ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Τα κυκλώματα που θεωρούμε εδώ είναι γραμμικά και επομένως η δυναμική τους λειτουργία περιγράφεται από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Οι λύσεις των εξισώσεων μας δίνουν τη χρονική απόκριση των κυκλωμάτων σε συγκεκριμένες διεγέρσεις Η εξέταση των κυκλωμάτων στο πεδίο της συχνότητας αποτελεί την αρμονική απόκρισή τους και συμπληρώνει τις γνώσεις μας για τη συμπεριφορά τους

Κυκλώματα διαφόρισης Δικτύωμα διαφόρισης Για τη λήψη λεπτών αιχμών από τετραγωνικούς παλμούς Υψηπερατό φίλτρο Κόβει τις χαμηλές συχνότητες Δικτύωμα προήγησης φάσης Εξέταση συμπεριφοράς για βηματική είσοδο Διαφορική εξίσωση που διέπει τη λειτουργία του du d( ui uo) u0 = Ri = = d d du o uo d + = du d i

Απόκριση σε βηματική είσοδο Βηματική είσοδος 0, 0 du ui () = Άρα i = 0 K, > 0 d για > 0 Η διαφορική εξίσωση γίνεται duo + uo d = 0 Θέτωντας u o =Ae ρ βρίσκουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση 1 ρ + 1= 0 ρ = Συνεπώς uo = Ae Η τιμή της σταθεράς Α προσδιορίζεται από τις αρχικές συνθήκες Έχουμε u o ()=u i ()-u () και επειδή u (0 + )=0 θα έχουμε u o (0 + )=u i (0 + )=K Επίσης u o (0 + )=Α

Απόκριση σε βηματική είσοδο Έξοδος uo = Ke Γινόμενο : σταθερά χρόνου Απόκριση κυκλώματος Για =T K K uo ( T) = = 0,37K e 2,71 Η σταθερά χρόνου ισούται με το χρόνο που παρέρχεται για να Κατέβει το σήμα στα 37% της αρχικής τιμής

Απόκριση κυκλώματος διαφόρισης Αν διαφορίσουμε τετραγωνικούς παλμούς ιδανικά παίρνουμε κρουστικούς παλμούς απείρου ύψους και μηδενικής διάρκειας Πραγματική απόκριση του κυκλώματος Όσο η σταθερά χρόνου γίνεται μικρότερη τόσο πλησιάζουμε την ιδανική περίπτωση Το ύψος παραμένει πάντα ίσο με Κ

Απόκριση σε συνημιτονική είσοδο Για συνημιτονικό σήμα εισόδου ui = Vmos ω, 0 Η διαφορική εξίσωση γίνεται duo + uo = ωvmsinω d Η λύση της αποτελείται από δύο μέρη: τη λύση της ομογενούς και μιας μερικής λύσης, οπότε: uo = uo 1+ uo2 = Ae + B os( ω + ϕ) Ο πρώτος όρος φθίνει με το χρόνο και αποτελεί τη μεταβατική απόκριση Ο δεύτερος όρος οφείλεται στην είσοδο και αποτελεί τη μόνιμη απόκριση

Απόκριση σε συνημιτονική είσοδο Για το προσδιορισμό των σταθερών Β και φ θέτουμε τη μερική λύση στη διαφορική εξίσωση Για ω=0 προκύπτει Για ω=π/2 προκύπτει ( ) ( ) Bωsin ω + ϕ + B os ω + ϕ = ωv sinω B = R ωsinϕ+ osϕ = 0 ϕ = an RV m 2 1 + Cω ( ) B ωosϕ+ sinϕ = Vm ω u i (0)=V m και καθώς u (0)=0 έχουμε u o (0)=V m και άρα: Vm = A+ Bosϕ A= 1 + 2 V m ( ω) 2 m 1 1 ω

Απόκριση σε συνημιτονική είσοδο Τελικά V m VR m uo ( ) = e + os + 2 2 1+ ( ω) 2 1 R + Cω ( ω ϕ)

Απόκριση σε συνημιτονική είσοδο Τελικά V m VR m uo ( ) = e + os + 2 2 1+ ( ω) 2 1 R + Cω ( ω ϕ) Προήγηση φάσης

Κύκλωμα ολοκλήρωσης Δικτύωμα ολοκλήρωσης Χαμηλοπερατό φίλτρο Δικτύωμα καθυστέρησης φάσης Ισχύει Ri + u = u και η διαφορική εξίσωση γίνεται Απόκριση σε βηματική είσοδο Έχουμε ήδη δείξει ότι: Συνεπώς o i u = u u = K Ke C i R ur uo = K 1 e = Ke du o + uo = ui d που αποτελεί την έξοδο

Απόκριση σε βηματική είσοδο Έχουμε 0 i 0 u d = Kd = K u Προσεγγιστικά για << προκύπτει o e u o 1 οπότε 1 uo = u, 0 id για << Γι αυτό αναφέρεται ως κύκλωμα ολοκλήρωσης

Απόκριση σε συνημιτονική είσοδο Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι σε είσοδο έχουμε έξοδο u = V os ω, 0 i m Vm V m uo ( ) = e + Cω os 2 ( ω+ ϕ) 2 1+ ( ω) 2 1 R + Cω ϕ = an 1 ω Επειδή η γωνία έχει αρνητική τιμή το κύκλωμα χαρακτηρίζεται ως καθυστέρησης φάσης

Η συχνοτική συνάρτηση μεταφοράς Όταν ένα γραμμικό κύκλωμα διεγείρεται από ημιτονικό σήμα, μετά το μεταβατικό φαινόμενο, το σήμα στην έξοδο γίνεται ημιτονικό της ίδιας συχνότητας. Το σήμα στην έξοδο διαφέρει κατά πλάτος και φάση Το πλάτος του σήματος εξόδου ισούται με το πλάτος του σήματος εισόδου πολλαπλασιασμένου με το μέτρο της συχνοτικής συνάρτησης μεταφοράς του κυκλώματος Η συχνοτική συνάρτηση μεταφοράς ενός κυκλώματος είναι μια μιγαδική συνάρτηση της οποίας το μέτρο ισούται με το λόγο των πλατών των σημάτων εξόδου-εισόδου και το όρισμά του με τη διαφορά φάσεις των σημάτων εισόδου-εξόδου

Συχνοτικά διαγράμματα Το πλάτος και το όρισμα της συχνοτικής συνάρτησης μεταφοράς ενός δικτυώματος είναι συναρτήσεις της κυκλικής συχνότητας ω Για απεικόνιση μεγεθών με ευρεία περιοχή μεταβολής, πχ. 100:1 και άνω, χρησιμοποιούνται λογάριθμοι Σε μονάδες deibel μετράμε μια τάση V 2 σε σχέση με την τάση αναφοράς V 1, παίρνοντας 20 φορές το δεκαδικό λογάριθμο του λόγου V 1 /V 2 2 A = 20log V Πχ. για V V 2 =1000 V 1, Α=60dB Δεκάδα συχνότητας, πχ. μία δεκάδα: 2 =10 1 Οκτάβα συχνότητας, πχ. δυο οκτάβες 2 =4 1 1

Διάγραμμα Bode του βαθυπερατού φίλτρου Συχνοτική συνάρτηση μεταφοράς 1 1 G( jω) = = 1+ jω 1+ jωt Όπου T= και θέτωντας T=1/ω έχουμε 1 1 G( jω) = = ω 1 j 1 j ω + + ω=2π, και η συχνότητα αποκοπής Μέτρο της συχνοτικής συνάρτησης μεταφοράς G( j ) = 1 1+ 2 1 G( j ) = = 0,707 2

Διάγραμμα Bode του βαθυπερατού φίλτρου Στη συχνότητα αποκοπής το μέτρο μειώνεται στο 70,7% της μέγιστης τιμής Η απεικόνιση του μέτρου γίνεται καλύτερα σε λογαριθμικό διάγραμμα Στη συχνότητα αποκοπής το μέτρο μειώνεται κατά 3dB Προσέγγιση με ευθείες

Προσέγγιση του πλάτους Από τις μαθηματικές εκφράσεις του μέτρου έχουμε 1 A = 20 log G = 20 log 0 DdB, για << 2 1+ 1 A= 20 log G = 20 log 20 log = 20 x, για >> 2 1+ x = log Η κλίση της ευθείας είναι -20dB/δεκάδα

Προσέγγιση της φάσης Για το όρισμα της συνάρτησης G έχουμε ϕ = = + = 1 G 1 j an Προσεγγίζεται με τρία ευθύγραμμα τμήματα (ΑΒΓΔ)

Διάγραμμα Bode του υψηπερατού φίλτρου Συχνοτική συνάρτηση μεταφοράς G( jω) j j ω = = 1+ jω 1+ j ω=2π, και =1/ η συχνότητα αποκοπής

Προσέγγιση του πλάτους A= 20log G = 20log 20log 1+ j Το διάγραμμα Bode προκύπτει ως συνδυασμός