Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Γ: Αντιστάθμιση Συστήματος Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

. Σκοποί ενότητας... 4. Περιεχόμενα ενότητας... 4 3. Αντιστάθμιση Συστήματος... 4 3. Γενικά περί αντιστάθμισης... 4 3. Η θέση του αντισταθμιστή... 6 3.3 Αντιστάθμιση με ελεγκτή τριών σημείων (PID controller)... 7 3.4 Ρύθμιση του ελεγκτή PID... 8 3.4. Πρώτη Μέθοδος Ziegler-Nichols για τη ρύθμιση ελεγκτή PID... 9 3.4. Δεύτερη Μέθοδος Ziegler-Nichols για τη ρύθμιση ελεγκτή PID... 0 3.5 Αντιστάθμιση με προήγηση φάσης (Phase-lead compensation)... 3.5. Ερμηνεία μέσω του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών... 3 3.5. Ερμηνεία μέσω του Διαγράμματος Bode... 3 3.5.3 Ερμηνεία μέσω του Διαγράμματος Nyquist... 5 3.5.4 Προσθήκη ενίσχυσης στον αντισταθμιστή... 5 3.5.5 Αναλυτικό παράδειγμα αντιστάθμισης σειράς με προήγηση φάσης... 7 3.6 Αντιστάθμιση με καθυστέρηση φάσης (Phase lag-compensation)... 30 3.6. Ερμηνεία μέσω του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών... 3 3.6. Ερμηνεία μέσω του Διαγράμματος Bode... 3 3.6.3 Ερμηνεία μέσω του Διαγράμματος Nyquist... 33 3.6.4 Προσθήκη ενίσχυσης στον αντισταθμιστή... 33 3.6.5 Αναλυτικό παράδειγμα αντιστάθμισης σειράς με καθυστέρηση φάσης... 34

. Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να μελετήσουμε την έννοια της αντιστάθμισης ενός Συστήματος Αυτομάτου Ελέγχου, η οποία αποτελεί την κατάλληλη τροποποίηση των δεδομένων του συστήματος αυτομάτου ελέγχου, στην περίπτωση που δεν πληρείται μια προδιαγραφή λειτουργίας, έτσι ώστε αυτή να ικανοποιηθεί.. Περιεχόμενα ενότητας Στην ενότητα αυτή θα μελετήσουμε: Την έννοια της αντιστάθμισης ενός συστήματος και τη θέση του αντισταθμιστή. Την αντιστάθμιση με ελεγκτή τριών σημείων (PID controller). Την ρύθμιση του ελεγκτή PID. Την αντιστάθμιση με προήγηση φάσης και τους διαφόρους τρόπους ερμηνείας της. Την αντιστάθμιση με καθυστέρηση φάσης και τους διαφόρους τρόπους ερμηνείας της. 3. Αντιστάθμιση Συστήματος 3. Γενικά περί αντιστάθμισης Ο όρος αντιστάθμιση (compensation) ή βελτίωση ενός Συστήματος Αυτομάτου Ελέγχου (ΣΑΕ) σημαίνει την κατάλληλη τροποποίηση δεδομένου συστήματος αυτομάτου ελέγχου, προκειμένου η έξοδός του να ικανοποιήσει ένα σύνολο προδιαγραφών. Εννοείται, φυσικά, ότι προβαίνουμε σε αντιστάθμιση εφόσον τουλάχιστον μία από το σύνολο των προδιαγραφών δεν πληρείται από το υφιστάμενο σύστημα. Μετά από τη μέγιστη δυνατή απλοποίηση του διαγράμματος βαθμίδων ενός δεδομένου γραμμικού και ευσταθούς συστήματος μίας εισόδου μίας εξόδου (ΜΕΜΕ), μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι αυτό αναπαρίσταται ικανοποιητικά από ένα βρόχο αρνητικής ανάδρασης, με συνάρτηση μεταφοράς ευθέως κλάδου G( και ανάστροφου κλάδου H( (βλ. Σχήμα Γ.). Η τροποποίηση του συστήματος υλοποιείται με εισαγωγή μίας βαθμίδας αντιστάθμισης ή βελτίωσης, με συνάρτηση μεταφοράς έστω G c (,

είτε σε σειρά με τον ευθύ κλάδο G( του συστήματος, οπότε έχουμε αντιστάθμιση σειράς, (βλ. Σχήμα Γ.), είτε στον ανάστροφο κλάδο ανάδρασης H(, οπότε έχουμε παράλληλη αντιστάθμιση, (βλ. Σχήμα Γ.3). Συνεπώς το πρόβλημα της επιτυχούς αντιστάθμισης συστήματος συνίσταται στην σχεδίαση της βαθμίδας του αντισταθμιστή και στην κατάλληλη ρύθμιση των παραμέτρων του, ώστε να ικανοποιηθούν όλες οι προδιαγραφές επί της εξόδου του κλειστού συστήματος. Για το λόγο αυτή στη σχετική βιβλιογραφία η αντιστάθμιση αναφέρεται συχνά και ως σχεδίαση (design). Αν και η βαθμίδα του αντισταθμιστή θα μπορούσε θεωρητικά να είναι οσοδήποτε εξειδικευμένη και σύνθετη, για προφανείς λόγους επιδιώκουμε αντισταθμιστές που είναι απλοί στη σχεδίαση, οικονομικοί στην κατασκευή, εύκολα προσβάσιμοι για ρύθμιση των παραμέτρων τους, μετά την τοποθέτησή τους. Προκειμένου, παραδείγματος χάριν, περί ηλεκτρονικού συστήματος, είναι προτιμηταίοι αντισταθμιστές παθητικοί (όπως φίλτρα RC) και χαμηλού βαθμού (όπως πρώτου ή δευτέρου). Φυσικά, αναγκαστικά θα προχωρήσει η σχεδίαση σε συνθετότερους αντισταθμιστές, εφόσον διαπιστωθεί ότι οι απλούστεροι δεν μπορούν λόγω της δομής τους να ικανοποιήσουν δεδομένο σύνολο προδιαγραφών. Τέλος, για δεδομένο είδος αντισταθμιστή, υπάρχει ένας αριθμός παραμέτρων του, η ρύθμιση των τιμών των οποίων θα φέρει την έξοδο του κλειστού συστήματος «εντός προδιαγραφών». Η ρύθμιση μπορεί να γίνει: είτε αναλυτικά, με βάση τις σχέσεις που συνδέουν τις προς ρύθμιση παραμέτρους με τα μεγέθη των προδιαγραφών, είτε εμπειρικά, εφόσον οι ανωτέρω σχέσεις δεν είναι γνωστές ή δεν είναι εύκολο να εξαχθούν. Στη δεύτερη περίπτωση πρόκειται για συστήματα που τμήματά τους ή και το σύνολό τους είναι κλειστού / μη προσβάσιμου τύπου, ή που λόγω πολυπλοκότητας του διαγράμματος βαθμίδων είναι δύσκολη η αναλυτική περιγραφή της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος. Για τις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί εμπειρικές μέθοδοι ρύθμισης, οι οποίες αποδίδουν στην πλειοψηφία των περιπτώσεων. Συνεπώς, η σχεδίαση ενός αντισταθμιστή περιλαμβάνει τα εξής διαδοχικά στάδια αποφάσεων και ενεργειών:. Αναγνώριση του δεδομένου συστήματος (διάγραμμα βαθμίδων, επιμέρους συναρτήσεις μεταφοράς κάθε βαθμίδας, απλοποίησή του).. Χάραξη του κατάλληλου διαγράμματος (όπως Bode, Nyquist, Γεωμετρικός Τόπος Ριζών, Απόκριση Συχνότητας). Το εκάστοτε καταλληλότερο διάγραμμα εξαρτάται από τα μεγέθη επί των οποίων τίθενται οι προδιαγραφές της εξόδου. 3. Μέτρηση με βάση τα διαγράμματα των μεγεθών των προδιαγραφών και αποτίμηση του κατά πόσον η έξοδος του δεδομένου συστήματος πληροί το σύνολο των προδιαγραφών ή όχι. Εντοπισμός εκείνων που παραβιάζονται. Αν

παραβιάζεται έστω και μία, προχωρούμε στο επόμενο βήμα, διαφορετικά δεν προβαίνουμε σε σχεδίαση αντισταθμιστή. 4. Απόφαση για την καταλληλότερη θέση της βαθμίδας του αντισταθμιστή (σειράς ή παράλληλη). 5. Απόφαση για το είδος του αντισταθμιστή που θα επιδιωχθεί να λύσει το πρόβλημα (όπως φίλτρο RC πρώτου βαθμού, ελεγκτής τριών σημείων (PID controller), κ.α βλ. επόμενες παραγράφους). 6. Ρύθμιση των ελεύθερων προς ρύθμιση παραμέτρων του αντισταθμιστή που επιλέχθηκε, είτε αναλυτικά, είτε εμπειρικά. 7. Χάραξη του διαγράμματος του τελικού (αντισταθμισμένου) συστήματος, το οποίο πλέον περιέχει και τη βαθμίδα του αντισταθμιστή, κατάλληλα ρυθμισμένη. 8. Μέτρηση των μεγεθών των προδιαγραφών στο αντισταθμισμένο σύστημα και επαναποτίμηση του κατά πόσον το βελτιωμένο σύστημα πληροί το σύνολο των προδιαγραφών. 9. a. Σε περίπτωση που όλες οι προδιαγραφές πληρούνται, διαμόρφωση της τελικής λύσης (σχεδίαση του αντισταθμιστή και χάραξη των διαγραμμάτων του). b. Σε περίπτωση που έστω και μία προδιαγραφή δεν πληρείται, επιστροφή στο βήμα (4), για αναθεώρηση των αποφάσεων των βημάτων (4) και (5) και επιδίωξη διαφορετικής λύσης. Η ανωτέρω επαναληπτική προσέγγιση της λύσης στην πράξη μπορεί να απαιτήσει αρκετούς κύκλους επανάληψης, δεδομένου ότι σπάνια - και μόνο για πολύ απλά συστήματα - η πρώτη προσπάθεια αποδεικνύεται επιτυχής. Σημαντικό ρόλο παίζει η εμπειρία του σχεδιαστή, διότι οι κρίσιμες αποφάσεις στα βήματα (4) και (5) δεν στηρίζονται πάντα σε συστηματικούς κανόνες. 3. Η θέση του αντισταθμιστή Είναι γνωστό ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός κλειστού ΣΑΕ αρνητικής ανάδρασης, έστω F(, δίνεται από τη σχέση F( = G( / [ + G( H( ]. Υποθέτοντας ότι το σύστημα είναι γραμμικό και ευσταθές, στη μόνιμή του κατάσταση περιγράφεται από τη σχέση F(jω) = G(jω) / [ + G(jω) H(jω) ]. Για τις συχνότητες εκείνες που ισχύει ότι G(jω) H(jω) >>, η μονάδα στον παρονομαστή του F(jω) μπορεί προσεγγιστικά να αγνοηθεί, οπότε ικανοποιητική προσέγγιση του F(jω) δίνεται από το αντίστροφο του H(jω): F(jω) / H(jω).

Η σχέση αυτή είναι ιδιαίτερα δημοφιλής και πρακτικά χρήσιμη σε πλήθος συστημάτων, όπως παραδείγματος χάριν σε ηλεκτρονικά κυκλώματα με αρνητική ανάδραση που στηρίζονται σε τελεστικούς ενισχυτές. Ουσιαστικά δείχνει ότι το κλειστό σύστημα προσεγγίζεται ικανοποιητικά από τον αντίστροφο του κλάδου ανάδρασης, / H(jω), ανεξαρτήτως του ευθέως κλάδου G(jω). Η προσέγγιση αυτή είναι δε τόσο επιτυχέστερη όσο «ισχυρότερη» η ενίσχυση ή απολαβή του ανοιχτού βρόχου (open loop gain), δηλαδή όσο μεγαλύτερο το G(jω) H(jω). Η ίδια σχέση όμως δείχνει ταυτόχρονα και την άμεση εξάρτηση του κλειστού ΣΑΕ από τη συνάρτηση μεταφοράς του κλάδου ανάδρασης. Αυτό σημαίνει ότι χρήση παράλληλου αντισταθμιστή (βλ. Σχήμα 5..3) επηρεάζει άμεσα την έξοδο του κλειστού συστήματος F(, πράγμα που είναι ταυτόχρονα πλεονέκτημα και μειονέκτημα. Συγκεκριμένα, το σημείο αυτό καταλήγει σε συγκριτικό πλεονέκτημα της παράλληλης αντιστάθμισης, αν η σχεδίαση είναι επιτυχής, οπότε ο επιτυχής αντισταθμιστής επηρεάζει άμεσα την έξοδο, ή αντίθετα, συγκριτικό μειονέκτημα της παράλληλης αντιστάθμισης, σε περίπτωση αστοχίας της σχεδίασης, οπότε το σφάλμα του αντισταθμιστή επηρεάζει άμεσα την έξοδο του κλειστού συστήματος F(. Επειδή ο κίνδυνος σε περίπτωση αστοχίας της σχεδίασης θεωρείται σημαντικότερος από το όφελος σε περίπτωση επιτυχίας της, η αντιστάθμιση σειράς είναι περισσότερο δημοφιλής από την παράλληλη, χωρίς όμως αυτό να σημαίνει ότι η παράλληλη αντιστάθμιση έχει στην πράξη εγκαταληφθεί. Αντιθέτως, σημαντικές μέθοδοι στηρίζονται σε αυτήν, όπως θα αναλυθεί στις επόμενες παραγράφους. 3.3 Αντιστάθμιση με ελεγκτή τριών σημείων (PID controller) Πρόκειται για κλασσική και ιδιαίτερα δημοφιλή και διαδεδομένη μέθοδο βελτίωσης ή αντιστάθμισης συστήματος. Έχει την ευρύτερη ίσως εγκατεστημένη βάση στα υπό λειτουργία ΣΑΕ, ανεξάρτητα από τη φύση των ελεγχομένων συστημάτων (ηλεκτρονικά, ηλεκτρομηχανικά, υδραυλικά, χημικά, βιολογικά, κ.α.) Κατ αρχήν πρόκειται για αντιστάθμιση σειράς, άρα ο αντισταθμιστής ή ελεγκτής (controller) τοποθετείται σε σειρά με τον ευθύ κλάδο του υπό βελτίωση συστήματος G(. Σημειώνεται πάντως ότι υπάρχουν παραλλαγές της μεθόδου, κατά τις οποίες τμήματα του αντισταθμιστή τοποθετούνται και στον κλάδο ανάδρασης, οπότε έχουμε μικτή αντιστάθμιση (σειράς και παράλληλη ταυτόχρονα). Ως προς τη δομή του συστήματος, η βαθμίδα του αντισταθμιστή ή ελεγκτή περιέχει τρεις παράλληλους κλάδους (βλ. Σχήμα Γ.). Ο πρώτος κάνει απλή ενίσχυση, ο δεύτερος ολοκλήρωση και ο τρίτος διαφόριση. Από τη δομή αυτή προέρχεται και ο όρος «ελεγκτής τριών σημείων», ενώ από τα αρχικά των αγγλικών όρων που περιγράφουν τον πρώτο κλάδο ως αναλογικό (Proportional - P), τον δεύτερο ως ολοκληρωτικό (Integral - I) και τον τρίτο ως διαφορικό (Differential - D) προέρχεται το όνομα PID.

Οι ελεύθερες προς ρύθμιση παράμετροι του ελεγκτή είναι η τριάδα (K p, T i, T d ). Η πρώτη καθορίζει την ενίσχυση, ενώ οι άλλες δύο τις σταθερές χρόνου του ολοκληρωτή και του διαφοριστή, αντίστοιχα. Η ιδέα στην οποία στηρίζεται ο ελεγκτής PID διακρίνεται σαφέστερα αν εξετάσουμε την ειδική περίπτωση ενός σερβομηχανισμού. Θεωρώντας για απλότητα την αρνητική ανάδραση ως μοναδιαία, προκύπτει ότι ο ελεγκτής PID, τοποθετούμενος σε σειρά με το G( (βλ. Σχήμα Γ.), τροφοδοτείται από το σήμα σφάλμα (error). Το σήμα αυτό είναι η διαφορά εισόδου εξόδου, και προκειμένου περί σερβομηχανισμών είναι ουσιαστικά η διαφορά επιθυμητής εξόδου πραγματικής εξόδου. Ο ελεγκτής, με την τριπλή του δομή, με τη σειρά του τροφοδοτεί το σύστημα G( με ένα γραμμικό συνδυασμό («μίγμα») του ίδιου του σφάλματος, του ολοκληρώματός του και της παραγώγου του, μετά από κατάλληλη ενίσχυση του «μίγματος». Οι παράμετροι (K p, T i, T d ) ουσιαστικά καθορίζουν τα ποσοστά των τριών «συστατικών» του «μίγματος». Δεδομένου ότι η ολοκλήρωση ισοδυναμεί με βαθυπερατό φιλτράρισμα ενώ η διαφόριση με υψιπερατό, η έξοδος του ελεγκτή PID περιέχει το ίδιο το σφάλμα καθώς και φιλτραρισμένες εκδοχές του σε συνδυασμό. Ο στόχος είναι να δοθεί έμφαση και σε συχνοτικές περιοχές του σήματος σφάλματος που είναι συγκεντρωμένη περισσότερη πληροφορία παρά θόρυβος. Η συνάρτηση μεταφοράς G c ( του ελεγκτή PID είναι προφανώς G c ( = K p ( + / T i s + T d s ) = T d [ s + (K p / T d ) s + ( / T i T d ) ] / s που σημαίνει ότι εισάγει στο μιγαδικό επίπεδο πόλων και μηδενικών G(jω) H(jω). ένα πόλο στο s p = 0, άρα σε συχνότητα ω p = 0, και. δύο μηδενικά, οι ακριβείς θέσεις s z, s z των οποίων εξαρτώνται από τις τιμές στις οποίες θα ρυθμιστούν τελικά οι τρεις παράμετροι (K p, T i, T d ). 3.4 Ρύθμιση του ελεγκτή PID Η ρύθμιση του ελεγκτή PID μπορεί να γίνει είτε αναλυτικά είτε εμπειρικά. Η ρύθμιση με αναλυτικό τρόπο απαιτεί βέβαια γνώση της συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου, άρα η αναλυτική έκφραση του συστήματος πρέπει να είναι γνωστή. Στην περίπτωση, αντίθετα, που η συνάρτηση μεταφοράς δεν είναι γνωστή, καταφεύγουμε σε εμπειρικές μεθόδους ρύθμισης. Τυπικό τέτοιο παράδειγμα είναι οι Κανόνες

Ziegler Nichols, που ρυθμίζουν τις παραμέτρους του ελεγκτή με βάση μετρήσεις πάνω στην (πειραματική) βηματική απόκριση του συστήματος. Πρόκειται για δύο μεθόδους, (Μέθοδος και Μέθοδος ), που εφαρμόζονται σε διαφορετικά είδη συστημάτων η καθεμία. Αν και δεν απαιτούν συγκεκριμένη γνώση συναρτήσεων μεταφοράς, απαιτούν εντούτοις κάποια στοιχειώδη γνώση για τη φύση του συστήματος (όπως το άν περιέχει ή όχι ολοκληρωτές) και επίσης απαιτούν πρόσβαση στην είσοδο και στην έξοδο του συστήματος και δυνατότητα εφαρμογής πειραματικών εισόδων και μέτρησης των παραγόμενων εξόδων. Τονίζεται εξ αρχής ότι υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις συστημάτων που οι μέθοδοι αυτές δεν εφαρμόζονται. 3.4. Πρώτη Μέθοδος Ziegler-Nichols για τη ρύθμιση ελεγκτή PID Η πρώτη μέθοδος εφαρμόζεται αν το σύστημα έχει βηματική απόκριση σιγμοειδούς μορφής, (βλ. Σχήμα Γ.5), που σημαίνει πρακτικά ότι δεν περιέχει ολοκληρωτές, και δεν περιέχει ζεύγος κυρίαρχων (dominant) συζυγών μιγαδικών πόλων. Πειραματικά εφαρμόζεται στο υπό έλεγχο σύστημα βηματική είσοδος και καταγράφεται η χρονική απόκρισή του. Επί της καταγραφής αυτής (σε βαθμονομημένους άξονες) μετρώνται τα μεγέθη L και T, όπως φαίνεται στο Σχήμα Γ.. Στη συνέχεια οι παράμετροι του ελεγκτή PID υπολογίζονται με βάση τα μετρημένα L και T και τις εμπειρικές σχέσεις που προτείνει ο Πίνακας. Η πρώτη σειρά του πίνακα αφορά ελεγκτή τύπου P (απλό αναλογικό ενισχυτή), η δεύτερη τύπου PI (αναλογικό ολοκληρωτικό) και η τρίτη τον πλήρη ελεγκτή PID. ΠΙΝΑΚΑΣ : Πρώτη Μέθοδος Ziegler Nichols για τη ρύθμιση ελεγκτή PID K p T i T d Ελεγκτής P T/L 0 Ελεγκτής PI 0,9 T/L L / 0,3 0 Ελεγκτής PID, T/L L 0,5 L

Στην περίπτωση του πλήρους ελεγκτή PID (τρίτη γραμμή στον Πίνακα ), η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή γίνεται: G c ( = K p ( + / T i s + T d s ) = 0,6 T [ (s + /L) ] / s Συνεπώς ο ελεγκτής PID ρυθμισμένος με την Πρώτη Μέθοδο Ziegler Nichols εισάγει στο μιγαδικό επίπεδο. ένα πόλο στο s p = 0, άρα σε συχνότητα ω p = 0, και. δύο ίσα μεταξύ τους και πραγματικά μηδενικά, στη θέση s z = s z = - (/L), άρα στη συχνότητα ω z = ω z = (/L). 3.4. Δεύτερη Μέθοδος Ziegler-Nichols για τη ρύθμιση ελεγκτή PID Στην περίπτωση που το σύστημα περιέχει ζεύγος κυρίαρχων συζυγών μιγαδικών πόλων, είναι δε ευσταθές υπό συνθήκη, υπάρχει κάποια κρίσιμη τιμή του κέρδους Κ του G(, έστω K = K critical για την οποία οι κυρίαρχοι αυτοί πόλοι μετακινούνται δεξιά και βρίσκονται πάνω στον φανταστικό άξονα (jω) του μιγαδικού επιπέδου. Τότε η βηματική απόκριση περιέχει ταλάντωση (ημίτονο) αμείωτου πλάτους. Στην περίτπωση αυτή εφαρμόζεται η Δεύτερη Μέθοδος Ziegler Nichols. Συνεπώς η πειραματική διαδικασία είναι η εξής:. Χρησιμοποιούμε βηματική είσοδο στο σύστημα, και εισάγουμε σε σειρά με το G( έναν καθαρά αναλογικό ενισχυτή (μόνο τον ένα από τους τρεις κλάδους του ελεγκτή PID) (βλ. Σχήμα 5.3.3 για την πειραματική διάταξη με H( = ).. Aυξάνουμε προοδευτικά το κέρδος του ενισχυτή από K=0 μέχρι κάποια τιμή για την οποία στην έξοδο (όπου καταγράφουμε τη βηματική απόκριση) εμφανίζεται ημίτονο αμείωτου πλάτους. Αν υπάρχει τέτοια τιμή, είναι η κρίσιμη τιμή K= K critical. Αν δεν παρουσιαστεί ταλάντωση αμείωτου πλάτους, δεν υπάρχει κρίσιμο K και συνεπώς δεν εφαρμόζεται η μέθοδος. 3. Μετράμε το K critical και την περίοδο του ημιτόνου στην έξοδο, έστω P critical = π / ω critical. 4. Υπολογίζουμε τις παραμέτρους του ελεγκτή PID με βάση τις ανωτέρω μετρήσεις και τις εμπειρικές σχέσεις που προτείνει ο Πίνακας. Η πρώτη σειρά του πίνακα αφορά ελεγκτή τύπου P (απλό αναλογικό ενισχυτή), η δεύτερη τύπου PI (αναλογικό ολοκληρωτικό) και η τρίτη τον πλήρη ελεγκτή PID.

ΠΙΝΑΚΑΣ : Δεύτερη Μέθοδος Ziegler Nichols για τη ρύθμιση ελεγκτή PID K p T i T d Ελεγκτής P 0,5 K critical 0 Ελεγκτής PI 0,45 K critical (/,) 0 P critical Ελεγκτής PID 0,6 K critical 0,5 P critical 0,5 P critical Στην περίπτωση του πλήρους ελεγκτή PID (τρίτη γραμμή στον Πίνακα ), η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή γίνεται: G c ( = K p ( + / T i s + T d s ) = 0,075 P critical P critical [ (s + 4 / P critical ) ] / s Συνεπώς ο ελεγκτής PID ρυθμισμένος με την Δεύτερη Μέθοδο Ziegler Nichols εισάγει στο μιγαδικό επίπεδο. ένα πόλο στο s p = 0, άρα σε συχνότητα ω p = 0, και. δύο ίσα μεταξύ τους και πραγματικά μηδενικά, στη θέση s z = s z = - (4 / P critical ), άρα στη συχνότητα ω z = ω z = (4 / P critical ). Παρατηρήσεις. Οι εμπειρικές μέθοδοι ρύθμισης Ziegler Nichols αποκτούν την πραγματική τους αξία σε συστήματα με άγνωστη συνάρτηση μεταφοράς, πλην όμως μπορούν εξίσου καλά να εφαρμοστούν και σε συστήματα με γνωστή συνάρτηση μεταφοράς.. Δεν μπορούν να εφαρμοστούν σε ειδικές κατηγορίες συστημάτων, όπως τα συστήματα με ολοκληρωτές.

3. Οδηγούν σε επιτυχή ρύθμιση στην πλειοψηφία των περιπτώσεων, αλλά όχι σε όλες. 4. Όσον αφορά την υπερύψωση (overshoot) στην καμπύλη της βηματικής απόκρισης του συστήματος, στοχεύουν σε υπερύψωση της τάξης του 5%, αν και στην πράξη αυτό είναι ο μέσος όρος των υπερυψώσεων που επιτυγχάνονται σε πλήθος περιπτώσεων, ενώ η εκάστοτε υπερύψωση κυμαίνεται μεταξύ 0% και 60%. 5. Σε περίπτωση που μετά τη ρύθμιση το σύστημα παρουσιάζει μη ικανοποιητική υπερύψωση, (μεγαλύτερη του 5% 30 %), οι τιμές των παραμέτρων που προέκυψαν από τους Πίνακες Ziegler Nichols χρησιμοποιούνται απλώς ως αρχικές τιμές σε μιά επαναληπτική διαδικασία λεπτομερέστερης ρύθμισης των παραμέτρων. 3.5 Αντιστάθμιση με προήγηση φάσης (Phase-lead compensation) Προκειμένου να αναπτυχθεί η μέθοδος αντιστάθμισης σειράς με προήγηση φάσης (Phase lead compensation) θα εξετάσουμε ως υποψήφιο αντισταθμιστή το παθητικό ηλεκτρικό δικτύωμα του Σχήματος 5.4.. Πρόκειται προφανώς για σύστημα (φίλτρο) πρώτης τάξης. Μεταβαίνοντας στο πεδίο Laplace, εύκολα υπολογίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς G π ( του δικτυώματος, χρησιμοποιώντας το διαιρέτη τάσης μεταξύ τάσης εισόδου U in ( και τάσης εξόδου U out ( : U G G out ( R U ( U out in R U R //( ) sc ( ( R R //( sc RCs Ts ( R C s Ts R in ( ) R R R ( ) sc R ( ) sc R RCs ( ) R R R ( ) RCs R R Στην τελευταία έκφραση χρησιμοποιήθηκαν οι συμβολισμοί: T R C R R R

Η σταθερά χρόνου T και ο συντελεστής εξασθένησης α καθορίζονται από τις τιμές των στοιχείων R, C του δικτυώματος και είναι προφανώς πραγματικές και θετικές ποσότητες. Παρατηρείστε ότι από τη μορφή της G π ( προκύπτει ότι δεν περιέχει ολοκληρωτές, δηλαδή όρους της μορφής ( / s n ). Αυτό σημαίνει ότι δεν αυξάνει τον αριθμό των ολοκληρωτών του υπό αντιστάθμιση συστήματος, σε αντιδιαστολή με τον ελεγκτή τριών σημείων (PID) ο οποίος αυξάνει τον αριθμό των ολοκληρωτών του συστήματος κατά ένα. 3.5. Ερμηνεία μέσω του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών Το δικτύωμα αυτό έχει ένα μηδενικό στη συχνότητα s z = - / T και έναν πόλο στη συχνότητα s p = - / ατ. Και τα δύο είναι πραγματικά και όχι μιγαδικά και ανήκουν στο Αριστερό Μιγαδικό Ημιεπίπεδο (ΑΜΗ) για οποιαδήποτε θετική τιμή των α και Τ. Δεδομένου ότι είναι α <, ο πόλος βρίσκεται πάντα αριστερότερα από το μηδενικό, πάνω στον οριζόντιο άξονα. Αυτό καθορίζει και τη φύση του αντισταθμιστή ως προηγητή φάσης, όπως θα γίνει φανερό στα επόμενα. Εφόσον το ανωτέρω δικτύωμα θα χρησιμοποιηθεί ως αντισταθμιστής σειράς, από το διάγραμμα βαθμίδων του Σχήματος 5.. προκύπτει ότι η νέα (αντισταθμισμένη) συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου του συστήματος θα δίνεται από τη σχέση: ' G ( G ( G(, υποθέτοντας πάντα ότι H( =. Συνεπώς το μηδενικό και ο πόλος του αντισταθμιστή θα προστεθούν στα υπάρχοντα μηδενικά και πόλους του υπό αντιστάθμιση συστήματος. Άρα η ρύθμιση των παραμέτρων α και Τ του αντισταθμιστή, δηλαδή η οριστικοποίηση των θέσεων του πόλου και του μηδενικού του σε σχέση με τη θέση των υπόλοιπων πόλων και μηδενικών, θα καθορίσει και τον τρόπο που θα επηρεάσει ο ενλόγω αντισταθμιστής το Γεωμετρικό Τόπο Ριζών του συστήματος. 3.5. Ερμηνεία μέσω του Διαγράμματος Bode Το διάγραμμα Bode του αντισταθμιστή σειράς με προήγηση φάσης φαίνεται στο Σχήμα 5.4.. Η πρώτη καμπύλη (καμπύλη μέτρου) αναπαριστά το λογάριθμο του μέτρου, 0log 0 G ( j), συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας ω (κατακόρυφος άξονας σε db). Η δεύτερη καμπύλη (καμπύλη φάσης) αναπαριστά τη φάση, G ( j), συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας ω (κατακόρυφος άξονας σε μοίρες).. Από την καμπύλη μέτρου φαίνεται ο υψιπερατός χαρακτήρας του φίλτρου, με συχνότητες γονάτου ω L = / T και ω H = / ατ, απολαβή 0dB στις υψηλές συχνότητες και 0 log 0 α db (αρνητική) στις χαμηλές συχνότητες και σιγμοειδή μετάβαση στη ζώνη συχνοτήτων μεταξύ ω L και ω H. Λόγω λογαρίθμησης του κατακόρυφου άξονα, αντιλαμβανόμαστε ότι η καμπύλη

μέτρου θα προστεθεί στην αντίστοιχη καμπύλη μέτρου του υπό αντιστάθμιση συστήματος, ώστε να προκύψει η τελική καμπύλη μέτρου του βελτιωμένου συστήματος: ' G ( j) G 0log 0 ( j) G( j) ' G ( j) 0log 0 G ( j) 0log 0. G( j) Συνεπώς, το μέτρο του ενλόγω αντισταθμιστή 0log 0 G ( j) δρα ως ένα «ανισόπεδο» υπόστρωμα ή υπέδαφος στην καμπύλη μέτρου του αρχικού συστήματος 0log 0 G ( j), «βυθίζοντας» τις χαμηλές και «τονίζοντας» τις υψηλές συχνότητές του. Όπως προαναφέρθηκε, οι συχνότητες γονάτου ω L = / T και ω H = / ατ, που θέτουν τα όρια της «χαμηλής» και της «υψηλής» συχνοτικής ζώνης, καθορίζονται ακριβώς από τις τιμές των παραμέτρων α και Τ του αντισταθμιστή. Μεταβάλλοντας τις δύο αυτές παραμέτρους, μετακινούμε «οριζόντια» (κατά μήκος του άξονα των συχνοτήτων) το «σκαλοπάτι» της μεταβατικής ζώνης κατά βούλησιν, δηλαδή έτσι ώστε να ικανοποιηθούν οι προδιαγραφές.. Από την καμπύλη φάσης, παρατηρούμε κατ αρχήν ότι η φάση του αντισταθμιστή είναι πάντα θετική. Πράγματι, ισχύει: a G ( j) tan ( ) tan ( ) 0,, διότι η συνάρτηση τόξου εφαπτομένης (tan - ) είναι αύξουσα. Η κορυφή της χαρακτηριστικής αυτής καμπύλης, έστω φ m, παίρνει τιμές που κυμαίνονται συνήθως μεταξύ 0 0 και 60 0 περίπου, η δε συχνότητα ω m στην οποία επιτυγχάνεται η μέγιστη φάση φ m αποδεικνύεται ότι είναι ο γεωμετρικός μέσος των ω L = / T και ω H = / ατ, δηλαδή δίνεται από τη σχέση m L H T at T a Εξάλλου, όπως ο λογάριθμος του μέτρου έτσι και η φάση του αντισταθμιστή θα προστεθεί στη φάση του υπό αντιστάθμιση συστήματος, ώστε να προκύψει η τελική καμπύλη φάσης του βελτιωμένου συστήματος: ' G ( j) G ' G ( j) G ( j) G( j) ' G ( j) [(tan ( j) G( j) ( ) tan ( )] G( j) Επειδή η προστιθέμενη φάση του αντισταθμιστή είναι θετική, το αντισταθμισμένο σύστημα θα έχει πάντα μεγαλύτερη φάση από το αρχικό ή αλλιώς θα «προηγείται» σε φάση, εξ ου και το όνομα του αντισταθμιστή. Από τη μορφή της καμπύλης προκύπτει το συμπέρασμα ότι ο αντισταθμιστής μπορεί να συνεισφέρει μιά σημαντική ποσότητα φάσης (κατά μέγιστον φάση φ m ), κυρίως στη συχνότητα ω m και στις γειτονικές της. Η τιμή της ω m.

καθορίζεται από τις παραμέτρους α και Τ. Μεταβάλλοντας τις τιμές αυτών των παραμέτρων, ουσιαστικά «τοποθετούμε» την κορυφή της καμπύλης φάσης στην επιθυμητή συχνότητα, αναγκάζοντας τον αντισταθμιστή να συνεισφέρει το μέγιστο των δυνατοτήτων του σε συγκεκριμένη περιοχή συχνοτήτων. 3.5.3 Ερμηνεία μέσω του Διαγράμματος Nyquist Το διάγραμμα Nyquist του αντισταθμιστή σειράς με προήγηση φάσης φαίνεται στο Σχήμα 5.4.3. Πρόκειται για ημιπεριφέρεια, με άκρα στα σημεία α (για ω = 0) και (για ω ) και κέντρο στο σημείο ( + α)/. Η διάμετρος είναι ( - α) και η ακτίνα ( - α)/. Για δεδομένο α, η μέγιστη φάση φ m είναι η γωνία μεταξύ οριζόντιου άξονα και εφαπτόμενης ευθείας στο Σχήμα 5.4.3. Συνεπώς στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από την εφαπτόμενη και την ακτίνα, ισχύει ότι a sin( ) m a m sin a ( ) a Η σχέση αυτή είναι σημαντική στην πράξη, διότι συνδέει τη μέγιστη προήγηση φάσης φ m (η οποία συνήθως δίνεται ως προδιαγραφή ή προκύπτει εύκολα από τις προδιαγραφές) με την ελεύθερη προς ρύθμιση, σχεδιαστική παράμετρο α του αντισταθμιστή. 3.5.4 Προσθήκη ενίσχυσης στον αντισταθμιστή Ο αντισταθμιστής σειράς με προήγηση φάσης παρουσιάζει απόσβεση κατά 0 log 0 α db στις χαμηλές συχνότητες, ενώ αφήνει αλώβητες τις υψηλές. Είναι συνήθως επιθυμητό να εξουδετερωθεί αυτή η απόσβεση, η οποία για τυπική τιμή α = 0, είναι 0 db, δηλαδή αρκετά σημαντική. Αυτό επιτυγχάνεται με την εισαγωγή ενός ενισχυτή, με ενίσχυση έστω Κ c, γραμμική για την περιοχή συχνοτήτων που μας ενδιαφέρει, σε σειρά με τον αντισταθμιστή. Η συνάρτηση μεταφοράς του αντισταθμιστή πλέον παίρνει τη μορφή RC s G ( K c R C s Ts K c. Ts Σημειώνεται ότι η ενίσχυση αυτή δεν έχει καμμία επίπτωση στη θέση του πόλου και του μηδενικού του αντισταθμιστή, δεν έχει καμμία επίπτωση στην καμπύλη φάσης του διαγράμματος Bode του αντισταθμιστή, ενώ μετατοπίζει προς τα επάνω, παράλληλα με τον εαυτό της (κατά 0 log 0 Κ c db) την καμπύλη μέτρου του διαγράμματος Bode,

μεταφέρει δεξιότερα την ημιπεριφέρεια Nyquist, ώστε να βρίσκεται μεταξύ των σημείων (Kc α) και Κc, αντί των σημείων α και αντίστοιχα. Εννοείται ότι για να εξουδετερωθεί η προαναφερόμενη απόσβεση στις χαμηλές συχνότητες θα πρέπει Κ c >= (/α). Στην περίπτωση που επιλέξουμε ακριβώς Κ c = /α, ο τροποποιημένος αντισταθμιστής (μαζί με τον ενισχυτή Κ c ) θα παρουσιάζει απολαβή 0 db στις χαμηλές συχνότητες και 0 log 0 (/α) db στις υψηλές συχνότητες. Το μειονέκτημα αυτής της τροποποίησης είναι ότι στις υψηλές συχνότητες, που τώρα ενισχύονται αισθητά, ο θόρυβος υπερισχύει του σήματος. Αυτό σημαίνει ότι ενισχύουμε επιλεκτικά την περιοχή που υπερισχύει ο θόρυβος, γεγονός που μειώνει το τελικό SNR στην έξοδο. Δεδομένου ότι ο θόρυβος αποτελεί αναπόφευκτη πραγματικότητα για όλα τα φυσικά συστήματα, το σημείο αυτό αποτελεί μειονέκτημα του αντισταθμιστή σειράς με προήγηση φάσης. Εντούτοις στην πράξη η τροποποίηση με τον ενισχυτή Κ c χρησιμοποιείται πάντα, για έναν επιπλέον λόγο. Υποθέτουμε για απλότητα αρχικό σύστημα χωρίς ολοκληρωτές, δηλαδή τύπου n=0 και υπολογίζουμε τη σταθερά σφάλματος θέσης και το στατικό σφάλμα θέσης του (τα ανάλογα ισχύουν για τα στατικά σφάλματα ταχύτητας ή επιτάχυνσης σε συστήματα με έναν ή δύο ολοκληρωτές, αντίστοιχα). Η σταθερά σφάλματος θέσης Κ p του αντισταθμισμένου συστήματος εξαρτάται και από την ενίσχυση του αντισταθμιστή. Πράγματι, ισχύει χωρίς τον ενισχυτή : K p lim 0 G s ( lim s0 G ( G( ag(0), με τον ενισχυτή : Kp lim 0 G s ( lim s0 KcG ( G( KcaG(0). Το ίδιο το στατικό σφάλμα θέσης εp είναι αντίστοιχα χωρίς τον ενισχυτή : p, ag(0) K p με τον ενισχυτή : p. K K ag(0) p Συνεπώς η ενίσχυση Κ c είναι αντιστρόφως ανάλογη του στατικού σφάλματος. Είναι τώρα εμφανές ότι με την εισαγωγή του ενισχυτή Κ c δημιουργείται ένας επιπλέον βαθμός ελευθερίας στη σχεδίαση του αντισταθμιστή, προκειμένου να ρυθμιστεί στην επιθυμητή τιμή το εκάστοτε στατικό σφάλμα (να έρθει εντός προδιαγραφών). Επιπλέον, η ελεύθερη προς ρύθμιση παράμετρος Κ c, όντας καθαρή ενισχυτική σταθερά, δεν επηρεάζει τη φάση του συστήματος και συνεπώς δεν εμπλέκεται με τις προδιαγραφές επί της φάσης. c

3.5.5 Αναλυτικό παράδειγμα αντιστάθμισης σειράς με προήγηση φάσης Έστω δεδομένο ΣΑΕ με G( = 0 / [s(s+)] και μοναδιαία αρνητική ανατροφοδότηση (H( = ). Θα σχεδιαστεί αντισταθμιστής σειράς τύπου προήγησης φάσης, ώστε το βελτιωμένο σύστημα να πληρεί τις εξής προδιαγραφές : (α) K v = 0 sec -, (β) φ π = 50 ο, (γ) k π 0 db. Θα ακολουθήσουμε τα βήματα της παραγράφου 3.5, για τη σχεδίαση του ζητούμενου αντισταθμιστή. ΒΗΜΑ ο : Αναγνώριση του δεδομένου συστήματος Πρόκειται για σύστημα με έναν ολοκληρωτή (τύπου n=), άρα αναμένεται να έχει μηδενικό στατικό σφάλμα θέσης αλλά πεπερασμένο στατικό σφάλμα ταχύτητας. Συνεπώς έχει νόημα να δίδεται προδιαγραφή επί της τιμής της σταθεράς σφάλματος ταχύτητας K v. Επιπλέον το κλειστό σύστημα είναι ευσταθές, διότι οι πόλοι του F( = G( / [ + G(] = 0 / [ s +s +0] είναι οι συζυγείς μιγαδικοί s p, = (- ± j 39 ) /, που ανήκουν στο ΑΜΗ. Άρα η επιδιωκόμενη βελτίωση δεν έχει άμεσο στόχο την ευστάθεια του συστήματος, Απομένει να μετρηθούν τα περιθώρια κέρδους και φάσης του συστήματος και να ελεγχθεί αν πληρούν τις προδιαγραφές. BHMA ο : Χάραξη του κατάλληλου διαγράμματος Εφόσον οι προδιαγραφές δίδονται επί των περιθωρίων κέρδους και φάσης του συστήματος, επιλέγουμε ως καταλληλότερο για τη μέτρηση και πιθανή διόρθωσή τους το διάγραμμα Bode. Χαράζουμε το διάγραμμα Bode του Σχήματος 5.4.4.

ΒΗΜΑ 3 ο : Μέτρηση των μεγεθών των προδιαγραφών έλεγχος πλήρωσης των προδιαγραφών Μετράμε γραφικά από τις καμπύλες του Σχήματος 5.4.4. (ή υπολογίζουμε αναλυτικά με βάση τους ορισμούς τους) τα δύο περιθώρια, και υπολογίζουμε τη σταθερά σφάλματος ταχύτητας: k π, ( η προδιαγραφή (γ) πληρείται), φ π 40 ο, ( η προδιαγραφή (β) δεν πληρείται). Kv lim s 0 sg( 0 ( η προδιαγραφή (α) δεν πληρείται)., Δύο από τις τρεις προδιαγραφές δεν πληρούνται, άρα θα προχωρήσουμε σε σχεδίαση αντισταθμιστή. BHMA 4 ο : Απόφαση για την καταλληλότερη θέση του αντισταθμιστή. Θα σχεδιαστεί αντισταθμιστής σειράς (βλ. σχόλιο στο τέλος της παραγράφου 3.5). Το διάγραμμα βαθμίδων είναι εκείνο του Σχήματος 5...

ΒΗΜΑ 5 ο : Απόφαση για το είδος του αντισταθμιστή Θα σχεδιαστεί αντισταθμιστής σειράς με προήγηση φάσης (βλ. σχόλιο στο τέλος της παραγράφου 5.). Θα χρησιμοποιηθεί επιπλέον ενισχυτής Κ c. Συνεπώς η συνάρτηση μεταφοράς του αντισταθμιστή ενισχυτή θα είναι RC s G ( K c R C s Ts K c. Ts Οι προς ρύθμιση παράμετροι είναι οι Κ c, α, Τ. ΒΗΜΑ 6 ο : Ρύθμιση των παραμέτρων του αντισταθμιστή. Αρχίζουμε τη ρύθμιση από την προδιαγραφή επί του K v. Η σταθερά σφάλματος ταχύτητας K v του τελικού (αντισταθμισμένου) συστήματος G ( πρέπει να είναι 0 sec -, άρα K v lim s sg ( lim s0 sg ( G( lim s0 sk Ts 0 K Ts s( s ) 0 c c 0. Η προδιαγραφή απαιτεί K v 0 Kc0 0 Kc. Η σταθερά ενίσχυσης K c αποσπάται από τη συνάρτηση μεταφοράς του Ts αντισταθμιστή G π (, η οποία απομένει έτσι G (, και ενσωματώνεται στη Ts συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος G(, η οποία γίνεται έτσι 0 0 G ( K c G( K c. Παρατηρείστε ότι η μετακίνηση της s( s ) s( s ) ενισχυτικής σταθεράς δεν επηρεάζει τη συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου G ( του τελικού συστήματος, εφόσον ούτως ή άλλως Ts 0 Ts 0 G( G ( G( K c K c G ( G (. Ts s( s ) Ts s( s ) Συνεχίζουμε με την προδιαγραφή επί του περιθωρίου φάσης. Το νέο σύστημα 0 G ( έχει το πλεονέκτημα ότι πληροί την προδιαγραφή s( s ) (α) επί του K v. Ελέγχουμε αν πληροί και τις υπόλοιπες δύο: Χαράζουμε το διάγραμμα Bode του G (jω), όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.4.5, και το χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε τα περιθώρια κέρδους και φάσης του G (, τα οποία προκύπτουν:

k π, ( η προδιαγραφή (γ) πληρείται), φ π 4 ο, ( η προδιαγραφή (β) δεν πληρείται). Υπολογίζουμε την επιπλέον φάση που πρέπει να συνεισφέρει ο αντισταθμιστής ως εξής : Φ m = Φ π (προδιαγραφής) Φ π (ισχύον) = 50 0 4 0 = 36 0. Στο σημείο αυτό εισάγουμε τον εξής εμπειρικό διορθωτικό παράγοντα: Επειδή η προήγηση φάσης, όπως είδαμε στο Σχήμα 5.4., θα ανυψώσει την καμπύλη μέτρου του συστήματος στις υψηλές συχνότητες, η συχνότητα μοναδιαίου κέρδους ω του αντισταθμισμένου συστήματος (στην οποία μετράμε το περιθώριο φάσης) θα μετακινηθεί δεξιότερα, δηλαδή θα μεγαλώσει. Αυτό αποτελεί χαρακτηριστικό της προήγησης φάσης: πάντα αυξάνει το εύρος ζώνης του συστήματος. Αρα στην πράξη θα απαιτηθεί λίγο μεγαλύτερη προήγηση φάσης από την Φ m που υπολογίστηκε ανωτέρω, συνεπώς την διορθώνουμε κατά ένα εμπειρικό παράγοντα ΔΦ = 5 0, ως εξής: Φ m = Φ m + ΔΦ = 36 0 + 5 0 = 4 0. Σχόλιο: Η τιμή των 4 0 που προέκυψε είναι λογική, δηλαδή ούτε πολύ μικρή (μικρότερη των 0 0 περίπου) ούτε πολύ μεγάλη (μεγαλύτερη των 60 0 περίπου). Αρα ενδείκνυται να χρησιμοποιήσουμε προήγηση φάσης. Αν η τιμή προέκυπτε εκτός των ανωτέρω ορίων, θα έπρεπε να αναθεωρήσουμε την απόφασή μας για το είδος του αντισταθμιστή και να επιχειρήσουμε άλλου είδους λύση.

Από την τιμή Φ m = 4 0 ως εξής: προκύπτει άμεσα η τιμή του συντελεστή εξασθένησης α a sin( ) m a a sin( m ) a a sin( ) m 0,077 0,. Με γνωστό το α, ο συντελεστής καθαρής ενίσχυσης K c προκύπτει ως εξής: Η φάση Φ m = 4 0 K c = α K c / α = / 0, = 9,538. θα είναι η μέγιστη που θα δώσει ο αντισταθμιστής, δηλαδή η τιμή της κορυφής του. Αυτό θα συμβεί στη συχνότητα όπως είδαμε ήδη. m L H, T at T a Σχόλιο: Κρίσιμο για την κατανόηση της μεθόδου είναι το εξής σημείο: για το τελικό (αντισταθμισμένο) σύστημα, η νέα συχνότητα μοναδιαίου κέρδους του, έστω ω, επιλέγεται να τοποθετηθεί ακριβώς πάνω στην ω m. Προκειμένου όμως η ω m να λειτουργήσει ως νέα συχνότητα μοναδιαίου κέρδους ω, θα πρέπει εκεί η καμπύλη μέτρου του τελικού συστήματος να περάσει από τα 0 db. G( j) G 0log 0log 0 0 ( j) G ( j) G( j) 0log G 0 ( j) 0log 0 G ( j) G( j) 0log 0log 0 0 G ( j) G ( j) Στη συχνότητα ω = ω m., η τελευταία σχέση γίνεται: 0log 0 G 0log 0 ( j ) 0dB 0log G ( j ) 0log m m 0 0 G G ( j ) ( j ) m m Υπολογίζουμε την ανύψωση που συνεισφέρει η καμπύλη μέτρου του αντισταθμιστή στη συχνότητα ω m : jt log 0 G ( j) 0log 0log ( db) m / T a 0 jat 0 0 / T m a 6,77dB Συνεπώς πρέπει στη συχνότητα ω = ω m 6,77dB: η καμπύλη του G (jω) να περνάει από τα 0log 0 G ( j m ) 0log 0 G ( j m ) 0log 0 ( db) 6, 77dB

Εντοπίζουμε στο διάγραμμα Bode του G (jω) (Σχήμα 5.4.5) τη συχνότητα στην οποία η καμπύλη μέτρου διέρχεται από τα 6,77 db, και βρίσκουμε ότι είναι περίπου ω = 6,5 rad/sec. Εκεί τοποθετούμε την νέα ω = ω m. Από τη σχέση m L H T at T a = 6,5 rad/sec, προκύπτει Τ = 0,3357 sec., με γνωστά τα α = 0, και ω = ω m Τέλος οι συχνότητες γονάτου του αντισταθμιστή είναι ω L = / T =,9787 rad/sec και ω H = / ατ = 4,84 rad/sec. Η προδιαγραφή επί του περιθωρίου κέρδους δεν χρησιμοποιήθηκε κατά τη ρύθμιση των παραμέτρων. Είναι όμως υποχρεωτικό να ικανοποιείται κι αυτή. Συνεπώς θα πρέπει όταν χαράξουμε το διάγραμμα του τελικού συστήματος (βλ. Βήμα 7 κατωτέρω) να ελέγξουμε την πλήρωση της προδιαγραφής αυτής, πριν καταλήξουμε ότι η σχεδίαση ήταν επιτυχής. BHMA 7 ο : Χάραξη του διαγράμματος του τελικού (αντισταθμισμένου) συστήματος Σχηματίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου του τελικού (αντισταθμισμένου) συστήματος: Ts 0 0,3357s 0 G( G ( G( K c Ts s( s ) 0,3357 0,s s( s ) 95,33s 83,6854 G( 3 s 5,84s 4,84s Χαράζουμε το διάγραμμα Bode του τελικού συστήματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.4.6.

BHMA 8 ο : Μέτρηση των μεγεθών των προδιαγραφών Μετράμε τα περιθώρια κέρδους και φάσης και υπολογίζουμε τη σταθερά σφάλματος ταχύτητας. Προκύπτει k π, ( η προδιαγραφή (γ) πληρείται), φ π = 50 ο, ( η προδιαγραφή (β) πληρείται). K lim 0 v s sg ( 0 ( η προδιαγραφή (α) πληρείται)., Όλες οι προδιαγραφές πληρούνται, άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω επαναλήψεις των βημάτων της σχεδίασης. BHMA 9 ο : Διαμόρφωση της τελικής λύσης (κύκλωμα αντισταθμιστή) Σχηματίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς του αντισταθμιστή, συμπεριλαμβάνοντας και την ενίσχυση κατά K c : G Ts ( K c Ts 0,3357s 0,3357 0,s Το διάγραμμα Bode του αντισταθμιστή δίνεται στο Σχήμα 5.4.7. Το μηδενικό του βρίσκεται στη θέση s z = -,9787 και ο πόλος του στη θέση s p = - 4,84. Παρατηρείστε ότι πρόκειται ακριβώς για τους αντίθετους αριθμούς των συχνοτήτων γονάτου ω L και ω H, αντίστοιχα.

Για λόγους πληρότητας, στο Σχήμα 5.4.8 δίνονται στο ίδιο πλαίσιο τα διαγράμματα Bode (α) του αρχικού συστήματος G(, (β) του αντισταθμιστή G π ( και (γ) του τελικού (αντισταθμισμένου) συστήματος G (.

Παρατηρείστε ότι ο αντισταθμιστής ανυψώνει το μέτρο του συστήματος στις υψηλές συχνότητες, μεταθέτοντας δεξιότερα τη συχνότητα μοναδιαίου κέρδους από το 4,4 rad/sec στο 6,5 rad/sec περίπου, ενώ παράλληλα στην καμπύλη φάσης συνεισφέρει τη μέγιστη θετική του φάση των 4 ο στη συχνότητα των 6,5 rad/sec. Στο σημείο αυτό ολοκληρώθηκε το παράδειγμα σχεδίασης του αντισταθμιστή σειράς με προήγηση φάσης. Εντούτοις έχει ενδιαφέρον να σχηματίσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος, προκειμένου να χαράξουμε της απόκρισης του κλειστού συστήματος σε βηματική είσοδο και σε είσοδο ράμπας, και να μετρήσουμε τα στατικά σφάλματα θέσης και ταχύτητας. Χρησιμοποιώντας το αντισταθμισμένο σύστημα υπολογίζουμε : 95,33s 83,6854 G (, 3 s 5,84 s 4,84 s G( F G( H( s ( 3 Οι πόλοι του βρίσκονται στις θέσεις s p = -4,7307 5,84s 95,33s 83,6854 09,54s 83,6854

s p = -5,7 + j 5,74 s p3 = -5,7 - j 5,74 και το μηδενικό στη θέση s z = -,9787 (πρόκειται για το μηδενικό του αντισταθμιστή). Επιβεβαιώνουμε ότι το κλειστό σύστημα είναι ευσταθές, εφόσον οι πόλοι του ανήκουν στο ΑΜΗ. Ο συγκεκριμένος τύπος αντιστάθμισης αύξησε τους πόλους και τα μηδενικά του κλειστού συστήματος κατά ένα, αλλά δεν αύξησε τον αριθμό των ολοκληρωτών. Τέλος στα Σχήματα 5.4.9 και 5.4.0 δίνονται οι καμπύλες της βηματικής απόκρισης και της απόκρισης ράμπας, αντίστοιχα, του κλειστού συστήματος. Στο κάθε σχήμα εμφανίζεται η απόκριση του μη αντισταθμισμένου συστήματος με διακεκομμένη γραμμή και η απόκριση του αντισταθμισμένου με συνεχή γραμμή. Στο Σχήμα 5.4.9 παρατηρούμε ότι το στατικό σφάλμα θέσης μηδενίζεται τελικά. Επίσης παρατηρούμε ότι η υπερύψωση (overshoot) μειώθηκε σε 5% από 60% που ήταν αρχικά. Τέλος το αντισταθμισμένο σύστημα παρουσιάζει προήγηση κατά περίπου 0,5 sec έναντι του αρχικού, ενώ έχουν σαφώς μειωθεί οι χρόνοι ανόδου T r και αποκατάστασης T s.

Στο Σχήμα 5.4.0 παρατηρούμε ότι το στατικό σφάλμα ταχύτητας σταθεροποιείται στην πεπερασμένη τιμή v έναντι της τιμής K 0 v που είχε πριν την αντιστάθμιση. Αυτό ήταν αναμενόμενο, εφόσον K 0 v η προδιαγραφή (α) απαίτησε ουσιαστικά διπλασιασμό της σταθεράς σφάλματος ταχύτητας, άρα υποδιπλασιασμό του στατικού σφάλματος ταχύτητας. v

% Phase lead Compensation Example in MATLAB % % Uncompensated system GH( = 0 / [s(s+)] (H( = ) figure() GH = tf([0],[ 0]) w = [0.0 0.0 0.04 0. 0. 0.4.0.0 4.0 0.0 0.0 40.0 00.0 00.0 400.0 000.0] bode(gh,w) grid title('5.4.4: BODE PLOT of the uncompensated system, GH( = 0 / [s(s+)]') print -dbitmap bode_lead_gh.bmp % % Uncompensated system with adjusted gain, GH( = 0 / [s(s+)] (H( = ) figure() GH = tf([0],[ 0]) w = [0.0 0.0 0.04 0. 0. 0.4.0.0 4.0 0.0 0.0 40.0 00.0 00.0 400.0 000.0] bode(gh,w) grid title('5.4.5: BODE PLOT of the uncompensated system with adjusted gain, GH( = 0 / [s(s+)]') print -dbitmap bode_lead_gh.bmp % % Phase lead compensator (normalized) Gc( = [ + 0.3357s] / [ + 0.07050s] figure(3) Gc = tf([0.3357 ], [0.07050 ]) w = [0.0 0.0 0.04 0. 0. 0.4.0.0 4.0 0.0 0.0 40.0 00.0 00.0 400.0 000.0] bode(gc,w) grid title('bode PLOT of the normalized compensator, Gc( = [ + 0.3357s] / [ + 0.07050s]') print -dbitmap bode_lead_gc.bmp % % Phase lead compensator Gc( = *[ + 0.3357s] / [ + 0.07050s] figure(4) Gc = tf(*[0.3357 ], [0.07050 ]) w = [0.0 0.0 0.04 0. 0. 0.4.0.0 4.0 0.0 0.0 40.0 00.0 00.0 400.0 000.0] bode(gc,w) grid title('5.4.7: BODE PLOT of the compensator, Gc( = *[ + 0.3357s] / [ + 0.07050s]') print -dbitmap bode_lead_gc.bmp % % Compensated system, Gc*GH( = *[+ 0.3357s]*0 / [+0.7050s]*[s(s+)] figure(5) GcGH = tf(*[0.3357 ]*0, [0.07050.07050 0]) w = [0.0 0.0 0.04 0. 0. 0.4.0.0 4.0 0.0 0.0 40.0 00.0 00.0 400.0 000.0] bode(gcgh,w) grid

title('5.4.6: BODE PLOT of the compensated system, Gc*GH( = *[+ 0.3357s]*0 / [+0.7050s]*[s(s+)]') print -dbitmap bode_lead_gcgh.bmp % % All three systems in one BODE plot figure(6) w = [0.0 0.0 0.04 0. 0. 0.4.0.0 4.0 0.0 0.0 40.0 00.0 00.0 400.0 000.0] bode(gh,'b--',gc,'g-.',gcgh,'r-',w) grid title('5.4.8: BODE plot of systems: uncompensated GH(--), compensator Gc(-.), compensated GcGH(-)'); print -dbitmap bode_lead_all3.bmp % % Unit step response before and after compensation % figure(7) num = [0] den = [ 0] t = [0:0.:4]; [c, x, t] = step(num, den, t); numc = [ 0 0 95.38 83.6854 ] denc = [ 5.84 09.4 83.6854 ] [c, x, t] = step(numc, denc, t); plot(t,c,'--b',t,c,'-r',t,ones(size(t)),'-m') grid title('5.4.9: Unit step response of closed system F(, uncomp. (--) and comp. (-)') print -dbitmap phase_lead time_step.bmp % % Unit ramp response before and after compensation % figure(8) num = [0] den = [ 0 0] t = [0:0.:7]; [c, x, t] = step(num, den, t); numc = [ 0 0 0 95.38 83.6854 ] denc = [ 5.84 09.4 83.6854 0] [c, x, t] = step(numc, denc, t); plot(t,c,'--b',t,c,'-r',t,t,'-m') grid title('5.4.0: Unit ramp response of closed system F(, uncomp. (--) and comp. (-)') print -dbitmap phase_lead time_ramp.bmp 9

30 3.6 Αντιστάθμιση με καθυστέρηση φάσης (Phase lagcompensation) Προκειμένου να αναπτυχθεί η μέθοδος αντιστάθμισης σειράς με καθυστέρηση φάσης (Phase lag compensation) θα εξετάσουμε ως υποψήφιο αντισταθμιστή το παθητικό ηλεκτρικό δικτύωμα του Σχήματος 5.5.. Πρόκειται προφανώς για σύστημα (φίλτρο) πρώτης τάξης. Μεταβαίνοντας στο πεδίο Laplace, εύκολα υπολογίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς G κ ( του δικτυώματος, χρησιμοποιώντας το διαιρέτη τάσης μεταξύ τάσης εισόδου U in ( και τάσης εξόδου U out ( : Ts Ts s C R s C R s G s C R R R R s C R sc R R sc R s U s U s G s U sc R R sc R s U in out in out ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Στην τελευταία έκφραση χρησιμοποιήθηκαν οι συμβολισμοί: R R R C R T Η σταθερά χρόνου T και ο συντελεστής εξασθένησης α καθορίζονται από τις τιμές των στοιχείων R, C του δικτυώματος και είναι προφανώς πραγματικές και θετικές ποσότητες. Παρατηρείστε ότι από τη μορφή της G κ ( προκύπτει ότι δεν περιέχει ολοκληρωτές, δηλαδή όρους της μορφής ( / s n ). Αυτό σημαίνει ότι δεν αυξάνει τον αριθμό των ολοκληρωτών του υπό αντιστάθμιση συστήματος, σε αντιδιαστολή με τον ελεγκτή τριών σημείων (PID) ο οποίος αυξάνει τον αριθμό των ολοκληρωτών του συστήματος κατά ένα.

3.6. Ερμηνεία μέσω του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών Το δικτύωμα αυτό έχει ένα μηδενικό στη συχνότητα s z = - / T και έναν πόλο στη συχνότητα s p = -α / Τ. Και τα δύο είναι πραγματικά και όχι μιγαδικά και ανήκουν στο Αριστερό Μιγαδικό Ημιεπίπεδο (ΑΜΗ) για οποιαδήποτε θετική τιμή των α και Τ. Δεδομένου ότι είναι α <, ο πόλος βρίσκεται πάντα δεξιότερα από το μηδενικό, πάνω στον οριζόντιο άξονα. Αυτό καθορίζει και τη φύση του αντισταθμιστή ως καθυστερητή φάσης, όπως θα γίνει φανερό στα επόμενα. Εφόσον το ανωτέρω δικτύωμα θα χρησιμοποιηθεί ως αντισταθμιστής σειράς, από το διάγραμμα βαθμίδων του Σχήματος 5.. προκύπτει ότι η νέα (αντισταθμισμένη) συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου του συστήματος θα δίνεται από τη σχέση: G ( G ( G(, υποθέτοντας πάντα ότι H( =. Συνεπώς το μηδενικό και ο πόλος του αντισταθμιστή θα προστεθούν στα υπάρχοντα μηδενικά και πόλους του υπό αντιστάθμιση συστήματος. Άρα η ρύθμιση των παραμέτρων α και Τ του αντισταθμιστή, δηλαδή η οριστικοποίηση των θέσεων του πόλου και του μηδενικού του σε σχέση με τη θέση των υπόλοιπων πόλων και μηδενικών, θα καθορίσει και τον τρόπο που θα επηρεάσει ο ενλόγω αντισταθμιστής το Γεωμετρικό Τόπο Ριζών του συστήματος. 3.6. Ερμηνεία μέσω του Διαγράμματος Bode Το διάγραμμα Bode του αντισταθμιστή σειράς με καθυστέρηση φάσης φαίνεται στο Σχήμα 5.5.. Η πρώτη καμπύλη (καμπύλη μέτρου) αναπαριστά το λογάριθμο του μέτρου, 0log 0 G ( j), συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας ω (κατακόρυφος άξονας σε db). Η δεύτερη καμπύλη (καμπύλη φάσης) αναπαριστά τη φάση, G ( j), συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας ω (κατακόρυφος άξονας σε μοίρες).. Από την καμπύλη μέτρου φαίνεται ο βαθυπερατός χαρακτήρας του φίλτρου, με συχνότητες γονάτου ω L = α / T και ω H = / Τ, απολαβή 0 db στις χαμηλές συχνότητες και 0 log 0 α db (αρνητική) στις υψηλές συχνότητες και σιγμοειδή μετάβαση στη ζώνη συχνοτήτων μεταξύ ω L και ω H. Λόγω λογαρίθμησης του κατακόρυφου άξονα, αντιλαμβανόμαστε ότι η καμπύλη μέτρου θα προστεθεί στην αντίστοιχη καμπύλη μέτρου του υπό αντιστάθμιση συστήματος, ώστε να προκύψει η τελική καμπύλη μέτρου του βελτιωμένου συστήματος: 3

' G ( j) G 0log 0 ( j) G( j) ' G ( j) 0log 0 G ( j) 0log 0 G( j). Συνεπώς, το μέτρο του ενλόγω αντισταθμιστή 0log 0 G ( j) δρα ως ένα «ανισόπεδο» υπόστρωμα ή υπέδαφος στην καμπύλη μέτρου του αρχικού συστήματος 0log 0 G ( j), «τονίζοντας» τις χαμηλές και «βυθίζοντας» τις υψηλές συχνότητές του. Όπως προαναφέρθηκε, οι συχνότητες γονάτου ω L = α / T και ω H = / Τ, που θέτουν τα όρια της «χαμηλής» και της «υψηλής» συχνοτικής ζώνης, καθορίζονται ακριβώς από τις τιμές των παραμέτρων α και Τ του αντισταθμιστή. Μεταβάλλοντας τις δύο αυτές παραμέτρους, μετακινούμε «οριζόντια» (κατά μήκος του άξονα των συχνοτήτων) το «σκαλοπάτι» της μεταβατικής ζώνης κατά βούλησιν, δηλαδή έτσι ώστε να ικανοποιηθούν οι προδιαγραφές.. Από την καμπύλη φάσης, παρατηρούμε κατ αρχήν ότι η φάση του αντισταθμιστή είναι πάντα αρνητική. Πράγματι, ισχύει: G ( j) tan ( ) tan ( ) 0,, διότι η συνάρτηση τόξου εφαπτομένης (tan - ) είναι αύξουσα. Η αρνητική κορυφή της χαρακτηριστικής αυτής καμπύλης, έστω φ m, παίρνει τιμές που κυμαίνονται συνήθως μεταξύ -0 0 και -60 0 περίπου, η δε συχνότητα ω m στην οποία επιτυγχάνεται η ελάχιστη φάση φ m αποδεικνύεται ότι είναι ο γεωμετρικός μέσος των ω L = α / T και ω H = / Τ, δηλαδή δίνεται από τη σχέση a m L H T T T Εξάλλου, όπως ο λογάριθμος του μέτρου έτσι και η φάση του αντισταθμιστή θα προστεθεί στη φάση του υπό αντιστάθμιση συστήματος, ώστε να προκύψει η τελική καμπύλη φάσης του βελτιωμένου συστήματος: ' G ( j) G ' G ( j) G ( j) G( j) ( j) G( j) ' G ( j) [(tan ( ) tan ( )] G( j) Επειδή η προστιθέμενη φάση του αντισταθμιστή είναι αρνητική, το αντισταθμισμένο σύστημα θα έχει πάντα μικρότερη φάση από το αρχικό ή αλλιώς θα «καθυστερεί» σε φάση, εξ ου και το όνομα του αντισταθμιστή. Από τη μορφή της καμπύλης προκύπτει το συμπέρασμα ότι ο αντισταθμιστής μπορεί να συνεισφέρει μιά σημαντική ποσότητα αρνητικής φάσης (κατ ελάχιστον φάση φ m ), κυρίως στη συχνότητα ω m και στις γειτονικές της. Η τιμή της ω m καθορίζεται από τις παραμέτρους α και Τ. Μεταβάλλοντας τις τιμές αυτών των παραμέτρων, ουσιαστικά «τοποθετούμε» την αρνητική κορυφή της καμπύλης φάσης στην επιθυμητή συχνότητα, αναγκάζοντας τον αντισταθμιστή να συνεισφέρει το μέγιστο των δυνατοτήτων του σε συγκεκριμένη περιοχή συχνοτήτων.. 3

3.6.3 Ερμηνεία μέσω του Διαγράμματος Nyquist Το διάγραμμα Nyquist του αντισταθμιστή σειράς με προήγηση φάσης φαίνεται στο Σχήμα 5.5.3. Πρόκειται για ημιπεριφέρεια που κείται στα αρνητικά του άξονα jω, με άκρα στα σημεία α (για ω ) και (για ω = 0) και κέντρο στο σημείο ( + α)/. Η διάμετρος είναι ( - α) και η ακτίνα ( - α)/. Για δεδομένο α, η μέγιστη αρνητική φάση φ m είναι η γωνία μεταξύ οριζόντιου άξονα και εφαπτόμενης ευθείας στο Σχήμα 5.5.3. Συνεπώς στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από την εφαπτόμενη και την ακτίνα, ισχύει ότι a sin( ) m a m sin a ( ) a Η σχέση αυτή είναι σημαντική στην πράξη, διότι συνδέει τη μέγιστη προήγηση φάσης φ m (η οποία συνήθως δίνεται ως προδιαγραφή ή προκύπτει εύκολα από τις προδιαγραφές) με την ελεύθερη προς ρύθμιση, σχεδιαστική παράμετρο α του αντισταθμιστή. 3.6.4 Προσθήκη ενίσχυσης στον αντισταθμιστή Ο αντισταθμιστής σειράς με προήγηση φάσης παρουσιάζει αρνητική ενίσχυση (απόσβεση) κατά 0 log 0 α db στις υψηλές συχνότητες, ενώ αφήνει αλώβητες τις χαμηλές. Είναι συνήθως επιθυμητό να εξουδετερωθεί αυτή η απόσβεση, η οποία για τυπική τιμή α = 0, είναι 0 db, δηλαδή αρκετά σημαντική. Αυτό επιτυγχάνεται με την εισαγωγή ενός ενισχυτή, με ενίσχυση έστω Κ c, γραμμική για την περιοχή συχνοτήτων που μας ενδιαφέρει, σε σειρά με τον αντισταθμιστή. Η συνάρτηση μεταφοράς του αντισταθμιστή πλέον παίρνει τη μορφή RCs Ts G ( K c K c. RCs Ts Η ενίσχυση αυτή λειτουργεί όπως και στην περίπτωση του αντισταθμιστή προήγησης φάσης. Εννοείται ότι για να εξουδετερωθεί η προαναφερόμενη απόσβεση στις υψηλές συχνότητες θα πρέπει Κ c >= (/α). Στην περίπτωση που επιλέξουμε ακριβώς Κ c = /α, ο τροποποιημένος αντισταθμιστής (μαζί με τον ενισχυτή Κ c ) θα παρουσιάζει απολαβή 0 db στις υψηλές συχνότητες και 0 log 0 (/α) db στις χαμηλές συχνότητες. Δεν παρουσιάζεται εδώ το πρόβλημα επιλεκτικής ενίσχυσης του θορύβου, που εντοπίστηκε στην περίπτωση της προήγησης φάσης. 33

Τέλος σημειώνεται ότι και στην περίπτωση του αντισταθμιστή με καθυστέρηση φάσης, στην πράξη χρησιμοποιείται πάντα η τροποποίηση με τον ενισχυτή Κ c, για τον ίδιο λόγο με την προήγηση φάσης, δηλαδή για τη μείωση των στατικών σφαλμάτων σε επιθυμητά επίπεδα. Συνοπτικά, η καθυστέρηση φάσης κάνει αισθητή την επίδρασή της στην χρονική απόκριση του συστήματος μόνο για μεγάλους χρόνους, ενώ στην αρμονική απόκριση του συστήματος μόνο για μικρές συχνότητες. Η επίδρασή της συνίσταται κυρίως στα εξής δύο σημεία: (α) βελτιώνει την ευστάθεια του συστήματος, αυξάνοντας τα σχετικά περιθώρια ευστάθειας, χωρίς όμως να αυξάνει το εύρος ζώνης, και (β) βελτιώνει τη στατική ακρίβεια του συστήματος, δηλαδή μειώνει τα στατικά σφάλματα. Επειδή όμως ο στόχος της βελτίωσης της ευστάθειας επιτυγχάνεται πολύ καλά και με χρήση προήγησης φάσης η οποία επιπλέον αυξάνει και το εύρος ζώνης, άρα μειώνει το χρόνο ανόδου η καθυστέρηση τελικά χρησιμοποιείται κυρίως για το στόχο της μείωσης των στατικών σφαλμάτων. 3.6.5 Αναλυτικό παράδειγμα αντιστάθμισης σειράς με καθυστέρηση φάσης Έστω δεδομένο ΣΑΕ με G( = 6 / [s(s+)(s+3)] και μοναδιαία αρνητική ανατροφοδότηση (H( = ). Θα σχεδιαστεί αντισταθμιστής σειράς τύπου καθυστέρησης φάσης, ώστε το βελτιωμένο σύστημα να πληρεί τις εξής προδιαγραφές : (α) K v = 0 sec -, (β) φ π 40 ο, (γ) k π 0 db. Θα ακολουθήσουμε τα βήματα της παραγράφου 5., για τη σχεδίαση του ζητούμενου αντισταθμιστή. ΒΗΜΑ ο : Αναγνώριση του δεδομένου συστήματος Πρόκειται για σύστημα με έναν ολοκληρωτή (τύπου n=), άρα αναμένεται να έχει μηδενικό στατικό σφάλμα θέσης αλλά πεπερασμένο στατικό σφάλμα ταχύτητας. Συνεπώς έχει νόημα να δίδεται προδιαγραφή επί της τιμής της σταθεράς σφάλματος ταχύτητας K v. Επιπλέον το κλειστό σύστημα είναι ευσταθές, διότι οι πόλοι του F( = G( / [ + G(H(] = 6 / [ s 3 + 5s + 6s + 6] είναι οι συζυγείς μιγαδικοί s p, = (-0,5773 ± j,077) και ο s p3 = -3,8455, που ανήκουν στο ΑΜΗ. Άρα η επιδιωκόμενη βελτίωση 34

δεν έχει άμεσο στόχο την ευστάθεια του συστήματος, Απομένει να μετρηθούν τα περιθώρια κέρδους και φάσης του συστήματος και να ελεγχθεί αν πληρούν τις προδιαγραφές. BHMA ο : Χάραξη του κατάλληλου διαγράμματος Εφόσον οι προδιαγραφές δίδονται επί των περιθωρίων κέρδους και φάσης του συστήματος, επιλέγουμε ως καταλληλότερο για τη μέτρηση και πιθανή διόρθωσή τους το διάγραμμα Bode. Χαράζουμε το διάγραμμα Bode του Σχήματος 5.5.4. ΒΗΜΑ 3 ο : Μέτρηση των μεγεθών των προδιαγραφών έλεγχος πλήρωσης των προδιαγραφών Μετράμε γραφικά από τις καμπύλες του Σχήματος 5.5.4. (ή υπολογίζουμε αναλυτικά με βάση τους ορισμούς τους) τα δύο περιθώρια, και υπολογίζουμε τη σταθερά σφάλματος ταχύτητας: k π = 4,5 db, ( η προδιαγραφή (γ) πληρείται), φ π 49 ο, ( η προδιαγραφή (β) πληρείται), Kv lim s 0 sg(, ( η προδιαγραφή (α) δεν πληρείται). Aρα θα προχωρήσουμε σε σχεδίαση αντισταθμιστή. 35