Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Πολυβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ
Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Δυσκαμψία
1. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: Επιβαλλόμενες Δυνάμεις. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: Διέγερση Στηρίξεων 3. Ιδιοσυχνότητες και Ιδιομορφές Ταλάντωσης 4. Ορθογωνικότητα των Ιδιομορφών 5. Ιδιομορφική Δυναμική Ανάλυση Απόκρισης σε Επιβαλλόμενη Φόρτιση 6. Ανάλυση Χρονοϊστορίας Σεισμικής Απόκρισης 7. Φασματική Δυναμική Ανάλυση Σεισμικής Απόκρισης 8. Δυσκολία στην Ανάλυση Πρακτικών Συστημάτων
1. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: Επιβαλλόμενες Δυνάμεις Εγκάρσια ταλάντωση ευθύγραμμης δοκού χωρίς απόσβεση που υπόκειται σε εξωτερική δύναμη. Το μέτρο δυσκαμψίας ΕΙ(x) και η μάζα m(x) μπορούν να μεταβάλλονται με τη θέση x ενώ το εξωτερικά επιβαλλόμενο φορτίο p(x,t) μπορεί να μεταβάλλεται με τη θέση και το χρόνο. Το σύστημα έχει άπειρο αριθμό β.ε. επειδή η μάζα του είναι κατανεμημένη. Δυνάμεις στο στοιχειώδες τμήμα δοκού ακολουθώντας την αρχή D Alembert: V x u pm t V M x Η μερική διαφορική εξίσωση: u u m x EI x p x t, t x x ux, ux, Συνοριακές Συνθήκες:
. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: Διέγερση Στηρίξεων Δύο απλές περιπτώσεις: ι) μία δοκός πρόβολος που υπόκειται σε οριζόντια κίνηση βάσης και ιι) μια δοκός με πολλαπλές στηρίξεις που υπόκειται σε πανομοιότυπη κίνηση στην κατακόρυφη διεύθυνση.,, t u x t u x t ug t Η ολική μετατόπιση είναι: Αναγνωρίζοντας ότι οι αδρανειακές δυνάμεις σχετίζονται με τις ολικές επιταχύνσεις και εξωτερικές δυνάμεις δεν υπάρχουν προκύπτει: t u g V u u m m m x t t t Η μερική διαφορική εξίσωση: u u m x EI x m x u g x t t x x,
3. Ιδιοσυχνότητες και Ιδιομορφές Ταλάντωσης Για την περίπτωση της ελεύθερης ταλάντωσης η εξίσωση κίνησης γίνεται: m x Επιχειρείται λύση της μορφής: t, xut u x t u u EI x t x x, xut u x t x τότε, xut u x t Αντικαθιστώντας τις παραπάνω, οδηγούμαστε στη σχέση: η οποία γράφεται ως Συνάρτηση του t m x x u t u t EI x x x ut EI x u t m x x Συνάρτηση του x
3. Ιδιοσυχνότητες και Ιδιομορφές Ταλάντωσης Επομένως η μερική διαφορική εξίσωση μετατρέπεται σε δύο συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, που η μια προσδιορίζει τη συνάρτηση του χρόνου και η άλλη του χώρου u t u t EI x x mx Για την ειδική περίπτωση ομοιόμορφης δοκού EI(x)=EI και m(x)=m IV IV EI x x m x x x Η γενική λύση της παραπάνω είναι: 1 3 4 x C sin x C cos x C sinh x C cosh x με m EI Όπου τα C 1,C,C 3 και C 4 που προσδιορίζονται από της συνοριακές συνθήκες.
3. Ιδιοσυχνότητες και Ιδιομορφές Ταλάντωσης i. Ομοιόμορφη Αμφιέρειστη Δοκός Για x= και x= η μετατόπιση και η καμπτική ροπή είναι μηδέν. Σ.Σ. 1 4 u, t C C Σ.Σ. 3 u, t C sin C sinh 1 3 Σ.Σ. M t, C C 4 Σ.Σ. 4 M, t C C sin sinh 3 Προσθέτοντας τις Σ.Σ. 3 και 4 προκύπτει ότι C 1 sin C 3 sinh C 1 = ψ(χ)= τετριμμένη λύση sinβ= β=nπ n=1,,3, και οδηγούμαστε σε
3. Ιδιοσυχνότητες και Ιδιομορφές Ταλάντωσης i. Ομοιόμορφη Αμφιέρειστη Δοκός 1 η Ιδιοσυχνότητες ταλάντωσης: n EI n n 1,,3,... m Ιδιομορφές ταλάντωσης η 3 η n x n x C1 sin n 1,,3,...
3. Ιδιοσυχνότητες και Ιδιομορφές Ταλάντωσης ii. Ομοιόμορφη Δοκός Πρόβολος Για x= η μετατόπιση και η στροφή είναι μηδέν ενώ για x= η καμπτική ροπή και η τέμνουσα είναι μηδέν u, t V, t Σ.Σ. 1 Σ.Σ. 3 C cos cosh C sin sinh Σ.Σ. u C C 4 t, C C 3 1 Σ.Σ. 4 Σε μητρωική μορφή οι Σ.Σ. 3 και 4 γράφονται 1 M, t C sin sinh C cos cosh 1 sin sinh cos cosh C1 cos cosh sin sinh C
3. Ιδιοσυχνότητες και Ιδιομορφές Ταλάντωσης ii. Ομοιόμορφη Δοκός Πρόβολος Η ορίζουσα του μητρώου πρέπει να είναι μηδενική οπότε: 1cos cosh Η εξίσωση λύνεται αριθμητικά και προκύπτουν 3.516 1 EI m.3 EI m 3 4 61.7 EI m 1.9 EI m 1 η η 3 η 4 η
4. Ορθογωνικότητα των Ιδιομορφών Θεωρείται σύστημα με κατανεμημένη μάζα και ελαστικότητα. Έστω δοκός ενός ανοίγματος με αρθρωμένα, πακτωμένα ή ελεύθερα άκρα. Για την ιδιομορφή (r): EI x x mx x r r r Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με ψ η και ολοκληρώνοντας από έως x EI x x dx m x x x dx n r r n r Το αριστερό μέλος της εξίσωσης ολοκληρώνεται κατά παράγοντες δύο φορές ως n x EI x r x dx n x EI x r x n x EI x r x EI x n x r x dx Παρατήρηση: οι όροι των αγκυλών είναι για x=,
4. Ορθογωνικότητα των Ιδιομορφών Οπότε με τους όρους στις αγκύλες να μηδενίζονται η εξίσωση γράφεται: n r r n r EI x x x dx m x x x dx Ομοίως, ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για την ιδιομορφή (η) και πολλαπλασιάζοντας με την ψ r και ολοκληρώνοντας από έως προκύπτει n r n n r EI x x x dx m x x x dx Αφαιρώντας τις παραπάνω κατά μέλη: n r n r m x x x dx Επομένως, εάν n r mxn xr xdx το οποίο μας οδηγεί στις σχέσεις: n r x EI x x dx Σχέσεις Ορθογωνικότητας
5. Ιδιομορφική Δυναμική Ανάλυση Απόκρισης σε Επιβαλλόμενη Φόρτιση Υποθέτοντας ότι το πρόβλημα ιδιοτιμών EI x x m x x έχει λυθεί ως προς τις ιδιοσυχνότητες και τις ιδιομορφές, η μετατόπιση δίδεται από γραμμικό συνδυασμό των ιδιομορφών, r r r1 u x t x u t Η απόκριση έχει εκφραστεί ως επαλληλία των συμβολών των ανεξάρτητων ιδιομορφών Αντικαθιστώντας τη λύση στην αρχική εξίσωση, μετατρέπεται σε ένα άπειρο σύνολο συνήθων διαφορικών εξισώσεων, κάθε μια από τις οποίες έχει μια ιδιομορφική συντεταγμένη u n (t) ως άγνωστη. mxr xur t EI xr x ur t px, t r1 r1
5. Ιδιομορφική Δυναμική Ανάλυση Απόκρισης σε Επιβαλλόμενη Φόρτιση Πολλαπλασιάζοντας με ψ η ολοκληρώνοντας επί του μήκους της δοκού και κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων ορθογωνικότητας των ιδιομορφών όλοι οι όροι στο αριστερό μέλος, εκτός από τον όρο r=n απαλείφονται: n n n n n n, u t m x x dx u t x EI x x dx p x t x dx Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ως: Mut Kut pt Η γενικευμένη μάζα και δυσκαμψία της (η) ιδιομορφής σχετίζονται: K n n Mn Αφού έχουν προσδιοριστεί οι u n βρίσκουμε τη συμβολή της (η) ιδιομορφής στη μετατόπιση και η ολική μετατόπιση είναι u u x, t u x u t n n n Η καμπτική ροπή και η τέμνουσα δύναμη δίνονται ως, n n n1 V x t EI x x u t M x t EI x x u t n1, n n n1 n
6. Ανάλυση Χρονοϊστορίας Σεισμικής Απόκρισης Όταν η διέγερση είναι η επιτάχυνση των στηρίξεων, η διαδικασία είναι παρόμοια με αντικατάσταση του p(x,t) με mxu x, t Οι ενεργές σεισμικές δυνάμεις είναι:, m x u x t Η χωρική κατανομή αυτών των δυνάμεων καθορίζεται από τη μάζα και αναπτύσσεται ως άθροισμα των κατανομών των αδρανειακών δυνάμεων f n (x) που σχετίζονται με τις ιδιομορφές ταλάντωσης m x m x x r1 r Πολλαπλασιάζοντας με ψ η ολοκληρώνοντας επί του μήκους της δοκού και κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων ορθογωνικότητας των ιδιομορφών προκύπτει n g * n * n n Mn όπου g r m x x dx
6. Ανάλυση Χρονοϊστορίας Σεισμικής Απόκρισης Η συμβολή της (η) ιδιομορφής στη μάζα είναι: f x mx x n n n Για ομοιόμορφους προβόλους με μάζα m ανά μονάδα μήκους η ιδιομορφική επαλληλία είναι αυτή που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 1 η η 3 η 4 η
6. Ανάλυση Χρονοϊστορίας Σεισμικής Απόκρισης Αντικαθιστώντας στην, Pn t p x t n x dx P t h u t n n g προκύπτει: και χρησιμοποιώντας την παραπάνω προκύπτουν οι ιδιομορφικές εξισώσεις χωρίς απόσβεση, ενός πύργου που υπόκειται σε σεισμική διέγερση n n n n g u u u t Ενώ για σύστημα με κλασική απόσβεση η σχέση γράφεται ως un nnun nun nug t Η λύση της παραπάνω εξίσωσης είναι της μορφής un t ndn t όπου Dn t Η συμβολή της η ιδιομορφής στη μετατόπιση είναι u xd t είναι η απόκριση μετατόπισης του συστήματος η-οστής ιδιομορφής n n n n
7. Φασματική Δυναμική Ανάλυση Σεισμικής Απόκρισης Η μέγιστη απόκριση ενός συστήματος κατανεμημένης μάζας μπορεί να υπολογιστεί από το φάσμα σεισμικής απόκρισης. Η ακριβής τιμή της απόκρισης της η-οστής ιδιομορφής r n (t) είναι rno rn st An όπου An A Tn, n η τεταγμένη του φάσματος ψευδο-επιτάχυνσης. Εναλλακτικά, η r nο μπορεί αν θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της στατικής ανάλυσης f x f x A του προβόλου (πύργου) υποκείμενου σε εξωτερικά φορτία no n n Η μέγιστη τιμή r ο της ολικής απόκρισης r(t) μπορεί να υπολογιστεί συνδυάζοντας τα ιδιομορφικά μέγιστα r nο σύμφωνα με κάποιους από τους κανόνες συνδυασμού των ιδιομορφών όπως SRSS 1/ ro rn n1
8. Δυσκολία στην Ανάλυση Πρακτικών Συστημάτων Η δυναμική απόκριση συστημάτων με κατανεμημένη μάζα και ελαστικότητα μπορεί να προσδιοριστεί με τη μέθοδο ιδιομορφικής ανάλυσης από τη στιγμή που έχουν καθοριστεί οι ιδιοσυχνότητες και οι ιδιομορφές ταλάντωσης. Τα παραδείγματα που παρουσιαστήκαν (ομοιόμορφη αμφιέρειστη δοκός και ομοιόμορφη δοκός πρόβολος) ασχολήθηκαν με ομοιόμορφες δοκούς και οι ιδιοσυχνότητες/ιδιομορφές βρέθηκαν αναλυτικά. Αυτή η προσέγγιση είναι σπάνια εφικτή εάν το ΕΙ ή η m μεταβάλλονται κατά μήκος, αν εμπλέκονται πολλές στηρίξεις ή αν το σύστημα είναι σύνθεση πολλών μελών. Στη συνέχει αναφέρονται κάποιες από τις δυσκολίες στην εξαγωγή αναλυτικών λύσεων.
8. Δυσκολία στην Ανάλυση Πρακτικών Συστημάτων Θεωρείται δοκός ενός ανοίγματος με μάζα m(x) και μέτρου δυσκαμψίας EI(x). Για να καθορίστούν οι ιδιοσυχνότητες και οι ιδιομορφές πρέπει να επιλύθεί η εξίσωση IV EI x x EI x x EI x x m x x Οι συντελεστές,ei,ei και m x μεταβάλλονται με το x και η αναλυτική λύση για τα ω είναι σπάνια εφικτή. Επομένως, δεν είναι πρακτικό να χρησιμοποιείται η κλασική προσέγγιση για πρακτικά προβλήματα τέτοιου τύπου.
8. Δυσκολία στην Ανάλυση Πρακτικών Συστημάτων Θεωρείται δοκός με πολλές στηρίξεις. Το ομοιόμορφο τμήμα μεταξύ κάθε ζεύγους στηρίξεων θεωρείται ως ξεχωριστή δοκός με αρχή συντεταγμένων το αριστερό άκρο της δοκού. Η εξίσωση κίνησης εφαρμόζεται σε κάθε τμήμα και οι αναγκαίες συνοριακές συνθήκες είναι 1. Σε κάθε άκρο εφαρμόζονται οι συνοριακές συνθήκες ανάλογα με τον τύπο στήριξης.. Σε κάθε ενδιάμεση στήριξη η παραμόρφωση είναι μηδέν και η στροφή και η ροπή στο δεξί και αριστερό μέρος είναι ίδιες (συνεχής δοκός). Η παραπάνω διαδικασία γρήγορα γίνεται δύσχρηστη εξαιτίας των τεσσάρων σταθερών που πρέπει να υπολογιστούν σε κάθε τμήμα της δοκού.
8. Δυσκολία στην Ανάλυση Πρακτικών Συστημάτων Θεωρείται πλαίσιο με δύο μέλη. Κάθε μέλος θεωρείται ως ξεχωριστή δοκός με αρχή συντεταγμένων το ένα άκρο. Η εξίσωση κίνησης εφαρμόζεται σε κάθε μέλος και οι αναγκαίες συνοριακές συνθήκες είναι: 1.Στις στηρίξεις του πλαισίου εφαρμόζονται οι συνοριακές συνθήκες ανάλογα με τον τύπο στήριξης..στον κόμβο οι ακραίες μετατοπίσεις των συντρεχόντων μελών πρέπει να είναι συμβατές. 3.Στον κόμβο οι ακραίες στροφές των συντρεχόντων μελών πρέπει να είναι συμβατές. 4.Στον κόμβο οι καμπτικές ροπές πρέπει να είναι σε ισορροπία. Η παραπάνω διαδικασία γρήγορα γίνεται δύσχρηστη για πλαίσιο με πολλά μέλη.