Παραιάσεις των κλασσικών υποθέσεων Στο γραμμικό υπόδειγμα y = x+ u, =,,, ο εκτιμητής LS είναι: ˆ x y = = x = Οι ασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ˆ ( ) Var =, αμεροληψία, ˆ σ = x = Επιπλέον αν δεν έχουμε αυτοσυσχέτιση και ετεροσκεδαστικότητα, ο εκτιμητής LS είναι BLU, δηλαδή περίπου, είναι η μέθοδος εκτίμησης που πρέπει να ακολουθούμε στην πράξη Ποιες υποθέσεις κάναμε για να έχουμε αυτά τα αποτελέσματα; Υπόθεση u ( ) = 0
Var u Υπόθεση ( ) Υπόθεση 3 (, ) = σ για κάθε, Ομοσκεδαστικότητα Cov u u = = 0, Έλλειψη Αυτοσυσχέτισης Η υπόθεση πρέπει να τροποποιηθεί κάπως όταν η x είναι κι αυτή τυχαία μεταλητή Αυτή δεν είναι μια περίπτωση χωρίς εμπειρικό ενδιαφέρον όπως θα δούμε y = x + u x y x ( x+ u = ) ˆ xu = = = + x x x = = = = = Τώρα πια δεν μπορούμε να πούμε ότι xu ˆ = = + = x Η αναμενόμενη τιμή δεν ικανοποιεί μια τέτοια ιδιότητα ( ) Γενικά, f ( X ) f ( X ), εκτός αν η ( ) είναι γραμμική f x a b x = +, δηλ
Για τυχαίες μεταλητές X και Y, δεν ισχύει δυστυχώς ότι ( X) ( ) X = Y Y Έχουμε, λοιπόν ότι ˆ = = + xu = x Μια ιδιότητα που μας ενδιαφέρει εδώ και λέγεται Law of Ieraed xpecaio, είναι ότι ˆ = = + xu X X = x ( ) Αλλά, = xu = = x u x X Αν θέλουμε να έχουμε ( ˆ ) ( u x ) = 0 x = x = =, είναι φανερό ότι θα θέλαμε Αυτή είναι περίπου μια αυτονόητη συνθήκη
Είναι εκπληκτικό όμως σε πόσες περιπτώσεις μπορεί να παραιαστεί! Η υπόθεση ότι ότι τα u και X είναι ασυσχέτιστα, δεν είναι τόσο αθώα όσο φαίνεται εκ πρώτης όψεως και μπορεί να παραιασθεί σε μια σειρά περιπτώσεων Κλασσικά παραδείγματα είναι τα ακόλουθα: (α) όταν οι ερμηνευτικές μεταλητές μετρώνται με σφάλματα, () όταν έχουμε να εκτιμήσουμε μια εξίσωση που αποτελεί μέρος ενός ευρύτερου συστήματος εξισώσεων, (γ) όταν η εξαρτημένη μεταλητή με χρονική υστέρηση αποτελεί ερμηνευτική μεταλητή και έχουμε αυτοσυσχέτιση στα σφάλματα
Σφάλματα στις ερμηνευτικές μεταλητές Μια ρεαλιστική περίπτωση, είναι όταν οι ερμηνευτικές μεταλητές μπορούν να μετρηθούν μόνο με σφάλματα (όπως ακριώς, άλλωστε, και η εξαρτημένη μεταλητή) Εξάλλου, πολλές οικονομικές μεταλητές συγκεντρώνονται και καταγράφονται από τις ίδιες υπηρεσίες (πχ την ΕΣΥΕ) και έτσι είναι πιθανό να υπόκεινται στα ίδια σφάλματα μέτρησης Το υπόδειγμα, είναι: y = x + u, x = x + e, όπου x είναι η άγνωστη, αληθινή τιμή της μεταλητής και είναι η τιμή την οποία έχουμε στην πραγματικότητα x Για παράδειγμα, y είναι η επένδυση μιας επιχείρησης, x είναι η πραγματική απόδοση την οποία έλαε υπόψη της η επιχείρηση κατά το σχεδιασμό της επένδυσης και x είναι η λογιστική της απόδοση όπως προκύπτει από τα στοιχεία του ισολογισμού Στη διάθεσή μας, έχουμε μόνο τη λογιστική απόδοση Θα υποθέσουμε ότι η πραγματική και λογιστική απόδοση διαφέρουν μόνο εξαιτίας τυχαίων παραγόντων
Η μέθοδος LS δεν μπορεί να οδηγήσει, σε καμία περίπτωση σε αμερόληπτες ή συνεπείς εκτιμητές Μπορούμε να δείξουμε συμολικά το λόγο, ως εξής: = + y x u y = ( x e ) + u y = x + u e x = x + e v Επομένως το e επιδρά στο και στο x οπότε τα v (, ) x v θα πρέπει να συσχετίζονται Συστήματα εξισώσεων Ας θεωρήσουμε το ασικό Κεϋνσιανό υπόδειγμα: για κάθε C = Y+ u Y = C+ G, =,,, 0 <, Η ανηγμένη μορφή του υποδείγματος, είναι: G + u C =, G + u Y = Η ταυτότητα δεν περιέχει στοχαστικό όρο και άγνωστες παραμέτρους γιατί αυτός είναι, ακριώς, ο ορισμός του ΑΕΠ
Είναι προφανές ότι (, ) Y u (αφού u ) και Cov 0 επομένως, η εκτίμηση της συνάρτησης κατανάλωσης με τη μέθοδο LS, δηλαδή εκτιμητές ˆ CY = = Y = Y, θα οδηγήσει σε ασυνεπείς Αν το G είναι μη στοχαστικό, ή τουλάχιστον Cov G, u = 0, τότε το G συσχετίζεται με το Y (αφού ( ) G Y ) αλλά όχι με το u και επομένως, μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν οηθητική μεταλητή στην εφαρμογή μιας μεθόδου γνωστής σαν IV Για να κατανοήσουμε τη μέθοδο αυτή, ας υποθέσουμε το κλασσικό γραμμικό υπόδειγμα: y = x+ u, για κάθε =,, Είναι σαφές ότι αν πολλαπλασιάσουμε και τα δυο μέλη με, θα έχουμε xy = x + vu x Αν είμαστε σε θέση να υποθέσουμε ότι εκτιμητής LS, ( xu ) = 0, ο ˆ xy = = x = θα είναι αμερόληπτος
Αυτή, είναι έαια μια εναλλακτική παρουσίαση της μεθόδου LS Εάν, όμως, τα Χ και u συσχετίζονται, τότε δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε αυτή την τεχνική Αν, ωστόσο, ξεκινήσουμε με τη σχέση y = x+ u και θεωρήσουμε μια μεταλητή z με την οποία πολλαπλασιάζουμε και τα δυο μέλη για να έχουμε: τότε προκύπτει: z y = zx+ zu, z y = zx+ zu = = = Από τη σχέση αυτή, ο εκτιμητής: ˆ IV = = = z y zx, θα ήταν συνεπής, αν κανείς μπορούσε να υποθέσει δυο πράγματα:
zx 0, = = zu = 0 Η () μας λέει, ουσιαστικά, ότι τα z και x δεν πρέπει να είναι ασυσχέτιστα, ενώ η () μας λέει ότι τα z και u πρέπει να είναι ασυσχέτιστα Σε μια τέτοια περίπτωση, λοιπόν, η Ζ λέγεται οηθητική μεταλητή Στην ουσία, το πρόλημα είναι ότι λόγω της συσχέτισης μεταξύ Χ και u, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο LS Αν, ωστόσο, υπάρχει μια μεταλητή που δεν συσχετίζεται με το u αλλά έχει κάποια σχέση με το X, τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο IV και να έχουμε συνεπείς εκτιμητές Τέτοιες μεταλητές, δεν είναι γενικά προφανές από πού προέρχονται αλλά, σε ορισμένες σημαντικές περιπτώσεις είναι δυνατόν να τις προσδιορίσουμε, όπως είδαμε