Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από τη διδασκαλία ενός ϐασικού εισαγωγικού µαθήµατος άλγεβρας. Προκειµένου όµως να στηρίξουµε, κατά κάποιο τρόπο, την αυτοτέλεια του κειµένου ϑα αναφερθούµε εν συντοµία στις έννοιες αυτές καθώς και στις ϐασικές τους ιδιότητες. Ο αναγνώστης που επιθυµεί να αναζητήσει περισσότερες πληροφορίες µπορεί να ανατρέξει σε γενικά ϐιβλία Άλγεβρας όπως τα [5], [4], [3], [2], [1]. 11.2 Οµάδες Ορισµός 11.2.1. Ενα µη-κενό σύνολο G εφοδιασµένο µε µια διµελή πράξη { } G G G (x, y) x y λέγεται οµάδα όταν επαληθεύει τα ακόλουθα αξιώµατα: G1 Για όλα τα στοιχεία x, y, z του συνόλου G ισχύει (αξίωµα προσεταιριστικότητας): (x y) z= x (y z). G2 Υπάρχει ένα στοιχείο e G τέτοιο ώστε για όλα τα στοιχεία g Gνα ισχύει (αξίωµα ύπαρξης µοναδιαίου): e g=g e= g. G3 Αν g G τότε υπάρχει ένα στοιχείο g G τέτοιο ώστε να ισχύει (αξίωµα ύπαρξης αντιστρό- ϕου): g g = e= g g Παρατήρηση 11.2.2. Εύκολα αποδεικνύεται ότι σε µια οµάδα (G, ), το µοναδιαίο στοιχείο είναι µοναδικό καθώς και ότι για κάθε g G υπάρχει ακριβώς ένα αντίστροφο αυτού g. Στη συνέχεια αντί του συµβολισµού g ϑα χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό g 1. 351

352 Παράρτηµα Ορισµός 11.2.3. Η οµάδα (G, ) λέγεται αβελιανή οµάδα όταν για όλα τα στοιχεία x, y της G ισχύει x y=y x. Ορισµός 11.2.4. Μια οµάδα (G, ) λέγεται πεπερασµένη οµάδα όταν το σύνολο G είναι ένα πεπερασµένο σύνολο. Αν το σύνολο G είναι απειροσύνολο, τότε η οµάδα (G, ) λέγεται άπειρη οµάδα. Παραδείγµατα οµάδων 1. Το σύνολο των ακέραιων αριθµών Z µε πράξη τη (συνήθη) πρόσθεση αποτελεί άπειρη αβελιανή οµάδα. Το ίδιο ισχύει και για τα σύνολα (Q,+), (R,+), (C,+). 2. Το σύνολο των κλάσεων υπολοίπων modulo n, n N, n > 1: Z n ={ā := amodn a Z} µε (καλά ορισµένη) πράξη την πρόσθεση κλάσεων { } Zn Z n Z n (ā, b) ā b αποτελεί πεπερασµένη, αβελιανή, οµάδα. 3. Το σύνολο M n (R) των τετραγωνικών n n πινάκων µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς και πράξη την πρόσθεση πινάκων αποτελεί άπειρη αβελιανή οµάδα. 4. Εστω ω := e 2πi n. Το σύνολο {1, ω, ω 2,..., ω n 1 } µε πράξη τον πολλαπλασιασµό µιγαδικών αριθµών, αποτελεί πεπερασµένη αβελιανή οµάδα. Η οµάδα αυτή λέγεται οµάδα των n-ϱιζών της µονάδας. 5. Το σύνολο των πρώτων κλάσεων υπολοίπων modn, n N, n > 1 Z n={ā := amodn a Z, (a, n)=1} µε πράξη τον (καλά ορισµένο) πολλαπλασιασµό κλάσεων Z { n Z n Z } n (ā, b) ā b αποτελεί πεπερασµένη, αβελιανή οµάδα. 6. Τα σύνολαq,r,c των µη-µηδενικών στοιχείων τωνq,r καιcµε πράξη τον συνήθη πολλαπλασιασµό αποτελούν άπειρη, αβελιανή οµάδα. 7. Το σύνολο M n (R) των n n πινάκων µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς και πράξη τον πολλαπλασισµό πινάκων δεν αποτελεί οµάδα, αφού υπάρχουν n n πίνακες µε στοιχεία πραγµατικούς οι οποίοι δεν έχουν αντίστροφο. Αν ϑεωρήσουµε το υποσύνολο του M n (R) GL n (R) :={A M n (R) det(a) 0}, τότε αυτό µε πράξη τον πολλαπλασιασµό πινάκων αποτελεί άπειρη οµάδα. Η οµάδα αυτή, αν n > 1, δεν είναι αβελιανή επειδή δεν ισχύει εν γένει A B=B A.

11.2. ΟΜΑ ΕΣ 353 11.2.1 Υποοµάδες και παραδείγµατα Ορισµός 11.2.5. Αν (G, ) οµάδα και H ένα µη κενό υποσύνολο της G, τότε το H λέγεται υποο- µάδα της G, όταν το (H, ), εφοδιασµένο µε την επαγόµενη πράξη από το G, είναι οµάδα. Συµβολίζουµε το ότι H υποοµάδα της G µε H G. Ισχύει η ακόλουθη Πρόταση 11.2.6. Αν H είναι ένα υποσύνολο της οµάδας (G, ), τότε οι ακόλουθες προτάσεις είναι µεταξύ τους ισοδύναµες: 1. Η (H, ) είναι υποοµάδα της (G, ). 2. Το υποσύνολο H G πληροί τις ακόλουθες συνθήκες: (αʹ) Το µοναδιαίο e της G ανήκει στο σύνολο H. (ϐʹ) Αν x, y H, τότε και x y H. (γʹ) Αν x H, τότε και x 1 H 3. Το σύνολο H πληροί τις ακόλουθες συνθήκες: (αʹ) Το µοναδιαίο e της G ανήκει στο σύνολο H (ϐʹ) Αν a, b H, τότε και ab 1 H. Παραδείγµατα υποοµάδων: 1. ΠροφανώςZ Q R Cκαθώς καιq R C. 2. Το σύνολο είναι υποοµάδα της GL n (R). 11.2.2 Κυκλικές οµάδες SL n (R) :={A GL n (R) det(a)=1} Ορισµός 11.2.7. Μια οµάδα (G, ) λέγεται κυκλική οµάδα όταν υπάρχει κάποιο στοιχείο αυτής x G, τέτοιο ώστε όλα τα στοιχεία της G να γράφονται ως δυνάµεις του x. Κάθε τέτοιο στοιχείο σε µια κυκλική οµάδα λέγεται γεννήτορας αυτής. Σηµείωση: Αν g G και n Z, τότε η δύναµη g n ορίζεται ως εξής: g g g όταν n 1 } {{ } n ϕορές g n = e όταν n= 0 g 1 g n g 1 όταν n < 0 } {{ } n ϕορές Συµβολισµός Αν G είναι κυκλική µε γεννήτορα g, τότε γράφουµε G= g. Παραδείγµατα: Οι οµάδες των παραδειγµάτων 4 και 5 είναι κυκλικές. Ορισµός 11.2.8. Το πλήθος των στοιχείων µιας πεπερασµένης οµάδας, λέγεται τάξη αυτής. Πρόταση 11.2.9. Αν η οµάδα G είναι πεπερασµένη και κυκλική τάξης n, G= g, τότε οι γεννήτορες αυτής είναι τα στοιχεία της µορφής g d µε (d, n)=1.

354 Παράρτηµα 11.2.3 Το ϑεώρηµα του Lagrange Υποθέτουµε ότι (G, ) είναι µια οµάδα και H G είναι µια υποοµάδα αυτής. Στο σύνολο G G ορίζουµε τη σχέση: a, b G, a b a 1 b H. Η σχέση αυτή είναι µια σχέση ισοδυναµίας. Η κλάση ισοδυναµίας του στοιχείου a είναι το σύνολο ah :={ah h H}. Ορισµός 11.2.10. Το πλήθος των κλάσεων ισοδυναµίας της H στην G, λέγεται δείκτης της H στην G και συµβολίζεται µε [G : H]. Η τάξη µιας οµάδας (G, ) συµβολίζεται µε G. Το παρακάτω είναι γνωστό ως ϑεώρηµα του Lagrange. Θεώρηµα 11.2.11 (Lagrange). Υποθέτουµε ότι η G είναι µια πεπερασµένη οµάδα και H G. Ισχύει G =[G : H] H. Εποµένως, η τάξη µιας υποοµάδας µιας πεπερασµένης οµάδας διαιρεί την τάξη της οµάδας. 11.2.4 Οµάδα πηλίκου Εστω G µια οµάδα και H G µια υποοµάδα αυτής. Στο σύνολο των κλάσεων ισοδυναµίας που ορίσαµε παραπάνω, έχουµε τις κλάσεις{ah a G}. Θα ϑέλαµε να ορίσουµε ένα πολλαπλασιασµό στο σύνολο κλάσεων ώστε να αποκτήσει δοµή οµάδας, την οποία ονοµάζουµε οµάδα πηλίκου. Αυτό όµως δεν είναι πάντοτε δυνατό. Ορισµός 11.2.12. Εστω G µια οµάδα και H G. Η H λέγεται κανονική υποοµάδα της G όταν ισχύει ah= Ha για κάθε a G, όπου Ha={ha h H}. Αν τώρα G είναι οµάδα και H κανονική υποοµάδα της G, τότε το σύνολο µε πράξη τον (καλά ορισµένο) πολλαπλασιασµό G/H :={ah a G} (ah)(bh)=ab(h), αποτελεί οµάδα. Άµεση συνέπεια του ϑεωρήµατος του Lagrange είναι ότι η τάξη της οµάδας G/H είναι ίση µε G / H. Αν τώρα G είναι αβελιανή, τότε κάθε υποοµάδα αυτής H είναι κανονική και συνεπώς πάντοτε ορίζεται η οµάδα πηλίκου G/H. 11.3 ακτύλιοι 11.3.1 Ορισµοί και παραδείγµατα Ορισµός 11.3.1. Ενα µη-κενό σύνολο R εφοδιασµένο µε δύο (διµελής) πράξεις, πρόσθεσης { } R R R + (a, b) a+ b και πολλαπλασίασµου { R R R (a, b) a b λέγεται δακτύλιος, όταν επαληθεύει τα ακόλουθα αξιώµατα: }

11.3. ΑΚΤΥΛΙΟΙ 355 R1 Ο (R,+) αποτελεί αβελιανή οµάδα. R2 Για όλα τα στοιχεία x, y, z R ισχύει (αξίωµα προσεταιριστικότητας) (x y) z= x (y z). R3 Για όλα τα στοιχεία x, y, z R ισχύουν (αξιώµατα επιµεριστικότητας) (x+ y) z= x z+ y z. x (y+z) = x y+x z Αν επιπλέον ισχύει το αξίωµα ύπαρξης µοναδιαίου R4 Υπάρχει ένα στοιχείο 1 R R, 1 R 0, τέτοιο ώστε για όλα τα στοιχεία x R να ισχύει 1 R x= x 1 R, τότε ο δακτύλιος R λέγεται δακτύλιος µε µοναδιαίο. Αν για τον R ισχύει επιπλέον το αξίωµα της αντιµετάθεσης R5 Για όλα τα στοιχεία x, y R ισχύει: x y=y x, τότε ο δακτύλιος R λέγεται αντιµεταθετικός δακτύλιος. Τέλος αν ισχύουν τα αξιώµατα (R4) και (R5) συγχρόνως τότε ο R λέγεται αντιµεταθετικός δακτύλιος µε µοναδιαίο. Παραδείγµατα: 1. Το σύνολο των ακέραιων Z µε πράξεις τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού είναι ένας αντιµεταθετικός δακτύλιος µε µοναδιαίο. 2. Για κάθε m N, m > 1, το σύνολο των κλάσεων υπολοίπων modm,z m, µε πράξεις τις (καλά ορισµένες) πράξεις πρόσθεσης κλάσεων { } Zn Z n Z n (ā, b) ā b και πολλαπλασιασµού κλάσεων { Zn Z n Z n (ā, b) ā b } αποτελεί επίσης αντιµεταθετικό δακτύλιο µε µοναδιαίο. 3. Το σύνολο των ακέραιων του Gauss Z[i]={a+ bi a, b Z} µε πράξεις τις συνήθεις πράξεις µιγαδικών αποτελεί επίσης αντιµεταθετικό δακτύλιο µε µοναδιαίο.

356 Παράρτηµα Ορισµός 11.3.2. Εστω R κάποιος αντιµεταθετικός δακτύλιος. Ενα στοιχείο x R, x 0, λέγεται διαιρέτης του µηδενός αν και µόνο αν υπάρχει y R, y 0µε x y=0. Ορισµός 11.3.3. Ενας αντιµεταθετικός δακτύλιος µε µοναδιαίο στοιχείο λέγεται ακέραια περιοχή, όταν δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. Παραδείγµατα: 1. Ο δακτύλιος (Z,+, ) είναι ακέραια περιοχή. 2. Οι δακτύλιοι (Z m,+, ) είναι ακέραιες περιοχές αν και µόνο αν ο m είναι πρώτος. 3. Ο δακτύλιοςz[i] είναι επίσης ακέραια περιοχή. Ορισµός 11.3.4. Ενα µη κενό υποσύνολο R 1 του αντιµεταθετικού δακτυλίου R λέγεται υποδακτύλιος του R όταν είναι δακτύλιος ως προς τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού του R. Ισχύει: Πρόταση 11.3.5. Ενα µη κενό υποσύνολο R 1 του αντιµεταθετικού δακτυλίου R, είναι υποδακτύλιος του R ακριβώς τότε όταν για όλα τα στοιχεία x, y R 1 ισχύει x y R 1 και x y R 1. 11.3.2 Ιδεώδη ενός αντιµεταθετικού δακτυλίου Ορισµός 11.3.6. Εστω R ένας αντιµεταθετικός δακτύλιος µε µοναδιαίο στοιχείο και I ένα µηκενό υποσύνολο του R. Το I λέγεται ιδεώδες όταν ισχύουν τα αξιώµατα: Ι1 Το I αποτελεί οµάδα ως προς την πρόσθεση, Ι2 Για κάθε r R και x I ισχύει rx I. Ορισµός 11.3.7. Αν α R, τότε το κύριο ιδεώδες του R το οποίο παράγεται από το στοιχείο α, ορίζεται α :={rα r R}. Αν ο R είναι ακέραια περιοχή και όλα τα ιδεώδη του R είναι κύρια, τότε ο R λέγεται περιοχή κυρίων ιδεωδών. Παράδειγµα: Η ακέραια περιοχή των ακέραιων αριθµών (Z,+, ) όπως και ο δακτύλιος του Gauss είναι περιοχές κυρίων ιδεωδών. Ορισµός 11.3.8. Αν R ακέραια περιοχή, το στοιχείο p Rλέγεται ανάγωγο, όταν δεν είναι µονάδα του R, δηλαδή δεν είναι πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του R, και δεν αναλύεται σε γινόµενο µη τετριµµένων παραγόντων, δηλαδή, αν p=a b, τότε ένα από τα a, b είναι µονάδα του R. Ορισµός 11.3.9. Μια ακέραια περιοχή R λέγεται περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, όταν κάθε στοιχείο a 0 αυτής είναι µονάδα ή ανάγωγο στοιχείο του R ή γινόµενο αναγώγων στοιχείων του R και επιπλέον η παράσταση αυτή είναι (ουσιαστικά) µονοσήµαντη.

11.4. ΣΩΜΑΤΑ 357 Ισχύει η Πρόταση 11.3.10. Κάθε περιοχή κυρίων ιδεωδών είναι και περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. Παρατήρηση 11.3.11. εν είναι κάθε ακέραια περιοχή, περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. Για παράδειγµα στην ακέραια περιοχή Z[ 5]={a+ b 5 a, b Z} ο αριθµός 6 έχει δύο, διαφορετικές µεταξύ τους, γνήσιες αναλύσεις σε γινόµενο αναγώγων στοιχείων: 6=2 3=(1+ 5)(1 5). 11.4 Σώµατα 11.4.1 Ορισµός και παραδείγµατα Ορισµός 11.4.1. Ενας αντιµεταθετικός δακτύλιος µε µοναδιαίο στοιχείο στον οποίο κάθε µη- µηδενικό στοιχείο είναι αντιστρέψιµο, λέγεται σώµα. Παραδείγµατα σωµάτων 1. Οι αντιµεταθετικοί δακτύλιο µε µοναδιαίο (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) είναι σώµατα. 2. Αν p πρώτος αριθµός, τότε ο δακτύλιος (Z p,, ) είναι σώµα. 3. Αν d Z\{0, 1} ελεύθερος τετραγώνου, τότε ο δακτύλιος K=Q( d)={a+ b d a, b Q}, είναι σώµα. 4. Αν K σώµα και x ανεξάρτητη µεταβλητή, τότε το σύνολο K(x)= { } f (x) f (x), g(x) K[x], g(x) 0 g(x) είναι επίσης σώµα και λέγεται το σώµα των ϱητών συναρτήσεων υπεράνω του K. Κάθε σώµα K περιέχει (ισόµορφα) το σώµα των ϱητών αριθµώνqήένα σώµαz p για κάποιο πρώτο αριθµό p. Στην πρώτη περίπτωση λέµε ότι το σώµα είναι χαρακτηριστικής µηδέν ενώ στην δεύτερη ότι το σώµα είναι χαρακτηριστικής p. 11.4.2 Επεκτάσεις σωµάτων Ορισµός 11.4.2. Αν ένα σώµα L περιέχει ως υπόσωµα το σώµα K, τότε λέµε ότι το L είναι επέκταση του K και την επέκταση τη συµβολίζουµε µε L/K. Παρατήρηση 11.4.3. Αν L/K επέκταση σωµάτων, τότε το σώµα L µπορεί να ϑεωρηθεί ως K- διανυσµατικός χώρος.

358 Παράρτηµα Ορισµός 11.4.4. Βαθµός της επέκτασης σωµάτων L/K λέγεται η διάσταση του L ως K-διανυσµατικού χώρου και συµβολίζεται µε [L : K]. Η επέκταση λέγεται πεπερασµένη όταν [L : K] <, αλλιώς λέγεται άπειρη. Αν L/K επέκταση σωµάτων και α L, το α λέγεται αλγεβρικό ως προς το σώµα K όταν υπάρχει ένα, µη-µηδενικό, πολυώνυµο f (x) K[x], τέτοιο ώστε να έχει το α ως ϱίζα του. Η επέκταση L/K λέγεται αλγεβρική όταν κάθε στοιχείο του L είναι αλγεβρικό ως προς το σώµα K. Ισχύει η Πρόταση 11.4.5. Κάθε πεπερασµένη επέκταση L/K είναι κατ ανάγκη αλγεβρική. Παρατήρηση 11.4.6. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Υπάρχουν και άπειρες αλγεβρικές επεκτάσεις. 11.4.3 Επισύναψη Ορισµός 11.4.7. Αν L/K επέκταση σωµάτων και a 1, a 2,..., a n L, µε K(a 1, a 2,..., a n ) συµβολίζουµε το ελάχιστο υπόσωµα του L το οποίο περιέχει το σώµα K και τα στοιχεία a 1, a 2,..., a n. Το σώµα αυτό λέµε ότι είναι το σώµα που προκύπτει από το K µε επισύναψη των a 1, a 2,..., a n. Παρατήρηση 11.4.8. Αν τα στοιχεία a 1, a 2,..., a n του L είναι αλγεβρικά στοιχεία ως προς του K τότε το K(a 1, a 2,..., a n )={f (a 1,..., a n ) f (x 1,..., x n ) K[x 1,..., x n ]}. Παρατήρηση 11.4.9. Αν L/K επέκταση σωµάτων και α L, αλγεβρικό στοιχείο ως προς το σώµα K, τότε ισχύει [K(α) : K]=deg Irr(α, K), όπου Irr(α, K) συµβολίζει το ανάγωγο (ελάχιστο) πολυώνυµο του α ως προς το K. 11.4.4 Σώµα ανάλυσης Ορισµός 11.4.10. Αν L/K επέκταση σωµάτων, το L λέγεται σώµα ανάλυσης του πολυωνύµου f (x) K[x] ως προς το K, όταν το f (x) αναλύεται πλήρως στον δακτύλιο L[x], δηλαδή ότι και επιπλέον L= K(α 1,..., α n ). f (x)=α(x α 1 )(x α 2 ) (x α n ), Πρόταση 11.4.11. Για κάθε πολυώνυµο f (x) µε συντελεστές από ένα σώµα K υπάρχει ένα σώµα ανάλυσης αυτου L f και µάλιστα είναι µοναδικό κατά προσέγγιση ισοµορφίας. 11.4.5 Επεκτάσεις Galois Ορισµός 11.4.12. Ενα πολυώνυµο f (x) K[x] λέγεται διαωρίσιµο πολυώνυµο ως προς το K, όταν υπάρχει µια επέκταση L/K τέτοια ώστε κάθε ανάγωγος παράγοντας του f (x) στον δακτύλιο K[x] αναλύεται στον δακτύλιο L[x] σε γινόµενο διαφόρων µεταξύ τους παραγόντων πρώτου ϐαθµού. Το στοιχείο α L λέγεται διαχωρίσιµο ως προς το K, όταν υπάρχει ένα διαχωρίσιµο ως προς το K πολυώνυµο f (x) K[x] του οποίου το α είναι ϱίζα. Η επέκταση L/K λέγεται διαχωρίσιµη επέκταση όταν κάθε στοιχείο α L είναι διαχωρίσιµο ως προς το K.

11.4. ΣΩΜΑΤΑ 359 Πρόταση 11.4.13. Κάθε αλγεβρική επέκταση L του σώµατος K χαρακτηριστικής µηδέν είναι διαχωρίσιµη ως προς το K. Ορισµός 11.4.14. Η επέκταση σωµάτων L/K λέγεται επέκταση Galois, ακριβώς τότε όταν το σώµα L είναι σώµα ανάλυσης ενός διαχωρισίµου ως προς το K πολυωνύµου f (x) K[x]. Αν ϑεωρήσουµε την οµάδα των K-αυτοµορφισµών του σώµατος L, τότε στην περίπτωση που η επέκταση L/K είναι Galois, υπάρχι µια αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία ανάµεσα στις υποοµάδες της οµάδας Galois και στα ενδιάµεσα σώµατα της επέκτασης L/K. Ορισµός 11.4.15. Ενας K-αυτοµορφισµός του σώµατος L, K L είναι ένας αυτοµορφισµός του L ο οποίος αφήνει όλα τα στοιχεία του K σταθερά. Ορισµός 11.4.16. Μια επέκταση L/K λέγεται απλή επέκταση όταν υπάρχει στοιχείο θ L τέτοιο ώστε L= K(θ). Αν το θ είναι αλγεβρικό ως προς το σώµα K, τότε η L/K λέγεται απλή αλγεβρική. Πρόταση 11.4.17. Κάθε πεπερασµένη και διαχωρίσιµη επέκταση L/K είναι απλή αλγεβρική. Πόρισµα 11.4.18. Αν η L είναι πεπερασµένη επέκταση ενός σώµατος K χαρακτηριστικής µηδέν, τότε η επέκταση L/K είναι απλή αλγεβρική.

360 Παράρτηµα

Βιβλιογραφία [1] Hungerford, T.W.: Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer New York, 2012, ISBN 9781461261018. [2] Jacobson, N.: Basic Algebra I: Second Edition. Dover Books on Mathematics. Dover Publications, 2012, ISBN 9780486135229. [3] Lang, S.: Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer New York, 2012, ISBN 9781461300410. [4] Fraleigh B. John: Εισαγωγή στην Αλγεβρα. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1995, 2011, ΙΣΒΝ 960-7309-71-5. [5] Βάρσος., εριζιώτης., Εµµανουήλ Ι. Μαλιάκας Μ. Ταλέλλη Ο.: Μια εισαγωγή στην Αλγε- ϐρα. Εκδόσεις Σοφία 2012, ΙΣΒΝ 978-960-6706-37-0. 361

362 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ