ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή των αξόνων, ο οποίος διέρχεται από το σηµείο Μ(, 4) είναι... ) Ο ακέραιος α είναι άρτιος όταν είναι της µορφής...και περιττός όταν είναι της µορφής... 4) Κάθε ακέραιος α είναι της µορφής κ ή... 5) Έστω α, β, γ ακέραιοι µε αβ. Αν α β και β γ, τότε ισχύει... 6) r r r r Αν α β, τότε α.β=... r r r r Αν α β, τότε α.β=... r r Αν α =(χ 1, ψ 1) και β=(χ, ψ ), τότε r r ι) α.β=... ιι) συν( α, β )=... r r ιιι) αν χ χ + ψ ψ =, τότε α. β=... 1 1 B) ίνονται τα σηµεία Α(1, ) και Β(, 1). Να βρείτε: uuur Ι) το µέτρο του AB ΙΙ) τις συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ. (1 µονάδες) (8 µονάδες) 1

Γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει φυσικός αριθµός ο οποίος διαιρούµενος µε τον να δίνει υπόλοιπο 1 και διαιρούµενος µε 6 να δίνει υπόλοιπο. (7 µονάδες) ΘΕΜΑ ο r r r Α) Έστω α, β, γ τρία διανύσµατα του επιπέδου Οχψ. Αν τα σηµεία r r r r r r r r r Α, Β, Γ έχουν διανύσµατα θέσεως α+ β γ, α+4β+γ, α+β-γ αντιστοίχως, να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά και ότι το Γ είναι το µέσο του ΑΒ. (9 µονάδες) Β) Να βρεθεί η προβολή του διανύσµατος r r r r β πάνω στο α, αν α =, β = και ( α,β )=6 (8 µονάδες) Γ) Αν για τα µη µηδενικά διανύσµατα r r r r r r r r α, β ισχύει α-β = α+β,να δειχθεί ότι α β. ΘΕΜΑ ο Α) ίνονται τα σηµεία Α(,5), Β(, -), Γ(-6, 4). Ι) Να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου (8 µονάδες) ΙΙ) Να βρεθεί η εξίσωση του ύψους Α, της διαµέσου ΒΕ και της µεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ. (1 µονάδες) Β) Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, άξονα συµµετρίας τον άξονα χ χ και εφάπτεται της ευθείας ε: χ ψ+=. (9 µονάδες)

Γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της έλλειψης χ +ψ = που σχηµατίζει µε τους ηµιάξονες Οχ, Οψ ισοσκελές τρίγωνο. (9 µονάδες) ΘΕΜΑ 4 ο Α) Να αποδείξετε ότι α β α ν β ν για κάθε ν Ν, όπου α, β Ζ (1 µονάδες) Β) Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός α ν = ν +ν +ν είναι πολλαπλάσιο του,για κάθε θετικό ακέραιο ν. (1 µονάδες)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1 ου ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ 1 ο 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... (χ α) +(ψ β) =ρ... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή των αξόνων, ο οποίος διέρχεται από το σηµείο Μ(, 4) είναι...χ +ψ =5... ) Ο ακέραιος α είναι άρτιος όταν είναι της µορφής...κ, κ Ζ...και περιττός όταν είναι της µορφής......κ+1, κ Ζ... 4) Κάθε ακέραιος α είναι της µορφής κ ή..κ+1 ή κ+, κ Ζ... 5) Έστω α, β, γ ακέραιοι µε αβ. Αν α β και β γ, τότε ισχύει...α γ... 6) r r r r r r Αν α β, τότε α.β =.. α. β... r r r r Αν α β, τότε α.β =... r r Αν α =(χ 1, ψ 1) και β =(χ, ψ ), τότε r r ι) α.β =..χ 1χ + ψ 1. ψ... r r χ 1χ + ψ 1. ψ ιι) συν(α,β )=..... χ 1 +ψ 1 χ +ψ r r ιιι) αν χ χ + ψ ψ =, τότε α.β =... 1 1 B) uuur Ι = + = = ) AB ( 1) (1 ) 8 ΙΙ) Έστω Μ (χ,ψ) το µέσο του τµήµατος ΑΒ, 1+ + 1 οπότε: χ= =, ψ = =, ά ρα Μ (,) 4

Γ) Έστω ότι υπάρχει φυσικός αριθµός α τέτοιος ώστε α=κ+1 και α=6λ+, όπου κ, λ Ν. Τότε κ+1=6λ+ κ=6λ+ που είναι άτοπο γιατί l(6λ+). ΘΕΜΑ ο Α) uuur uuur uuur r r r r r r r r r AB =ΟB ΟΑ= (α+ 4 β+γ) ( α+ β γ ) = α+ β+ 4γ= r r r ( α+β+ γ) (1) uuur uuur uuur r r r r r r r r r A Γ=ΟΓ ΟΑ= (α+ β γ) ( α+ β γ ) =α+β+ γ () uuur uuuur uuur uur u από τις (1) και () προκύπτει: AB = A Γά ρα AB// AΓ, δηλαδή Α, Β, Γ συνευθειακά και Γ µέσον του ΑΒ. Β) r r r r Ισχύ ει α. προβ r αβ = αβ. r r Ό µως προβ r αβ = λα, λ R. r r r r r r r r r r άρα α (λα)=αβ ή λα =αβ ή λ α = α β συν6 1 µε αντικατάσταση προκύπτει: 18λ=.. λ = 4 r r r r δηλαδή προβ r αβ=λα προβ r αβ= α 4 Γ) r r r r r r r r r r r r α β = α+β α β = α+β ( α β ) = ( α+β) r rr r r rr r rr rr rr r r α αβ+β =α + αβ+β αβ= αβ 4αβ= α β 5

ΘΕΜΑ ο Α) Ι) uuur AB = (, 5) = (, 8) uuur A Γ= ( 6,4 5) = ( 9, 1) άρα uuur uuur -8 det ( AB, AΓ ) = = 7 άρα τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. -9-1 ΙΙ) Εύρεση της εξίσωσης του ύψους Α : 4 + 7 λ ΒΓ = = 6 9 Α ΒΓ άρα: 7 9 λ Α. λ ΒΓ = 1 λ Α. = 1 λ Α = 9 7 άρα η εξίσωση του ύψους Α είναι: 9 ψ -5= ( χ ) 9χ 7ψ + 8 = 7 Εύρεση της εξίσωσης της διαµέσου ΒΕ: Βρίσκουµε τις συντεταγµένες του µέσου Ε του τµήµατος ΑΓ: 6 5+4 9 9 χ= = και ψ= = άρα Ε, 6

Βρίσκουµε το συντελεστή διεύθυνσης της διαµέσου ΒΕ: 9 15 5 λ ΒΕ = = = + 9 άρα η εξίσωση της ΒΕ είναι: 5 ψ += ( χ ) 5χ + ψ 6 = Εύρεση της εξίσωσης της µεσοκαθέτου της ΑΒ: Βρίσκουµε τις συντεταγµένες του µέσου Μ της ΑΒ: + 5- χ= = και ψ= = 1 άρα Μ(,1) Παρατηρούµε ότι χ =χ = άρα ΑΒ χ'χ, Α Β οπότε η µεσοκάθετός της είναι παράλληλη στον χ'χ, άρα έχει εξίσωση ψ=1 (εφόσον διέρχεται από το Μ(,1) ) Β) Έστω ψ =pχ (1) η εξίσωση της ζητούµενης παραβολής. Η ευθεία χ ψ+= () είναι εφαπτοµένη της παραβολής αν και µόνο αν η ευθεία και η παραβολή έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο. ηλαδή το σύστηµα pχ χ ψ+ = ψ = έχει µία διπλή πραγµατική λύση. Από τις (1) και () προκύπτει η εξίσωση ψ pψ+p= (). Η εξίσωση () πρέπει να έχει = 4p -4p= 4p(p 6)= p = ή p = 6 κι επειδή p άρα p=6, δηλαδή η εξίσωση της ζητούµενης παραβολής είναι ψ =1χ 7

Γ)Η εξίσωση της εφαπτοµένης της έλλειψης στο Μ είναι ε: χχ +ψψ =. Επειδή σχηµατίζει ισοσκελές τρίγωνο µε τους άξονες, άρα ω=18 45 =15. ηλαδή λ ε =εφ15 = -1,οπότε, Όµως χ +ψ = () Από τις (1) και () έχουµε: ( ) χ = χ = ψ > > ψ 1 χ, ψ =, Άρα η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτοµένης είναι: ε: χ+ ψ = χ+ψ = 1 (1) µε χ, ψ ΘΕΜΑ 4 ο Α) Έστω η πρόταση Ρ(ν) : α β α ν - β ν Για ν=1: α β α β αληθές Έστω η πρόταση ισχύει για ν=κ: α β α κ - β κ Θα αποδείξουµε ότι η πρόταση είναι αληθής για ν=κ+1 α κ+1 β κ+1 = α κ+1 βα κ +βα κ β κ+1 = α κ (α β) +βα κ β κ+1 = = α Κ (α β) +β(α κ β κ ) δηλαδή α β α κ+1 β κ+1 άρα η Ρ(ν) είναι αληθής για κάθε ν Ν. Β) - για ν=1: α 1 =1+.1+.1 = 1++ = 6 : πολ() που ισχύει - έστω ότι ισχύει για ν=κ. ηλαδή έστω α κ = κ +κ +κ = πολ() = λ, λ Ν* - θα δείξουµε ότι ισχύει για ν=κ+1 έχουµε: 8

α κ+1 = (κ+1) +(κ+1) +(κ+1) = κ +κ +κ+1+κ +6κ++κ+ = (κ +κ +κ)+κ +9κ+6= =α κ +(κ +κ+) = λ +µ =(λ+µ) =πολ() άρα η πρόταση ισχύει για κάθε ν Ν* 9

ΘΕΜΑ 1 ο ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. 1. Η εξίσωση κ x + λy = µ, κ, λ, µ παριστάνει πάντα υπερβολή όταν : Α. µ=1 Β. κλ< Γ. µ<. κ λ Ε. κ=µ ή λ=µ.. Έστω ε,ε 1 οι εκκεντρότητες των υπερβολών x ψ 1 : = 1 και β α C ψ x 1 1 : = 1. Η τιµή της παράστασης + β α ε1 ε είναι : 1 Α. Β. 1 Γ. 1. Ε. x y. Αν οι ελλείψεις είναι όµοιες C x y 1 : + = 1, : 1 6 4 C + = κ τότε Α. Κ=6 Β. Κ=1 Γ. Κ=. Κ=4 µε κ> 4. Οι εφαπτοµένες της παραβολής C : x = 4y οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Κ(,-1) έχουν εξισώσεις : Α. y ± x + 1 = Β. x ± y = Γ. x y = ± 1. x + y = ± 5. Η απόσταση ενός σηµείου Μ x, y ) της παραβολής C : y = ρx από ( την εστία Ε είναι ίση µε : ρ ρ Α. x Β. x + Γ. x + ρ. x ρ 1 6. Η εστία της παραβολής C : y = x α είναι : 4α Α. Ε(,α) Β. Ε(, α) Γ. Ε( α,). Ε(α,α) (15 µονάδες) 1

Β. 1. Πότε η εξίσωση Αx+By+Γ= παριστάνει ευθεία;. Έστω η ευθεία ε : x+y-1=. Να γράψετε ένα διάνυσµα κάθετο στην ε.. Μια ευθεία που είναι κάθετη στον y y ποια µορφή έχει; 4. Έστω η παραβολή c : x =Py. Ποια η εστία της και ποια η διευθετούσα της; 5. ίνεται η έλλειψη: 4x + y =. Να βρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητα και το µήκος του µεγάλου άξονα. (1 µονάδες) ΘΕΜΑ ο ίνονται τα διανύσµατα r r r α = 1 i + j r r r, β= ( ηµθ) i + ( συνθ) j και r r r γ = i j. Α. Για ποιες τιµές του θ (,π) τα διανύσµατα r a και κάθετα; r β είναι (1,5 µονάδες) Β. Αν η γωνία των διανυσµάτων β r και γ r είναι π να αποδείξετε ότι 4 ηµθ = 1 +συνθ ΘΕΜΑ ο ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε η εξίσωση (ε ): ( a r β ) χ + ( βγ ) ψ + αγ = A. Να δείξετε ότι: α. Η (ε ) παριστάνει πάντα ευθεία. ΑΒ = γ, ΒΓ = α, = β (1,5 µονάδες) ΓΑ και (6 µονάδες) 11

β. Αν η ευθεία που παριστάνει η (ε ) είναι παράλληλη σε κάποιον από τους άξονες χ χ, ψ ψ τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. (4 µονάδες) B. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές µε = 1 τότε να βρεθεί ο αριθµ ός κ ώστε η ευθεία µε εξίσωση (ε ) διέρχεται από το σηµ είο (1, κ ). (1 µονάδες) ΘΕΜΑ 4 ο A. Aν ν ακέραιος, να δειχθεί ότι ο 7ν -ν-6 είναι πολλαπλάσιο του ν-1 Α (6,5 µονάδες) B. Να δειχθεί ότι αν α, β, γ είναι περιττοί τότε ο αριθµός (α+β)(β+γ)(γ+α) είναι πολλαπλάσιο του 8. (6,5 µονάδες) Γ. Να δειχθεί ότι ο αριθµός Α= ν( ν+ 1)( ν+ 8) είναι ακέραιος. Να δειχθεί ότι αν α/β, β/γ, γ/α τότε (α-β)(β-γ)(γ-α)= (6 µονάδες) (6 µονάδες) 1

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ου ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ 1 ο Α) 1. Β. Β. Γ 4. Α 5. Β 6. Α Β) 1. A ή Β ur. δ = (,). ψ=ψ ρ ρ 4. Ε,, δ: ψ=- 5. Ε'(,- 15), Ε(, 15) ε= (Α'Α)=α=4 5 ΘΕΜΑ ο A. ur r ur r 1 α β α. β = ηµθ + συνθ = ηµθ + συνθ = ηµθ = συνθ () 1 ηµθ π π π = εφθ= εφ εφθ=εφ θ=κπ, κ Ζ συνθ π π 4π 1 4 <θ<π < κπ < π < κπ < < κ < ά ρα κ=1 γιατί κ Ζ π οπό τε θ= (): 1 έστω συνθ= τότε ηµθ= άτοπο άρα συνθ 1

B. rr r r π βγ. συν ( β, γ ) = συν r r = (1) 4 β. γ rr βγ. = ηµθ συνθ r β = ( ηµθ ) + ( συνθ ) = ( ηµ θ + συν θ ) = = r γ = 1 + ( 1) = από (1): 4 4 ηµθ = 1 + συνθ ηµθ συνθ = 4 ηµθ συνθ = ηµθ συνθ = 1 ( ) ( ) ΘΕΜΑ ο A. α. r r r r Η (ε) είναι της µορφής Αχ+Βψ+Γ= µε Α=α. β και Β=β. γ. r r r r r r r Επειδή α, βγ, πλευρές τριγώνου ισχύει α, βγ, και τα εσωτερικά rr rr γινόµενα α. β, β. γ δε µπορούν να είναι ταυτόχρονα µηδέν r r r r rr r r rr (αν α β α. β= τότε β. γ. Οµοίως αν β γ β. γ= rr τό τε α. β ) άρα η (ε) ικανοποιεί τη συνθήκη Α ή Β οπότε παριστάνει πάντα εξίσωση ευθείας. β. Έστω ε//χ'χ τότε ε: ψ=ψ rr r r ά ρα α. β = α β δηλ. ΑΒΓ ορθογώνιο µε Γ = 9 $ Έστω ε//ψ'ψ τότε ε: χ=χ rr ur r ά ρα β. γ = γ β δηλ. ΑΒΓ ορθογώνιο µε Α = 9 14

Β. uur r β = γ r r 1 συν(, β γ ) = συν 6 = Η (ε) διέρχεται από το (1,κ) άρα rr rur rur rr r ur 1 urr urr urr κ r ur αβ+κβγ+αγ= αβ+κ β. γ. + αγ = αβ + αγ = β. γ r r ur κ r ur r r κ r ur κ r ur κ α(β+γ)=- β. γ α(-α)=- β α =- β α r = β (1) ur Γ= r β Α ύψος, διάµεσος, διχοτόµος άρα Α = ισχύ ει από Πυθαγόρειο θεώρηµα στο Α Γ: r r r β β Γ =ΑΓ Α Γ =β Γ = 4 4 r ur r β α β ur r ur r ρα = α = β α = β από (1) και (): κ r r β = β άρα κ=6 ά Γ= () Α Β Γ 15

ΘΕΜΑ 4 ο Α. 7ν -ν-6 = 6ν +ν -ν-6=6ν -6+ν -ν=6(ν -1)+ν(ν-1)= = 6(ν-1)(ν+1)+ ν(ν-1)=(ν-1)(6ν+6+ν)=(ν-1)(7ν+6) = πολ(ν-1) Β. α= κ+ 1 β= λ+ 1 γ= µ+ 1, κ, λ, µ Ζ α+β=(κ+λ)+=(κ+λ+1) β+γ=(λ+µ)+=(λ+µ+1) α+γ=(κ+µ)+=(κ+µ+1) άρα (α+β)(β+γ)(α+γ)=8(κ+λ+1)(λ+µ+1)(κ+µ+1)=πολ8 Γ. αν ν=κ, κ Ζ κ(κ+1)(κ+8) Α= = κ(κ+1)(κ+8) Ζ αν ν=κ+1, κ Ζ (κ+1)(κ+1+1)(κ+1+8) (κ+1)(κ+)(κ+9) Α= = = (κ+1)(κ+)(κ+) = =(κ+1)(κ+)(κ+) Ζ αν ν=κ+, κ Ζ (κ+)(κ++1)(κ++8) (κ+)(κ+)(κ+1) Α= = (κ+1)(κ+)(κ+1) = = (κ+1)(κ+)(κ+1) Ζ άρα Α ακέραιος =. α/β β=κα (1) β/γ γ=λβ () 16

γ/α από (1) και (): γ=(λκ)α άρα α/γ και από δεδοµένο γ/α άρα α=γ µε αντικατάσταση προκύπτει: (α-β)(β-γ)(γ-α)= (α-β)(β-γ)(α-α)=. 17

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο : ίνονται οι ακέραιοι α = κ + και β = 5κ +, όπου κ ακέραιος αριθµός. α) Αν δ θετικός ακέραιος, τέτοιος ώστε δ / 5α και δ / β, να βρεθεί ο δ. β) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού (6β α) µε το 7. γ) Αν ο κ είναι περιττός, να αποδείξετε ότι ο αριθµός (α + β ) είναι πολλαπλάσιο του 16. ΘΕΜΑ ο : Έστω το σηµείο Κ(, ) και η ευθεία ε µε εξίσωση 4x y 16 =. α) Να βρεθεί το σηµείο τοµής Ε της ευθείας ε µε τον άξονα x x. β) Να αποδείξετε ότι το διάνυσµα KE είναι κάθετο στην ευθεία ε. γ) Να γράψατε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος έχει κέντρο το Κ και διέρχεται από το σηµείο Ε. δ) Να αποδείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος εφάπτεται στην ευθεία ε. ΘΕΜΑ ο : ίνονται τα διανύσµατα α (, ), β (,), το σηµείο Α(1,1) και τα σηµεία Β και Γ που ορίζονται από τις ισότητες ΑΒ =α+β, ΑΓ =β α) Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ και ορίζουν τρίγωνο. β) Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. γ) Να βρεθούν οι συντεταγµένες των σηµείων Β και Γ. ΘΕΜΑ 4 ο : x y α)να δοθεί ο ορισµός της εκκεντρότητας ε της έλλειψης C: + = 1. α β β) Να χαρακτηρίσετε σωστό ή λάθος στις παρακάτω προτάσεις x y y x i. Οι υπερβολές = 1 και = 1 έχουν ίδιες 9 4 9 4 ασύµπτωτες. x y x y ii. Οι εξισώσεις + = 1και + = 1 παριστάνουν όµοιες 16 6 8 18 ελλείψεις. 18

iii. Η εξίσωση (κ-)χ+(κ -κ-)y +=παριστάνει ευθεία για κάθε κ R. iv. Ο κύκλος χ +(y-) =4 και η ευθεία (ε):4χ+y+4= εφάπτονται. v. Η ευθεία που διέρχεται από το σηµείο Α(,-) και είναι δ παράλληλη στο διάνυσµα (,1) έχει εξίσωση (ε):y=-. γ. Να γίνει η αντιστοίχηση µεταξύ των στηλών Α και Β ΣΤΗΛΗ Α 1. χ +y -4χ+y+5=. 4χ -y =. 16y =χ +1 4. 8χ +6y =48 5. χ +y -4χ+y-5= 6. 9χ -y= ΣΤΗΛΗ Β α. Υπερβολή β. Έλλειψη γ. Παραβολή δ. Κύκλος ε. Ζεύγος Ευθειών στ. Ένα σηµείο 19

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ου ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΘΕΜΑ 1 ο : α) Είναι 5α = 15κ + 1, β = 15κ + 9 και 5α β = 1. δ / 5α και δ / β, εποµένως δ / ( 5α β ) δ / 1. Άρα δ = 1. β) Είναι: 6β α = κ + 18 9κ 6 = 1κ + 1 = 1κ + 7 + 5 = 7(κ +1) + 5. Εποµένως το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού (6β α) µε το 7 είναι 5. γ) Αν κ = ρ + 1, ρ Ζ, είναι: α + β + = κ + + 5κ + + = 8κ + 8 = 8(κ + 1) = 8(ρ + ) = 16(ρ + 1) ΘΕΜΑ ο : α) Από την εξίσωση 4x y 16 =, για y =, έχουµε x = 4, δηλαδή Ε(4, ). β) Το διάνυσµα v = (,4) είναι παράλληλο στην ευθεία ε. Επειδή KE = (4, ) και KE v = 4 + ( ) 4 = είναι KE v γ) Ο ζητούµενος κύκλος έχει ακτίνα: ( ) 4 ( ) 5 ρ= ΚΕ = ΚΕ = + = και εξίσωση (x ) + (y ) = 5 x + (y ) = 5 δ) Επειδή 4 16 d(k, ε ) = = 5 =ρ 4 + ( ) ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία ε. ΘΕΜΑ ο : α)αρκεί να αποδείξουµε ότι τα σηµεία Α, Β και Γ δεν είναι συνευθειακά, δηλαδή ότι ΑΒκαιΑΓ δεν είναι παράλληλα ΑΒ = α+ β = (, ) + (,) = ( 1,1) ΑΓ = β = (,)

uuur uuur det( ΑΒ, ΑΓ ) = 5 Άρα τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα και ορίζουν τρίγωνο 1 uuur uuur 5 β) ( ΑΒΓ ) = det( ΑΒ, ΑΓ ) = τ. µ γ) Έστω (x β,y β ) οι συντεταγµένες του Β και (x γ,y γ ) οι συντεταγµένες του Γ. Αρα ΑΒ = ( 1,1) (xβ 1,yβ 1) = ( 1,1) xβ =,yβ =,Β(,) ΑΓ = (,) (x 1,y 1) = (,) x =,y = 4, Γ(,4) γ γ γ β ΘΕΜΑ 4 ο : α) Σχολικό βιβλίο σελ. 14-15 β) i Λ ii Σ iii Λ iv Σ v Λ γ) 1 στ ε α 4 β 5 δ 6 γ 1

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ [ΠΡΟΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗ] ΘΕΜΑ 1 ο : ίνεται η εξίσωση ( ε ):( λ + λ ) x + (λ + λ 1) y 7λ 1λ+ 5= λ α) Να δείξετε ότι παριστάνει ευθεία, για κάθε λ R β) Να δείξετε ότι οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σηµείο για κάθε λ R γ) Να βρεθεί από τις ευθείες ε λ, εκείνη που έχει 1 συντελεστή διεύθυνσης ίσο µε δ) Εάν ε 1 και ε είναι οι ευθείες που προκύπτουν για λ=1 και λ=-1 από την ε λ, να βρεθεί το συνηµίτονο της οξείας τους γωνίας ω. ΘΕΜΑ ο : Έστω ότι η ευθεία ( ε ):x+ y = και ο κύκλος c:x + y x =, τέµνονται στα σηµεία Μ και Ν. α) Να δείξετε ότι η εξίσωση : x + y x +λ (x + y ) =, λ R παριστάνει κύκλο που διέρχεται από τα σηµεία Μ και Ν. β) Για ποια τιµή του λ ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων ; γ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου του β) ερωτήµατος, η οποία είναι παράλληλη µε την ευθεία ΜΝ ΘΕΜΑ ο : α). Να βρείτε τους ακέραιους αριθµούς κ ώστε ο αριθµός κ+ 5 να είναι ακέραιος. β) Αν δ,ν είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει δ (5ν+ ) και δ (8ν+ 5), να δείξετε ότι δ 1. ν+ ν+ 4 γ) Να δείξετε ότι για κάθε νεν ισχύει 5 ( + )

ΘΕΜΑ 4 ο : ur ur α) Να βρείτε τα µέτρα των µη µηδενικών διανυσµάτων α, β αν ur ur ur ur ur β = α α και β = 6 α β) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur π AB AΓ = AB και AB AΓ = AB +ΓΑ+ΒΓ να δείξετε ότι ΑΒ, ΑΓ = ur ur γ) Αν α = ( λ 1, λ λ ) και β = ( λ 1, λ + λ+ ) να βρεθεί ο λ R όταν ur ur ur ur ι) α // β και ιι) α + β // χ' χ