ΜΕΡΟΣ Γ! 1η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων

ΜΕΡΟΣ Γ 1η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων Ένας τροχός, µάζας m η οποία θεωρείται συγ κεντωµενη στην περιφέρειά του, περιστρέφεται περί οριζόντιο άξονα ασήµαντης µάζας, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Tα έδρανα A και Β του άξονα περισ τροφής είναι στερεωµένα σε δύο αντιδιαµετρικά σηµεία ενός λεπτού µεταλλικού ηµικυκλικού πλαισίου, το οποίο περιστρέφεται περί σταθερό κατακόρυφο άξονα, που διέρχεται από το κέντρο του και ανήκει στο επίπεδό του (βλέπε σχήµα). Eάν η γωνιακή ταχύ τητα ω τ περιστροφής του τροχού περί τον άξονα του, είναι πολύ µεγαλύτερη της γωνιακής ταχύτητας ω π περιστροφής του πλαισίου και η απόσταση των εδράνων στηρίξης του τροχού είναι α, να βρε θούν οι αντιδράσεις των εδράνων. Δίνεται η ακτίνα R του τροχού και η επιτάχυν ση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Κατά την µεταπτωτική κίνηση του άξονα του τροχού το κέντρο µάζας του µένει ακίνητο στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους και το γεγονός αυτό σηµαίνει ότι οι αντιδράσεις των εδράνων στήριξης του άξονα του τρο χού είναι κατακόρυφες, Ας δεχθούµε προς στιγµή ότι το σύστηµα είναι εκτός πεδίου βαρύτητας, αφού άλωστε το βάρος του τροχού δεν επηρεάζει το γυροσκοπικό φαινόµενο καθόσον η ροπή του περί το κέντρο του τροχού είναι µηδενική. Για λόγους συµµετρίας τα µέτρα των αντιδράσεων στα έδρα να στήριξης είναι ίσα και επίπλέον οι κατευθύσεις τους είναι αντίθετες,

ώστε να αποτελούν ζεύγος δυνάµεων, του οποίου η ροπή τ να προκαλεί την µεταπτωτική κίνηση του άξονα περιστροφής του τροχού. Εξάλλου η γωνια κή ταχύτητα περιστροφής του πλαισίου αποτελεί την γωνιακή ταχύτητα µετάπτωσης, της οποίας το µέτρο δίνεται από τη σχέση: = # I # = F$ F = mr # mr # $ όπου I η ροπή αδράνειας του τροχου ως προς τον άξονα περιστροφής ίση µε mr και F το κοινό µέτρο των αντιδράσεων στα έδρανα στήριξης. Έαν τώρα λάβουµε υπ όψη µας και το βάρος w του τροχού οι αντιδράσεις στήριξης θα έχουν µέτρα και F που δίνονται από τις σχέσεις: = F + w/ F = F - w/ # = m(r # /$ + g/ % & F = m R # /$ - g/ ' Μια ηλεκτροκίνητη άµαξα κινείται επί οριζόν τιας κυκλικής τροχιάς ακτίνας R, µε ταχύτητα µέτρου v. Λόγω της γυροσκοπικής δράσεως ενός ζεύγους κινητήριων τροχών της άµα ξας προκύπτει αύξηση της πιεστικής δύναµης επί της εξωτερικής σιδηροτροχιάς και αντίστοιχη µείωση επί της εσωτερικής. Εάν I είναι η ροπή αδράνειας του ζεύγους των τροχών ως προς τον άξονα περιστροφής τους, r η ακτίνα κάθε τροχού και L η απόσταση των κέντρων τους, να υπολογιστεί η διαφορά των πιεστικών δυνάµεων στις επαφές των τροχών µε τις σιδηροτροχιές. ΛΥΣΗ: Κατά την κίνηση της άµαξας ο άξονας περιστροφής του ζεύγους των κινητήριων τροχών της εκτελεί οριζόντια µεταπτωτική κίνηση µε γωνι ακή ταχύτητα µεταπτώσεως µ, η οποία διευθύνεται κατακόρυφα όπως φαί νεται στα σχήµατα (α) και (β), το δε µέτρο της δίνεται από τη σχέση: v = µ R µ = v / R Σχήµα α. Σχήµα β. Επειδή οι τροχοί της άµαξας κυλίονται επί των σιδηροτροχιών, η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής περί τον οριζόντιο άξονά τους θα ικανοποιεί τη σχέση:

v = r = v/r () Eάν δεχθούµε ότι R>>r τότε θα ισχύει Ω>>ω µ, που σηµαίνει ότι η µεταπ τωτική κίνηση του άξονα των τροχών προκαλείται από συνολική ροπή περί το κέντρο µάζας τους C, η οποία έχει οριζόντια κατεύθυνση όπως δηλώ νεται στο σχήµα (β), το δε µέτρο της δίνεται από τη σχέση:,() = I# µ = Iv Rr Eξάλλου η ροπή είναι η συνισταµένη των ροπών περί το C των πιεστικών δυνάµεων F 1, F που δέχονται οι τροχοί από τις σιδηροτροχιές και των βαρών m g των δύο τροχών, δηλαδή ισχύει η σχέση: = L ( - mg) - L (F - mg) = L ( - (F ) (3) (3) L ( - F ) = Iv Rr - F = Iv LRr όπου η F 1 αντιστοιχεί στον εξωτερικό τροχό και η F στον εσωτερικό. Θεωρούµε ένα κυκλικό δίσκο, µάζας m και ακτίνας R, ο οποίος µπορεί να στρέφεται περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Tα έδρανα του άξονα στηρίζονται σε λεπτό δακτύλιο Δ αµελητέας µάζας, ο οποίος είναι στερεωµένος στο ένα άκρο λεπτής ράβδου αµελητέας µάζας, ενώ το άλλο του άκρο A αρθρώνεται, ώστε η ράβδος να µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο και κατακόρυφο άξονα. Δίνουµε µε κατάλληλο τρόπο στον δίσκο γωνιακή ταχύτητα, οπότε παρατηρούµε ότι η ράβδος που συγκρατεί τον δακτύλιο Δ εκτελεί περιστροφική κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο, µε περίοδο T. i) Nα βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου. ii) Nα βρεθεί η δύναµη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση A. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, η απόσταση α του κέντρου του δίσκου από την άρθρωση A και ότι, η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I=mR /. ΛYΣH: i) O άξονας περιστροφής του κυκλικού δίσκου, υπό την επίδραση της ροπής του βάρους του m g και λόγω της αρχικής περιστροφικής κίνησης που δόθηκε στο δίσκο, εκτελεί µετάπτωση, στρεφόµενος σε οριζόν τιο επίπεδο, έτσι ώστε η στροφορµή L του δίσκου, η ροπή και η γωνιακή ταχύτητα µεταπτωσεως µ να ικανοποιούν τη διανυσµατική σχέση:

= ( µ # L ) Όµως κάθε στιγµή τα διανύσµατα µ και L είναι µεταξύ τους κάθετα, οπότε τα µέτρα των διανυσµάτων της θα συνδέονται µε τη σχέση: = µ L mgl = I /T mgl = mr /T =TgL/R () όπου ω το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του δίσκου. ii) Kατά την µεταπτωτική κίνηση του άξονα περιστροφής του δίσκου, το κέντρο µάζας του O εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο, µε κέντρο το A και ακτίνα α και µε γωνιακή ταχύτητα ίση προς µ. Eξάλλου, το σύστηµα δίσκος-δακτύλιος-ράβδος δέχεται το βάρος w του δίσκου και τη δύναµη F από την άρθρωση, η οποία αναλύεται σε δύο συνιστώσες, την κατακόρυφη συνιστώσα F και την οριζόντια συνιστώσα F κατά τη διεύ θυνση της ράβδου. Aνάγοντας τις δυνάµεις F και F στο κέντρο µάζας O του δίσκου παρατηρούµε ότι, η F εξουδετερώνει το βάρος του δίσκου, αφού το κέντρο µάζας του δεν έχει κατακόρυφη κίνηση, ενώ η F αποτελεί την απαραίτητη κεντροµόλο δύναµη που εξασφαλίζει την οµαλή κυκλική κίνηση του κέντρου µάζας. Έτσι θα ισχύουν οι σχέσεις: και F ψ = w F ψ = mg (3) F = mω µ L F = 4 ml/ T (4) Άρα το µέτρο της δύναµης F θα είναι: F = F + F (3),(4) F = (mg) + (4 ml/ T ) F = m [g + (4 L/ T ) ] = m g + (4 L/ T )

Μια αµαξοστοιχία κινείται σε τόπο γεωγραφι κού πλάτους φ κατευθυνόµενη προς βορρά µε σταθερή ταχύτητα v. Λόγω της περιστροφής της Γής προκύπτει γυροσκοπικό φαινόµενο σε ένα ζεύγος κινητήριων τροχών της αµαξοστοιχίας, οι οποίοι κυλίονται πάνω στις ράγες µε αποτέλεσµα να συµβαίνει αυξηση της πιεστικής δύναµης επί της µιας ράγας και ελάττωση της πιεστι κής δύναµης επί της άλλης. Εάν R είναι η ακτίνα των κινητήριων τροχών και α η απόσταση ανάµεσα στις ράγες, να δείξετε ο λόγος των µέτρων των πιεστικών δυνάµεων στις δύο ράγες ικανοποιεί τη σχέση: F 1 + 4Rv#µ$ g%t όπου Τ η περίοδος περιστροφής της Γης, ίση µε 4 h. Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mR / κάθε τροχού ως προς τον άξονα περιστρο φής του, όπου m η µάζα του τροχού. ΛΥΣΗ: Στη θέση όπου κινείται η αµαξοστοιχία ο άξονας περιστροφής του κινητήριου ζεύγους τροχών υποβάλλεται σε µεταπτωτική κίνηση αφ ένος λόγω της περιστροφής της Γης αφ ετέρου λόγω της περιστροφής των κινη τήριων τροχών περί τον οριζόντιο άξονα περιστροφής, που θεωρείται κάθε τος στίς ράγες. Η γωνιακή ταχύτητα µετάπτωσης του άξονα είναι ίση µε την κατακόρυφη συνιστώσα της γωνιακής ταχύτητας της Γης περι τον άξο νά της ΝS, στον τόπο που κινείται η αµαξοστοιχία (σχήµα ) και µπορεί µε καλή προσέγγιση να θεωρηθέι πολύ µικρή σε σχέση µε την γωνιακή ταχύ Σχήµα Σχήµα () τητα περιστροφής των τροχών περί τον άξονά τους, αφού η περίοδος περι στροφής της Γης είναι σχετικά σηµαντική. Το γεγονός αυτό µας επιτ ρέπει να ισχυριστούµε ότι η ροπή περί το κέντρο µάζας του συστήµατος των τροχών η οφειλόµενη στις δυνάµεις από τις ράγες είναι οριζόντια, που σηµαίνει ότι οι δυνάµεις αυτές είναι κατακόρυφες, δηλαδή είναι πιεστικές δυνάµεις αφου διευθύνονται κάθετα προς τις ράγες. Αν προς στιγµή αγνοή σουµε το πεδίο βαρύτητας της Γης οι δυνάµεις αυτές για λόγους συµµετρίας είναι µεταξύ τους ίσες, δηλαδή έχουν το ίδιο µέτρο F και απεικονίζονται στο σχήµα. Για το µέτρο της ροπής ισχύει η σχέση:

= I = I # $µ% όπου Ι η ροπή αδράνειας του συστήµατος των δύο τροχών ως προς τον οριζόντιο άξονα περιστροφής τους. Όµως για την Ι ισχύει: I = mr / = mr ενώ λόγω της κύλισης των τροχών πάνω στις ράγες µπορούµε να γράψουµε τη σχέση v=ω τ R, οπότε η παίρνει την µορφή: = mr (v/r) #µ$ F = mrv( /T)#µ$ F = mrvµ# /$T () Eάν τώρα λάβουµε υπ όψη µας το πεδίο βαρύτητας της Γης, οι πιεστικές δυνάµεις επί των τροχών θα έχουν µέτρα, F που δίνονται από τις σχέ σεις: = mg + F F = mg - F # F = mg + F mg - F F = mg - F + F mg - F = mg - F mg - F + F mg - F (3) Επειδή η περίοδος Τ είναι σχετικά µεγάλη µπορούµε µε βάση την σχέση () να δεχθούµε την προσέγγιση mg-f mg, οπότε η (3) παίρνει την µορφή: F 1 + F mg () F 1 + 4mRv#µ$ mg%t F 1 + 4Rv#µ$ g%t Λεπτός δίσκος µάζας m και ακτίνας R µπορεί να στρέφεται περί άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του και διέρχεται από το κέντρο του. Ο άξονας περιστροφής είναι µια λεπτή αβαρής ράβδος µήκους L, της οποίας το ένα άκρο βρίσκεται στο κέντρο του δίσκου, ενώ το άλλο της άκρο συνδέεται µε αβαρές νήµα που δένεται σε σταθερό σηµείο Ο. Με κατάλληλο τρόπο αναγκάζουµε το δίσκο να στρέφεται περί τον άξονά του µε τέτοια γωνιακή ταχύτητα, ώστε ο άξονας αυτός να εκτελεί οριζόντια µετάπτωση. i) Να αποδείξετε ότι το νήµα διαγράφει κωνική επιφάνεια της οποί ας κορυφή είναι το Ο, η δε περίµετρος της κυκλικής της βάσεως είναι η οριζόντια τροχία που διάγράφει το άκρο του άξονα περι στροφής, το συνδεδεµένο µε το νήµα.

ii) Να δείξετε ότι η γωνία φ που σχηµατίζει το νήµα µε την κατα κόρυφη διεύθυνση, ικανοποιεί τη σχέση: = gl (L + #$µ) 4R 4 % όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR / του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. ΛΥΣΗ: i) Kατά την οριζόντια µεταπτωτική κίνηση του άξονα περιστροφής του δίσκου το κέντρο µάζας του διαγράφει οριζόντια περιφέρεια και σύµ φωνα µε το θεώρηµα κίνησης του κέντρου µάζας πρέπει να δέχεται κεντρο µόλο δύναµη. Η δύναµη αυτή εξασφαλίζεται εφ όσον το νήµα παρουσιάζει κλίση ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση, ώστε η τάση του να παρέχει οριζόντια συνιστώσα που λειτουργεί για το κέντρο µάζας ως κεντροµόλος δύναµη, ενώ η κατακόρυφη συνιστώσα της αποτελεί µε το βάρος m g του δίσκου ζεύγος δυνάµεων, του οποίου η ροπή προκαλεί την οριζόντια µετά πτωση του άξονα περιστροφής του. Τότε όµως το νήµα πρέπει να διαγράφει κωνική επιφάνεια µε κορυφή το Ο, της οποίας η βάση είναι οριζόντιος κύκ λος, η δε περιφέρειά του αποτελεί την τροχιά του άκρου A του άξονα περισ τροφής, που συνδέεται µε το νήµα. ii) Eάν µ είναι η γωνιακή ταχύτητα µεταπτώσεως του άξονα περιστροφής του δίσκου, τότε µε την προυπόθεση ότι ω µ <<Ω, θα ισχύει η σχέση: = I( µ # $ ) = I# µ $µ(% / ) mgl = mr µ / µ = gl/r Eάν T είναι η τάση του νήµατος, τοτε η κατακόρυφη συνιστώσα της T θα έχει µέτρο ίσο µε mg, ενω το µέτρο της οριζόντιας συνιστώσας της T 1 θα είναι ίσο µε mω µ (L+αηµφ), δηλαδή θα ισχύουν οι σχέσεις:

T#$ = mg T%µ$ = m& µ (L + '%µ$) ( ) * (:) = # µ (L + $%µ) g = gl (L + #$µ) 4R 4 % Aβαρής λεπτή ράβδος µηκους L, µπορεί να στρέφεται ελεύθερα περί το µέσο της Ο και φέρει στο ένα της άκρο Α σφαιρίδιο βάρους W 1 και στο άλλο της άκρο Β τρoχό βάρους W και ακτίνας R. Η ράβδος είναι κάθετη στο επίπεδο του τροχού στο κέντρο του και ο τροχός έχει την δυνατότητα να στρέφεται περί την ράβδο. Εάν η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού έχει κατάλληλη σταθερή τιµή, τοτε η ράβδος εκτελεί οριζόνια µετα πτωτική κινήση περί τον κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το Ο. Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της µετάπτωσης. ΛΥΣΗ: Θεωρούµε τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οyz ακλόνητα συνδεδε µένο µε το σύστηµα ράβδος-σφαιρίδιο-τροχος που έχει αρχή το µέσο Ο της ράβδου, άξονα Ο κατά την διεύθυνση της ράβδου, άξονα Οz κατακόρυφο και άξονα Οy οριζόντιο, όπως φαίνεται στο σχήµα. Εάν ω, ω y, ω z είναι οι προβολές της γωνιακής ταχύτητας του συστήµατος στους άξονες Ο, Oy, Oz αντιστοίχως και e, e y, e z τα αντίστοιχα µοναδιαία διανύσµατα των αξό νων αυτών θα ισχύει κάθε στιγµή η σχέση: = e + y e y + z e z = e + µ e y = + µ διότι ω =Ω, ω y =0 και ω z =ω µ. όπου µ η ζητούµενη γωνιακή ταχύτητα µεταπ τώσεως Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής L του συστήµατος περί το Ο θεωρούµενος σ ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς (λογουχάρη στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους) είναι σύµφωνα µε τον γενικευµένο νόµο της στρο φορµής ίσος µε την συνολική ροπή περί το Ο των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σύστηµα, δηλαδή ισχύει η σχέση:

d L dt = d L dt = ( *# - L ) e d L dt = L W - W 1 d L dt = (OA W ) + (OB W 1 ) $ & ' -W % Όµως ισχύει και η σχέση: d L dt = ( e z ) + L # e $ & ' -W 1 % ( e z ) + -, ( )( e e z ) () d L $ # dt & % ' ( ) (3) + ( ) L όπου ( d L /dt) ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής στο στρεφόµενο σύστη µα αναφοράς Οyz. Το γεγονός ότι η µεταπτωτική κίνηση του συστήµατος είναι οριζόντια µας επιτρέπει να ισχυριστούµε Ω>>ω µ που σηµαίνει ότι η στροφορµή L µε καλή προσέγγιση είναι ίση µε I, όπου Ι η ροπή αδράνει ας του συστήµατος ως προς τον άξονα Ο ίση µε mr, οπότε θα έχουµε: d L $ # dt & % ' = d(i z( ) ' dt Έτσι η σχέση (3) γράφεται: ( ) d L dt = L d L dt = I z = d(i ( z e ) ' dt d L dt = + = I z ( (d e ) ' dt [( ) # L ] = µ = 0 (4) + [( ) # I µ z ] ( ) + I z ( ) = I z # µ ( e e z ) (5) # µ Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (5) έχουµε: ( e z ) = L W - W 1 I z µ e # ( )( e # e z ) I z µ = L ( W - W 1 ) µ = L ( W - W 1 ) I z = L ( W - W 1 ) mr O άξονας περιστροφής ενός κυκλικού δίσκου, µάζας m και ακτίνας R είναι µια λεπτή ράβδος µάζας m και µή κους R, η οποία τέµνει κάθετα το επίπεδο του δίσκου διερχόµενη από το κέντρο του C, που ταυτίζεται µε το µέσο της ράβδου. Το ένα

άκρο Ο της ράβδου στηρίζεται σε κατάλληλο έδρανο που της επιτρέπει να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο περί το Ο και περί τον άξονά της, ενώ το άλλο της άκρο Β είναι ελεύθερο. Δίνουµε στον δίσκο περιστροφική κίνηση περί τον άξονά του µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα 0 και µε κατάλληλη εξωτερική επέµβαση αναγ κάζουµε τη ράβδο να στρέφεται περί το ακρο της Ο σε κατακόρυ φο επίπεδο, ώστε η γωνία φ που σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύ θυνση να µεταβάλλεται µε το χρόνο t συµφωνα µε τη σχέση: φ=φ 0 ηµkt όπου φ 0, k θετικές και σταθερές ποσότητες. Να βρεθεί σε συνάρτη ση µε τον χρόνο η κινητική ενέργεια του συστήµατος. Δίνεται η ρο πή αδράνειας Ι ρ =m(r) /3 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της της και είναι κάθετος στη ράβδο και η ροπή αδρά νειας Ι δ =mr / του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του. ΛΥΣΗ: Θεωρούµε τρισορθογώνιο σύστηµα Οyz κύριων αξόνων αδράνειας του συστήµατος δίσκος-ράβδος ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό, του οποίου ο άξονας Ο συµπίπτει µε την ράβδο, ο άξονας Οy ανήκει στο κατακόρυφο επίπεδο περιστροφής της, ενώ ο άξονας Οz είναι κάθετος στο επίπεδο αυτό (βλέπε σχήµα). Οι προβολές ω, ω y, ω z της γωνιακής ταχύτητας του συστή µατος στους τρεις αυτούς άξονες είναι: ω =ω 0, ω y =0, ω z =dφ/dt=φ 0 kσυνkt H κινητική ενέργεια Κ του συστήµατος δίνεται κάθε στιγµή από τη σχέση: K = I + I y y + I z z K = I 0 + I z 0k #$% kt () όπου Ι, Ι y, Ι z οι ροπές αδράνειας του συστήµατος ως προς τους άξονες Ο, Oy, Oz αντιστοίχως, για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: I = mr, I y = I z = mr 4 + mr + 1 3 m(r) = 31mR 1 (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε:

K = mr 0 + 31mR 1 0 k #$% kt K = mr & 0 + 31 6 ) ( 0k #$% kt+ ' *