Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουος Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές ποαπότητες των ιδιοτιμών. Σχηματίζουμε το χαρακτηριστικό πουώνυμο: 3 p( ) de( I) + Οι ρίζες του θα είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Έτσι έχουμε 3 p ( ) + 3 Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιύσουμε το ομογενές σύστημα: + + 3 3 ( I) O ( ( 3) I) O 3 + Ο πίνακας συντεεστών του συστήματος δίνει με απαοιφή Gauss: 3+ 3 3 3+ 3 3 3+ 3 Επομένως καταήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: (3 + 3) + 3 Έχουμε μία εεύθερη μεταβητή επομένως η γενική ύση του συστήματος δίνεται από τη σχέση: ( 3 3) 3 3, R To πρέπει να είναι διάφορο του μηδενός γιατί δεν ορίζεται μηδενικό ιδιοδιάνυσμα. Επομένως τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή 3 δίνονται από τη σχέση 3 3, R
3 3 Όπως είναι φανερό, ο ιδιοχώρος V( ), R (εδώ το μπορεί να είναι ίσο με μηδέν γιατί ο ιδιοχώρος περιέχει πάντοτε και το μηδενικό διάνυσμα) παράγεται από 3 3 3 3 το δη. V ( ) span To διάνυσμα αυτό αποτεεί βάση του V ( ) και η γεωμετρική ποαπότητα της είναι dim V ( ) Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην δεύτερη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιύσουμε το ομογενές σύστημα: + 3 3 ( I) O ( ( + 3) I) O 3 + + Ο πίνακας συντεεστών του συστήματος δίνει με απαοιφή Gauss: 3 3 3 3 3 3 3 3 Επομένως καταήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: (3 3) + 3 Έχουμε μία εεύθερη μεταβητή επομένως η γενική ύση του συστήματος δίνεται από τη σχέση: ( 3+ 3) 3+ 3, R Έτσι κάθε ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή + 3 έχει την μορφή: 3+ 3, R 3+ 3 Όπως είναι φανερό, ο ιδιοχώρος V ( ) παράγεται από το δη. 3+ 3 V ( ) span To διάνυσμα αυτό αποτεεί βάση του V ( ) και η γεωμετρική ποαπότητα της είναι dim V ( )
Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές 3 ποαπότητες των ιδιοτιμών. Σχηματίζουμε το χαρακτηριστικό πουώνυμο: p( ) de( I3) + ( ) 3 Οι ρίζες του θα δώσουν τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. Έτσι έχουμε p ( ) 3 H έχει αγεβρική ποαπότητα ίση με, και η (ή η 3 ) έχει αγεβρική ποαπότητα ίση με. Παρατηρούμε ότι όπως είναι αναμενόμενο r( ) a + a + a + + 3 + + 33 3 3 Επίσης μπορούμε να επαηθεύσουμε τη σχέση 3, γεγονός που σημαίνει ότι ο πίνακας Α δεν είναι αντιστρέψιμος. Στο ίδιο συμπέρασμα μπορούμε να φτάσουμε παρατηρώντας το χαρακτηριστικό πουώνυμο από το οποίο απουσιάζει ο σταθερός όρος. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιύσουμε το ομογενές σύστημα: ( I3) O ( I3) O 3 3 Έτσι παίρνουμε τεικά τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην έχουν τη μορφή:, R 3 Για τον ιδιοχώρο V ( ) θα έχουμε V( ), R
Έτσι V ( ), R, R span Επειδή το διάνυσμα είναι γραμμικά ανεξάρτητο και παράγει το χώρο, αποτεεί βάση του V ( ) και επομένως η γεωμετρική ποαπότητα της θα είναι dim V ( ), (ίση με την αγεβρική ποαπότητά της). 3 Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στη δεύτερη (ή την τρίτη) ιδιοτιμή θα πρέπει να επιύσουμε το ομογενές σύστημα: ( I3) O ( I3) O 3 3 3 Επιύοντας το σύστημα παίρνουμε πως τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην (ή στην 3 )έχουν τη μορφή:, R 3 Για τους ιδιοχώρους V( ), V( 3) θα έχουμε V ( ) V ( 3), R, R span Επειδή το διάνυσμα είναι γραμμικά ανεξάρτητο και παράγει το χώρο, αποτεεί βάση των V ( ) και V ( 3 ) και επομένως η γεωμετρική ποαπότητα των, 3 θα είναι dim V( ) dim V( ), (μικρότερη από την αγεβρική τους ποαπότητα). 3 Παράδειγμα 3 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του πίνακα ιδιοτιμή είναι ακέραιος αριθμός. 9 39 6 6 63 38 δεδομένου ότι μία τουάχιστον
Το χαρακτηριστικό πουώνυμο του Α είναι το 3 p ( ) + 3 + 6 8 Για να ύσουμε την χαρακτηριστική εξίσωση p ( ) πρέπει να βρούμε μία παραγοντοποίηση του πουωνύμου p( ), το οποίο είναι τρίτου βαθμού. Η εργασία αυτή διευκούνεται διότι δίνεται ότι μία τουάχιστον ιδιοτιμή (επομένως και ρίζα του πουωνύμου) είναι ακέραια. Επειδή όοι οι συντεεστές του πουωνύμου είναι ακέραιοι αριθμοί, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι αν ένα πουώνυμο με ακέραιους συντεεστές έχει ακέραιες ρίζες τότε αυτές είναι διαιρέτες του σταθερού όρου. Έτσι στην περίπτωσή μας θα αναζητήσουμε την ακέραια ρίζα στους διαιρέτες του 8 δη. στους αριθμούς: ±, ±, ± 3, ±, ± 6, ± 8, ±, ± 6, ±, ± 8 Δοκιμάζουμε τους αριθμούς με τη σειρά μέχρι να βρούμε μία ρίζα του πουωνύμου: p( ) 6 p() 3 p( ) 6 p() p( 3) p(3) Επομένως ο αριθμός 3 είναι μία ρίζα του πουωνύμου. Στη συνέχεια για να παραγοντοποιήσουμε το πουώνυμο θα υποογίσουμε το πηίκο της διαίρεσης του p( ) με το 3. Αυτό θα γίνει εύκοα με το σχήμα Horner: - 3 6-8 3-3 8-6 Έτσι θα είναι τεικά p ( ) ( 3)( + 6) ( 3)( 6) ( 3)( + )( ) Επομένως η ύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης p ( ) δίνει τρείς ιδιοτιμές, τις: 3,, 3 Παράδειγμα Επαηθεύστε το θεώρημα Cayley-Hamilon χρησιμοποιώντας τον πίνακα Θα πρέπει να δείξουμε ότι p( ) O Το χαρακτηριστικό πουώνυμο του Α είναι το 5 p( ) de( I) 78 9 Είναι 5 9
p I ( ) 7 8 Όμως 5 5 3 9 9 63 Έτσι 3 5 p( ) 7 8 63 9 3 35 8 8 8 63 63 8 8 8 Επομένως το θεώρημα Cayley-Hamilon επαηθεύτηκε. Παράδειγμα 5 Δίνεται ο πίνακας. a) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα. b) Με τη χρήση του θεωρήματος Cayley-Hamilon να βρεθεί ο αντίστροφος του 3 αν υπάρχει. c) Να υποογισθεί ο συναρτήσει του. d) Να υποογιστούν οι ιδιοτιμές 3 και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα των πινάκων,, a) Το χαρακτηριστικό πουώνυμο του Α είναι το p( ) de( I) 5+ 6 Το χαρακτηριστικό πουώνυμο έχει ρίζες τις, 3 οι οποίες είναι και οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιύσουμε το ομογενές σύστημα: ( I) O ( I) O από το οποίο προκύπτει τεικά ότι το σύνοο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην έχει τη μορφή:, R Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στη δεύτερη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιύσουμε το ομογενές σύστημα: 3 ( I) O ( 3I) O 3
από το οποίο προκύπτει τεικά ότι το σύνοο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην έχει τη μορφή: /, R b) Επειδή δεν υπάρχει μηδενική ιδιοτιμή, ο πίνακας Α αντιστρέφεται. Το θεώρημα Cayley-Hamilon δίνει p ( ) 5 6 O + I O Ποαπασιάζοντας με από αριστερά έχουμε: 5 + 6 I O 5I + 6 O 6 5I ( 5I ) 6 5 6 6 c) 3 Για τον υποογισμό του εκτεούμε τη διαίρεση: 3 : p ( ) Η διαίρεση θα δώσει ένα πηίκο έστω π ( ) και ένα υπόοιπο, το οποίο θα είναι πουώνυμο βαθμού μικρότερου του διαιρέτη p( ). Στη συγκεκριμένη περίπτωση το υπόοιπο θα είναι πρώτου βαθμού, της μορφής: a + b Έτσι θα έχουμε: 3 p ( ) ( ) π + a+ b () Στη σχέση () αντικαθιστούμε με τη σειρά τις ιδιοτιμές, και από το σύστημα που προκύπτει προσδιορίζουμε τις άγνωστες σταθερές ab:, 3 p ( π ) ( ) + a+ b 3 p 3 () π () + a+ b a+ b () p ( ) π ( ) + a+ b 3 3 3 p(3) π (3) + 3a+ b 3 + (3) 3a b 3 Από () και (3) παίρνουμε τεικά 3 3 a 3 b 3 3 3 3 H () γίνεται p ( π ) ( ) + 3 + 3 3 ( ) ( ) 3 3 3 3 3
Θέτοντας όπου τον πίνακα Α και ποαπασιάζοντας τον σταθερό όρο με I έχουμε: 3 p ( ) 3 3 3 3 π ( ) + ( 3 ) + ( 3 3 ) I ( 3 ) ( 3 3 ) 3 3 3 3 3 + I d) Ο πίνακας θα έχει ιδιοτιμές τις 6 και 3 8 Αντίστοιχα για τον πίνακα οι ιδιοτιμές θα είναι οι /, /3 3 Ενώ για τον θα είναι οι 3 3 /8, /7 Σε όες τις περιπτώσεις τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές είναι τα ίδια με εκείνα που αντιστοιχούν στις, δη., R για την πρώτη /, R για την δεύτερη Παράδειγμα 6 5 3 Να εέγξετε αν οι πίνακες και B 3 των χαρακτηριστικών πουωνύμων τους. είναι όμοιοι κάνοντας χρήση Αν οι πίνακες,b είναι όμοιοι τότε θα πρέπει να έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά πουώνυμα ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει αναγκαστικά. Δηαδή αν βρούμε πως τα δύο χαρακτηριστικά πουώνυμα είναι διαφορετικά μεταξύ τους, μπορούμε να βγάουμε άμεσα το συμπέρασμα ότι οι πίνακες δεν είναι όμοιοι. Αν όμως τα χαρακτηριστικά πουώνυμα είναι ίσα μεταξύ τους δεν μπορούμε να βγάουμε κάποιο ασφαές συμπέρασμα και χρειάζεται να καταφύγουμε σε άες μεθόδους. Έχουμε οιπόν 5 3 p ( ) 3 και 3 p B ( ) 5+ Επειδή, όπως φαίνεται p ( ) p ( ) οι δύο πίνακες δεν είναι όμοιοι. B
Παράδειγμα 7 5 3 Να εέγξετε αν οι πίνακες και B είναι όμοιοι, κάνοντας χρήση των χαρακτηριστικών πουωνύμων τους και του ορισμού ομοιότητας. Αν οι πίνακες,b είναι όμοιοι τότε θα πρέπει να έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά πουώνυμα, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Έχουμε οιπόν 5 3 p ( ) 3 και p B ( ) 3 Επειδή p ( ) p ( ) δεν μπορούμε να βγάουμε ακόμα συμπέρασμα. B Θα δοκιμάσουμε να απαντήσουμε στο ερώτημα βάσει του ορισμού ομοιότητας δη. θα πρέπει να βρούμε έναν αντιστρέψιμο πίνακα P τέτοιον ώστε P BP P BP a b Έστω P c d Πρέπει να πρoσδιορίσουμε τους αγνώστους abcd,,, ώστε να ισχύει a b 5 3 a b c d c d 5a+ b 3ab a b 5c d 3c d c d + 5a+ b a a+ b 3a b b 3a 6b 5c+ d c 6c+ d 3c d d 3c d Η γενική ύση του συστήματος είναι η a s b s, s, R c d 3 Έτσι θα είναι s s P, s, R 3 Επιέγουμε π.χ. s και και παίρνουμε P 3 Εέγχουμε αν ο P που πήραμε είναι αντιστρέψιμος (αν όχι επιέγουμε κάποια άα s,).
Είναι de P 5 Άρα ο P είναι αντιστρέψιμος και ισχύει επαηθεύσουμε) Επομένως οι Α,Β είναι όμοιοι. P BP (μπορούμε να το Παράδειγμα 8 Δίνεται ο πίνακας του. 6 5. Αν αυτός διαγωνοποιείται, να βρεθεί μία διαγωνοποίησή Αρχικά βρίσκουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α. p ( ) 5+ 6 3 Επειδή έχουμε διακριτές ιδιοτιμές, ο πίνακας Α διαγωνοποιείται. Ιδιοδιανύσματα της, R 6 5 6 3 π.χ. για παίρνουμε το γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα (, ) Ιδιοδιανύσματα της 3 3 3, R 6 5 3 6 π.χ. για 3 παίρνουμε το γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα (, 3) Δημιουργούμε τον πίνακα P με στήες τα ιδιοδιανύσματα: P 3 και τον διαγώνιο πίνακα D με τις ιδιοτιμές ως διαγώνια στοιχεία: D 3 Τότε θα είναι PDP 3 3 3
Παράδειγμα 9 8 Δίνεται ο πίνακας 3. Αν αυτός διαγωνοποιείται, να βρεθεί μία διαγωνοποίησή του. Επειδή ο πίνακας είναι τριγωνικός, οι ιδιοτιμές του ταυτίζονται με τα διαγώνια στοιχεία του. Έτσι είναι:,, 3 Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην, ύνουμε το σύστημα: 8 8 3 3 3 3, R 3 Όπως φαίνεται V () span δη dim V () διάφορο από την αγεβρική ποαπότητα της ιδιοτιμής. Επομένως ο πίνακας Α δεν διαγωνοποιείται. (Δεν χρειάζεται να υποογίσουμε τα ιδιοδιανύσματα της 3 ) Παράδειγμα a) Να βρεθεί ένας πίνακας M ( R), ο οποίος έχει ιδιοτιμές τις 3,, 3 v,,, v (,,), v (,3,) b) Να βρεθεί μία και αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα τα ( ) 5 διαγωνοποίηση των πινάκων και c) Να υποογισθεί η τιμή του μία διαγωνοποίηση του πίνακα B 3 + I 5 d) Να βρεθεί a) Επειδή ο πίνακας Α έχει διακριτές ιδιοτιμές θα διαγωνοποιείται. Επομένως θα μπορεί να γραφεί ως PDP με D και P 3 Υποογίζουμε τον αντίστροφο του P π.χ. με τον επαυξημένο πίνακα:
/ / 3/ 3 Gauss Jordan 3/ / 3/ / / / Έτσι / / 3/ / / 3/ PDP 3 3/ / 3/ 3/ 5/ 3/ / / / b) Θα είναι PDP PD P ( ) 3 3 Επίσης επειδή οι ιδιοτιμές του Α είναι διάφορες του μηδενός, ο Α αντιστρέφεται, επομένως θα ισχύει 5 5 PDP PD P 5 ( ) 5 5 3 3 5 5 c) Για τον υποογισμό του έχουμε όγω της διαγωνοποίησης: 5 5 PDP PD P 5 ( ) / / 3/ 5 5 3 3/ / 3/... 5 / / / 3 3 5 3 5 3 3 5 + 5 5 5 + 3 d) Θα είναι B 3 + I B 3PD P + PDP PIP B P(3D P + DP IP ) B P(3D + D I) P Όμως είναι
( ) 3D + D I 3 + 3 5 5 Έτσι η διαγωνοποίηση του Β γράφεται ως 3 B 3 5 3 5