (χαλαρότητας, υπερστατικότητας) των ακόλουθων επίπεδων γραμμικών φορέων Γ έως Γ, με τις μεθόδους της σταδιακής οικοδόμησης ή/και της σταδιακής αποδόμησης. Γ Γ Γ Γ Γ Γ 9

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Γ7 Γ8 Γ9 Γ Γ Γ Γ

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Γ Γ Γ Ο δεδομένος φορέας αποτελεί απλοποιημένο προσομοίωμα ενός δομικού υποσυστήματος της απεικονιζόμενης γέφυρας:

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Γ7 Γ8 Γ9 Ο δεδομένος φορέας αποτελεί απλοποιημένο προσομοίωμα ενός τμήματος της απεικονιζόμενης γέφυρας:

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Γ Γ Γ Γ

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Γ Ο δεδομένος φορέας αποτελεί απλοποιημένο προσομοίωμα για την απεικονιζόμενη γέφυρα: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ Α: (δικτύωμα) (με αρθρώσεις σε όλους τους κόμβους) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ Β: Γ (με συνεχές άνω και κάτω πέλμα) Οι δεδομένοι φορείς αποτελούν εναλλακτικά απλοποιημένα προσομοιώματα για την απεικονιζόμενη γέφυρα:

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Γ Ο δεδομένος φορέας αποτελεί απλοποιημένο επίπεδο προσομοίωμα της απεικονιζόμενης γέφυρας:

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας προκύπτει με προσάρτηση της στερεής ισοστατικής αμφιέρειστης δοκού '' στον στερεό ισοστατικό φορέα ' (βλ. Σχ..(Α)) και, επομένως, είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). ισοστατικός (βλ. Σχ..()) '' ' ισοστατικός (βλ. Σχ..(Α)) N= (ισοστατικός) Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας προκύπτει με προσάρτηση του χαλαρού σχηματισμού '' (τρεις αρθρώσεις σε μία ευθεία) στον δύο φορές υπερστατικό φορέα ' (πρόβολος με επιπλέον σταθερή στήριξη στο σημείο ), και, επομένως, χαρακτηρίζεται συνολικά ως χαλαρός, αφού ως δομικός φορέας είναι άχρηστος. '' ' χαλαρός (Ν= ) υπερστατικός (Ν=) στερεό τμήμα χαλαρό τμήμα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας προκύπτει με διαδοχική προσάρτηση στη στερεή ισοστατική αμφιέρειστη δοκό ''' των τεσσάρων αμφιέρειστων ισοστατικών τμημάτων '' (Βήμα Α), ''7' (Βήμα Β), 7''89' (Βήμα Γ) και 9'' (Βήμα Δ). Κατά συνέπεια, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). ισοστατικός 9'' ισοστατικός 7'' 8 9' ισοστατικός ' ισοστατικός '' 7' '' ' Βήμα Α: ισοστατικός ισοστατικός 7'' 8 ισοστατικός 9'' 9' ισοστατικός '' 7' ' Βήμα B: ισοστατικός ισοστατικός 7'' 8 ισοστατικός 9'' 9' 7' Βήμα Γ: ισοστατικός ισοστατικός 9'' 7 8 9' Βήμα : ισοστατικός N= (ισοστατικός) 7 8 9 7

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Γ Ο ελεύθερος (αποσπασμένος από τις στηρίξεις του) φορέας είναι ένας εσωτερικά ισοστατικός δίσκος, αφού συντίθεται από τον αρχικό τριγωνικό ραβδοδίσκο '' με μονοπροέχουσα τη ράβδο ', στον οποίο προσαρτάται το τριαρθρωτό τμήμα '''' με μονοπροέχουσα τη ράβδο ''. Ο ελεύθερος αυτός φορέας εδράζεται ισοστατικά στα σημεία και και, επομένως, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). αρχικός δίσκος ' '' ' '' τριαρθρωτό τμήμα ισοστατικός δίσκος ισοστατική έδραση N= (ισοστατικός) Άσκηση Γ Ο ελεύθερος (αποσπασμένος από τις στηρίξεις του) φορέας είναι ένας εσωτερικά ισοστατικός δίσκος, αφού συντίθεται από έναν στερεό αρχικό δίσκο στον οποίο προσαρτώνται διαδοχικά δύο τριαρθρωτά τμήματα. Ο ελεύθερος αυτός φορέας εδράζεται ισοστατικά και, επομένως, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). αρχικός δίσκος N= (ισοστατικός) τριαρθρωτό τμήμα fl ισοστατική έδραση fl τριαρθρωτό τμήμα ισοστατικός δίσκος 8

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας προκύπτει με διαδοχική προσάρτηση σε έναν στερεό δίσκο (αμφιέρειστη ισοστατική δοκό) έξι τριαρθρωτών τμημάτων και δύο αμφιέρειστων δοκών, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Κατά συνέπεια, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). τριαρθρωτό τμήμα αρχικός ισοστατικός δίσκος (Ν =) τριαρθρωτό τμήμα (Ν =) Προσάρτηση δυο τριαρθρωτών τμημάτων τριαρθρωτό τμήμα ιατηρείται η ισοστατικότητα τριαρθρωτό τμήμα (Ν =) τριαρθρωτό τμήμα Προσάρτηση δυο τριαρθρωτών τμημάτων (Ν =) ιατηρείται η ισοστατικότητα τριαρθρωτό τμήμα ισοστατικό τμήμα Προσάρτηση δυο τριαρθρωτών τμημάτων (Ν =) ιατηρείται η ισοστατικότητα ισοστατικό τμήμα Προσάρτηση δυο ισοστατικών τμημάτων N= (ισοστατικός) ιατηρείται η ισοστατικότητα Βιντεοπαρουσίαση της άσκησης αυτής στο YouTube: https://youtu.be/_yvbbr 9

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Γ7 Ο δεδομένος φορέας προκύπτει με διαδοχική προσάρτηση σε έναν στερεό δίσκο (κατακόρυφος πρόβολος) τριών τριαρθρωτών τμημάτων, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Κατά συνέπεια, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). αρχικός ισοστατικός φορέας (Ν =) (βλ. Σχ..()) ª (Ν =) Προσάρτηση τριαρθρωτού τμήματος δεξιά ιατηρείται η ισοστατικότητα (Ν =) ª Προσάρτηση τριαρθρωτού τμήματος αριστερά ιατηρείται η ισοστατικότητα ª Προσάρτηση τριαρθρωτού τμήματος επάνω ιατηρείται η ισοστατικότητα N= (ισοστατικός)

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Γ8 Ο δεδομένος φορέας συντίθεται από έναν εσωτερικά μία φορά υπερστατικό και, άρα, στερεό δίσκο που στηρίζεται στο στερεό υπόβαθρο μέσω τριών ράβδων. Οι άξονες των τριών αυτών ράβδων τέμνονται στο ίδιο σημείο και, συνεπώς, η στήριξη είναι χαλαρή. Επομένως, ο δεδομένος φορέας χαρακτηρίζεται συνολικά ως χαλαρός, αφού ως δομικός φορέας είναι άχρηστος. Αρχικός εσωτερικός στερεός δίσκος (εσωτερικά μια φορά υπερστατικός, διότι έχει μια άρθρωση λιγότερη έναντι των εσωτερικά ισοστατικών τριαρθρωτών σχηματισμών) Ω δίσκος ª Συνεπώς ο φορέας είναι συνολικά χαλαρός. Στήριξη με τρεις ράβδους με άξονες που τέμνονται στο ίδιο σημείο Χαλαρή στήριξη (Ν= ) (σύγκρ. Άσκηση Α) Άσκηση Γ9 ª δίσκος Στερεή στήριξη (Ν=) Ο φορέας αυτός προέκυψε από τον φορέα της προηγούμενης Άσκησης Γ8 αλλάζοντας την κλίση μίας από τις τρεις ράβδους στήριξης, έτσι ώστε οι άξονες τους να μην τέμνονται στο ίδιο σημείο. Με τον τρόπο αυτόν η στήριξη του φορέα καθίσταται στερεή. Επομένως, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και εσωτερικά μία φορά υπερστατικός (Ν=).

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας συντίθεται από έναν αρχικό ισοστατικό και άρα στερεό φορέα ' (βλ. Σχ..(Β)), στον οποίο προσαρτάται ένα «γενικευμένο» τριαρθρωτό τμήμα αποτελούμενο από τη «γενικευμένη» ράβδο ''7, που συνιστά έναν εσωτερικά ισοστατικό δίσκο με αμφιπροέχουσα και τεθλασμένη τη δοκό 7, και την κανονική ράβδο 7. Επομένως, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). ' αρχικός φορέας ' ισοστατικός (Ν =) (βλ. Σχ..(Β)) ισοστατικός δίσκος 7 '' Τριαρθρωτό τμήμα '' του φορέα που αποτελεί εσωτερικά ισοστατικό δίσκο (Ν =) με προεκτάσεις και 7 της ράβδου. δ Ο τριαρθρωτός αυτός δίσκος μπορεί να νοηθεί ως "γενικευμένη" ράβδος ''7 που μαζί με τη ράβδο 7 προσαρτάται στον αρχικό φορέα '. 7 '' fl Ν= (ισοστατικός) δίσκος Α ("γενικευμένη" ράβδος) '' ª 7 ' Άσκηση Γ Ο φορέας αποτελείται (α) από έναν ορθογωνικό σχηματισμό αμφιαρθρωτά συνδεδεμένων δοκών, ο οποίος εδράζεται μεν ισοστατικά, αλλά είναι εσωτερικά μία φορά χαλαρός (βλ. Σχ..) και (β) από το αμφιαρθρωτό στοιχείο. Λόγω του ότι το προστεθέν στοιχείο συνδέει δύο σημεία του φορέα, των οποίων η απόσταση δεν μεταβάλλεται κατά τη δυνατή μετακίνηση του χαλαρού αρχικού σχηματισμού, ο δεδομένος φορέας είναι χαλαρός (Ν= ).

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο αρχικός φορέας χαλαρός (Ν = ) (βλ. Σχ..) Ν= (χαλαρός) Βιντεοπαρουσίαση της άσκησης αυτής στο YouTube: https://youtu.be/nzdrubus Άσκηση Γ Τα τμήματα ' και ''8 αποτελούν ισοστατικούς δίσκους (δίσκος Α και Β): δίσκος Α δίσκος B 8 '' ' Οι δίσκοι Α και Β συνδέονται μέσω μιας αξονικής άρθρωσης στο σημείο και εδράζονται σταθερά στα σημεία και : δίσκος Α δίσκος B (Ν =) Ο παραπάνω σχηματισμός είναι στερεός και ισοστατικός (βλ. Σχ..(Β)). Σ αυτόν προστίθεται το ισοστατικό τμήμα 78:

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 7 (Ν =) 8 (βλ. Σχ..(Β)) 7 Ν= 8 Συνεπώς, ο σύνθετος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας συντίθεται από δυο επάλληλα τριαρθρωτά τμήματα. Αρχικός φορέας: Τριαρθρωτό πλαίσιο με προεκτάσεις (προβόλους) fl Ν =: Στον παραπάνω αρχικό φορέα προσαρτάται ένα τριαρθρωτό πλαίσιο fl Ν =: fl Ν= Συνεπώς ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=).

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας αποτελεί τριαρθρωτό πλαίσιο που σχηματίζεται από δυο εσωτερικά ισοστατικούς δίσκους Α και Β. Επομένως, είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=). ίσκος Α ισοστατικός (Ν Α=) ίσκος Β ισοστατικός (Ν Β=) Ν= Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας αποτελείται από ένα κεντρικό τριαρθρωτό πλαίσιο, που συνίσταται από τους δυο επιμέρους εσωτερικά ισοστατικούς δίσκους Α και Β, σε κάθε πλευρά του οποίου προσαρτάται ένα τριαρθρωτό τμήμα αποτελούμενο από μία αμφιαρθρωτή δοκό (Γ, Γ') και έναν εσωτερικά ισοστατικό δίσκο (Δ, Δ'). ίσκος Α ίσκος B ισοστατικός (Ν Α=) ισοστατικός (Ν B=) fl κεντρικό τριαρθρωτό πλαίσιο ισοστατικό (Ν =) ίσκος ισοστατικός (Ν =) ίσκος Γ ισοστατικός (Ν =) Γ ίσκος Γ' ισοστατικός (Ν =) Γ' ίσκος ' ισοστατικός (Ν =) ' Ν= Συνεπώς, ο δεδομένος σύνθετος φορέας είναι στερεός και ισοστατικός (Ν=).

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Γ Ο δεδομένος φορέας αποτελεί απλοποιημένο προσομοιώμα ενός δομικού υποσυστήματος μιας γέφυρας (Βλ. εκφώνηση, σελ. Γ). Ο φορέας οικοδομείται σταδιακά ως εξής: Αρχικός φορέας είναι μια αμφιέρειστη ισοστατική δοκός (Ν =). Γ E Στον αρχικό αυτόν φορέα προσαρτώνται διαδοχικά τα τριαρθρωτά τμήματα Α, Β, Γ, Δ και Ε. Έτσι, ο προκύπτων φορέας εξακολουθεί να είναι στερεός και ισοστατικός (Ν =): Α Β H Θ Ι Κ Σ αυτόν προστίθενται τώρα διαδοχικά, προκειμένου να οικοδομηθεί ο δεδομένος φορέας, η ράβδος Ζ, η ράβδος Η, η ράβδος Θ, η ράβδος Ι και η ράβδος Κ, δηλαδή συνολικά πέντε πρόσθετοι σύνδεσμοι. Αυτό συνεπάγεται ότι ο δεδομένος ισοστατικά εδραζόμενος φορέας είναι πέντε φορές εσωτερικά υπερστατικός (Ν=).

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Γ7 Στο αρχικό ισοστατικό τριαρθρωτό πλαίσιο (Ν =) προσαρτώνται οι δίσκοι Α και Α' (Βήμα Α) που αντιστοιχούν σε έναν πρόσθετο σύνδεσμο ο καθένας (είναι μια φορά υπερστατικοί), οπότε ο έτσι διευρυμένος φορέας είναι δύο φορές υπερστατικός (Ν =). Οι προσαρτήσεις των ισοστατικών δίσκων Β και Β' (αμφιέρειστες δοκοί) κατά το Βήμα Β δεν αυξάνουν περαιτέρω την υπερστατικότητα. Συνεπώς, ο δεδομένος φορέας είναι στερεός και δύο φορές υπερστατικός (Ν=). ισοστατικό ισοστατικό προσάρτημα Β (Ν Β =) προσάρτημα Β' (Ν Β' =) δίσκος Α (Ν Α =) δίσκος Α' (Ν Α' =) αρχικό τριαρθρωτό πλαίσιο (Ν =) Βήμα Α: (Ν =) Βήμα Β: Ν= 7