Οµάδα (I): Οµάδα (II): Οµάδα (III):

I Α) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ), δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση ίνονται τρείς οµάδες τιµών Οµάδα (I): 0 0 0 50 60 80 00 Οµάδα (II): 0 8 9 50 5 5 00 Οµάδα (III): 0 8 50 9 99 00 α Και οι τρείς οµάδες έχουν την ίδια διάµεσο β Η οµάδα (III) έχει το µεγαλύτερο εύρος γ Και οι τρείς οµάδες έχουν την ίδια µέση τιµή που είναι ίση µε 5 δ Μεγαλύτερη διασπορά έχει η οµάδα (III) ε Μεγαλύτερη οµοιογένειαέχει η οµάδα (I) στ Μεγαλύτερο συντελεστή µεταβολής έχει η οµάδα (I) ζ Μικρότερη τυπική απόκλιση έχει η οµάδα (I) η Και οι τρείς οµάδες είναι συµµετρικές ως προς την µέση τιµή Β) Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση ίνται ότι η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση των αριθµών,,, είναι αντίστοιχα 5 και ν ) Η µέση τιµή των 3, 3,, 3ν είναι: α-5 β -3 γ 7 δ -7 ) Η τυπική απόκλιση των 3, 3,, 3ν είναι: α -8 β - γ 6 δ -6 3) Η διακύµανση των 3, 3,, 3ν είναι: α - β 36 γ δ 8 Τηλ/Fa: 0697, Τηλ: 06889 wwwapoltogr e-mal:nfo@apoltogr

II Α) Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση Αν η διάµεσος δ ενός δείγµατος είναι ίση µε το ηµιάθροισµα της 3 ης και ης παρατήρησης, τότε το πλήθος ν είναι ίσο µε: α 3,5 β 6 γ 7 δ 8 Όταν όλες οι τιµές είναι ίσες µε µια σταθερά c R, τότε η µέση τιµή, θα είναι ίση µε: α 0 β γ ν δ c 3 Όταν όλες οι τιµές ενός δείγµατος είναι ίσες µε µια σταθερά τότε η τυπική απόκλιση s είναι ίση µε: α 0 β γ ν δ c c R Β) ίνονται δύο δείγµατα: είγµα I: 0 0 0 50 60 80 00 είγµα II: 0 8 9 50 5 5 00 Να βρείτε την µέση τιµή Ποιο από τα δύο δείγµατα έχει την µεγαλύτερη διασπορά; 3 Ποιο από τα παραπάνω δείγµατα παρουσιάζει την µικρότερη ανοµοιογένεια; Τηλ/Fa: 0697, Τηλ: 06889 wwwapoltogr e-mal:nfo@apoltogr

ίνεται η συνάρτηση ( ) ln f Να βρεθεί: ) το πεδίο ορισµού της f ) η τιµή f ( ) ) η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παραστάσης της f στο σηµείο Α (, f( ) ), καθώς και η γωνία που σχηµατίζει η ευθεία αυτή µε τον άξονα v) σε ποιο σηµείο η εφαπτοµένη της C f είναι παράλληλη στην ευθεία κ : y v) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της C f που είναι κάθετη στην ευθεία ζ : y Α) Στο ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων που ακολουθεί, παριστάνονται οι µηνιαίες απόδοχές σε ευρώ, 00 οικογενειών µιας περιοχής των Αθηνών Τηλ/Fa: 0697, Τηλ: 06889 wwwapoltogr e-mal:nfo@apoltogr

α) Να γίνει πίνακας v, f % και πολύγωνο f % β) Ποιο ποσοστό % των οικογενειών έχει µηνιαίο εισόδηµα: ) Από 000 έως 600 ευρώ ) Από 880 έως 560 εωρώ γ) Αν πήρε οικονοµική ενίσχυση το 0% των οικογενειών της περιοχής, να βρείτε ποιες πρέπει να είναι οι µηνιαίες αποδοχές µιας οικογένειας για να δικαιούται οικονοµική ενίσχυση Β) Οι 00 εργαζόµενοι µιας εταιρείας έχουν αύξηση 0% επί του αρχικού τους µισθού και δώρο επιπλέον 0% του µέσου µισθού Αν ο CV των αρχικών µισθών είναι 30% να βρεθεί ο C V των καινούργιων αποδοχών ( ίνεται, 0, 86 ),3 Οι βαθµοί (µε άριστα το 0) που έγραψαν 0 µαθητές µιας τάξης σ ένα διαγώνισµα, οµαδοποιήθηκαν σε 5 κλάσεις µε πλάτος Προέκυψαν το εξής στοιχεία: α) Τέσσερις µαθητές είχαν βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 6 και άλλοι τέσσερις µαθητές είχαν βαθµό κάτω του β) εκαπέντε µαθητές είχαν βαθµό κάτω του 0 γ) Η διάµεσος της κατανοµής ήταν, ενώ η µέση βαθµολογία της τάξης Ζητείται: ) Να συµπληρωθεί ο πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων ) Να βρείτε το εύρος, την διασπορά και την τυπική απόκλιση ) Να εξετάσετε αν το δείγµα των µαθητών είναι οµοιογενές v) Να εξετάσετε αν η κατανοµή είναι κανονική v) Από το πολύγωνο συχνοτήτων να εκτιµήσετε αν το δείγµα παρουσιάζει θετική ή αρνητική ασυµµτρία ( ίνεται: 0,6, 5 ) o o ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΠΑΤΖΑΚΑΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Τηλ/Fa: 0697, Τηλ: 06889 wwwapoltogr e-mal:nfo@apoltogr

I) Α) α Σ β Λ γ Λ δ Σ ε Λ στ Λ ζ Λ η Σ Β) :δ :γ 3:β II) Α) :β :δ 3:α 0+ 0+ 0+ 50+ 60+ 80+ 00 Β) 50 7 0+ 8+ 9+ 50+ 5+ 5+ 00 50 7 Προφανώς s s 3 Αφού s s CV CV άρα η µικρότερη ανοµοιογένεια (µεγαλύτερη οµοιογένεια) παρουσιάζει το ο δείγµα ) Πρέπει 0, άρα το ΠΟ της f είναι το (,+ ) ) Έστω (ε) η εφαπτοµένη της ) f ( ) ( ln ) οπότε f ( ) : όπου ( ) ε y λ+ β ε : y+β f 0 C στο (, f( ) ) λ f δηλαδή Α τότε Η (ε) διέρχεται από το Α (, f( ) ) δηλαδή Α (,0) οπότε: 0 + β β άρα ε : y Έστω ω η γωνία που σχηµατίζει η (ε) µα τον 0 ω π π τότε εϕω ω αφού Τηλ/Fa: 0697, Τηλ: 06889 wwwapoltogr e-mal:nfo@apoltogr

f 0 0 αδύνατο αφού 0 0 0 άρα δεν υπάρχει εφαπτοµένη που να είναι παράλληλη στην (κ) v) Πρέπει: f ( ) ( ) τότε η εφαπτοµένη θα έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και θα διέρχεται από το σηµείο Γ (,ln ) άρα θα έχει εξίσωση y + β και ln + β ln β οπότε η εξίσωση της εφαπτοµένης θα είναι: y + ln v) Πρέπει ( ) Α α) Γνωρίζω ότι: ν Ν ν Ν Ν, ν Ν Ν, ν Ν, οπότε: Κλάσεις, 3 3 Ν 3 ν 5 Ν 5 Ν,ν 6 Ν 6 Ν 5 και v f % %,,,3,,5,6 v Ν v f % [700,900) 0 0 0 [900,00) 70 50 5 [00,300) 30 60 30 [300,500) 70 0 0 [500,700) 90 0 0 [700,900) 00 0 50 Σύνολο - 00 00 Τηλ/Fa: 0697, Τηλ: 06889 wwwapoltogr e-mal:nfo@apoltogr

β)) Επειδή οι παρατηρήσεις είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες µέσα στις κλάσεις Από 000 έως 00 έχουν µηνιαίο εισόδηµα το 5,5% των οικογενειών ενώ από 500 έως 600 έχουν µηνιαίο εισόδηµα το 0 5% των οικογενειών άρα από 000 έως 600 έχουν µηνιαίο εισοδηµα το,5+ 30+ 0+ 5 67,5% των οικογενειών ) Σε πλάτος κλάσεις 00 (900-700) αντιστοιχεί το 0% των οικογενειών Σε πλάτος κλάσεις 0 (900-880) αντιστοιχεί το % των οικογενειών 00 0 άρα % 0 Σε πλάτος κλάσεις 00 (700-500) αντιστοιχεί το 0% των οικογενειών Σε πλάτος κλάσεις 60 (560-500) αντιστοιχεί το % των οικογενειών 00 0 3% 60 άρα από 880 έως 560 µηνιαίο εισόδηµα έχουν: +5+30+0+379% των οικογενειών γ) Το 0% των οικονοµικά ασθενέστερων οικογενειών αποτελείται από το 0% των οικογενειών που αντιστοιχεί στην κλάση [700,900) και από το 0% του ποσοστού των οικογενειών της κλάσης [900,00) Οπότε Σε πλάτος κλάσης 00 (00-900) αντιστοιχεί το 5% των οικογενειών Σε πλάτος κλάσης αντιστοιχεί το 0% των οικογενειών 00 5 δηλαδή 80 ( 980,900) 0 Εποµένως για να δικαιούται οικονοµική ενίσχυση µια οικογένεια πρέπει να έχει µηνιαίες αποδοχές από 700 έως 980 Β Έστω,,, 00 οι αρχικοί µισθοί των 00 εργαζοµένων της εταιρείας µε µέση τιµή και τυπική απόκλιση s Τότε οι καινούργιοι µισθοί των εργαζοµένων θα είναι: 0 0 0 0 0 0 y + +, y + +,, y00 00 + 00 + 00 00 00 00 00 00 δηλαδή y + 0, y + 0,, y 0 00 00 + + 0 3 5 y s οπότε y, sy s και CV 30% 5 38 y 3 3 Τηλ/Fa: 0697, Τηλ: 06889 wwwapoltogr e-mal:nfo@apoltogr

Α Κατασκευάζουµε τον πίνακα Κλάσεις v N % N F % [0,) 0 0 [,8) 6 v 6 5 0 5 [8,) 0 v 0 5 0 50 3 [,6) v 6 0 36 90 [6,0) 8 0 0 00 Σύνολο - v 0 00 - - Επειδή η διάµεσος δ τότε + v + v 0 v + v 6 () 3 3 και v + 0 v 6 Επίσης οι βαθµοί κατανέµονται οµοιόµορφα σε κάθε κλάση οπότε από 8 έως 0 θα v3 έχουµε µαθητές, v3 v3 άρα + v + 5 v + v + v3 () Από ()-() v 6 οπότε v 6 6 0 3 Β Το εύρος είναι R 0 0 0 και η διασπορά: s ( ) + ( 6 ) 6+ ( 0 ) 0+ ( ) 6+ ( 8 ) 8 06 0 και η τυπυκή απόκλιση s 06 5 s 5 Γ Ο συντελεστής µεταβολής ισούται µε: CV % 0% άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές Αν η κατανοµή ήταν κανονική θα έπρεπε δ, επειδή δ η κατανοµή δεν είναι κανονική 0 Τηλ/Fa: 0697, Τηλ: 06889 wwwapoltogr e-mal:nfo@apoltogr

Από το πολύγωνο συχνοτήτων παρατηρούµε ότι το δείγµα παρουσιάζει αρνητική ασυµµετρία ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΜΠΑΤΖΑΚΑΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Τηλ/Fa: 0697, Τηλ: 06889 wwwapoltogr e-mal:nfo@apoltogr