HMY Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Μέρος Α Ωμικά Κυκλώματα (Διαλέξεις 6) Δρ. Σταύρος Ιεζεκιήλ ezekel@ucy.ac.cy Green Park, Γραφείο Τηλ. 899 Διάλεξη 7 Εισαγωγή στη μεταβατική ανάλυση Βασικά στοιχεία κυκλωμάτων (αντιστάσεις, πήγες) Τάση, ρεύμα, ισχύς και ο νόμος του Ohm Τοπολογίες (κλάδοι, κόμβοι, βρόχοι κτλ.) Οι νόμοι του Krchhoff (τάση και ρεύμα) Αντιστάσεις σε σειρά και παράλληλα Διαίρεση τάσης και ρεύματος Πραγματικές πηγές και μετασχηματισμό πηγών Κομβική ανάλυση Ανάλυση πλεγμάτων Επαλληλία και τα θεωρήματα Theenn και Noron Μέρος Β Μεταβατική Ανάλυση (Τransen Analyss) Διάλεξη 7 Εισαγωγή στη μεταβατική ανάλυση Πηνία και πυκνωτές ( & ) Κυκλώματα πρώτης τάξης ( & ) Κυκλώματα δεύτερης τάξης () Θέματα της διάλεξης Εισαγωγή στη μεταβατική ανάλυση Βηματική απόκριση των πυκνωτών και πηνίων Βηματική απόκριση κυκλωμάτων & 3 4
Στο πρώτο μέρος του ΗΜΥ ασχοληθήκαμε με κυκλώματα συνεχούς ρεύματος (D drec curren), τα οποία δεν είναι χρονομετάβλητα. Έτσι και αν υπάρχουν σημαντικές εφαρμογές για τέτοια κυκλώματα, τα περισσότερα συστήματα είναι χρονομετάβλητα. Μεταβατικά σήματα κρουστικός παλμός(mpulse), βηματική συνάρτηση (sep) και συνάρτηση αναρρίχησης (ramp) Υπάρχουν τρία βασικά δοκιμαστικά σήματα (es funcons) για μεταβατική ανάλυση Για τα γραμμικά κυκλώματα, μπορούμε να κατηγοριοποιήσουμε τρεις τρόπους λειτουργίας (με τις αντίστοιχες αναλύσεις και προσομοιώσεις) συνεχές ρεύμα (D) δ ( ),, δ ( ) Μοναδιαίος κρουστικός παλμός (un mpulse) εναλλασσόμενο ρεύμα (A alernang curren) μεταβατική ζώνη (ransen) Πηγή τάσης Α Προσδιορίζουμε το πλάτος και τη συχνότητα της τάσης. A Πηγή τάσης D Σταθερή τάση 5 r ( ) u ( ),,,, > < > < Μοναδιαία βηματική συνάρτηση (un sep funcon) Μοναδιαία συνάρτηση αναρρίχησης (un ramp funcon) 6 Θα δείτε τα πιο πάνω δοκιμαστικά σήματα σε διαφορετικά μαθήματα, όπως «Σήματα και Συστήματα» και είναι ιδιαίτερα σημαντικά για την ανάλυση συστημάτων ελέγχου και για συστήματα τηλεπικοινωνιών. Ο μοναδιαίος κρουστικός παλμός είναι πολύ χρήσιμο επειδή μας δίνει εύκολο τρόπο για να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς ενός γραμμικού συστήματος Για ηλεκτρικά (και ηλεκτρονικά) κυκλώματα, η μοναδιαία βηματική συνάρτηση είναι πολύ σημαντική για διαφόρους λόγους. Για παράδειγμα, ένα ψηφιακό σήμα θα αποτελείται από ορθογώνικους παλμούς X Είσοδος Γραμμικό σύστημα Συνάρτηση μεταφοράς H (ω) Έξοδος X o Ένας ορθογώνικος παλμός μπορεί να παρασταθεί ως εξής u( ) u( τ ) H X X o u ( ) u ( τ ) u( ) u( τ ) Τέτοια θέματα είναι πολύ προχωρημένα προς το παρόν. τ τ 7 8
Μπορούμε να δημιουργήσουμε μια βηματική συνάρτηση χρησιμοποιώντας ιδανικές πηγές και διακόπτες Βηματική απόκριση των αντιστάσεων, πυκνωτών και πηνίων ανοίγει όταν Ο κλείνει όταν ανοίγει όταν ( ) Ο ( ) 9 Ο κλείνει όταν Ο ( ) ( ) ( ) O ( ) O I O ανοίγει όταν ( ) ( ) Ένα ωμικό κύκλωμα δεν είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα από την άποψη της μεταβατικής απόκρισης του. Αν προσθέσουμε όμως και πυκνωτές και πηνία στα κυκλώματα μας, τα πράγματα γίνονται πιο ενδιαφέροντα. Πυκνωτής Πηνίο ( ) ( ) d d ( ) d ( ) τ d d ( ) d ( ) τ Η τάση δεν μπορεί να αλλάξει στιγμιαία. Το ρεύμα δεν μπορεί να αλλάξει στιγμιαία. Για συνθήκες D (συνεχές ρεύμα), μοιάζει με ένα ανοικτό κύκλωμα. Για συνθήκες D (συνεχές ρεύμα), μοιάζει με ένα βραχυκύκλωμα. Οι πυκνωτές και τα πηνία είναι δυναμικά στοιχεία (dynamc elemens). Η συμπεριφορά τους εξαρτάται από τους ρυθμούς μεταβολής (d/d για πηνία και d/d για πυκνωτές). Παραδείγματος χάριν, για τον πυκνωτή έχουμε ( ) Για να ρέει ένα ρεύμα διαμέσου ενός αντιστάτη, πρέπει απλώς να εφαρμοστεί μία τάση στα άκρα του. Αλλά για ένα πυκνωτή, απαιτείται να υπάρχει ένας ρυθμός μεταβολής της τάσης. Εάν η τάση διατηρείται σταθερή, τότε δεν θα ρέει ρεύμα. Αν το ρεύμα που ρέει μέσω ενός πυκνωτή είναι μηδέν, αυτό σημαίνει ότι η τάση στα άκρα είναι σταθερή (αλλά όχι αναγκαστικά μηδέν). d d
Παράδειγμα Βηματική απόκριση του πυκνωτή διέγερση ( ) () (ms) 4 6 8 Ο ( ) κλείνει όταν ( ) Αυτό δεν είναι δυνατό για ένα πραγματικό σύστημα! d d ( ) d d απόκριση ( ) (µa) 5 4 6 5 8 nf (ms) Η τάση στα άκρα ενός πυκνωτή δεν μπορεί να αλλάξει στιγμιαία. () () 3 4 ( ) ανοίγει όταν ( ) d τ ( ) I d τ I I Αρχική τάση. Σε αντίθεση με μια αντίσταση, ένας πυκνωτής μπορεί να «κρατήσει» μια μη μηδενική τιμή της τάσης υπό την προϋπόθεση ότι έχει φορτωθεί εκ των προτέρων. Βηματική απόκριση του πηνίου Ο κλείνει όταν ( ) ( ) d τ ( ) d τ Αρχική τιμή του ρεύματος Ι () () graden I Στην πραγματικότητα, η τάση δεν μπορεί να συνεχίσει να αυξάνεται επ 'αόριστον. 5 () () κλίση Στην πραγματικότητα, το ρεύμα δεν μπορεί να συνεχίσει να αυξάνεται επ 'αόριστον. 6
I ( ) d d Από πρακτική άποψη, τα παραπάνω παραδείγματα έχουν περιορισμένη χρήση. Στην πράξη, πυκνωτές και πηνία θα έχουν και κάποια αντίσταση. Για παράδειγμα, δύο απλά ισοδύναμα κυκλώματα για έναν πυκνωτή είναι ανοίγει όταν Αυτό δεν είναι δυνατό για ένα πραγματικό σύστημα! Κύκλωμα σειράς () Το ρεύμα που διαπερνά το πηνίο δεν μπορεί να αλλάξει στιγμιαία. I () Παράλληλο κύκλωμα Ακόμα κι έτσι, όπως είδαμε, οι πραγματικές πηγές περιέχουν αντίσταση. Γι 'αυτό είναι σημαντικό να εξετάσουμε την μεταβατική απόκριση των (και ) κυκλωμάτων. 7 8 Κύκλωμα σειράς (Seres crcu) Η εξίσωση () είναι γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως που μπορούμε να λύσουμε με την προσθήκη της συμπληρωματικής συνάρτησης (complemenary funcon) με του ιδιαίτερου ολοκληρώματος (parcular negral). κλείνει όταν Πρώτα, θα ξαναγράψουμε την εξίσωση () ως ακολούθως d d () διέγερση Ο νόμος τάσης του Krchhoff δίνει: Για, όλες οι τάσεις και τα ρεύματα είναι μηδέν. Η πλήρης λύση αποτελείται από δύο μέρη: (3) Για >, έχουμε d d () 9 Βρίσκεται από το ιδιαίτερο ολοκλήρωμα Βρίσκεται από τη συμπληρωματική συνάρτηση
Για να βρούμε το ιδιαίτερο ολοκλήρωμα, λύνουμε την διαφορική εξίσωση στη σταθερή κατάσταση (seady sae). Όταν φτάσουμε στη σταθερή κατάσταση, σημαίνει ότι ο παραγωγός είναι μηδέν, άρα Φτάνουμε στην σταθερή κατάσταση σε άπειρο χρόνο. Όταν συμβαίνει αυτό, μπορούμε να πούμε ότι τα μεταβατικά σήματα είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι ο παράγωγος θα είναι μηδέν, επειδή δεν υπάρχουν χρονικά μεταβαλλόμενα σήματα. (4) (5) Για να βρούμε τη συμπληρωματική συνάρτηση, απενεργοποιούμε τη διέγερση. d d Λύνοντας την εξίσωση (7): Γράφοντας k ως d (6) k ln A έχουμε d d d ln k (7) σταθερά ln ln A ln Aexp A (8) (8) Η πλήρης λύση είναι Ae Η σταθερά Α βρίσκεται χρησιμοποιώντας τις οριακές συνθήκες (9) Η προηγούμενη εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως ( ) exp τ () ( ) a A A σταθερά χρόνου τ e () Από την (), βλέπουμε ότι η αρχική κατάσταση και η τελική κατάσταση είναι ( ) ( ) 3 4
τ ( ) exp Άσκηση Βρείτε την βηματική απόκριση ( c () και ()) του ακόλουθου κυκλώματος: τελική κατάσταση, μεταβατικός I e τ,8,6,4,,,63 αύξηση τ 4 6 8 τ.5 sec τ sec τ 4 sec I Υποθέτουμε ότι η αρχική τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι μηδέν (δηλαδή δεν έχει φορτωθεί εκ των προτέρων) Tme (s) 5 6