Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής Δεν υπάρχει πρόβλημα που δεν μπορεί να επιλυθεί François Viète (540-603) Υπάρχει το πρόβλημα, αναζητήστε τη λύση του, η ορθότητα των προτάσεων είναι αδύνατον να μην μπορεί να ανακαλυφθεί, γιατί στα μαθηματικά δεν υπάρχει ignorabimus Η κοινότητα των Μαθηματικών είναι σύμφυτη με τη φύση αυτής της επιστήμης, γιατί τα μαθηματικά είναι η βάση (το θεμέλιο) όλης της γνώσης των φυσικών φαινομένων Δηλαδή, αυτό μπορεί να εκπληρώσει πλήρως αυτήν την υψηλή αποστολή, μπορεί ο νέος αιώνας να φέρει masters, πολύ ζήλο και ενθουσιασμό σε νέους μαθητές David Hilbert (86-943)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνονται όλοι οι ορισμοί, οι ιδιότητες και οι πράξεις που σχετίζονται με την έννοια της συνάρτησης μίας πραγματικής μεταβλητής Παρουσιάζονται ειδικές κατηγορίες πραγματικών συναρτήσεων, όπως είναι οι εκθετικές, οι λογαριθμικές, οι τριγωνομετρικές, οι υπερβολικές καθώς και οι αντίστροφες συναρτήσεις αυτών και αναφέρονται οι σημαντικότερες ιδιότητές τους Συναρτήσεις Ο κόσμος ολόκληρος είναι γεμάτος από σχέσεις μεταξύ ποσοτήτων και η θεμελιώδης έννοια-εργαλείο για την κατανόηση αυτών των σχέσεων είναι εκείνη της συνάρτησης Στη Μηχανική, λέμε ότι, η ταχύτητα vt (), η επιτάχυνση at () είναι συναρτήσεις του χρόνου t, ή είναι συναρτήσεις της θέσης και γράφουμε v ( ) και a, ( ) αντίστοιχα Στην επεξεργασία σήματος, το πλάτος ενός πραγματικού σήματος t () είναι συνάρτηση του συνεχούς χρόνου t Στα ηλεκτρικά κυκλώματα, λέμε ότι, η τάση του ρεύματος Vt () είναι συνάρτηση του χρόνου, η ένταση του ρεύματος I( R ) είναι συνάρτηση της αντίστασης R Στην Οικονομία, η συνάρτηση της ζήτησης D( p ) και της προσφοράς S( p ) είναι συναρτήσεις της τιμής p του προϊόντος, κλπ Ορισμός Μία συνάρτηση (function) f από ένα μη κενό σύνολο A σε ένα μη κενό σύνολο B είναι ένας κανόνας f, που αντιστοιχεί κάθε στοιχείο του συνόλου A ακριβώς σε ένα και μόνο ένα στοιχείο y του συνόλου B, και συμβολίζεται f : A B Το στοιχείο ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή (independent variable) ή πρότυπο και το στοιχείο y, που αντιστοιχεί στο, ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή ή εικόνα του και συμβολίζεται ως f( ) Το σύνολο A όλων των ονομάζεται πεδίο ορισμού (domain of definition) της f και το σύνολο B όλων των εικόνων f( ) πεδίο τιμών (domain of range) της f Το σύνολο τιμών (set of range) της συνάρτησης f : A B είναι το σύνολο { } { } f( A) = y B: υπάρχει A, ώστε y = f( ) = f( ) : A () Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A και πεδίο τιμών το B διαβάζεται «συνάρτηση από το A στο B» Στη συνέχεια, τα σύνολα A, B είναι υποσύνολα του συνόλου των πραγματικών αριθμών και γι αυτό θα αναφερόμαστε στην πραγματική συνάρτηση f της πραγματικής μεταβλητής Επιπλέον, αν δεν ενδιαφέρει ο ακριβής υπολογισμός του συνόλου τιμών της f γράφουμε ότι το πεδίο τιμών της συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών Μία συνάρτηση f είναι γνωστή, όταν ο τύπος (κανόνας) που δίνει την εικόνα f( ) είναι γνωστός Πολλές φορές για λόγους απλότητας ταυτίζουμε, στο προφορικό αλλά και στο γραπτό λόγο, την έννοια της συνάρτησης f με τον τύπο της f( ), λέγοντας ότι «δίνεται η συνάρτηση f( )» ενώ το ορθό είναι «δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( )» Επίσης στη βιβλιογραφία, ο όρος συνάρτηση χρησιμοποιείται και ως «απεικόνιση», στη συνέχεια χρησιμοποιείται μόνο ο όρος «συνάρτηση»

Παραδείγματα i) Έστω τα σύνολα {,,3} A = και { 3,5,8,} B = Η αντιστοιχία 5, 3, 3 μπορεί να αποτελεί μία συνάρτηση f από το Α στο Β, όπου f() = 5, f() = 3 και f (3) = με πεδίο τιμών το σύνολο Β και σύνολο τιμών το f( A ) = { 3,5,} Ενώ, η αντιστοιχία δεν αποτελεί συνάρτηση, αφού στην πραγματική τιμή αντιστοιχούν δύο διαφορετικές τιμές 3 και 5, δηλαδή, f () = 3 και f () = 5 ii) Αν A = { 3,0,,4} και { 5,,3,6,8} B =, η αντιστοιχία f( 3) = 3, f(0) =, f () = 3 και f (4) = 6, όπως και η αντιστοιχία g( 3) = g(0) = g() = 6 και g (4) = 8 αποτελούν συναρτήσεις από το σύνολο Α στο σύνολο Β Το σύνολο τιμών της f είναι το ( ) {,3,6} f A = και της g είναι το g( A ) = { 6,8}, ενώ το πεδίο τιμών τους είναι το Β iii) Έστω c Η συνάρτηση f : με f( ) = c για κάθε ονομάζεται σταθερή συνάρτηση (constant function) με σύνολο τιμών το μονοσύνολο { c } Στην περίπτωση που f( ) = 0 για κάθε, η σταθερή συνάρτηση ονομάζεται μηδενική iv) Έστω A Η συνάρτηση f : A A με f( ) =, για κάθε A, ονομάζεται ταυτοτική συνάρτηση (identity function) στο σύνολο Α και συμβολίζεται με I A Έτσι, IA( ) =, για κάθε A v) Η συνάρτηση f : με f( ) = έχει σύνολο τιμών τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή το [0, + ) Γενικότερα, μία συνάρτηση f, η οποία ορίζεται με τη βοήθεια ενός πολυωνύμου, δηλαδή, ο τύπος είναι n n f( ) = a n + an + + a + a0, όπου ai, i= 0,,, n, ονομάζεται πολυωνυμική συνάρτηση n βαθμού έχει πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών Ειδικότερα, η πρώτου ( n ) βαθμού συνάρτηση f( ) = a + a0, όπου a, a0, ονομάζεται γραμμική 3 Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις f( ) = 3 5+ 7, g ( ) = 3+, h ( ) = 3 5, και 0 z ( ) = = είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις δευτέρου ( n ), τρίτου ( n 3), πρώτου ( n ) και 3 3 μηδενικού ( n 0 ) βαθμού, αντίστοιχα a vi) Έστω a πραγματικός αριθμός με a 0 Η συνάρτηση f : {0} με f( ) = έχει πεδίο ορισμού όλους τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς, ώστε η εικόνα f( ) να ορίζεται, δηλαδή, να είναι πραγματικός αριθμός (βλέπε, Παράδειγμα 4 (iv) ) Γενικότερα, μία συνάρτηση f : A της οποίας ο τύπος δίνεται ως πηλίκο πολυωνύμων, όπου n P( ) = a + a + + a+ a και n n n 0 P ( ) f( ) =, Q ( ) m Q( ) = b + b + + b+ b, με a, b, m m m 0 i= 0,,, n, j = 0,,, m, ονομάζεται ρητή συνάρτηση κι έχει πεδίο ορισμού όλους τους πραγματικούς αριθμούς εκτός των ριζών του Q, ( ) δηλαδή { : ( ) 0} A= Q () i j 3

Για παράδειγμα, η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού A = {0} f( ) = είναι μία ρητή συνάρτηση, οπότε από () είναι φανερό ότι + 4 Επίσης, η ρητή συνάρτηση g ( ) = έχει πεδίο ορισμού A = {,3}, επειδή οι ρίζες του 5+ 6 πολυωνύμου στον παρονομαστή είναι και 3 Εδώ να σημειωθεί ότι το πεδίο ορισμού μπορεί να γραφεί κι ως ένωση διαστημάτων: {,3 } = (,) (,3) (3, + ) vii) Η συνάρτηση f : A με f( ) = έχει πεδίο ορισμού A= { : 0 } = { : } = [, + ), επειδή η τετραγωνική ρίζα (και κάθε άρτιας τάξης ρίζα) έχει νόημα μόνο για μη αρνητικές ποσότητες 3 Η συνάρτηση g: A με g ( ) = ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό, δηλαδή, A = + 7 viii) Η συνάρτηση f : A με f( ) = ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για 5+ 6 τους οποίους δεν μηδενίζεται ο παρονομαστής και έχει νόημα το ριζικό, δηλαδή, A= : 5+ 6 > 0 = : ( )( 3) > 0 =, 3, + { } { } ( ) ( ) 3 4 Η συνάρτηση g: A με g ( ) = ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό, δηλαδή, A =, + επειδή ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό (παρατηρήστε ότι το + έχει διακρίνουσα = 3< 0 και η υπόρριζη ποσότητα + είναι πάντοτε θετική, επειδή είναι ομόσημη του συντελεστή του ) i) Η συνάρτηση f : {0,} με, αν f( ) = 0, αν ονομάζεται συνάρτηση Dirichlet, όπου είναι το σύνολο των ρητών αριθμών Ορισμός 3 Μία συνάρτηση f : A ονομάζεται αμφιμονοσήμαντη ή αμφιμονότιμη (injective), όταν σε διαφορετικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής A αντιστοιχούν διαφορετικές εικόνες, δηλαδή, όταν για κάθε, A ισχύει f( ) f( ) Παρατήρηση 4 i) Από τον προτασιακό λογισμό γνωρίζουμε ότι για δύο λογικές προτάσεις pq,, η πρόταση «p q» είναι ισοδύναμη με την πρόταση «όχι q όχι p» Θεωρώντας ως πρόταση p : έστω, A με και πρόταση q : f( ) f( ), η σχέση στον Ορισμό 3 είναι ισοδύναμη με f( ) = f( ) = (3) Επομένως, μία συνάρτηση f : A είναι αμφιμονοσήμαντη όταν για τυχαία, A επαληθεύεται η συνεπαγωγή στην (3) ii) Γεωμετρικά καταλαβαίνουμε ότι μία συνάρτηση είναι αμφιμονοσήμαντη, όταν οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη στον '0 τέμνει την καμπύλη της συνάρτησης σε ένα μόνο σημείο Παραδείγματα 5 i) Η συνάρτηση f : με f( ) = + 3 είναι αμφιμονοσήμαντη Πράγματι, αν θεωρήσουμε δύο τυχαία, για τα οποία ισχύει f( ) = f( ), τότε από τον ορισμό 4

της συνάρτησης έχουμε f( ) = f( ) + 3= + 3 = το οποίο επαληθεύει την (3) ii) Η συνάρτηση f : με f( ) = δεν είναι αμφιμονοσήμαντη, επειδή υπάρχουν, τουλάχιστον δύο διαφορετικά = 5 και = 5 με f(5) = 5 = f( 5) κι επομένως δεν ισχύει ο Ορισμός 3 iii) Η συνάρτηση, f( ) = =, < είναι αμφιμονοσήμαντη Πράγματι, αν, με f( ) = f( ), τότε από τον ορισμό της f έχουμε = =, το οποίο επαληθεύει την (3) Αν, < με f( ) = f( ), τότε από τον ορισμό της f έχουμε = =, το οποίο επαληθεύει την (3) Τέλος, αν και <, (άρα, ) είναι φανερό ότι f( ) f( ), το οποίο επαληθεύει τη σχέση στον Ορισμό 3 Επομένως, σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις, αποδεικνύεται ότι σε διαφορετικά αντιστοιχούν διαφορετικές εικόνες f( ) Ορισμός 6 Μία συνάρτηση f : A B ονομάζεται επί (surjective) του Β, όταν το σύνολο τιμών της ταυτίζεται με το σύνολο Β, δηλαδή, όταν ισχύει f ( A) = B Ισοδύναμα, μία συνάρτηση f : A B είναι επί του Β, όταν κάθε στοιχείο του συνόλου Β είναι εικόνα ενός τουλάχιστον στοιχείου από το σύνολο Α, δηλαδή, όταν για κάθε y B υπάρχει A, τέτοιο ώστε f( ) = y Παραδείγματα 7 i) Η συνάρτηση f : [0, + ) με f( ) = είναι επί του συνόλου B = [0, ) αριθμός a είναι εικόνα μέσω της f του a, δηλαδή, f ( ) = [0, + ) +, αφού κάθε θετικός Ενώ, αν ο ίδιος τύπος της συνάρτησης f( ) = δίνονταν ως f :, τότε αυτή δεν είναι επί του Πράγματι, ένας οποιοσδήποτε αρνητικός αριθμός, για παράδειγμα ο y = δεν αποτελεί εικόνα κανενός πραγματικού αριθμού μέσω της f( ) =, επομένως στη περίπτωση αυτή f ( ) και η f δεν είναι επί ii) Η συνάρτηση f : με f ( ) = a + b είναι επί του y b y b Πράγματι, για κάθε y υπάρχει =, τέτοιο ώστε f( ) = f = y Έτσι, f ( ) = a a και η συνάρτηση είναι επί του Ορισμός 8 Μία συνάρτηση f : A B, η οποία είναι αμφιμονοσήμαντη και επί του Β ονομάζεται ένα προς ένα Στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι ένα προς ένα γράφουμε ότι η f είναι - (one-to-one) 5

Παραδείγματα 9 i) Η συνάρτηση f : με f( ) = + 3 είναι - (βλέπε, Παράδειγμα 5 (i) και Παράδειγμα 7 (ii)) Γενικότερα, κάθε γραμμική συνάρτηση f ( ) = a + b είναι - ii) Έστω η συνάρτηση f :, όπου το σύνολο των ακεραίων αριθμών, το σύνολο των φυσικών αριθμών, και για m η συνάρτηση ορίζεται 0, αν m = 0 f( m) = m, αν m> 0 m +, αν m < 0 Η συνάρτηση f είναι επί του συνόλου, δηλαδή, f ( ) =, επειδή για κάθε έχουμε: αν = n, υπάρχει n έτσι ώστε f( n) = n=, αν = n+, υπάρχει n έτσι ώστε f( n) = n+ = Επειδή η f είναι γραμμική, σύμφωνα με το (i) η f είναι αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση, επομένως είναι μία - συνάρτηση iii) Αν μία συνάρτηση f : A B είναι αμφιμονοσήμαντη, τότε η συνάρτηση ( ) f : A f A είναι μία - συνάρτηση Στο Παράδειγμα (i) η αντιστοιχία 5, 3, 3, ορίζει μία συνάρτηση f, που είναι μία αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση με f ( A ) = { 5, 3,} Συνεπώς, η συνάρτηση είναι - f :{,,3} { 3,5,} Οι συναρτήσεις μεταξύ δύο συνόλων Α και Β, όταν είναι είτε αμφιμονοσήμαντες είτε επί μας δίνουν τη δυνατότητα να «μετρήσουμε» ποιο από τα δύο σύνολα έχει περισσότερα στοιχεία Το πλήθος στοιχείων ενός συνόλου Α λέγεται πληθικός αριθμός του Α και συμβολίζεται με A Όταν μία συνάρτηση f : A B είναι -, τότε τα σύνολα Α και Β ονομάζονται ισοπληθή και σημειώνεται A = B Στο Παράδειγμα 9 (ii) τα σύνολα των ακέραιων και φυσικών αριθμών είναι ισοπληθή, δηλαδή =, εφόσον υπάρχει μία - συνάρτηση μεταξύ τους Κάθε σύνολο Α το οποίο είναι ισοπληθές με το σύνολο των φυσικών αριθμών λέγεται αριθμήσιμο Από το Παράδειγμα 9 (iii), όταν f : A B A = f A, επομένως, είναι αμφιμονοσήμαντη, τότε ( ) A = f ( A) B Ενώ, όταν η συνάρτηση f : A B είναι επί του B, τότε A B, εφόσον κάθε στοιχείο του Β είναι η εικόνα τουλάχιστον ενός στοιχείου από το σύνολο Α Ορισμός 0 Για δύο στοιχεία α, b (για παράδειγμα, διατεταγμένο ζεύγος ( ab, ), δηλαδή, ( ab, ) { a, { ab, }} = ab ) ορίζουμε το σύνολο {,{, }} a ab ως το Δηλαδή, το διατεταγμένο ζεύγος ( ab, ) είναι ένα ζεύγος στοιχείων α, b, όπου έχουμε καθορίσει (διατάξει) ποιο στοιχείο θα γραφεί πρώτο και ποιο θα γραφεί δεύτερο Προφανώς, το διατεταγμένο ζεύγος ( ab, ) είναι διαφορετικό από το ( ba, ), επειδή τα σύνολα a, { ab, } και b, { ab, } είναι διαφορετικά μεταξύ τους, (εκτός αν a = b) { } { } 6

Ορισμός Έστω Α και Β είναι δύο μη κενά σύνολα Το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών ( ab, ) με a A και b B ονομάζεται καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων Α και Β και συμβολίζεται με A B Δηλαδή, A B= ab, : a A και b B {( ) } Παράδειγμα Έστω A= { abc,, }, {, } A B {( a,), ( a,), ( b,), ( b,), ( c,), ( c,) } B = Το καρτεσιανό γινόμενο A B είναι = Ενώ, το καρτεσιανό γινόμενο B A είναι B A= {(, a), (, b), (, c), (, a), (, b), (, c) } Εδώ παρατηρήστε ότι, B A A B, δηλαδή, δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο καρτεσιανό γινόμενο κι επομένως, στο καρτεσιανό γινόμενο παίζει καθοριστικό ρόλο ποιο σύνολο γράφεται πρώτο και ποιο δεύτερο Επίσης, μπορούμε να δημιουργήσουμε το καρτεσιανό γινόμενο A A για κάθε μη κενό σύνολο Α Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα ορίζονται τα ακόλουθα καρτεσιανά γινόμενα A A= {( aa, ), ( ab, ), ( ba, ), ( ac, ), ( ca, ), ( bb, ), ( bc, ), ( cb, ), ( cc, )}, B B= {(,), (,), (,), (,)} Επιπλέον, αν A = m και B = n, τότε A B = mn, (βλέπε, Παράδειγμα ), εφόσον τόσοι είναι και οι τρόποι να συνδυαστούν τα m-στοιχεία του Α με τα n-στοιχεία του Β Ορισμός 3 Έστω Α και Β δύο υποσύνολα του και η συνάρτηση f : A B Το σύνολο Gf = {(, f( ) ) : A} A B ονομάζεται γράφημα ή γραφική παράσταση της f Η γραφική παράσταση G της f είναι το σύνολο των σημείων M( y, ) ( f, ( ) ) f = πάνω στο επίπεδο 0y, το οποίο ορίζεται από ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Δηλαδή, το γράφημα της f είναι το σύνολο σημείων M( y, ) του επιπέδου 0 συναποτελούν μία καμπύλη γραμμή επί του επιπέδου G f y που ικανοποιούν την εξίσωση y = f( ) και Παραδείγματα 4 i) Η γραφική παράσταση της γραμμικής συνάρτησης f ( ) = a + b, ab, είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου, που ικανοποιούν την εξίσωση y = a + b, τα οποία συναποτελούν μία ευθεία γραμμή ε, (βλέπε, Σχήμα ) Η ευθεία ε b τέμνει τον άξονα '0 στο σημείο A,0 a τέμνει τον άξονα y'0y στο σημείο B( 0, b ) Αν M(, y ) και M(, y ) δύο τυχαία σημεία επί της ε, τότε ισχύει y y = a Ο αριθμός α λέγεται κλίση (slope) ή συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε και ταυτίζεται με τον τριγωνομετρικό αριθμό της εφαπτομένης tan( ω ), όπου ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα '0 κατά τη θετική φορά γραφής (δηλαδή, την αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ρολογιού) 7

Αν a = 0, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f( ) = b, της οποίας η γραφική παράσταση είναι μία ευθεία παράλληλη προς τον άξονα '0, με εξίσωση y = b, η οποία τέμνει τον άξονα y'0y στο σημείο (0, b ) Σχήμα : H ευθεία ε είναι η γραφική παράσταση της f ( ) a b ii) Έστω abc,,, με a 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) = a + b + c, για κάθε, είναι μία παραβολή, (βλέπε, Σχήμα - 3) Η παραβολή τέμνει τον άξονα y'0y στο σημείο A( 0, c ) Αν υπάρχουν κοινά σημεία της παραβολής με τον άξονα '0 εξαρτάται από το πρόσημο της διακρίνουσας = b 4ac b Αν > 0, τότε η παραβολή τέμνει τον άξονα '0 στα σημεία X,0 a και b + X,0 a b Αν = 0, τότε η παραβολή εφάπτεται στον άξονα '0 στο σημείο X,0 a Αν < 0, η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα '0 b Η κορυφή της καμπύλης βρίσκεται στο σημείο C, a 4 a Η κυρτότητα της παραβολής εξαρτάται από το πρόσημο του a Όταν a 0, η παραβολή στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω (κυρτή), (βλέπε, Σχήμα ), ενώ όταν a 0, η παραβολή στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω (κοίλη), (βλέπε, Σχήμα 3) Η καμπυλότητα της παραβολής εξαρτάται από το πρόσημο και το μέτρο του a Για a 0 και με το μέτρο του a να αυξάνει, οι γραφικές παραστάσεις των παραβολών f( ) =, f ( 4 3 = παρουσιάζονται στο Σχήμα, (για το σχεδιασμό βλέπε function parabola) Για 8

a 0 και με το μέτρο του a να αυξάνει, οι γραφικές παραστάσεις των παραβολών g ( ) g ( ) 3 3 = παρουσιάζονται στο Σχήμα 3 = και g( ) =, Σχήμα : Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f( ) =, f ( ) ( ) = 4 3 = και f 9

Σχήμα 3: Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g( ) =, g ( ) = και g ( ) = 3 3 iii) Έστω a πραγματικός αριθμός με a 0 Στο Σχήμα 4 αναπαριστάνεται η γραφική παράσταση της 3 συνάρτησης f ( ) = a, για θετικές και αρνητικές τιμές του a 0 και Στο Σχήμα 4(α) παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης Σχήμα 4(b) η γραφική παράσταση της f( ) 3 =, ( 0 f( ) a < ) 3 =, ( 0 a > ), όταν [ 3,3], και στο (α) : για a > 0 (b) για a < 0 Σχήμα 4: H γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) 3 = a 0

iv) Έστω a πραγματικός αριθμός με a 0 Στο Σχήμα 5 αναπαριστάνεται η γραφική παράσταση της ρητής a συνάρτησης f( ) =, για θετικές και αρνητικές τιμές του a 0 και {0}, (βλέπε, Παράδειγμα (vi)) Η γραφική παράσταση αποτελείται από τους δύο κλάδους ισοσκελούς υπερβολής και εξαρτάται από το 4 a Στο Σχήμα 5(α) παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) =, ( a > 0 ), όταν 4 [ 5,5], ενώ στο Σχήμα 5(b) η γραφική παράσταση της f( ) =, ( a < 0 ) (α) : για a > 0 (b) για a < 0 a Σχήμα 5: H γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) =

Πράξεις μεταξύ συναρτήσεων Σύνθετη και αντίστροφη συνάρτηση Στην ενότητα αυτή θα ορίσουμε τις πράξεις άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο και σύνθεση μεταξύ συναρτήσεων, με τη βοήθεια των οποίων είτε παράγουμε νέες συναρτήσεις, είτε «αναλύουμε» πολύπλοκες συναρτήσεις σε επιμέρους απλούστερες συναρτήσεις Αρχικά διατυπώνουμε τον ορισμό ισότητας ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις Ορισμός Δύο συναρτήσεις f : A και g: B είναι ίσες αν i) A= B, και ii) f( ) = g ( ), για κάθε A Συμβολίζουμε την ισότητα με f = g Ορισμός Έστω δύο συναρτήσεις f : A C και g: B C με B A Η συνάρτηση f ονομάζεται επέκταση (etension) της g στο Α, ή η συνάρτηση g ονομάζεται περιορισμός (restriction) της f στο B, αν ισχύει f( ) g ( ), για κάθε B και συμβολίζεται f g B Ορισμός 3 Έστω δύο συναρτήσεις f : A και g: B με A B i) Η συνάρτηση h: A B με τύπο h ( ) = f( ) + g ( ), για κάθε A B ονομάζεται άθροισμα των συναρτήσεων f και g και συμβολίζεται με f + g ii) Η συνάρτηση h: A B με τύπο h ( ) = f( ) g ( ), για κάθε A B ονομάζεται γινόμενο των συναρτήσεων f και g και συμβολίζεται με f g iii) Αν c, η συνάρτηση h: A με τύπο h ( ) = cf( ), για κάθε A ονομάζεται γινόμενο του αριθμού c επί τη συνάρτηση f και συμβολίζεται c f iv) Έστω C { B: g ( ) 0} = και D= A B C Η συνάρτηση h: D, με τύπο κάθε D ονομάζεται πηλίκο των συναρτήσεων f και g και συμβολίζεται με f g f( ) h ( ) =, για g ( ) Παραδείγματα 4 i) Έστω οι συναρτήσεις f( ) = 3,, και g ( ) =, [0, + ) Τότε ( f + g) ( ) = 3+ = + 3, για κάθε [0, + ) ii) Έστω οι συναρτήσεις f( ) =,, και g ( ) = 3, Τότε f g ( ) = ( )( 3) = 5+ 6, για κάθε ( ) iii) Έστω οι συναρτήσεις f( ) =, [, + ), και g ( ) = 5, Τότε f ( ) =, για κάθε [, 5) ( 5, + ) g 5 3 iv) Έστω f( ) = + 3 + 4, Τότε f ( ) = + 6 4+ 8, για κάθε ( ) 3

Παρατηρήσεις 5 i) Οι πράξεις μεταξύ δύο συναρτήσεων f : A και g: B έχουν νόημα μόνο όταν A B, ώστε να μπορούν να ορίζονται και οι δύο σε ένα κοινό σύνολο, το A B (ή σε ένα υποσύνολο της τομής) ii) Όπως ορίζεται το άθροισμα και το γινόμενο μεταξύ δύο συναρτήσεων, με ανάλογο τρόπο ορίζεται και το άθροισμα και το γινόμενο ανάμεσα σε n-συναρτήσεις Έστω fi : Ai, Ai, i=,,, n ως εξής: αν A= A A An, τότε ( f + f + + fn) ( ) = f( ) + f( ) + + fn( ), για κάθε A, ( f f fn) ( ) = f( ) f( ) fn( ), για κάθε A iii) Μία ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο πολυωνυμικών συναρτήσεων (βλέπε, Παραδείγματα (v) και (vi) ) Ορισμός 6 Έστω οι συναρτήσεις f : A B και g: C D, όπου f( A) C Η συνάρτηση h: A D, για την οποία ισχύει : f g h A f( A) D, έτσι ώστε f g f( ) = y z = g( y) = g( f( ) ) = h( ), ονομάζεται σύνθετη συνάρτηση ή σύνθεση (composition) των συναρτήσεων f και g και συμβολίζεται με g f, (βλέπε, Σχήμα 6) Η σύνθεση δύο συναρτήσεων αποτελεί μία πράξη μεταξύ τους Η συνθήκη f( A) C δείχνει αναγκαία προκειμένου να γίνει το «πέρασμα» από το σύνολο f( A ) στο σύνολο D μέσω της συνάρτησης g, (βλέπε, Παραδείγματα 7 (i) και (ii) ) Όπως διαπιστώνουμε από το Παράδειγμα 7 (iii), όταν ισχύει η γενικότερη συνθήκη f( A) C, μπορεί να οριστεί η σύνθεση g f των συναρτήσεων f και g, αρκεί από την απαίτηση f( A) Cνα καθοριστεί το πεδίο ορισμού της σύνθετης συνάρτησης, το οποίο είναι γενικά υποσύνολο του Α (του πεδίου ορισμού της f ) Σχήμα 6: H σύνθετη συνάρτηση h g f Τέλος, ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη σειρά γραφής της σύνθεσης των συναρτήσεων, μία και έχει σημασία ποια συνάρτηση γράφουμε πρώτη και ποια δεύτερη, επειδή η πράξη της σύνθεσης συναρτήσεων δεν επαληθεύει την αντιμεταθετική ιδιότητα, όπως επαληθεύεται στο Παράδειγμα 7 (iv) Παραδείγματα 7 D = και οι συναρτήσεις f : A B, με f( ) =, A, και g: C D, με g ( ) = +, C i) Έστω τα σύνολα A = {,,3,4}, B = { 0,,,3, 4,5}, C = { 0,,,3,5, 6} και {,,3, 4,5,0, 6,37, 40} 3

Επειδή { } { } { } f( A) C = 0,,,3 0,,,3,5,6 = 0,,,3 C, δημιουργούμε τη σύνθετη συνάρτηση g f : A D με τύπο ii) Έστω οι συναρτήσεις f : ( ) ( ) g f ( ) = g f( ) = g ( ) = ( ) + = +, A, με f ( ) = +, και g :[0, + ), με g ( ) = Επειδή 0 f( ), είναι φανερό ότι f ( ) = [, + ), από όπου προκύπτει f ( ) [0, + ) = [, + ) Η σύνθεση g f των συναρτήσεων f και g ορίζεται για κάθε, ως ακολούθως ( ) f g f g f g ( ) = + ( ) = ( + ) = + Συνεπώς, η σύνθετη συνάρτηση g f : έχει τύπο ( g f ) ( ) = + iii) Έστω οι συναρτήσεις f :, με f( ) =, και g :[0, + ), με g ( ) = Επειδή f ( ) =, είναι φανερό ότι η προϋπόθεση του εγκλεισμού του συνόλου τιμών της f στο πεδίο ορισμού της g, δεν επαληθεύεται Επειδή f( A) [0, + ), για να οριστεί η σύνθεση g f, πρέπει να υπολογιστεί κατάλληλο πεδίο ορισμού Α της f, ώστε f( A) [0, + ) Από την τελευταία απαίτηση έχουμε f( ) = 0, ή ισοδύναμα Επομένως, η σύνθετη συνάρτηση g f ορίζεται μόνο για [, + ), και όχι στο πεδίο ορισμού της f, οπότε έχουμε f g [, + ) [0, + ) Η σύνθεση g f των συναρτήσεων f και g ορίζεται για κάθε [, + ), ως ακολούθως f g f( ) = g( f( )) = g( ) = Συνεπώς, η σύνθετη συνάρτηση g f :[, + ) έχει τύπο ( g f )( ) = Παρατηρήστε ότι, η απαίτηση ορισμού της σύνθετης συνάρτησης g f καθόρισε το πεδίο ορισμού της να είναι το [, + ) iv) Έστω οι πολυωνυμικές συναρτήσεις f( ) =, και g ( ) = + 3 Θα ορίσουμε (αν αυτό είναι δυνατό) τις σύνθετες συναρτήσεις g f, f g και f f Επειδή f : και g :, (ως πολυωνυμικές) για τη σύνθετη συνάρτηση g f έχουμε ( ) ( ) f g f( ) = g( f( )) = g( ) = + 3 = 4 + 3 Δηλαδή, g f : g f ( ) = 4 + 3, με ( ) Για τη σύνθετη συνάρτηση f g έχουμε ( ) g f g f g f ( ) = + 3 ( ( )) = ( + 3 ) = + 3 = + 6 3 Δηλαδή, f g: f g ( ) = + 6 3, με ( ) Από τους παραπάνω τύπους των σύνθετων συναρτήσεων g f, f g είναι φανερό ότι ο Ορισμός δεν επαληθεύεται, συνεπώς g f f g, από όπου συμπεραίνεται ότι δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στη σύνθεση συναρτήσεων Για τη σύνθεση συνάρτηση f f, όπου f :, έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) f f ( ) = f f( ) = f = = 4 3,, 3 v) Θεωρώντας τις συναρτήσεις f( ) = + και g ( ) = 3, > 3 μπορεί να οριστεί η σύνθεση g f, για την οποία έχουμε:, επειδή f :, και g :, 4

( ) ( ) f ( ), f( ) 3 +, f( ) 3 ( g f )( ) = g( f( ) ) = = 3 f( ), f( ) > 3 3 +, f( ) > 3 Έτσι για τη σύνθετη συνάρτηση g f μπορούμε να γράψουμε: 4 + 4, + 3 4 + 4, g f ( ) = = 6+, + > 3 6+, > ( ) Ορισμός 8 Έστω f : A B μία - συνάρτηση Η συνάρτηση g: B g( y) A, για την οποία ισχύει =, για κάθε y B f( ) = y, () ονομάζεται αντίστροφη συνάρτηση (inverse function) της f και συμβολίζεται με f Παρατηρήσεις 9 i) Θεωρώντας τις συναρτήσεις f, g του Ορισμού 8 έχουμε να σημειώσουμε ότι η g: B A είναι πράγματι συνάρτηση, γιατί, αν g( y) = και g( y) =, τότε λόγω του ορισμού της f( ) = y = f( ) και εφόσον η f είναι αμφιμονοσήμαντη (ως -) προκύπτει = Η συνθήκη της «επί» συνάρτησης για την f είναι αναγκαία, προκειμένου η «νέα» συνάρτηση g (η αντίστροφη της f ) να ορίζεται σε ολόκληρο το σύνολο B κι όχι σε ένα υποσύνολο του Είναι, λοιπόν, αναγκαία και ικανή η συνθήκη «η f : A B είναι μία - συνάρτηση» για την αντιστροφή της f ii) Θεωρώντας τις συναρτήσεις f : A B και g: B A του Ορισμού 8 ορίζονται οι σύνθετες συναρτήσεις g f : A A και f g: B B Πράγματι, ( g f )( ) = g( f( ) ) = g( y) = = IA( ), για κάθε A, ( f g) ( y) = f ( g( y) ) = f( ) = y = IB ( y), για κάθε y B, όπου IA, I B οι ταυτοτικές συναρτήσεις στα σύνολα Α και Β, αντίστοιχα Έτσι, g f = I A και f g = IB, απ όπου η g αποκτά το όνομά της και το συμβολισμό της (η είναι το ανάλογο του αντίστροφου ενός μη μηδενικού πραγματικού αριθμού) iii) Έστω οι - συναρτήσεις f : A B και g: B C Τότε ισχύουν οι ιδιότητες: ( f ) f και ( g f) f g Παραδείγματα 0 i) Η συνάρτηση f :, με f( ) = + 3 είναι -, (βλέπε, Παράδειγμα 9 (i) ) Επομένως, σύμφωνα με τον Ορισμό 8 υπάρχει η αντίστροφη της f Ακολουθώντας τη μεθοδολογία υπολογισμού του τύπου της αντίστροφης συνάρτησης (βλέπε, Παρατήρηση 9 (v) ) έχουμε y 3 y f( ) 3 Αλλάζοντας στον παραπάνω τύπο τα με y συμπεραίνουμε ότι η αντίστροφη συνάρτηση έχει τύπο 3 f ( ) = Στο Σχήμα 7 αναπαριστάνονται οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης f (μπλε χρώμα) της f (κόκκινο) και η διχοτόμος-ευθεία y = (μαύρο) f 5

Σχήμα 7: Γραφικές παραστάσεις γραμμικής συνάρτησης, αντιστρόφου της και της διχοτόμου της πρώτης γωνίας του επιπέδου ii) Έστω A {,,3 }, B { 3,5,} = = και η συνάρτηση f : A B, όπου f( ) = 5, f() = 3 και f (3) = Από τον ορισμό της η f είναι μία - συνάρτηση και η αντίστροφή της είναι η συνάρτηση όπου f ( ) f ( ) 3, 5 = = και ( ) iii) Η συνάρτηση f :[0, + ) [0, + ) με με τύπο f ( ) =, [0, + ) { } { } f : 3,5,,,3, f = 3 f( ) = είναι - συνάρτηση (γιατί;) Η αντίστροφή της ορίζεται iv) Η συνάρτηση f : [0, + ), με f( ) = δεν είναι αντιστρέψιμη, επειδή δεν είναι - Παρατηρήστε ότι η συνάρτηση είναι επί (βλέπε, Παράδειγμα 7 (i) ) ωστόσο δεν είναι αμφιμονοσήμαντη, επειδή για δύο διαφορετικά = και = είναι f() = = f( ), επομένως δεν ισχύει ο Ορισμός 3 Παρατήρηση i) Αν ( y, ) είναι οι συντεταγμένες του τυχαίου σημείου της γραφικής παράστασης μίας - συνάρτησης f, τότε είναι φανερό ότι y, = f, ( ) = f ( y), y, δηλαδή, οι γραφικές παραστάσεις της f και ( ) ( ) ( ) f ταυτίζονται, όταν για την μεταβλητή επί του άξονα y'0y Ενώ, αν ο τύπος της αντίστροφης συνάρτησης f f θεωρούμε ανεξάρτητη δίνεται θεωρώντας ως ανεξάρτητη μεταβλητή επί του άξονα '0, οι γραφικές παραστάσεις των f και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y =, διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων του επιπέδου 0y, (βλέπε, Σχήμα 7) ii) Στη συνέχεια, παρουσιάζεται η μεθοδολογία που ακολουθούμε κατά τον υπολογισμό της αντίστροφης συνάρτησης, όταν δίνεται μία συνάρτηση f : A : f f 6

Εξετάζουμε αν η συνάρτηση f είναι αμφιμονοσήμαντη, (βλέπε, Ορισμός 3) Υπολογίζουμε το σύνολο τιμών της f, το οποίο πρέπει να είναι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης f Υπολογίζουμε τον τύπο της f, ο οποίος προκύπτει από την επίλυση ως προς της y f( ) και αλλάζοντας στον τύπο που παράγεται τα με y όταν η συνάρτηση δίνεται με κλάδους f( ), αν A f( ) f( ), αν A Εξετάζουμε αν οι συναρτήσεις f: A και f : A είναι αμφιμονοσήμαντες, αν τουλάχιστον μία δεν είναι αμφιμονοσήμαντη, η συνάρτηση f δεν είναι αμφιμονοσήμαντη, συνεπώς η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται, επειδή μία από τις προϋποθέσεις του Ορισμός 3 δεν ισχύει Βρίσκουμε τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων των κλάδων, f( A ) και f( A ) Αν για τα σύνολα f( A), f( A ) ισχύει f( A) f( A), τότε η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται, επειδή δεν είναι αμφιμονοσήμαντη Αν f( A) f( A), τότε η αντίστροφη συνάρτηση f υπάρχει και ο τύπος της δίνεται f ( ), αν f( A) f ( ) f ( ), αν f( A) όπου οι τύποι των συναρτήσεων f, f υπολογίζονται, όπως αναφέρθηκε προηγούμενα, στην περίπτωση της μίας συνάρτησης Ορισμός Έστω μία συνάρτηση f : A Η συνάρτηση ονομάζεται i) άνω φραγμένη (upper bounded), όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός M, τέτοιος ώστε για κάθε A να ισχύει f( ) M Ο αριθμός M ονομάζεται άνω φράγμα (upper bound) της f Το ελάχιστο από τα άνω φράγματα της συνάρτησης ονομάζεται άνω πέρας (supremum) και συμβολίζεται sup f A ii) κάτω φραγμένη (lower bounded), όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός m, τέτοιος ώστε για κάθε A να ισχύει f( ) m Ο αριθμός m ονομάζεται κάτω φράγμα (lower bound) της f Το μέγιστο από τα κάτω φράγματα της συνάρτησης ονομάζεται κάτω πέρας (infimum) και συμβολίζεται inf f A iii) φραγμένη (bounded), όταν η συνάρτηση f είναι άνω και κάτω φραγμένη iv) απόλυτα φραγμένη (absolute bounded), όταν υπάρχει θετικός πραγματικός αριθμός a, τέτοιος ώστε για κάθε A να ισχύει f( ) a Ο αριθμός a ονομάζεται απόλυτο φράγμα της f Παρατήρηση 3 Εφαρμόζοντας τη γνωστή ιδιότητα της απόλυτης τιμής, από την οποία ισχύει για κάθε και θ 0, θ θ θ, μπορούμε να αποδείξουμε ότι μία απόλυτα φραγμένη συνάρτηση είναι και φραγμένη, επειδή το απόλυτο φράγμα είναι ένα άνω φράγμα και ο αντίθετος πραγματικός αριθμός του απολύτου φράγματος αποτελεί ένα κάτω φράγμα για τη συνάρτηση Για παράδειγμα, η συνάρτηση f( ) = sin( ) είναι απόλυτα φραγμένη από το, το οποίο είναι ισοδύναμο με το γεγονός ότι η f έχει άνω φράγμα το και κάτω φράγμα το, (βλέπε, Παρατήρηση 5 (iii)) Συνεπώς, όταν χρειάζεται να «εντοπίσουμε» κάποιο φράγμα (άνω ή κάτω) μίας συνάρτησης, αρχικά μπορούμε να αναζητήσουμε την ύπαρξη ενός απόλυτου φράγματος αυτής 7

Αν δεν υπάρχει απόλυτο φράγμα, αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση δεν είναι άνω και κάτω φραγμένη από τον ίδιο (κατά απόλυτη τιμή) πραγματικό αριθμό, το οποίο δεν είναι ισοδύναμο με το ότι η συνάρτηση δεν είναι φραγμένη Η συνάρτηση αυτή μπορεί να είναι άνω φραγμένη ή κάτω φραγμένη ή να μην είναι φραγμένη Για παράδειγμα, η συνάρτηση f( ) είναι κάτω φραγμένη από το μηδέν ή οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό, (βλέπε, Παράδειγμα 7 (i) ) ωστόσο δεν είναι άνω φραγμένη, επομένως δεν μπορεί να είναι απόλυτα φραγμένη 3 H συνάρτηση f( ) δεν είναι φραγμένη (ούτε απόλυτα, ούτε απλά), συνεπώς δεν υπάρχει κάποιο άνω ή κάτω φράγμα της (βλέπε, Παράδειγμα 4 (iii) ) Πρόταση 4 Έστω οι πραγματικοί αριθμοί k, k και οι απόλυτα φραγμένες συναρτήσεις f : A και g: A Η συνάρτηση kf + kg : A είναι απόλυτα φραγμένη Απόδειξη: Αρχικά, το άθροισμα των συναρτήσεων ορίζεται στο Α, επειδή οι f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού, (βλέπε, Ορισμός 3 (i) ) Επειδή οι συναρτήσεις είναι απόλυτα φραγμένες, σύμφωνα με τον Ορισμό (iv), υπάρχουν a, a 0 τέτοιοι ώστε f( ) a και g ( ) a, για κάθε A Επομένως, για κάθε A μπορούμε να γράψουμε: ( kf+ kg)( ) = kf( ) + kg ( ) kf( ) + kg ( ) = k f( ) + k g ( ) ka+ k a () Προφανώς k a + k a είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός, επομένως η () επαληθεύει τον Ορισμό (iv) Ορισμός 5 Έστω μία συνάρτηση f : A Η συνάρτηση ονομάζεται i) άρτια (even function), όταν το πεδίο ορισμού της είναι συμμετρικό ως προς την αρχή 0 των αξόνων, δηλαδή, για κάθε A συνεπάγεται A, και ισχύει f( ) f( ) (3) Γεωμετρικά, η γραφική παράσταση κάθε άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'0y ii) περιττή (odd function), όταν το πεδίο ορισμού της είναι συμμετρικό ως προς την αρχή 0 των αξόνων, δηλαδή, για κάθε A συνεπάγεται A, και ισχύει f( ) f( ) (4) Γεωμετρικά, η γραφική παράσταση κάθε περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή 0 των αξόνων Παραδείγματα 6 i) Οι συναρτήσεις f :, με f( ) και g : [0, ), όπου g ( ), είναι άρτιες, επειδή τα πεδία ορισμού τους είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων και επιπλέον ισχύει η (3) Επιπλέον, ο y'0y είναι άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεών τους, (βλέπε, τη G f στο Σχήμα ) Εδώ χρειάζεται να σημειώσουμε ότι μία άρτια συνάρτηση δεν είναι αμφιμονοσήμαντη, (γιατί;) 8

ii) Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό a με a 0, οι συναρτήσεις f :, με f ( ) 3 a και a g : {0} {0}, όπου g ( ), είναι περιττές, επειδή τα πεδία ορισμού τους είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων και επιπλέον ισχύει η (4) Επιπλέον, η αρχή των αξόνων αποτελεί κέντρο συμμετρίας των γραφικών παραστάσεών τους, (βλέπε, Σχήμα 4 και Σχήμα 5, αντίστοιχα) Ορισμός 7 Έστω μία συνάρτηση f : A, για την οποία υπάρχει ένας μη μηδενικός αριθμός T τέτοιος ώστε για κάθε A συνεπάγεται T A, και ισχύει f T f( ), (5) ονομάζεται περιοδική συνάρτηση (periodic function) και ο μικρότερος θετικός αριθμός T, για τον οποίο επαληθεύεται η ισότητα στην (5), λέγεται περίοδος της f Γεωμετρικά, η γραφική παράσταση μίας περιοδικής συνάρτησης με περίοδο T αποτελείται από ένα τμήμα καμπύλης, το οποίο επαναλαμβάνεται ανά T Παράδειγμα 8 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις sin( ), cos( ) είναι περιοδικές με περίοδο T π, και οι συναρτήσεις tan( ), cot( ) είναι περιοδικές με περίοδο T π, (βλέπε, Παρατήρηση 5 (ii), Παρατήρηση 56 (ii), Παρατήρηση 50 (ii), Παρατήρηση 5 (ii), αντίστοιχα) 9

3 Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Στην ενότητα αυτή θα ορίσουμε την έννοια της μονοτονίας μίας συνάρτησης, έννοια που παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στις εφαρμογές, επειδή οι συναρτήσεις που εμφανίζονται σε αυτές είναι μονότονες σε όλο το πεδίο ορισμού τους ή «κατά τμήματα» μονότονες Η δε έννοια της μονοτονίας μπορεί να δώσει πληροφορίες για τις «ακριανές τιμές» της συνάρτησης, για το σύνολο τιμών της, κα Ορισμός 3 Έστω μία συνάρτηση f : A και B A Η συνάρτηση ονομάζεται i) αύξουσα (increasing) στο B, όταν για κάθε, B με < ισχύει f( ) f( ) Συμβολικά : f Σχήμα 8 (α) ii) γνήσια αύξουσα (strictly increasing) στο B, όταν για κάθε, B με < ισχύει f( ) < f( ) iii) φθίνουσα (decreasing) στο B, όταν για κάθε, B με < ισχύει f( ) f( ) Συμβολικά : f iv) γνήσια φθίνουσα (strictly decreasing) στο B, όταν για κάθε, B με < ισχύει f( ) > f( ) Σχήμα 8 (b) v) (γνήσια) μονότονη στο B, όταν η συνάρτηση είναι (γνήσια) αύξουσα ή (γνήσια) φθίνουσα στο B Σχήμα 8: Μονοτονία συναρτήσεων (α) : Η συνάρτηση είναι αύξουσα (b) Η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα Παρατηρήσεις 3 i) Έστω μία συνάρτηση f : A και B A Αν η συνάρτηση είναι ταυτόχρονα αύξουσα και φθίνουσα στο B, τότε αυτή είναι μία σταθερή συνάρτηση στο B ii) Έστω μία συνάρτηση f : A, και, A με Πολλές φορές, προκειμένου να προσδιοριστεί το είδος της μονοτονίας της f αντί για την εφαρμογή του Ορισμού 3, χρησιμοποιείται ο λόγος μεταβολής της f στα, A, ο οποίος ορίζεται να είναι f( ) f( ) f( ) f( ) λ ή ισοδύναμα λ (3) Επειδή στην (3) θεωρήσαμε και σε όλες τις περιπτώσεις του Ορισμού 3 υποθέτουμε < > 0, η αντιστοιχία του λόγου μεταβολής με τον Ορισμό 3 είναι : Αν λ 0, η f είναι αύξουσα 0

Αν λ 0, η f είναι γνήσια αύξουσα Αν λ 0, η f είναι φθίνουσα Αν λ 0, η f είναι γνήσια φθίνουσα Αν λ 0, η f είναι σταθερή iii) Χρησιμοποιώντας τον Ορισμό 3 είναι άμεσο να αποδειχθεί ότι μία συνάρτηση f : A γνήσια μονότονη στο κλειστό διάστημα A [ ab, ] είναι φραγμένη iv) Έστω μία συνάρτηση f : A, που είναι γνήσια αύξουσα σε δύο υποσύνολα A, A του πεδίου ορισμού A Δεν είναι αναγκαίο η συνάρτηση f να είναι γνήσια αύξουσα στο A A Ο ίδιος ισχυρισμός αληθεύει αντικαθιστώντας την έννοια γνήσια αύξουσα με γνήσια φθίνουσα, ή με αύξουσα, ή με φθίνουσα Παραδείγματα 33 i) Έστω η γραμμική συνάρτηση f : με f ( ) a b Αν a 0 η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα και αν a 0 η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα Πράγματι, θεωρώντας a 0 και, με <, ο Ορισμός 3 (ii) επαληθεύεται, επειδή f ( ) = a + b < a + b = f ( ), συνεπώς η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα Θεωρώντας a 0 και, με <, ο Ορισμός 3 (iv) επαληθεύεται, επειδή f ( ) = a + b > a + b = f ( ), συνεπώς η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα Επίσης, επειδή η κλίση της ευθείας (βλέπε, Παραδείγματα 4 (i) ) ταυτίζεται με τον λόγο στην Παρατήρηση 3 (ii), η απόδειξη προκύπτει άμεσα από το πρόσημο του λόγου στην (3) ii) Έστω η συνάρτηση f : A, με f( ) 4 4 Η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο [, ) και γνήσια φθίνουσα στο (,] Θεωρώντας, με, αρχικά υπολογίζεται ο λόγος μεταβολής της f από την (3), που είναι ίσος με f( ) f( ) 4 4 ( 44) λ 4 4 ( )( ) 4( ) 4 Αν, [, ), τότε λ4 0 Επομένως, σύμφωνα με την Παρατήρηση 3 (ii), η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο [, ) Αν, (,], τότε λ4 0 Επομένως, σύμφωνα με την Παρατήρηση 3 (ii), η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο (,] Τα παραπάνω αποτελέσματα αποδεικνύονται χρησιμοποιώντας τη θεωρία του Κεφαλαίου 6 Πρόταση 34 Έστω μία συνάρτηση f : A γνήσια μονότονη στο B A Τότε η συνάρτηση f είναι αμφιμονοσήμαντη Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα στο B, οπότε σύμφωνα με τον Ορισμό 3 (ii) για κάθε, B με < (δηλαδή, ) ισχύει f( ) < f( ), δηλαδή, f( ) f( ) Άρα, τα δύο τυχαία, B με, επαληθεύουν τη συνεπαγωγή στον Ορισμός 3, συνεπώς η συνάρτηση είναι αμφιμονοσήμαντη Αν η συνάρτηση θεωρηθεί γνήσια φθίνουσα η απόδειξη είναι ανάλογη

Εφαρμογή 35 3 Έστω η συνάρτηση f : με f ( ) a, και a 0 i) Αν a 0, η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα Αν a 0, η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα ii) Η συνάρτηση f είναι αμφιμονοσήμαντη στο Απόδειξη: i) Θεωρώντας, με, αρχικά υπολογίζεται ο λόγος μεταβολής της f από την (3), που είναι ίσος με 3 3 3 3 f ( ) f ( ) a a λ a (3) ( )( ) a a( ) Επειδή για κάθε,, η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι αρνητική, 0, συνεπώς στην (3) το πρόσημο του λ είναι αυτό του a Αν a 0, τότε λ 0 Επομένως, σύμφωνα με την Παρατήρηση 3 (ii), η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο, (βλέπε, τη γραφική παράσταση στο Σχήμα 4(α)) Αν a 0, τότε λ 0 Επομένως, σύμφωνα με την Παρατήρηση 3 (ii), η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο, (βλέπε, τη γραφική παράσταση στο Σχήμα 4(b)) 3 ii) Όπως προκύπτει από το (i), η συνάρτηση f ( ) a είναι γνήσια μονότονη στο, συνεπώς το συμπέρασμα είναι άμεσο αποτέλεσμα της Πρότασης 34 Η αντίστροφη συνάρτηση μίας συνάρτησης έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με τη συνάρτηση, ιδιότητα που διατυπώνεται στην ακόλουθη πρόταση Πρόταση 36 Έστω μία συνάρτηση f : A γνήσια αύξουσα (αντίστοιχα, φθίνουσα) Η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι γνήσια αύξουσα (αντίστοιχα, φθίνουσα) f Απόδειξη: Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα, δηλαδή, για κάθε, A, με ισχύει f( ) f( ), (βλέπε, Ορισμός 3) Αν η f δεν είναι γνήσια αύξουσα, τότε υπάρχουν y, y f( A), με y y, για τις εικόνες των οποίων ισχύει f ( y) f ( y) (33) Επειδή f ( y), f ( y) A και η f είναι γνήσια αύξουσα, από την (33) έχουμε f f y f f y y y, το οποίο είναι αδύνατο, επειδή υποθέσαμε y y Άρα, η f είναι γνήσια αύξουσα Ανάλογα αποδεικνύεται και η περίπτωση κατά την οποία η f είναι γνήσια φθίνουσα Ορισμός 37 Έστω μία συνάρτηση f : A i) Αν υπάρχει 0 A τέτοιο ώστε για κάθε A να ισχύει f( ) f( 0 ), τότε η συνάρτηση παρουσιάζει στο 0 ολικό μέγιστο (global maimum) To 0 ονομάζεται σημείο (ή θέση) ολικού μεγίστου και f( 0) μέγιστη τιμή της f ii) Αν υπάρχει 0 A τέτοιο ώστε για κάθε A να ισχύει f( ) f( 0 ), τότε η συνάρτηση παρουσιάζει στο 0 ολικό ελάχιστο (global minimum) To 0 ονομάζεται σημείο (ή θέση) ολικού

ελαχίστου και f( 0) ελάχιστη τιμή της f iii) Το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο μίας συνάρτησης f ονομάζονται ολικά ακρότατα (global etrema) της f iv) Αν υπάρχει 0 A και δ 0 τέτοιο ώστε για κάθε A ( 0 δ, 0 + δ) να ισχύει f( ) f( 0 ), τότε η συνάρτηση παρουσιάζει στο 0 τοπικό μέγιστο (local maimum) To 0 ονομάζεται σημείο (ή θέση) τοπικού μεγίστου και f( 0) τοπικό μέγιστο της f v) Αν υπάρχει 0 A και δ 0 τέτοιο ώστε για κάθε A ( 0 δ, 0 + δ) να ισχύει f( ) f( 0 ), τότε η συνάρτηση παρουσιάζει στο 0 τοπικό ελάχιστο (local minimum) To 0 ονομάζεται σημείο (ή θέση) τοπικού ελαχίστου και f( 0) τοπικό ελάχιστο της f Παράδειγμα 38 Η συνάρτηση f : A, με f( ) 4 4, έχει ολικό ελάχιστο στο 0 Το ολικό ελάχιστο είναι f () 0 Πράγματι, όπως αποδείχθηκε στο Παράδειγμα 33 (ii), η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο [, ), οπότε για κάθε [, ) ισχύει f( ) f(), (βλέπε, Ορισμό 3 (ii) ) Επειδή f () 0, συμπεραίνουμε ότι f( ) 0, για κάθε [, ) Επιπλέον, η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο (,], οπότε για κάθε (,] ισχύει f( ) f() 0, (βλέπε, Ορισμό 3 (iv)) Συνεπώς, f( ) 0, για κάθε (,] Επομένως, για κάθε, ισχύει f( ) 0, το οποίο επαληθεύει τον Ορισμό 37 (ii) Εδώ να παρατηρήσουμε ότι το σημείο ολικού ελαχίστου της συνάρτησης f ταυτίζεται με την κορυφή της b παραβολής, που αναφέρθηκε στο Παράδειγμα 4 (ii) ως το σημείο C, = (,0) a 4 a 3

4 Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις Ορισμός 4 Η συνάρτηση f : (0, ), με f( ) a, για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό a, ονομάζεται εκθετική (eponential) συνάρτηση με βάση τον αριθμό a και συμβολίζεται a Όταν a η εκθετική συνάρτηση γίνεται σταθερή ίση με Μία σημαντική εκθετική συνάρτηση είναι η e (ή συμβολικά, ep( ) ) με βάση το νεπέρειο αριθμό n e lim,78 n n (βλέπε, Ενότητα 6) Παρατηρήσεις 4 i) Επειδή a 0, είναι φανερό ότι, a 0, για κάθε Συνεπώς, η εκθετική συνάρτηση είναι κάτω φραγμένη από το μηδέν (βλέπε, Ορισμός (ii) ), το δε σύνολο τιμών της a είναι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί (0, ) ii) Αποδεικνύεται ότι για κάθε, όταν a, η εκθετική συνάρτηση f( ) a είναι γνήσια αύξουσα (βλέπε, Ορισμός 3), ενώ όταν 0a, η συνάρτηση f( ) a είναι γνήσια φθίνουσα, (βλέπε, Σχήμα 9) Σχήμα 9: H γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) = a, με a 0 4

iii) Για κάθε a 0 και, συνδυάζοντας την Πρόταση 34 με τη γνήσια μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης, (βλέπε, Παρατήρηση 4 (ii) ), αποδεικνύεται ότι f( ) a είναι αμφιμονοσήμαντη iv) Στο Σχήμα 9 αναπαριστάνεται η γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης f( ) a, για κάθε Στην πάνω εικόνα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της f( ) a, με a, ενώ στην κάτω εικόνα η γραφική παράσταση με 0a v) Στο Σχήμα 0 παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων εκθετικών συναρτήσεων f ( ) =, ( ) f = e, και f ( ) 3 = 5 Σχήμα 0: Οι γραφικές παραστάσεις εκθετικών συναρτήσεων f( ) = a, με a Ορισμός 43 Έστω ο θετικός πραγματικός αριθμός a Για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό ορίζουμε τον αριθμό log ( y a ) y a (4) Ο αριθμός log a ( ) ονομάζεται λογάριθμος (logarithm) του με βάση τον αριθμό α Αν a 0, ο λογάριθμος log 0( ) λέγεται δεκαδικός λογάριθμος και συμβολίζεται log( ), ενώ αν a e ο λογάριθμος log e ( ) λέγεται νεπέρειος ή φυσικός λογάριθμος και συμβολίζεται ln Η συνάρτηση f : (0, ), όπου f( ) log ( ), για κάθε (0, ), (4) ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση τον α a Παρατηρήσεις 44 i) Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό a 0, η εκθετική συνάρτηση f( ) a είναι αμφιμονοσήμαντη και επί του (0, ), (βλέπε, Παρατήρηση 4 (iii) ), ιδιότητες που απαιτούνται ώστε η συνάρτηση 5

f( ) a να είναι - στο (0, ), (βλέπε, Ορισμός 8) Τότε, σύμφωνα με τον Ορισμό 8 ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f : (0, ), και από την () μπορούμε να γράψουμε: y f ( ) y f( y) a Συνδυάζοντας την παραπάνω σχέση με την (4) συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση που ικανοποιεί την παραπάνω σχέση είναι η λογαριθμική συνάρτηση με βάση τον a 0, δηλαδή, η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης a είναι η λογαριθμική log a ( ) Άρα, η σχέση που συνδέει την εκθετική συνάρτηση με τη λογαριθμική συνάρτηση δίνεται από την (4),δηλαδή, log ( y a ) y a (43) Στο Σχήμα αναπαριστάνονται οι γραφικές παραστάσεις της λογαριθμικής συνάρτησης f( ) ln και της αντίστροφής της f ( ) e Παρατηρήστε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y, τη διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων του επιπέδου 0y Σχήμα : H γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης f( ) ln και f ( ) e ii) Επειδή η λογαριθμική συνάρτηση είναι η αντίστροφη της εκθετικής, όπως αποδείχθηκε στο (i), έχει την ίδια μονοτονία με την εκθετική, (βλέπε, Πρόταση 36) Άρα, για κάθε (0, ), αν a, η λογαριθμική συνάρτηση f( ) log a ( ) είναι γνήσια αύξουσα, (βλέπε, Σχήμα ) αν 0a, η συνάρτηση f( ) log a ( ) είναι γνήσια φθίνουσα Για κάθε (0, ), στο Σχήμα αναπαριστάνεται η γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης f( ) log / ( ), και της αντίστοιχης αντίστροφής της εκθετικής συνάρτησης f ( ) 6

Σχήμα : H γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης f( ) log / ( ) = και f ( ) / iii) Συνδυάζοντας τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης από το (ii)-παραπάνω με την Πρόταση 34, συμπεραίνουμε ότι για κάθε a 0 και (0, ), η λογαριθμική συνάρτηση f( ) log a ( ) είναι αμφιμονοσήμαντη iv) Στο Σχήμα 3 παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων λογαριθμικών συναρτήσεων : f( ) log ( ), f ( ) log( ), f3( ) log /4 ( ), και f4 ( ) log /0 ( ) 7

Σχήμα 3: Οι γραφικές παραστάσεις λογαριθμικών συναρτήσεων f( ) = log ( ) με a 0 a v) Έστω a 0 Οι σημαντικότερες ιδιότητες των λογαρίθμων παρουσιάζονται στον Πίνακα 4 Πίνακας 4: Ιδιότητες λογαριθμικής συνάρτησης με βάση a 0 Πεδίο ορισμού log ( a a ) και log a a, 0 log ( ) log ( y) log ( y) y, 0 a a a k log ( ) klog ( ), k 0 a a log a( ) log a( y) log a( ) y, 0 y log b ( ) log a ( ) b, 0 log ( a) b 8

5 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Θεωρώντας γνωστούς τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μίας γωνίας από τα μαθηματικά της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, μπορούμε να ορίσουμε τις αντίστοιχες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, να εξετάσουμε την ύπαρξη των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο πεδίο ορισμού τους, ή σε κατάλληλο υποσύνολό του Στη συνέχεια, εκφράζει την τιμή μίας γωνίας σε ακτίνια Ορισμός 5 Η συνάρτηση f :, της γωνίας, με f( ) sin( ), ονομάζεται συνάρτηση ημιτόνου (sine) Η γραφική παράσταση της f αναπαριστάνεται στο Σχήμα 4 Σχήμα 4: H γραφική παράσταση της συνάρτησης ημιτόνου, f( ) = sin( ) Παρατηρήσεις 5 i) Παρατηρώντας στο Σχήμα 4 συμπεραίνουμε ότι, η γραφική παράσταση της συνάρτησης ημιτόνου f( ) sin( ) έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή 0 των αξόνων, συνεπώς, η συνάρτηση είναι περιττή, δηλαδή, ισχύει sin( ) sin( ), για κάθε, το οποίο αποδεικνύει την ιδιότητα 3, (βλέπε, Πίνακα 5) ii) Από το Σχήμα 4 είναι φανερό ότι, η γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο f( ) sin( ) αποτελείται από ένα τμήμα καμπύλης, το οποίο επαναλαμβάνεται ανά T π, συνεπώς, η συνάρτηση f( ) sin( ) είναι περιοδική, με περίοδο T π iii) Σύμφωνα με τον Ορισμό 5 το σύνολο τιμών της συνάρτησης ημιτόνου είναι,, δηλαδή, ένα κάτω φράγμα της είναι η τιμή - και ένα άνω φράγμα η τιμή, συνεπώς η συνάρτηση f( ) sin( ) είναι φραγμένη, και μάλιστα απόλυτα φραγμένη από την τιμή, επειδή sin( ) sin( ), (βλέπε, Ορισμός (iii), (iv) και Παρατήρηση 3) π π iv) Για κάθε k, σημειώνεται με Ak kπ, kπ ένα διάστημα υποσύνολο του πραγματικού άξονα Παρατηρώντας στο Σχήμα 4, συμπεραίνουμε ότι για κάθε Ak, με k άρτιο αριθμό, η συνάρτηση ημιτόνου f( ) sin( ) είναι γνήσια αύξουσα (βλέπε, Ορισμός 3), ενώ όταν Ak, με k περιττό αριθμό, η συνάρτηση f( ) sin( ) είναι γνήσια φθίνουσα 9

v) Επειδή η συνάρτηση f( ) sin( ) είναι γνήσια μονότονη στο εσωτερικό κάθε διαστήματος π π Ak kπ, kπ, k, (βλέπε, Παρατήρηση 5 (iv) ), συμπεραίνουμε ότι ( ) sin( ) f είναι π π αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση σε κάθε διάστημα kπ, kπ, k, (βλέπε, Πρόταση 34) π π vi) Θεωρώντας k 0, η συνάρτηση ημιτόνου f( ) sin( ), για κάθε A0, είναι αμφιμονοσήμαντη και επί του,, (βλέπε, Παρατήρηση 5 (v) και Ορισμός 5), είναι οι ιδιότητες που απαιτούνται ώστε η συνάρτηση f( ) sin( ) να είναι - στο A 0 Τότε, σύμφωνα με τον Ορισμό π π 8 ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f :,,, και από την () μπορούμε να γράψουμε: π π f ( y),, για κάθε y, f ( ) sin( ) y (5) π π Ορισμός 53 Έστω η - συνάρτηση f :,,, όπου f( ) sin( ) Η αντίστροφη της f π π είναι f :,,, η οποία ονομάζεται τόξο ημιτόνου και συμβολίζεται με sin arc ή sin Η σχέση που συνδέει τις δύο συναρτήσεις διατυπώνεται στην (5), δηλαδή, Για παράδειγμα, arc π, arc sin() sin () sin ( ) sin( ) y y π 4 sin( ) sin ( ) Σχήμα 5: Οι γραφικές παραστάσεις τόξο ημιτόνου f ( ) = arcsin( ) = sin ( ) και ημιτόνου f ( ) sin( ) 30

Παρατηρήσεις 54 i) Στo Σχήμα 5 με μπλε χρώμα αναπαριστάνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης τόξο ημιτόνου f ( ) = arcsin( ) = sin ( ), και με κόκκινο χρώμα η αντίστροφή της, f ( ) sin( ) Σχεδιασμένη με διακεκομμένη γραμμή είναι η ευθεία y, άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων των παραπάνω συναρτήσεων, η συνάρτηση τόξο ημιτόνου f ( ) = arcsin( ) = sin ( ) ορίστηκε ως η ii) Επειδή, για κάθε π π αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου ορισμένο στο,, έχει την ίδια μονοτονία με τη συνάρτηση,, η συνάρτηση του ημιτόνου, (βλέπε, Πρόταση 36) Άρα, για κάθε f ( ) = arcsin( ) = sin ( ) είναι γνήσια αύξουσα, (βλέπε, Σχήμα 5) Ορισμός 55 Η συνάρτηση f :, (cosine) της γωνίας, με f( ) cos( ), ονομάζεται συνάρτηση συνημίτονου Η γραφική παράσταση της f αναπαριστάνεται στο Σχήμα 6 Σχήμα 6: H γραφική παράσταση της συνάρτησης συνημιτόνου, f( ) = cos( ) Παρατηρήσεις 56 i) Παρατηρώντας στο Σχήμα 6 συμπεραίνουμε ότι, η γραφική παράσταση της συνάρτησης συνημιτόνου f( ) cos( ) είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'0y, συνεπώς, η συνάρτηση είναι άρτια, δηλαδή, ισχύει cos( ) cos( ), για κάθε, το οποίο αποδεικνύει την ιδιότητα 3, (βλέπε, Πίνακα 5) ii) Από το Σχήμα 6 είναι φανερό ότι, η γραφική παράσταση της συνάρτησης συνημίτονο f( ) cos( ) αποτελείται από ένα τμήμα καμπύλης, το οποίο επαναλαμβάνεται ανά T π, συνεπώς, η συνάρτηση f( ) cos( ) είναι περιοδική, με περίοδο T π iii) Σύμφωνα με τον Ορισμό 55 το σύνολο τιμών της συνάρτησης συνημιτόνου είναι,, δηλαδή, ένα κάτω φράγμα της είναι η τιμή - και ένα άνω φράγμα η τιμή, συνεπώς η συνάρτηση f( ) cos( ) είναι φραγμένη, (βλέπε, Ορισμός (iii)) 3

iv) Παρατηρώντας στο Σχήμα 6 συμπεραίνουμε ότι, για κάθε A kπ, kπ π, k περιττός αριθμός, η συνάρτηση συνημιτόνου f( ) cos( ) είναι γνήσια αύξουσα (βλέπε, Ορισμός 3), ενώ όταν A kπ, kπ π, k άρτιος αριθμός, η συνάρτηση f( ) cos( ) είναι γνήσια φθίνουσα k v) Επειδή η συνάρτηση f( ) cos( ) είναι γνήσια μονότονη στο εσωτερικό κάθε διαστήματος A kπ, kπ π, k, (βλέπε, Παρατήρηση 5 (iv) ), συμπεραίνουμε ότι f( ) cos( ) είναι k αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση σε κάθε διάστημα kπ, kπ π, k, (βλέπε, Πρόταση 34) vi) Θεωρώντας k 0, η συνάρτηση συνημιτόνου f( ) cos( ) 0 0, είναι αμφιμονοσήμαντη και επί του,, (βλέπε, Παρατήρηση 56 (v) και Ορισμός 55), είναι οι ιδιότητες που απαιτούνται ώστε η συνάρτηση f( ) cos( ) να είναι - στο A 0 Τότε, σύμφωνα με τον Ορισμό 8 ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f :, 0, π, και από την () μπορούμε να γράψουμε:, για κάθε, f ( y) 0, π Ορισμός 57 Έστω η - συνάρτηση : 0,, είναι f :, 0, π k, για κάθε A π y f( ) cos( ) y (5) f π, όπου f( ) cos( ) Η αντίστροφη της f, η οποία ονομάζεται τόξο συνημιτόνου και συμβολίζεται με arc cos ή Η σχέση που συνδέει τις δύο συναρτήσεις διατυπώνεται στην (5), δηλαδή, y y cos ( ) cos( ) cos Για παράδειγμα, arc cos() cos () 0, arc 3 3 π 6 cos( ) cos ( ) Σχήμα 7: Οι γραφικές παραστάσεις τόξο συνημιτόνου f ( ) = arccos( ) = cos ( ) και συνημιτόνου f ( ) cos( ) 3

Παρατηρήσεις 58 i) Στο Σχήμα 7 με μπλε χρώμα αναπαριστάνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης τόξο συνημιτόνου f ( ) = arccos( ) = cos ( ), και με κόκκινο χρώμα η αντίστροφή της, f ( ) cos( ) Σχεδιασμένη με διακεκομμένη γραμμή είναι η ευθεία y, άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων των παραπάνω συναρτήσεων,, η συνάρτηση τόξο συνημιτόνου f ( ) = arccos( ) = cos ( ) ορίστηκε ως η ii) Επειδή, για κάθε αντίστροφη συνάρτηση του συνημιτόνου ορισμένο στο 0,π, έχει την ίδια μονοτονία με τη συνάρτηση του συνημιτόνου, (βλέπε, Πρόταση 36) Άρα, για κάθε,, η συνάρτηση f ( ) = arccos( ) = cos ( ) είναι γνήσια φθίνουσα, (βλέπε, Σχήμα 7) π Ορισμός 59 Έστω A kπ, k Η συνάρτηση f : A, με ονομάζεται συνάρτηση εφαπτομένης (tangent) της γωνίας A sin( ) f( ) tan( ), cos( ) Η γραφική παράσταση της f αναπαριστάνεται στο Σχήμα 8 Παρατηρήστε ότι στο σχήμα απεικονίζονται π οι κατακόρυφες ευθείες kπ, k, που είναι οι «ασύμπτωτες» της γραφικής παράστασης της f( ) tan( ), καθώς οι συναρτήσεις δεν ορίζονται στα αντίστοιχα, ωστόσο αυτή είναι η αδυναμία των σχεδιαστικών λογισμικών Σχήμα 8: H γραφική παράσταση της συνάρτησης εφαπτομένης f( ) = tan( ) 33