ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων οµάδων υπέρ του C Αυτές εφαρµόζονται στο επόµενο κεφάλαιο όπου αποδεικνύουµε ένα θεµελιώδες θεώρηµα του Bude που αφορά επιλυσιµότητα οµάδων τάξης p q b ( p, q πρώτοι) 7 Αναπαραστάσεις Έστω G µια οµάδα και k ένα σώµα Μια αναπαράσταση της G υπέρ του k είναι ένας οµοµορφισµός οµάδων ρ : G GL ( k), για κάποιο, όπου GL (k) είναι η οµάδα των αντιστρέψιµων βαθµός της αναπαράστασης πινάκων µε στοιεία από το k Το ονοµάζεται Αν ρ : G GL ( k) είναι µια αναπαράσταση της G, τότε θέτοντας V : = k και ορίζοντας v = ρ( )( v) λαµβάνουµε ένα k[g]-πρότυπο Αντίστροφα αν V είναι ένα k[g]-πρότυπο διάστασης <, τότε σταθεροποιώντας µια βάση του V έουµε Aut( V ) GL ( k) και ορίζεται ένας οµοµορφισµός οµάδων ρ : G GL ( k), όπου ρ () είναι ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης V v v V Έτσι, στις σηµειώσεις αυτές, θα ρησιµοποιούµε τους όρους αναπαράσταση της G και k[g]- πρότυπο ωρίς να γίνεται ιδιαίτερη διάκριση µεταξύ της ρ και του V 7 Παράδειγµα Για κάθε οµάδα G έουµε την αναπαράσταση ρ : G GL ( k), όπου ρ ( ) = για κάθε G Αυτή λέγεται η τετριµµένη αναπαράσταση της G Για τη συµµετρική οµάδα G = S έουµε την αναπαράσταση ρ : G GL ( k), όπου ρ( σ) = ( σ) για κάθε σ S Αυτή λέγεται η αναπαράσταση προσήµου της S

68 Έστω G η οµάδα D 8 που δίνεται µε γεννήτορες και σέσεις από 4 8, b : = b =, D = b = b (Αυτή έει τάξη 8 και είναι µία από µια οικογένεια οµάδων που ονοµάζονται διεδρικές Γεωµετρικά, η D8 περιγράφει τις συµµετρίες ενός τετραγώνου) Θέτουµε Ελέγουµε ότι A=, B= ( M( C )) 4 =, A B = I πάνω από το C, ρ : G GL ( C) AB = BA Ορίζουµε µία αναπαράσταση G ρ( b ) = A B, =,, =, Γεωµετρικά το Α παριστάνει στροφή 9 ο γύρω από την αρή των αξόνων και το Β ανάκλαση ως προς τον άξονα των x Έτσι η συγκεκριµένη αναπαράσταση ρ παριστάνει τη G ως οµάδα µετασηµατισµών του επιπέδου ύο αναπαραστάσεις ρ, ρ : G GL ( k) λέγεται ισοδύναµες αν υπάρει T GL (k) µε την ιδιότητα ρ ( ) = T ρ( ) T για κάθε G Για παράδειγµα η αναπαράσταση ρ : D8 GL( C ) του προηγούµενου παραδείγµατος είναι ισοδύναµη µε την ρ : D8 GL( C ) που ορίζεται από ρ ( ) = και ρ (b) = Εδώ Τ είναι ο πίνακας που διαγωνοποιεί τον Α, δηλαδή ο πίνακας των ιδιοδιανυσµάτων του Α, T = Έστω ρ, ρ : G GL ( k) δύο αναπαραστάσεις της G µε αντίστοια k[g]- πρότυπα k[g]-προτύπων V, V Τότε οι ρ, ρ είναι ισοδύναµες αν και µόνο αν υπάρει ισοµορφισµός V V (άσκηση) Ένα k[g]-πρότυπο λέγεται ανάγωγο αν δεν έει µη τετριµµένα γνήσια υποπρότυπα Μία αναπαράσταση ρ : G GL ( k) λέγεται ανάγωγη αν το αντίστοιο k[g]-πρότυπο V είναι ανάγωγο

69 7 Παράδειγµα Έστω G = S η συµµετρική οµάδα των µεταθέσεων στοιείων Έστω k V = και µια βάση { v,, v } του V Το V είναι S -πρότυπο µε δράση σ v = εν είναι απλό όταν >, γιατί ένα υποπρότυπό του είναι το v σ () v + + v Πράγµατι, έουµε ( ) σ S σ v + + v = v + + v = v + + v για κάθε σ() σ( ) Ένα k[g]-πρότυπο V λέγεται πλήρως αναλύσιµο αν είναι ευθύ άθροισµα αναγώγων υποπροτύπων του Το θεώρηµα του Mchke (κεφάλαιο ) µας δίνει το εξής αποτέλεσµα 7 Πόρισµα Έστω G µια πεπερασµένη οµάδα τάξης Αν η αρακτηριστική του k είναι µηδέν, ή αν η αρακτηριστική του k είναι p µε p /, τότε κάθε k[g]-πρότυπο είναι πλήρως αναλύσιµο Στα παρακάτω θα ασοληθούµε αποκλειστικά µε την περίπτωση k = C, οπότε ισύει το προηγούµενο πόρισµα Στο κεφάλαιο είδαµε ότι υπάρει ισοµορφισµός αλγεβρών έουµε C[ G] M ( C) M ( C ) Λαµβάνοντας διαστάσεις υπεράνω του C G + + = Υπενθυµίζουµε ότι το είναι το πλήθος των ανά δυο µη ισόµορφων απλών C[ G] - προτύπων Στη συνέεια θα αρακτηρίσουµε τον αριθµό ρησιµοποιώντας οµαδοθεωρητικές έννοιες Υπενθυµίζουµε ότι η κλάση συζυγίας του G είναι το σύνολο { x x x G} και ότι δύο κλάσεις συζυγίας είτε ταυτίζονται είτε είναι ξένες Έστω C µία κλάση συζυγίας Θέτουµε C = C [ G] C Θα δείξουµε ότι κάθε C ανήκει στο κέντρο της άλγεβρας C [ G] Έστω C = { x x,, x x } και h G Έουµε C x x, οπότε h Ch = h = x = = x h = C, ()

7 γιατί καθώς το x διατρέει τα στοιεία x το h x xh x,, διατρέει τα στοιεία του C (αφού x xh = h x x h x h x x x = x λόγω του ορισµού των x στο σύνολο C) Από την () συνάγουµε ότι C C( C [ G]) 74 Πρόταση Έστω C,,Cm οι (ανά δύο διάφορες) συζυγείς κλάσεις της G Τότε µία βάση του C -διανυσµατικού ώρου C( C [ G]) είναι C,,C m Απόδειξη: ) Γραµµική ανεξαρτησία: Αν λ C + λ m C µε λ C παίρνουµε + m = λ = = λm =, γιατί τα C,,Cm είναι ανά δύο ξένα σύνολα ) Έστω λ C( C [ G]) Τότε για h G ισύει λ h h = λ, δηλαδή οπότε παίρνουµε hxh στοιεία µια κλάσης συζυγίας x λ x = λ, x G hxh λ = λ για κάθε x G Με άλλα λόγια, καθώς το διατρέει τα C ο συντελεστής λ παραµένει σταθερός λ = λ Έτσι γράφουµε λ = λ C + + λ mcm 75 Πόρισµα Το πλήθος των ανά δύο µη ισόµορφων αναγώγων C[ G] -προτύπων είναι το πλήθος των κλάσεων συζυγίας της G Απόδειξη: Έουµε C[ G] M ( C) M ( C ) όπου είναι το πλήθος των ανά δύο µη ισόµορφων αναγώγων C[ G] -προτύπων Υπολογίζοντας κέντρα σύµφωνα µε την άσκηση παίρνουµε C( C[ G]) C Το ζητούµενο προκύπτει από την Πρόταση 74 76 Πόρισµα Μια πεπερασµένη οµάδα G είναι αβελιανή αν και µόνο αν κάθε ανάγωγο C[ G] -πρότυπο έει διάσταση ένα Απόδειξη: Αν G αβελιανή, τότε η G έει G κλάσεις συζυγίας, οπότε η σέση

7 = + δίνει = = = G Αντίστροφα αν =, τότε από τη = = σέση G = + + έπεται ότι G =, οπότε η G έει G κλάσεις συζυγίας και άρα είναι αβελιανή 77 Παράδειγµα (Οι ανάγωγες αναπαραστάσεις αβελιανών οµάδων) Έστω G (πεπερασµένη, όπως πάντα) αβελιανή οµάδα τάξης Από το θεώρηµα ταξινόµησης των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων (που συνήθως αναπτύσσεται σε προπτυιακά µαθήµατα Άλγεβρας) γνωρίζουµε ότι η G είναι ισόµορφη µε ευθύ γινόµενο κυκλικών οµάδων, όπου είναι: G Z Z, είναι θετικοί ακέραιοι Μια παρουσίαση της G µε γεννήτορες και σέσεις,, : = = = G =, = Έστω λ,, λ C µε λ = Ορίζουµε την αναπαράσταση ρ λ λ : G C * { λ λ = λ λ ( ) λ ρ = λ Το σύνολο ρ λ =,,, } έει ακριβώς = στοιεία και αποτελεί το σύνολο των αναγώγων αναπαραστάσεων της G υπέρ του C 7 Χαρακτήρες Έστω ρ : G GL ( k) αναπαράσταση της G Ο αρακτήρας του ρ είναι η απεικόνιση το ίνος ρ : G k, ρ ( ) = T( ρ( )) για κάθε G, όπου T( A ) συµβολίζει του πίνακα A ( ) αρακτήρας της αντίστοιης αναπαράστασης = Ο αρακτήρας ενός k [G]-προτύπου είναι ο Επειδή όµοιοι πίνακες έουν το αυτό ίνος παρατηρούµε ότι ισοδύναµες αναπαραστάσεις έουν τον αυτό αρακτήρα Επιπλέον η τιµή ρ () εξαρτάται µόνο από τη κλάση συζυγίας του Για παράδειγµα ο αρακτήρας της αναπαράστασης ρ : D8 GL( C ) του Παραδείγµατος 7 είναι

7 ( ) b b b b Παρατηρούµε ότι αν είναι ο αρακτήρας µιας αναπαράστασης ρ : G GL ( C ), τότε: ρ υπέρ του ) Ο βαθµός της ρ είναι η τιµή () ) Αν m είναι η τάξη του στοιείου G, τότε το () είναι άθροισµα m-στών ριζών της µονάδας Πράγµατι, αφού = ισύει ρ( ) m = I οπότε οι ιδιοτιµές του πίνακα ρ () είναι m-στές ρίζες της µονάδας Το ίνος του ρ () είναι το άθροισµα των ιδιοτιµών του m ) Ισύει ( ) = ( ) (ο συζυγής του ()), γιατί αν ( ) = ω + + ω µε m ω =, τότε = ω + + ω ( ) και ω = ω για κάθε v) ( ) αν και τότε ( ) = ( ) = ( ) είναι συζυγή Πράγµατι, αν και είναι συζυγή Έστω ρ : G GL m ( C ), ρ : G GL ( C ) δύο αναπαραστάσεις της G βαθµού m και αντίστοια Το ευθύ άθροισµα των ρ και ρ είναι η αναπαράσταση ρ ρ : G GL m + () βαθµού m + που ορίζεται από (Συνεπώς αν ρ( ) ( ρ ρ )( ) = ρ ( ) V, V είναι τα αντίστοια C[ G] -πρότυπα των ρ, ρ τότε το αντίστοιο C[ G] -πρότυπο του ρ ρ είναι το V V ρ ρ ρ + ρ = (συνήθης πρόσθεση συναρτήσεων G C ) Έστω, ψ :G εσωτερικό γινόµενο των και ψ Παρατηρούµε ότι ) ψ, =, ψ ) Θεωρώντας ίνη παίρνουµε C συναρτήσεις (όι αναγκαστικά αρακτήρες) Ορίζουµε το, ψ = ( ) ψ( ) G ) <, > είναι γραµµική στην πρώτη µεταβλητή, και

7 ), > αν Επίσης, λ ψ + λψ = λ, ψ + λ, ψ για κάθε λ, λ C, και κάθε συναρτήσεις, ψ, ψ :G C Για αρακτήρες µπορούµε να πούµε κάτι ισυρότερο: 7 Πρόταση Έστω και ψ αρακτήρες της G και,, ανιιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G Με C ( ) συµβολίζουµε την κεντροποιούσα οµάδα του, C( ) = { x G x x} Τότε = () () ψ, = ψ, = ( ) ψ( ), και G = ( ) ψ( ), ψ C( ) = Απόδειξη: ) Έουµε, ψ = G ( ) ψ( ) = G ( ) ψ( ) = G ( ) ψ( ) = ψ, Αφού, ψ = ψ,, παίρνουµε, ψ =, ψ και άρα ψ, (θα δούµε παρακάτω ότι ισύει ψ, ) ) Έστω κάθε C η κλάση συζυγίας του C έουµε Επειδή ) = ( ) και ψ ) = ψ( ) για ( ( C, ψ = ( ) ψ( ) = ( ) ψ( ) G Θυµόµαστε από τις οµάδες (π δράσεις οµάδων) ότι C = [ G : C( G )] (ο = πληθάριθµος µιας τροιάς είναι ο δείκτης της αντίστοιης σταθεροποιούσας οµάδας) Έτσι C = C( ) Μια συνάρτηση ψ : G C ονοµάζεται συνάρτηση κλάσεων αν για κάθε G ισύει ψ ( h h) = ψ( ) για κάθε h G, δηλαδή αν η ψ είναι σταθερή σε κάθε κλάση συζυγίας Κάθε αρακτήρας είναι συνάρτηση κλάσεων Το C -διανυσµατικό

74 ώρο των συναρτήσεων κλάσεων συµβολίζουµε µε cf (G) Θα αποδείξουµε στη συνέεια το σηµαντικό αποτέλεσµα ότι οι αρακτήρες των αναγώγων αναπαραστάσεων της G αποτελούν µια ορθοκανονική βάση του cf (G) ως προς το εσωτερικό γινόµενο <, > Αν ψ :G C είναι συνάρτηση, θα συµβολίζουµε πάλι µε ψ : C[ G] C τη γραµµική επέκταση της G C στο C[ G] C Έστω V,,V τα ανά δύο µή ισόµορφα απλά C[ G] -πρότυπα και,, οι αρακτήρες τους αντίστοια Οι ονοµάζονται ανάγωγοι αρακτήρες της G Από την άσκηση 9 υπάρουν κεντρικά αυτοδύναµα στοιεία e,, [ ] e C G µε την ιδιότητα = e + + e και e e = για Επιπλέον e = για κάθε R και e R = για κάθε και e e = για κάθε, όπου R είναι οι απλές συνιστώσες του C [ G], C [ G] R R Συνεπώς ισύει και e v = v για κάθε v V και e V = για κάθε 7 Λήµµα Με τους προηγούµενους συµβολισµούς έουµε ( e dmv ) = αν αν = Απόδειξη: Για έουµε e V = και άρα το ίνος της δράσης του e στο V είναι µηδέν, δηλαδή ( e ) = Γράφοντας τώρα = e + + e παίρνουµε ) = ( e ) + + ( e ) dmv = ( e ) ( 7 Λήµµα Έστω e ο αρακτήρας του C[ G] -προτύπου C [ G] (µε δράση αριστερό πολλαπλασιασµό) ιατηρώντας τους προηγούµενους συµβολισµούς έουµε: ) e ( ) = και e ( ) = για κάθε G, ) = ) + () e ( + Απόδειξη: ) e () = dm C [ G] = G Έστω G, Θεωρούµε τη βάση G = =,,, } του C [ G] Ο αντίστοιος πίνακας της δράσης του έει µη { µηδενικό στοιείο πάνω στη διαγώνιο αν και µόνο αν =, δηλαδή αν =

75 ) Το ζητούµενο προκύπτει αµέσως από τον ισοµορφισµό C [ G] V V (βλ κεφάλαιο ) και το γεγονός ότι = dmv = () 74 Πρόταση Με τους προηγούµενους συµβολισµούς ισύει e = () ( ) G Απόδειξη: Έστω e = λ, λ C Θεωρώντας τον αρακτήρα G e της υπολογίζουµε σύµφωνα µε το Λήµµα 7 ) Έστω h G ( h e ) = λ ( h ) = λ e Από το Λήµµα 7 ) έουµε e G e ( h e ) () x ( h e ) = = Επειδή e = για, έουµε ( h ) = για Για = έουµε R e v = v v R e και άρα x ( h e ) = ( h ) Τελικά αντικαθιστώντας έουµε h λ h = = () ( h e ) = () ( h ), απ όπου προκύπτει το ζητούµενο Είµαστε τώρα έτοιµοι να αποδείξουµε το πρώτο κύριο αποτέλεσµα αυτού του κεφαλαίου 75 Θεώρηµα Οι ανάγωγοι αρακτήρες της G πάνω από το C αποτελούν µια ορθοκανονική βάση του C -διανυσµατικού ώρου cf (G) ως προς το εσωτερικό γινόµενο <, > Απόδειξη: Έστω,, αποτελούν βάση του cf (G),, οι ανάγωγοι αρακτήρες Θα δείξουµε πρώτα ότι οι Γνωρίζουµε ότι είναι το πλήθος των κλάσεων συζυγίας της G (Πόρισµα 75) Επειδή η διάσταση του cf (G) είναι (µια βάση του cf (G) είναι οι αρακτηριστικές συναρτήσεις f : G C που ορίζονται από f ( C ) = για και f ( ) = για κάθε C ) αρκεί να δείξουµε ότι οι

76,, είναι γραµµικώς ανεξάρτητες Έστω λ = = Από το Λήµµα 7 παίρνουµε τότε λ ( e ) =, δηλαδή λ dm =, οπότε λ = (Η γραµµική V ανεξαρτησία των έπεται και από το γεγονός <, >= δ που θα δείξουµε αµέσως παρακάτω) Θα δείξουµε τώρα ότι, >= Από τον τύπο της Πρότασης < 74 συµπεραίνουµε ότι ο συντελεστής του G στο () ( ) ( ) G G που είναι (λόγω της Πρότασης 7 )) ίσος µε (), < > e είναι Όµως e = e οπότε ο συντελεστής του στο () e είναι ίσος µε (Πρόταση 74) Συγκρίνοντας τις δύο τελευταίες εκφράσεις παίρνουµε, >= < Θα δείξουµε τώρα ότι <, >= για Από τη σέση e e = παίρνουµε λόγω της Πρότασης 74 ότι Ο συντελεστής του, h G ( ) ( h ) h = G στην προηγούµενη ισότητα δίνει G ( ) ( ) = οπότε, >= από την πρόταση 7 ) < 76 Πόρισµα Έστω V ένα C[ G] -πρότυπο µε αρακτήρα Τότε το V είναι ανάγωγο αν και µόνο αν <, >= Απόδειξη: Αν V είναι ανάγωγο τότε <, >= από το προηγούµενο θεώρηµα Αντίστροφα, έστω <, >= Γράφοντας το V ως ευθύ άθροισµα αναγώγων προτύπων <, >= δίνει m m V V V λαµβάνουµε = m + + m οπότε η σέση

77 m m <, >=, Από το προηγούµενο θεώρηµα έουµε, >= και, >= για, οπότε < < + = m + m Συνεπώς m = για κάποιο και m = για Άρα V = V Το προηγούµενο πόρισµα είναι ιδιαίτερα ρήσιµο σε υπολογισµούς Για παράδειγµα, ο αρακτήρας της αναπαράστασης ρ : D8 GL( C ) του Παραδείγµατος 7 υπολογίστηκε στην αρή της παρούσας παραγράφου ( ) b b b b Εύκολα επαληθεύουµε ότι <, >= και άρα η ρ είναι ανάγωγη Το ακόλουθο αποτέλεσµα δείνει ότι οι αρακτήρες αναπαραστάσεων επί του C αρακτηρίζουν τις αναπαραστάσεις 77 Πόρισµα ύο αναπαραστάσεις της G επί του C είναι ισοδύναµες αν και µόνο αν οι αρακτήρες τους ταυτίζονται Απόδειξη: Έστω ρ και ρ αναπαραστάσεις µε αντίστοιους αρακτήρες και Αν ρ και ρ είναι ισοδύναµες τότε = όπως είπαµε στην αρή της παραγράφου Αντίστροφα, έστω = Για τα αντίστοια C[ G] -πρότυπα γράφουµε m m V m m, V V V V V όπου V,,V είναι ανά δύο µη ισόµορφα ανάγωγα C[ G] -πρότυπα Από <, >=<, > παίρνουµε m <, > + + m <, >= m <, > + + m <, >, οπότε το Θεώρηµα 75 δίνει m = m για κάθε Άρα V V 78 Πόρισµα Έστω V, V C[ G] -πρότυπα µε αρακτήρες, αντίστοια Τότε <, >= dm Hom ( VV, C C ) [ G]

78 Απόδειξη: Γράφοντας V δίνει m < m V V και V V V, το θεώρηµα, >= m m + + m m Από την άλλη µεριά έουµε m C, αν = Hom C[ G] ( V, V) (γιατί;), αν Από την Πρόταση παίρνουµε dm Hom [ G] ( VV, ) = mm + + mm m C C 7 Σέσεις Ορθογωνιότητας και Πίνακες Χαρακτήρων Έστω IG = {,, } το σύνολο των αναγώγων αρακτήρων της G,,, αντιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G και C ( ) { x G x = x} η = κεντροποιούσα οµάδα του Με δ αβ συµβολίζουµε το δέλτα του Koecke, δ = εκτός αν α = β οπότε δ = αβ αα 7 Θεώρηµα Με τους προηγούµενους συµβολισµούς έουµε: ) (ορθογώνιες σέσεις γραµµών) ) (ορθογώνιες σέσεις στηλών) ( ) α β = C( ) ( ) ( ) ( ) = δ = α β αβ = δ αβ C( α ) Απόδειξη: ) Από το Θεώρηµα 75 έουµε <, >= δ οπότε το ζητούµενο α β αβ προκύπτει από την Πρόταση 7 ) ) Έστω ψ cf (G) που ορίζεται από ψ β ( α ) = δαβ Λόγω του Θεωρήµατος 75 γράφουµε ψ = λ + β + λ οπότε παίρνουµε λ =< ψ β, >= ψ β ( ) ( ) Ισύει ψ β ( ) = αν το είναι συζυγές του β και ψ β ( ) = διαφορετικά Επειδή G επιπλέον ο πληθάριθµος της κλάσης συζυγίας του είναι G / C( ) παίρνουµε β β λ = ( β ) C( ) β Συνεπώς

79 δ αβ = ψ β ( α ) ( β ) ( α ) = λ ( α ) + + λ ( α ) = C( ) = β Έστω IG = {,, } και,, αντίστοια αντιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G Ο πίνακας αρακτήρων της G είναι ένας θέση (, ) υπάρει η τιµή ) ( πίνακας που στη 79), Για παράδειγµα ο πίνακας αρακτήρων της Z είναι (παράδειγµα = {,, } ω ω ω ω όπου ω = µε ω, δηλαδή ω + ω + = Οι ορθογώνιες σέσεις γραµµών για ω ω τις πρώτες δύο γραµµές δίνουν + + =, και για τη δεύτερη γραµµή µε τον ωω ω ω εαυτό της δίνουν + + = Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις δύο τελευταίες στήλες δίνουν + ω ω + ω ω = (Φυσικά οι προηγούµενες σέσεις ισύουν αφού ω = ω ) Οι ορθογώνιες σέσεις επιτρέπουν συνά τον προσδιορισµό ολόκληρου του πίνακα αρακτήρων αν γνωρίζουµε µόνο κάποιο τµήµα του Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι για µια οµάδα G τάξης που έει 4 συζυγείς κλάσεις γνωρίζουµε το ακόλουθο τµήµα του πίνακα αρακτήρων C( 4 ) όπου,, 4 είναι αντιπρόσωποι των συζυγών κλάσεων και ω + ω + = 4 ω ω 4 ω ω 4 = Από τη σέση () + + () (θεώρηµα 75 ή Θεώρηµα 7 ) για α = β = ) παίρνουµε () Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις στήλες και 4 =

8 δίνουν 4 ( ) ( ) = + + + ( ) = ( ) = = 4 4 Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις στήλες και δίνουν 4 = ( και για τις στήλες και 4 δίνουν 4 ) ( ) = + ω + ω + 4 ( ) = 4 ( ) = ( ) ( 4 ) = + ω + ω + 4 ( 4 ) = 4 ( 4 ) = = Προσδιορίζεται κατά αυτόν τον τρόπο όλος ο πίνακας αρακτήρων της G Παρατηρήσεις ) Ο προηγούµενος πίνακας αρακτήρων είναι αυτός της A 4 ) Ήδη επισηµάναµε ότι το Θεώρηµα 75 προκύπτει από το θεώρηµα Θ ) για α = β = Παρόµοια, το Λήµµα 7 προκύπτει από το Θεώρηµα 7 ) για α = Ως άλλο παράδειγµα ας θεωρήσουµε τη G = S που έει τρεις κλάσεις συζυγίας { }, {(, (), ()}, {( ), ()} Το Πόρισµα 75 δίνει = οπότε, =, Μια ανάγωγη αναπαράσταση της S είναι η = ρ : S σ ( σ) * C που έει αρακτήρα ρ = =, που δίνεται από (), () =, () = Συνεπώς ο πίνακας αρακτήρων της S έει τη µορφή C( ) 6 () () b = Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις στήλες και δίνουν + ( ) + = οπότε = Για τις στήλες και δίνουν + + b = b = Ασκήσεις Στις παρακάτω ασκήσεις µε G συµβολίζουµε µια πεπερασµένη οµάδα

8 Το µη µηδενικό cf (G) είναι αρακτήρας αν και µόνο αν <, > για κάθε ανάγωγο αρακτήρα Αν για τον αρακτήρα ισύει ( ) = G,, τότε ο είναι της µορφής m, m (Υπόδειξη: υπολογίστε το <, ψ > όπου ψ ανάγωγος e αρακτήρας και ρησιµοποιείστε το Λήµµα 7) Συµπληρώσετε τον πίνακα αρακτήρων της D 8 C( 4 5 ) 8 4 b b 4 ) Οι ορθογώνιες σέσεις γραµµών είναι ισοδύναµες µε τις ορθογώνιες σέσεις στηλών ) Έστω Μ ο πίνακας αρακτήρων της G είξετε ότι det M C ( ) = =, όπου,, είναι αντιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G Υπόδειξη: από τις σέσεις ορθογωνιότητας προκύπτει ότι ο πίνακας είναι διαγώνιος t M M ) Έστω I G) = {,, } Τότε ( CG ( ) = G ( ) ( ) = G = 7 Έστω αρακτήρας της G Θέτουµε ke = { G ( ) = ()} Τότε ke είναι κανονική υποοµάδα της G Αντίστροφα κάθε κανονική υποοµάδα της G είναι της µορφής ke για κάποιο αρακτήρα Επιπλέον αν,, είναι οι ανάγωγοι αρακτήρες τότε ke = ke όπου το διατρέει τους ανάγωγους αρακτήρες που έουν την ιδιότητα, > > Συµπέρασµα: από <

8 τον πίνακα αρακτήρων της G µπορούµε να βρούµε όλες τις κανονικές υποοµάδες της G Βρείτε τώρα όλες τις κανονικές υποοµάδες της D 8 απο την άσκηση 8 Η G δεν είναι απλή αν και µόνο αν ( ) = () για κάποιον µη τετριµµένο ανάγωγο αρακτήρα και κάποιο G, (βλ προηγούµενη άσκηση) 9 Για κάθε αρακτήρα αβελιανής οµάδας ισύει <, > () Αληθεύει το συµπέρασµα για µη αβελιανές οµάδες; Έστω ανάγωγος αρακτήρας της G βαθµού ) Για κάθε C( G) ισύει ( ) = ) Ισύει [ G : C( G)] Έστω H αβελιανή υποοµάδα της G Τότε κάθε ανάγωγος αρακτήρας της G έει βαθµό [ G : H ] Κατά συνέπεια κάθε ανάγωγος αρακτήρας της διεδρικής οµάδας D =<, b : = b =, b = b > έει βαθµό ή Έστω C[ G] -πρότυπα V, W µε αντίστοιους αρακτήρες, ψ Τότε ο αρακτήρας του V W C είναι το γινόµενο ψ ( Η δράση είναι ( v w) = ( v) ( w) ) Υπόδειξη: υπολογίσετε το ίνος της δράσης του παίρνοντας βάσεις των V, W που αποτελούνται απο ιδιοδιανύσµατα Αν, ψ I( G) και de =, τότε ψ I( G) (Βλ προηγούµενη άσκηση και Πόρισµα 76) 4 Έστω ο µοναδικός ανάγωγος αρακτήρας της S βαθµού Βρείτε την ανάλυση του = σε άθροισµα αναγώγων αρακτήρων 5 Έστω ρ : G GL ( C ) αναπαράσταση

8 ) Αν υπάρει G µε det( ρ ( )) =, δείξτε ότι η G δεν είναι απλή ) Αν το G έει τάξη, τότε ισύει ακριβώς ένα από τα εξής συµπεράσµατα: ) ( ) () mod 4 b) η G κανονική υποοµάδα τάξης Υπόδειξη: Αν V είναι το αντίστοιο πρότυπο της ρ, µπορούµε να επιλέξουµε βάση του V τέτοια ώστε ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης V V, v v, είναι διαγώνιος µε ± στη διαγώνιο 6 Έστω VWδυο, ανάγωγα C[ G] -πρότυπα είξτε ότι το V W C (άσκηση) εµφυτεύεται στην κανονική αναπαράσταση της G Υπόδειξη: αρκεί να δειτεί ότι αν, ψ, ζ I( G), τότε < ψ, ζ > ζ() 7 Με το συµβολισµό του Παραδείγµατος 7 έστω k = C ) είξτε ότι το C[ S ]-πρότυπο V v + + v είναι ανάγωγο ) είξτε ότι V, = όπου είναι ο τετριµµένος αρακτήρας της S 8 Να βρεθούν όλες οι οµάδες µε ακριβώς, ή ανάγωγους αρακτήρες 9 Έστω G πεπερασµένη υποοµάδα της GL ( C ) Αποδείξτε ότι αν T( ) =, τότε = G G Έστω ρ : G GL ( C ) µια αναπαράσταση τέτοια ώστε το είναι ιδιοτιµή του ρ ( ) για κάθε G είξτε ότι η ρ δεν είναι ανάγωγη Υπόδειξη: Υπολογίστε το,, όπου είναι ο αρακτήρας της ρ και ο τετριµµένος αρακτήρας της G, συναρτήσει των ιδιοτιµών των ρ ( ) Αποδείξτε ότι κάθε πεπερασµένη απλή οµάδα µε τάξη όι δύναµη πρώτου δεν έει ανάγωγη αναπαράσταση βαθµού Οι αναπαραστάσεις της δικυκλικής οµάδας

84 Έστω ρ : G GL ( C ) µια αναπαράσταση τέτοια ώστε για κάποια h, G έουµε ρ( ) ρ( h) ρ( h) ρ( ) Αποδείξτε ότι η ρ δεν είναι ανάγωγη b Θεωρούµε την οµάδα ( δικυκλική ) T4 =, b: =, = b, b b= π που έει τάξη 4 Έστω ένας ακέραιος και ε = e C ε είξτε ότι η αντιστοιία, b ορίζει µια ε ε αναπαράσταση ρ της T 4 είξτε ότι η ρ είναι ανάγωγη αν ε ± (Υπόδειξη: ένας τρόπος είναι µε το ) είξτε ότι οι ρ,, ρ είναι ανά δυο µη ισοδύναµες v είξτε ότι οι υπόλοιπες ανάγωγες ανά δυο µη ισοδύναµες αναπαραστάσεις της T 4 είναι βαθµού Υπολογίστε τον πίνακα αρακτήρων της S 4 ως εξής Υπολογίστε τον αριθµό των κλάσεων συζυγίας ρησιµοποιώντας την ανάλυση µεταθέσεων σε γινόµενο ξένων κύκλων Υπολογίστε τον πληθάριθµο κάθε κλάσης συζυγίας C και το C ( ) G = C Έστω, ο τετριµµένος αρακτήρας και ο αρακτήρας προσήµου αντίστοια Έστω ο αρακτήρας V όπου V ο αρακτήρας του προτύπου στο παράδειγµα 7 για = 4 Υπολογίστε τον και δείξτε ότι είναι ανάγωγος Στη συνέεια θέστε 4 = (που είναι ανάγωγος από την άσκηση ) και υπολογίστε τον Βρείτε τον τελευταίο αρακτήρα 5 από τις ορθογώνιες σέσεις ίνεται ο πίνακας αρακτήρων της S 4 για επαλήθευση

85 () () ()() (4) C ( ) 4 4 8 4 - - - - - 4 - - 5