Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD
Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + + a x = b... a x + a x + + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n m Σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους a, b, x F 1 i m,1 j n ij i i Λύση (ή Σύνολο Λύσεων) του συστήματος x i Είναι οι τιμές των μεταβλητών που ικανοποιούν ή επαληθεύουν ταυτόχρονα ΟΛΕΣ τις εξισώσεις του συστήματος Ισοδύναμα Συστήματα Συστήματα που έχουν ακριβώς το ίδιο σύνολο λύσεων
Σε Μορφή Πινάκων a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + + a x = b... a x + a x + + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n m A m n Πίνακας Συντελεστών a a a a a a a a a 11 12 1n 21 22 2n = m1 m2 mn Σύστημα γραμμένο σε μορφή πινάκων Ax = b Ομογενές Σύστημα Ax = O Ab Στήλη Αγνώστων x n 1 x1 x xn 2 = Στήλη Σταθερών όρων b m 1 Επαυξημένος Πίνακας b1 b bm 2 = a11 a12 a1 n b1 a a a b am1 am2 amn bm 21 22 2n 2 =
Λύσεις Γραμμικού Συστήματος A x = b m n n 1 m 1 Αν m n υπάρχουν ακριβώς 3 περιπτώσεις: Το σύστημα έχει ακριβώς μία λύση (Μοναδική Λύση) Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις (Αόριστο Σύστημα) Το σύστημα δεν έχει καμία λύση (Αδύνατο Σύστημα) Αν ο A είναι Τετραγωνικός και υπάρχει ο αντίστροφός του τότε το σύστημα έχει 1 μοναδική λύση την: x= A b Αν m < n και το σύστημα είναι αόριστο ή αδύνατο. Συμβιβαστό Σύστημα Έχει τουλάχιστον μία λύση (μία ή άπειρες). Ασυμβίβαστο Σύστημα Δεν έχει καμία λύση (αδύνατο σύστημα).
Γεωμετρική Αναπαράσταση Λύσεων Θεώρηση Κατά Γραμμές Στο επίπεδο Σύστημα 2x2 a x + a x = b a x + a x = b 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 Κάθε εξίσωση αναπαριστά μία ευθεία Μία λύση Καμία λύση Άπειρες λύσεις (Οι γραμμές τέμνονται) (Παράλληλες γραμμές) (Οι γραμμές ταυτίζονται)
Γεωμετρική Αναπαράσταση Λύσεων Θεώρηση Κατά Γραμμές Στο χώρο Σύστημα 3x3 a x + a x + a x = b a x + a x + a x = b a x + a x + a x = b 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 Κάθε εξίσωση αναπαριστά ένα επίπεδο Καμία λύση Καμία λύση Καμία λύση Καμία λύση (3 παράλληλα επίπεδα) (2 παράλληλα επίπεδα) (καμία κοινή τομή) (2 συμπίπτοντα επίπεδα παράλληλα προς το τρίτο) Μία λύση Άπειρες λύσεις Άπειρες λύσεις Άπειρες λύσεις (κοινή τομή σε ένα σημείο) (κοινή τομή σε ευθεία γραμμή) (κοινή τομή σε επίπεδο) (2 συμπίπτοντα επίπεδα. κοινή τομή σε ευθεία γραμμή)
Γεωμετρική Αναπαράσταση Λύσεων Θεώρηση Κατά Στήλες Στο επίπεδο Σύστημα 2x2 x a a b + x = 11 12 1 1 2 a21 a22 b2 Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων του 2 ( b, b ) 1 2 ( x α, x α ) 2 12 2 22 ( α, α ) 12 22 ( α, α ) 11 21 ( xα, xα ) 1 11 1 21 Στο χώρο Σύστημα 3x3 a11 a12 a13 b1 x 1 a 21 x 2 a 22 x 3 a 23 b + + = 2 a a a b 31 32 33 3 Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων του 3
Λύσεις Ομογενούς Συστήματος A x = O m n n 1 m 1 Κάθε ομογενές σύστημα είναι συμβιβαστό καθώς έχει πάντοτε τουλάχιστον την τετριμμένη μηδενική λύση. Αν m<n τότε το ομογενές σύστημα έχει άπειρες λύσεις. x, x Αν είναι δύο λύσεις του ομογενούς συστήματος τότε και κάθε 1 2 γραμμικός συνδυασμός των x, x είναι επίσης λύση αυτού. 1 2 Αν το ομογενές σύστημα έχει άπειρες λύσεις, και διαθέτει λ ελεύθερες μεταβλητές, τότε το σύνολό όλων των λύσεών του ισούται με το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών λ διαφορετικών μεταξύ τους ειδικών λύσεων αυτού. Σχέση λύσεων ομογενούς και μη ομογενούς συστήματος x= x0 + xp Ειδική λύση του Ax = b Γενική λύση του Ax = b Λύσεις του Ax = O Ax = b Συνέπεια: To έχει μοναδική λύση το έχει μόνον την τετριμμένη μηδενική λύση. Ax = O
Στοιχειώδεις Πράξεις στις Γραμμές ενός Πίνακα Εναλλαγή δύο γραμμών r i Πολλαπλασιασμός μίας γραμμής με αριθμό διάφορο του μηδενός Αντικατάσταση γραμμής με τον εαυτό της αυξημένο κατά ένα πολλαπλάσιο μίας άλλης γραμμής r 1 2 3 4 9 10 11 12 5 6 7 8 5 6 7 8 r1 r 3 9 10 11 12 1 2 3 4 13 14 15 16 13 14 15 16 j 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 5 6 7 8 r3 2r 3 9 10 11 12 18 20 22 24 13 14 15 16 13 14 15 16 r r +λ r i i k 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 3 2 1 0 r2 r2 2r 1 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14 15 16 13 14 15 16 Παράγουν (Γράμμο)Ισοδύναμους πίνακες Προσοχή: Δεν ισχύει το ίδιο με στοιχειώδεις πράξεις στις στήλες του πίνακα r i λ r i
Κλιμακωτή Μορφή ως προς τις Γραμμές Οδηγός: πρώτο μη μηδενικό στοιχείο από αριστερά. (Ορισμένοι απαιτούν ο οδηγός να είναι μονάδα, αν και αυτό δεν είναι υποχρεωτικό) 0 * * * * * * * * * 0 0 0 * * * * * * * 0 0 0 0 * * * * * * 0 0 0 0 0 0 0 * * * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ανηγμένη Κλιμακωτή Μορφή ως προς τις Γραμμές 0 1 * 0 0 * * 0 0 0 * 0 0 0 1 0 * * 0 0 0 * 0 0 0 0 1 * * 0 0 0 * 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - Ο οδηγός κάθε γραμμής βρίσκεται δεξιότερα από τον οδηγό της προηγούμενης γραμμής. - Σε κάθε στήλη που περιέχει οδηγό, όλα τα στοιχεία κάτω από αυτόν είναι ίσα με το μηδέν. - Ο πίνακας είναι άνω τριγωνικός. - Όλες οι μηδενικές γραμμές (αν υπάρχουν) βρίσκονται στο τέλος του πίνακα. - Κάθε οδηγός είναι ίσος με τη μονάδα (υποχρεωτικά). - Σε κάθε στήλη που περιέχει οδηγό, όλα τα στοιχεία κάτω και πάνω από αυτόν είναι ίσα με το μηδέν.
Απαλοιφή Gauss Χρησιμοποιείται για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων. Παραλλαγές της μεθόδου είναι η απαλοιφή Gauss με μερική και με πλήρη οδήγηση. Διαδικασία 2 βημάτων 1. Ξεκινούμε με τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και μέσω των τριών στοιχειωδών πράξεων επί των γραμμών του, τον μετασχηματίζουμε σε κλιμακωτό κατά γραμμές (άνω τριγωνικό), μετακινώντας όλες τις μηδενικές γραμμές (αν προκύπτουν) στο τέλος του πίνακα 2. Εκτελούμε προς τα πίσω αντικατάσταση για να βρούμε τις λύσεις του συστήματος (αν υπάρχουν). Πιθανές Εκβάσεις - Προκύπτει μία γραμμή της μορφής: 0 0... 0 c µε c 0 Τότε το σύστημα είναι αδύνατο 0 0... 0 0 - Προκύπτουν μηδενικές γραμμές: Τότε αν n m το σύστημα είναι αόριστο. Κάθε μηδενική γραμμή δίνει και μία ελεύθερη μεταβλητή, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό των υπολοίπων μεταβλητών. Γενικότερα, ελεύθερες μεταβλητές προκύπτουν σε κάθε περίπτωση που στον τελικό πίνακα συντελεστών, στη στήλη κάποιας μεταβλητής δεν υπάρχει οδηγός γραμμής. - Διαφορετικά, αν όλα τα διαγώνια στοιχεία του τελικού πίνακα συντελεστών είναι διάφορα του μηδενός (δηλ. υπάρχουν οδηγοί σε κάθε γραμμή) τότε υπάρχει μοναδική λύση
Αλγόριθμος Απαλοιφής Gauss Βήμα1.1: Ξεκινούμε με τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και ανταλλάσσουμε γραμμές ώστε ο πρώτος άγνωστος x1 να εμφανίζεται με μη μηδενικό συντελεστή δηλ a11<>0 Βήμα 1.2: Χρησιμοποιούμε το a11 ως οδηγό για να απαλείψουμε το x1 από όλες τις γραμμές κάτω από τη γραμμή του οδηγού. Δηλ. για i>1 εφαρμόζουμε την στοιχειώδη πράξη: a i1 ri ri r1 a11 Βήμα 1.3: Εξετάζουμε κάθε νέα γραμμή r για να δούμε αν αυτή εκφυλίζεται: α) Αν η r έχει τη μορφή 0 0 0 0 τότε την μεταφέρουμε στο τέλος του πίνακα b) Αν η r έχει τη μορφή 0 0 0 c με c<>0 τότε σταματούμε τον αλγόριθμο καθώς το σύστημα είναι αδύνατο Βήμα 1.4: Εκτελούμε τα βήματα 1,2,3 για τον δεύτερο άγνωστο ξεκινώντας από την δεύτερη γραμμή του πίνακα Βήμα 1.5: Εκτελούμε την ανωτέρω διαδικασία μέχρι ο επαυξημένος πίνακας να έρθει σε κλιμακωτή μορφή Βήμα 2: Εκτελούμε την προς τα πίσω αντικατάσταση
Στοιχειώδεις Πίνακες Τετράγωνοι πίνακες που προκύπτουν αν στον Ταυτοτικό Πίνακα εφαρμοστεί μία στοιχειώδης πράξη. Κάθε στοιχειώδης πίνακας είναι αντιστρέψιμος και ο αντιστροφός του είναι και αυτός στοιχειώδης πίνακας. Η εκτέλεση μίας στοιχειώδους πράξης επί των γραμμών ενός πίνακα A ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό από αριστερά του πίνακα Α με τον Στοιχειώδη Πίνακα, ο οποίος αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη στοιχειώδη πράξη. (Πολλαπλασιασμός από δεξιά έχει σαν αποτέλεσμα η στοιχειώδης πράξη να εφαρμοστεί στις στήλες του πίνακα Α). Αναίρεση μίας στοιχειώδους πράξης που έχει ήδη εφαρμοστεί στον πίνακα Α πραγματοποιείται με τον πολλαπλασιασμό από αριστερά με τον αντίστροφο του Στοιχειώδους Πίνακα που αντιστοιχεί στην αρχική πράξη. Η απαλοιφή Gauss ισοδυναμεί με τον διαδοχικό πολλαπλασιασμό από αριστερά του επαυξημένου πίνακα με κατάλληλους στοιχειώδεις πίνακες μέχρι να προκύψει ένας ισοδύναμος κλιμακωτός πίνακας B: B= EE... EE( A b) k k 1 2 1
Στοιχειώδεις Πίνακες - Παραδείγματα r r 2 4 Πίνακας Μετάθεσης 1 0 0 0 0 0 0 1 E = 0 0 1 0 0 1 0 0 E 1 1 0 0 0 0 0 0 1 = E = 0 0 1 0 0 1 0 0 r 2r 3 3 E 1 0 0 0 0 1 0 0 = 0 0 2 0 0 0 0 1 1 E 1 0 0 0 0 1 0 0 = 1 0 0 0 2 0 0 0 1 r r 2r 3 3 1 E 1 0 0 0 0 1 0 0 = 2 0 1 0 0 0 0 1 1 E 1 0 0 0 0 1 0 0 = 2 0 1 0 0 0 0 1
Απαλοιφή Gauss-Jordan Χρησιμοποιείται για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων και για την εύρεση του αντιστρόφου ενός τετραγωνικού πίνακα Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος, η διαδικασία που ακολουθείται είναι ίδια με αυτή του πρώτου βήματος της απαλοιφής Gauss, με την μόνη διαφορά ότι καταλήγουμε σε ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα (και όχι σε απλά κλιμακωτό). Επίσης στη συνέχεια δεν απαιτείται προς τα πίσω αντικατάσταση. Παρατήρηση: Ο ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας που προκύπτει με την απαλοιφή Gauss-Jordan είναι μοναδικός, ασχέτως με τη σειρά των στοιχειωδών πράξεων που εφαρμόζουμε για να καταλήξουμε σε αυτόν. Πολλές φορές η απαλοιφή Gauss-Jordan είναι υπολογιστικά ασύμφορη σε σχέση με την απλή απαλοιφή Gauss. Εύρεση Αντιστρόφου Τετραγωνικού Πίνακα Gauss Jordan 1 ( An n n) ( n A ) Ι Ι Αν δεν καταλήξουμε στον Ταυτοτικό πίνακα, τότε ο αντίστροφος του Α δεν υπάρχει.
Αντίστροφος Πίνακας 2x2 a b A = c d A 1 1 d b = ad bc c a Παρατήρηση: Η ποσότητα ad-bc αποτελεί την ορίζουσα του πίνακα. Επομένως ο πίνακας A έχει αντίστροφο όταν η ορίζουσά του είναι διάφορη του μηδενός. (Αυτό ισχύει για κάθε τετράγωνο πίνακα οποιουδήποτε μεγέθους)
Παραγοντοποιήσεις LU και LDU Έστω το σύστημα: A x b n n = Αν η απαλοιφή Gauss δεν απαιτεί μεταθέσεις γραμμών και χρησιμοποιεί τους ακόλουθους στοιχειώδεις πίνακες EE k k 1... EE 2 1( A b) τότε η Doolittle παραγοντοποίηση LU δίνει: 1 1 1 1 ( ) EkEk 1... E2E1A= U A= E1 E2... Ek 1Ek U A= LU L Ο πίνακας L είναι κάτω τριγωνικός και αποτελείται από τους πολλαπλασιαστές της απαλοιφής Gauss. (Στη διαγώνιό του έχει παντού μονάδες). Ο πίνακας U είναι άνω τριγωνικός και στη διαγώνιό του έχει τους οδηγούς κάθε γραμμής, όπως αυτοί προκύπτουν κατά την απαλοιφή Gauss. Χρησιμοποιείται για την ευκολότερη επίλυση του συστήματος Ax = b ως δύο απλούστερων συστημάτων: Ly = b και Ux = y Στην περίπτωση που η απαλοιφή Gauss απαιτεί μεταθέσεις γραμμών τότε PA = LU όπου P ο συνολικός πίνακας μετάθεσης. Επίσης ορίζοντας ένα νέο U μπορούμε να γράψουμε τον Α ως 2 Μέθοδοι: Doolittle, Crout Ο αριθμός με τον οποίο πολλαπλασιάζεται η γραμμή του οδηγού πριν την αφαίρεσή της από την γραμμή όπου βρίσκεται το στοιχείο που θέλουμε να απαλείψουμε A = LDU ή PA = LDU Ο πίνακας L είναι o ίδιος με πριν. Ο πίνακας D είναι διαγώνιος και περιέχει μόνον τους οδηγούς κάθε γραμμής. Ο πίνακας U είναι ίδιος με πριν με τη μόνη διαφορά ότι κάθε στοιχείο του έχει διαιρεθεί με το στοιχείο της διαγωνίου (δηλ. τον οδηγό) της ίδιας γραμμής. (Ως αποτέλεσμα η διαγώνιος του έχει παντού μονάδες).