Κεφάαιο 4. Απά οντέα συστηάτων αναονής Στο κεφάαιο αυτό παρουσιάζουε απά οντέα αναονής (συστήατα ε ένα σταθό εξυπηρέτησης) ενώ τα οντέα δικτύων αναονής θα εξεταστούν σε επόενο κεφάαιο. 4. Μοντέα αναονής γεννήσεων-θανάτων Μια διαδικασία γεννήσεων-θανάτων αποτεεί ια ειδική περίπτωση αυσίδας Markov στην οποία εταβάσεις γίνονται ονάχα εταξύ γειτονικών καταστάσεων. Εισάγουε τις παραέτρους και οι οποίες αντιπροσωπεύουν τον ρυθό γεννήσεων και τον ρυθό θανάτων αντίστοιχα όταν η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση. Οι ρυθοί και είναι ανεξάρτητοι του χρόνου άρα η αυσίδα Markov είναι οογενής. Θα ισχύει: q q q + ( + ) εφ όσον ο ορισός των διαδικασιών γεννήσεων-θανάτων επιβάει ότι q j για j >. Επίσης είναι προφανές ότι. Στο Σχήα παριστάνεται ο γράφος εταβάσεων για τη διαδικασία γεννήσεων-θανάτων. - 2 - + 2 + Σχήα - Γράφος εταβάσεων διαδικασίας γεννήσεων- θανάτων Ονοάζουε (t) την πιθανότητα να βρίσκεται η διαδικασία στην κατάσταση την χρονική στιγή t. Οι πιθανότητες (t) δε διαφέρουν από τις πιθανότητες π (t) που ορίστηκαν παραπάνω. Ενδιαφερόαστε για την ύπαρξη των οριακών πιθανοτήτων: lm t ( t) Αν υποθέσουε προς το παρόν ότι η κατανοή υπάρχει και αντιπροσωπεύει την στατική κατανοή για τη διαδικασία τότε θα ισχύουν οι εξισώσεις: Η διαδικασία Posso είναι ια διαδικασία γεννήσεων-θανάτων ε και για όα τα. Συστήατα Αναονής Σείδα από 2
( + ) + + + + (4.) + Οι εξισώσεις αυτές αντιστοιχούν απά στο σύστηα πˆ Qˆ το οποίο πρέπει να ικανοποιούν οι στατικές πιθανότητες ιας εργοδικής αυσίδας Markov συνεχούς χρόνου. Επιπέον θα πρέπει να ισχύει η σχέση: (4.2) Στο σηείο θα προσπαθήσουε να αναύσουε περαιτέρω τις εξισώσεις (4.). Οι εξισώσεις αυτές περιγράφουν τη δυναική εξέιξη της διαδικασίας και θα πορούσαε να πούε ότι εκφράζουν τη ροή της πιθανότητας έσα από τις διάφορες καταστάσεις. Παρατηρώντας τα βέη στις ακές του γράφου στο Σχήα πορούε να θεωρήσουε ότι: Ρυθός ροής προς την κατάσταση + + + Ρυθός ροής από την κατάσταση ( + ) Εφόσον ενδιαφερόαστε για τη όνιη (στατική) κατάσταση της διαδικασίας το σύστηα πρέπει να βρίσκεται σε ισορροπία και οι ρυθοί αυτοί να είναι ίσοι πράγα το οποίο εκφράζεται από την πρώτη εξίσωση στις (4.). Για το όγο αυτό οι εξισώσεις (4.) ονοάζονται εξισώσεις ισορροπίας του συστήατος. Η έννοια της ισορροπίας της ροής δεν ισχύει ονάχα σε κάθε κατάσταση αά για οποιοδήποτε σύνοο καταστάσεων θεωρώντας τις ροές από και προς το συγκεκριένο σύνοο. Για παράδειγα αν θεωρήσουε το σύνοο καταστάσεων { -} η ισορροπία της ροής δίνει: (4.3) Εύκοα διαπιστώνει κανείς ότι το σύνοο των εξισώσεων που προκύπτουν από την (4.3) για 2 είναι ισοδύναο ε το σύνοο των εξισώσεων που περιγράφεται από τις (4.). Η απή αυτή τεχνική επισκόπησης είναι ιδιαίτερα χρήσιη στην ανάυση των διαδικασιών Markov. Η γενική ύση του συστήατος εξισώσεων βρίσκεται εύκοα: (4.4) 2 +... ι όπου η πιθανότητα προσδιορίζεται ε βάση την συνθήκη (4.2): (4.5) + + Οι στατικές πιθανότητες θα υπάρχουν αν ισχύει: Σείδα 2 από 2 Συστήατα Αναονής
(4.6) S + + < δηαδή εάν ισχύει >. Η σηασία της τεευταίας συνθήκης γίνεται πιο εφανής διαισθητικά αν θεωρήσουε ότι η διαδικασία γεννήσεων-θανάτων περιγράφει ένα από σύστηα αναονής όπου οι γεννήσεις και οι θάνατοι αντιπροσωπεύουν αντίστοιχα αφίξεις και αναχωρήσεις πεατών. Η συνθήκη > εκφράζει απά ότι για να είναι ια ουρά ευσταθής θα πρέπει κατά καιρούς να αδειάζει. Από την (4.6) παρατηρούε ότι η σειρά S συγκίνει αν υπάρχει κάποιο τέτοιο ώστε για κάθε να ισχύει / < ή σε σχέση ε το σύστηα αναονής οι αφίξεις να γίνονται ε ικρότερο ρυθό από τις αναχωρήσεις. Πρόταση: Μια εργοδική διαδικασία γεννήσεων θανάτων είναι στην όνιη κατάσταση χρονικά αντιστρέψιη. Στην συνέχεια θα εφαρόσουε τη γενική ύση (4.4) και (4.5) σε ορισένες από τις πιο σηαντικές περιπτώσεις απών συστηάτων αναονής. 4.2 Το σύστηα αναονής M/M/ Το σύστηα M/M/ είναι το απούστερο σύστηα αναονής και χαρακτηρίζεται από αφίξεις Posso (εκθετικά κατανεηένους χρόνους εταξύ αφίξεων) και εκθετικά κατανεηένους χρόνους εξυπηρέτησης. Οι ρυθοί γεννήσεων-θανάτων είναι ανεξάρτητοι από την κατάσταση του συστήατος: 2... 2... Με εφαρογή στην γενική ύση βρίσκουε: (/) εφόσον ισχύει η συνθήκη: S < Η παραπάνω σειρά συγκίνει για < στην τιή /(-/) οπότε: (4.7) -/ Η ποσότητα ρ/ όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή ονοάζεται ένταση κυκοφορίας (traff testy) του συστήατος. Σύφωνα ε την (4.7) η ένταση κυκοφορίας εκφράζει την πιθανότητα να ην είναι άδειο το σύστηα ή ισοδύναα να είναι απασχοηένη η ονάδα εξυπηρέτησης για αυτό ονοάζεται και βαθός Συστήατα Αναονής Σείδα 3 από 2
χρησιοποίησης (utlzato) της ονάδας εξυπηρέτησης. Με χρήση του ρ η πιθανότητα να υπάρχουν πεάτες στο σύστηα θα είναι: (-ρ)ρ δηαδή ο αριθός των πεατών στο σύστηα ακοουθεί γεωετρική κατανοή. Ο έσος αριθός πεατών στο σύστηα θα είναι: ) ( N και ε βάση το θεώρηα του Lttle ο έσος χρόνος παραονής στο σύστηα θα είναι: N T / Ο χρόνος παραονής ενός πεάτη στο σύστηα είναι το άθροισα του χρόνου αναονής και του χρόνου εξυπηρέτησης. Ο έσος χρόνος αναονής είναι: T W Με εφαρογή του θεωρήατος Lttle ο έσος αριθός πεατών σε αναονή είναι: W N W 2 4.3 Το σύστηα αναονής M/M/: ονάδες εξυπηρέτησης Θεωρούε σύστηα αναονής ε ίδιες ονάδες εξυπηρέτησης. Έχουε: 2... ) m( 2... Η εφαρογή της γενικής ύσης δίνει την στατική κατανοή του αριθού πεατών στο σύστηα:!! ) ( όπου <. Η ποσότητα αυτή εκφράζει το αναενόενο ποσοστό απασχοηένων ονάδων εξυπηρέτησης ή ισοδύναα το βαθό χρησιοποίησης κάθε ονάδας εξυπηρέτησης. Τέος η πιθανότητα θα είναι: Σείδα 4 από 2 Συστήατα Αναονής
( )! ( ) +!( ) Οι εκφράσεις για τα διάφορα έτρα επιδόσεων του συστήατος M/M/ είναι σχετικά πούποκες. Ένα σύστηα M/M/ έχει κατώτερες επιδόσεις από ένα σύστηα M/M/ ε ισοδύναο ρυθό εξυπηρέτησης δηαδή ε ρυθό εξυπηρέτησης. Αυτό συβαίνει γιατί στο σύστηα M/M/ δεν χρησιοποιούνται πάντα όες οι δυνατότητές του (όταν υπάρχουν ιγότεροι από πεάτες κάποιες ονάδες εξυπηρέτησης δεν εργάζονται). Πρόταση: Η έξοδος από ένα σύστηα M/M/ είναι διαδικασία Posso. 4.3. Tadem queues Η αντιστρεψιότητα στο χρόνο της ουράς M/M/ έχει σηαντικές συνέπειες στη θεωρία αναονής. Για παράδειγα θεωρείστε ένα σύστηα δύο εξυπηρετητών στο οποίο οι πεάτες φθάνουν ε αφίξεις Posso ρυθού στον πρώτο εξυπηρετητή. Μετά την εξυπηρέτησή τους από τον πρώτο εξυπηρετητή πηγαίνουν στη δεύτερη ουρά του δεύτερου εξυπηρετητή. Θεωρούε άπειρο χώρο αναονής και στους δύο εξυπηρετητές. Κάθε εξυπηρετητής εξυπηρετεί έναν πεάτη ε ρυθό 2. Ένα σύστηα αναονής όπως αυτό (βέπε Σχήα 2) ονοάζεται tadem ή sequetal system. Εξυπηρετητής Εξυπηρετητής 2 αναχώρηση Σχήα 2 - Tadem queue εδοένου ότι η έξοδος από τον πρώτο εξυπηρετητή αποτεεί διαδικασία Posso συνεπάγεται ότι ο δεύτερος εξυπηρετητής αποτεεί επίσης σύστηα M/M/. Λήα: Σε ια εργοδική ουρά M/M/ στη όνιη κατάσταση: ο αριθός των πεατών που βρίσκονται στο σύστηα είναι ανεξάρτητος της σειράς των χρόνων αναχώρησης στο παρεθόν ο χρόνος παραονής στο σύστηα (χρόνος αναονής στην ουρά και εξυπηρέτησης) ενός πεάτη είναι ανεξάρτητος της διαδικασίας αναχωρήσεων πριν την αναχώρησή του. Θεώρηα: Για ια εργοδική tadem queue στη όνιη κατάσταση: οι αριθοί των πεατών που βρίσκονται στον εξυπηρετητή και τον εξυπηρετητή 2 είναι ανεξάρτητοι και: Συστήατα Αναονής Σείδα 5 από 2
P [ πεάτες στον m πεάτες στον 2] ( ) ( )( ) ( ) 2 2 ο χρόνος αναονής ενός πεάτη στον εξυπηρετητή είναι ανεξάρτητος του χρόνου αναονής στον εξυπηρετητή 2. m 4.4 Το σύστηα αναονής M/M/ : άπειρες ονάδες εξυπηρέτησης Στο σύστηα αυτό πορούε να θεωρήσουε είτε ότι υπάρχει ια ονάδα εξυπηρέτησης η οποία επιταχύνει τον ρυθό της γραικά όσο έρχονται περισσότεροι πεάτες είτε ότι διατίθεται πάντα ια καινούργια ονάδα για κάθε πεάτη που φθάνει στο σύστηα. Εδώ ο αριθός των πεατών στο σύστηα ισοδυναεί ε τον αριθό πεατών που εξυπηρετούνται εφ όσον δεν υπάρχει αναονή. Η στατική κατανοή υπάρχει πάντα και δίνεται από τη σχέση: e! 2... όπου /. Παρατηρούε ότι πρόκειται για κατανοή Posso. Ο έσος αριθός πεατών στο σύστηα είναι: N / και ο έσος χρόνος απόκρισης είναι προφανώς Τ / ίσος ε το έσο χρόνο εξυπηρέτησης. 4.5 Το σύστηα αναονής M/M//K: Πεπερασένος χώρος αναονής Το σύστηα M/M//K αποτεεί ένα ακριβέστερο οντέο πραγατικών συστηάτων σε σχέση ε οντέα απείρου χώρου αναονής στο οποίο ένας πεάτης πορεί να εξυπηρετείται και το πού K- να περιένουν. Υποθέτουε ότι οι πεάτες που φθάνοντας βρίσκουν K πεάτες στο σύστηα φεύγουν και χάνονται. Οι ρυθοί γεννήσεων-θανάτων θα είναι: < K K K > K Παρατηρούε ότι πρόκειται για ια αείωτη αυσίδα Markov ε πεπερασένο αριθό καταστάσεων η οποία είναι πάντα εργοδική και εποένως υπάρχει πάντα η στατική κατανοή πιθανότητας: 2... K όπου /. Εύκοα βρίσκουε ότι: Σείδα 6 από 2 Συστήατα Αναονής
+ K Για την περίπτωση ή ισχύει: 2... K K + 4.6 Το σύστηα αναονής M/M//: εξυπηρετητές απώειες Στο σύστηα αυτό γίνονται δεκτοί όνο οι πεάτες που βρίσκουν διαθέσιη ονάδα εξυπηρέτησης διαφορετικά οι πεάτες χάνονται. Κασσική εφαρογή ενός τέτοιου οντέου είναι το τηεφωνικό κέντρο ε γραές εξυπηρέτησης. 2-2 - 2 (-) Σχήα 3 - Σύστηα αναονής εξυπηρετητών ε απώειες Για το σύστηα αυτό οι ρυθοί γεννήσεων-θανάτων είναι: < > Και στην περίπτωση αυτή η αυσίδα Markov είναι πάντα εργοδική οπότε η στατική κατανοή πιθανότητας βρίσκεται: 2...! θέτοντας όπως συνήθως /. Η πιθανότητα δίνεται από τη σχέση:! Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η πιθανότητα να είναι απασχοηένες όες οι ονάδες εξυπηρέτησης η οποία ισοδυναεί ε το ποσοστό των πεατών που χάνονται: Συστήατα Αναονής Σείδα 7 από 2
(4.8) + + 2! 2! +... +! Η σχέση (4.8) είναι γνωστή στην τηεφωνία σαν ο τύπος απώειας του Erlag (Loss formula) και υποογίστηκε για πρώτη φορά από τον A.K. Erlag το 97. 4.7 Το σύστηα αναονής M/M///M: Πεπερασένος πηθυσός πεατών ένας εξυπηρετητής Στο σύστηα αναονής αυτό θεωρούε ότι ο πηθυσός από τον οποίο προέρχονται οι πεάτες είναι πεπερασένος. Υπάρχουν δηαδή ονάχα M πεάτες του συστήατος. Ένας πεάτης θα βρίσκεται είτε στο σύστηα (εξυπηρετούενος ή σε αναονή) είτε εκτός συστήατος (φθάνοντας στο σύστηα). Στη δεύτερη περίπτωση ο χρόνος που απαιτείται έχρι την άφιξη είναι ια τυχαία εταβητή κατανεηένη εκθετικά ε έση τιή /. Όοι οι πεάτες δρουν ανεξάρτητα ο ένας από τον άο. Όταν υπάρχουν k πεάτες στο σύστηα (αναονή και εξυπηρέτηση) υπάρχουν M-k πεάτες οι οποίοι φθάνουν στο σύστηα και κατά συνέπεια ο συνοικός έσος ρυθός αφίξεων στην κατάσταση αυτή είναι (M-k). Το σύστηα ρυθίζει τις επιδόσεις του όνο του. ηαδή σε περίπτωση που ποοί πεάτες περιένουν προκειένου να εξυπηρετηθούν ο ρυθός αφίξεων ειώνεται ανάογα εαττώνοντας το φαινόενο της συφόρησης. M (M-) 2 2 M-2 M- M Σχήα 4 - Σύστηα αναονής M/M///M Οι παράετροι της διαδικασίας γεννήσεων-θανάτων είναι: k k ( M k) k M αού k 2... Το σύστηα είναι εργοδικό. 4.8 Άα αρκοβιανά οντέα αναονής Τα οντέα αναονής τα οποία εξετάστηκαν παραπάνω χαρακτηρίζονται από εκθετικά κατανεηένους χρόνους εταξύ αφίξεων ή χρόνους εξυπηρέτησης γεγονός το οποίο επιτρέπει τη χρήση της θεωρίας των διαδικασιών γεννήσεων-θανάτων για την επίυσή τους. Σείδα 8 από 2 Συστήατα Αναονής
4.8. Κατανοή Erlag-k Ας θεωρήσουε ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης σε ένα σύστηα αναονής ακοουθεί κατανοή Erlag-k 2. Θα πορούσαε τότε να παραστήσουε την κατάσταση όπως στο Σχήα 5. Σύφωνα ε την παράσταση αυτή ένας πεάτης θα πρέπει να διασχίσει k στάδια εξυπηρέτησης καθένα από τα οποία είναι εκθετικά κατανεηένο ε παράετρο. 2 k Σχήα 5 - k-στάδια εξυπηρέτησης Σύφωνα ε την παράσταση αυτή ένας πεάτης θα πρέπει να διασχίσει k στάδια εξυπηρέτησης καθένα από τα οποία είναι κατανεηένο εκθετικά ε παράετρο. Κάθε στιγή όνο ένας πεάτης πορεί να βρίσκεται σε κάποιο από τα k στάδια της εξυπηρέτησης. Σύφωνα ε την ερηνεία αυτή αν έχουε αφίξεις Posso (σύστηα M/E k /) η συπεριφορά του συστήατος πορεί να περιγραφεί από ια αυσίδα Markov συνεχούς χρόνου. Η κατάσταση της αυσίδας Markov θα παριστάνεται από το ζεύγος ( j) όπου ο αριθός πεατών στο σύστηα και j ο αριθός του σταδίου στο οποίο βρίσκεται ο πεάτης που εξυπηρετείται. Μια ισοδύναη περιγραφή θα προέκυπτε αν θεωρούσαε ότι κάθε πεάτης που φθάνει στο σύστηα ισοδυναεί ε k στάδια εξυπηρέτησης. Έτσι θα πορούσαε αντί για την προηγούενη δι-διάστατη περιγραφή να θεωρήσουε σαν κατάσταση του συστήατος τον αριθό σταδίων εξυπηρέτησης που αποένουν κάθε στιγή. Μια τεείως αντίστοιχη περιγραφή προκύπτει στην περίπτωση που τα διαστήατα εταξύ αφίξεων ακοουθούν κατανοή Erlag-k αν φανταστούε ότι κάθε τέτοιο διάστηα ισοδυναεί ε τη διάσχιση k σταδίων άφιξης. Θυίζουε ότι η κατανοή Erlag-k έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: f ( x) k ( x) e ( k )! x x ε ετασχηατισό Lalae: Φ ( s ) ( ) + s k 4.8.2 Υπερεκθετική κατανοή τάξης k Συχνά η κατανοή του χρόνου εξυπηρέτησης πορεί να παρασταθεί σαν είγα εκθετικών κατανοών. Έστω ότι υπάρχουν k τύποι πεατών που εφανίζονται ε πιθανότητες α 2 k και κάθε πεάτης τύπου έχει χρόνο εξυπηρέτησης 2 Η κατανοή του αθροίσατος k ανεξάρτητων τυχαίων εταβητών που ακοουθούν την ίδια εκθετική κατανοή. Συστήατα Αναονής Σείδα 9 από 2
κατανεηένο εκθετικά ε έση τιή / 2 k. Προκύπτει η υπερ-εκθετική κατανοή τάξης k ε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: f ( x) k a e x ι x > της οποίας ο ετασχηατισός Lalae είναι: Φ ( k s) a + s Και στην περίπτωση αυτή ο χρόνος εξυπηρέτησης πορεί να παρασταθεί ε τη βοήθεια k εκθετικών σταδίων όνο που εδώ τα στάδια δεν είναι στη σειρά αά παράηα και κάθε φορά επιέγεται κάποιο από τα k στάδια σύφωνα ε τις πιθανότητες α (βέπε Σχήα 6). Κάθε στιγή όνο ένας πεάτης πορεί να βρίσκεται σε κάποιο από τα k στάδια. α α 2 2 α k k Σχήα 6 - Επιογή ενός από k στάδια εξυπηρέτησης 4.8.3 Κατανοή Cox Συνδυασός των προηγούενων περιπτώσεων ας οδηγεί στην γενικευένη έθοδο των σταδίων σύφωνα ε την οποία η αντίστοιχη κατανοή παριστάνεται από k παράηες γραές κάθε ία από τις οποίες περιαβάνει ένα αριθό σταδίων στη σειρά (βέπε Σχήα 7). 2 m α 2 22 2 m2 α 2 α k k k2 k mk Σχήα 7 - Επιογή ενός από k στάδια εξυπηρέτησης ε m k στάδια εξυπηρέτησης έκαστο Σείδα από 2 Συστήατα Αναονής
Ο ετασχηατισός Lalae για την κατανοή αυτή θα είναι: Φ ( s) k m j j j + a s Οι κατανοές αυτές ανήκουν σε ια γενική κατηγορία κατανοών οι οποίες είναι γνωστές σαν κατανοές Cox και επιτρέπουν την ανάυση των αντιστοίχων συστηάτων αναονής ε βάση τη θεωρία των διαδικασιών Markov. Οι κατανοές αυτές έχουν ιδιαίτερη χρησιότητα στη εέτη των δικτύων αναονής (βέπε Κεφάαιο Error! Referee soure ot foud.). Θεωρούε την παράσταση ιας κατανοής Cox ε τη βοήθεια k εκθετικών σταδίων όπως φαίνεται στο Σχήα 8 Υποθέτουε ότι κάθε στιγή όνο ένας πεάτης βρίσκεται ανάεσα στα σηεία Α και Β. Πριν από κάθε στάδιο + k- ο πεάτης επιέγει αν θα συνεχίσει τη διάσχιση ή θα σταατήσει σύφωνα ε τις αντίστοιχες πιθανότητες a και b όπου a +b. Μετά το στάδιο k φεύγει ε πιθανότητα b k. Α a a a 2 a k- 2 k b k b b b 2 b k- B Σχήα 8 - Παράσταση κατανοής Cox Ο ετασχηατισός Lalae της κατανοής Cox δίνεται από τη σχέση: k j j j + (4.9) Φ ( s) b + Ab όπου: A a a... a 2... k s είναι η πιθανότητα να φθάσει ο πεάτης στο στάδιο. Το δεξιό έος της (4.9) είναι ρητή συνάρτηση του s: πορεί να γραφεί ε τη ορφή P(s)/Q(s) όπου P(s) και Q(s) είναι πουώνυα και ο βαθός του Q(s) είναι εγαύτερος ή ίσος από το βαθό του P(s). Επίσης όες οι ρίζες του Q(s) είναι πραγατικές και ισχύει Φ(). Αντίστροφα κάθε κατανοή της οποίας ο ετασχηατισός Lalae ικανοποιεί τις πιο πάνω συνθήκες πορεί να παρασταθεί ε εκθετικά στάδια όπως στο Σχήα 8. Κάθε γραικός συνδυασός κατανοών Cox είναι επίσης κατανοή Cox. Επιπέον οποιαδήποτε κατανοή πιθανότητας πορεί να προσεγγισθεί ε οσοδήποτε ακρίβεια από ια κατανοή Cox. Συστήατα Αναονής Σείδα από 2
Τεειώνοντας αναφέρουε δύο ειδικές περιπτώσεις αρκοβιανών συστηάτων αναονής ε ιδιαίτερο ενδιαφέρον η εέτη των οποίων χρησιοποιεί αναυτικές εθόδους ανάογες ε αυτές που χρησιοποιούνται στην παράσταση ε εκθετικά στάδια. Πρόκειται για συστήατα ε οαδικές αφίξεις (bulk arrvals) ή οαδική εξυπηρέτηση (bulk serves). Σείδα 2 από 2 Συστήατα Αναονής