ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ-ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΙΙ Θεοδόσης ηµητράκος E-mal: dmtheo@aegeagr Σάµος 7

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι έννοιες του «τυχαίου» και του «πιθανού» είναι, σήµερα, ίγο-πού γνωστές και εξηγούνται µε τη διαίσθηση και την κοινή ογική Ο µεγάος Γάος µαθηµατικός Laplae έγραψε ότι οι Πιθανότητες δεν είναι τίποτε άο παρά «η µετατροπή της κοινής ογικής σε µαθηµατικές εκφράσεις» Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ο κάδος των Μαθηµατικών που µεετά τα τυχαία ή στοχαστικά φαινόµενα, δηαδή εκείνα τα φαινόµενα που εξείσσονται σε συνθήκες αβεβαιότητας Χαρακτηριστικό παράδειγµα τυχαίου φαινοµένου είναι η ρίψη ενός νοµίσµατος Αν ρίξουµε ένα νόµισµα φορές οι εµφανίσεις γραµµάτων και κεφαής εναάσσονται µε έναν ακανόνιστο και απρόβεπτο τρόπο Οι Πιθανότητες χρησιµοποιούνται σε ποές επιστήµες και σε ποές δραστηριότητες της καθηµερινής µας ζωής Αποτεέσµατα της Θεωρίας Πιθανοτήτων χρησιµοποιούνται στη Στατιστική, στην Επιχειρησιακή Έρευνα, στην Αναογιστική Επιστήµη, στην Οικονοµετρία, στη Φυσική, στη Βιοογία, στην Ιατρική και αού Τα στοιχήµατα στηρίζονται στη ογική των Πιθανοτήτων Το ίδιο συµβαίνει και µε τους µηχανισµούς που προσπαθούν να αξιοογήσουν την ικανότητα των µαθητών µέσω tests Ιστορικά, η αυστηρή εφαρµογή της Θεωρίας των Πιθανοτήτων έγινε αρχικά σε παιχνίδια τύχης Οι Αιγύπτιοι από το πχ χρησιµοποιούσαν τον «αστράγαο», ένα κόκκαο ζώου µε τέσσερις πευρές, για να παίζουν παιχνίδια τύχης Ο «αστράγαος» αποτέεσε τον πρόγονο του γνωστού ζαριού το οποίο εµφανίστηκε για πρώτη φορά γύρω στα 6 πχ Στην Κίνα µεταξύ του 7 ου και του ου αιώνα µχ εµφανίστηκαν τυχερά παιχνίδια που βασίζονταν σε κάρτες τραπουόχαρτα Μέσα από τα τυχερά παιχνίδια άρχισε να αναπτύσσεται η ιδέα της συχνότητας εµφάνισης ορισµένων αποτεεσµάτων και εποµένως της πιθανότητας Η ουσιαστική ανάπτυξη της Θεωρίας Πιθανοτήτων ξεκίνησε από τις επιστοές των asal 6-66 και Fermat 6-665 γύρω στα 65 µχ οι οποίες περιείχαν τον υποογισµό πιθανοτήτων σε αρκετά παραδείγµατα από τυχερά παιγνίδια Ένα από τα προβήµατα που απασχόησαν τους asal και Fermat ήταν το περίφηµο πρόβηµα του Chevaler de Mere Ένα ζάρι ρίχνεται τέσσερις φορές και δύο ζάρια ρίχνονται είκοσι τέσσερις φορές Το ερώτηµα είναι αν η πιθανότητα εµφάνισης ενός άσσου τουάχιστον µία φορά στις τέσσερις ρίψεις του ενός ζαριού ισούται µε την πιθανότητα εµφάνισης ενός ζεύγους άσσων τουάχιστον µία φορά στις είκοσι τέσσερις ρίψεις των δύο ζαριών Η απάντηση στο ερώτηµα είναι αρνητική Το πρώτο βιβίο Πιθανοτήτων µε τίτο O alulatos Games o Chae γράφτηκε από τον Γερµανό Chrsta Hughes 69-695 Εξέχουσα θέση στη ραγδαία ανάπτυξη και στην εξέιξη της Θεωρίας Πιθανοτήτων στη πορεία του χρόνου κατέχουν ποοί διάσηµοι Μαθηµατικοί αά και άοι επιστήµονες όπως, µεταξύ άων, οι James eroull 65-75, braham de Movre 667-75, erre Smo Laplae 79-87, Smeo Des osso 78-8 και Karl Fredrh Gauss 777-855 Μεταγενέστεροι είναι οι aut Chebshev 8-89, dre Marov 856-9, Rhard Vo Mses 88-95 και dre Kolmogorov 9-987

Στις σηµειώσεις αυτές θα αναύσουµε τις σηµαντικότερες έννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων Στα δύο πρώτα κεφάαια υπενθυµίζουµε τις βασικές έννοιες του εισαγωγικού µαθήµατος της Θεωρίας Πιθανοτήτων I Στο Κεφάαιο µεετούµε τις πιθανογεννήτριες, τις ροπογεννήτριες και τις χαρακτηριστικές συναρτήσεις Στο Κεφάαιο παρουσιάζουµε τη θεωρία των διανυσµατικών τυχαίων µεταβητών Στο Κεφάαιο 5 αναπτύσσουµε τη θεωρία των δεσµευµένων κατανοµών Ο Ισχυρός Νόµος των Μεγάων Αριθµών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα παρουσιάζονται στο Κεφάαιο 6 Η εισαγωγή κάθε καινούργιας έννοιας διανθίζεται µε κατάηα σχετικά παραδείγµατα Ως βιβία για παραπάνω µεέτη προτείνουµε, µεταξύ άων, τα βιβία των: α Γ Ρούσσα, Θεωρία Πιθανοτήτων, Μετάφραση: ηµήτριος Ιωαννίδης, Εκδόσεις Ζήτη, 99 β S M Ross, Frst Course robablt, Seod Edto, Mamlla ublshg Compa, 98 γ Hoel, S ort, C Stoe, Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων, Μετάφραση: πόστοος Γιαννόπουος, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, δ Μ Κούτρα, Εισαγωγή στις Πιθανότητες, Θεωρία και Εφαρµογές, εύτερη Έκδοση, Εκδόσεις Αθ Σταµούη, Μέρος Ι,, Μέρος ΙΙ, 5 ε G Roussas, Course Mathematal Statsts, Seod Edto, adem ress, 997

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ Πείραµα τύχης, δειγµατικός χώρος, στοιχεία θεωρίας συνόων Έστω ένα πείραµα το αποτέεσµα του οποίου επηρεάζεται από την τύχη Ένα τέτοιο πείραµα καείται πείραµα τύχης radom epermet Το χαρακτηριστικό ενός πειράµατος τύχης είναι ότι, σε µία εκτέεσή του, δεν µπορούµε να προβέψουµε µε βεβαιότητα το αποτέεσµα που θα εµφανιστεί Απά παραδείγµατα πειραµάτων τύχης είναι η ρίψη ενός νοµίσµατος, το πέταγµα ενός ζαριού, το τράβηγµα ενός παιγνιόχαρτου από τα πενήντα δύο παιγνιόχαρτα µιας τράπουας και η καταγραφή των τηεφωνηµάτων που εξυπηρετούνται από ένα τηεφωνικό κέντρο εντός δοθέντος χρονικού διαστήµατος Ένα σύνοο set είναι µία καώς ορισµένη συογή διακεκριµένων αντικειµένων Το σύνοο των δυνατών αποτεεσµάτων που µπορούν να εµφανιστούν σε µία εκτέεση ενός πειράµατος τύχης καείται δειγµατικός χώρος sample spae και συνήθως συµβοίζεται µε Ω Για παράδειγµα, στη ρίψη ενός ζαριού ο δειγµατικός χώρος είναι Ω {,,,, 5, 6} και στη ρίψη ενός νοµίσµατος ο δειγµατικός χώρος είναι Κ συµβοίζουµε την ένδειξη «κεφαή» και µε Γ συµβοίζουµε την ένδειξη «γράµµατα» Ω { Κ, Γ} όπου µε Τα αποτεέσµατα ενός τυχαίου πειράµατος µπορούν να περιγραφούν µε ποούς και διάφορους τρόπους Έτσι σε ένα πείραµα τύχης αντιστοιχούν περισσότεροι του ενός δειγµατικοί χώροι Για παράδειγµα, ας θεωρήσουµε µία έκθεση κινητών τηεφώνων στην οποία εργάζονται δύο πωητές Α και Β Έστω ότι στην έκθεση υπάρχουν προς πώηση δύο µόνο κινητά τηέφωνα Αν µας ενδιαφέρει ο αριθµός των κινητών τηεφώνων που θα πουηθούν από καθένα από τους δύο πωητές σε ένα συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα πχ µέσα στην επόµενη εβδοµάδα τότε ένας κατάηος δειγµατικός χώρος είναι ο Ω {,,,,,,,,,,, } Το ζεύγος, Ω δηώνει ότι ο πωητής Α θα πουήσει κινητά τηέφωνα, ενώ ο πωητής Β θα πουήσει κινητά τηέφωνα Αν όµως µας ενδιαφέρει µόνο ο συνοικός αριθµός κινητών τηεφώνων που θα πουηθούν στο συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα, τότε θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί ως δειγµατικός χώρος το σύνοο Ω {,, } Το στοιχείο ω Ω δηώνει το συνοικό αριθµό κινητών τηεφώνων που πουήθηκαν Τα στοιχεία ενός δειγµατικού χώρου Ω καούνται δειγµατικά σηµεία sample pots Το γεγονός ότι το στοιχείο ω ανήκει στο σύνοο Ω συµβοίζεται µε ω Ω Η άρνηση αυτού του γεγονότος συµβοίζεται µε ω Ω Λέµε ότι ένα σύνοο S' είναι υποσύνοο subset ενός συνόου S και γράφουµε S' S αν για κάθε s S' ισχύει ότι s S Λέµε ότι ένα σύνοο S' είναι γνήσιο υποσύνοο ενός συνόου S και γράφουµε S' S αν S' S και αν υπάρχει στοιχείο Θεωρούµε το σύνοο Ω s S τέτοιο ώστε s S' ως βασικό σύνοο ή σύνοο αναφοράς Το σύνοο αυτό θα είναι διαφορετικό ανάογα µε το πρόβηµα που θα µας απασχοεί Όα τα υπόοιπα σύνοα θα είναι υποσύνοα του Ω

Έστω,, C Ω Το συµπήρωµα omplemet του συνόου αναφορικά µε το Ω συµβοίζεται µε και είναι { ω Ω : ω } Έστω I ένα οποιοδήποτε σύνοο δεικτών και τα σύνοα Ω, j I Η ένωση uo των συνόων j, j I συµβοίζεται µε U j και είναι U j {ω Ω : ω j για ένα τουάχιστον j I} Η τοµή terseto των συνόων j I j j I, j I συµβοίζεται µε και είναι I j {ω Ω :ω j για όα τα j I} Η διαφορά deree των συνόων, συµβοίζεται µε j I j I j I j και είναι { ω Ω : ω και ω } Ισχύει ότι: και Αντιµεταθετικός νόµος C C και C C Προσεταιριστικός νόµος C C και C C Επιµεριστικοί νόµοι U j I j I j I j και I j I j U j I j Νόµοι De Morga Έστω I µία οικογένεια υποσυνόων του δειγµατικού χώρου Ω Τα στοιχεία σύνοα του I καούνται ενδεχόµενα ή γεγονότα evets και το I καείται σ πεδίο ή σ άγεβρα ή σ σώµα ενδεχοµένων ή γεγονότων σ eld αν ισχύει ο ακόουθος ορισµός Ορισµός σ -πεδίο Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης Το σύνοο I καείται σ -πεδίο ενδεχοµένων ή γεγονότων αν Ω I αν I τότε I και αν I, j I τότε I j U j j δηαδή η οικογένεια I των υποσυνόων του συνόων Ω είναι κειστή για την πράξη της ένωσης αριθµήσιµου πήθους Παράδειγµα Θεωρούµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης ενός ζαριού Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι Ω {,,,, 5, 6} Ως σύνοο I µπορούµε να θεωρήσουµε είτε το δυναµοσύνοο power set του Ω, δηαδή το σύνοο I { όα τα υποσύνοα του Ω} είτε το σύνοο I {Ω,{},{},{,},{,,,5,6},{,,,5,6},{,,5,6}, } Παρατηρούµε ότι και τα δύο σύνοα ικανοποιούν τον Ορισµό, εποµένως είναι σ πεδία 5

Αν για ένα πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω και σ πεδίο ενδεχοµένων I ισχύει ότι το δειγµατικό σηµείο ω είναι τέτοιο ώστε ω I τότε έµε ότι το ενδεχόµενο συνέβη ours ηαδή, έµε ότι το ενδεχόµενο συνέβη αν το αποτέεσµα του πειράµατος τύχης ανήκει στην οικογένεια υποσυνόων I Στο παράδειγµα της ρίψης ενός ζαριού θεωρούµε ως σ πεδίο ενδεχοµένων το δυναµοσύνοο του Ω Τότε έµε ότι το ενδεχόµενο { άρτιο αποτέεσµα} {,, 6} συνέβη αν εµφανιστεί το αποτέεσµα outome ή το αποτέεσµα ή το αποτέεσµα 6, διότι τότε, για παράδειγµα, το δειγµατικό σηµείο είναι τέτοιο ώστε I Το ίδιο συµβαίνει για τα δειγµατικά σηµεία και 6 Τα ενδεχόµενα της µορφής {ω} καούνται απά ενδεχόµενα ενώ εκείνα που περιέχουν τουάχιστον δύο δειγµατικά σηµεία καούνται σύνθετα ενδεχόµενα Τα ενδεχόµενα Ω και καούνται το βέβαιο και το αδύνατο ενδεχόµενο ull evet, αντίστοιχα, για προφανείς όγους Έστω τα ενδεχόµενα,, C Ω µπορούν να γραφούν ως σχέσεις συνόων α Μόνο το ενδεχόµενο συµβαίνει, C β Τουάχιστον ένα από τα ενδεχόµενα Παρακάτω θα δούµε τον τρόπο µε τον οποίο κάποιες καθηµερινές εκφράσεις,, C συµβαίνει, C γ Τουάχιστον δύο ενδεχόµενα συµβαίνουν, C C δ Και τα τρία ενδεχόµενα συµβαίνουν, C ε Το πού ένα ενδεχόµενο συµβαίνει, C C C C Ο κασσικός, ο στατιστικός και ο αξιωµατικός ορισµός της πιθανότητας Έστω ένα πείραµα τύχης µε πεπερασµένο δειγµατικό χώρο Ω ω, K, ω } και έστω ότι όα τα απά { ενδεχόµενα { ω },, K έχουν την ίδια «δυνατότητα» πιθανότητα να συµβούν η οποία είναι ίση µε D, Ως σ πεδίο ενδεχοµένων I θεωρούµε το δυναµοσύνοο του Ω Ισχύει ότι Ω { ω } Άρα, Ω { ω } D D U Έστω ένα ενδεχόµενο µε πήθος στοιχείων s, δηαδή b, b, K, b } s Τότε { b } µε { b } D, { s s όπου είναι το πήθος στοιχείων του Ω Άρα, sd s ίνουµε τον ακόουθο κασσικό ορισµό της πιθανότητας 6

Ορισµός Κασσικός ορισµός της πιθανότητας Έστω ένα πείραµα τύχης µε πεπερασµένο δειγµατικό χώρο Ω ω, K, ω } και έστω ότι όα τα απά ενδεχόµενα { ω },, K έχουν την ίδια ακριβώς {, # «δυνατότητα» να συµβούν Η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου ορίζεται ως εξής:, όπου µε # Ω # και # Ω συµβοίζουµε το πήθος των στοιχείων των συνόων και Ω, αντίστοιχα Έστω ότι έχουµε µία κάπη µε σφαιρίδια Η ήψη σφαιριδίων από τον πηθυσµό των σφαιριδίων καείται δειγµατοηψία samplg Όταν τα σφαιρίδια αµβάνονται διαδοχικά χωρίς να τοποθετούνται πάι στην κάπη έµε ότι η δειγµατοηψία γίνεται χωρίς επανατοποθέτηση Όταν η ήψη ενός σφαιριδίου γίνεται αφού προηγουµένως τοποθετούνται πάι στην κάπη όα τα σφαιρίδια που ήδη ήφθηκαν έµε ότι η δειγµατοηψία γίνεται µε επανατοποθέτηση Τα δείγµατα που αµβάνονται µπορεί να είναι διατεταγµένα όταν σηµειώνεται η σειρά µε την οποία αµβάνονται τα σφαιρίδια ή µη-διατεταγµένα όταν η σειρά αυτή δεν σηµειώνεται Ο αριθµός των µη-διατεταγµένων δειγµάτων µεγέθους σε δειγµατοηψία χωρίς επανατοποθέτηση από µία! κάπη µε σφαιρίδια συµβοίζεται µε και είναι!! Παράδειγµα Ένα δοχείο περιέχει έξι ευκούς και πέντε µαύρους βόους Εάν τραβήξουµε τυχαία δύο βόους από το δοχείο ποια είναι η πιθανότητα α να είναι και οι δύο ευκοί; β να είναι ο ένας ευκός και ο άος µαύρος; Λύση Χρησιµοποιούµε τον κασσικό ορισµό της πιθανότητας α Έστω επιεγούν µε 6 µε τρόπους Άρα, η ζητούµενη πιθανότητα ύο βόοι, από τους έντεκα που υπάρχουν στο δοχείο, µπορούν να τρόπους ύο ευκοί βόοι, από τους έξι που υπάρχουν στο δοχείο, µπορούν να επιεγούν 6 β Από τη Βασική Αρχή Απαρίθµησης, αν είναι η ζητούµενη πιθανότητα, µε παρόµοιους συογισµούς, έχουµε 6 5 7

Η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου µπορεί να οριστεί εναακτικά ως η οριακή σχετική συχνότητα lmtg relatve reque εµφάνισης του ενδεχοµένου Έστω ότι σε επαναήψεις ενός πειράµατος τύχης εµφανίζονται φορές αποτεέσµατα που περιέχονται στο ενδεχόµενο Ο όγος συµβοίζεται µε συνήθως και καείται σχετική συχνότητα εµφάνισης του ενδεχοµένου στις επαναήψεις ενός πειράµατος τύχης κάτω από τις ίδιες συνθήκες Η σχετική συχνότητα µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένα ποσοτικό µέτρο έκφρασης του βαθµού βεβαιότητας για την εµφάνιση του ενδεχοµένου Όταν ένα πείραµα τύχης επανααµβάνεται µεγάο αριθµό φορών, η σχετική συχνότητα εµφάνισης ενός ενδεχοµένου σταθεροποιείται γύρω από κάποια τιµή που καείται οριακή σχετική συχνότητα και µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένα µέτρο του βαθµού βεβαιότητας για την εµφάνιση του ενδεχοµένου Ο ακόουθος ορισµός της πιθανότητας αποδίδεται στον Vo Mses και είναι γνωστός ως ο στατιστικός ορισµός της πιθανότητας Ορισµός Στατιστικός ορισµός της πιθανότητας Έστω Ω ένας δειγµατικός χώρος και ένα ενδεχόµενο του Ω Αν είναι ο αριθµός εµφανίσεων του ενδεχοµένου σε επαναήψεις του πειράµατος,, τότε ορίζουµε ως πιθανότητα εµφάνισης του ενδεχοµένου το όριο lm lm Η έννοια του ορίου στον παραπάνω ορισµό δεν είναι αυστηρή αά αποδίδει συµβοικά το γεγονός της σταθεροποίησης της σχετικής συχνότητας όταν αυξάνεται σηµαντικά ο αριθµός των επαναήψεων του πειράµατος Όπως είναι φανερό η προσέγγιση του Vo Mses για τον ορισµό της πιθανότητας δεν µπορούσε να αποτεέσει τη βάση για µία αυστηρή µαθηµατική ανάπτυξη της Θεωρίας Πιθανοτήτων εν είναι δυνατή, σε αρκετές περιπτώσεις, ενδεχοµένως όγω κόστους ή και χρόνου, η επανάηψη ενός πειράµατος ποές φορές Σε κάποιες περιπτώσεις ίσως να µην είναι δυνατόν να εντοπιστεί το όριο του όγου Ο διαπρεπής Ρώσος Μαθηµατικός Kolmogorov εξέαβε τρεις ιδιότητες της πιθανότητας ως αξιώµατα Οόκηρη η Θεωρία Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε αυστηρά µε ογικούς µαθηµατικούς συογισµούς οι οποίοι ξεκινούν από τα αξιώµατα αυτά Ο Kolmogorov αντιστοίχισε σε κάθε ενδεχόµενο µία αριθµητική ποσότητα καείται πιθανότητα του ενδεχοµένου η οποία Όρισε µία πραγµατική συνοοσυνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σ πεδίο γεγονότων I και πεδίο τιµών κάθε φορά ένα οποιοδήποτε υποσύνοο του συνόου των πραγµατικών αριθµών R Ο ορισµός που ακοουθεί είναι ο καθιερωµένος ορισµός της πιθανότητας, οφείεται στον Kolmogorov και καείται αξιωµατικός ορισµός 8

Ορισµός Αξιωµατικός ορισµός της πιθανότητας κατά Kolmogorov Μία πιθανότητα συνοοσυνάρτηση : I R που έχει τις ακόουθες ιδιότητες: Είναι µη-αρνητική, δηαδή για κάθε ενδεχόµενο είναι µία I Μη-αρνητικότητα της πιθανότητας Ισχύει ότι Ω Η πιθανότητα να εµφανιστεί κάποιο στοιχείο του Ω είναι ίση µε τη µονάδα Είναι σ προσθετική, δηαδή για οποιαδήποτε ανά δύο ξένα µεταξύ τους ασυµβίβαστα ενδεχόµενα mutuall elusve evets j, j I δηαδή τέτοια ώστε για κάθε, j I, µε j, ισχύει ότι j U j j j j Αξίωµα της σ προσθετικότητας Σύµφωνα µε τον Kolmogorov η πιθανότητα είναι µία πραγµατική συνοοσυνάρτηση µε πεδίο ορισµού µία οικογένεια συνόων το σύνοο όων των ενδεχοµένων του πειράµατος και πεδίο τιµών ένα οποιοδήποτε υποσύνοο των πραγµατικών αριθµών Ορισµός 5 Πιθανοθεωρητικός χώρος Έστω ένα πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω, σ πεδίο γεγονότων I και έστω probablt spae µία πιθανότητα επί του I Η τριάδα Ω, I, καείται πιθανοθεωρητικός χώρος Μερικές συνέπειες του αξιωµατικού ορισµού της πιθανότητας είναι: α, δηαδή το αδύνατο γεγονός έχει πιθανότητα ίση µε µηδέν β Το συµπήρωµα ενός ενδεχοµένου έχει πιθανότητα γ Μία πιθανότητα είναι µία µη-φθίνουσα συνάρτηση, δηαδή αν δ Για οποιοδήποτε ενδεχόµενο ισχύει ότι: τότε ε Μία οποιαδήποτε πιθανότητα είναι υποπροσθετική, δηαδή ισχύει ότι ανισότητα είναι γνωστή ως ανισότητα του oole oole s equalt στ Έστω δύο ενδεχόµενα ddtve law U j j j j Η τεευταία, Ω Ισχύει ότι + Προσθετικός νόµος, Για τρία ενδεχόµενα,, C Ω ισχύει ότι C + + C C C C 9

Παράδειγµα Έστω ένα πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω και σ πεδίο ενδεχοµένων I Έστω δύο ενδεχόµενα τέτοια ώστε,, και 6 Βρείτε τις ακόουθες πιθανότητες: α Tουάχιστον ένα ενδεχόµενο συµβαίνει β Mόνο ένα ενδεχόµενο συµβαίνει γ Oύτε το ενδεχόµενο ούτε το ενδεχόµενο συµβαίνει δ Tο πού ένα από τα δύο ενδεχόµενα συµβαίνει Λύση α 6 + + β 6 γ ] [ δ 6 5 6 ] [ Παράδειγµα Έστω δύο ενδεχόµενα και είξτε ότι η πιθανότητα να συµβεί ακριβώς ένα από τα δύο ενδεχόµενα είναι ίση µε + Λύση Θέουµε να βρούµε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Όµως, Άρα, ισχύει ότι + Όµως, + Ω Όµοια, αφού, Εποµένως, + Παράδειγµα 5 Σκοπεύουµε να µετρήσουµε τον αριθµό των φορών που θα βρέξει στο Καρόβασι τον επόµενο Ιανουάριο και το συνοικό ποσό της βροχόπτωσης σε χιιοστά α Να δοθεί κατάηος δειγµατικός χώρος Ω για την περιγραφή των µετρήσεων β Να περιγραφούν τα επόµενα ενδεχόµενα: : Θα βρέξει φορές και το συνοικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι τουάχιστον 5 χιιοστά : Θα βρέξει το πού φορές

: Θα βρέξει 6 έως 8 φορές και το συνοικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι 5 έως χιιοστά : Θα βρέξει τουάχιστον 7 φορές και το συνοικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι έως 5 χιιοστά : Το συνοικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι το πού 8 χιιοστά 5 γ Να περιγραφούν τα επόµενα ενδεχόµενα 5, 5,, 5, 5 Λύση α Ας συµβοίσουµε µε τον αριθµό των φορών που θα βρέξει και µε το συνοικό ποσό της βροχόπτωσης σε χιιοστά Τότε Ω {, :,,, K, [, } β Οι περιγραφές των ενδεχοµένων, K, 5 είναι: {, : [5, }, {,} {, :,, }, {, : 6 8, [5, ]}, {, : 7, [, 5]}, {,} {, :,, 8]} 5 γ Από το β προκύπτει {, : [5, 8]}, {,} {, :,,8]}, 5 {6, : [5, ]}, {, :, [,8]}, 5 {6, : 5 [5, 8]} 5 Παράδειγµα 6 Από τον έεγχο που έγινε σε µία ηµέρα σε ένα µεγάο αριθµό οδηγών βρέθηκε ότι το 7% των οδηγών δε φορούσε ζώνη ασφαείας, το % των οδηγών δεν είχε πυροσβεστήρα στο αυτοκίνητο, ενώ στο % των οδηγών διαπιστώθηκαν και οι δύο παραβάσεις Την επόµενη µέρα εέγχεται ένας οδηγός και θεωρούµε τα ενδεχόµενα : ο οδηγός δεν φοράει ζώνη ασφαείας και : ο οδηγός δεν έχει πυροσβεστήρα στο αυτοκίνητό του Να υποογιστεί η πιθανότητα των ενδεχοµένων,,,, Λύση Επειδή το µέγεθος του δείγµατος είναι µεγάο, από το στατιστικό ορισµό της πιθανότητας προκύπτει προσεγγιστικά ότι στον πηθυσµό των οδηγών οι πιθανότητες των ενδεχοµένων, και είναι ίσες µε 7,, Εποµένως, + 8, [ ],, + 9, [ ] εσµευµένη πιθανότητα Θεωρούµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης ενός ζαριού Ισχύει ότι { } της ρίψης του ζαριού θα είναι άρτιο, τότε { } ίνουµε τον ακόουθο ορισµό Αν είναι γνωστό ότι το αποτέεσµα 6

Ορισµός εσµευµένη πιθανότητα Έστω Ω ένας δειγµατικός χώρος και ένα ενδεχόµενο του Ω τέτοιο ώστε > Για κάθε ενδεχόµενο του Ω, η δεσµευµένη πιθανότητα odtoal probablt του δοθέντος του gve ορίζεται ως εξής: Γνωρίζουµε οιπόν ότι το αποτέεσµα της ρίψης του ζαριού θα είναι άρτιο και ζητάµε την πιθανότητα να εµφανιστεί το αποτέεσµα Θεωρούµε το ενδεχόµενο {,,6} και το ενδεχόµενο {} Τότε {} 6 {,,6} Παράδειγµα 7 Θεωρούµε τις οικογένειες µε δύο παιδιά Έστω ότι µε συµβοίζουµε το αγόρι και µε K το κορίτσι Ο δειγµατικός χώρος είναι Ω {, K, K, KK} Θεωρούµε ότι το «πρώτο» σύµβοο της δυάδας που αναπαριστά το δειγµατικό σηµείο του Ω δηώνει το µεγαύτερο σε ηικία παιδί Θεωρούµε τα ενδεχόµενα παιδιά ίδιου φύου {, KK} και C τουάχιστον ένα αγόρι {, K, K} Ποια είναι η πιθανότητα τα παιδιά να είναι του ίδιου φύου αν γνωρίζουµε ότι τουάχιστον ένα είναι αγόρι; C Λύση Ζητάµε την πιθανότητα C Έχουµε C, ενώ C Παράδειγµα 8 Έστω ότι ένα δοχείο περιέχει δεκαπέντε ευκούς, δέκα κίτρινους και πέντε µαύρους βώους ιαέγουµε τυχαία ένα βώο από το δοχείο Ποια είναι η πιθανότητα να είναι κίτρινος αν γνωρίζουµε ότι δεν είναι µαύρος; Λύση Έστω K και M τα ενδεχόµενα επιογής κίτρινου και µαύρου βώου, αντίστοιχα Ζητάµε την πιθανότητα K M Έχουµε K M K K M M M M 5 5 Θεώρηµα Οικής Πιθανότητας και Θεώρηµα aes Σε ένα πείραµα τύχης έχουµε ορίσει τα ενδεχόµενα και και υπάρχει η δυνατότητα να υποογίσουµε τις δεσµευµένες πιθανότητες και Χρησιµοποιώντας αυτά τα στοιχεία, µπορούµε να υποογίσουµε τη µη δεσµευµένη πιθανότητα εµφάνισης του ενδεχοµένου ; Η απάντηση είναι καταφατική και δίνεται από το Θεώρηµα Οικής Πιθανότητας Total robablt Theorem

Θεώρηµα Θεώρηµα Οικής Πιθανότητας Αν, K, ξένα ανά δύο µεταξύ τους ενδεχόµενα, τότε για οποιοδήποτε ενδεχόµενο διαµέριση partto του ισχύει ότι Τα ενδεχόµενα, I αποτεούν µία U Ω, δηαδή είναι τέτοια ώστε να ισχύει ότι Ω Απόδειξη Είναι Ω U U Άρα, U Παράδειγµα 9 Ένα αεροπάνο έχει συντριβεί σε µία περιοχή που διαιρείται σε δάσος, θάασσα και βουνό Οι πιθανότητες το αεροπάνο να έπεσε σε δάσος, θάασσα και βουνό είναι αντίστοιχα, Θ και 6 Οι πιθανότητες ευρέσεως του αεροπάνου είναι α αν έπεσε σε δάσος, E, β αν έπεσε σε θάασσα, E Θ, και γ αν έπεσε σε βουνό, E Να βρεθεί η πιθανότητα 5 ευρέσεως του αεροπάνου Λύση Ο δειγµατικός χώρος είναι και είναι τέτοια ώστε την πιθανότητα ευρέσεως του αεροπάνου Ω {, Θ, }, όπου, Θ και είναι ξένα ανά δύο µεταξύ τους ενδεχόµενα Θ Ω Χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα Οικής Πιθανότητας για να υποογίσουµε E Έχουµε E E + E Θ Θ + E + 5 + 6 56 Ένα σύνηθες πρόβηµα της Θεωρίας Πιθανοτήτων είναι ο υποογισµός των πιθανοτήτων από τις µη δεσµευµένες πιθανότητες και τις δεσµευµένες πιθανότητες j, j I, όπου I είναι ένα j οποιοδήποτε σύνοο δεικτών Η γενική έκφραση υποογισµού είναι µία εφαρµογή του Θεωρήµατος Οικής Πιθανότητας και αποδίδεται στον aes aes Theorem j Θεώρηµα Θεώρηµα του aes Αν U Ω και, K, ξένα ανά δύο µεταξύ τους ενδεχόµενα τέτοια ώστε j j κάποιο ενδεχόµενο, τότε j, για κάθε j {,, K, }

j j j Απόδειξη Είναι j Παράδειγµα Μία ασφαιστική εταιρεία κατατάσσει τους οδηγούς σε τρεις κατηγορίες, τους ασφαείς, τους µέτριους M και τους κακούς K Η πιθανότητα να είναι κάποιος οδηγός ασφαής, µέτριος και κακός είναι αντίστοιχα, M 5 και K Αν E είναι το ενδεχόµενο να έχει κάποιος οδηγός ατύχηµα κατά τη διάρκεια ενός έτους τότε E 5, E M 5 και E K Να βρεθεί η πιθανότητα να είναι κάποιος ασφαής οδηγός αν δεν έχει κανένα ατύχηµα κατά τη διάρκεια ενός έτους Λύση Ζητάµε την πιθανότητα E Χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα του aes και διαδοχικά έχουµε E E E E E + E M M + E K K [ E ] [ E ] + [ E M ] M + [ E K] K 5 5 + 55 + 5 Ανεξάρτητα ενδεχόµενα Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες η γνώση ότι συνέβη ή δεν συνέβη ένα ενδεχόµενο δε δίνει καµία πηροφορία για την εµφάνιση ή µη ενός ενδεχοµένου Για να είναι δύο ενδεχόµενα, µε >, >, ανεξάρτητα µεταξύ τους θα πρέπει Λέµε ότι το ενδεχόµενο είναι ανεξάρτητο από το ενδεχόµενο και από την τεευταία ισότητα έπεται ότι και το ενδεχόµενο είναι ανεξάρτητο από το ενδεχόµενο ίνουµε τον ακόουθο ορισµό Ορισµός 5 Ανεξάρτητα ενδεχόµενα ύο ενδεχόµενα, είναι στοχαστικά ή στατιστικά ανεξάρτητα stohastall or statstall depedet αν και µόνο αν Στην αντίθετη περίπτωση αν δηαδή ισχύει ότι τα ενδεχόµενα, καούνται εξαρτηµένα depedet

Παράδειγµα Στο Παράδειγµα 7 ορίζουµε τα ενδεχόµενα παιδιά και των δύο φύων και : το µεγαύτερο παιδί είναι αγόρι Έχουµε { K, K} και {, K} Για να είναι τα, ανεξάρτητα ενδεχόµενα πρέπει Όµως, και Επιπέον έχουµε { K} και Συνεπώς τα ενδεχόµενα είναι ανεξάρτητα, : Παράδειγµα Ρίχνουµε δύο αµερόηπτα ζάρια Θεωρούµε τα ενδεχόµενα είναι επτά και : το πρώτο ζάρι είναι άσσος Είναι τα, ανεξάρτητα; : το άθροισµα των δύο ζαριών Είναι {,6,,5,,,,,5,,6,} και {,,,,,,,,,5,,6} Επίσης ισχύει ότι και, αφού {,6 } Άρα τα ενδεχόµενα, είναι 6 6 ανεξάρτητα Παράδειγµα Από µία τράπουα διαέγουµε τυχαία ένα χαρτί Έστω και τα ενδεχόµενα είναι άσσος και : το χαρτί είναι καρρό Είναι τα, ανεξάρτητα ενδεχόµενα; : το χαρτί Έχουµε και Η τοµή των ενδεχοµένων, είναι : το χαρτί είναι άσσος-καρρό και Άρα τα ενδεχόµενα, είναι ανεξάρτητα 5 Παράδειγµα Αν, είναι ανεξάρτητα ενδεχόµενα τότε και τα, είναι ανεξάρτητα ενδεχόµενα Πρέπει να δείξουµε ότι Όµως, [ ] 6 Το Θεώρηµα Συνέχειας Μία πραγµατική συνάρτηση : R R, είναι συνεχής αν και µόνο αν για οποιαδήποτε συγκίνουσα ακοουθία πραγµατικών αριθµών { }, ισχύει lm lm Η συνάρτηση πιθανότητας είναι µία συνεχής συνάρτηση Πριν παρουσιάσουµε το Θεώρηµα Συνέχειας χρειαζόµαστε την έννοια της µονότονης mootoe αύξουσας ή φθίνουσας ακοουθίας ενδεχοµένων reasg or dereasg sequee o evets 5

Ορισµός 6 Μία ακοουθία ενδεχοµένων έγεται αύξουσα φθίνουσα και γράφουµε αν K + K αντίστοιχα, αν K + K Γράφουµε lm U, αν και lm, αν I Αν θεωρήσουµε ως δειγµατικό χώρο το σύνοο Ω ενδεχοµένων R των πραγµατικών αριθµών και ορίσουµε τις ακοουθίες +, 6 και,, +,, K, είναι φανερό ότι η ακοουθία { } είναι αύξουσα ενώ η ακοουθία } είναι φθίνουσα Επιπέον ισχύει ότι lm [, 6] και lm {} { Θεώρηµα Θεώρηµα Συνέχειας Αν η ακοουθία ενδεχοµένων είναι µονότονη δηαδή είτε αύξουσα, είτε φθίνουσα, τότε lm lm Απόδειξη ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις η περίπτωση Έστω ότι η ακοουθία είναι αύξουσα Θέτουµε,, K,,, K Τα σύνοα { } είναι ξένα ανά δύο µεταξύ τους Τότε και U U U U Άρα, lm U U lm lm U lm U lm lm lm η περίπτωση Έστω ότι η ακοουθία είναι φθίνουσα Τότε η ακοουθία είναι αύξουσα Εφαρµόζοντας την πρώτη περίπτωση, έχουµε διαδοχικά lm lm lm lm και U I I Εποµένως, lm I Συνεπώς, lm lm Παράδειγµα 5 Ας υποθέσουµε ότι έχουµε έναν αρχικό πηθυσµό του οποίου τα άτοµα είναι δυνατόν πριν πεθάνουν να γεννήσουν απογόνους σχηµατίζοντας έτσι τις επόµενες γενιές Αν η πιθανότητα να εξαφανιστεί ο 6

πηθυσµός στην οστή γενιά όγω θανάτου όων των ατόµων του πηθυσµού πριν προάβουν να παράγουν + απογόνους είναι ίση µε ep, ποια είναι η πιθανότητα να ζήσει ο πηθυσµός για πάντα; Λύση Αν συµβοίσουµε µε,, K τα ενδεχόµενα : ο πηθυσµός εξαφανίζεται κατά την, οστή γενιά είναι προφανές ότι η ακοουθία ενδεχοµένων } είναι αύξουσα, δηαδή K Το { K ενδεχόµενο εξαφάνισης του πηθυσµού σε κάποια γενιά περιγράφεται από την ένωση U lm και έχει πιθανότητα εµφάνισης U + lm lm lm ep e Εποµένως η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε U e 5 8658 7 ύο δηµοφιή προβήµατα πιθανοτήτων Πρόβηµα Το πρόβηµα του Chevaler de Mere Ρίχνουµε ένα αµερόηπτο ζάρι τέσσερις ανεξάρτητες φορές Έστω τα ενδεχόµενα E τέτοια ώστε E { το οστό ζάρι είναι άσσος},,,, Ρίχνουµε δύο αµερόηπτα ζάρια είκοσι τέσσερις ανεξάρτητες φορές Έστω τα ενδεχόµενα τέτοια ώστε { η οστή ζαριά έφερε διπό άσσο},, K, Να εεγχθεί αν p q, όπου U p E και q U Λύση Έχουµε p U E U E I E E [ E ] 6 5 6 5777 q U U I 6 5 6 9 Άρα, p q Πρόβηµα Το πρόβηµα των γενεθίων Έστω ότι υπάρχουν άνθρωποι σε ένα δωµάτιο Ποια είναι η πιθανότητα να µην γιορτάζουν δύο από αυτούς τα γενέθιά τους την ίδια ηµέρα του χρόνου; 7

Λύση Χρησιµοποιούµε τον κασσικό ορισµό της πιθανότητας Ζητάµε την πιθανότητα οι άνθρωποι να γιορτάζουν σε διαφορετικές µέρες Έχουµε παραπάνω πιθανότητα γίνεται µικρότερη από 65 6 6L65 + 65 Για παράδειγµα, αν, η 8 Άα προβήµατα πιθανοτήτων Πρόβηµα Ρίχνουµε δύο αµερόηπτα ζάρια συνεχώς και ανεξάρτητα σηµειώνοντας το άθροισµα τους Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχοµένου E : το άθροισµα 5 εµφανίζεται πριν εµφανιστεί το άθροισµα 7; Λύση Η ύση θα δοθεί µε δύο τρόπους ος τρόπος Θεωρούµε το ενδεχόµενο E : κατά τις πρώτες ρίψεις των ζαριών δεν εµφανίζεται ούτε το άθροισµα 5 ούτε το άθροισµα 7 και στην οστή ρίψη εµφανίζεται το άθροισµα 5, Ισχύει ότι p 5 {άθροισµα πέντε} {,,,,,,, } 6 9 6 p 7 { άθροισµα επτά } {, 6,6,,, 5,5,,,,, } 6 6,,, K Τότε και τα ενδεχόµενα είναι ξένα ανά δύο µεταξύ τους ασυµβίβαστα Έχουµε E U E E,, K 6 6 E U E E Όµως, E, 6 6 6 6 6 άρα E 6 6 6 ος τρόπος Έστω τα ενδεχόµενα : στη η ρίψη έχουµε άθροισµα 5, : στη η ρίψη έχουµε άθροισµα 7 και C : στη η ρίψη έχουµε άθροισµα διαφορετικό του 5 και του 7 Είναι C Ω και C Από το Θεώρηµα Οικής Πιθανότητας, έχουµε 6 6 E E + E + E C C + + E 6 6 6 6 + E 6 E + 6 E E 6 6 Η δεύτερη ισότητα προκύπτει διότι τα ενδεχόµενα E και C είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους 8

Πρόβηµα Κατά τη διάρκεια ενός έτους ένας άνδρας οδηγός παθαίνει κάποιο ατύχηµα που δηώνεται στην ασφαιστική εταιρεία µε πιθανότητα ίση µε µ Στην περίπτωση της γυναίκας οδηγού αυτή η πιθανότητα είναι ίση µε Υποθέτουµε ότι ο αριθµός των ασφαισµένων ανδρών οδηγών είναι ίσος µε τον αριθµό των ασφαισµένων γυναικών οδηγών Έστω ότι επιέγουµε κατά τυχαίο τρόπο έναν ασφαισµένο οδηγό α Ποια είναι η πιθανότητα να κάνει δήωση αυτός ο οδηγός κατά την τρέχουσα χρονιά; β Ποια είναι η πιθανότητα να κάνει δήωση σε δύο διαδοχικές χρονιές; γ Αν επιεγεί κατά τυχαίο τρόπο ένας οδηγός που έκανε δήωση αυτή τη χρονιά, ποια είναι η πιθανότητα να κάνει δήωση και την επόµενη χρονιά; Λύση α Έστω τα ενδεχόµενα : ο οδηγός κάνει δήωση αυτή την χρονιά και : ο οδηγός κάνει δήωση την επόµενη χρονιά Από το Θεώρηµα Οικής Πιθανότητας, έχουµε άνδρας άνδρας + γυναίκα γυναίκα + µ β Χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα Οικής Πιθανότητας και έχουµε άνδρας άνδρας + γυναίκα γυναίκα + µ γ Από τον ορισµό της δεσµευµένης πιθανότητας έχουµε 5 + µ + µ 5 + µ + µ Πρόβηµα 5 Ένα αµερόηπτο νόµισµα ρίχνεται συνεχώς είξτε ότι είναι βέβαιο πως θα εµφανιστεί κάποτε η ένδειξη «κεφαή» Λύση Έστω το ενδεχόµενο : καµία κεφαή δεν εµφανίζεται κατά τις πρώτες ρίψεις του νοµίσµατος Η ακοουθία των ενδεχοµένων,,k είναι φθίνουσα Από το Θεώρηµα Συνέχειας, έχουµε δεν εµφανίζεται ποτέ κεφαή I lm lm Άρα, κάποτε εµφανίζεται κεφαή δεν εµφανίζεται ποτέ κεφαή 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Τυχαίες µεταβητές Κατά τη µεέτη ενός πειράµατος τύχης µπορούµε να αντιστοιχίσουµε σε κάθε δειγµατικό σηµείο έναν αριθµό χρησιµοποιώντας έναν προκαθορισµένο κανόνα αντιστοίχησης Υπάρχει δηαδή η δυνατότητα ορισµού µιας συνάρτησης η οποία σε κάθε σηµείο ω του δειγµατικού χώρου Ω να αντιστοιχεί έναν πραγµατικό αριθµό ω Μία τέτοια συνάρτηση καείται τυχαία µεταβητή radom varable Ο συµβοισµός ω σηµαίνει ότι όταν το αποτέεσµα του πειράµατος τύχης είναι το ω Ω, τότε η τιµή που θα πάρει η τυχαία µεταβητή είναι ίση µε ίνουµε τον ακόουθο ορισµό Ορισµός Τυχαία µεταβητή Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης Μία πραγµατική συνάρτηση : Ω R καείται τυχαία µεταβητή του πειράµατος αν για κάθε διάστηµα I R το σύνοο { ω Ω ω I} είναι ενδεχόµενο του Ω Η πιθανότητα εµφάνισης του ενδεχοµένου θα γράφεται ως I Μία τυχαία µεταβητή : Ω R αντιστοιχεί το δειγµατικό χώρο Ω σε ένα υποσύνοο του συνόου των πραγµατικών αριθµών R Το συνόο αυτό είναι το { R: ω για κάποιο ω Ω} και καείται πεδίο τιµών ή σύνοο τιµών set o values της τυχαίας µεταβητής Συµβοίζεται συνήθως µε R ή µε S Παράδειγµα α Έστω το τυχαίο πείραµα της ρίψης δύο ζαριών Ο δειγµατικός χώρος είναι Ω {, j, j, K,6} Ορίζουµε την τυχαία µεταβητή : Ω R τέτοια ώστε, j + j Η αναπαριστά το άθροισµα των ενδείξεων των δύο ζαριών β Έστω το τυχαίο πείραµα της ρίψης ενός νοµίσµατος φορές Ορίζουµε την τυχαία µεταβητή : αριθµός των εµφανιζοµένων κεφαών στις ρίψεις Ο δειγµατικός χώρος Ω του πειράµατος αποτεείται

από είναι µία άδες µε ενδείξεις Κ για τις κεφαές και Γ για τα γράµµατα Αν ένα στοιχείο άδα µε πέντε ενδείξεις κεφαής τότε ω 5 γ Έστω η τυχαία µεταβητή σύνοο [, R δ Έστω η τυχαία µεταβητή ω του δειγµατικού χώρου : χρόνος ζωής ενός ηεκτρικού αµπτήρα Το πεδίο τιµών της είναι το : ενδιάµεσος χρόνος άφιξης τρένων σε ένα συγκεκριµένο σταθµό Αν ο χρόνος µεταξύ των διαδοχικών αφίξεων των τρένων δεν ξεπερνάει τα πέντε επτά, τότε η πιθανότητα να περιµένουµε περισσότερο από δύο επτά αν φτάσουµε στο σταθµό τη στιγµή που φεύγει ένα τρένο είναι ίση µε < 5 Ο υποογισµός πιθανοτήτων που σχετίζονται µε µία τυχαία µεταβητή είναι εφικτός αν βρεθεί µία έκφραση για τις πιθανότητες για όα τα R Η συνάρτηση κατανοµής dstrbuto uto F µας δίνει όες τις πηροφορίες που χρειαζόµαστε για την τυχαία µεταβητή ίνουµε τον ακόουθο ορισµό Ορισµός Έστω : Ω R µία τυχαία µεταβητή Η συνάρτηση κατανοµής σκ F της τυχαίας µεταβητής είναι η συνάρτηση F : R [, ] µε τύπο { ω Ω : ω }, R F Μία συνάρτηση κατανοµής έχει τις ακόουθες ιδιότητες α Η συνάρτηση κατανοµής β lm F γ lm F F µιας τυχαίας µεταβητής είναι αύξουσα δ Η συνάρτηση κατανοµής F είναι συνεχής από δεξιά Η Πρόταση δ µπορεί εναακτικά να γραφεί ως εξής: Για κάθε φθίνουσα ακοουθία πραγµατικών αριθµών }, µε { lm ισχύει lm F F Παράδειγµα Να εκφραστούν οι πιθανότητες < και > συναρτήσει της σκ F για µία τυχαία µεταβητή Λύση Είναι < και τα ενδεχόµενα < και είναι ξένα µεταξύ τους Εποµένως, < + Συνεπώς, < F F Είναι > [ > ] F

ιακριτές και συνεχείς τυχαίες µεταβητές Αν το πεδίο τιµών R µιας τυχαίας µεταβητής είναι πεπερασµένο ή το πού απείρως αριθµήσιµο τότε η καείται διακριτή ή απαριθµητή dsrete Σε αυτή την περίπτωση το σύνοο τιµών της έχει τη µορφή S { K R,, } ή τη µορφή S R, K, } Το σύνοο καείται φορέας της τυχαίας { N µεταβητής Σε κάθε διακριτή τυχαία µεταβητή, µπορούµε να αντιστοιχήσουµε µία πραγµατική συνάρτηση : R R µε τύπο, S η οποία καείται συνάρτηση πιθανότητας σπ probablt uto της Για παράδειγµα, κατά τη ρίψη ένος νοµίσµατος φορές, η τυχαία µεταβητή κεφαών είναι µία διακριτή τυχαία µεταβητή µε πεπερασµένο σύνοο τιµών {,, K, } S R που µετράει τον αριθµό των Μία συνάρτηση πιθανότητας ικανοποιεί τις ακόουθες δύο ιδιότητες: α β, για κάθε,, K S Επιπέον, για µία διακριτή τυχαία µεταβητή ισχύει ότι F U { } Η συνάρτηση πιθανότητας µιας διακριτής τυχαίας µεταβητής παριστάνεται γραφικά µε ένα σύνοο κατακόρυφων γραµµών που συνδέουν τα σηµεία, µε τα σηµεία, για,, K Παράδειγµα Ο αριθµός των αυτοκινήτων που πουάει µία έκθεση σε µία εβδοµάδα είναι τυχαία µεταβητή µε συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον τύπο:,,,,, 5 και, 6,7,8,9 α Να βρεθεί η τιµή της σταθεράς β Ποια είναι η πιθανότητα να πουηθούν σε µία εβδοµάδα ιγότερα από αυτοκίνητα; περισσότερα από 5 αυτοκίνητα γνωρίζοντας ότι έχουν πουηθεί τουάχιστον ; Λύση α Είναι R {, K,9}, οπότε θα ισχύει ότι ή ισοδύναµα 5 5 β Για τον υποογισµό των πιθανοτήτων έχουµε: 6 < + + 5 5 9

> 5, > 5 6 + 7 + 8 + 9 5 > 5 5 5 Παράδειγµα Οι ηµερήσιες παραγγείες σε -άδες χιιάδες τεµάχια που δέχεται ένα εργοστάσιο το οποίο κατασκευάζει CD περιγράφονται από µία τυχαία µεταβητή µε συνάρτηση κατανοµής F t, t <, F t at, t <, F t at t, t <, F t, t, όπου a είναι µία πραγµατική σταθερά Υποθέτουµε ότι οι ηµερήσιες παραγγείες είναι ιγότερες από τεµάχια α Να υποογιστεί η τιµή της σταθεράς a β Να υποογιστεί η πιθανότητα σε µία ηµέρα να παραγγεθούν περισσότερα από 5 τεµάχια γ Αν κάποια ηµέρα οι παραγγείες έχουν ξεπεράσει τα 5 τεµάχια, ποια είναι η πιθανότητα να υπερβούν και τα 75 τεµάχια; Λύση α Υποθέτουµε ότι β > F + γ Η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε < Εποµένως, < F a a > > >, > > > > F F + 8 Μία τυχαία µεταβητή καείται συνεχής otuous, αν υπάρχει µία µη-αρνητική συνάρτηση :R [, τέτοια ώστε για κάθε υποσύνοο του συνόου R των πραγµατικών αριθµών, το οποίο µπορεί να γραφεί ως ένωση ενός πεπερασµένου ή απείρως αριθµήσιµου πήθους διαστηµάτων, ισχύει ότι t dt, t R Η συνάρτηση καείται συνάρτηση πυκνότητας σπ dest uto της Αν Αν,, τότε, t dt [ a, b], τότε [ a, b] a b t dt b a

Αν a b, a t dt a a Εποµένως, η πιθανότητα η να πάρει οποιαδήποτε συγκεκριµένη τιµή είναι µηδέν Η τιµή a δεν εκφράζει την πιθανότητα a όπως στις διακριτές κατανοµές αά δίνει το πόσο πιθανό είναι να βρίσκεται η τυχαία µεταβητή πού κοντά στην τιµή τιµή a τόσο περισσότερο πιθανό είναι να πάρει η τυχαία µεταβητή τιµές κοντά στο a a Όσο µεγαύτερη είναι η Επιπέον, ισχύει ότι F < t dt Αν υποθέσουµε ότι η σπ είναι µία συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουµε από τον Απειροστικό Λογισµό, αν παραγωγίσουµε ως προς, θα έχουµε F', R Ακόµη και αν η δεν είναι συνεχής παντού η τεευταία σχέση θα ισχύει για κάθε στο οποίο η είναι συνεχής Μία συνάρτηση πυκνότητας χαρακτηρίζεται από τις ακόουθες δύο ιδιότητες α, R β t dt Παράδειγµα 5 Το σφάµα που γίνεται κατά τη µέτρηση µε τη χρήση ενός συγκεκριµένου οργάνου είναι µία συνεχής τυχαία µεταβητή µε συνάρτηση πυκνότητας, και, διαφορετικά, όπου είναι µία πραγµατική σταθερά α Να υποογιστεί η τιµή της σταθεράς β Να υποογιστεί η συνάρτηση κατανοµής F της τυχαίας µεταβητής γ Να υποογιστεί η πιθανότητα το σφάµα µιας µέτρησης να είναι κατά απόυτη τιµή µικρότερο του Λύση α Θα πρέπει και d d β Η συνάρτηση κατανοµής της δίνεται από τον τύπο, < F t dt t, > dt, t 6 + Είναι t dt [] t Άρα,, < 6 + F, >,

γ < < < F F 6875% 6 Παραδείγµατα διακριτών τυχαίων µεταβητών α Οµοιόµορφη διακριτή τυχαία µεταβητή Έστω Ω, K, } ένας πεπερασµένος δειγµατικός χώρος { N ενός πειράµατος τύχης, όπου N φυσικός αριθµός Η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβητής ορίζεται ως εξής, για κάθε, K, N Λέµε ότι η είναι µία οµοιόµορφη N διακριτή τυχαία µεταβητή dsrete uorm radom varable Για παράδειγµα, θεωρούµε ότι η τυχαία µεταβητή είναι το αποτέεσµα της ρίψης ενός αµερόηπτου ζαριού Στην περίπτωση αυτή, το σύνοο τιµών της είναι το διακριτό σύνοο {, K,6} και ισχύει ότι, {, K,6} 6 β ιωνυµική τυχαία µεταβητή Θεωρούµε ένα πείραµα τύχης το οποίο έχει δύο µόνο δυνατά αποτεέσµατα το ένα εκ των οποίων µπορεί να χαρακτηρισθεί ως «επιτυχία» και το άο µπορεί να χαρακτηρισθεί ως «αποτυχία» Κάθε εκτέεση ενός πειράµατος τύχης µε µόνο δύο δυνατά αποτεέσµατα καείται δοκιµή Επανααµβάνουµε το πείραµα φορές Θεωρούµε ότι η πιθανότητα της «επιτυχίας» είναι ίση µε p και η πιθανότητας της «αποτυχίας» είναι ίση µε των επιτυχιών στις q p Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό ανεξάρτητες επαναήψεις του πειράµατος Τότε έµε ότι η τυχαία µεταβητή µία διωνυµική τυχαία µεταβητή bomal radom varable Γράφουµε ακοουθεί τη διωνυµική κατανοµή Οι ποσότητες ~, p είναι και έµε ότι η, p καούνται παράµετροι της διωνυµικής κατανοµής Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι Ω {, } {, } L {, }, όπου το σύνοο {, } εµφανίζεται φορές, η ένδειξη συµβοίζει την «αποτυχία» και η ένδειξη συµβοίζει την «επιτυχία» Το πεδίο τιµών της τυχαίας µεταβητής είναι το διακριτό σύνοο {, K, } Η συνάρτηση πιθανότητας µιας διωνυµικής τυχαίας µεταβητής ~, p δίνεται από τον τύπο p q,, K,, q p Η είναι πράγµατι µία συνάρτηση πιθανότητας διότι p p p + q και προφανώς,, K, Αν η τυχαία µεταβητή eroull radom varable και γράφουµε ~ eroull p καείται τυχαία µεταβητή eroull 5

Παράδειγµα 6 Πόσα παιδιά πρέπει να αποκτήσει µία οικογένεια ώστε να έχει µε πιθανότητα µεγαύτερη ή ίση του 9 τουάχιστον ένα αγόρι και τουάχιστον ένα κορίτσι; Υποθέτουµε ότι σε κάθε γέννηση είναι εξίσου πιθανό να γεννηθεί αγόρι ή κορίτσι Λύση Έστω ο ζητούµενος αριθµός παιδιών που πρέπει να αποκτήσει η οικογένεια Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των αγοριών που έχει αποκτήσει η οικογένεια στο σύνοο των παιδιών και Y η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των κοριτσιών που έχει αποκτήσει η οικογένεια στο σύνοο των παιδιών Ισχύει ότι ~, και Y ~, Επιπέον + Y Είναι, Y, Εποµένως, η οικογένεια θα πρέπει να έχει τουάχιστον έξι παιδιά l Πρέπει 9 5 l Για τον υποογισµό των πιθανοτήτων που σχετίζονται µε τη διωνυµική κατανοµή χρησιµοποιούµε κατάηους πίνακες για παράδειγµα, βέπε βιβίο Γ Ρούσσα, Θεωρία Πιθανοτήτων, σε 8-88 γ Τυχαία µεταβητή osso Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των πεατών που φθάνουν σε ένα ταµείο εντός ορισµένου χρονικού διαστήµατος ή τον αριθµό των τροχαίων ατυχηµάτων που συµβαίνουν σε µία περιοχή κατά τη διάρκεια µιας ηµέρας ή τον αριθµό των σωµατιδίων που εκπέµπονται από µία ραδιενεργό πηγή εντός δοθέντος χρονικού διαστήµατος Σε όα τα παραπάνω παραδείγµατα η τυχαία µεταβητή αµβάνει τιµές,,k και η πιθανότητα µπορεί να προσεγγισθεί ικανοποιητικά από µία κατανοµή πιθανότητας που καείται κατανοµή osso osso dstrbuto H συνάρτηση πιθανότητας της ορίζεται ως εξής : e,,, K, >! Η ποσότητα καείται παράµετρος της κατανοµής osso και η παραπάνω συνάρτηση είναι πράγµατι µία σπ διότι e e! e e Αν µία τυχαία µεταβητή ακοουθεί την κατανοµή osso µε παράµετρο >, γράφουµε ~ osso Ισχύει το ακόουθο οριακό θεώρηµα σύµφωνα µε το οποίο η κατανοµή osso προσεγγίζεται από τη διωνυµική κατανοµή Θεώρηµα Προσέγγιση της κατανοµής osso από τη διωνυµική κατανοµή Έστω µία ακοουθία τυχαίων µεταβητών { } που ακοουθεί τη διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους και p Έστω ότι καθώς, p και p, για κάποιο > 6

Τότε p p e, καθώς, για κάθε σταθερό,, K! Απόδειξη Έχουµε p p!!! L + L +!! e L, καθώς, διότι + e, καθώς!! Παράδειγµα 7 Μία πόη έχει χίια σπίτια Κατά τη διάρκεια ενός χρόνου η πιθανότητα να παραβιαστεί οποιοδήποτε από αυτά είναι Να υποογιστεί η πιθανότητα κατά τη διάρκεια ενός έτους να γίνουν τουάχιστον δύο διαρρήξεις Λύση Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των διαρρήξεων κατά τη διάρκεια ενός έτους Ισχύει ότι ~, Σύµφωνα µε το Θεώρηµα, έχουµε < e e e Παράδειγµα 8 Έστω ότι ο αριθµός των θανάτων σε ένα νοσοκοµείο των Αθηνών σε ένα µήνα ακοουθεί την κατανοµή osso Αν η πιθανότητα να συµβεί το πού ένας θάνατος σε ένα µήνα είναι τετραπάσια της πιθανότητας να συµβούν δύο ακριβώς θάνατοι σε ένα µήνα να υποογιστεί η πιθανότητα α να µη συµβεί θάνατος σε ένα µήνα β να συµβούν το πού δύο θάνατοι σε ένα µήνα Λύση Έστω ότι η τυχαία µεταβητή αναπαριστά τον αριθµό των θανάτων σε ένα µήνα Τότε ~ osso Από τα δεδοµένα προκύπτει ότι δηαδή e + e e + Έπεται ότι ή! µία µη αποδεκτή ύση Άρα ~ osso η οποία είναι α e 7 β e! 5e 9 ε Γεωµετρική τυχαία µεταβητή Έστω ότι η πιθανότητα επιτυχίας ενός πειράµατος τύχης µε δύο µόνο δυνατά αποτεέσµατα «επιτυχία», «αποτυχία» είναι ίση µε p Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των δοκιµών µέχρι την εµφάνιση της πρώτης επιτυχίας Το πεδίο τιµών της τυχαίας µεταβητής είναι το διακριτό σύνοο {,, K} Λέµε ότι η ακοουθεί τη Γεωµετρική κατανοµή 7

Geometr dstrbuto µε παράµετρο p και γράφουµε ~ G p Η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβητής είναι αποτυχία στη η δοκιµή, K, αποτυχία στη οστή δοκιµή, επιτυχία στη οστή δοκιµή p L p p p p, {, K } Η είναι πράγµατι µία σπ διότι p p p p p p p p Για τη συνάρτηση κατανοµής της G p έχουµε F, < και F t, t q q Όµως, t p q p + q + K + q p p q Καταήγουµε στον ακόουθο q p t t τύπο: F, < και F q, Παράδειγµα 9 Από έρευνες έχει διαπιστωθεί ότι οι µαθητές της ποσοστό % Αν αρχίσουµε και ρωτάµε τον ένα µετά τον άον µαθητές της Γ ' τάξης του Γυµνασίου καπνίζουν σε Γ' τάξης του Γυµνασίου να απαντήσουν στο ερώτηµα αν καπνίζουν ή όχι µέχρις ότου άβουµε την πρώτη θετική απάντηση, να υποογιστεί η πιθανότητα να κάνουµε α άρτιο αριθµό ερωτήσεων β περισσότερες από 8 ερωτήσεις και ιγότερες από Λύση Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των ερωτήσεων που θα κάνουµε µέχρις ότου άβουµε για πρώτη φορά θετική απάντηση Τότε ~ G p Για 96 96,K έχουµε, F α Η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε + + K 96 β Η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε 96 96 9 8 < < 8 < F F8 96 96 8 δ Υπεργεωµετρική τυχαία µεταβητή Έστω ότι µία κάπη περιέχει a ευκές και b µαύρες σφαίρες Εξάγουµε διαδοχικά τη µία µετά την άη σφαίρες χωρίς επανατοποθέτηση Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των ευκών σφαιρών που περιέχονται στο δείγµα των σφαιρών Η κατανοµή της τυχαίας µεταβητής καείται υπεργεωµετρική κατανοµή hpergeometr dstrbuto µε παραµέτρους 8

a, b και και θα συµβοίζεται µε h, a, b Η συνάρτηση πιθανότητας της υπεργεωµετρικής κατανοµής µε a b παραµέτρους a, b και δίνεται από τον τύπο: a + b Τα αποτεέσµατα του πειράµατος είναι όες οι δυνατές επιογές σφαιρών από τις a + b συνοικά σφαίρες που υπάρχουν στην κάπη Τα ευνοϊκά αποτεέσµατα για το ενδεχόµενο ευκές σφαίρες από τις a που είναι διαθέσιµες και { } προκύπτουν επιέγοντας µαύρες από τις b που είναι διαθέσιµες Το πήθος a b των τρόπων επιογής των ευκών σφαιρών είναι και για κάθε τέτοια επιογή υπάρχουν δυνατές επιογές για τις µαύρες σφαίρες που χρειάζονται για να συµπηρωθεί το δείγµα Ο αριθµός των τρόπων επιογής των ευνοϊκών αποτεεσµάτων θα είναι, από τη ασική ρχή Απαρίθµησης, ίσος µε πεδίο τιµών της τυχαίας µεταβητής a b είναι το διακριτό σύνοο {,, K, }, όπου m{, a} Αν η τυχαία Το µεταβητή ακοουθεί την υπεργεωµετρική κατανοµή µε παραµέτρους a, b και γράφουµε ~ h, a, b Παράδειγµα Οι τύποι οµάδων αίµατος είναι O,, και ΑΒ Έχουµε εκατό άτοµα από τα οποία σαράντα πέντε έχουν τύπο αίµατος Ο Επιέγουµε τυχαία είκοσι άτοµα Ορίζουµε την τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των ατόµων µε οµάδα αίµατος Ο Ζητάµε να βρούµε την πιθανότητα 8 5 55 8 Λύση Είναι 8 8, διότι ~ h,5, 55 Παραδείγµατα συνεχών τυχαίων µεταβητών α Οµοιόµορφη συνεχής τυχαία µεταβητή Μία συνέχης τυχαία µεταβητή καείται οµοιόµορφη αν η, a b συνάρτηση πυκνότητας δίνεται από τον τύπο b a Η είναι πράγµατι µία σπ, [ a, b] διότι d Λέµε ότι η τυχαία µεταβητή ακοουθεί τη συνεχής οµοιόµορφη κατανοµή b a b a otuous uorm dstrbuto στο διάστηµα [ a, b] και γράφουµε ~ U a, b Είναι µία κατανοµή η οποία έχει κατασκευαστεί έτσι ώστε σε υποδιαστήµατα του [ a, b] µε ίσο πάτος να αντιστοιχεί η ίδια πιθανότητα 9

Επειδή σε µία συνεχή κατανοµή, σε ενδεχόµενα της µορφής { } αντιστοιχούν µηδενικές πιθανότητες, δεν έχει σηµασία κατά πόσο στον ορισµό της συνάρτησης πυκνότητας της U a, b χρησιµοποιούµε ανισότητες της µορφής a ή a < κπ, < a a Η συνάρτηση κατανοµής F της δίνεται από τον τύπο F, a b Οι ποσότητες a και b b a, > b είναι οι παράµετροι της οµοιόµορφης κατανοµής Παράδειγµα Ένας αριθµός επιέγεται τυχαία στο διάστηµα [, ] Να υποογιστούν οι πιθανότητες α το πρώτο δεκαδικό ψηφίο του αριθµού να διαιρείται µε το β το πρώτο δεκαδικό ψηφίο της τρίτης ρίζας του να είναι το Λύση Αφού ο αριθµός επιέγεται τυχαία από το διάστηµα [, ], η τυχαία µεταβητή θα ακοουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή στο [, ] και η συνάρτηση κατανοµής της θα δίνεται από τον τύπο, t < t F t, t, t > α Για να διαιρείται µε το το πρώτο δεκαδικό ψηφίο του θα πρέπει να είναι ή ή 6 ή 9 Στην πρώτη περίπτωση έχουµε < ή < ή, στην δεύτερη < ή <, στην τρίτη 6 < 7 ή 6 < 7 ενώ στην τέταρτη 9 < ή 9 < Όµως,, οπότε { < } { < } { } < + < F F + F F + Παρόµοια, { < } { < }, { 6 < 7} {6 < 7} { 9 < } {9 < } Η ζητούµενη πιθανότητα είναι + + + β Ζητάµε την πιθανότητα { < } { < } Όµως, { < } { < } 8 < 7 F7 F8 95, Παρόµοια έχουµε { < } { 78 < } F97 F78 6 Εποµένως, { < } { < } 95 + 6 55%

β Εκθετική τυχαία µεταβητή Λέµε ότι η είναι µία εκθετική τυχαία µεταβητή µε παράµετρο > e, > αν η συνάρτηση πυκνότητας της δίνεται από τον τύπο Η είναι πράγµατι µία, συνάρτηση πυκνότητας διότι d e d e ' d Η συνάρτηση κατανοµής F της δίνεται από τον τύπο e, > F d Επιπέον, > e, >, Μία σηµαντική ιδιότητα της εκθετικής τυχαίας µεταβητής είναι η αµνήµων ιδιότητα, σύµφωνα µε την οποία ισχύει ότι > r + t > r > t, r, t > r+ t > r + t, > r > r + t e t Είναι > r + t > r e > t r > r > r e Μπορούµε να σκεφτούµε την ως το χρονικό διάστηµα που απαιτείται για να παρουσιάσει βάβη ένα µηχάνηµα Η τυχαία µεταβητή µετριέται από τη στιγµή που αρχίζει το µηχάνηµα να ειτουργεί Οι τεευταίες ισότητες µας ένε ότι αν το µηχάνηµα δεν είχε παρουσιάσει βάβη µέχρι τη χρονική στιγµή r η πιθανότητα να µην παρουσιάσει βάβη στις επόµενες πιθανότητα το µηχάνηµα να µην είχε υποστεί βάβη στις πρώτες χρονικές µονάδες είναι ίση µε τη µη-δεσµευµένη χρονικές µονάδες Αυτό σηµαίνει ότι η γήρανση του µηχανήµατος δεν αυξάνει ούτε µειώνει την πιθανότητα να υποστεί βάβη το µηχάνηµα εντός ενός καθορισµένου χρονικού διαστήµατος Η Εκθετική κατανοµή Epoetal dstrbuto αποτεεί, µεταξύ άων, το κατάηο πιθανοθεωρητικό µοντέο για το χρονικό διάστηµα µεταξύ διαδοχικών κήσεων σε ένα τηεφωνικό κέντρο ή για το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο διαδοχικών ατυχηµάτων σε ένα συγκεκριµένο σηµείο της Εθνικής οδού t t Παράδειγµα Ο χρόνος ζωής ενός ανθρώπου είναι µία τυχαία µεταβητή που ακοουθεί την Εκθετική κατανοµή µε παράµετρο Βρείτε την πιθανότητα ο άνθρωπος αυτός να ζήσει α το πού εβδοµήντα 75 χρόνια β ακριβώς εβδοµήντα χρόνια γ τουάχιστον εβδοµήντα χρόνια δ πάνω από εβδοµήντα χρόνια αν είναι τριάντα χρονών 7 75 Λύση α 7 F 7 e 6 β 7 7 75 γ 7 e 9

75 δ > 7 > > e 59 Παράδειγµα Έστω ότι η διάρκεια µιας τηεφωνικής συνδιάεξης ακοουθεί την Εκθετική κατανοµή µε παράµετρο α Αν κάποιος φτάσει σε ένα τηεφωνικό θάαµο ακριβώς πριν απο εµάς, ποια είναι η 5 πιθανότητα να χρειαστεί να περιµένουµε περισσότερο από 5 επτά; β Αν τη στιγµή που φτάνουµε στον τηεφωνικό θάαµο, το άτοµο που είναι µέσα, µιάει ήδη για 5 επτά, ποια είναι η πιθανότητα να χρειαστεί να περιµένουµε περισσότερο από 5 επτά; 5 Λύση Η συνάρτηση κατανοµής της δίνεται από τον τύπο F t, t < και F t e, t α Έχουµε > 5 5 F5 e e 68% β Με χρήση της ιδιότητας της έειψης µνήµης της Εκθετικής κατανοµής, έχουµε: t > 5 + 5 > 5 > 5 F5 e 68% γ Τυχαία µεταβητή Γάµµα Λέµε ότι η είναι µία τυχαία µεταβητή Γάµµα Gamma µε θετικές παραµέτρους a και αν η σπ της a a e, > είναι Γ a,, a όπου, Γa είναι η συνάρτηση Γάµµα Gamma uto και ορίζεται ως εξής Γ a e d, a > Η τυχαία µεταβητή ακοουθεί την κατανοµή Γάµµα Gamma dstrbuto µε παραµέτρους a και και γράφουµε ~ Γάµµα a, Έστω η διακριτή τυχαία µεταβητή N t, t, η οποία µετρά τον αριθµό των γεγονότων που συµβαίνουν στο χρονικό διάστηµα [, t] Έστω οι τυχαίες µεταβητές,, που αναπαριστούν τον ενδιάµεσο χρόνο µεταξύ της πραγµατοποίησης του γεγονότος Η κατανοµή Γάµµα εκφράζει το συνοικό χρόνο µέχρι την K οστού και του οστού οστή πραγµατοποίηση ενός γεγονότος Εποµένως, + K + Για τον υποογισµό της συνάρτησης κατανοµής της, έχουµε F t t N t διότι η τυχαία µεταβητή N t t N t e t! e t t!, t, αποδεικνύεται ότι ακοουθεί την κατανοµή osso µε παράµετρο t Η συνάρτηση Γάµµα αποτεεί γενίκευση της έννοιας του παραγοντικού, όπως φαίνεται και από τις ακόουθες ιδιότητές της Γ a a Γ a, όπου a >

Άµεση συνέπεια της ιδιότητας είναι η ιδιότητα Γ a a!, a,, K, διότι Γ a a Γ a a a Γ a a a L Γ a!, επειδή Γ d e Επιπέον ισχύει ότι Γ π Η είναι πράγµατι µία συνάρτηση πυκνότητας διότι, αν θέσουµε, διαδοχικά έχουµε a a d e d Γ a Στην περίπτωση που Γ a a e d Γ a Γ a a η είναι µία Εκθετική τυχαία µεταβητή µε παράµετρο > Λέµε ότι η είναι µία Χι-τετράγωνο h-squared τυχαία µεταβητή µε r βαθµούς εευθερίας degrees o reedom και γράφουµε ~, r,,k αν ισχύει ότι r r e, > r ~ Γάµµα a, r r και η σπ της, είναι Γ, Παράδειγµα Ο χρόνος επισκευής σε ώρες µιας βάβης ακοουθεί την κατανοµή Γάµµα µε παραµέτρους a Ποια είναι η πιθανότητα να χρειαστεί για την επισκευή της βάβης α το πού µία ώρα; β χρόνος από 6 έως 9 επτά; Λύση Η σπ του χρόνου επισκευής της βάβης δίνεται από τον τύπο e e, Γ t t t Η σκ είναι F t e e + t, t! α Είναι F e 59% β Είναι < 5 F5 F e e 7% δ Τυχαία µεταβητή Βήτα Λέµε ότι η είναι µία τυχαία µεταβητή Βήτα eta µε θετικές παραµέτρους Γ a + b a b, < < a, b και γράφουµε ~ Βήτα a, b αν η σπ της, είναι Γ a Γ b,, Η Γ a + b a b είναι πράγµατι µία σπ διότι d d, Γ a Γ b

επειδή Γ a Γ b a b a, b d a b και η συνάρτηση a, b καείται συνάρτηση Βήτα eta Γ + uto Αν a b, τότε µία τυχαία µεταβητή τέτοια ώστε ~, συµπίπτει µε την οµοιόµορφη τυχαία µεταβητή στο διάστηµα,, δηαδή, U, Λέµε ότι η ακοουθεί την κατανοµή Βήτα µε παραµέτρους a και b Η κατανοµή Βήτα παρέχει ένα ικανοποιητικό µοντέο για την περιγραφή τυχαίων µεταβητών που παίρνουν τιµές µεταξύ δύο συγκεκριµένων ορίων όπως για παράδειγµα, το ποσοστό ατόµων ενός πηθυσµού που έχουν µία συγκεκριµένη ιδιότητα ε Κανονική τυχαία µεταβητή Λέµε ότι η είναι µία κανονική τυχαία µεταβητή ormal radom varable µε παραµέτρους µ R, σ > και γράφουµε ~ N µ, σ, αν η συνάρτηση πυκνότητας της, είναι µ σ e, σ π R Εναακτικά έµε ότι η ακοουθεί την κανονική κατανοµή ή την κατανοµή Gauss H Ι, σε 96-97 Το γράφηµα της είναι πράγµατι µία σπ βέπε βιβίο Μ Κούτρα, Εισαγωγή στις Πιθανότητες, Μέρος είναι µία κωδωνοειδής καµπύη και επιπέον ισχύει ότι µ + µ, R Η µεγιστοποιείται στο σηµείο µ και τα σηµεία καµπής της είναι τα µ σ και µ + σ µ µ Επιπέον ισχύει ότι ' και '', σ σ σ για κάθε R Αν µ και σ, τότε ~ N, και η είναι µία τυπική stadard, ut κανονική τυχαία µεταβητή ή µία τυποποιηµένη κανονική τυχαία µεταβητή Εναακτικά έµε ότι η ακοουθεί την τυπική κανονική ή την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή Αν της δεν µπορεί να βρεθεί σε κειστή µορφή Για τη τυχαία µεταβητή κατανοµής της, της, Φ δηαδή της συνάρτησης ~ N µ, σ τότε η συνάρτηση κατανοµής F t dt Φ t t dt e π ~ N,, φ dt, R, όπου οι τιµές της συνάρτησης φ είναι η σπ βρίσκονται σε κατάηους πίνακες τιµών βέπε βιβίο Μ Κούτρα, Εισαγωγή στις Πιθανότητες, Μέρος Ι, σε 98 Η κανονική κατανοµή είναι η πιο σπουδαία κατανοµή στη Θεωρία Πιθανοτήτων και στη Στατιστική Είναι κατάηη για την περιγραφή πηθυσµιακών χαρακτηριστικών πχ ύψος, βάρος και για την πιθανοθεωρητική περιγραφή των τυχαίων σφαµάτων σε διάφορες πειραµατικές µετρήσεις Ισχύει η ακόουθη σηµαντική πρόταση