ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις... 39 Μεθοδολογία... 43 Παραδείγματα... 48 Ασκήσεις... 65 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 75 Θεωρία... 75 Ερωτήσεις... 75 Μεθοδολογία... 78 Παραδείγματα... 8 Ασκήσεις... 111 ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ... 19 Θεωρία... 19 Ερωτήσεις... 19 Μεθοδολογία... 134 Παραδείγματα... 145 Ασκήσεις... 15 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ... 165 Θεωρία... 165 Ερωτήσεις... 165 Μεθοδολογία... 168 Παραδείγματα... 17 Ασκήσεις... 177 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ... 187 Θεωρία... 187 Ερωτήσεις... 187

6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ Ι: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Μεθοδολογία... 190 Παραδείγματα... 19 Ασκήσεις... 199 ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ... 09 Θεωρία... 09 Ερωτήσεις... 10 Παραδείγματα... 1 Ασκήσεις... 15 ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ... 17 Θεωρία... 17 Ερωτήσεις... 18 Ασκήσεις... 0 ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ... 3 Θεωρία... 3 Ερωτήσεις... 4 Παραδείγματα... 4 Ασκήσεις... 8 ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ... 33 Θεωρία... 33 Ερωτήσεις... 34 Παραδείγματα... 35 Ασκήσεις... 36 ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις... 40 Παραδείγματα... 40 Ασκήσεις... 4 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ... 45 Θεωρία... 45 Ερωτήσεις... 46 Παραδείγματα... 46 Ασκήσεις... 48 ΕΝΟΤΗΤΑ 13: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ... 53 Mονάδες... 53 Βασικές σχέσεις σε τρίγωνο... 54 Σχέσεις γωνιών... 55 Λογάριθμοι... 56 Διαγράμματα... 57 Φυσικά μεγέθη... 59 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...63

Ε ΝΟΤΗΤΑ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Να διαβάσετε τις σελίδες 8 10 του σχολικού βιβλίου. Να ροσέξετε ιδιαίτερα τα Σχήματα 1.1, 1.3 και 1.4, καθώς και τους ορισμούς της αρχικής φάσης και της φάσης ταλάντωσης. Να γράψετε τις μαθηματικές σχέσεις ου δίνονται στη θεωρία και να αναφέρετε τα μεγέθη ου εριέχουν καθώς και τις μονάδες αυτών. Π. χ. = t N όου Τ η ερίοδος της ταλάντωσης μετράται σε sec, t ο χρόνος ταλάντωσης του σώματος μετράται σε sec και Ν ο αριθμός εαναλήψεων του φαινομένου. Να ααντήσετε στις Ερωτήσεις, 6 και 7 του σχολικού βιβλίου. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Στις ερωτήσεις ου ακολουθούν να ειλέξετε τη σωστή αάντηση: Α1) Η αλή αρμονική ταλάντωση είναι κίνηση i) ευθύγραμμη ομαλή, ii) ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη, iii) ομαλή κυκλική, iv) ευθύγραμμη εριοδική.

10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ Ι: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Α) Σημειακό αντικείμενο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Η αομάκρυνση x αό τη θέση ισορροίας του είναι i) ανάλογη του χρόνου, ii) αρμονική συνάρτηση του χρόνου, iii) ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου, iv) ομόρροη με τη δύναμη εαναφοράς. Α3) Η ταχύτητα υ σημειακού αντικειμένου το οοίο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση i) είναι μέγιστη, κατά μέτρο, στη θέση x = 0, ii) έχει την ίδια φάση με την αομάκρυνση x, iii) είναι μέγιστη στις θέσεις x = ± Α, iv) έχει την ίδια φάση με τη δύναμη εαναφοράς. Α4) Η ειτάχυνση α σημειακού αντικειμένου το οοίο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση i) είναι σταθερή, ii) είναι ανάλογη και αντίθετη της αομάκρυνσης x, iii) έχει την ίδια φάση με την ταχύτητα, iv) γίνεται μέγιστη στη θέση x = 0. Α5) Η φάση της αλής αρμονικής ταλάντωσης i) αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο, ii) είναι σταθερή, iii) ελαττώνεται γραμμικά με το χρόνο, iv) είναι ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου. Α6) Η διαφορά φάσης Δφ = φ υ ϕ x μεταξύ ταχύτητας υ και αομάκρυνσης x στην αλή αρμονική ταλάντωση είναι i) ii) iii) iv) 0

Ενότητα 1: Εξισώσεις ταλάντωσης 11 Α7) Η διαφορά φάσης Δφ = φ x ϕα μεταξύ αομάκρυνσης x και ειτάχυνσης α στην αλή αρμονική ταλάντωση είναι i) 0 ii) iii) iv) Α8) Η διαφορά φάσης Δφ = φ α ϕυ μεταξύ ειτάχυνσης α και ταχύτητας υ στην αλή αρμονική ταλάντωση είναι i) ii) iii) iv) 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Στις ερωτήσεις ου ακολουθούν να βάλετε το γράμμα Σ δίλα σε κάθε σωστή ρόταση και το γράμμα Λ δίλα σε κάθε λανθασμένη: B1) Η αλή αρμονική ταλάντωση είναι ευθύγραμμη εριοδική κίνηση. B) Η αλή αρμονική ταλάντωση είναι ευθύγραμμη κίνηση, ομαλά μεταβαλλόμενη. B3) Η αομάκρυνση σημειακού αντικειμένου αό τη θέση ισορροίας του, όταν εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση, είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου. B4) Σημειακό αντικείμενο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Η αομάκρυνσή του αό τη θέση ισορροίας του και η ειτάχυνση του α συνδέονται με την εξίσωση α = ω x. B5) Στην αλή αρμονική ταλάντωση, η φάση της αομάκρυνσης x ροηγείται της φάσης της ταχύτητας υ κατά. B6) Στην αλή αρμονική ταλάντωση, η φάση της αομάκρυνσης x καθυστερεί της φάσης της ειτάχυνσης α κατά. B7) Στην αλή αρμονική ταλάντωση, η φάση της ταχύτητας υ ροηγείται της φάσης της ειτάχυνσης α κατά.

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ Ι: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ B8) Στην αλή αρμονική ταλάντωση, το μέτρο της ταχύτητας είναι μέγιστο στη θέση x = 0. B9) Στην αλή αρμονική ταλάντωση, το μέτρο της ειτάχυνσης είναι ελάχιστο στις θέσεις x = ± A. B10) Στην αλή αρμονική ταλάντωση, τα διανύσματα υ και α είναι άντα αντίρροα. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ Γ1) Σημειακό αντικείμενο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Η αομάκρυνση x μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση x = A ημωt. Ποια αό τις αρακάτω γραφικές αραστάσεις (Εικόνα 1.1) αντιστοιχεί στην αομάκρυνση x, στην ταχύτητα υ και στην ειτάχυνση α; 1. 3.. 4. Εικόνα 1.1. Γραφικές αραστάσεις Γ) Σημειακό αντικείμενο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Η αομάκρυνση x μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση x = A ημ(ω t + ). Ποια αό τις αρακάτω γραφικές αραστάσεις (Εικόνα 1.) αντιστοιχεί στην αομάκρυνση x, στην ταχύτητα υ και στην ειτάχυνση α;

Ενότητα 1: Εξισώσεις ταλάντωσης 13 1. 3.. 4. Εικόνα 1.. Γραφικές αραστάσεις Γ3) Σημειακό αντικείμενο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Η ταχύτητά του μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση υ = υ0 ημωt. Ποια αό τις αρακάτω γραφικές αραστάσεις (Εικόνα 1.3) αντιστοιχεί στην αομάκρυνση x, στην ταχύτητα υ και στην ειτάχυνση α; 1. 3.. 4. Εικόνα 1.3. Γραφικές αραστάσεις

14 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ Ι: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Στις ερωτήσεις ου ακολουθούν να δικαιολογήσετε λήρως τις ααντήσεις: Δ1) Η γραφική αράσταση της αομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα σημειακό αντικείμενο ου εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση, φαίνεται στο σχήμα. Με οιο ή οια αό τα αρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; i) Το μέτρο της ταχύτητας έχει τη μέγιστη τιμή του τις χρονικές στιγμές 0 sec, 4 sec και 8 sec. ii) Το μέτρο της ειτάχυνσης έχει τη μέγιστη τιμή του τις χρονικές στιγμές sec και 6 sec. iii) Τη χρονική στιγμή t = 4 sec το μέτρο της ειτάχυνσης είναι α α = 0. iv) Τη χρονική στιγμή t 1 = 7 sec το μέτρο της ταχύτητας είναι μικρότερο αό το μέτρο της ταχύτητας τη χρονική στιγμή t = sec. Δ) Η γραφική αράσταση της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα σημειακό αντικείμενο ου εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση, φαίνεται στο σχήμα. Ποιες αό τις αρακάτω ροτάσεις είναι σωστές, οιες είναι λανθασμένες και γιατί; i) Τις χρονικές στιγμές 0 sec, 4 sec και 8 sec το αντικείμενο διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του. ii) Τις χρονικές στιγμές sec και 6 sec το μέτρο της ειτάχυνσης είναι μέγιστο. iii) Στο χρονικό διάστημα αό 6 sec μέχρι 8 sec τα διανύσματα της ταχύτητας υ και της συνισταμένης δύναμης F είναι συγγραμμικά και ομόρροα. iv) Στο χρονικό διάστημα 0 sec μέχρι sec το αντικείμενο κινείται ρος τη θέση ισορροίας του. Δ3) Η γραφική αράσταση της ειτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα σημειακό αντικείμενο ου εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση, φαίνεται στο σχήμα. Με οιο ή οια αό τα αρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; 0, -0, x(m) υ(m/sec) υ 0 -υ 0 α(m/sec ) α 0 4 6 4 6 8 16 8 16 4 8 1 16 3 -α 0

Ενότητα 1: Εξισώσεις ταλάντωσης 15 i) Τις χρονικές στιγμές 0 sec, 8 sec και 16 sec η ταχύτητα του αντικειμένου είναι ίση με μηδέν. ii) Τη χρονική στιγμή t = 14 sec το αντικείμενο κινείται ρος τη θέση ισορροίας του. iii) Τις χρονικές στιγμές 4 sec και 1 sec το μέτρο της ταχύτητας του αντικειμένου έχει τη μέγιστη τιμή του. iv) Η ταχύτητα του αντικειμένου κάθε χρονική στιγμή καθορίζεται αό την εξίσωση υ = υ ημ(ωt + ). 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Στις ερωτήσεις ου ακολουθούν να ανατύξετε λήρως τις ααντήσεις σας: Ε1) Ποια κίνηση λέγεται εριοδική; Να αναφέρετε τρία αραδείγματα εριοδικών κινήσεων. Ε) Ποια κίνηση ονομάζεται ταλάντωση; Να αναφέρετε δύο αραδείγματα. Ε3) Ποια κίνηση ονομάζεται i) γραμμική ταλάντωση; ii) αλή αρμονική ταλάντωση; Ε4) Να αναφέρετε ένα σύστημα ου θα μορούσε να εκτελέσει αλή αρμονική ταλάντωση. Ε5) Τι ονομάζουμε φάση της αλής αρμονικής ταλάντωσης; Να αραστήσετε γραφικά τη μεταβολή της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο. Ε6) Τι σημαίνει ο όρος «αρχική φάση»; Πώς γράφονται οι εξισώσεις x = f (t), υ = =f(t), α = f (t) της αλής αρμονικής ταλάντωσης όταν υάρχει αρχική φάση; Ε7) Ποια είναι η διαφορά φάσης μεταξύ i) αομάκρυνσης ταχύτητας; ii) αομάκρυνσης ειτάχυνσης; iii) ταχύτητας ειτάχυνσης, ενός υλικού σημείου ου εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση;

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ Ι: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι τα αρακάτω. ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ (X ή Y): Ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό τη θέση ισορροίας (x = 0 ή y = 0). ΠΛΑΤΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ (Α): Ονομάζεται η μέγιστη αόσταση του σώματος αό τη θέση ισορροίας (x = ±Α, ή y = ±Α). ΠΕΡΙΟΔΟΣ (Τ): Ονομάζεται ο χρόνος ου ααιτείται για να εκτελέσει το σώμα μια λήρη ταλάντωση, δηλαδή να εράσει διαδοχικά δύο φορές αό τη θέση ισορροίας και να καταλήξει στη θέση ου ξεκίνησε την ταλάντωσή του. ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ (F): Ονομάζεται ο αριθμός των λήρων ταλαντώσεων ου εκτελεί το σώμα στη μονάδα του χρόνου. Εειδή όλα τα αραάνω αναφέρονται αναλυτικά στη θεωρία, θα μελετήσουμε κυρίως τα μεγέθη ου έχουν ιδιαίτερη σημασία. Όως γνωρίζουμε, κάθε αλή αρμονική ταλάντωση μορούμε να την αντιστοιχίσουμε σε μια λήρη κυκλική κίνηση. Για το λόγο αυτό στα σχήματα θα χρησιμοοιήσουμε τον τριγωνομετρικό κύκλο για την λήρη ανααράσταση της κίνησης μιας αλής αρμονικής ταλάντωσης και την κατανόηση των εννοιών. ΦΑΣΗ (Φ): Ονομάζουμε τη γωνία ου καθορίζει την αομάκρυνση του σώματος ή του συστήματος σωμάτων αό τη θέση ισορροίας κάθε χρονική στιγμή t. Αυτό συμβαίνει διότι μορούμε να αντιστοιχίσουμε μια αλή αρμονική ταλάντωση ενός σώματος σε κίνησή του σε κυκλική τροχιά. Για αράδειγμα, όταν το σώμα έχει φάση rad σημαίνει ότι βρίσκεται στη θέση ου ξεκίνησε την ταλάντωσή του και έχει εκτελέσει μία λήρη ταλάντωση. Παρατηρείστε

Ενότητα 1: Εξισώσεις ταλάντωσης 17 το διλανό σχήμα όου φαίνεται ότι κάοια τυχαία χρονική στιγμή t το σώμα έχει φάση φ. Αυτή αντιστοιχεί στην αομάκρυνση x 1 του σώματος αό τη θέση ισορροίας. y +A x 1 Τυχαία χρονική στιγμή t ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Κάθε φάση αντιστοιχεί σε μία αομάκρυνση. Θα λέμε ότι δύο ταλαντώσεις βρίσκονται σε φάση όταν διαφέρουν κατά ακέραιο ολλαλάσιο της εριόδου Τ, δηλαδή Δφ = k όου k = 0, 1,, 3... x Θ.ΙΣ -A y φ x ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ: Ονομάζουμε την αρχική γωνία αό τη θέση ισορροίας, αό την οοία ξεκινά το σώμα ή το σύστημα σωμάτων την ταλάντωσή του κατά τη χρονική στιγμή t = 0, δηλαδή μόλις αρχίζει την κίνησή του και η οοία αντιστοιχεί σε μία συγκεκριμένη αομάκρυνση. Το σώμα (ή το σύστημα) ου ταλαντώνεται έχει αρχική φάση όταν: Τη χρονική στιγμή t = 0 έχει αομάκρυνση x 0 διάφορη του μηδενός (x 0 0). Δη- -A y λαδή ξεκινά την ταλάντωσή του αό ο- οιαδήοτε θέση εκτός της x = 0 ή αό τη θέση x = 0, έχοντας αρνητική ταχύτητα. Τη χρονική στιγμή t 0 με t k.τ όου k = 1,, 3... και Τ η ερίοδος ταλάντωσης, το σώμα βρίσκεται στη θέση x = 0. Αυτό σημαίνει ότι ξεκίνησε την ταλάντωσή του αό μια θέση διάφορη της θέσης ισορροίας του. Η εξίσωση της αομάκρυνσης ου δίνεται αό το ρόβλημα είναι διαφορετικής μορφής αό τη γνωστή εξίσωση x = A ημωt [.χ x = A συνωt, οότε θα έχω x = A ημ( ωt + ) άρα η αρχική φάση στο αράδειγμα είναι ]. Τη χρονική στιγμή t = 0, η ταχύτητα του σώματος (ή του συστήματος) έχει τιμή μικρότερη αό τη μέγιστη τιμή της. Τη χρονική στιγμή t = 0, η ειτάχυνση του σώματος (ή του συστήματος) έχει τιμή διάφορη του μηδενός. x y +A x 0 Θ.ΙΣ φ 0 Χρονική στιγμή t=0 x

18 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ Ι: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ (Δφ): Μεταξύ δύο μεγεθών ονομάζεται η γωνία ου αντιστοιχεί στο χρόνο ου ααιτείται για να άρει το ένα μέγεθος την αντίστοιχη τιμή ενός άλλου μεγέθους. Για αράδειγμα, αν τη χρονική στιγμή t 1 η ταχύτητα είναι μηδέν, για να άρει η αομάκρυνση την ίδια τιμή (δηλαδή μηδέν) ερνά κάοιος χρόνος Δt. Αυτός ο χρόνος αντιστοιχεί σε κάοια γωνία η οοία ονομάζεται διαφορά φάσης. Η αντιστοιχία αυτή δίνεται αό την αλή μέθοδο των τριών για τα μεγέθη χρόνος φάση, αφού γνωρίζουμε ότι σε χρόνο μιας εριόδου αντιστοιχεί γωνία φ rad. Δt = Δφ Δϕ = Δ t (1) ή αλλιώς Δ ϕ = ϕ t t (t t ) t 1 ϕ = ω 1 ω = ω 1 Δϕ = Δ Για να υολογίσουμε τη φάση ρέει να γνωρίζουμε τις τριγωνομετρικές σχέσεις ου ροκύτουν αό τις εξισώσεις ημιτόνων, συνημιτόνων και εφατομένης. Συγκεκριμένα: α) Εάν ημϕ = α, όου α ένας αριθμός ου αντιστοιχεί στο ημφ (.χ. ½). Βρίσκω το τόξο θ ου έχει ημίτονο τον αριθμό α, οότε έχω: ϕ = k + θ ημϕ = ημθ ϕ = k + θ Θέτοντας k = 0, υολογίζω τις τιμές της γωνίας φ ου αντιστοιχούν στην κίνηση του σώματος κατά την ρώτη λήρη ταλάντωση. Για αράδειγμα ημϕ = 1 0 ημϕ = ημ30 ϕ = k + ημϕ = ημ 6 6 ϕ = k + 6 β) Εάν συνφ = α, όου α ένας αριθμός ου αντιστοιχεί στο συνφ (.χ. ½). Κατά τον ίδιο τρόο θα έχω: ϕ = k ϑ συνϕ = συνϑ ϕ = k + ϑ φ = k+ 3 0 Για αράδειγμα 6 συνφ= συνφ=συν30 συνφ=συν 6 φ= k 6

Ενότητα 1: Εξισώσεις ταλάντωσης 19 γ) Εάν εφφ = α, όου α ένας αριθμός ου αντιστοιχεί στο εφφ (.χ. ½). Όμοια όως ροηγούμενα: ϕ = k + ϑ εφϕ = εφϑ ϕ = k ϑ φ = k+ 3 0 Για αράδειγμα 6 εϕφ= εϕφ=εϕ30 εϕφ=εϕ 3 6 φ= k 6 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Θα ρέει να αναφέρουμε τη σημασία της σταθεράς k στα ροβλήματα των ταλαντώσεων. Η σταθερά k δηλώνει σε οια ταλάντωση βρίσκεται το σώμα κατά την κίνησή του και όχι όσες λήρεις ταλαντώσεις έχει διαγράψει το σώμα. Αυτό σημαίνει ότι η σταθερά k αλλάζει κάθε φορά ου το σώμα ερνά αό τη θέση ισορροίας (η οοία αντιστοιχεί στη θέση των 0 0 στον τριγωνομετρικό κύκλο), κινούμενο άντα ρος το θετικό ημιάξονα (η οοία αντιστοιχεί στη θέση των 90 0 στο τριγωνομετρικό κύκλο). Για την κατανόηση των αραάνω διαβάστε το Παράδειγμα 1. ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΜΕΓΕΘΩΝ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ: Με βάση τις σχέσεις της ταλάντωσης και τις γραφικές αραστάσεις αυτών θα έχουμε τις διαφορές φάσεων μεταξύ των μεγεθών της αομάκρυνσης, της ταχύτητας, της ειτάχυνσης και της δύναμης, όως φαίνονται στα αρακάτω σχήματα. Αό τη σύγκριση των διαγραμμάτων της αομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο και της ταχύτητας σε συνάρτηση x(m) υ(m/sec) με το χρόνο αρατηρούμε ότι η αομάκρυνση x υστερεί της ταχύτητας υ κατά γωνία rad.

0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ Ι: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Αό τη σύγκριση των διαγραμμάτων της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο και της ειτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο αρατηρούμε ότι η ταχύτητα υ υστερεί της ειτάχυνσης α κατά γωνία rad. Αό τη σύγκριση των διαγραμμάτων της αομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο και της ειτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο αρατηρούμε ότι η αομάκρυνση x υστερεί της ειτάχυνσης α κατά γωνία rad. Αό τη σύγκριση των διαγραμμάτων της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο και της δύναμης εαναφοράς σε συνάρτηση με το χρόνο αρατηρούμε ότι η ταχύτητα υ υστερεί της δύναμης εαναφοράς F ε κατά γωνία rad. υ(m/sec) α(m/sec ) x(m) υ(m/sec) α(m/sec ) F(Nt) Αό τη σύγκριση των διαγραμμάτων της αομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο και της δύναμης εαναφοράς σε συνάρτηση με το χρόνο αρατηρούμε ότι η αομάκρυνση x υστερεί της δύναμης εαναφοράς F ε κατά γωνία rad. x(m) F(Nt) ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΕΓΕΘΩΝ: Στις ασκήσεις των ταλαντώσεων αρκετές φορές θα χρειαστεί να γνωρίζουμε σχέσεις μεταξύ διαφόρων μεγεθών. Ο τρόος εργασίας στις εριτώσεις αυτές είναι ίδιος και οι σχέσεις αυτές αοδεικνύονται τις ερισσότερες φορές με τη χρήση τριγωνομετρικών σχέσεων. Έτσι:

Ενότητα 1: Εξισώσεις ταλάντωσης 1 Αόδειξη της σχέσης ου συνδέει την αομάκρυνση με την ταχύτητα: x x= + + = A A ημ(ω t φ) ημ (ω t φ) (1) υ υ = ω A συν( ω t + φ) συν ( ω t + φ) = ω A () Αό την τριγωνομετρία γνωρίζουμε ότι ισχύει ημ φ + συν φ = 1, οότε αντικαθιστώντας τις σχέσεις (1) και () σε αυτήν έχουμε: ημ (ω t + φ) + συν υ = ω A ω x (ω t + φ) = 1 A x υ = ± ω A υ + ω A x = 1 υ + ω x = ω A υ = ± ω A x Με τον ίδιο ακριβώς τρόο ροκύτει και η σχέση μεταξύ ταχύτητας και ειτάχυνσης: α = ± ω υ 0 υ Προσέξτε ιδιαίτερα τη σχέση ου συνδέει την αομάκρυνση με την ειτάχυνση διότι είναι ολύ αλή και χρησιμοοιείται σε ολλές εριτώσεις ασκήσεων: α = ω A ημ(ω t+ φ ) α = ω x 0 Η εξίσωση της δύναμης είναι ίσως η βασικότερη εξίσωση των ταλαντώσεων. Αό την εξίσωση αυτή καθορίζεται αν ένα σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση, οια είναι η συνισταμένη δύναμη ου ενεργεί στο σώμα ου ταλαντώνεται κάθε χρονική στιγμή κ.λ. Η συνισταμένη δύναμη εκφράζεται σε συνάρτηση με την αομάκρυνση ή σε συνάρτηση με το χρόνο αό τις σχέσεις: ΣF = Fε = D x ή Σ = = ω ημ +ϕ F Fε m A (ω t ) Εκτός των τριών γραφικών αραστάσεων αομάκρυνσης, ταχύτητας και ειτάχυνσης ου αναφέρει το σχολικό βιβλίο μορούμε να σχεδιάσουμε και τη γραφική αράσταση της δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο, καθώς είσης και τη γραφική αράσταση της δύναμης σε συνάρτηση με την αομάκρυνση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ Ι: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Η γραφική αράσταση της δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο είναι ίδια με τη γραφική αράσταση της ειτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, διότι η δύναμη είναι ανάλογη της ειτάχυνσης F = m α και έτσι δε χρειάζεται να τη σχεδιάσουμε. Η γραφική αράσταση της δύναμης σε συνάρτηση με την αομάκρυνση είναι εξίσωση ρώτου βαθμού αφού F= D x και σχεδιάζεται, όως φαίνεται στο διλανό διάγραμμα. -x 1 F (Nt) -D.x 1 D.x 1 x 1 x (m) ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ: Εειδή στη φυσική δεν μας ενδιαφέρει ο λετομερής σχεδιασμός μιας γραφικής αράστασης, θα αναφέρουμε έναν εύκολο τρόο για το σχεδιασμό μιας γραφικής αράστασης με αρχική φάση όως αυτές ου αναφέρει το σχολικό βιβλίο. Εάν για αράδειγμα μάς ζητηθεί η γραφική αράσταση της εξίσωσης της αομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο x(m) A x = A ημ ( ω t + ), τότε σχεδιάζω την κλασσική γραφική 6 A/ αράσταση της αομάκρυνσης με το χρόνο χωρίς αρχική φάση και μετατοίζω τον άξονα της αομάκρυνσης ρος τα δεξιά. Η μετατόιση γίνεται με τον εξής τρόο: -A Χωρίζω το τεταρτημόριο ( 0 ) σε τρία ίσα μέρη αό τα 4 οοία το καθένα αντιστοιχεί σε γωνία ( ) 6 rad και μεταφέρω τον άξονα κατά το α- ντίστοιχο τμήμα. Τέλος, για να υολογίσω την τιμή ου αρχίζει η γραφική αράσταση θέτω στην εξίσωση της αομάκρυνσης t = 0 και έχω: 1 A x = A ημ ( ω 0 + ) x = A ημ( ) x = A x = 6 6 Όμοια εργάζομαι για οοιαδήοτε άλλη γωνία. Εάν δε, η εξίσωση έχει αρνητική αρχική φάση η μετατόιση του άξονα γίνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόο ρος τα αριστερά. Δηλαδή: x(m) A -A/ -A