Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ποιοτικά Κριτήρια Σχεδίασης Ανατροφοδότηση Κατάστασης Εισαγωγή στον Βέλτιστο Έλεγχο Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση σε χώρουν πεπερασμένων και απείρων διαστάσεων. Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των Μεταβολών Αναγκαίες Συνθήκες Βελτίστου Ελέγχου Προβληματα τύπου «Γραμμικού Ρυθμιστή» Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

6. Ανατροφοδότηση Κατάστασης Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

Ανατροφοδότηση Κατάστασης Σχεδίαση νόµων ανάδρασης / ανατροφοδότησης κατάστασης µε σκοπό την κατάλληλη τοποθέτηση των πόλων του συστήµατος για την επίτευξη επιθυµητής απόκρισης κλειστού βρόχου αναφορικά µε τα χαρακτηριστικά απόκρισης µεταβατικής κατάστασης, και µόνιµης κατάστασης. Ζητούµενο: εύρεση «κερδών» ανάδρασης της κατάστασης στην είσοδο Αναγκαία & ικανή συνθήκη αυθαίρετης τοποθέτησης πόλων: ελεγξιµότητα Τι γίνεται όταν το σύστηµα δεν είναι πλήρως ελέγξιµο - Σταθεροποίηση Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

Ο Νόμος Ανάδρασης Έστω το ΓΧΑΣ, δηλ.η προς έλεγχο εγκατάσταση (plant): Θεωρούµε νόµο ελέγχου της µορφής: Σκοπός είναι η εύρεση των «κερδών» ανάδρασης Κ της κατάστασης στην είσοδο για την κατάλληλη τοποθέτηση των πόλων του συστήµατος µε σκοπό την επίτευξη επιθυµητής απόκρισης κλειστού βρόχου Γενικά: Για µία είσοδο (m = 1): r=0 Ρυθμιστής (Regulator) : σύγκλιση Kostas J. Kyriakopoulos στο ΣΙ ( 0 ) - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

Καθορισμός της Δυναμικής Απόκρισης Επιδιώξεις για το σύστηµα κλειστού βρόχου: Ασυµπτωτική Ευστάθεια Συγκεκριµένα Χαρακτηριστικά Μεταβατικής Απόκρισης σε είσοδο βαθµίδας: Χρόνος ανύψωσης (rise time) Χρόνος κορυφής (peak time) Εκατοστιαία υπερακόντιση (percent overshoot) Χρόνος Αποκατάστασης (settling time) Πως η θέση των ιδιοτιµών επηρεάζει τα παραπάνω χαρακτηριστικά? Ασυµπτωτική Ευστάθεια : ο πίνακας Α-Β Κ να έχει το πραγµατικό τµήµα όλων των ιδιοτιµών του αυστηρά αρνητικό Χαρακτηριστικά Μεταβατικής Απόκρισης: η σχέση των ιδιοτιµών µε αυτά τα χαρακτηριστικά είναι σαφής µόνο για συστήµατα 1 ης και 2 ης τάξης. Για συστήµατα µεγαλύτερης τάξης βασιζόµαστε σε προσεγγίσεις «κυριαρχούντων υποσυστηµάτων» (domaining subsystem). Πως κάνουµε δηλαδή την επιλογή των ιδιοτιµών («πόλων»)? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 1 ης τάξης Σε σύστηµα 1 ης τάξης, ή µία και µοναδική ιδιοτιµή καθορίζει την απόκριση δεδοµένου ότι η χρονική σταθερά τ δείχνει τον χρόνο αποκατάστασης-95% Το παρακάτω σχήµα δίχνει την τυπική απόκριση συστήµατος 1 ης τάξης σε είσοδο συνάρτησης βαθµίδας. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης Εάν στο παράδειγµα (που έχουµε δει και στην εισαγωγή) θεωρήσουµε ως είσοδο της µορφής δηλαδή ανηγµένη δύναµη ως προς k, που αντιστοιχεί σε «εντολή µετακίνησης» τότε ( ) ( ) = Y s U s Απόσβεση Φυσική Συχνότητα Ιδιοτιμές Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υπο-απόσβεση 0 < ξ < 1 : Υποαπόσβεση Απόκριση σε είσοδο µοναδιαίας βαθµίδας Χαρακτηριστικά Απόδωσης: Χρόνος Ανύψωσης: 10% 90% Χρόνος Μέγιστης Υπερακόντισης: Μέγιστη Υπερακόντιση: Χρόνος Αποκατάστασης: χρόνος µετά από τον οποίο το σύστηµα παραµένει σε µία ζώνη 2% γύρω από την µόνιµη τιµή Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Ανοικτός Βρόχος) Στο πρoηγούµενο σύστηµα για m = 1 kg, c = 1 N s/m, k = 10 N/m Χρόνος Ανύψωσης: = 0.30 s Χρόνος Μέγιστης Υπερακόντισης: Μέγιστη Υπερακόντιση: =1.01 s = 60.5% Χρόνος Αποκατάστασης: = 8 s Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Κλειστός Βρόχος) Η απόκριση ανοικτού βρόχου που µόλις είδαµε, είναι χαρακτηριστική των συστηµάτων µε µικρή απόσβεση και όπως φάνηκε από το σχήµα, δεν είναι ικανοποιητική. Αντίθετα, θα επιθυµούσαµε µεγίστη υπερακόντιση ~4% και χρόνο αποκατάστασης ~2 s (σε σύγκριση µε τις τωρινές τιµές ~60% και ~7.3 s, αντίστοιχα). Προς τούτο, υιοθετούµε έλεγχο ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης (ουσιαστικά, σε αυτή τη περίπτωση, PD) : Αν αυτός είσαχθεί στο σύστηµα (ανοικτού βρόχου): Λαµβάνουµε το σύστηµα κλειστού βρόχου: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Κλειστός Βρόχος) Από την υπερακόντιση υπολογίζουµε τον επιθυµητό λόγο απόσβεσης : ( PO 100) ln ( PO ) ln PO = = = π + 100 ξʹ π 2 PO= 4 1 ξ ʹ 100 e ξʹ 0.716 2 2 Και από τον χρόνο αποκατάστασης υπολογίζουµε την επιθυµητή φυσική t 2 4 4 S = συχνότητα : t! ω! = 2.79 rad / sec S ξʹ ω n S Η επιθυµητή φυσική συχνότητα απόσβεσης είναι : Υπενθυµίζουµε ότι στο σύστηµα ανοικτού βρόχου είχαµε: Ενώ τώρα, στο σύστηµα κλειστού βρόχου έχουµε: n ξʹ t = ( s) Hʹ = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 12

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Κλειστός Βρόχος) ( s) Hʹ = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ : Ανισοτικοί Περιορισμοί Η µεταβατική απόκριση καθορίζεται συνήθως µε τη µορφή ανισοτήτων και όχι ισοτήτων. Για συστήµατα : 1 ης τάξης: καθορίζεται ένα άνω φράγµα του χρόνου που χρειάζεται για προσέγγιση κατά ένα ποσοστό (π.χ. 95%) της µόνιµης κατάστασης. 2 ης τάξης: καθορίζονται φράγµατα σε κάποια (ή όλα) από τις προδιαγραφές: χρόνο ανύψωσης, χρόνο µεγίστης υπερακόντισης, µεγίστη υπερακόντιση, και χρόνο αποκατάστασης. Αυτά οδηγούν σε αποδεκτές περιοχές του λόγου απόσβεσης και της φυσικής συχνότητας. Αυτές αντιστοιχίζονται σε αποδεκτές περιοχές των ιδιοτιµών του συστήµατος κλειστού βρόχου. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ : Ανισοτικοί Περιορισμοί - Παράδειγμα Για το παράδειγµα που έχουµε ήδη αναλύσει,αναζητούµε τις ιδιοτιµέςπου ικανοποιούν τις προδιαγραφές : ( PO 100) ln ( PO ) ln PO = = = = π + 100 4 ts! 2 ξ ωn 2 ξ ωn 2 ξ ω ξʹ π 2 PO= 4 1 ξ ʹ 1 1 O O O 100 e 4 ξ 0.716 θ cos ( ξ) cos ( 0.716) 44.27 44.27 θ 44.27 2 2 n Υπενθυµίζουµε ότι Αναζητούµε ιδιοτιµές µε πραγµατικό µέρος, αριστερότερα του -2. t P π π = 0.5 ωd = 6.28 rad / sec ω 0.5 d Υπενθυµίζουµε ότι Αναζητούµε ιδιοτιµές µε φανταστικό µέρος, εκτός του διαστήµατος (-6.28, +6.28). Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ : Ανισοτικοί Περιορισμοί - Παράδειγμα ωd 6.28 rad Παρατηρούµε ότι η δοµή των συνθηκών 1 & 3 είναι τέτοια όπου η 2 ικανοποιείται πάντα. Συνήθως τίθενται και άλλες συνθήκες που περιορίζουν: προς το θετικότερο το πραγµατικό µέρος των ιδιοτιµών για να περιορισθεί το εύρος ζώνης συστήµατος. Τη φυσική συχνότητα των ιδιοτιµών για να µην οδηγείται (συχνά) η είσοδος του συστήµατος σε κορεσµό. κλπ. O 44.27 θ 44.27 ξ ω 2 n O Εποµένως οι επιθυµητές περιοχές των ιδιοτιµών αντιστοιχούν συνήθως σε 2 συµµετρικές ως προς τον φανταστικό άξονα «ευσταθείς νησίδες». του Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ Υψηλής Τάξεως Οταν είναι δυνατόν, τα συστήµατα υψηλής τάξεως προσεγγίζονται από κυριαρχούντα συστήµατα 1 ης ή 2 ης τάξης. Στα κυριαρχούντα υποσυστήµατα οι ιδιοτιµές καθορίζονται όπως προηγουµένως. Οι υπόλοιπες ιδιοτιµές µπορεί να είναι και 10 φορές πιο αριστερά απο τις κυριαρχούσες (αρκεί να µην διεγείρουν πιθανούς θορύβους) Μία (1) κυριαρχούσα ιδιοτιµή : Ο πίνακας δείχνει τις θέσεις των υπολοίπων ιδιοτιµών για µία κυριαρχούσα ιδιοτιµή, ανάλογα µε τη τάξη του συστήµατος. Το σχήµα δείχνει τις αντίστοιχες αποκρίσεις σε είσοδο µοναδιαίας βαθµίδας Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ Υψηλής Τάξεως Δύο (2) κυριαρχούσες ιδιοτιµές : Ο πίνακας δείχνει τις θέσεις των υπολοίπων ιδιοτιµών για 2 κυριαρχούσες ιδιοτιµές, ανάλογα µε τη τάξη του συστήµατος. Το σχήµα δείχνει τις αντίστοιχες αποκρίσεις σε είσοδο µοναδιαίας βαθµίδας Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18

Επιλογή Δυναμικής Απόκρισης / ΧΠ / Ιδιοτιμών με τη Μεθοδολογία ΙΤΑΕ Το κριτήριο ITAE (Integral of Time multiplying the Absolute value of Error) οδηγεί σε διαµόρφωση της δυναµικής απόκρισης µε κριτήριο την ελαχιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης Στην περίπτωση που επιλεγούν Σ.Μ της µορφής τότε τα ΧΠ που προκύπτουν από το ΙΤΑΕ δίδονται στον παρακάτω πίνακα (ανάλογα µε τη τάξη του συστήµατος) και οι αντίστοιχες αποκρίσεις (για µοναδία βαθµίδα) φαίνονται διπλα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19

Τοποθέτηση Πόλων Κλειστού Βρόχου με Ανάδραση Μεταβλητών Κατάστασης Θεώρηµα: Αν Α R n n, B R n m τότε για κάθε σύνολο n µιγαδικών αριθµών {µ 1, µ 2,, µ n }, στο οποίο οι µη αµιγώς πραγµατικοί εµφανιζονται ως συζυγή ζεύγη, υπάρχει ένας πίνακας Κ R m n έτσι ώστε σ(α-β Κ) = {µ 1, µ 2,, µ n } αν και µόνο αν το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο. Ουσιαστικά το παραπάνω θεώρηµα θέτει την ελεγξιµότητα ως αναγκαία και ικανή συνθήκη για την τοποθέτηση όλων των ιδιοτιµών ενός συστήµατος αυθαίρετη (εφόσον οι µη αµιγώς πραγµατικές εµφανιζονται ως συζυγή ζεύγη), µέσω κατάλληλου πίνακα κερδών ανατροφοδότησης. Πως ευρίσκεται αυτό το Κ? Τύπος Ackermann : Για συστήµατα µίας εισόδου, δηλ. Α R n n, B R n 1, τότε όπου R n n ο πίνακας ελεγξιµότητας που επειδή εµφανίζεται σε µορφή αντιστρόφου είναι εµφανής η ανάγκη για ελεγξιµότητα : οι συντελεστές του δίνονται από το επιθυµητό χαρακτηριστικό πολυώνυµο δηλ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

Τύπος του Ackermann: Παράδειγμα Έστω το SISO ΓΧΑΣ 0 1 0 0 A= 0 0 1 B 0 = C = 1 0 0 18 15 2 1 Για προδιαγραφές PO = 6 % t s = 3 sec Λαµβάνουµε ( PO 100) ln ( PO ) [ ] ln PO = = = = π + 100 4 ts! 3 ωn 2rad/sec ξ ω = = ξʹ π 2 PO= 6 1 ξ ʹ 100 e 6 ξ 0.67 2 2 n Απόκριση για είσοδο βαθμιδας: u(t)=u s (t) Ιδιοτιµές Αν και ευσταθείς, µόνο µε ελαφρά απόσβεση λ1,2 = 1.33± j1.49 : κυριαρχούσες ιδιοτιµές Η τελευταία ιδιοτιµή επιλέγεται 10 φορές πιο γρήγορη, δηλ. 3 2 Επιθυµητό ΧΠ: α ( ) ( )( )( ) λ 3 = 13.33 s = s+ 1.33+ j1.49 s+ 1.33 j1.49 s+ 13.33 = s + 16s + 39.55s+ 53.26 = 3 2 = s + s + s+ α α α Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2 1 0 21

Τύπος του Ackermann: Παράδειγμα Ο πίνακας ελεγξιµότητας είναι Επίσης, από το ΧΠ έχουµε: Και από τον τύπο του Ackermann: 1 K = [ 0 0 1] P α ( A) = [ 35.26 24.55 14] Ο έλεγχος u= K x+ r δίνει την απόκριση του διπλανού σχήµατος στην οποία ικανοποιούνται οι συνθήκες δυναµικής απόκρισης. 1/18 ΟΜΩΣ: Πως επιτυγχάνεται η επιθυµητή µόνιµη κατάσταση? Θα δούµε παρακάτω... Αν δεν είναι άµεσα διαθέσιµη η κατάσταση? Τι γίνεται σε MIMO συστήµατα? 0 0 1 15 2 1 1 P= 0 1 2 P 2 1 0 = 1 2 11 1 0 0 35.26 24.55 14 3 2 α ( A) = A + 16A + 39.55A+ 53.26 I = 252 174.74 3.45 62.1 200.25 167.84 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22

Δυνατότητα Σταθεροποίησης Σε οιοδήποτε ελέγξιµο σύστηµα είναι δυνατή η κατά τις προδιαγραφές τοποθέτηση των πόλων και κατα συνέπεια η σταθεροποίησή (stabilization) του. Είναι δυνατή όµως η σταθεροποίηση ενός µη πλήρως ελέγξιµου συστήµατος? Απάντηση: Ναι υπό τη προυπόθεση ότι το σύστηµα είναι σταθεροποιήσιµο (stabilizable) Παράδειγµα: Το SISO ΓΧΑΣ Όπως φαίνεται παρακάτω είναι µη πλήρως ελέγξιµο. Γιατί? Όµως το υποσύστηµα (Α 11, Β 1 ) είναι ένα πλήρως ελέγξιµο σύστηµα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

Δυνατότητα Σταθεροποίησης Αν επιλέξουµε τότε Από την block άνω τριγωνική µορφή (block upper triangular) του πίνακα κλειστού βρόχου είναι φανερό ότι µε τα κέρδη µπορούν να τοποθετήσουµε κατά βούλιση τους 2 (ελέγξιµους) πόλους ενώ ο 3 ος, δηλ. το -2, είναι ευσταθής. ( ) ( ) ( ) Ορισµός: Το ΓΧΑΣ xt! = Axt + But, ή αλλοιώς το «ζεύγος» (Α,Β), είναι σταθεροποιήσιµο (stabilizable) αν υπαρχει πίνακας κερδών ανάδρασης κατάστασης Κ για τον οποίο όλες οι ιδιοτιµές του πίνακα Α-Β Κ έχουν αυστηρά αρνητικό πραγµατικό τµήµα. Ελεγξιµότητα Δυνατότητα Σταθεροποίησης (Stabilizability) Δυνατότητα Σταθεροποίησης Ελεγξιµότητα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24

Δυνατότητα Σταθεροποίησης ( ) ( ) ( ) Έστω το ΓΧΑΣ xt! = Axt + But που δεν είναι πλήρως ελέγξιµο. Ως γνωστόν, υπάρχει µετασχηµατισµός που δίδει τους πίνακες του µετασχηµατισµένου συστήµατος όπου το (Α 11, Β 1 ) είναι πλήρως ελέγξιµο. Γι αυτό το σύστηµα, θεωρούµε τον κατάλληλα «κατατµηµένο» πίνακα κερδών οπότε ο πίνακας κλειστού βρόχου του µετασχηµατισµένου συστήµατος είναι Αυτός ο πίνακας έχει ιδιοτιµές: Αυτές του όπου, επειδή το (Α 11, Β 1 ) είναι πλήρως ελέγξιµο, µπορούν να τοποθετηθούν (π.χ. Με τον τύπο του Ackermann) κατά βούληση, και Αυτές του (που δεν µπορούνα να µετακινηθούν). Εποµένως η δυνατότητα σταθεροποίησης του ΓΧΑΣ προϋποθέτει ότι το έχει ασυµπτωτικά ευσταθείς πόλους. Παρατηρούµε δε ότι το δεν παίζει κανένα ρόλο στη σταθεροποίηση του συστήµατος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25

Δυνατότητα Σταθεροποίησης : Παράδειγμα Για το ΓΧΑΣ στο παρελθόν Εξετάσαµε την ελεγξιµότητά του, P =0: Είδαµε το τρόπο µετασχηµατισµού του σε µορφή που «ξεχωρίζουν» τα ελέγξιµα και µη ελέγξιµα τµήµατα Επειδή Α 22 = -3, προφανώς το σύστηµα είναι σταθεροποιήσιµο. Για το (Α 11, Β 1 ) επιλέγουµε ιδιοτιµές - 2 ± j 2 και µέσω του τύπου του Ackermann υπολογίζεται ο σχετικός πίνακας κερδών και µπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο πινακας έχει τις επιθυµητές ιδιοτιµές. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

Δυνατότητα Σταθεροποίησης : Παράδειγμα Επιλέγουµε λοιπόν και µπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο έχει ιδιοτιµές - 2 ± j 2, -3. Επειδή θέλουµε οι διοτιµές των A B K, A ˆ B ˆ K ˆ να ταυτίζονται, βάσει των ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Kˆ = K T 1 A= T A T ( ) 1 1 B= T B A B K = T A B K T ( ) ( ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27