ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας Α(ω) ενός χαμηλοδιαβατού και ενός υψηλοδιαβατού φίλτρου. Κάθε φίλτρο έχει εύρος ζώνης που καθορίζεται από τα σημεία αποκοπής. Αυτά τα σημεία τα οποία είναι μάλλον αυθαίρετα και καθορίζονται από τις συχνότητες ω c τις οποίες η Α(ω) είναι κλάσμα της μέγιστης τιμής της Α(ω) (συνήθως χρησιμοποιούνται τα σημεία ήμισυς ισχύος, δηλ. όπου Áù ( ) = max Áù ( ) ). Το εύρος ζώνης Β ενός χαμηλοδιαβατού φίλτρου ισούται με τη συχνότητα αποκοπής ωc. Το εύρος ζώνης ενός ζωνοδιαβατού φίλτρου είναι η απόσταση Β=ω α -ω β μεταξύ των σημείων αποκοπής. Το σημείο ω 0 που βρίσκεται στο μέσο του διαστήματος (ω α, ω β ) είναι η κεντρική συχνότητα του φίλτρου. να ζωνοδιαβατό φίλτρο καλείται φίλτρο στενής-ζώνης αν Β<<ω 0. Σχήμα 6.6 Η απόκριση συχνότητας H(jω) ενός φίλτρου επιλέγεται έτσι ώστε να προσεγγίζει τις προδιαγραφές που έχουν επιλεγεί κατά τη σχεδίαση (διακεκομμένες γραμμές στο Σχήμα 6.6). Το πρόβλημα της προσέγγισης εκφράζεται ως προς το πλάτος Α(ω) της H(jω). Αν οι προδιαγραφές φάσης το απαιτούν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα ολοδιαβατό φίλτρο (δες 6.60) για να διορθώσει τις παραμορφώσεις της φάσης (ισοσταθμιστής). Για να υλοποιήσουμε ένα φίλτρο, πρέπει να ξέρουμε τη συνάρτηση του συστήματος H(). Όπως θα δείξουμε στο τέλος αυτού του εδαφίου (παραγοντοποίηση), η συνάρτηση μπορεί να εκφρασθεί ως προς Α(ω). Παρακάτω αναπτύσσουμε διάφορα μάλλον απλά φίλτρα, τα οποία πραγματοποιούνται με κανονικοποιημένες συχνότητες και ωμικά φορτία του Ohm. Η επέκταση σε τυχαίες ζώνες και τυχαία ωμικά φορτία απαιτεί μεγάλη κλιμάκωση (δες Σχήμα 6.). Σχήμα 6.7 Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: Στο Σχήμα 6.7 παρουσιάζουμε ένα χαμηλοδιαβατό φίλτρο με ένα πόλο που υλοποιείται ως συνάρτηση μεταφοράς σύνθετης αντίστασης ή σύνθετης -6.5-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΘΕΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ αγωγιμότητας. Όπως βλέπουμε από το Σχήμα, η απόκριση συχνότητας εξασθενίζει σταδιακά. Για να αυξήσουμε το ρυθμό αποκοπής πρέπει να χρησιμοποιήσουμε υψηλότερης τάξης συστήματα (με περισσότερους πόλους). Στο Σχήμα 6.8 δείχνουμε ένα φίλτρο δευτέρου βαθμού (με δύο πόλους). με μιγαδικούς πόλους ùr H() = Aù ( ) = + á + ù r ù r ( r ), = a ± jâ á + â = ù r ù ù + 4á ù (6.30) Όπως έχουμε δείξει στην παράγραφο 5. η μορφή της Α(ω) εξαρτάται από την τιμή του λόγου β/α. Οι δύο καμπύλες στο σχήμα επιτυγχάνονται θέτοντας β=α και β=α αντίστοιχα. Στη δεύτερη περίπτωση η εξασθένηση εξωτερικά της ζώνης του φίλτρου είναι μεγαλύτερη. ενώ υπάρχει υπέρβαση (overhoot) στη ζώνη διέλευσης συχνοτήτων, και το μέγιστο της (δες (5.79)) για ù = ù = â = á = á 3 m Σχήμα 6.8 Το δευτεροβάθμιο (με δύο πόλους) αυτό φίλτρο μπορεί να υλοποιηθεί μ' ένα R-L-C κύκλωμα όπως στο Σχήμα 5.35. Επειδή όμως δεν υπάρχουν μηδενικά, μια υλοποίηση ladder είναι επίσης δυνατή. Εκφράζουμε τον παρανομαστή H() σαν άθροισμα: + a+ ù = p () + q () p () = S + ù q () = a και σχηματίζουμε τα συνεχόμενα κλάσματα P () q () = + = q () a a / ù p () r r r + a a / ù Αυτά τα κλάσματα είναι η σύνθετη αντίσταση εισόδου των δύο L-C κυκλωμάτων που δείχνουμε στο Σχήμα 6.8. Αυτά τα δίθυρα έχουν την H() σαν συνάρτηση μεταφοράς ή σύνθετης αγωγιμότητας ή σύνθετης αντίστασης. Παρακάτω θ' ασχοληθούμε συντόμως με το σχεδιασμό φίλτρων υψηλότερης τάξης, περιορίζοντας την μελέτη μας σε δύο μάλλον κοινούς τύπους: Ένα φίλτρο Butterworth τάξης n είναι ένα σύστημα με απόκριση συχνότητας Áù ( ) = + ù n r (6.3) -6.6-4/8/00 :0:00 μμ
ΦΙΛΤΡΑ Αυτή η απόκριση πλησιάζει ένα ιδανικό χαμηλοδιαβατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής ω c = γιατί Áù ( ) n ù < 0 ù > Η απόκριση ενός φίλτρου Butterworth είναι "επίπεδη" κοντά στην περιοχή του ω=0. Όμως ο ρυθμός αποκοπής δεν είναι ικανοποιητικός. Ένα φίλτρο Chebycheff τάξης n είναι φίλτρο με απόκριση συχνότητας όπου Áù ( ) = + åc ( ù) n (6.3) C ( ù) = conx cox = ù (6.33) n Η συνάρτηση C n (ω) είναι πολυώνυμο (Chebycheff) ως προς ω γιατί η conx μπορεί να εκφρασθεί ως πολυώνυμο ως προς cox. Πράγματι, επειδή co x = co x 3 co 3x = 4co x 3co x 4 co 4x = 8co x 8co x + συμπεραίνουμε ότι C ( ù) = ù 3 C 3 ( ù) = 4ù 3ù 4 C ( ù) = 8ù 8ù + 4 Από την 6.33 έχουμε ότι ένα πολυώνυμο Chebycheff Cn(ω) ταλαντώνεται μεταξύ και - καθώς το ω αυξάνεται από 0 σε. Αυτό αποδεικνύει ότι η Α(ω) έχει την ισοκυμματική (equrpple) ιδιότητα στη ζώνη του φίλτρου, δηλαδή ταλαντώνεται μεταξύ του (μεγίστου) και της ελαχίστου τιμής / + å όπως στο Σχήμα 6.9. Το πλάτος της κυμάτωση ισούται με / + å και ελαττώνεται, καθώς μειώνεται το ε. Μπορεί να αποδειχθεί ότι το φίλτρο Chebychef έχει την παρακάτω πολύ καλή ιδιότητα. Ανάμεσα στα άλλα φίλτρα της ίδιας τάξης και της ίδιας κυμάτωσης, έχει το μεγαλύτερο ρυθμό αποκοπής. Για παράδειγμα η κλίση της Α(ω) στο σημείο αποκοπής ωc= είναι μεγίστη. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το φίλτρο Chebychef είναι το βέλτιστο μόνο στην κατηγορία των φίλτρων με σταθερό αριθμητή. Αν απομακρύνουμε τον περιορισμό αυτό, μπορούμε να αυξήσουμε περισσότερο το ρυθμό αποκοπής. Μπορεί να αποδειχθεί ότι στην κατηγορία όλων των φίλτρων, το βέλτιστο έχει καθαρά φανταστικά μηδενικά ± jù και η απόκριση Α(ω) έχει την ισοκυμματική ιδιότητα όχι μόνο στη ζώνη διέλευσης αλλά και στη ζώνη αποκοπής (Σχήμα 6.0). Αυτό το φίλτρο καλείται ελλειπτικό. -6.7-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΘΕΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 6.9 Σχήμα 6.0 Στο Σχήμα 6. δείχνουμε την απόκριση φίλτρου τάξης n=3 και ε=9/6 Áù ( ) = 9 + ( ù ù) 6 4 3 3 (6.34) Στη ζώνη διέλευσης (0,) η Α(ω) κυμαίνεται μεταξύ του μέγιστου Α(0)= και του ελαχίστου Α() = / + å = 08, Όπως βλέπουμε, η αντίστοιχη συνάρτηση του συστήματος είναι -6.8-4/8/00 :0:00 μμ
ΦΙΛΤΡΑ / 3 Ç () = (6.35) ( + 0374, )( + 0374, + 089, ) Οι πόλοι της =-0,374 και,3 =-0,87 ± j 0,95 βρίσκονται πάνω σε μία έλλειψη όπως στο σχ. 6.. Σχήμα 6. Στο ίδιο σχήμα επίσης δείχνουμε και την απόκριση Áù ( ) = 6 + ù (6.36) ενός φίλτρου Butterworth της ίδιας τάξης. Η συνάρτηση του συστήματος δίνεται από (Δες 6.57). Ç () = (6.37) ( + )( + + ) και οι πόλοι =- και,3 =-0,5( ± j 3) βρίσκονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο. Προσαρμογή (calng): Τα διάφορα φίλτρα που αναφέρθηκαν νωρίτερα περιλαμβάνουν κανονικοποιημένες ζώνες συχνοτήτων και φορτία. Τα αποτελέσματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν. για το σχεδιασμό φίλτρων για αυθαίρετες ζώνες και φορτία. Αυτό γίνεται με ανάλογη προσαρμογή (κλιμάκωση) των στοιχείων σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες.. Δοθέντος φίλτρου με απόκριση συχνότητας A 0 (ω) και συνάρτηση συστήματος H 0 () διαιρούμε όλα τα πηνία και τους πυκνωτές με σταθερά ω c, αφήνοντας όλες τις αντιστάσεις ανέπαφες. Μπορεί να αποδειχτεί ότι η απόκριση συχνότητας Α(ω) και η συνάρτηση Η () του φίλτρου που προκύπτει δίνεται από A( ù) = Á0( ù/ ùc) H( ) = H 0( S / ùc) (6.38). Δοθέντος φίλτρου με απόκριση συχνότητας Α (ω) και συνάρτηση συστήματος H (). Πολλαπλασιάζουμε όλες τις αντιστάσεις και τα πηνία με μία σταθερά R και διαιρούμε όλους τους πυκνωτές με R. Μπορεί να αποδειχτεί ότι η απόκριση συχνότητας Α(ω) και η συνάρτηση του συστήματος H() του τελικού φίλτρου δίνονται από k k Á ( ù) = R A ( ù) Ç ( ) = R H ( ) -6.9-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΘΕΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ H τιμή του k εξαρτάται από τη φύση της H(). Για σύνθετη αντίσταση η αγωγιμότητα ή λόγω τάσεων ή λόγω ρευμάτων, ο k παίρνει τις τιμές, -, 0 και 0 αντίστοιχα. Αυτοί οι κανόνες προκύπτουν εύκολα από τις εξισώσεις δικτύων. Θα χρησιμοποιήσουμε τα παραπάνω για να σχεδιάσουμε ένα χαμηλό διαβατό φίλτρο Butterworth τάξης n=3 με συχνότητα αποκοπής ω c =06 r/ και υλοποιείται ως ο λόγος τάσεων ενός δίθυρου δικτύου απλοποιημένο σε αντίσταση Η κανονικοποιημένη απόκριση Á ( ù) = 0 R = 03 Ω 6 + ù 'Εχει μια συχνότητα αποκοπής ω c = και η συνάρτηση συστήματος H 0 () υλοποιείται στο σχ. 6.α ως λόγος τάσεων (δες σχ. 6.3). V() Ç0 () = 3 + + + = E () πολλαπλασιάζοντας όλα τα αντιδραστικά στοιχεία με ω c = 06r/ παίρνουμε το φίλτρο του σχ. 6.b. Πολλαπλασιάζοντας τις αντιστάσεις και τα πηνία με R=03 και διαιρώντας με πυκνωτή 03, παίρνουμε το φίλτρο του σχ. 6.c. Aυτό είναι το επιθυμητό αποτέλεσμα Σχήμα 6. Ζωνοδιαβατά φίλτρα: Ο σχεδιασμός ενός στενής ζώνης ζωνοδιαβατού φίλτρου μπορεί να μειωθεί στο σχεδιασμό ενός ισοδύναμου χαμηλοδιαβατού φίλτρου. Αυτό γίνεται ως εξής: ΧΑΜΗΛΟΔΙΑΒΑΤΟΙ ΖΩΝΟΔΙΑΒΑΤΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ: Μας έχει δοθεί ένα χαμηλοδιαβατό φίλτρο τάξης n. Σημειώνοντας με p 0 και 0 τα μηδενικά και τους πόλους της H 0 () σχηματίζουμε ένα σύστημα H() τάξης n έτσι ώστε τα μηδενικά και οι πόλοι να είναι ίσοι με p 0 ± jω 0 και 0 ± jω 0 αντίστοιχα (σχ. 6.3). Χρησιμοποιώντας τις προσεγγίσεις πόλων μηδενικών που έχουν παρουσιαστεί στην παράγραφο 5., μπορούμε ν' αποδείξουμε ότι αν ω 0 είναι μεγάλο σε σχέση με το εύρος ζώνης της A 0 (ω), τότε το σύστημα H() που έχει προκύψει είναι ένα ζωνοδιαβατό φίλτρο με κεντρική συχνότητα ω 0 και στη γειτονιά του ω 0 η απόκριση συχνότητας του φίλτρου, είναι μία μετατόπιση της A 0 (ω) -6.0-4/8/00 :0:00 μμ
ΦΙΛΤΡΑ Áù ( ) ka ( ù ù ) όπου k είναι κάποια σταθερά (δες επίσης 5.8) 0 0 Σχήμα 6.3 Παράδειγμα 6.0 Θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα διπολικό ζωνοδιαβατό σύστημα H() με εύρος ζώνης α και κεντρική συχνότητα ω 0 >>α. Το ισοδύναμο χαμηλοδιαβατό φίλτρο έχει ένα απλό πόλο 0 =-α και η απόκριση συχνότητας είναι η γνωστή Á0 ( ù) ù á + Εφαρμόζοντας τον κανόνα μετασχηματισμού συμπεραίνουμε ότι οι πόλοι του H() είναι ίσοι με - α ± jω 0 : Çz ( ) = + a + ù και η απόκριση συχνότητας Α(ω) επιτυγχάνεται με μετατόπιση της A 0 (ω) Áù ( ) 0 k ( ù ù ) + á 0 ãé á ù ù ù (6.40) 0 0 στο σχ. 6.4 δείχνουμε την υλοποίηση της H() ως λόγο τάσεων ή ρευμάτων ενός δίθυρου δικτύου απλοποιημένου σε αντίσταση R. Aυτά τα κυκλώματα επιτυγχάνονται κλιμακώνοντας τα δύο κυκλώματα του σχ. 6.8. -6.-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΘΕΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 6.4 Παράδειγμα 6. Θεωρούμε τη σχεδίαση ενός τεσσάρων πόλων ζωνοδιαβατού φίλτρου H() αρχίζοντας με το ισοδύναμο χαμηλοδιαβατό φίλτρο H 0 (). Διαλέγουμε τους πόλους -α ± jβ της H 0 () σύμφωνα με τις απαιτήσεις της σχεδίασης (δες παράδειγμα 5.0). Εφαρμόζοντας τους κανόνες μετασχηματισμού καταλήγουμε στο ότι οι πόλοι της H() είναι ίσοι με á ± jâ ± jù 0 αυτοί οι πόλοι σχηματίζουν τα συζυγή ζευγάρια á ± jù á ± jù ù = ù0 + â ù = ù0 â που φαίνονται στο σχήμα 6.5. Η συνάρτηση που προκύπτει είναι k Ç () = ( + a + ù )( + a + ù ) μπορεί να υλοποιηθεί με παθητικά στοιχεία, όπως στο εδάφιο 6.. Μία απλούστερη υλοποίηση παρουσιάζεται στο σχήμα 6.5. Αποτελείται από δύο διπολικά συστήματα που συνδέονται k k Ç () = Ç () = + a + ù + a + ù που συνδέονται διαδοχικά ώστε η μία να είναι το φορτίο της άλλης. Κάθε σύστημα έχει υλοποιηθεί μόνο με παθητικά στοιχεία, όπου φαίνεται στο σχήμα 6.5. Παρ όλα αυτά όπως θα δείξουμε στο επόμενο εδάφιο, η διαδοχική σύνδεση απαιτεί ελεγχόμενες πηγές. -6.- 4/8/00 :0:00 μμ
ΦΙΛΤΡΑ Σχήμα 6.5 Φίλτρα Υψηπερατά (Hgh-pa): θ αναφερθούμε σύντομα σ ένα απλό κανόνα για τη μετατροπή ενός χαμηλοδιαβατού φίλτρου με συχνότητα αποκοπής ω 0 σ ένα φίλτρο H() υψηλών συχνοτήτων με την ίδια συχνότητα αποκοπής. Αντικαθιστάμε κάθε πηνίο L 0 του H 0 () με πυκνωτή χωρητικότητας C=/L 0 ω 0 και κάθε πυκνωτή C 0 του H 0 () με πηνίο L=/c 0 ω 0. Μπορεί να αποδειχτεί ότι αν η H 0 () είναι λόγος τάσεων ή λόγος ρευμάτων τότε Ç () = H 0 ( ùc / ) Aù ( ) = Á0 ( ùc / ù) (6.4) Αυτό το συμπεραίνουμε αν συγκρίνουμε τις εξισώσεις των κυκλωμάτων των δύο φίλτρων. Παράδειγμα 6. Θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα διπολικό φίλτρο υψηλών συχνοτήτων με συχνότητα αποκοπής ω c, ξεκινώντας από το αντίστοιχο χαμηλοδιαβατό φίλτρο ùc Ç0 () = A ( ù) = + ù + ù 0 4 + ( ù/ ù ) c c c που φαίνεται στο σχ. 6.6α. Αυτή είναι μία ειδική περίπτωση διπολικής απόκρισης (6.30) που επιτυγχάνεται με ωr= ω c α = β = ω c / και μπορεί να υλοποιηθεί με κατάλληλη κλιμάκωση των στοιχείων του φίλτρου στο σχ. 6.8. -6.3-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΘΕΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 6.6 Εφαρμόζοντας τον κανόνα μετασχηματισμού χαμηλοδιαβατού φίλτρου σε φίλτρο συχνοτήτων παίρνουμε το σύστημα που φαίνεται στο σχ. 6.6b Παραγοντοποίηση : H()= ù + ù + c c Οι προδιαγραφές για το σχεδιασμό ενός φίλτρου εκφράζονται συνήθως ως προς το πλάτος Áù ( ) = Ç( jù) (6.43) της H(jω) (δες π.χ. 6.3 και 6.3). Για να μπορέσουμε να υλοποιήσουμε το φίλτρο, πρέπει να μπορούμε να εκφράσουμε την H() ως προς Α(ω). Αυτό γίνεται ως εξής: Όπως ξέρουμε το τετράγωνο της Α(ω) είναι ρητή συνάρτηση του ω Lù ( ) Á ( ù) = 0 (6.44) Ìù ( ) με πραγματικούς συντελεστές. Ο αριθμητής L(ω ) και ο παρονομαστής Μ(ω ) είναι πολυώνυμα ως προς ω, γι' αυτό μπορούν να πραγματοποιηθούν σε πραγματικούς πρώτους παράγοντες της μορφής 4 f ( ù ) = ù + á ç f ( ù ) = ù + b ù + c Για να λύσουμε το πρόβλημα αρκεί να αντιστοιχήσουμε κάθε παράγοντα F(ω ) μ ένα πολυώνυμο p() ώστε Αυτό μπορεί να γίνει ώς εξής Ι) Υποθέτοντας πρώτα ότι p ( jù) = f ( ù ) (6.45) F( ù ) = ù + á ïðïõ a = a a 0-6.4-4/8/00 :0:00 μμ
ΦΙΛΤΡΑ είναι θετικός αριθμός. Σ αυτή την περίπτωση Παράδειγμα 6.3 Αν τότε Áù ( ) = ù 4 + 3ù + 36 Á ( ù) = = 4 ù + 3ù + 36 ( ù + 4)( ù + 9) p ()= + a (6.47) Οι πρώτοι παράγοντες του παρονομαστή είναι ίσοι με ω +4 και ω +9 και οι αντίστοιχοι παράγοντες της H() είναι ίσοι με + και +3 όπως στην (6.47). Έτσι, Ç () = = (6.48) ( + )( + 3) + 5 + 6 II) Tώρα υποθέτουμε ότι ο α είναι αρνητικός, π.χ. αν το f(ω ) περιέχει τον παράγοντα ù + á ïð ïõ a = ù 0 (6.49) Aφού η Α(ω) είναι θετική συνάρτηση, ο παράγοντας αυτός πρέπει να είναι διπλός γιατί διαφορετικά η Α(ω) θα ήταν αρνητική για κάποιες τιμές του ω. Γι' αυτό, Σ αυτή την περίπτωση f ( ù ) = ( ù ù ) (6.50) γιατί τότε p ( jù) = ( ù+ ù ) = f ( ù ). Παράδειγμα 6.4 Αν ù Áù ( ) = 4 ù + 3ù + 36 τότε ( ù 5) Á ( ù) = 4 ù + 3ù + 36 Έτσι (δες 6.47 και 6.5) + Ç ()= + 5 + 6 III) Yποθέτοντας τελικά ότι P ()= + ù c (6.5) 4 f( ù ) = ù + bù + c (6.5) Aφού η f(ω ) δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί περαιτέρω, οι ρίζες ως προς ω θα είναι μιγαδικές, π.χ. οι συντελεστές b και c, πρέπει να είναι τέτοιοι ώστε b 4c < 0 (6.53) -6.5-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΘΕΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ O αντίστοιχος παράγοντας της H() είναι δευτεροβάθμιος: αναλυτικότερα Έτσι (δες 6.45) P ()= + â + ã P ( jù) = ù + jâù+ ã = ( ã ù ) + â ù = ù + ( â ã ) ù + ã 4 é é 4 4 ù + ( â ã ) ù + ã = ù + b ù + c é é é (6.54) Εξισώνοντας τους συντελεστές παίρνουμε â ãé = bé και γ = c. Ετσι οι συντελεστές του P () δίνονται από ã = c â = b + 4 (6.55) Aυτοί οι αριθμοί είναι πραγματικοί και θετικοί (δες 6.53) Παράδειγμα 6.5 Áù ( ) = 4 ù ù + Ο παρονομαστής του Α (ω) είναι διτετράγωνος, όπως στην 6.5. 4 F ( ù ) = ù ù + b = c = Oι αντίστοιχοι παράγοντες της p () της H() είναι δευτεροβάθμιοι όπως στην (6.54) όπου (δες 6.55). Έτσι (b) Σ αυτή την περίπτωση ã = c = â = b + c = P () = + + H() = + + Aù ( ) = 4 ù + 4 F ( ù ) = ù + b = 0 c = Γι' αυτό γ=, β= και P () = + S + H() = + + Παράδειγμα 6.6 (α) Áù ( ) = 6 ù + Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή του Α (ω): ω6+ = (ω +) (ω 4 -ω +) (6.56) -6.6-4/8/00 :0:00 μμ
ΦΙΛΤΡΑ με Καταλήγουμε λοιπόν στο ότι 'Eτσι (b) F(ω ) = ω + F(ω ) = ω 4 - ω + p () = S τ p () = ++ Ç () = ( + )( + + ) Aù ( ) = 9 + ( ù ù) 6 4 3 3 Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή του Α (ω) 9 3 4 + ( 4ù 3ù) = 9( ù + 04, )( ù, 6ù + 079, ) 6 4 4 με f ( ù ) = ù + 04, f ( ù ) = ù, 6ù + 079, καταλήγουμε στο p() = + 0374, p() = + 0374, + 089, οπότε Ç ()_ = (, )( + 0374 + 0374, + 089, ) Στην παραπάνω μέθοδο συμφωνήσαμε σιωπηρά ότι όλοι οι παράγοντες p() του αριθμητή και παρονομαστή της H() είναι πολυώνυμα Hurwtz. Ο παρονομαστής του H() πρέπει να είναι Hurwtz για λόγους ευσταθείας. Ο αριθμητής δε χρειάζεται. Αν αλλάξουμε τους συντελεστές -a και -β+γ, τότε το πλάτος Ç( jù) της H() δεν θα αλλάξει γιατί Παράδειγμα 6.7 Αν jù + á = jù á é é ( jù) + jâ ù + ã = ( jù) jâ ù + ã και τότε Áù ( ) = ù ù + + 4 Ç() = + H () = + + Ç ( jù) = Ç ( jù) = Á( ù) -6.7-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΘΕΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τα παραπάνω δείχνουν ότι υπάρχει παραπάνω από μία ευσταθής συνάρτηση H() με το ίδιο πλάτος Ç( jù). Μ' άλλα λόγια η (6.43) δεν έχει μοναδική λύση. Παρ όλα αυτά αν θέσουμε την προϋπόθεση ότι όχι μόνο οι πόλοι αλλά και τα μηδενικά της H() να βρίσκονται στον αριστερό ημιεπίπεδο τότε η (6.43) έχει μοναδική λύση. Μία συνάρτηση μ αυτή την ιδιότητα λέγεται ελάχιστης φάσης. Από τις δύο συναρτήσεις της (6.58) μόνο η πρώτη είναι ελάχιστης φάσης. Οι συναρτήσεις ελάχιστης φάσης έχουν την εξής ιδιότητα. Έστω ότι η H () είναι ελάχιστης φάσης με πλάτος Α(ω) και φάση φ (ω). Αν η H () είναι τυχαία συνάρτηση με το ίδιο πλάτος Α(ω) και φάση φ (ω) τότε (δες προβλ. 6.6) η κλίση -φ (ω) της φάσης -φ (ω) είναι μεγαλύτερη της κλίσης -φ (ω) της -φ (ω) για κάθε ω: jö( ù) jö ( ù) Ç( jù) = Á( ù) e Ç( ù) = Á( ù) e ö ( ù) > ö ( ù) (6.59) Ολοδιαβατά συστήματα: Μία συνάρτηση Ha() καλείται ολοδιαβατή αν είναι ευσταθής και το πλάτος της να είναι ίσο με : Ç ( á jù ) = (6.60) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι αν η Ηα() είναι ολοδιαβατή, τότε jö ( ù) Ç ( jù) = e (6.6) Ολοδιαβατά συστήματα χρησιμοποιούνται για να τροποποιήσουν τη φάση ενός φίλτρου, αφήνοντας το πλάτος ανέπαφο (ισοσταθμιστές). Παράδειγμα ενός ολοδιαβατού φίλτρου είναι ο λόγος των δύο συστημάτων στην (6.58): H () Çá () = = (6.6) H () + Σ αυτό το παράδειγμα το μηδενικό p= της Ha() είναι συμμετρικό ως προς τον πόλο =- ως προς τον άξονα jω. Χρησιμοποιώντας διαγράμματα πόλων-μηδενικών, μπορούμε να δείξουμε ότι αυτό είναι αλήθεια. Ένα παράδειγμα ενός ολοδιαβατού φίλτρου είναι το σύστημα στο σχήμα 6.7, όπου η Z() είναι αντιδραστικό δίκτυο Ζ(jω) = j X(ω) (6.63) (δες 6.8). Πράγματι όπως βλέπουμε από το σχήμα οι δύο κλάδοι 3 και 4 έχουν την ίδια σύνθετη αντίσταση (mpedance) R+Ζ(). Επιπλέον [ ] E( ) = R +Ζ ( ) I( ) και Z( ) I( ) + V( ) = RI( ) á -φ (ω) ονομάζεται καθυστέρηση φάσης (phae lag) : -φ (ω) ω=0 ονομάζεται καθυστέρηση ομάδας (group delay) -6.8-4/8/00 :0:00 μμ
ΦΙΛΤΡΑ 'Eτσι Σχήμα 6.7 V() R Z() Ç () = = E () R+ Z() Aπό τη σχέση αυτή και την 6.63 προκύπτει ότι: (6.64) R jx( ù) Ç( jù) = = (6.65) R+ jx( ù) Δύο ειδικές περιπτώσεις παρουσιάζονται στο σχ. 6.8. Στην πρώτη η Z() = /C: Έτσι Στη δεύτερη Z() = L+/C; Έτσι R / C Ç () = R+ / C a = + a a = RC (6.66) R L / C Ç () = R+ L + / C a + ùr R = a = ùr = + a + ùr L LC (6.67) Μία τυχαία ολοδιαβατή συνάρτηση H() μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων συναρτήσεων, όπως στην (6.66) και (6.67) γι' αυτό μπορεί να υλοποιηθεί με εν σειρά σύνδεση των δύο συστημάτων του σχήματος 6.8. -6.9-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΘΕΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 6.8-6.30-4/8/00 :0:00 μμ