5. ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΥΛΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟΙ

5. ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΥΛΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟΙ 5. ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΥΛΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟΙ... 49 5. Η ταχύτητα του υλικού σηµείου 5 5. Η υλική χρονική παράγωγος 53 5.3 Η σχετική βαθµίδα παραµορφώσεως 57 5.4 Παράγωγος στερεού σώµατος ή παράγωγος Zaremba-Jaumann 63 5.5 Θεωρία πλαστικής παραµορφώσεως κατά Nadai 67 Η χρονική µεταβολή κάθε ποσότητας που περιγράφει µια ιδιότητα ενός Συνεχούς Μέσου, η οποία αναφέρεται στα υλικά σηµεία (ΥΣ) του καλείται υλική χρονική παράγωγος. Π.χ. η στιγµιαία αλλαγή της θέσεως ενός ΥΣ καθορίζεται από την ταχύτητά του, ενώ η αλλαγή της ταχύτητάς του δίδεται από την επιτάχυνση αυτού. Όπως θα δούµε παρακάτω η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι υλικές χρονικές παράγωγοι της µετατοπίσεως και της ταχύτητας του ΥΣ αντιστοίχως. Κάνοντας χρήση του ορισµού του αντικειµενικού τανυστή µπορούµε να ορίσουµε επίσης την έννοια της αντικειµενικής χρονικής παραγώγου. Στο Κεφάλαιο αυτό συνοψίζουµε τη µαθηµατική περιγραφή των υλικών και αντικειµενικών χρονικών παραγώγων και ρυθµών (µεταβολής) τανυστικών µεγεθών. Αγγλ. maerial ime derivaive

50 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 5. ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΥΛΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟΙ, 008 Ιωάννης Γ. Βαρδουλάκης, Dr-Ing., Καθηγητής της Μηχανικής στο Ε.Μ. Πολυτεχνείο Τ.Θ. 44, Παιανία 90-0, hp://geolab.mechan.nua.gr/, I.Vardoulais@mechan.nua.gr

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 5 5. Η ταχύτητα του υλικού σηµείου Εικ. 5-: Μετατόπιση του ΥΣ στο χώρο σε διάστηµα χρόνου Έστω ένα ΥΣ X ( ξ ), το οποίο τη χρονική στιγµή = βρίσκεται στη θέση του σηµείου P( x i ) του χώρου. Η ταχύτητα v i δίδει τη νέα θέση Qx ( i ) του υλικού σηµείου X ( ξ ) τη χρονική στιγµή = + (Εικ. 5-), όπου x = x x = χ ( ξ, ) χ ( ξ, ) v (5.) i i i i i i xi χi( ξ, ) vi = lim = 0 = (5.) Επειδή η εκάστοτε θέση του υλικού σηµείου X ( ξ ) µπορεί να δοθεί µέσω του διανύσµατος µετατοπίσεως αυτού, η ταχύτητα µπορεί να εκφρασθεί και ως η υλική παράγωγος της µετατοπίσεως, χi( ξ, ) L vi = = [ χi( ξ, ) ξi] = ui ( ξ, ) (5.3) ή L v = v ( ξ, ) (5.4) i i Λαµβάνοντας τώρα υπ όψιν την περιγραφή της κινήσεως κατά uler,

5 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 ξ = χ χ (5.5) i i ( x, ) i ( x, ) παρατηρούµε ότι η ταχύτητα ενός υλικού σηµείου τη χρονική στιγµή µπορεί να γραφεί ως συνάρτηση των χωρικών συντεταγµένων που κατέχει του εν λόγω υλικό σηµείο τη στιγµή Παράδειγµα L L v = v ( ξ, ) = v ( χ ( x, ), ) = v ( x, ) (5.6) i i i l i Εικ. 5-: ιαστολή µονοδιάστατου συνεχούς στο χώρο των γεγονότων Έστω ότι τα ΥΣ ενός µονοδιάστατου Συνεχούς Μέσου κινούνται βάσει ενός του νόµου (Εικ. 5-) L x= χ ( ξ, ) = ξ +, c = σταθ. c x ξ = χ ( x, ) = + c Παρατηρούµε ότι για = 0, x= ξ, οπότε η αρχική θέση των υλικών σηµείων είναι και η θέση αναφοράς της παραπάνω περιγραφής. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα έχουµε επίσης την εξής έκφράση για τη µετατόπιση L u = u( ξ, ) = ξ c

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 53 Η κίνηση ενός µονοδιάστατου Συνεχούς παρίσταται καµιά φορά σε ένα χωρο-χρονικό διάγραµµα Ox (, ). Ο χώρος αυτός καλείται χώρος των γεγονότων, αφού κάθε ζεύγος τιµών ( x, ) στο χώρο αυτό θα ονοµασθεί γεγονός L. Η καµπύλη x = χ ( ξ, ) στο χωρόχρονο ονοµάζεται γραµµή ζωής 3 του εκάστοτε υλικού σηµείου X ( ξ ). Άρα από τον άξονα = 0 θα ξεκινήσουν οι γραµµές ζωής των διαφόρων υλικών σηµείων, που τη χρονική στιγµή = 0 κατείχαν τη θέση x = ξ (θέση αναφοράς). Στο συγκεκριµένο παράδειγµα παρατηρούµε ότι οι γραµµές ζωής είναι αποκλίνουσες παραβολές, που σηµαίνει ότι συν τω χρόνω οι σχετικές αποστάσεις των υλικών σηµείων αυξάνονται. Η κίνηση αυτή χαρακτηρίζεται ως µία διαστολή. Με τη κίνηση των υλικών σηµείων δεδοµένη, µπορούµε κατ αρχήν εύκολα να υπολογίσουµε την ταχύτητά τους, ως συνάρτηση της θέσεως των υλικών σηµείων στην απεικόνιση αναφοράς, v L L L χ u = = = ξ c (0) Στο παράδειγµα του σχήµατος η απεικόνιση αναφοράς C συµπίπτει µε τον άξονα ( = 0). Συµφώνως προς τα παραπάνω η ταχύτητα όµως µπορεί να θεωρηθεί και ως συνάρτηση της θέσης του υλικού σηµείου στη τρέχουσα απεικόνιση, v c = + c x c Παρατηρούµε τέλος ότι η ταχύτητα συµπίπτει µε την αντίστροφη κλίση της γραµµής ζωής που περνάει από το εν λόγω γεγονός. 5. Η υλική χρονική παράγωγος Θεωρούµε ένα υλικό σώµα, του οποίου το τυχόν ΥΣ X τη χρονική στιγµή καταλαµβάνει τη θέση µε τη συντεταγµένη L x = χ ( ξ, ) (5.7) Επίσης, δεχόµεθα ότι το σώµα αυτό θερµαίνεται και ότι τη δεδοµένη χρονική στιγµή η κατανοµή της θερµοκρασίας κατά µήκος του σώµατος είναι τέτοια ώστε στη θέση x παρατηρείται η θερµοκρασία θ =Θ ( x, ) (5.8) Αγγλ. even 3 Αγγλ. lifeline

54 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Θέλουµε τώρα να υπολογίσουµε την αλλαγή της θερµοκρασίας τη χρονική στιγµή = +, όπως αυτή παρατηρείται από έναν παρατηρητή που κινείται µαζί µε το ΥΣ A( ξ ), δηλαδή µας ενδιαφέρει η αλλαγή της θερµοκρασίας στο υλικό εν λόγω ΥΣ (Εικ. 5-3). Εικ. 5-3: Μεταβολή του θερµοκρασιακού πεδίου (στο χωρόχρονο). Κατ αρχήν σηµειώνουµε ότι το ΥΣ µετατίθεται από τη θέση x στη θέση L L L L χ x = χ ( ξ, ) = χ ( ξ, + ) = χ ( ξ, ) + ξ (5.9) Με την παρατήρηση ότι L χ ξ L = v ( ξ, ) = v ( x, ) (5.0) έχουµε τελικά x = x+ x, x= u = v ( x, ) (5.) Η θερµοκρασία αντιστοίχως µεταβάλλεται ως εξής: Στη θέση x τη χρονική στιγµή = + η θερµοκρασία παίρνει την τιµή όπου θ = θ + θ (5.) Θ θ = x (5.3) Η ποσότητα θ δίνει την αλλαγή της θερµοκρασίας σε ένα συγκεκριµένο σηµείο του χώρου x και συνιστά ως εκ τούτου την τοπική µεταβολή της ποσότητας θ (Εικ. 5-3). Στη θέση τώρα

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 55 x ' = x + u = x+ v (5.4) τη χρονική στιγµή = + η θερµοκρασία έχει τη τιµή όπου θ = θ + δθ (5.5) Θ Θ δθ = x = v ( x, ) x x (5.6) Η ποσότητα δθ καλείται όρος εκ µεταφοράς ή µεταθετικός όρος, και συνιστά τη µεταβολή που αντιλαµβάνεται ένας παρατηρητής σε ένα µόνιµο πεδίο, όταν αυτός κινείται µέσα στο πεδίο µε την ταχύτητα v. Άρα για έναν παρατηρητή που παρακολουθεί την κίνηση του υλικού σηµείου A( ξ ) η αλλαγή της θερµοκρασίας είναι Dθ = θ θ (5.7) και όπως δείχνει η εξίσωση Dθ = ( θ θ ) + ( θ θ) = δθ + θ (5.8) η διαφορά αυτή γενικώς συντίθεται τόσο από ένα όρο που αφορά στη τοπική µεταβολή του θεωρούµενου πεδίου όσο και από ένα όρο εκ µεταφοράς (του), δηλαδή, Θ Θ Dθ = + v ( x, ) x x (5.9) Πράγµατι, αν η θερµοκρασιακή βαθµίδα είναι πτωτική προς τα δεξιά (όπως στο παραπάνω παράδειγµα του θερµαινόµενου σώµατος, Εικ. 5-3), τότε για τον παρατηρητή που κινείται µε το υλικό σηµείο προς τα δεξιά η πτώση της θερµοκρασίας, ( θ θ ), είναι πιο µεγάλη από αυτή που µετράται τοπικά, ( θ θ ). Η ποσότητα Dθ Dθ Dθ Θ Θ θ : = lim = + v (5.0) D 0 D x καλείται υλική χρονική παραγωγός 4 του πεδίου Θ Ε (x,). Ο υπολογισµός της υλικής χρονικής παραγώγου µπορεί να γίνει για οποιοδήποτε φυσικό µέγεθος. Π.χ. η επιτάχυνση των υλικών σηµείων µπορεί να υπολογισθεί και κατ ευθείαν από τη σχέση: 4 Αγγλ. maerial ime derivaive

56 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Dv v v a = a = = + v (5.) D x Παράδειγµα Έστω v = x + c Τότε a x ( c + ) x x x = + = + c + c + c + c Οπότε επαληθεύουµε τον τύπο, a L Dv = a = (5.) D Άσκηση Η κίνηση ενός µονοδιάστατου Συνεχούς δίδεται από την εξής περιγραφή κατά Lagrange, L ξ x= χ ( ξ, ) = ( ξ > 0) + ξ L Να υπολογισθούν οι περιγραφές κατά Lagrange της ταχύτητας v ( ξ, ) και της επιτάχυνσης L a ( ξ, ). Να βρεθεί η περιγραφή της ταχύτητας v ( x, ) και της επιτάχυνσης a ( ξ, ) κατά uler,. Να επαληθευθεί ότι η επιτάχυνση δίδεται από τον τύπο Σύνοψη a Dv =. D L Η υλική χρονική παράγωγος µιας ποσότητας φ = ϕ ( ξ i, ) συµβολίζεται ως Dφ L φ = ϕ ( ξi, ) D (5.3) Η υλική χρονική παράγωγος αντιδιαστέλλεται από την τοπική χρονική παράγωγο µιας ποσότητας φ = ϕ ( x, ), i

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 57 δφ = ϕ ( xi, ) δ (5.4) Η υλική παράγωγος µπορεί να υπολογισθεί κατ ευθείαν µε δεδοµένη την περιγραφή κατά uler D D x φ ϕ = + v ϕ (5.5) ή συντοµογραφικά: D φ δφ = + v φ D δ x (5.6) φ = φ+ v φ (5.7) ( ) φ = φ + v grad φ (5.8) Στις παραπάνω εκφράσεις ο πρώτος όρος ϕ v ϕ καλείται µεταθετικός ή όρος εκ µεταφοράς. καλείται τοπικός, ενώ ο δεύτερος όρος Παρατηρούµε τέλος ότι όταν η ταχύτητα των ΥΣ ενός Συνεχούς καθώς και η βαθµίδα ενός µεγέθους στο χώρο είναι απειροστικές ποσότητες, τότε η συµβολή των όρων εκ µεταφοράς µπορεί να παραλειφθεί, ϕ φ (5.9) 5.3 Η σχετική βαθµίδα παραµορφώσεως ( ) Οι συντεταγµένες x i ενός ΥΣ X ( ξ ) στην απεικόνιση C ενός σώµατος Β τη χρονική στιγµή µπορούν να θεωρηθούν ως συναρτήσεις των συντεταγµένων του X ( ξ ) στη () τρέχουσα απεικόνιση C τη χρονική στιγµή 0, έτσι ώστε () x = χ ( x, ) (5.30) i i () χ ( x, ) = x (5.3) i i Αντιστοίχως ορίζουµε τη σχετική βαθµίδα παραµορφώσεως 5 5 Αγγλ. relaive deformaion gradien

58 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 F x = x (5.3) () (, ) i (, ) x χ j που περιγράφει την παραµόρφωση C C (Εικ. 5-4). () ( ) Εικ. 5-4: Ανάλυση της βαθµίδας παραµορφώσεως µε ενδιάµεση στάση τη θέση () C Συνεπώς η βαθµίδα παραµορφώσεως F ( ξ, ) = χi ( ξ, ) (5.33) ξ j που περιγράφει την παραµόρφωση ως εξής C C µπορεί να αναλυθεί ως γινόµενο δύο δράσεων (0) ( ) F = = x () ( ξ, ) i (, ) i ( l, ) (, ) ξ χ ξ j x χ χ ξ ξ j (5.34) ή F ( ξ, ) = F ( x, ) F ( ξ, ) F( ) = F ( ) F( ) (5.35) i j ηλαδή ως επαλληλία των δράσεων, (Εικ. 5-4) C C C, που περιγράφεται από την F ( ξ, ) (0) ( ) C, που περιγράφεται από την F ( x, ) () ( ) Παρατηρούµε τώρα ότι η ταχύτητα ενός ΥΣ Χ ( ξ ), το οποίο τη χρονική στιγµή βρίσκεται στη θέση µε συντεταγµένες x, δίδεται από τη σχέση

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 59 () () vi = i ( x, ) vi ( x, ) χ = (5.36) Θεωρούµε τώρα δύο γειτονικά ΥΣ Χ ( ξ ) και Υ ( ξ ) () C κατέχουν αντιστοίχως θέσεις µε συντεταγµένες x και κατέχουν θέσεις µε συντεταγµένες x και y (Εικ. 5-5). Έστω, οπότε µε, τα οποία στην τρέχουσα απεικόνιση y, ενώ στην απεικόνιση yi = xi + dxi (5.37) () x = χ ( x, ) (5.38) i i παίρνουµε ότι (Εικ. 5-5), ( ) C y = χ ( y, ) = χ ( x + dx, ) () () i i i = χ ( x, ) + χ ( x, ) dx () () i i j x j = x + Fdx y x= Fdx i j i i j (5.39) Εικ. 5-5: Η σχετική βαθµίδα παραµορφώσεως Ο ρυθµός µε τον οποίο αλλάζει η απόσταση των γειτονικών αυτών ΥΣ εκφράζει τη σχετική ταχύτητα µε την οποία κινούνται αυτά. Αυτό καθορίζεται από το ρυθµό µεταβολής της σχετικής βαθµίδας παραµορφώσεως,

60 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 ( ) F ( x, ) dx F ( x, ) dx (5.40) j j = Ο ρυθµός µεταβολής της σχετικής βαθµίδας παραµορφώσεως στην περιοχή ενός ΥΣ Χ στην τρέχουσα απεικόνιση του θεωρούµενου σώµατος συµπίπτει µε τη βαθµίδα της ταχύτητας 6 στην απεικόνιση αυτή F x = x = x () () (, ) χi (, ) χi (, ) xj x j = = = v ( x, ) = v ( x, ) x j () i i x = j (5.4) Εν συντοµία η βαθµίδα της ταχύτητας στην τρέχουσα απεικόνιση () C συµβολίζεται ως, L = F ( x, ) = vi ( x, ) (5.4) x j Θεωρούµε τώρα τη δεξιά πολική ανάλυση της σχετικής βαθµίδας παραµορφώσεως σε σχετική στροφή και σχετικό δεξιό τανυστή παραµορφώσεως, F ( ) = R ( ) U ( ) (5.43) i j όπου ο µεν [ R ] είναι ορθογώνιος και αντιστοιχεί σε στροφή, [ ],de[ ] Τ Τ R R = R R = I R =+ (5.44) ο δε [ U ] είναι συµµετρικός, θετικώς ορισµένος και αντιστοιχεί σε καθαρή παραµόρφωση [ ],de[ ] 0 Τ U = U = I U > (5.45) Οι ρυθµοί µεταβολής των τανυστών αυτών ορίζονται ως εξής (ιδέ ανωτέρω) F ( x, ) = F ( x, ) ( ) R ( x, ) = R ( x, ) ( ) U ( x, ) = U ( x, ) ( ) = = = (5.46) Οπότε παίρνουµε την εξής έκφραση για τη βαθµίδα της ταχύτητας στην τρέχουσα απεικόνιση 6 Αγγλ. velociy gradien

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 6 L = R ( ) U () + R () U ( ) i = j i j = = R () δ + δ U () L = R () + U () i j i j (5.47) Επειδή τώρα για κάθε ισχύει ότι, [ ] Τ R R I = Τ Τ R R + R R = [ 0] (5.48) Από την Εξ.(5.48) έπεται ότι ο [ R ( )] είναι αντισυµµετρικός. Πράγµατι µε την παρατήρηση ότι, Τ [ ] R () = R () = I (5.49) από την Εξ. (5.48) έπεται ότι R () R () Τ = R () = R ji () (5.50) Τέλος παρατηρούµε ότι επειδή ο [ U ] είναι συµµετρικός τότε και ο ρυθµός του [ U ] είναι επίσης συµµετρικός, [ U Τ ( )] = [ U ( )] U ( ) = U ( ) (5.5) ji Από τις παραπάνω Εξ. (5.50) και (5.5) προκύπτει η προσθετική ανάλυση της βαθµίδας της ταχύτητας σε συµµετρικό και αντισυµµετρικό µέρος L = D + W (5.5) Το συµµετρικό µέρος της βαθµίδας της ταχύτητας καλείται ρυθµός παραµορφώσεως 7, D = U () = ( L + Lji ) = ( ivj + jvi ) (5.53) Το αντισυµµετρικό της µέρος βαθµίδας της ταχύτητας καλείται στροβιλισµός 8, W = R () = ( L Lji ) = ( ivj jvi ) (5.54) 7 Αγγλ. rae of deformaion 8 Αγγλ. spin

6 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Σηµείωση Καµία φορά ο ρυθµός παραµορφώσεως D συγχέεται µε την υλική χρονική παράγωγο του απειροστικού τανυστή των τροπών. Αυτό βεβαίως γενικώς δεν είναι ορθό. Για να το αιτιολογήσουµε, παρατηρούµε ότι, L L u u Ε = i j + ξ ξ j i (5.55) και L vi = χi( ξ, ) = ξi + ui ( ξ, ) ξ ξ ξ j j j L ( ) L L = δ + ( ξ, ) = ( ξ, ) ui u ξ i j ξ j (5.56) Άρα, L L χ χ Ε v v = i j v v + = i j + ξ ξ ξ ξ j i x j x i = vi u v δ + j u + δ + j ξ j x ξ j x i (5.57) ή vi u v j u Ε = D + + (5.58) x ξ j x ξi Προφανώς όταν οι ποσότητες που εµφανίζονται στην Εξ. (5.58) σε παρένθεση είναι απειροστικές, τότε Ασκήσεις Ε D (5.59). ίδεται η περιγραφή κατά Lagrange µιας επίπεδης παραµορφώσεως, ( ) x = ξ + αξ, x = ξ, x = ξ 3 3 L Να υπολογισθούν: α) Το πεδίο ταχυτήτων σε υλικές συντεταγµένες, vi = vi ( ξ, ) και χωρικές συντεταγµένες, vi = vi ( x, ). β) Οι τανυστές, D και W.

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 63. ίδεται το πεδίο ταχυτήτων σε καρτεσιανή κατά uler περιγραφή, v = cx, v = cx, v = 0 3 Να υπολογισθούν: α) Η συνάρτηση κινήσεως xi = χi( ξ, ) µε την αρχική συνθήκη, ξi = χi( ξ,0). β) Η βαθµίδα παραµορφώσεως, F = χi ( ξ, ). ξ 5.4 Παράγωγος στερεού σώµατος ή παράγωγος Zaremba-Jaumann Μία µεγάλη κλάση καταστατικών εξισώσεων στην Μηχανική των Συνεχών Μέσων γράφονται µε µορφή εξελικτικών εξισώσεων σε µία κατά uler περιγραφή. Π.χ. για την τάση σ έχουµε εξισώσεις της µορφής (,, ) σ = T σ D (5.60) Όπου η τανυστική συνάρτηση T(,) θα µπορούσε να είναι µία ισότροπη συνάρτηση δύο ή και περισσοτέρων αντικειµενικών τανυστών 9. Ως εκ τούτου στην Εξ. (5.60) µε σ συµβολίζουµε µία αντικειµενική χρονική παράγωγο της τάσεως σ την οποία και ορίζουµε παρακάτω και την οποία αντιδιαστέλλουµε από την υλική χρονική παράγωγο. Ειδικότερα θεωρούµε εδώ µία ειδική περίπτωση αντικειµενικής χρονικής παραγώγου, η οποία προκύπτει από µία κατά uler περιγραφή σε σχέση µε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Ox ( i' ) το οποίο περιστρέφεται στον χώρο κατά τέτοιο τρόπο ώστε να παρακολουθεί την στροφή στερεού σώµατος της περιοχής ενός ΥΣ. Ένα τέτοιο σύστηµα συντεταγµένων καλείται κινηµατικώς προτιµητέο 0,. Έστω η πολική ανάλυση της σχετικής βαθµίδας παραµορφώσεως, F ( ) = R ( ) U ( ) (5.6) i j Οι συντεταγµένες ενός σηµείου στο χώρο ως προς το σταθερό στο χώρο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Ox ( i ) και ως προς το κινηµατικώς προτιµητέο σύστηµα συντεταγµένων Ox ( ) συνδέονται µε τις παρακάτω σχέσεις i' x = Q ( ) x (5.6) i i όπου ο ορθογώνιος µετασχηµατισµός που περιγράφει τη στροφή του Ox ( i' ) ως προς το Ox ( i ) συµπίπτει ανά πάσα στιγµή µε το αντίστροφο (ανάστροφο) του τανυστή στροφής της σχετικής παραµορφώσεως. ηλαδή δεχόµαστε ότι j 9 A.J.M. Spencer, Theory of invarians, in: C. ringen (d.), Par III of Coninuum Physics, Academic Press, New Yor and London, 97. 0 Αγγλ. inemaically preferred T.Y. Thomas, Plasic Flow and Fracure in Solids, Academic Press, 96

64 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Q ( ) = R ( ) (5.63) ji Εικ. 5-6: Οι συνιστώσες του διανύσµατος b στα δύο συστήµατα αναφοράς Θεωρούµε τώρα ένα αντικειµενικό διάνυσµα b(), το οποίο στα συστήµατα Ox ( i ) και Ox ( i' ) έχει αντιστοίχως τις συντεταγµένες b i και b i, όπου (Εικ. 5-6) b = Q b (5.64) i i Χάριν απλότητας θεωρούµε ένα διδιάστατο πρόβληµα. Έστω η απειροστική µετάβαση = +, 0, οπότε, όπου Q ( ) = R ( ) = R ( + ) ji ji = R () + R () (5.65) ji ji ji = δ + W [ W ] 0 ω = ω 0 (5.66) Από τις εξ. (5.64) ως (5.66) παίρνουµε, b b + ωb, b ωb + b (5.67) Παρατηρούµε τώρα ότι υλική χρονική παράγωγος του διανύσµατος b στο σύστηµα Ox ( i' ) µπορεί να υπολογισθεί από την παραπάνω Εξ. (5.64) για τις συντεταγµένες του b στο

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 65 σύστηµα αυτό συναρτήσει του πίνακα στροφής και των συντεταγµένων του στο σταθερό σύστηµα Ox ( i ): b = Q b + Q b (5.68) i i i που αντιστοιχεί στο διάνυσµα b = b e + b e (5.69) Με δεδοµένες από τον παραπάνω τύπο τις συντεταγµένες της υλικής χρονικής παραγώγου του b στο σύστηµα Ox ( i' ), µπορούµε να υπολογίσουµε τις συντεταγµένες της παραγώγου αυτής στο σύστηµα Ox ( i ): Q b = Q Q b + Q Q b = Q Q b + b i i i il l i il l i il l (5.70) εφ όσον, Qi ( ) Qim ( ) = δim Q ( ) Q ( ) = Q ( ) Q ( ) i im i im (5.7) Ορισµός Η παράγωγος στερεού σώµατος ή παράγωγος κατά Zaremba-Jaumann του διανύσµατος b, ορίζεται από τη σχέση, dj bi = bi = lim{ Qib i } (5.7) d και παριστάνει την υλική χρονική παράγωγο του διανύσµατος b, όπως αυτή µετράται από ένα παρατηρητή που περιστρέφεται µαζί µε το κινηµατικώς προτιµητέο σύστηµα Ox ( ). Από τον ορισµό Εξ. (5.7)και την Εξ. (5.70) παίρνουµε i' b = b Q i δil bl = b Q lbl (5.73) Επειδή ισχύει, Q () = R ji () = Wji = W (5.74) Αγγλ. rigid-body derivaive

66 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 παίρνουµε τελικά, b = b + Wlbl = b Wlbl (5.75) Για να γενικεύσουµε το παραπάνω αποτέλεσµα ας θεωρήσουµε τώρα ένα αντικειµενικό τανυστή ας τάξεως, που ως γνωστόν µετασχηµατίζεται ως εξής ή Τ Τ T = QTQ, T = Q TQ (5.76) T = Q T Q (5.77) i jl l Χρονική παραγώγιση της Εξ. (5.76), δίδει Οπότε, = + + Τ Τ Τ T QTQ QTQ QTQ (5.78) Q T Q = Q QTQ + Q QTQ + Q QTQ Τ Τ Τ Τ = TQ + TQ Q QTQ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ (5.79) Αν υπολογίσουµε δε την παραπάνω έκφραση στο όριο και, τότε QTQ Τ T (5.80) Τ Τ Q W, Q I T T = QTQ T (5.8) οπότε, T = T + TW WT (5.8) ή d T J = T = T + WjTi + WiTj d = T + TiWj WiTj (5.83) Όπως αναφέραµε στην αρχή του κεφαλαίου αυτού, η αντικειµενική χρονική παράγωγος κατά Jaumann της τάσεως µπορεί να χρησιµοποιηθεί στη διατύπωση καταστατικών σχέσεων «εξελικτικού τύπου», οπότε παρατηρούµε ότι στον υπολογισµό της υλικής χρονικής

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 67 παραγώγου υπεισέρχονται:α) καταστατικοί όροι που εξαρτώνται π.χ. µη-γραµµικά από τη τάση και τον ρυθµό παραµορφώσεως και β) γεωµετρικοί όροι που εξαρτώνται γραµµικά από τη τάση και τον στροβιλισµό, σ = σ + W σ σ W (5.84) i j i j Σε πολλές εφαρµογές οι γεωµετρικοί όροι θεωρούνται αµελητέοι. Υπάρχει όµως και µία κλάση προβληµάτων, όπως προβλήµατα λυγισµού και γενικότερα διακλαδώσεως της ισορροπίας, όπου οι παρουσία των παραπάνω γεωµετρικών όρων είναι καθοριστική 3,4. Ασκήσεις. Να εξεταστεί αν η υλική χρονική παράγωγος και η παράγωγος Jaumann ενός αντικειµενικού διανύσµατος είναι αντικειµενικά διανύσµατα.. Να υπολογισθεί η κατά Jaumann παράγωγος της τάσεως, στην περίπτωση επίπεδης εντάσεως και σε σύστηµα κυρίων αξόνων συναρτήσει της υλικής της παραγώγου και του στροβιλισµού, ω = ( v v)/. 5.5 Θεωρία πλαστικής παραµορφώσεως κατά Nadai Εικ. 5-7: οκίµιο υλικού σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου τοποθετηµένο σε διάταξη επίπεδης παραµορφώσεως Θεωρούµε µια κλάση από επίπεδες παραµορφώσεις, που συνίστανται αρχικά από µία (0) ( ) µονότονη ορθογώνια παραµόρφωση C C (Εικ. 5-7). Στο σύστηµα κυρίων αξόνων της ορθογώνιας παραµορφώσεως η κατά uler περιγραφή της κινήσεως δίδεται από τις παρακάτω σχέσεις, 3 M.A. Bio, Mechanics of Incremenal Deformaions, Wiley, 965. 4 I. Vardoulais and J. Sulem, Bifurcaion Analysis in Geomechanics. Chapman & Hall, 995

68 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 xi ξi = ( i =,), ξ3 = x3 ( a3 = 0) + a() i ( ) (5.85) a () u = x ξ = x + () i i i i i a() i ( ) Στο θεωρούµενο σύστηµα η βαθµίδα παραµορφώσεως δίδεται από τον εξής διαγώνιο πίνακα, [ F] + a 0 0 = 0 a 0 + 0 0 (5.86) Η µονοτονία της παραµορφώσεως εξασφαλίζεται από την παραδοχή ότι οι ποσότητες ai () είναι µονοτόνως αύξουσες συναρτήσεις του χρόνου. Παρατηρούµε ότι γενικώς σε ορθογώνιες παραµορφώσεις ο αριστερός λογαριθµικός τανυστής των τροπών κατά Hency ταυτίζεται µε τον δεξιό λογαριθµικό τανυστή των τροπών ή Τ λ = ln V, V = FF (5.87) ln( + a ) 0 0 r λ 0 ln( a) 0 = + = λ 0 0 0 (5.88) Παρατηρούµε τώρα ότι επειδή, [ ] Τ V = [ F] [ F], λ = [ lnv] 3 i= dv J = de [ F] = = ( + a (0) )( + a)( + a3) dv ln( J) = ln( + a ) = λ i (5.89) (5.90) Για την απλούστευση των υπολογισµών, στο συγκεκριµένο παράδειγµα δεχόµεθα ότι το υλικό είναι ασυµπίεστο, οπότε dv J = de F = = (0) dv λ = ln() = 0 (5.9) Στην περίπτωση αυτή ο λογαριθµικός τανυστής ταυτίζεται µε τον αποκλίνοντα του,

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 69 λ = λδ + λ = ( = 0) (5.9) 3 Αναλύουµε τώρα και την τάση σε ισότροπο και αποκλίνοντα τανυστή, σ = σδ + s, σ = σ (5.93) 3 Παρατηρούµε ότι σε ασυµπίεστα υλικά η µέση τάση σ είναι κινηµατικά αόριστη, που σηµαίνει ότι δεν προσδιορίζεται από κάποια καταστατική σχέση που συνδέει τις τάσεις µε τις τροπές. Στην περίπτωση αυτή ισχύει ο κινηµατικός περιορισµός που περιορίζει την κλάση των παραµορφώσεων σε εκείνες που διατηρούν τον όγκο του σώµατος σταθερό, ενώ η µέση τάση σ προσδιορίζεται στην περίπτωση αυτή µόνο από τις συνοριακές συνθήκες. Η απλούστερη καταστατική υπόθεση που συνήθως γίνεται για την περιγραφή της συµπεριφοράς ενός ασυµπίεστου, µη-γραµµικού υλικού σε µονότονες ή περίπου µονότονες παραµορφώσεις συνιστά τη λεγόµενη θεωρία «πλαστικής» παραµόρφωσης κατά Nadai 5. Συµφώνως προς την θεωρία αυτή κάνουµε την παραδοχή ότι για µονότονες παραµορφώσεις οι συνιστώσες του αποκλίνοντα τανυστή των τάσεων είναι ανάλογες εκείνων του λογαριθµικού τανυστή των τροπών, s =Λ (5.94) Εικ. 5-8: Χαρακτηριστική καµπύλη «τάσεων-τροπών» και η γραφική παράσταση του χορδικού και εφαπτοµενικού µέτρου διατµήσεως. Ο συντελεστής Λ είναι µε την σειρά του ανάλογος του χορδικού µέτρου διάτµησης, και αναφέρεται στην αντίστοιχη καµπύλη ισοδύναµων τάσεων-τροπών. Πράγµατι αν ορίσουµε τα παρακάτω µέτρα ως τις εντάσεις διατµητικής τάσης και τροπής, αντιστοίχως, 5 Αγγλ. deformaion heory of plasiciy. Πρβλ. L. M. Kachanov, Fundamenals of he Theory of Plasiciy, MIR Publishers, 974

70 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 παίρνουµε T = ssji, Γ= ji (5.95) T = ss ji = ΛΛ ji = Λ Γ Λ = T = µ s (5.96) 4 Γ Οπότε, αν υποθέσουµε ότι υπάρχει µία µοναδική χαρακτηριστική για το θεωρούµενο υλικό καµπύλη τάσεων τροπών (Εικ. 5-8), T = Tˆ( Γ ) Tˆ( Γ ) µ s = Γ (5.97) τότε = s (5.98) µ s Παρατηρούµε ότι η συνθήκη για επίπεδη παραµόρφωση µαζί µε τη συνθήκη για ισόχωρη παραµόρφωση, δίδει 33 = 0 s33 = 0 σ 3 = ( σ + σ ) (5.99) Για µια συνέχιση της ορθογώνιας παραµόρφωσης παρατηρούµε ότι η παραπάνω καταστατική σχέση δίνει την εξής εξίσωση µεταξύ των ρυθµών µεταβολής τάσεων και τροπών s =Λ +Λ (5.00) Κατ αρχήν παρατηρούµε ότι για την θεωρούµενη συνέχιση της ορθογώνιας παραµορφώσεως η ταχύτητα και ο ρυθµός παραµορφώσεως στη τρέχουσα απεικόνιση του παραµορφούµενου σώµατος υπολογίζονται ως εξής, ui ui vi = + v x a a v = x, v = x, v = 0 3 + a + a (5.0) (5.0) και

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 7 [ D] a + a 0 0 a = 0 0 + a 0 0 0 (5.03) Άρα εν προκειµένω ο ρυθµός µεταβολής του λογαριθµικού τανυστή των τροπών ταυτίζεται µε το ρυθµό παραµορφώσεως λ = D, λ = D, λ = 0 (5.04) 33 Με την παρατήρηση αυτή και λαµβάνοντας υπ όψιν ότι, Λ µ s s T T s =, = Λ µ T T T ji (5.05) οι παραπάνω εξισώσεις της θεωρίας πλαστικής παραµορφώσεως, Εξ. (5.00), παίρνουν τη µορφή s = C D (5.06) l l όπου ο τανυστής στιβαρότητας δίδεται από τις εξής σχέσεις, C s s ( ) ( ) l l = µ s δδl + δiδ jl µ s µ (5.07) όπου µ είναι το αντίστοιχο εφαπτοµενικό µέτρο διάτµησης (Εικ. 5-8) T dtˆ µ = d Γ (5.08) Για τη θεωρούµενη ορθογώνια παραµόρφωση και την συνέχισή της πάνω στους ίδιους κύριους άξονες οι καταστατικές εξισώσεις για τους ρυθµούς εκφράζονται συναρτήσει της υλικής χρονικής παραγώγου της τάσεως, διότι, απουσία στροβιλισµού, αυτή συµπίπτει µε την αντικειµενική παράγωγο της τάσεως κατά Jaumann, W = 0 σ = σ (5.09) Στην θεωρούµενη περίπτωση επίπεδων παραµορφώσεων ενός ασυµπίεστου υλικού που υπακούει στον παραπάνω καταστατικό νόµο της θεωρίας πλαστικής παραµορφώσεως και στο () σύστηµα κυρίων αξόνων του τανυστή των τάσεων στην τρέχουσα απεικόνιση C οι καταστατικές εξισώσεις για τους αντικειµενικούς ρυθµούς των τάσεων παίρνουν τελικά την εξής µορφή

7 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 σ = σ + µ D σ = σ + µ D (5.0) D + D = 0 Στην θεωρία πλαστικής παραµορφώσεως κάνουµε στο σηµείο αυτό την υπόθεση ότι οι παραπάνω Εξ. (5.06) και (5.07) για τους ρυθµούς δεν ισχύουν µόνο για ορθογώνιες παραµορφώσεις αλλά ισχύουν γενικώς για την αντικειµενική χρονική παράγωγο του τανυστή των τάσεων, αρκεί η απόκλιση από την µονότονη συνέχιση της βασικής ορθογώνιας παραµορφώσεως να µην είναι «πολύ µεγάλη». Στην περίπτωση αυτή οι παραπάνω εξισώσεις συµπληρώνονται µε την εξίσωση για τον ρυθµό διατµήσεως σε άξονες στραµµένους κατά 45 ως προς τους άξονες της προεντάσεως σ = µ s D (5.) Στο θεωρούµενο σύστηµα αξόνων, ο τανυστής της τάσεως παρίσταται από το µητρώο, [ σ] σ 0 0 = 0 σ 0 0 0 ( σ + σ ) (5.) Λαµβάνοντας υπόψη την γεωµετρική διόρθωση για τον υπολογισµό της υλικής παραγώγου του τανυστή των τάσεων µε δεδοµένη την κατά Jaumann παράγωγό του, παίρνουµε τελικά τις εξής σχέσεις για την χρονική µεταβολή των συνιστουσών του τανυστή της τάσης στο επίπεδο της παραµόρφωσης, σ = σ + µ D σ = σ + µ D ( ) σ = µ D + σ σ W s (5.3) που συµπληρώνονται από τον περιορισµό D + D = (5.4) 0 που εξασφαλίζει ισόχωρες παραµορφώσεις. Εναλλακτικά οι παραπάνω σχέσεις µεταξύ των ρυθµών των τάσεων και τροπών µπορούν να γραφτούν ως εξής,

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008 73 v σ = σ + µ x v σ = σ + µ x σ σ v σ σ v σ = µ s + µ + s µ s x µ s x (5.5) Άρα εν προκειµένω η γεωµετρική διόρθωση της υλικής παραγώγου της τάσεως λόγω στροβιλισµού είναι µηδενική µόνον όταν η προένταση στο επίπεδο παραµορφώσεως είναι (0) ισότροπη ( σ = σ ), δηλαδή µόνο στην αρχική απεικόνιση C του θεωρούµενου σώµατος. Είναι τέλος φανερό από τις παραπάνω σχέσεις ότι T = σ σ, Γ= λ σ σ σ σ µ s = = λ 4 λ µ s (5.6) Άρα για µικρές σχετικά τροπές, λ <<, οι παραπάνω σχέσεις για το ρυθµό µεταβολής της τάσεως απλουστεύονται, αφού η γεωµετρική διόρθωση µπορεί να θεωρηθεί ως αµελητέα, σ = σ + µ D σ = σ + µ D σ = µ D s (5.7) Αυτό σηµαίνει ότι η γεωµετρική διόρθωση λόγω στροβιλισµού στην παραπάνω έκφραση για τη διατµητική τάση θα είναι σηµαντική µόνο στην περιοχή µεγάλων σχετικά παραµορφώσεων και θα αφορά ένα όλκιµο (εύπλαστο) υλικό. Μεγάλες παραµορφώσεις, δηλ. παραµορφώσεις συγκρίσιµες µε τη µονάδα, παρατηρούνται κυρίως σε όλκιµα µέταλλα και πολυµερικά υλικά και σε λιγότερο βαθµό σε εδαφικά υλικά.

74 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.5., Ι. Βαρδουλάκης, 008