ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ )

Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 11 Πολυώνυµα 111 112 113 ΘΕΩΡΙΑ 5 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 11 12 ιαίρεση πολυωνύµων 121 122 123 ΘΕΩΡΙΑ 16 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 18 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 20 13 Πολυωνυµικές εξισώσεις και ανισώσεις 131 132 133 134 ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 14 Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυµικές 141 142 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 48 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 53 2 Βιβλιογραφία 55 5 16 25 25 26 40 44 48 Βιβλιογραφία 55 21 22 Βιβλία 55 Βιβλία 55 Ιστοσελίδες 55 Ιστοσελίδες 55

Πολυώνυµα ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ιαίρεση πολυωνύµων ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Πολυωνυµικές εξισώσεις και ανισώσεις ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυµικές ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11 111 Πολυώνυµα ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 11 Τι ονοµάζουµε µονώνυµο ; Να δώσετε ένα παράδειγµατι ονοµάζουµε στα- ϑερό πολυώνυµο και τι µηδενικό ; Απάντηση Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε παράσταση της µορφής αxν, όπου α είναι πραγµατικός αριθµός και ν ένας ϑετικός ακέραιος Μονώνυµο του x καλούµε επίσης και κάθε πραγµατικό αριθµό Πχ Οι παραστάσεις : 3x2, 5x7, 1 123 x, -5 4 είναι µονώνυµα του x, ενώ οι παραστάσεις 1 3x 1, 5x 2 δεν είναι µονώνυµα Ερώτηση 12 Τι ονοµάζουµε πολυώνυµο; Να δώσετε ένα παράδειγµα Απάντηση Καλούµε πολυώνυµο του x κάθε παράσταση της µορφής αν xν + αν 1 xν 1 + + α1 x + α0, όπου ν ένας ϕυσικός αριθµός και α0, α1,, αν πραγµατικοί αριθµοί ηλαδή το πολυώνυµο είναι ένα άθροισµα µονωνύµων Κάθε µονώνυµο του x ϑεωρείται και πολυώνυµο του x Τα µονώνυµα αν xν, αν 1 xν 1,, α1 x, α0 λέγονται όροι του πολυωνύµου και οι αριθµοί αν, αν 1,, α1, α0, συντελεστές αυτού Ειδικότερα ο α0 λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύµου

Πχ Η παράσταση 5x 4 1 x 3 + 3 4 x2 0 x + 7 είναι πολυώνυµο του x Ερώτηση 13 Πότε ένα πολυώνυµο λέγεται σταθερό και πότε µηδενικό ; Απάντηση Κάθε πολυώνυµο της µορφής P (x) = α 0 0 λέγεται σταθερό πολυώνυµο Ειδικά το σταθερό πολυώνυµο P (x) = 0, λέγεται µηδενικό πολυώνυµο Ερώτηση 14 Τι λέµε ϐαθµό ενός πολυωνύµου ; Απάντηση Βαθµός πολυωνύµου καλείται η µεγαλύτερη δύναµη της µεταβλητής που παρουσιάζεται στο πολυώνυµο και έχει µη µηδενικό συντελεστή Πχ1 2x + 3 1ου ϐαθµού (γενική µορφή αx + β, α 0) Πχ2 5x 2 12x + 7 2ου ϐαθµού (γενική µορφή αx 2 + βx + γ, α 0) Πχ3 7x 3 + 6x 2 3x + 4 3ου ϐαθµού (γενική µορφή αx 3 + βx 2 + γx + δ, α 0) Πχ4 Τι ϐαθµού είναι το πολυώνυµο αx 2 + 3x + 2; Αν a 0 είναι 2ου ϐαθµού, ενώ αν α = 0 είναι 1ου ϐαθµού Κάθε σταθερό (µη µηδενικό ) πολυώνυµο έχει ϐαθµό 0 ( µηδενικού ϐαθµού ) Ειδικά στο µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζεται ϐαθµός Πχ 1 Το πολυώνυµο 0x 3 + 0x 2 + 0x + 5 = 5 είναι σταθερό και έχει ϐαθµό 0 Πχ 2 Το πολυώνυµο 0x 3 + 0x 2 + 0x + 0 = 0 είναι το µηδενικό πολυώνυµο και δεν έχει ϐαθµό (γιατί µέσα σ αυτό δεν υπάρχει συντελεστής διάφορος του µηδενός) Παρατήρηση: Η διαφορά ανάµεσα στο µηδενικό πολυώνυµο και σε ένα πολυώνυµο µηδενικού ϐαθµού είναι ότι στο µηδενικό πολυώνυµο όλοι του οι συντελεστές είναι ίσοι µε 0 ενώ στο πολυώνυµο µηδενικού ϐαθµού όλοι οι συντελεστές του είναι 0 αλλά ο σταθερός του όρος είναι διάφορος του µηδενός Ερώτηση 15 Τι ονοµάζουµε αριθµητική τιµή ενός πολυωνύµου ; Απάντηση Αριθµητική τιµή ενός πολυωνύµου P (x) για µια τιµή της µεταβλητής x = p λέγεται ο πραγµατικός αριθµός που προκύπτει αν αντικαταστήσουµε το x µε το p και συµβολίζεται µε P (p) πχ Η αριθµητική τιµή του P (x) = x 2 x + 1 για x = 1 είναι : P (1) = 1 2 1 + 1 = 1 Ερώτηση 16 Τι ονοµάζουµε ϱίζα ενός πολυωνύµου ; Απάντηση Αν η αριθµητική τιµή ενός πολυωνύµου P (x) για µια τιµή της µεταβλητής x = p είναι 0, τότε ο p λέγεται ϱίζα του πολυωνύµου πχ Εστω P (x) = 2x 3 7x + 1 Η αριθµητική τιµή του P (x) για x = 2 είναι P (2) = 2 2 3 7 2 + 1 = 16 14 + 1 = 3 Ερώτηση 17 Πότε δυο πολυώνυµα λέγοντα ίσα ; Απάντηση Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 6

ύο πολυώνυµα ϑα είναι ίσα όταν έχουν τον ίδιο ϐαθµό και έχουν τους αντίστοιχους συντελεστές τους ίσους Ερώτηση 18 Πώς προσθέτουµε δυο πολυώνυµα ; Απάντηση Η πρόσθεση πολυωνύµων γίνεται κάνοντας αναγωγή οµοίων όρων Ο ϐαθµός του πολυωνύµου που προκύπτει, είναι ίσος ή µικρότερος από το µέγιστο των ϐαθµών των δύο πολυωνύµων Ερώτηση 19 Πώς αφαιρούµε δυο πολυώνυµα ; Απάντηση Η αφαίρεση γίνεται µε απαλοιφή των παρενθέσεων και στη συνέχεια αναγωγή οµοίων όρων Ο ϐαθµός του πολυωνύµου που προκύπτει, είναι ίσος ή µικρότερος από το µέγιστο των ϐαθµών των δύο πολυωνύµων Ερώτηση 110 Πως πολλαπλασιάζουµε δυο πολυώνυµα ; Απάντηση Ο πολλαπλασιασµός γίνεται εφαρµόζοντας επιµεριστική ιδιότητα και στη συνέχεια αναγωγή οµοίων όρων Ο ϐαθµός του γινοµένου δύο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το άθροισµα των ϐαθµών των πολυωνύµων αυτών Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 7

112 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 11 Ισότητα πολυωνύµων Εχουµε προβλήµατα όπου Ϲητείται να προσδιορίσουµε παραµέτρους ώστε δύο πολυώνυµα να είναι ίσα Ακολουθούµε την έξης διαδικασία που είναι γνωστή ως µέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών : Σχηµατίζουµε µια ισότητα πολυωνύµων µε τα δεδοµένα της άσκησης Κατόπιν εξισώνοντας τους συντελεστές των ίσων δυνάµεων των δύο πολυωνύµων καταλήγουµε σ ένα σύστηµα που µας δίνει τη λύση του προβλήµατος Θέµα 11 Να ϐρεθούν οι τιµές του λ R για τις οποίες τα πολυώνυµα Q(x) = λ 2 x 3 + (λ 2)x 2 + 3 και R(x) = (5λ 6)x 3 + (λ 2 4)x 2 + λ + 1 είναι ίσα Λύση 11 Τα Q(x) και R(x) ϑα είναι ίσα για εκείνες τις τιµές του λ για τις οποίες συν αληθεύουν οι εξισώσεις : λ 2 = 5λ 6, λ 2 = λ 2 4, 3 = λ + 1 Η κοινή λύση των εξισώσεων είναι η λ = 2 Εποµένως για λ = 2 τα πολυώνυµα Q(x) και R(x) είναι ίσα Μεθοδολογία 12 Πολυώνυµα µε συγκεκριµένες µορφές Οταν ϑέλουµε να ϐρούµε τις τιµές κάποιων παραµέτρων ώστε ένα πολυώνυµο να παίρνει µια συγκεκριµένη µορφή η οποία εµπεριέχει αυτές τις παραµέτρους, ϐασιζόµαστε στην ισότητα των πολυωνύµων Εξισώνουµε δηλαδή το δοθέν πολυώνυµο µε τη µορφή που ϑέλουµε αυτό να πάρει Θέµα 12 Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ για τους οποίους το πολυώνυµο f(x) = 3x 2 7x + 5 παίρνει την µορφή f(x) = αx(x + 1) + βx + γ Λύση 12 Εχουµε f(x) = αx(x + 1) + βx + γ = αx 2 + (α + β)x + γ Για να παίρνει το πολυώνυµο 3x 2 7x + 5 τη µορφή αx 2 + (α + β)x + γ ϑα πρέπει τα δύο αυτά πολυώνυµα να είναι ίσα Άρα : α = 2 και α + β = 7 και γ = 5 οπότε α = 2 και β = 10 και γ = 5 Θέµα 13 Να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς α, β, γ, ώστε το πολυώνυµο P (x) = x 4 2x 3 + αx 2 + βx + 4 να είναι ίσο, µε το τετράγωνο του Q(x) = x 2 x + γ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 8

Λύση 13 P (x) = Q 2 (x) x 4 2x 3 + αx 2 + βx + 4 = (x 2 x + γ) 2 x 4 2x 3 + αx 2 + βx + 4 = x 4 + x 2 + γ 2 2x 3 + 2x 2 γ 2xγ x 4 2x 3 + αx 2 + βx + 4 = x 4 2x 3 + x 2 (1 + 2γ) 2xγ + γ 2 α = 1 + 2γ β = 2γ 4 = γ 2 α = 5 ή α = 3 β = 4 γ = ±2 Θέµα 14 Να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς α, β, γ, ώστε να ισχύει : 2x 2 + 10x 3 (x 1)(x 2 4) = α x 1 + β x + 2 + γ x 2 Λύση 14 2x 2 + 10x 3 (x 1)(x 2 4) = α x 1 + β x + 2 + γ x 4 (x 1)(x 2)(x + 2) 2x2 + 10x 3 (x 1)(x 2 2) = α β γ (x 1)(x 2)(x + 2) + (x 1)(x 2)(x + 2) + (x 1)(x 2)(x + 2) x 1 x + 2 x 2 2x 2 + 10x 3 = α(x 2 4) + β(x 1)(x 2) + γ(x 1)(x + 2) 2x 2 + 10x 3 = αx 2 4α + β(x 2 3x + 2) + γ(x 2 + x 2) 2x 2 + 10x 3 = αx 2 4α + βx 2 3βx + 2β + γx 2 + γx 2γ 2x 2 + 10x 3 = x 2 (α + β + γ)) + ( 3β + γ)x + 2β 2γ 4α α = 3 α + β + γ = 2 3β + γ = 10 β = 5 4 2γ + 2β 4α = 3 γ = 25 4 Μεθοδολογία 13 Βαθµός πολυωνύµου για διάφορες τιµές µιας παραµέτρου Στις περιπτώσεις που ϑέλουµε να µελετήσουµε το ϐαθµό ενός πολυωνύµου του οποίου οι συντελεστές περιέχουν κάποια παράµετρο, ξεκινούµε ελέγχοντας πότε µηδενίζεται ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου Ο ϐαθµός του πολυωνύµου είναι ίσος µε αυτόν του µεγιστοβάθµιου όρου όταν η παράµετρος παίρνει τιµές που δε µηδενίζουν Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 9

το συντελεστή του, ενώ για τις τιµές που µηδενίζουν το συντελεστή του µεγιστοβάθµιου όρου µελετούµε ξεχωριστά τις αντίστοιχες περιπτώσεις Θέµα 15 Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου P (x) = (9λ 3 4λ)x 3 + (9λ 2 4)x 3λ + 2 για τις διάφορες τιµές του λ R Λύση 15 ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : 1 Αν 9λ 3 4λ 0 λ(9λ 2 4) 0 λ(3λ 2)(3λ + 2) 0 λ 0 και λ 2 και λ 2 3 3 τότε ο συντελεστής του x 3 είναι διάφορος του µηδενός άρα το P (x) είναι 3ου ϐαθµού 2 Αν 9λ 3 4λ = 0 λ = 0 ή λ = 2 ή λ = 2 διακρίνουµε τις υποπεριπτώσεις : 3 3 i Για λ = 0 το P (x) γίνεται : P (x) = 0x 3 4x + 2 = 4x + 2 άρα είναι 1ου ϐαθµού ii Για λ = 2 το P (x) γίνεται : 3 P (x) = 0x 3 0x + 0 = 0 άρα είναι το µηδενικό πολυώνυµο και δεν έχει ϐαθµό iii Για λ = 2 το P (x) γίνεται : 3 P (x) = 0x 3 0x + 4 = 4 άρα είναι σταθερό πολυώνυµο και έχει ϐαθµό µηδέν Μεθοδολογία 14 Αριθµητική τιµή - Ρίζα πολυωνύµου και προσδιορισµός παρα- µέτρων ϑυµάµαι ότι : Το P (x) έχει ϱίζα τον αριθµό ρ, αν και µόνο αν ισχύει P (ρ) = 0 Η αριθµητική τιµή του P (x) για x = ρ είναι ίση µε λ, αν και µόνο αν ισχύει P (ρ) = λ Θέµα 16 Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς λ και µ, για τους οποίους το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 + λx 2 + µx + 6 έχει ϱίζα το 1 και ισχύει P ( 2) = 12 Λύση 16 Το 1 είναι ϱίζα του P (x) αν και µόνο αν P (1) = 0 2(1) 3 + λ(1) 2 + µ1 + 6 = 0 2 + λ + µ + 6 = 0 λ + µ = 8 (1) Ισχύει P ( 2) = 12 2 ( 2) 3 + λ( 2) 2 + µ( 2) + 6 = 12 16 + 4λ 2µ + 6 = 12 10 + 4λ 2µ = 12 4λ 2µ = 2 2λ µ = 1 (2) Από τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε ότι λ = 3 και µ = 5 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 10

113 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1 Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυµα του x i 1 x 3 ii α 3 3α 2 x + 3αx 2 iii x + 1 x iv x 4 2x 1 2 + 4x 1 2 ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = x 2 5x + 2 και Q(x) = x 3 + 3x + 1 Να ϐρεθούν τα πολυώνυµα : i P (x) + Q(x) ii 2P (x) 3Q(x) iii P (x)q(x) iv P 2 (x) 3 ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = x 3 2x και Q(x) = x 2 3x 1 Να ϐρεθούν τα πολυώνυµα : i P (x) + Q(x) ii P (x) Q(x) iii P (x)q(x) 4 ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = 2x + 3 και Q(x) = x 2 + 9 Να ϐρεθούν τα πολυώνυµα : i P (Q(x)) ii Q(P (x)) iii P (P (x)) iv P (Q(x 1)) 5 ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = x 2 x + 1 και Q(x) = x 3 + x 2 x Να ϐρεθούν τα πολυώνυµα : i P (x) Q(x) ii P (x)q(x) + x 3 iii P 2 (x) + Q(x) 6 ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = x 2 4x + 3 και Q(x) = x 3 + x 2 Να ϐρεθούν τα πολυώνυµα : i P (x) + 2Q(x) ii 2P (x) 3Q(x) iii P (x)q(x) + 6x 2 7 Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x R, το πολυώνυµο P (x) = (4µ 3 µ)x 3 + 4(µ 2 1 )x 2µ + 1 4 είναι το µηδενικό πολυώνυµο 8 Να εξετάσετε αν υπάρχουν, α, β R, ώστε το P (x) = (α 1)x 2 + (2β + 2)x + α + β 5 να είναι το µηδενικό πολυώνυµο 9 Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ R, το πολυώνυµο P (x) = (λ 2 1)x 4 + (λ 2 + λ 2)x 2 + λ 2 4λ + 3 να είναι το µηδενικό πολυώνυµο 10 Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ R, το πολυώνυµο να είναι το µηδενικό πολυώνυµο P (x) = (λ + 2)x 3 (λ 2 + λ 2)x + λ 2 4 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 11

11 Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ R, το άθροισµα των πολυωνύµων P (x) = λx 2 x + λ 2 5 και Q(x) = x 2 + λ 2 x 4λ να είναι το µηδενικό πολυώνυµο 12 Αν α 3 + β 3 + γ 3 = αβγ και α + β + γ 0 να δειχθεί ότι P (x) = (α β)x 2 + (β γ)x + γ α είναι το µηδενικό πολυώνυµο 13 Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ R, το πολυώνυµο P (x) = (λ 2 + λ 6)x 3 + (λ 2 4)x + 3λ 1 να είναι σταθερό Ποια είναι η τιµή του ; 14 Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x R, τα πολυώνυµα P (x) = (α 2 3α)x 3 + x 2 + α και Q(x) = 2x 3 + αx 2 + (α 3 1)x + 1 να είναι ίσα 15 Να ϐρείτε για ποιες τιµές των, α, β, γ R, τα πολυώνυµα P (x) = α(x + 2)(x + 3) + β(x 1) + γ και Q(x) = 2x 2 + 4x + 5 να είναι ίσα 16 Να ϐρείτε για ποιες τιµές των, α, β, γ R, τα πολυώνυµα P (x) = 2x 3 +(γ 2)x 2 (γ +2)x 6 και Q(x) = 2x 3 +αx 2 13x+β να είναι ίσα 17 Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ, κ R, ώστε τα πολυώνυµα P (x) = (λ + 1)x 5 (κ 3)x 3 5λ + 15 και Q(x) = κx 5 + λx 3 + 5κ να είναι ίσα 18 Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ, κ, µ R, ώστε τα πολυώνυµα P (x) = λx 2 (λ κ)x + µ 2λ και Q(x) = (µ λ)x 3 + 4x + κ + λ να είναι ίσα 19 Να εξετάσετε, ποιοι από τους αριθµούς που δίνονται µε τα παρακάτω πολυώνυµα, είναι ϱίζες τους i P (x) = 2x 3 3x 2 + 2x + 7, x = 1, x = 1 ii Q(x) = x 4 + 1, x = 1, x = 1, x = 3 20 Να εξετάσετε, ποιοι από τους αριθµούς 3, 5, 2013 2014, είναι ϱίζες του P (x) = x 2 2x 15 21 Να ϐρείτε για ποιες τιµές του k, το 2 είναι ϱίζα του P (x) = x 3 kx 2 + 5x + k 22 Για ποιες τιµές του α R η τιµή του πολυωνύµου P (x) = 5x 2 + 3αx + α 2 2 για x = 1 είναι ίση µε 1 23 Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ, ώστε το πολυώνυµο P (x) = 3x 2 7x + 5 να παίρνει τη µορφή P (x) = αx(x + 1) + βx + γ 24 Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, ώστε το πολυώνυµο P (x) = 9x 3 3x 2 + 8x + 27 να παίρνει τη µορφή P (x) = α(x 3 + x) 3x 2 + (x 3)(x 2 + 3x + 9) 25 Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ, ώστε 2x 2 + 10x 3 (x 1)(x 2 4) = α x 1 + β x + 2 + γ x 2 26 Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, ώστε το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 + λx 2 + µx + 6 να έχει ϱίζα το 1 και να ισχύει P ( 2) = 12 27 P (x) = x 2 + (λ + 1)x + λ 2 10 (αʹ) Να ϐρείτε το λ ώστε P (3) = 6 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 12

(ϐʹ) Αν Q(x) = P (x) 6 να λύσετε την εξίσωση Q(x) = 0 28 Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, ώστε το πολυώνυµο P (x) = x 3 + αx 2 + (β 2)x + 6 να έχει ϱίζες το -1 και το 2 29 Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς κ, λ, ώστε το πολυώνυµο P (x) = x 3 + λx 2 + µx + 4 να έχει ϱίζα το 2 και να ισχύει P (1) = 8 30 ίνονται τα πολυώνυµα, P (x) = x 2 (2α + 1)x + 26 και Q(x) = x 2 (β + 2)x + 5α Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, ώστε το 3 να είναι κοινή ϱίζα των P (x), Q(x) 31 ίνεται το P (x) = x 2 + 2x + 5 Να προσδιορίσετε το α, ώστε P (α 10 = 13) 32 Να δειχθεί ότι, για κάθε k R το P (x) = (k 1)x65 + (3k 2 + 2)x 3 + kx δεν έχει ϱίζα το 1 2 33 Αν το P (x) = x 2 + (α 1)x + 2α έχει ϱίζα το -1, να αποδείξετε ότι, το ίδιο ισχύει και για το K(x) = x 3 + 4x 2 + (α 2 1)x, ισχύει το αντίστροφο ; 34 Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου P (x) = (9λ 3 4λ)x 3 + (4λ 2 4)x 3λ + 2 για τις διάφορες τιµές του λ R 35 Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου για τις διάφορες τιµές του λ R 36 Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου P (x) = (2λ 1)x 2 + x λ P (x) = (λ 3 9λ)x 3 + (λ 2 3λ)x 2 + (λ 2 4λ + 3)x + 3λ 5 για τις διάφορες τιµές του λ R 37 Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου P (x) = (λ 3 λ)x 3 + (λ 2 1)x 2 + (λ 2 4λ + 3)x + 1 λ για τις διάφορες τιµές του λ R 38 Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x) ώστε να ισχύει (2x + 1)P (x) = 2x 3 9x 2 3x + 1 39 Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x) ώστε να ισχύει (x 3)P (x) = x 3 3x 2 4x + 12 40 Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x) ώστε να ισχύει (x 2 + 1)P (x) = 3x 5 + 2x 4 + x 3 x 2 2x 3 41 Να ϐρείτε πολυώνυµο K(x), ώστε το τετράγωνό του, να ισούται µε το πολυώνυµο P (x) = x 4 2x 3 3x 2 4x + 4 42 Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ, για τους οποίους το P (x) = x 4 2x 3 + αx 2 + βx + 4, είναι το τετράγωνο του Q(x) = x 2 x + γ 43 Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x) ώστε να ισχύει P 2 (x) = x 4 2x 3 + 5x 2 4x + 4 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 13

44 Να ϐρείτε πολυώνυµο P (x) 3ου ϐαθµού ώστε, P (0) = 0 και P (x) P (x 1) = x 2 45 Να ϐρείτε τα κ, λ, µ ώστε να είναι ίσα τα πολυώνυµα : P (x) = (κ 1)x 3 3x µ Q(x) = (λ µ)x + µ 1 46 Να ϐρείτε το λ R ώστε να είναι ίσα τα πολυώνυµα : Q(x) = (λ 2 1)x 2 4x + λ 3 + 1 P (x) = (λ 1)x 3 + (λ 2 5λ)x + 2λ 47 Να δείξετε ότι για κάθε α, β R το πολυώνυµο P (x) = (α β)x 2 + (α β 2 2)x είναι µη µηδενικό 48 Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν τιµές των α, β R ώστε το πολυώνυµο P (x) = (α β)x 2 + (α + 2β)x + α 1 είναι µηδενικό 49 Να ϐρείτε τις τιµές των α, β ώστε το πολυώνυµο P (x) = (α 2 1)x 2 + (2 α β)x + α 1 να είναι σταθερό 50 Να ϐρείτε το λ ώστε το πολυώνυµο P (x) = (λ 3)x 3 + (λ 2 9)x 2 + (λ 2 5λ + 6)x + λ να είναι σταθερό 51 Να ϐρεθούν οι τιµές των α, β ώστε το πολυώνυµο : P (x) = (α 2β)x 2 + (2α + β 10)x να είναι µηδενικό 52 Να ϐρείτε τα x και y ώστε για κάθε λ R να ισχύει : 53 Να ϐρείτε τα x, y ώστε το πολυώνυµο (x 2y + 5)λ + (3x + 2y 9) = 0 P (λ) = x(λ 2 3λ) y(2λ 2 + 2λ 1) + x 2 8λ 2 1 να είναι µηδενικό 54 Εστω το πολυώνυµο : P (x) = (λ 2 λ)x λ 3 + 1 Να ϐρείτε το λ ώστε το P (x) να είναι : i σταθερό πολυώνυµο ii µηδενικό πολυώνυµο iii µηδενικού ϐαθµού 55 Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου : για τις διάφορες τιµές του λ 56 Αν για το πολυώνυµο : P (x) = (4λ 3 9λ)x 3 + (4λ 2 9)x 2 2λ + 3 P (x) = (λ 3 100λ)x 3 + (λ 2 10λ)x + 10λ 1 είναι πρώτου ϐαθµού, να ϐρείτε το λ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 14

57 Να ϐρείτε το α ώστε το πολυώνυµο : P (x) = 16α 2 x 3 + 8αx 2 2x α να έχει ϱίζα το 1 2 58 Να ϐρείτε τα α, β ώστε για το πολυώνυµο : P (x) = 27α 2 x 3 18αx 2 3x + β 1 να ισχύει P (0) = 2 και να έχει ϱίζα το 1 3 59 Να δείξετε ότι το πολυώνυµο : P (x) = α 2 x 4 + 2αx 3 + (α 1)x + 2 δεν έχει ϱίζα το 1 για κάθε α R 60 Αν P (x) = 2x 2 3x και Q(x) = 2x 2 + x 2 να ϐρείτε τα πολυώνυµα : i P (x) + Q(x) ii 2P (x) 3Q(x) iii P (x) Q(x) ( iv P (x) ) 2 61 Εστω τα πολυώνυµα : P (x) = x 2 3x+1 και Q(x) = 2x 1 Να ϐρείτε τα παρακάτω πολυώνυµα και το ϐαθµό τους : i P ( Q(x) ) ii Q ( P (x) ) iii Q ( Q(x) ) 62 Εστω το πολυώνυµο : P (x) = 3x 2 2x + 1 Αν P (α 1) = α να ϐρείτε το α 63 Αν για το πολυώνυµο P (x) ισχύει : P (3x 2) = 9x 2 6x + 2 να ϐρείτε το P (x) 64 Αν για το πολυώνυµο P (x) ισχύει : P (x + 1) = 8x 3 12x 2 30x + 9 να δείξετε ότι το 1 2 είναι ϱίζα του P (x) 65 Αν για το πολυώνυµο P (x) έχει ϱίζα το 2 να δείξετε ότι το πολυώνυµο : Q(x) = 2 P (3x + 1) + (x 2 + x)p (x + 1) έχει ϱίζα το 1 66 Αν για το πολυώνυµο P (x) είναι P ( 1) = 2, να δείξετε ότι το πολυώνυµο : Q(x) = P (x 2 3x 5) + 3P (x + 4) + 3xP (1 2x) 2 έχει ϱίζα το 1 67 Να ϐρείτε τα α, β ώστε το P (x) = 2x 3 x 2 6x + 3 να παίρνει τη µορφή (αx + β)(x 2 3) 68 Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x) ώστε να ισχύει : (x 1)P (x) = 2x 3 x(x + 2) + 1 69 Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x), δευτέρου ϐαθµού µε ϱίζες τους αριθµούς 0, 2 και να ισχύει : P ( 1) = 3 70 Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x), τρίτου ϐαθµού, αν η πολυωνυµική συνάρτηση P (x) είναι περιττή, P ( 1) = 1 και P (2) = 5 2 71 Να ϐρείτε πολυώνυµο P (x) τέτοιο ώστε : i P ( P (x) ) = 9x + 8 ii P ( P (x) ) = 16x + 10 72 Να ϐρείτε πολυώνυµο P (x) για το οποίο ισχύει : [ P (x) ] 2 + 2P (x) = 4x 2 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 15

12 ιαίρεση πολυωνύµων 121 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 111 Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύµου (x) µε το δ(x) Απάντηση Για κάθε Ϲεύγος πολυωνύµων (x) και δ(x) 0, υπάρχουν δύο µοναδικά πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε (x) = δ(x) π(x) + υ(x) το (x) λέγεται διαιρετέος το δ(x) λέγεται διαιρέτης το π(x) λέγεται πηλίκο το υ(x) λέγεται υπόλοιπο και ή είναι µηδενικού ϐαθµού ή έχει ϐαθµό µικρότερο από το ϐαθµό του δ(x) Αν σε µια διαίρεση είναι υ(x) = 0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και ϑα είναι (x) = δ(x) π(x) Λέµε τότε ότι το δ(x) διαιρεί το (x) ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του (x) ή ότι το (x) διαιρείται µε το δ(x) ή ότι το δ(x) είναι διαιρέτης του (x) Ερώτηση 112 Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x p είναι P (p) Είναι δηλαδή υ = P (p) Απάντηση Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύµου R(x) µε το πολυώνυµο x p γράφεται P (x) = (x p)π(x) + υ(x) Επειδή ο διαιρέτης x p είναι πρώτου ϐαθµού, το υπόλοιπο της διαίρεσης ϑα είναι ένα σταθερό πολυώνυµο υ Ετσι έχουµε : και, αν ϑέσουµε x = p, παίρνουµε Εποµένως, P (x) = (x p)π(x) + P (p) P (x) = (x p)π(x) + υ P (p) = (p p)π(p) + υ = 0 + υ = υ Ερώτηση 113 Να αποδείξετε ότι το x p είναι παράγοντας του P (x) αν και µόνο αν P (p) = 0 Απάντηση Εστω ότι το x p είναι παράγοντας του P (x) Τότε Από την ισότητα αυτή για x = p παίρνουµε P (x) = (x p)π(x) P (p) = (p p)π(p) = 0, που σηµαίνει ότι το ϱ είναι ϱίζα του P (x) Αντιστρόφως : Εστω ότι το p είναι ϱίζα του P (x), δηλαδή ισχύει P (p) = 0 Τότε από τη σχέση P (x) = (x p)π(x) + P (p) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 16

παίρνουµε P (x) = (x p)π(x), που σηµαίνει ότι το x p είναι παράγοντας του P (x) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 17

122 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 17 Να γίνει η διαίρεση (x 2 5x + 1) : (x) και να γράψετε την ταυτότητα της x 2 5x + 1 x x 2 + 0x + 0 x 5 Λύση 17 5x + 1 5x + 0 1 Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι (x 5)x + 1 = x 2 5x + 1 Θέµα 18 Να προσδιορίσετε τον k R ώστε το πολυώνυµο g(x) = 2k 2 x 1000 +5kx 100 +3x να έχει παράγοντα τον x + 1 Λύση 18 Επειδή έχει παράγοντα το x 1 πρέπει g(1) = 0 = 2k 2 1 1000 + 5k 1 100 + 3 1 = 0 = 2k 2 + 5k + 3 = 0 k 1 = 1 = k 2 = 3 2 Μεθοδολογία 15 ιαιρέτης της µορφής (x p 1 )(x p 2 ) Για να αποδείξουµε ότι ένα πολυώνυµο P (x) έχει διαιρέτη της µορφής (x p 1 )(x p 2 ), Αρχικά εκτελούµε τη διαίρεση P (x) : (x p 1 ), όπου το υπόλοιπό της πρέπει να είναι 0 Τότε η ταυτότητα, αυτής της διαίρεσης είναι : P (x) = (x p 1 )π(x) Αρκεί τώρα να δείξουµε ότι το πηλίκο π(x) αυτής της διαίρεσης έχει παράγοντα το x p 2 Θέµα 19 Να προσδιορίσετε τον πραγµατικούς αριθµούς α και β, ώστε το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 3x 2 + αx + β να διαιρείτε µε το Q(x) = x 2 x 2 Λύση 19 Το Q(x) γράφεται x 2 x 2 = (x 2)(x + 1) Οπότε τα x 2 και x + 1 πρέπει να είναι παράγοντες του P (x) α τρόπος Κάνω τη διαίρεση µε το x 2 χρησιµοποιώντας το σχήµα του Horner (Μια µέθοδος που µας ϐολεύει να κάνουµε γρήγορα διαιρέσεις µε πολυώνυµα της µορφής x ρ) 2 3 α β 2 4 2 2α + 4 2 1 α + 2 2α + β + 4 Για να είναι το x 2 παράγοντας του P (x) πρέπει το υπόλοιπο της διαίρεσης, να είναι 0 ηλαδή Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 18

2α + β + 4 = 0 Τότε η ταυτότητα, αυτής της διαίρεσης είναι : P (x) = (x 2)(2x 2 + x + α + 2) Τώρα ϑα πρέπει και το πηλίκο 2x 2 + x + α + 2 αυτής της διαίρεσης να έχει παράγοντα το x + 1 Κάνω τη διαίρεση µε το x + 1 χρησιµοποιώντας το σχήµα του Horner 2 1 α + 2 1 2 1 2 1 α + 3 Για να είναι το x + 1 παράγοντας του π(x) πρέπει το υπόλοιπο της διαίρεσης, να είναι 0 ηλαδή α + 3 = 0 Οπότε έχω να λύσω το σύστηµα : 2α + β + 4 = 0 α + 3 = 0 β = 2 α = 3 ϐ τρόπος Επειδή τα x 2 και x + 1 είναι παράγοντες του P (x) Εχουµε, P (2) = 0 και P ( 1) = 0 Άρα : P (2) = 0 P ( 1) = 0 2 2 3 3 2 2 + 2α + β = 0 2( 1) 3 3( 1) 2 1α + β = 0 16 12 + 2α + β = 0 2 3 α + β = 0 4 + 2α + β = 0 5 α + β = 0 β = 2 α = 3 Θέµα 110 Αν το P (x) διαιρείτε µε το x 2, να δειχθεί ότι το P (2x 4) διαιρείται µε το x 3 Λύση 110 Επειδή το P (x) διαιρείται µε το x 2 ισχύει ότι P (2) = 0 Για να διαιρείται το P (2x 4) µε το x 3, ϑα πρέπει για x = 3 το P (2x 4) = 0 Πράγµατι, x = 3 το P (2x 4) = P (2) = 0 Άρα το P (x) έχει παράγοντα το x 3 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 19

123 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1 Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση i (3x 3 + 6x 2 7x + 20) : (x + 3) ii (24x 5 + 20x 3 12x 2 15) : (6x 2 + 5) iii (2x 4 + 4x 3 5x 2 + 3x 2) : (x 2 + 2x 3) iv (x 4 ) : (x 1) 3 2 Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις i (x 6 3x 5 x 4 + 2x 3 x + 1) : (x 3 + x 1) ii (x 3 3x 2 + 3x) : (x + 3) iii (x 4 3αx 3 + 6α 2 x 2 3αx + α 4 ) : (x 2 αx + α 2 ) iv (6x 3 19x 2 + 20x 10) : (3x 2 5x + 6) 3 Να ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης (18x 80 6x 50 + 4x 20 2) : (x + 1) 4 Να ϐρείτε τις τιµές του k, ώστε το x 1 να είναι παράγοντας του G(x) = k 2 x 4 + 3kx 2 4 5 Με τη ϐοήθεια του σχήµατος Horner, να ϐρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των παρακάτω διαιρέσεων i ( x 3 + 75x 250) : (x + 10) ii (x 3 + 512) : (x + 8) iii (4x 3 + 16x 2 23x 15) : (x + 1 2 ) 6 Αν P (x) = 2x 3 2x 2 x + 2409 να ϐρείτε το P ( 11) 7 Αν P (x) = 3x 4 + 40x 3 + 12x 2 10x + 2039 να ϐρείτε το P ( 13) 8 Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυµα της µορφής x ρ είναι παράγοντες του P (x) i P (x) = x 4 25x 2 + 144, x + 3 ii P (x) = 16x 4 8x 3 + 9x 2 + 14x 4, x 1 4 iii P (x) = x 3 3x 2 + 2, x 1 3 9 Να αποδείξετε ότι, τα παρακάτω πολυώνυµα, δεν έχουν παράγοντα της µορφής x ρ i P (x) = 4x 4 + 7x 5 + 12 ii Q(x) 5x 6 3x 2 4 10 Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις i (3x 2 2αx 8α 2 ) : (x 2α) ii (x 3 + αx 2 α 2 x α 3 ) : (x + α) 11 i Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το αx + β, α 0 είναι υ = P ( β α ) ii Να ϐρείτε τις συνθήκες, για τις οποίες το πολυώνυµο αx 2 + β διαιρείται µε το αx + β iii Να ϐρείτε τον πραγµατικό αριθµό λ ώστε η διαίρεση [(λ + 9)x 3 + (λ 2 + 11)x + 7λ] : (2x 1) να είναι τέλεια 12 Με τη ϐοήθεια του σχήµατος Horner να αποδείξετε ότι το P (x) = 2x 4 6x 3 + 5x 2 3x + 2 διαιρείται µε το (x 1)(x 2) και να ϐρείτε το πηλίκο 13 Να αποδείξετε ότι, το πολυώνυµο P (x) = (x + 1) 2ν x 2ν 2x 1, ν 0 έχει παράγοντες, όλους τους παράγοντες του 2x 3 + 3x 2 + x 14 Ενα πολυώνυµο P (x) αν διαιρεθεί µε το x 2 1 δίνει υπόλοιπο 2x + 3 Να ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P (x) : (x 1) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 20

15 ίνεται το πολυώνυµο P (x) = kx 4 + λx 3 18x 2 + 15x 5 Να ϐρείτε τα k, λ R ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης P (x) : (x 2 3x + 2) να είναι 4x 7 16 Ενα πολυώνυµο P (x) διαιρούµενο µε το x α δίνει πηλίκο x 2 3x + 4 ενώ διαιρούµενο µε το x β δίνει πηλίκο x 2 4x + 2 Να ϐρείτε το P (x) και να υπολογίσετε τα α, β αν γνωρίζετε ότι ο σταθερός όρος του P (x) είναι 1 17 Εστω τα πολυώνυµα P (x) και Q(x) = P (3x 5) + x 2 2x 2 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης P (x) : (x 1) είναι 2, να δείξετε ότι το x 2 είναι παράγοντας του Q(x) 18 Για ποιες τιµές των α, β R το P (x) = αx 5 + βx 4 + 1 έχει παράγοντα το (x 1) 2 ; 19 Να δειχθεί ότι, P (x) = x 3 3αβx + α 3 + β 3 διαιρείται µε το Q(x) = x + α + β 20 Να ϐρεθεί πολυώνυµο P (x) 2ου ϐαθµού, το οποίο διαιρείται µε το x 1 και ικανοποιεί τις συνθήκες P ( 1) + P (1) = P (0), P (0) = 6 21 i Με τη ϐοήθεια του σχήµατος Horner να ϐρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης (x 4 + 5x 3 9x 2 8x + 6) : (x + 1) ii Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x) που διαιρούµενο µε το x 2 x δίνει πηλίκο x 2 και υπόλοιπο 2x 1 iii ίνεται πολυώνυµο P (x) = x 2 4x 3 να ϐρείτε τον πραγµατικό αριθµό k ώστε να ισχύει P (k + 1) = 7 iv Να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς α και β, ώστε το πολυώνυµο P (x) = 3x 4 2x 3 αx 2 + βx 8 να έχει παράγοντες τα διώνυµα x + 1 και x 2 22 i ίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x + 1 x 2 5x + 6 Να προσδιορίσετε τις τιµές των πραγµατικών α, β, ώστε να ισχύει 2x + 1 x 2 5x + 6 = α x 2 + β x 3 ii Να εκτελέσετε τη διαίρεση (12x 4 7x 3 10x 2 + 6x + 4) : (3x 2 x 2) και να γράψετε την ταυτότητα της 23 Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό k ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης (x 3 2kx 2 + (k 2)x + k 2 ) : (x k) να είναι 1 24 Θεωρούµε το πολυώνυµο P (x) = 3x 4 x 3 λx + 2 i Να ϐρείτε το λ ώστε, το P (x) να έχει παράγοντα το x + 1 ii Για ποια τιµή του πραγµατικού λ, το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x + 1, είναι 3; 25 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) δια του x + 2 είναι 5 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x 1 είναι 2, να ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) : (x 1)(x + 2) 26 Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση i (6x 3 x 2 14x + 5) : (2x 1) ii (x 4 x 2 + 1) : (x 2 + x + 1) iii (3x 3 2x 2 3x + 2) : (3x 2) iv (2x 4 5x 2 + 3) : (2x 2 3) 27 Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση i ( 3x 3 3x 2 + x 4 + 12x 4) : (x 2 3x + 2) ii (x 4 3) : (x 2 + 1) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 21

28 Να αποδείξετε ότι το x 2 2 είναι παράγοντας του πολυωνύµου : P (x) = x 4 + 3x 3 3x 2 6x + 2 29 ίνεται το πολυώνυµο : P (x) = 3x 3 + 7x 2 18x + 8 i Να αποδείξετε ότι το 3x 2 είναι διαιρέτης του P (x) ii Να παραγοντοποιήσετε το P (x) 30 Εστω P (x) = 2x 5 3x 4 x 3 5x 2 21x + 12 i Να αποδείξετε ότι P (x) διαιρείται ακριβώς µε το x 2 + 3 ii Αν π(x) είναι το πηλίκο της διαίρεσης να δείξετε ότι το π(x) έχει παράγοντα το x 2 x 4 31 Με τη ϐοήθεια του σχήµατος Horner να ϐρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των πα- ϱακάτω διαιρέσεων και σε κάθε περίπτωση να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης i (x 3 5x 2 + 7x 3) : (x 2) ii (2x 4 + 3x 2 4x + 1) : (x + 1) iii ( 3x 3 + 2x 1) : (x 3) iv (2x 3 x 2 + 4) : (x + 2) v (x 3 + 5x 2 18) : (x + 3) vi (x 4 + 1) : (x 1) 32 Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και σε κάθε περίπτωση να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης i (x 3 + 2αx 2 7α 2 x + 5α 3 ) : (x α) ii ( 2x 3 + 5α 2 x α 3 ) : (x + 2α) iii (5x 3 6αx 2 16α 3 ) : (x 2α) iv ( 4x 3 + 3α 2 x) : (x + α) 33 ίνεται το πολυώνυµο : P (x) = 2x 3 3x 2 + x 5 Να ϐρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : i P (x) : (x 2) ii P (x) : (x + 1) 34 ίνεται το πολυώνυµο : P (x) = 2x 3 + x 2 15x 18 Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω πολυώνυµα είναι παράγοντες του P (x) : i x 3 ii x + 1 iii x 1 iv x + 2 35 Εστω P (x) = (x 2) 99 (2x 3) 88 + x 2 x 1 Να ϐρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : i P (x) : (x 2) ii P (x) : (x 1) 36 ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 30 + 2x 29 + 2x 2 + x 6 Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυµα x 1 και x + 2 είναι παράγοντες του P (x) 37 ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + αx 2 + (2α 1)x 2α Να ϐρείτε για ποια τιµή του α R, το x 2 είναι παράγοντας του P (x) 38 ίνεται το πολυώνυµο : P (x) = x 3 + λx 2 2λx + λ 2 17 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 22

Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ R το x + 1 είναι διαιρέτης του P (x) 39 Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις σε κάθε περίπτωση να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης i (2x ν + x 2 2x 1) : (x 1) ii (x ν+1 + 2x ν 3) : (x 1) iii (3x ν+1 x ν + 2x 4) : (x 1) iv (x ν + x ν 1 + 2x 2 3x 5) : (x + 1) 40 i Να αποδείξετε ότι το P (x) έχει παράγοντα το (x α)(x β), µε α β, αν και µόνο αν το P (x) έχει παράγοντες το x α και το x β ii ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + 4x 2 + αx + β Να ϐρείτε τις τιµές των α, β R, ώστε το P (x) να έχει παράγοντα το x 2 + 2x 3 41 ίνεται πολυώνυµο P (x) = x 3 + αx 2 + β Να ϐρείτε για ποιες τιµές των α, β R, το P (x) έχει παράγοντα το x 2 4x + 4 42 ίνεται πολυώνυµο P (x) = x ν + αx + β, µε ν N και ν 2 Να ϐρείτε για ποιες τιµές των α, β R το P (x) έχει παράγοντα το (x 1) 2 43 ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = (x 2) 2ν (4 3x) ν + (x x 2 ) ν και Q(x) = x 3 3x 2 + 2x Να αποδείξετε ότι το P (x) έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του Q(x) 44 i Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το αx + β, όπου α 0, είναι υ = P ( β α ) ii ίνεται το πολυώνυµο P (x) = 8x 3 16x 2 + κx + λ Να ϐρείτε τις τιµές των κ, λ R, ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) : (2x + 1) να είναι 12 και το 2x 3 παράγοντας του P (x) iii Με τη ϐοήθεια του σχήµατος Horner, να ϐρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης P (x) : (2x 1) 45 Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P (x) µε το x 2 είναι 1 και µε το x + 3 είναι 14 Να ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x 2 + x 6 46 Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P (x) µε το x 2 3x 10 είναι το 2x+7 Να ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x + 2 και της διαίρεσης του P (x) µε το x 5 47 ίνεται το πολυώνυµο P (x) = αx 3 + x 2 + βx 5(α + 1) Να ϐρείτε για ποιες τιµές των α, β R, το πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα το (x + 1)(x 3) 48 ίνεται το πολυώνυµο : P (x) = x 4 + αx 3 + βx 2 (5α 3)x + β 1 Να ϐρείτε τα α, β R, ώστε το P (x) να έχει παράγοντα το x 2 4 49 ίνεται το πολυώνυµο : P (x) = x 3 + αx 2 + βx + β α + 1 Να ϐρείτε για ποιες τιµές των α, β R, ώστε το P (x) να έχει παράγοντα το x 2 + 5x + 6 50 ίνεται το πολυώνυµο : P (x) = x 3 + αx 2 + βx 12 Να ϐρείτε τα α, β R, ώστε το P (x) να έχει παράγοντα το (x + 2) 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 23

51 Αν το P (x) = 2x 3 + αx 2 + 8x + α + 2 έχει παράγοντα το 2x 1 Να ϐρείτε : i την τιµή του α R ii το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το 2x + 3 52 Αν το πολυώνυµο P (x) δίνει υπόλοιπο 3 διαιρούµενο µε x + 2 να αποδείξετε ότι το πολυώνυµο Q(x) = P (5x + 3) + x 2 + x + 3 διαιρείται µε το x + 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 24

13 Πολυωνυµικές εξισώσεις και ανισώσεις 131 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 114 (Θεώρηµα ακέραιων ϱιζών) Να αποδείξετε ότι αν η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν 1 x ν 1 + + α 1 x + α 0 = 0, µε α ν, α ν 1,, α 1, α 0 Z έχει ϱίζα τον ακέραιο αριθµό p 0 τότε ο p είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0 Απάντηση Αν ο p 0 είναι ϱίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουµε α ν p ν + α ν 1 p ν 1 + + α 1 p + α 0 = 0 α 0 = α ν p ν α ν 1 p ν 1 α 1 p α 0 = p( α ν p ν 1 α ν 1 p ν 2 α 1 ) Επειδή οι p, α 1,, α 2,, α ν είναι ακέραιοι έπεται ότι και ο α ν p ν 1 α ν 1 p ν 2 α 1 είναι ακέραιος Από την τελευταία ισότητα συµπεραίνουµε, ότι ο p είναι διαιρέτης του α 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 25

132 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ Εξισώσεις Ρ Προσοχή : Οι εξισώσεις είναι ισότητες µεταξύ αλγεβρικών παραστάσεων, οι οποίες επαληθεύονται για συγκεκριµένες τιµές των µεταβλητών, που ονοµάζονται ϱίζες ή λύσεις της εξίσωσης Μεθοδολογία 16 Επίλυση εξίσωσης 1ου ϐαθµού Να λυθεί η εξίσωση αx + β = 0 για τις διάφορες τιµές των α, β R Είναι : αx + β = 0 αx = β Τώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις : 1 Αν α 0 τότε από : αx = β x = β, µοναδική λύση α 2 Αν α = 0 τότε από : αx = β 0x = β τώρα αν : i β 0 έχουµε, 0x = β 0 το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, δεν έχει πραγµατικές ϱίζες ii β = 0 έχουµε, 0x = 0 το οποίο ισχύει για κάθε x R, άρα η εξίσωση είναι ταυτότητα, έχει άπειρες πραγµατικές ϱίζες Θέµα 111 Να λυθούν οι εξισώσεις : i (x 2) 2 (x 1) 2 = (1 3x) 2 (2 3x) 2 (1) ii x 2 7x + 6 = 0 (2) 2x + 7 iii 2x + 5 = 2 x 2 + x (3) 4 3 4 2 iv v 2x + 1 x 2 x 1 x = 6 x 3 2 x + 3 = 12 x 2 9 x (x 1) 2 (4) (5) Λύση 111 i (1) x 2 4x + 4 (x 2 2x + 1) = 1 6x + 9x 2 (4 12x + 9x 2 ) x 2 4x + 4 x 2 + 2x 1 = 1 6x + 9x 2 4 + 12x 9x 2 4x + 4 + 2x 1 = 1 6x 4 + 12x 2x + 3 = 6x 3 2x 6x = 3 3 8x = 6 ii x = 6 8 = 3 4 (2) x 2 (6 + 1)x + 6 1 = 0 (x 6) (x 1) = 0 x 6 = 0 ή x 1 = 0 x = 6 ή x = 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 26

iii iv v (3) 12 2x + 7 12 2x + 5 = 12 2 x 12 2 + x 4 3 4 2 3(2x + 7) 4(2x + 5) = 3(2 x) 6(2 + x) 6x + 21 8x 20 = 6 3x 12 6x 6x + 21 8x 20 = 6 3x 12 6x 6x 8x + 3x + 6x = 6 12 21 + 20 7x = 7 x = 1 (4) 2x + 1 x(x 1) 1 x = x (x 1) 2, x 0, x 1 x(x 1) 2 2x + 1 x(x 1) x(x 1 1)2 x (x 1)(2x + 1) (x 1) 2 = x 2 2x 2 + x 2x 1 x 2 + 2x 1 = x 2 x = x(x 1)2 (x 1) 2 x = 2 δεκτή αφού ικανοποιεί τους περιορισµούς (5) 6 x 3 2 x + 3 = 12 (x 3)(x + 3), x 3, x 3 6 (x 3)(x + 3) x 3 (x 3)(x + 3) 2 x + 3 = (x 3)(x + 3) 12 (x 3)(x + 3) 6(x + 3) 2(x 3) = 12 6x + 18 2x + 6 = 12 6x 2x = 12 18 6 4x = 12 x = 3 απορρίπτεται αφού δεν ικανοποιεί τους περιορισµούς άρα η εξίσωση (5) είναι αδύνατη Μεθοδολογία 17 Επίλυση εξίσωσης 2ου ϐαθµού αx 2 + βx + γ = 0 Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 2 4 α γ Αν > 0 τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις τις x 1,2 = β ± 2 α Αν = 0 τότε η εξίσωση έχει µία διπλή λύση την x = β 2 α Αν = 0 τότε η εξίσωση δεν έχει πραγµατική λύση (αδύνατη) Θέµα 112 Να λύσετε τις εξισώσεις : i x 2 + 2x = 0 ii 2x 2 + 6x = 0 iii x 2 4 = 0 iv 3x 2 + 16 = 0 v 2x 2 5x + 3 = 0 vi x 2 6x + 9 = 0 vii 3x 2 + 4x + 2 = 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 27

Λύση 112 i x 2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = 2 ii 2x 2 + 6x = 0 2x(x + 3) = 0 x = 0 x + 3 = 0 x = 0 x = 3 iii x 2 4 = 0 x 2 = 4 x = ±2 iv 3x 2 + 16 = 0 3x 2 = 16 αδύνατη v Το 2x 2 5x + 3 = 0 είναι της µορφής αx 2 + βx + γ = 0 µε α = 2, β = 5, γ = 3, τότε η = β 2 4αγ = ( 5) 2 4 2 3 = 1 > 0 άρα η εξίσωση έχει δυο λύσεις τις x 1,2 = β ± 2 α x 1,2 = ( 5) ± 1 = 5 ± 1 x 1 = 5 + 1 4 x 1 = 6 4 x 1 = 3 = = = 2 2 2 4 x 2 = 5 1 x 2 = 4 x 2 = 1 4 4 vi Η εξίσωση x 2 6x + 9 = 0 έχει = β 2 4αγ = ( 6) 2 4 1 9 = 0 άρα έχει διπλή ϱίζα την x = 6 2 = 3 vii Η εξίσωση 3x 2 + 4x + 2 = 0 έχει = β 2 4αγ = (4 2 4 3 2 = 8 < 0 άρα η εξίσωση είναι αδύνατη Μεθοδολογία 18 ιτετράγωνες εξισώσεις Είναι οι εξισώσεις τις µορφής αx 2ν + βx ν + γ = 0 και λύνονται µε αντικατάσταση, ϑέτοντας ω = x ν Θέµα 113 Να λυθεί η εξίσωση 4x 4 + 11x 2 3 = 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 28

Λύση 113 4x 4 + 11x 2 3 = 0, ϑέτω x 2 = ω 4ω 2 + 11ω 3 ω 1 = 3 ω 2 = 1 4 x 2 = 3 αδυνατη x 2 = 1 4 x = 1 2 x = 1 2 Θέµα 114 Να λύσετε την εξίσωση x ν = α, α R, ν N Λύση 114 i Για α > 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = ν α ii Για α > 0 και ν άρτιο, η λύση της εξίσωσης είναι x = ± ν α iii Για α < 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = ν α iv Για α < 0 και ν άρτιο, η εξίσωση είναι αδύνατη Θέµα 115 Να λυθούν οι εξισώσεις i x 4 + 8x = 0 ii x 5 = 16x iii x 6 = 32x iv (2x + 6) 3 = 8 Λύση 115 i x 4 + 8x = 0 x(x 3 + 8 = 0) x = 0 x 3 = 8 x = 0 x = 3 8 x = 0 x = 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 29

ii iii iv x 5 = 16x x 5 16x = 0 x(x 4 16) = 0 x = 0 x 4 = 16 x = 0 x = ± 4 16 x = 0 x = ±2 x 6 = 32x x 6 + 32x = 0 x(x 5 + 32) = 0 x = 0 x 5 = 32 x = 0 x = 5 32 x = 0 x = 2 (2x + 6) 3 = 8 2x + 6 = 3 8 2x + 6 = 2 2x = 4 x = 2 Μεθοδολογία 19 Ιδιότητες των απόλυτων τιµών που σχετίζονται µε την επίλυση εξισώσεων Αν θ > 0 τότε : i x = θ x = θ ή x = θ ii x = α x = α ή x = α Θέµα 116 Να λυθούν οι εξισώσεις : i 2 x + 1 6 = 0 ii 2x + 7 + 9 = 0 iii x 1 3 x + 5 = 0 iv x + 1 = x + 1 v 2x 4 = 2x + 4 vi 3x 6 = 2x 2 vii x 2 4 + 3x 6 = 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 30

Λύση 116 i Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = θ > 0 x = ±θ εποµένως εφαρµόζοντας τη συγκεκριµένη ιδιότητα των απολύτων τιµών, έχουµε : 2 x + 1 6 = 0 2 x + 1 = 6 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x = 2 x = 4 ii Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = α < 0 η εξίσωση είναι αδύνατη Άρα η εξίσωση : 2x + 7 + 9 = 0 2x + 7 = 9 είναι αδύνατη f(x) = g(x) iii Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = g(x) f(x) = g(x) x 1 3 x + 5 = 0 x 1 = 3 x + 5 x 1 = 3(x + 5) x 1 = 3(x + 5) x 1 = 3x + 15 x 1 = 3x 15 2x = 16 4x = 14 x = 8 x = 7 2 iv Από τη σχέση : f(x) = f(x) f(x) > 0 Οπότε από την εξίσωση x + 1 = x + 1 x + 1 > 0 x > 1 v Από τη σχέση : f(x) = f(x) f(x) < 0 Οπότε από την εξίσωση 2x 4 = 2x + 4 2x 4 < 0 2x < 4 x < 2 vi Οταν έχω εξισώσεις της µορφής f(x) = g(x), επειδή το f(x) 0 ϑα πρέπει και το g(x) 0 g(x) 0 Άρα από την εξίσωση f(x) = g(x) f(x) = g(x) f(x) = g(x) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 31

3x 6 = 2x 2 2x 2 0 3x 6 = 2x 2 3x 6 = 2x + 2 x 1 x = 4 x = 8 5 x = 4 x = 8 5 vii Οταν έχω εξισώσεις της µορφής f(x) + g(x) = 0 επειδή f(x) 0 g(x) 0 πρέπει να είναι : f(x) = g(x) = 0 και Ανισώσεις Άρα από την εξίσωση : x 2 4 = 0 x 2 4 + 3x 6 = 0 3x 6 = 0 x = ±2 x = 2 x = 2 Μεθοδολογία 110 Επίλυση ανίσωσης 1ου ϐαθµού αx + β > 0 για τις διάφορες τιµές των α, β R Είναι, αx + β > 0 αx > β i Αν α > 0 αx > β x > β α ii Αν α < 0 αx > β x < β α iii Αν α = 0 Εχουµε 0x > β Η οποία αληθεύει για κάθε x R αν, β > 0 Και είναι αδύνατη αν, β 0 Θέµα 117 Να λυθούν οι ανισώσεις : 5x i 3 1 9 > (x 3)5 9 ii (x 1) 2 + 3 < x 2 3(x + 1) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 32

Λύση 117 i 5x 3 1 9 > (x 3)5 9 15x 1 > 5(x 3) 10x > 14 x > 14 10 ii x > 7 5 (x 1) 2 + 3 < x 2 3(x + 1) x 2 2x + 1 + 3 < x 2 3x 3 x < 7 Μεθοδολογία 111 Πίνακας προσήµων για την παράσταση αx + β µε α, β R Λύνω την εξίσωση αx + β = 0 x = β κι έχω α β x α αx + β ετερόσηµο 0 οµόσηµο του α του α + Μεθοδολογία 112 Ιδιότητες των απόλυτων τιµών, που χρησιµοποιούµε για να λύσου- µε ανισώσεις µε απόλυτα i x < θ θ < x < θ ii x > θ x < θ ή x > θ Θέµα 118 Να λυθούν οι ανισώσεις : i x 3 < 2 ii 2x 3 > 5 iii x 7 < 4 iv 2x 6 0 v x + 7 0 Λύση 118 i x 3 < 2 2 < x 3 < 2 ii 2 + 3 < x < 3 + 2 1 < x < 5 x (1, 5) 2x 3 > 5 2x 3 < 5 ή 2x 3 > 5 2x < 5 + 3 ή 2x > 5 + 3 2x < 2 ή 2x > 8 x < 1 ή x > 4 x (, 1) (4, + ) iii x 7 < 4 είναι αδύνατη Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 33

iv 2x 6 0 2x 6 = 0 2x = 6 x = 3 v x + 7 0 ισχύει για κάθε x R Θέµα 119 Να λυθεί η ανίσωση : x 1 < x 2 Ρ Προσοχή : Οταν έχω ανίσωση της µορφής A(x) < B(x) τότε υψώνω στο τετράγωνο και τα δυο µέλη για να ϕύγουν τα απόλυτα Λύση 119 x 1 < x 2 x 1 2 < x 2 2 (x 1) 2 < (x 2) 2 x 2 2x + 1 < x 2 4x + 4 4x 2x < 4 1 x < 3 2 Θέµα 120 Να λυθεί η ανίσωση : 2 x 1 < x 2 + 3 Ρ Προσοχή : Οταν έχω ανίσωση της µορφής κ A(x) + λ B(x) + ρ Γ(x) + µ < 0 τότε ϕτιάχνω πίνακα προσήµων για τις παραστάσεις που είναι µέσα στα απόλυτα Λύση 120 Ο πίνακας προσήµων που προκύπτει είναι ο παρακάτω x 1 2 + x 1 0 + + x 2 0 + Άρα έχω τις περιπτώσεις : i Για x (, 1) Εχω, 2( x + 1) < ( x + 2) + 3 2x + 2 < x + 2 + 3 x < 3 x > 3 Η οποία δεν συναληθεύει µε τον περιορισµό x (, 1) Άρα η ανίσωση δεν έχει λύση για x (, 1) ii Για x (1, 2) Εχω, 2(x 1) < ( x + 2) + 3 2x 2 < x + 2 + 3 3x < 7 x < 7 3 Την οποία συναληθεύω µε τον περιορισµό x (1, 2) Άρα x (1, 2) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 34

iii Για x (2, + ) Εχω, 2(x 1) < (x 2) + 3 2x 2 < x 2 + 3 x < 3 Την οποία συναληθεύω µε τον περιορισµό x (2, + ) Άρα x (2, 3) Μεθοδολογία 113 Πίνακες προσήµων για το τριώνυµο αx 2 + βx + γ, α 0 για τις διάφορες τιµές της διακρίνουσας i ii iii x ρ 1 ρ 2 + αx 2 + βx + γ οµόσηµο 0 ετερόσηµο 0 οµόσηµο > 0 του α του α του α µε ρ 1, ρ 2 τις ϱίζες της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0 x ρ + αx 2 + βx + γ οµόσηµο 0 οµόσηµο = 0 του α του α µε ρ τη ϱίζα της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0 x + αx 2 + βx + γ οµόσηµο < 0 του α Ρ Προσοχή : Για να λύσω µια ανίσωση 2ου ϐαθµού, ϑα πρέπει να ϕτιάξω πίνακα προσήµων!!! Θέµα 121 Να προσδιορίσετε το πρόσηµο των παρακάτω τριωνύµων : i x 2 5x + 6 ii x 2 + 2x + 1 iii 3x 2 + 2x + 4 Λύση 121 i Η x 2 5x+6 = 0 έχει ϱίζες το 2 και το 3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 2 3 + x 2 5x + 6 + 0 0 + και είναι : x 2 5x + 6 > 0 για x (, 2) (3 + ) x 2 5x + 6 < 0 για x (2, 3) x 2 5x + 6 = 0 για x = 2, x = 3 ii Η x 2 2x + 1 = 0 έχει διπλή ϱίζα το 1, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 1 + x 2 + 2x + 1 + 0 + Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 35

και είναι : x 2 + 2x + 1 > 0 για κάθε x R {1} x 2 + 2x + 1 = 0 για x = 1 iii Η εξίσωση 3x 2 +2x+4 = 0 είναι αδύνατη, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x + 3x 2 + 2x + 4 + και είναι : 3x 2 + 2x + 4 > 0 για κάθε x R Μεθοδολογία 114 Πρόσηµο ενός γινοµένου παραγόντων, πρώτου και δεύτερου ϐαθµού Φτιάχνουµε πίνακα προσήµων για τον κάθε παράγοντα ξεχωριστά, και µετά ϕτιάχνουµε έναν ενιαίο πίνακα για όλο το γινόµενο µαζί Ρ Προσοχή : Για να ϐρούµε το πρόσηµο ενός γινοµένου παραγόντων, ϕτιάχνουµε πίνακα προσήµων για τον κάθε παράγοντα ξεχωριστά, και µετά ϕτιάχνουµε έναν ενιαίο πίνακα για όλο το γινόµενο µαζί Θέµα 122 Να προσδιορίσετε το πρόσηµο της παρακάτω παράστασης : (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) Λύση 122 Οι πίνακες προσήµων για τους δυο παράγοντες είναι : Η x 2 5x + 6 = 0 έχει ϱίζες το 2 και το 3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 2 3 + x 2 5x + 6 + 0 0 + Η x 2 2x + 1 = 0 έχει διπλή ϱίζα το 1, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 1 + x 2 + 2x + 1 + 0 + Ο ενιαίος πίνακας είναι : x 1 2 3 + x 2 5x + 6 + + 0 0 + x 2 + 2x + 1 + 0 + + + (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) + 0 + 0 0 + Άρα το : (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) > 0 για x (, 1) ( 1, 2) (3, + ) (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) < 0 για x (2, 3) (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) = 0 για x = 1, 2, 3 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 36

Μεθοδολογία 115 Πρόσηµο ενός πηλίκου, όπου ο αριθµητής και ο παρονοµαστής είναι γινόµενα παραγόντων, πρώτου και δευτέρου ϐαθµού Μεθοδολογία 116 i Αν είναι της µορφής : A(x) B(x) > 0 A(x)B(x) > 0 και κάνω πίνακα προσήµων για το γινόµενο ii Αν είναι της µορφής : A(x) A(x) > Γ(x) B(x) B(x) Γ(x) > 0 A(x) B(x)Γ(x) > 0 B(x) [A(x) B(x)Γ(x)]B(x) > 0 και κάνω πίνακα προσήµων για το γινόµενο, µε την προϋπόθεση, B(x) 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 37

Παραγοντοποίηση Είναι η διαδικασία µε την οποία µια παράσταση που είναι άθροισµα, µετατρέπεται σε γινόµενο παραγόντων Η παραγοντοποίηση µπορεί να γίνει µε τους εξής τρόπους : 1 Κοινός παράγοντας Οταν όλοι οι όροι µιας αλγεβρικής παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε αυτή µετατρέπεται σε γινόµενο µε τη ϐοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας Ισχύει ότι : αβ + αγ = α(β + γ) Η εύρεση του κοινού παράγοντα γίνεται ως εξής : Βρίσκουµε τον ΜΚ των συντελεστών κάθε όρου Βρίσκουµε τον µικρότερο εκθέτη της µεταβλητής ή µεταβλητών που είναι κοινές σε κάθε όρο Ο κοινός παράγοντας είναι το γινόµενο των δύο παραπάνω όρων Παράδειγµα : Να παραγοντοποίησετε την παράσταση : 2x 5 + 4x 4 y + 6x 2 Ο ΜΚ των συντελεστών των όρων 2, 4, 6 είναι ο αριθµός 2 Η κοινή µεταβλητή είναι το x και ο µικρότερος εκθέτης που συναντάται είναι ο 2 Άρα η παραγοντοποίση γίνεται ως εξής : 2x 5 + 4x 4 y + 6x 2 = 2x 2 (x 3 + 2x 2 y + 3) 2 Κοινός παράγοντας κατά οµάδες (Οµαδοποίηση) Οταν οι όροι µια παράστασης δεν έχουν κοινό παράγοντα, τότε τους χωρίζουµε σε οµάδες, ϕροντίζοντας ώστε : κάθε οµάδα που δηµιουργούµε να έχει κοινό παράγοντα οι παραστάσεις που µένουν µετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα να είναι οι ίδιες Παράδειγµα : Να παραγοντοποίησετε την παράσταση : 3x + αx + 3y + αy 1ος τρόπος : 3x + αx + 3y + αy = 3(x + y) + α(x + y) = (x + y)(3 + α) 2ος τρόπος : 3x + αx + 3y + αy = x(3 + α) + y(3 + α) = (3 + α)(x + y) 3 Με τη ϐοήθεια ταυτοτήτων Παράδειγµα : Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις : x 2 6x + 9 = x 2 2 3 x + 3 2 = (x 3) 2 x 2 4 = x 2 2 2 = (x 2)(x + 2) x 3 8 = x 3 2 3 = (x 2)(x 2 + 2x + 2 2 ) = (x 2)(x 2 + 2x + 4) 4 Ταυτότητες Χρησιµοποιούµε από το 2ο προς το 1ο µέλος τις ταυτότητες : (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2, (α β) 2 = α 2 2αβ + β 2 (α + β) 3 = α 3 + 3α 2 β + 3αβ 2 + β 3, (α β) 3 = α 3 3α 2 β + 3αβ 2 β 3 5 ιαφορά τετραγώνων α 2 β 2 = (α β)(α + β) Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες : (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2, (α β) 2 = α 2 2αβ + β 2 εµφανίζω διάφορα τετραγώνων Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 38

6 Αθροισµα ή ιαφορά κύβων α 3 + β 3 = (α + β)(α 2 αβ + β 2 ), α 3 β 3 = (α β)(α + αβ + β 2 ) Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες : (α + β) 3 = α 3 + 3α 2 β + 3αβ 2 + β 3, (α β) 3 = α 3 3α 2 β + 3αβ 2 β 3 εµφανίζω άθροισµα ή διαφορά κύβων 7 Τριώνυµο της µορφής αx 2 βx + γ Για να παραγοντοποιήσουµε ένα τριώνυµο ϐρίσκουµε τη διακρίνουσα = β 2 4αγ Αν : > 0, τότε αx 2 βx + γ = α(x x 1 )(x x 2 ) όπου x 1,2 = β + 2α = 0, τότε αx 2 βx + γ = α(x x 1 ) 2 µε x 1 = β 2α < 0, τότε το τριώνυµο δεν παραγοντοποιείται Ειδική περίπτωση : x 2 (α + β)x + α β = (x α)(x β) x 2 + (α + β)x + α β = (x + α)(x + β) Παράδειγµα 1ο : Να παραγοντοποίησετε τη παράσταση x 2 5x + 6 Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 2 4αγ = ( 5) 2 4 1 6 = 25 24 = 1 > 0 Άρα ϐρίσκουµε ότι : x 1 = β + 2α = ( 5) + 1 2 1 = 5 + 1 2 = 6 2 = 3 οπότε x 1 = β 2α = ( 5) 1 2 1 = 5 1 2 x 2 5x + 6 = (x 3)(x 2) = 4 2 = 2 Παράδειγµα 2ο : Να παραγοντοποίησετε τη παράσταση x 2 6x + 9 Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 2 4αγ = ( 6) 2 4 1 9 = 36 36 = 0, άρα x 1 = β 2α = ( 6) 2 1 = 6 2 = 3 οπότε x 2 6x + 9 = (x 3) 2 8 Σχήµα Horner Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 39

133 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 117 Για να λύσουµε µια πολυωνυµική εξίσωση 3ου ϐαθµού και πάνω, πρέπει να την παραγοντοποιήσουµε,ώστε να έχουµε παράγοντες µόνο, 1ου και 2ου ϐαθµού Θέµα 123 Να λυθεί η εξίσωση, 3x 3 + 8x 2 15x + 4 = 0 Ρ Προσοχή : Πιθανή ακέραια ϱίζα ενός πολυωνύµου είναι ένας από τους διαιρέτες τους σταθερού όρου (όταν οι συντελεστές του πολυωνύµου είναι ακέραιοι) Αν το άθροισµα των συντελεστών είναι 0, τότε το πολυώνυµο έχει σίγουρα ϱίζα το 1 (Παρατήρηση πολύ χρήσιµη όταν κάνω παραγοντοποίηση µε το σχήµα του Horner Λύση 123 Το άθροισµα των συντελεστών του πολυωνύµου είναι 0, άρα η εξίσωση έχει σίγουρα ϱίζα το 1 Το πολυώνυµο είναι 3ου ϐαθµού, οπότε πρέπει να το παραγοντοποιήσουµε 3 8 15 4 1 3 11 4 3 11 4 0 Από το σχήµα του Horner συµπεραίνουµε ότι, το πηλίκο της διαίρεσης του 3x 3 + 8x 2 15x + 4 µε το x 1 είναι 3x 2 + 11x 4 και το υπόλοιπο 0 Οπότε από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε : 3x 3 + 8x 2 15x + 4 = (x 1)(3x 2 + 11x 4) x 3 + 8x 2 15x + 4 = 0 (x 1)(3x 2 + 11x 4) = 0 x 1 = 0 3x 2 + 11x 4 = 0 x = 1 x = 4 x = 1 3 Μεθοδολογία 118 ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Σχέσεις µεταξύ των ϱιζών ενός πολυωνύµου 3ου ϐαθµού και τον συντελεστών του ρ 1, ρ 2 ρ 3 οι ϱίζες του πολυωνύµου αx 3 + βx 2 + γx + δ = 0 σ 1 = ρ 1 + ρ 2 + ρ 3 = γ δ σ 2 = ρ 1 ρ 2 + ρ 1 ρ 3 + ρ 2 ρ 3 = β δ σ 3 = ρ 1 ρ 2 ρ 3 = α δ Η εξίσωση 3ου ϐαθµού που έχει ϱίζες τις ρ 1, ρ 2 ρ 3 είναι η x 3 σ 1 x 2 + σ 2 x σ 3 = 0 Μεθοδολογία 119 ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Μια πολυωνυµική εξίσωση λέγεται αντίστροφη, όταν για κάθε ϱίζα ϱ που έχει, τότε Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 40

έχει ϱίζα και την 1 και µάλιστα µε την ίδια πολλαπλότητα ( Ολες οι ϱίζες είναι µη ρ µηδενικές) Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι µια εξίσωση αντίστροφη είναι : οι ισαπέχοντες από τα άκρα, συντελεστές του πολυωνύµου, να είναι όλοι ίσοι ή όλοι αντίθετοι Μεθοδολογία 120 ΧΡΗΣΙΜΑ ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τέχνασµα 1ο αx 3 + βx 2 + βx + α = 0 α(x 3 + 1) + βx(x + 1) = 0 α(x + 1)(x 2 + x + 1) + βx(x + 1) = 0 (x + 1)[α(x 2 + x + 1) + βx] = 0 όπου αυτό είναι ένα γινόµενο, ενός παράγοντα 1ου ϐαθµού και ενός παράγοντα 2ου ϐαθµού Τέχνασµα 2ο αx 4 + βx 3 + γx 2 + βx + α = 0 x 2 (αx 2 + βx + γ + β 1 x + α 1 x 2 ) = 0, x 0 (αποδεικνύεται µε άτοπο) α(x 2 + 1 x 2 ) + β(x + 1 x ) + γ = 0 Θέτουµε, x + 1 x = y, και x2 + 1 x 2 = (x + 1 x )2 2x 1 x = y2 2 κι έχουµε : α(y 2 2) + βy + γ = 0 που είναι εξίσωση 2ου ϐαθµού Μεθοδολογία 121 ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (Θεώρηµα ϱητών ϱιζών) Εστω, η πολυωνυµική εξίσωση : α ν x ν + α ν 1 x ν 1 + + α 1 x + α 0 = 0, µε α ν, α ν 1,, α 1, α 0 Z έχει ϱίζα τον ϱητό αριθµό p = κ λ 0 κ ανάγωγο κλάσµα λ τότε ο κ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0 και ο λ είναι διαιρέτης του α ν Θέµα 124 Να λυθεί η εξίσωση 2x 3 + x 2 + x 1 = 0 1 2 1 15 1 2 Λύση 124 1 1 1 2 2 2 0 Από το σχήµα του Horner συµπεραίνουµε ότι, το πηλίκο της διαίρεσης είναι 2x 2 +2x+2 και το υπόλοιπο 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 41

Οπότε από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε : 2x 3 + x 2 + x 1 = (x 1 2 )(2q2 + 2q + 2) 2x 3 + x 2 + x 1 = 0 (x 1 2 )(2x2 + 2x + 2) = 0 x 1 2 = 0 2x 2 + 2x + 2 = 0 x = 1 2 Αδύνατη Μεθοδολογία 122 Για να λύσουµε µια πολυωνυµική ανίσωση 3ου ϐαθµού και πάνω, πρέπει να την παραγοντοποιήσουµε,ώστε να έχουµε παράγοντες µόνο, 1ου και 2ου ϐαθµούγια να ϐρούµε το πρόσηµο ενός γινοµένου παραγόντων, ϑα ϕτιάξουµε πίνακα προσήµων για τον κάθε παράγοντα ξεχωριστά, και µετά έναν ενιαίο πίνακα για όλο το γινόµενο µαζί Θέµα 125 Να λύσετε την ανίσωση : x 4 3x 3 3x 2 + 7x + 6 > 0 Λύση 125 Το άθροισµα των συντελεστών του πολυωνύµου δεν είναι 0, άρα η εξίσωση δεν έχει ϱίζα το 1, οπότε, µε το σχήµα του Horner ϑα δοκιµάσουµε τους υπόλοιπους διαιρέτες του σταθερού όρου, που εδώ είναι το 6 ηλαδή πιθανές ακέραιες ϱίζες είναι τα 1, ±2, ±3, ±6 Θα ξεκινήσουµε να κάνουµε το σχήµα του Horner µε το -1 1 3 3 7 6 1 1 41 1 6 1 4 1 6 0 Από το σχήµα του Horner συµπεραίνουµε ότι, το πηλίκο της διαίρεσης του x 4 3x 3 3x 2 + 7x + 6 µε το x + 1 είναι x 3 4x 2 + x + 6 και το υπόλοιπο 0 Οπότε από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε : x 4 3x 3 3x 2 + 7x + 6 = (x + 1)(x 3 4x 2 + x + 6) Τώρα πρέπει να παραγοντοποιήσουµε το x 3 4x 2 + x + 6 1 4 1 6 1 1 51 6 1 5 6 0 Από το σχήµα του Horner συµπεραίνουµε ότι, το πηλίκο της διαίρεσης του x 3 4x 2 +x+6 µε το x + 1 είναι x 2 5x + 6 και το υπόλοιπο 0 Οπότε από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε : x 3 4x 2 + x + 6 = (x + 1)(x 2 5x + 6) Άρα x 4 3x 3 3x 2 + 7x + 6 = (x + 1)(x + 1)(x 2 5x + 6) = (x + 1) 2 (x 2 5x + 6) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 42

Οπότε έχουµε να λύσουµε την ανίσωση : (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) > 0 Οι πίνακες προσήµων για τους δυο παράγοντες είναι : Η x 2 5x + 6 = 0 έχει ϱίζες το 2 και το 3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 2 3 + x 2 5x + 6 + 0 0 + Η x 2 2x + 1 = 0 έχει διπλή ϱίζα το 1, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 1 + x 2 + 2x + 1 + 0 + Ο ενιαίος πίνακας είναι : x 1 2 3 + x 2 5x + 6 + + 0 0 + x 2 + 2x + 1 + 0 + + + (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) + 0 + 0 0 + Άρα το : (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) > 0 για x (, 1) ( 1, 2) (3, + ) (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) < 0 για x (2, 3) (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) = 0 για x = 1, 2, 3 Άρα x (, 1) ( 1, 2) (3, + ) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 43

134 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1 Να λύσετε τις εξισώσεις : i x 3 + 3x 2 10x = 0 ii x 5 = 9x 3 iii x 4 + 8x = 0 iv x 3 + 2x 2 x 2 = 0 v (x 1) 3 3(x 2 1) + 2(x 1) = 0 2 Να λύσετε τις εξισώσεις : i x 6 + 7x 3 8 = 0 ii (2x 5) 4 10(2x 5) 2 + 9 = 0 iii (x + 4) 6 + 16(x + 4) 3 + 64 = 0 iv (x 2 5) 2 3(x 2 5) = 4 3 Να λύσετε τις εξισώσεις : i 2x 3 x 2 7x + 6 = 0 ii 3x 3 5x 2 11x 3 = 0 iii x 3 3x 2 10x + 24 = 0 iv 2x 3 + 9x 2 + 7x 6 = 0 4 Να λύσετε τις εξισώσεις : i x 4 + 2x 3 7x 2 8x + 12 = 0 ii x 4 3x 3 6x 2 + 6x + 8 = 0 iii x 4 8x 2 4x + 3 = 0 iv x 4 + 4x 3 23x 2 + 18 = 0 5 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ϱίζες i x 3 5x 2 + x 2 = 0 ii x 4 3x 2 + 7x + 1 = 0 6 Να λύσετε τις εξισώσεις : 1 i 2 x3 + 17 6 x2 + 3x 4 3 = 0 1 ii 12 x4 + 1 4 x3 1 12 x2 3 4 x 1 2 = 0 7 Αν το P (x) = x 3 + αx 2 + (3α 1)x 8α έχει παράγοντα το x 2 i Να ϐρείτε την τιµή του α R ii Να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0 8 Εστω P (x) = x 4 x 3 x 2 + αx α + 1 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x + 1 είναι 12 (αʹ) Να ϐρείτε την τιµή του α R (ϐʹ) Να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0 9 Αν το P (x) = x 4 + αx 2 + βx + α έχει παράγοντα το x + 2 και η διαίρεση του P (x) µε το x 1 αφήνει υπόλοιπο 18 i Να ϐρείτε τα α, β R ii Να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0 10 Να λύσετε τις εξισώσεις : i 5x 4 = 10x 2 ii x 3 + 2x 2 9x 18 = 0 iii 3x 5 + 5x 4 = 3x 3 + 5x 2 iv x 6 64 = 0 v x 3 + x 2 2 = 0 vi x 3 7x + 6 = 0 vii (x + 1) 3 + 1 = 0 viii 7(3x + 2) 2 (1 x) 2 (3x + 2)(1 x) 2 = 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 44

ix x 3 + 8 = 7(x 2 + 5x + 6) + 9x 2 36 x x 4 3x 3 + 6x 4 = 0 11 Να λυθούν οι εξισώσεις i x 4 = 3x 2 ii x 3 3x 2 4x + 12 = 0 iii 2x 5 + 9x 2 = x 4 + 18x 3 iv x 4 5x 3 + 5x 1 = 0 v x 3 4x 2 + 4x = 3(x 2 4) (2 x)(x 5) vi x 4 + x 3 31x 2 25x + 150 vii 24x 4 + 4x 3 66x 2 x + 15 = 0 viii x(x 1)(x 2)(x 3) = 0 ix (x + 6)(x + 4)(x 3)(x 5) = 280 x 3x 3 13x 2 + 13x 3 = 0 xi 6x 4 25x 3 + 38x 2 25x + 6 = 0 xii 6x 5 19x 4 + 13x 3 + 13x 2 19x + 6 = 0 xiii x 2 (x 1) 2 + (x + 1)(x + 4) = 6x 2 x x xiv ( x + 1 )6 7( x + 1 )3 8 = 0 xv 6x 3 7x 2 7x + 6 = 0 xvi 6x 4 35x 3 + 62x 2 35x + 6 = 0 xvii 6x 5 41x 4 + 97x 3 97x 2 + 41x 6 = 0 xviii x 4 12x 2 + 27 = 0 xix x 6 13x 4 48 = 0 xx (x 2 + x) 6 7(x 2 + x) 3 8 = 0 xxi (x 2 1) 3 2(x 2 1) 2 5(x 2 1) + 6 = 0 12 Να ϐρείτε τις ακέραιες λύσεις των εξισώσεων i x 3 3x 2 + x + 2 = 0 ii 3x 3 + 8x 2 15x + 4 = 0 iii x 3 10x 12 = 0 iv x 3 + 2x 2 + 7x + 6 = 0 13 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ϱίζες (αʹ) x 4 + 3x 2 = 0 (ϐʹ) 2x 4 3x 3 + 6x 2 24x + 5 = 0 (γʹ) 4x 4 15x 2 + 13x 3 = 0 (δʹ) αx 4 3x 3 + βx 2 6βx + 1 = 0 µε α + β = 5, α, β Z 14 Να ϐρείτε τα σηµεία τοµής, της γραφικής παράστασης της f µε τον xx (αʹ) f(x) = 3x 3 3x 2 5x 2 (ϐʹ) f(x) = 4x 3 3x 1 15 Να ϐρείτε τα σηµεία στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) = x 3 2x 2 5x + 6, τέµνει τον xx 16 Να ϐρείτε τα σηµεία στα οποία οι γραφικές παραστάσεις, της f(x) = x 3 + 4x 2 + 4x και g(x) = 9 x τέµνονται 17 Να λύσετε τις εξισώσεις (αʹ) x 8 15x 4 16 = 0 (ϐʹ) (x 1) 6 9(x 1) 3 + 8 = 0 (γʹ) 6(x + 1 x )2 + 5(x + 1 x ) 6 = 0 18 Να λύσετε τις εξισώσεις Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 45

(αʹ) 1 10 x3 + 1 10 x2 + 1 5 x 4 5 = 0 (ϐʹ) x 3 5 6 x2 22 3 x + 5 2 = 0 19 Να ϐρείτε τις τιµές των α, β R ώστε το P (x) = x 4 + αx 3 + βx 2 16x 12 να έχει παράγοντες τους x + 1 και x 2 Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0 20 Αν P (x) = x 6 5x 4 10x 2 + κ να ϐρείτε τις τιµές του κ R για τις οποίες το x 1 είναι παράγοντας του P (x) Για τις τιµές του κ που ϐρήκατε, να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0 21 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σηµεία A(1, 2) και B( 1 2, 1 2 ) Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η ευθεία τέµνει την γραφική παράσταση της y = x 3 + x 2 στα σηµεία, µε τετµηµένες που είναι οι λύσεις της εξίσωσης x 3 + x 2 5x + 3 = 0 και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση και να ϐρείτε τα σηµεία τοµής 22 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σηµεία A(1, 2) και B(2, 2) Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η ευθεία τέµνει την γραφική παράσταση της// y = x 3 2x 2 στα σηµεία, µε τετµηµένες που είναι οι λύσεις της εξίσωσης x 3 2x 2 4x+ 6 = 0 και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση και να ϐρείτε τα σηµεία τοµής 23 Αν η εξίσωση x 3 + λx 2 + 23x 15 = 0, λ R έχει ϱίζα το 1, τότε να ϐρείτε και τις υπόλοιπες ϱίζες της 24 Αν η εξίσωση x 5 +x 4 +κx+λ = 0 µε κ, λ R έχει διπλή ϱίζα το -1, να προσδιορίσετε τα κ, λ R και στη συνέχεια να ϐρείτε τις υπόλοιπες ϱίζες της εξίσωσης 25 Να λύσετε τις ανισώσεις : i (x + 3)( 2x + 10)(x 2) > 0 ii (x 2 + 3x 10)( x 2 + 2x 1)(x 2 x + 1) 0 iii x 3 (x + 2) 4 (x 3) 6 (x 4) 7 > 0 26 Να λύσετε τις ανισώσεις : i 2x 3 x 2 7x + 6 > 0 ii x 3 + 2x 2 11x 12 < 0 iii 3x 3 + 5x 2 26x + 8 0 iv x 3 + 3x + 4 0 27 Να λύσετε τις ανισώσεις : i x 3 4x 2 + 5x 2 0 ii x 3 + 3x 2 4 > 0 iii 4x 3 4x 2 + 7x 2 0 iv 2x 3 5X 2 + 4x 1 < 0 28 Να λύσετε τις ανισώσεις : i x 3 + 2x 2 + 3x + 6 > 0 ii x 4 6x 3 + 22x 2 30x + 13 0 iii x 3 3x + 2 < 0 iv x 4 x 3 + x 2 3x 6 0 29 Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η C f είναι πάνω από τον x x µε f(x) = x 4 7x 3 + 17x 2 17x + 6 30 Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η C f είναι κάτω από τον x x µε f(x) = x 4 + x 3 x 2 + 3x + 6 31 Να ϐρείτε τα διαστήµατα, στα οποία η γραφική παράσταση Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 46

της f(x) = x 4 5x 3 + 3x 2 + x είναι κάτω από τον xx 32 Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της g(x) = x 6 +2x 5 +2x 4 +2x 3 +x 2 +(x+1) 2 δεν έχει κανένα σηµείο της, κάτω από τον xx 33 Να ϐρείτε τα διαστήµατα, στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) = 2x 3 + 5x 2 4x 3 είναι κάτω από τον xx 34 Αν το P (x) = 3x 3 5x 2 11x + α έχει παράγοντα το 3x + 1 i Να ϐρείτε την τιµή του α R ii Να λυθεί η ανίσωση P (x) 3x + 1 35 Αν P (x) = x 3 + αx 2 13x 5α έχει παράγοντα το x 1 i Να ϐρείτε το α R ii Να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0 iii Να ϐρείτε το πρόσηµο του γινοµένου : A = P ( 99) P ( 3) P ( 2) P ( 7) P (2014) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 47

14 Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυµικές 141 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 123 Ρητές εξισώσεις Για να λύσω µια ϱητή εξίσωση : i Παραγοντοποιώ τους παρονοµαστές ii Βάζω περιορισµούς iii Κάνω απαλοιφή παρονοµαστών µε το ΕΚΠ των παρονοµαστών iv Λύνω την εξίσωση που προκύπτει v Απορρίπτω τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς Σχήµα 11: Αδύνατο σύστηµα Θέµα 126 Να λυθεί η εξίσωση : 2 x + 2x 3 x 2 + 2 x2 x 2 2x = 0 Λύση 126 Εχω την εξίσωση : 2 x + 2x 3 x 2 + 2 x2 x 2 = 0 µε x 0 και x 2 2x 2 x + 2x 3 x 2 + 2 x2 x 2 2x = 0 2 x + 2x 3 x 2 + 2 x2 x(x 2) = 0 x(x 2) 2 x + x(x 2)2x 3 x 2 2(x 2) + x(2x 3) + 2 x 2 = 0 2x 4 + 2x 2 3x + 2 x 2 = 0 x 2 x 2 = 0, = 9 x 1 = 2 απορρίπτεται x 2 = 1 + x(x 2) 2 x2 x(x 2) = 0 Μεθοδολογία 124 Ρητές ανισώσεις i Αν είναι της µορφής : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 48

A(x) B(x) > 0 A(x)B(x) > 0 και κάνω πίνακα προσήµων για το γινόµενο ii Αν είναι της µορφής : A(x) A(x) > Γ(x) B(x) B(x) Γ(x) > 0 A(x) B(x)Γ(x) > 0 B(x) [A(x) B(x)Γ(x)]B(x) > 0 και κάνω πίνακα προσήµων για το γινόµενο, µε την προϋπόθεση, B(x) 0 Θέµα 127 Να λύσετε την ανίσωση x x 1 2 x + 1 < 8 x 2 1 Ρ Προσοχή : Στις ανισώσεις ΕΝ κάνω απαλοιφή παρονοµαστών, αν δεν γνωρίζω το πρόσηµο του ΕΚΠ Συγκεντρώνω όλες τις παραστάσεις στο 1ο µέλος και κάνω οµώνυµα Λύση 127 Εχω τους περιορισµούς x 1 και x 1 x x 1 2 x + 1 < 8 x 2 1 x x 1 2 x + 1 8 (x 1)(x + 1) < 0 x(x + 1) 2(x 1) 8 < 0 (x 1)(x + 1) x2 + x 2x + 2 8 (x 1)(x + 1) x2 x 6 (x 1)(x + 1) < 0 < 0 (x 2 x 6)(x 1)(x + 1) < 0 Η x 2 x + 6 = 0 έχει ϱίζες το -2 και το 3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 2 3 + x 2 x + 6 + 0 0 + Η (x 1)(x+1) = 0 έχει ϱίζες το -1 και το 1, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 1 1 + (x 1)(x + 1) + 0 0 + Ο εννιαίος πίνακας είναι : x -2-1 1 3 + x 2 x + 6 + 0 0 + (x 1)(x + 1) + + 0 0 + + (x 2 x 6)(x 1)(x + 1) + 0 + 0 + Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 49

Άρα το : (x 2 x 6)(x 1)(x + 1) < 0 για x ( 2, 1) (1, 3) Θέµα 128 Να λυθεί η εξίσωση : 2ηµ 2 (x) 5ηµ(x) + 2 = 0 Λύση 128 2ηµ 2 (x) 5ηµ(x) + 2 = 0 Θέτω ηµ(x) = w και έχω : 2w 2 5w + 2 = 0 οι ϱίζες της οποίας είναι : 2 και 1 2 άρα έχω : ηµ(x) = 2 που είναι αδύνατη και ηµ(x) = 1 2 ηµ(x) = 1 2 ηµ(x) = ηµ( π 6 ) { 2κπ + π x = 6 2κπ + π π 6 {, κɛz 2κπ + π x = 6 2κπ + 5π 6, κɛz Μεθοδολογία 125 Αρρητες εξισώσεις Για να λύσω µια άρρητη εξίσωση : i Βάζω περιορισµούς, οι παρονοµαστές να είναι διάφοροι του 0 και τα υπόρριζα να είναι µεγαλύτερα ή ίσα απ το 0 ii Χωρίζω τις ϱητές από τις άρρητες παραστάσεις iii Απαιτώ και τα δυο µέλη της εξίσωσης να είναι οµόσηµα, δηλαδή η ϱητή παράσταση που προέκυψε πρέπει να είναι οµόσηµη µε τη άρρητη iv Υψώνω και τα δυο µέλη, σε κατάλληλη δύναµη, κάνω τις πράξεις και λύνω την εξίσωση που προκύπτει v Απορρίπτω τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς Θέµα 129 Να λυθεί η εξίσωση x + 3 = x + 1 Λύση 129 Εχω τους περιορισµούς x + 3 0 = x 3 και x + 1 0 = x 1 που συναληθεύουν για x 1 x + 3 = x + 1 ( x + 3) 2 = (x + 1) 2 x + 3 x 2 + 2x + 1 x 2 + x 2 = 0 Εχει διακρίνουσα { = 9 x 1 = 1 και ϱίζες x = x 2 = 2 που απορρίπτεται από τους περιορισµούς Θέµα 130 Να λυθεί η εξίσωση x 3 = 1 Λύση 130 Είναι αδύνατη γιατί x 3 = 1 < 0 Γιατί ως γνωστό, οι ϱίζες είναι µη αρνητικοί αριθµοί Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 50

Θέµα 131 Να λυθεί η εξίσωση 2x 5 + x 2 = 2 x 5 2 Λύση 131 Εχουµε τους περιορισµούς x 2 x 5 2 2x 5 + x 2 = 2 ( 2x 5 + x 2) 2 = 2 2 2x 5 + x 2 + 2 (2x 5)(x 2) = 4 2 (2x 5)(x 2) = 11 3x, 11 3x 0 x 11 3 (1) (2 (2x 5)(x 2)) 2 = (11 3x) 2 4(2x 5)(x 2) = (11 3x) 2 x 5 2 x 11 3 x = 3 ή x = 27 x 11 3 x = 3 Θέµα 132 Να λυθεί η ανίσωση x 2 + 3x > 2 Λύση 132 Εχουµε τον περιορισµό x 2 + 3x 0 Για να λύσω αυτή την ανίσωση, πρέπει να ϕτιάξω πίνακα προσήµων Η αντίστοιχη εξίσωση x 2 + 3x = 0 έχει λύσεις το 0 και το -3 Ο πινάκας προσήµων είναι ο παρακάτω : x -3 0 + x 2 + 3x + 0 0 + Άρα, x (, 3) (0, + ) Τώρα ϑα λύσουµε την ανίσωση : x 2 + 3x 4 x 2 + 3x 4 0 Λύνουµε την αντίστοιχη εξίσωση : x 2 + 3x 4 = 0 η οποία έχει λύσεις τις 1 και -4 Άρα έχουµε τον πίνακα προσήµων : x -4 1 + x 2 + 3x 4 + 0 0 + Άρα η x 2 + 3x 4 έχει λύσεις x (, 4) (0, + ) Τις οποίες ϑα πρέπει να συναληθεύσω µε τους περιορισµούς Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 51

x (, 3) (0, + ) Άρα η ανίσωση x 2 + 3x > 2 έχει λύσεις x (, 4) (0, + ) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 52

142 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1 Να λύσετε τις εξισώσεις : i x 2 2x x 1 = x ii 2x 2 14(x 1) = 2 3(x 1) x x iii 3x + 2 x(3x2 8) = 2x 8 x 2 x 2 iv x 2 7x + 10 + 4 x + 2 = 2x + 4 x + 2 2 Να λύσετε τις εξισώσεις : 3(x + 2) 4 i x = x x 2 2x 2 x 2 14 ii x 2 1 7 x 1 = 4 x2 + x + 1 x + 1 3x iii x 3 2x2 x + 1 10x + 6 x 2 2x 3 = 0 3x 2 iv x 2 9x x 2 4 10x2 + 20 x 3 4x = 4 + 10 x 2 + 2x 3 Να λύσετε τις εξισώσεις : i x 5 + 4 = 0 ii x 2 x 3 = 0 3 iii x 2 3 3 x 4 = 0 4 Να λύσετε τις εξισώσεις : ( x 2 ) 2 x 2 i 7 x 2 x 2 8 = 0 ( x ) 3 ( x ) 2 14x ii 7 + x + 3 x + 3 x + 3 8 = 0 5 Να λύσετε τις εξισώσεις : i x 3 = 2 ii x 2 + 4x 5 = 4 iii 3x + 18 = x iv 20 x 2 3 = 0 6 Να λύσετε τις εξισώσεις : i x 14 2x = 3 ii 2 + 12 2x = x iii x 2x + 5 = 5 iv x 1 x + 11 = 0 7 Να λύσετε τις εξισώσεις : i x + 8 x 4 = 2 ii x 5 3 = x 8 iii 2x + 12 3 x = 3 iv 2x 3 x 2 = 1 8 Να λύσετε τις εξισώσεις : i 4 x 2 + 3x 6 = 8 4x ii 1 x 2 + x 1 = x 9 Να λύσετε τις εξισώσεις : i 1 + 4 x = 1 + x ii 12 x = 6 x 10 Να λύσετε τις εξισώσεις : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 53

i x 2 + 1 0 ii x 5 0 iii 3x 5 < 0 iv x 2 + 3x 4 0 v x 2 + 4 < 3 vi x 2 9 2 11 Να λύσετε τις εξισώσεις : i 2x 1 < 9 3x ii 1 x x + 3 iii 2x + 1 x + 3 0 iv x 6 2 x < 0 12 Να λύσετε τις εξισώσεις : i 7 x > x 1 ii x 4 > 2 x iii x 6 3 x iv 2 x 2 < x 1 13 ίνεται η συνάρτηση f(x) = αɛφx + βx 4 3, α, β R i Να υπολογίσετε τους αριθµούς α, β ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να τέµνει τον xx στα σηµεία x 1 = π 6 και x 2 = 5π 3 ii Αν το σηµείο M(x, α + β) είναι σηµείο της γραφικής παράστασης, της παραπάνω συνάρτησης, για τα α, β που υπολογίσαµε στο προηγούµενο ερώτηµα, να ϐρείτε το x 14 Να λυθούν οι εξισώσεις i (2ηµx 1) 4 + 6(2ηµx 1) 2 7 = 0 ii 2ηµ 3 x + 5ηµ 2 x + 5ηµx + 2 = 0 iii 2συν 4 x 5συν 3 x + 5συνx 2 = 0 15 Να λυθούν οι ανισώσεις x 3 + 2x 4 i < 1 x 2 x 2 ii x + 1 4 x 1 2 x 2 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 54

Βιβλία Βιβλία Ιστοσελίδες Ιστοσελίδες 2 Βιβλιογραφία 21 Βιβλία 1 2 3 4 5 6 7 8 22 Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Καζαντζής Αλγεβρα Ιστοσελίδες 1 2 3 4 wwwmathematicagr wwwmathstekigr wwwstudy4mathscom wwwstudy4examsgr