ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε τις παρακάτω ιδιότητες : α = α α 0 = m α m α n = α m+ n m-n 4 = n n α n β n = (α β ) n n 6 = ( ) n b b -n -n b 7 α = 8 ( ) = ( ) n b 9 ( m ) n = (α n ) m = α m n 0 α m n n m =, μ, ν À n Î ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω f ( ) συνάρτηση και Α το πεδίο ορισμού της v Η f ( ) καλείται γνησίως αύξουσα όταν για κάθε, Î Α ισχύει : αν < Þ f ( ) < f ( ) αν > Þ f ( ) > f ( ) ή ισοδύναμα v Η f ( ) καλείται γνησίως αύξουσα όταν για κάθε, Î Α ισχύει : αν < Þ f ( ) > f ( ) αν > Þ f ( ) < f ( ) ή ισοδύναμα ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΝΑ ΠΡΟΣ ΕΝΑ ( - ) Μια συνάρτηση f ( ) με πεδίο ορισμού το Α καλείται ένα προς ένα όταν για οποιαδήποτε, Î Α ισχύει : v αν ¹, τότε Þ f ( ) ¹ f ( ) ή ισοδύναμα v αν f ( ) = f ( ), τότε Þ =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση : f ( ) = α, α ¹ καλείται εκθετική Η μορφή της αλλάζει ανάλογα με την τιμή που παίρνει η παράμετρος α Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : v α >, τότε: Πεδίο ορισμού : Â Σύνολο τιμών : ( 0, + ) Γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα Ο Τέμνει τον ψ ψ στο σημείο (0,) Είναι - συνάρτηση v 0<α<, τότε : Πεδίο ορισμού : Â Σύνολο Τιμών : (0,+ ) Γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της Έχει ασύμπτωτο τον θετικό ημιάξονα Τέμνει τον ψ ψ στο (0,) Είναι συνάρτηση - ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Ορισμοί Οι λογάριθμοι ορίζονται ως εξής : ι ) α = q Û = q ( Λογάριθμοι με βάση τον αριθμό α ) ιι ) 0 = q Û = q ( Δεκαδικοί Λογάριθμοι ) ιιι ) e = q Û = ln q ( Λογάριθμοι με βάση τον αριθμό e )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ιδιότητες Για α, θ, θ, θ >0 και επίσης α ¹ ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες λογαρίθμων : α ) γ ) ε ) α = β ) q α = ( θ θ ) = q ζ ) ( ) = q θ + θ - δ ) α = 0, θ στ ) = θ, θ η ) θ = k q =κ θ b q b, β>0 Η ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση : f ( ) =, α ¹, καλείται λογαριθμική Η μορφή της αλλάζει ανάλογα με την τιμή που παίρνει η παράμετρος α Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : v α >, τότε : Πεδίο ορισμού : ( 0, + ) Σύνολο Τιμών : Â Γνησίως αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της Έχει ασύμπτωτο τον Οψ Τέμνει τον στο (,0) Είναι συνάρτηση - v 0<α<, τότε: Πεδίο ορισμού : ( 0, + ) Σύνολο Τιμών : Â Γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της Έχει ασύμπτωτο τον Οψ Τέμνει τον στο (,0) Είναι συνάρτηση -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Περίπτωση Ι : α f () = b v Το β γράφεται σαν δύναμη του α, τότε : α f ( ) = ( ) k b Þ f = Þ f ( ) = k Παράδειγμα ο : Να λυθεί η εκθετική εξίσωση : ( ) χ = 4 Λύση ( ) χ = 4 Þ -χ = 4 Þ -χ = Þ -χ = Þ χ = - Παράδειγμα ο : Να λυθεί η εκθετική εξίσωση : χ = 6 -χ Λύση χ = 6 -χ Þ ( ) χ = ( 4 ) -χ Þ χ = 4(-χ) Þ χ = 4-4χ Þ χ = 4-4χ Þ 9χ = 4 Þ χ = 9 4 v Το β δεν γράφεται σαν δύναμη του α, τότε λογαριθμίζω : α f ( ) = b Þ f ( ) = b Þ f ( ) = b Þ f ( ) = b Παράδειγμα : Να λυθεί η εκθετική εξίσωση : χ = -χ Λύση χ = -χ Þ = - Þ χ = (-χ) Þ χ( +) = Þ χ 0 = Þ χ = Περίπτωση ΙΙ : α = b f ( ) g ( ) Εφαρμόζω την ίδια μεθοδολογία όπως στην Περίπτωση Ι f ( ) f ( ) f ( ) Περίπτωση ΙΙΙ : κ α + l + m + n = 0 Θέτω α = ( ) f ψ και μετατρέπω την εκθετική εξίσωση σε πολυωνυμική την οποία λύνω με τους τρόπους που έμαθα στο Κεφάλαιο ( σχήμα Χόρνερ )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Παράδειγμα : Να λυθεί : 4 χ - χ + = 0 Λύση 4 χ - χ + = 0 Þ ( ) χ - χ + = 0 Þ χ - χ + = 0, θέτω χ = ω Τότε η εξίσωση γίνεται : ω -ω + = 0 Þ Δ = - 4 = 9, ω = 4, ω = Τώρα θα λύσω τις εξισώσεις : χ =4 Þ χ = Þ χ = και χ = Þ χ = 0 Þ χ = 0 Περίπτωση ΙV: Εκθετικές εξισώσεις με μορφή : ì ï í ï îk k k f ( ) + l = l b = l b b f ( ) + m b = 0, λύνονται με την αντικατάσταση : ( ) = y ή ( f ( ) ) = y b b και ανάγονται σε πολυωνυμικές εξισώσεις Παράδειγμα : Να λυθεί : χ + χ+ = χ+4 + χ+ Λύση : χ + χ+ = χ+4 + χ+ Þ χ + χ = 4 χ + χ Þ Διαιρώ με το χ όλους + ( ) χ = 8 + ( ) χ, θέτω ( ) χ = ω και η εξίσωση γίνεται : + ω = 8 + ω Þ ω ω = 8 Þ 00ω = 60 Þ ω = Άρα : ω = Þ ( ) χ = Þ ( ) -χ = Þ -χ = Þ χ = - g ( ) Περίπτωση V : f ( ) = Οι λύσεις της εξίσωσης προκύπτουν από τις : f ( ) = ή ìg() = 0 í îf() ¹ 0 ή ì f() = - í îg()αρτιος Παράδειγμα : Να λυθεί η εξίσωση : (χ -χ+) χ- = Λύση : Είναι : χ -χ+= Þ χ -χ = 0 Þ χ = 0 ή χ = ή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 ì í î - = 0 ì ï Þ í - + ¹ 0 ïî = Þ = - + ¹ 0 ή ì - + = - í Þ χ =, άρα οι λύσεις είναι : 0,,, î - αρτιος ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Χρησιμοποιώντας κάποια από τις προηγούμενες μεθόδους καταλήγουμε στη μορφή : f ( ) > g( ) ì f ( ) < g( ), n K0 < < Þ í î f ( ) > g( ), n K > Παράδειγμα ο : Να λυθεί η ανίσωση : 7 χ-4 > 7 χ+ Λύση 7 χ-4 > 7 χ+ Þ (η 7 χ είναι γνησίως αύξουσα άρα ) χ-4 > χ+ Þ χ > Παράδειγμα ο : Να λυθεί η ανίσωση : ( ) χ-4 > ( ) χ+ Λύση ( ) χ-4 > ( ) χ+ Þ ( η ( ) χ είναι γνησίως φθίνουσα ) χ-4 < χ+ Þ χ < ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσουμε μια λογαριθμική εξίσωση προσπαθούμε με την βοήθεια των ιδιοτήτων να τη φέρουμε στη μορφή : f ( ) = g () οπότε f ( ) = g () Δηλαδή την μετατρέπουμε σε μια από τις γνωστές εξισώσεις αλγεβρικής μορφής ΠΡΟΣΟΧΗ!! στους περιορισμούς Πρέπει όλες οι παραστάσεις των λογαρίθμων να είναι θετικές Δηλαδή πρέπει να συναληθεύουν οι περιορισμοί Παράδειγμα : Να λυθεί η εξίσωση : ( -) = (4 -) Λύση ì ì ï - > 0 ï > Περιορισμοί είναι : í Þ í Þ > ï - > 4 0 ï > î î 4, χ- = 4χ - Þ χ = 0 Αδύνατη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 7 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Σκοπός μας είναι να τις φέρουμε στη μορφή : f ( ) > ή < g () Γνωρίζοντας ότι οι συναρτήσεις : f ( ), και ln f ( ), είναι γνησίως αύξουσες έχουμε : f ( ) > g() Þ f ( ) > g () ή ln f ( ) > ln g () Þ f ( ) > g () ΠΡΟΣΟΧΗ!! Δεν ξεχνάμε τους περιορισμούς ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Συστήματα της μορφής : ìk í îd + l b + g b y y = m, λύνονται με την αντικατάσταση : = p α y = και b = ψ, και το σύστημα έρχεται στην μορφή που έχουμε γνωρίσει σε προηγούμενες τάξεις και λύνεται αναλόγως ΑΣΚΗΣΕΙΣ είναι γνησίως φθίνο- - Για ποιες τιμές του αî Â, η συνάρτηση : f ( ) = ( ) - υσα στο Â ; είναι γνησίως αύξου- - Για ποιες τιμές του αî Â, η συνάρτηση f ( ) = ( ) - σα στον Â ; είναι σταθερή συνάρ- - 7 Για ποιες τιμές του αî Â, η συνάρτηση f ( ) = ( ) - τηση ; 4 Για ποιες τιμές του α Î Â, η συνάρτηση f ( ) = (- ) είναι - ; Να εξεταστούν αν είναι - οι συναρτήσεις με τύπο : α ) f ( ) = - 6 β ) f ( ) = - έχει ως ασύμπτωτη τον θε- - 6 Να βρεθεί ο αî Â, αν η συνάρτηση f ( ) = ( ) τικό ημιάξονα των 7 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : + α ) f ( ) = β ) g () = ( -6 + ) -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 8 8 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : α ) f ( ) = (- - -) β ) g () = ( + + 4 - ) 9 Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπο : f ( ) = α>0 και α ¹, να αποδείξετε ότι : α ) η f ( ) είναι άρτια β ) η g() είναι περιττή + - και g () = - -, όπου 0 Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) = ( + ), για ποιες τιμές του α η f ( ) είναι γνησίως αύξουσα ; - Δίνεται η συνάρτηση : g () = ( ), για ποιες τιμές του α η g () είναι γνησίως φθίνουσα ; - - Να εξεταστούν αν είναι - οι συναρτήσεις - - α ) f ( ) = β ) g () = - Δίνεται η συνάρτηση : f ( )= Εξετάστε αν η f ( ) είναι άρτια ή περιττή + 6 4 Έστω η συνάρτηση : g () = 4 + 9 α ) να βρείτε το πεδίο ορισμού της β ) να αποδείξετε ότι είναι άρτια Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις : α ) f ( ) = + β ) f ( ) = - γ ) f ( ) = + δ ) f ( ) = - + 6 Ομοίως για τις συναρτήσεις : α ) f ( ) = ( -) β ) g () = ln + - γ ) κ( ) = δ ) λ( ) = 0 7 Να λυθούν οι ανισώσεις : α ) < + β ) 4 > + γ ) + 9 > 0 4 δ ) 7 < 9 ε ) 4 - + 4 > 0 + στ ) 7 - + < + 4 - + 8 Να λυθούν οι εξισώσεις : + - α ) 7-4 = + + γ ) 8 + = + + + + β ) = ( ) 9 δ ) 4 + = 7 0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9 ε ) 4 = 6 στ ) = 0 + 4 9 Ομοίως οι εξισώσεις : α ) + + 9 + = 4 4 80 β ) - - = 8 γ ) 4 + 9 = 6 δ ) ++ + + = 047 + - + ε ) - = + 0 Να αποδείξετε ότι : + - α ) 0 = 4-4 β ) 00 = 0 Να λυθούν οι εξισώσεις : α ) = β ) = 0 Να αποδείξετε ότι : α ) + 6- = β ) + - 0 = Να λυθούν οι λογαριθμικές εξισώσεις : α ) + = 6 β ) γ ) [(( -))] = 0 6 = + ( 4) 4 Ομοίως οι εξισώσεις : α ) ( +)- ( - +) = ( - +) β ) ( -)+ (8 -) = (4 -) γ ) 6 ( +) + 6 ( ) = ( +) Να λυθούν οι λογαριθμικές ανισώσεις : α ) ( +) ( -) > β ) > ( ) + γ ) ( ) < 0 δ ) ( 9 + ) ³ - 6 6 Να λυθούν οι εξισώσεις : α ) ( -) - ( - ) = β ) + - e e = e + γ ) - + + = 7 Να λυθούν οι λογαριθμικές ανισώσεις : α ) ( -) > + β ) ( -) < + ( -) γ ) ( 9 + 4 ) > + 6 8 Να λυθούν τα συστήματα :

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 40 ì + 4 α ) í î9-6 y y = = 6 β ) y ì - í y î - + - = 49 = ì - γ ) í î - y -y = = ì δ ) í - î - 4 + 4 y + y + = 9 = 69 9 Ομοίως τα συστήματα : ì + y = 9 α ) í î + y = ì - y = β ) í î + y = 0 Η αξία ενός προϊόντος σε t μήνες από σήμερα δίνεται από τη συνάρτηση : f (t) = (9 0 t +) t, χιλιάδες α ) ποια η σημερινή αξία του προϊόντος ; 90 β ) να βρείτε σε πόσους μήνες από σήμερα η αξία του είναι χιλιάδες 00 α ) Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τα παρακάτω κενά : lne = ln= 0 q = lnq θ=, θ>0 ln = ln0= β ) έστω η συνάρτηση f ( ) = ln( ) + ι ) να βρείτε το πεδίο ορισμού της ιι ) να λύσετε την ανίσωση f ( ) > 0 Δίνεται η εξίσωση : ( ) = ( ), κî Â (), έχει λύση τη = 0 k 0 α ) να βρείτε το κ β ) να λύσετε την εξίσωση () Ο πληθυσμός μιας κοινωνίας βακτηριδίων σε t ώρες δίνεται από τον τύπο : t - 4 P( t) = A+B (- ), χιλιάδες βακτηρίδια Δίνεται ότι ο παραπάνω πληθυσμός τώρα είναι 0 χιλιάδες ενώ σε 4 ώρες είναι χιλιάδες α ) να βρείτε τα Α, Β β ) σε πόσες ώρες ο πληθυσμός θα είναι χιλιάδες ; γ ) στον παραπάνω πληθυσμό και σε 4 ώρες ρίχνεται μια τοξική ουσία, ώστε ο πληθυσμός αυτός σε t ³ 4 ώρες να δίνεται από τον τύπο : t Q( t) = c- χιλιάδες μικρόβια, όπου c Î Â

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 4 ι ) να βρείτε το c ιι ) σε πόσες ώρες τουλάχιστον ο παραπάνω πληθυσμός θα αφανιστεί ; 4 α ) Αν =α και = β, τότε να υπολογιστούν συναρτήσει των α, β τα : ι ) = ιι ) = ιιι ) 4 = ιν ) 4 = β ) να λύσετε την εξίσωση : (ημ )+(συν p ) = -4, Î(0, ) Έστω Q(t) η τιμή ενός προϊόντος (σε εκατοντάδες χιλιάδες δραχμές), t έτη μετά την κυκλοφορία του προϊόντος στην αγορά Η αρχική τιμή του προϊόντος ήταν 00000 δραχμές, ενώ μετά από 6 μήνες η τιμή του είχε μειωθεί στο μισό της αρχικής του τιμής Αν είναι γνωστό ότι ισχύει: ln Q(t) = αt + β, t 0 όπου α, β ÎΙR, τότε: α ) να δείξετε ότι Q(t) = 4 -t, t 0, β ) να βρείτε σε πόσο χρόνο η τιμή του προϊόντος θα γίνει ίση με /6 της αρχικής του τιμής, γ ) να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για τον οποίο η τιμή του προϊόντος δεν υπερβαίνει το /9 της αρχικής του τιμής [ Εξετάσεις Ενιαίων Λυκείων 00 ] 6 Σε μια πόλη 0 χιλιάδων κατοίκων εμφανίζεται μια μεταδοτική γρίπη, για πρώτη φορά, ανάμεσα στους κατοίκους της, ώστε t μήνες μετά να προσβάλλονται 4 t από αυτή : Ν ( t ) = 0 [-( ) ], χιλιάδες κάτοικοι α ) να αποδείξετε ότι το πλήθος των κατοίκων εξαιτίας της γρίπης συνεχώς αυξάνεται β ) σε πόσους μήνες το πλήθος Ν ( t ) θα είναι το 0 % του αρχικού πληθυσμού; 7 Έστω α >0 και η εξίσωση : 4-4( + ) + 9= 0 που έχει πραγματικές ρίζες Να βρείτε τον α Î Â - 8 Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) = ( ) α ) να βρείτε τον α Î Â, για τις οποίες η f ( ) ορίζεται σε όλο το Â β ) να βρείτε τον α Î Â, για τις οποίες η f ( ) είναι γνησίως αύξουσα γ ) εάν α = να λύσετε την : f ( )+f ( +) = 6 [ Εξετάσεις 00 ] æ e ö 9 Δίνεται η συνάρτηση f() = ln ç e è + ø α ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f() β ) Να λύσετε την εξίσωση f() = ln γ ) Να λύσετε την ανίσωση f() > 0 - [ Πανελλήνιες Εξετάσεις 00 ]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 4-40 Δίνεται η συνάρτηση : g () = ln( ) + α ) να βρείτε το πεδίο ορισμού της g () β ) να αποδείξετε ότι η g () είναι περιττή συνάρτηση γ ) να λύσετε την εξίσωση : g () + g ( +) =0 e - 4 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : f ( ) = ln( ) e + α ) να βρείτε το πεδίο ορισμού της β ) να αποδείξετε ότι είναι περιττή γ ) να λύσετε την εξίσωση : f ( ) + f ( +) =0 [ Πανελλήνιες Εξετάσεις 00 ] 4 Έστω Ρ( t ) η τιμή ενός προϊόντος σε, όπου τ ο χρόνος σε έτη κυκλοφορίας του προϊόντος στην αγορά Η αρχική τιμή του προϊόντος ήταν, ενώ έπειτα από μήνες μειώθηκε στο μισό της αρχικής Αν ισχύει ότι lnρ( t ) = α t + β, t ³ 0, α, β Î Â, τότε: t α ) να δείξετε ότι Ρ( t ) = ( ), t ³ 0 β ) να βρείτε σε πόσο χρόνο η τιμή του προϊόντος είναι ίση με το /6 της αρχικής τιμής του 4 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : f ( ) = + + - α ) να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ( ) β ) να αποδειχθεί ότι f ( ) = f ( ) γ ) να λύσετε την ανίσωση : f ( ) + f ( ) > 4 44 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = ln( e +) α ) να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα 6 β ) να λύσετε την εξίσωση : f ( ) + f (- ) = ln 4 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : f ( ) = + sun + - sun α ) να βρείτε το πεδίο ορισμού της β ) να αποδείξετε ότι είναι άρτια γ ) να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο π δ ) να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες 46 Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) = + ln( e - ) α ) να βρείτε το πεδίο ορισμού της

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 4 β ) να δείξετε ότι : f (ln4) < f (ln) γ ) να λύσετε την ανίσωση : f ( ) > ln + ln( e - ) [ Ένθετο «Ο υποψήφιος» 00 ] 47 Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) = (+ e )- α- β όπου α, β Î Â, με f (0)= f ()=0 α ) να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της f ( ) είναι το Â β ) να βρείτε τις τιμές των α, β γ ) να δείξετε ότι : f ( ) = ( + e - ) ( + e) δ ) να λύσετε την ανίσωση : [( + e ) - ] - f ( ) 48 Δίνονται οι συναρτήσεις : f ( ) = ln( e - e + ) και g ( ) = ln + ln( e -) α ) να βρείτε τα πεδία ορισμού των παραπάνω συναρτήσεων β ) να λύσετε την εξίσωση : f ( ) = g () γ ) να λύσετε την ανίσωση : f ( ) > g () [ Πανελλήνιες Εξετάσεις 00 ] 49 Έστω η συνάρτηση f ( ) = ln( e + + + e ) α ) να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να δειχθεί ότι το γράφημα της τέμνει τον ψψ στο σημείο (0, + ln) β ) να λυθεί η εξίσωση : f ( ) = γ ) να βρεθούν τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της f ( ) βρίσκεται κάτω από την ευθεία ψ =