Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση µεταβλητών µεγεθών, δίνοντας έτσι τη δυνατότητα να µελετηθούν ευκολότερα τα αντίστοιχα ϕαινόµενα. Για παράδειγµα όταν ένα κινητό κινείται µε σταθερή ταχύτητα, η απόσταση s που διανύει στο χρονικό διάστηµα t, εξαρτάται από το συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα. Είναι, λέµε, συνάρτηση του t. Οµοια το ύψος h ενός παιδιού σε ηλικία x ετών είναι συνάρτηση του x. Ετσι µε τον όρο συνάρτηση εννοούµε τη σχέση που συνδέει συµµεταβλητά µεγέθη. Ο µαθηµατικός ορισµός της συνάρτησης δίνεται παρακάτω. Ορισµός 2.1.1. Η σχέση f που συνδέει δύο µεταβλητές ποσότητες x και y, λέγεται συνάρτηση, όταν σε κάθε τιµή της µεταβλητής x, που ανήκει σε κάποιο σύνολο A, αντιστοιχεί µία και µόνη τιµή της µεταβλητής y, που ανήκει σε κάποιο σύνολο B. Το σύνολο A λέγεται πεδίο ορισµού, το B πεδίο τιµών, η x είναι ανεξάρτητη µεταβλητή και η y εξαρτηµένη µεταβλητή. Αν στο x 0 A αντιστοιχεί το y 0 B, τότε το x 0 είναι το πρότυπο του y 0 και το y 0 η εικόνα του x 0. Το x 0 αναφέρεται επίσης και ως όρισµα της συνάρτησης. 17
18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A και πεδίο τιµών B συµβολίζεται f : A B, ενώ η τιµή της συνάρτησης στο x συµβολίζεται y = f(x). Ανάλογα µε το είδος των στοιχείων των συνόλων A και B µπορούµε να διακρίνουµε διαφορετικά είδη συναρτήσεων. Στο µάθηµα αυτό ϑα ασχοληθούµε κυρίως µε συναρτήσεις, οι οποίες παίρνουν πραγµατικές τιµές σε πραγµατικά πρότυπα, έχουν δηλαδή A R, B R και λέγονται πραγ- µατικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής. Πολλές ϕορές στις συναρτήσεις αυτές δε δίνονται τα δύο σύνολα A και B, αλλά µόνο η σχέση που συνδέει τα x και y. Στην περίπτωση αυτή εννοούµε ότι, ως πεδίο ορισµού, πρέπει να ϑεωρηθεί το µεγαλύτερο δυνατό υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών για το οποίο η σχέση που συνδέει τα x και y ορίζεται. Για παράδειγµα η συνάρτηση είναι ισοδύναµη µε τη συνάρτηση y = y = 1 (x 1) 2 1 : (R {1}) (0, ). (x 1) 2 Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων 1 x 1, g(x) = 1 x 2, h(x) = ln(1 + x). 2.2 Βασικές έννοιες Μία συνάρτηση ορίζεται πλήρως όταν δοθεί ο τύπος της y = f(x) και το πεδίο ορισµού A και το πεδίο τιµών B. Για παράδειγµα η συνάρτηση ορίζεται πλήρως. y = 5x + 10 : [0, 3] [10, 25], (2.1)
2.2. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 19 Αν αντί της (2.1) ορίσουµε τη συνάρτηση y = 5x + 10 : [0, 3] R, τότε ορίζεται η ίδια συνάρτηση. Η συνάρτηση όµως y = 5x + 10 είναι διαφορετική, γιατί τώρα ως πεδίο ορισµού ϑεωρείται το µεγαλύτερο δυνατό υποσύνολο του R για το οποίο ορίζεται η σχέση, που είναι το ίδιο το R. Ορισµός 2.2.1. Μία συνάρτηση f : A B λέγεται επί, αν y B υπάρχει x A : y = f(x). Ορισµός 2.2.2. Μία συνάρτηση f : A B λέγεται 1 1, αν ή ισοδύναµα x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ), για όλα τα x 1, x 2 A, f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2, για όλα τα x 1, x 2 A. Παράδειγµα: Να εξεταστεί αν οι συναρτήσεις f : [1, 2] [3, 5] και g : [2, 4] [5, 12], όπου 2x + 1 και g(x) = 3x 1 είναι 1 1 και επί. ύο συναρτήσεις f 1 και f 2 µε το ίδιο πεδίο ορισµού A είναι ίσες αν ισχύει f 1 (x) = f 2 (x), x A. Αν f 1, f 2 έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού A τότε ορίζεται το άθροισµά τους f 1 + f 2 µε το ίδιο πεδίο ορισµού και µε τύπο (f 1 + f 2 )(x) = f 1 (x) + f 2 (x). Οµοια ορίζεται η διαφορά f 1 f 2 : A R, µε τύπο το γινόµενο f 1 f 2 : A R, µε τύπο (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x) f 2 (x), (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x) f 2 (x),
20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ και το πηλίκο f 1 f 2 : A R, µε τύπο ( f1 f 2 ) (x) = f 1(x) f 2 (x), όπου A = {x : x A, f 2 (x) 0}, δηλαδή το υποσύνολο του A που δεν περιέχει ϱίζες του παρανοµαστή. Ορισµός 2.2.3. Εστω οι συναρτήσεις f : A B και g : B Γ. Τότε η συνάρτηση h : A Γ όπου h(x) = g(f(x)), x A, λέγεται σύνθετη συνάρτηση ή σύνθεση των f και g και συµβολίζεται µε g(f(x)) ή (g f) (x). Παράδειγµα: Να ϐρεθεί η σύνθεση των συναρτήσεων 2x + 7, g(x) = Μονοτονία: Μία συνάρτηση f : A R λέγεται : x2, x R. 1 + x2 αύξουσα αν x 1, x 2 A µε x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) ϕθίνουσα αν x 1, x 2 A µε x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) γνησίως αύξουσα αν x 1, x 2 A µε x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ) γνησίως ϕθίνουσα αν x 1, x 2 A µε x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 ). Μία συνάρτηση που είναι είτε αύξουσα είτε ϕθίνουσα λέγεται µονότονη. Ορισµός 2.2.4. Μία συνάρτηση f : A R λέγεται ϕραγµένη αν το πεδίο τιµών της είναι ϕραγµένο, δηλαδή εάν υπάρχουν δύο αριθµοί m και M τέτοιοι ώστε m f(x) M, x A. Αν το πεδίο τιµών είναι ϕραγµένο µόνο άνω, η συνάρτηση λέγεται ϕραγµένη άνω και αντίστοιχα ορίζεται η ϕραγµένη κάτω. Ορισµός 2.2.5. Μία συνάρτηση f : A R λέγεται άρτια, όταν f( x) = f(x), x, x A. Οι άρτιες συναρτήσεις, όπως προκύπτει από τον ορισµό, έχουν γραφικές παραστάσεις συµµετρικές ως προς τον άξονα των y.
2.3. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 21 Ορισµός 2.2.6. Μία συνάρτηση f : A R λέγεται περιττή, όταν f( x) = f(x), x, x A. Οι περιττές συναρτήσεις, όπως προκύπτει από τον ορισµό, έχουν γραφικές παραστάσεις συµµετρικές ως προς την αρχή των αξόνων. Παράδειγµα: Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές : 5x 2 + 3, g(x) = 2x 3 + x. Ορισµός 2.2.7. Μία συνάρτηση f : A B λέγεται περιοδική, αν υπάρχει T 0 πραγµατικός αριθµός τέτοιος ώστε f(x + T ) = f(x), για όλα τα x A για τα οποία (x + T ) A. Ο µικρότερος ϑετικός αριθµός T για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται περίοδος της f(x). Παράδειγµα: Να εξετάσετε αν συνάρτηση sin(x), είναι περιοδική. Ορισµός 2.2.8. Εστω f : A B µία 1 1 και επί συνάρτηση. Τότε ορίζεται η συνάρτηση f 1 : B A και f 1 (y) = x, (όπου y) η οποία ονοµάζεται αντίστροφη της f. Παράδειγµα: ίνεται η συνάρτηση f : [0, 1] [3, 10], όπου 7x+3. Να δειχθεί ότι η f είναι 1 1 και επί συνάρτηση και να ϐρεθεί η αντίστροφή της. 2.3 Οριο και συνέχεια συνάρτησης Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε 2x + 1 και υποθέτουµε ότι οι τιµές του x τείνουν (πλησιάζουν) στον αριθµό 4, δηλαδή το x ϐρίσκεται σε µία µικρή περιοχή του 4 µε ακτίνα δ > 0 ( x 4 < δ ή x (4 δ, 4 + δ)). Την ίδια στιγµή, για τις διάφορες τιµές του x, οι τιµές της f(x) πλησιάζουν στο 9, αφού η απόσταση του f(x) από το 9 γίνεται µικρή µε ϐάση τη σχέση f(x) 9 = 2x + 1 9 = 2 x 4 < 2δ.
22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ηλαδή, η απόσταση f(x) 9 γίνεται µικρότερη ενός τυχαίου πραγµατικού ϑετικού αριθµού ε όταν η απόσταση x 4 επιλέγεται µικρότερη κάποιου δ > 0, π.χ. δ = ε. Ετσι λέµε ότι η f(x) τείνει στον πραγµατικό αριθµό 9 2 (όριο της f(x)) όταν το x τείνει στον αριθµό 4. Στη συνέχεια δίνουµε τον ορισµό του ορίου πραγµατικής συνάρτησης. Ορισµός 2.3.1. Ας είναι f : A B µία συνάρτηση. Λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f, όταν x τείνει στο a, είναι το L R και γράφουµε lim L, x a αν για κάθε ϑετικό ε (οσονδήποτε µικρό) υπάρχει άλλος ϑετικός δ = δ(ε), ο οποίος γενικά εξαρτάται από τον ε, τέτοιος ώστε δηλαδή αν 0 < x a < δ = f(x) L < ε, x A ε > 0 δ = δ(ε) : 0 < x a < δ = f(x) L < ε, x A. Αν a = +, ο ορισµός γίνεται : Ορισµός 2.3.2. Ας είναι f : A B µία συνάρτηση. Λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f, όταν x τείνει στο +, είναι το L R και γράφουµε lim L, x + αν για κάθε ϑετικό ε (οσονδήποτε µικρό) υπάρχει ένας αριθµός M(ε) > 0, τέτοιος ώστε x > M(ε) = f(x) L < ε, x A. Πλευρικά όρια : Λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f από δεξιά, όταν x τείνει στο a, είναι το L R και γράφουµε lim L, x a + αν ε > 0 δ = δ(ε) : a < x < a + δ = f(x) L < ε, x A. Λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f από αριστερά, όταν x τείνει στο a, είναι το L R και γράφουµε lim L, x a
2.3. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 23 αν ε > 0 δ = δ(ε) : a δ < x < a = f(x) L < ε, x A. Θεωρήµατα ορίων : Αν υπάρχουν τα όρια lim x a f(x) και lim x a g(x) και είναι πεπερασµένα τότε ισχύουν : 1. Αν c (c στεθερά), τότε lim x a c 2. lim x a [kf(x)] = k lim x a f(x), k σταθερά 3. lim x a [f(x) ± g(x)] = lim x a f(x) ± lim x a g(x) 4. lim x a [f(x)g(x)] = lim x a f(x) lim x a g(x) 5. lim x a f(x) g(x) = lim x a f(x) lim x a g(x), (lim x a g(x) 0) 6. lim x a f(x) = lim x a f(x). Γνωστά όρια : 1. lim x 0 sin(x) x = 1 2. lim x (1 + 1 x )x = lim a 0 (1 + a) 1 a = e Παράδειγµα : Να ϐρεθούν τα πλευρικά όρια όταν x 1 της συνάρτησης 2x + 2, x 1 3x, x > 1 Πρόταση 2.3.1. Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να υπάρχει το όριο µιας συνάρτησης σε ένα σηµείο a, είναι να υπάρχουν τα πλευρικά όρια της συνάρτησης και να είναι ίσα. ηλαδή lim x a L lim x a x a lim L. +
24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.3.1 Συνέχεια συνάρτησης Ορισµός 2.3.3. Ας είναι f : A B µία συνάρτηση. Η συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σηµείο x 0, αν i) το x 0 ανήκει στο πεδίο ορισµού της f ii) υπάρχει το lim x x0 f(x) και είναι πεπερασµένος αριθµός iii) ισχύει η ισότητα lim x x0 f(x 0 ). Παράδειγµα : Να δειχθεί ότι η συνάρτηση x 2 + 2, x < 1 2x 2, x 1 παρουσιάζει πεπερασµένο άλµα (δεν είναι συνεχής) στο σηµείο x = 1. Πρόταση 2.3.2. Αν f, g : A R συνεχείς στο x 0 τότε και i) kf(x) + λg(x), k, λ R ii) f(x)g(x) iii) f(x) g(x), όταν g(x 0) 0 είναι συνεχής στο σηµείο x 0. Πρόταση 2.3.3. Αν f : A B και g : B Γ δύο συναρτήσεις µε f συνεχή στο x 0 A και g συνεχή στο y 0 = f(x 0 ) B, τότε και η g f : A Γ είναι συνεχής στο x 0. Ορισµός 2.3.4. Ας είναι f : I R µία συνάρτηση. Λέµε ότι η f είναι συνεχής στο διάστηµα I, αν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του Ι. x = 0. Παράδειγµα : Να δείξετε ότι η συνάρτηση y = 1 x είναι ασυνεχής στο Παράδειγµα : Να εξεταστεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση x x. Θεώρηµα 2.3.1. Ας είναι f : [a, b] R µία συνάρτηση. Αν η f i) είναι συνεχής στο [a, b]
2.4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 25 ii) παίρνει ετερόσηµες τιµές στα άκρα του [a, b] (δηλαδή f(a)f(b) < 0) τότε µηδενίζεται σε ένα τουλάχιστον εσωτερικό σηµείο του διαστήµατος [a, b], δηλαδή x 0 (a, b) : f(x 0 ) = 0. Παράδειγµα : Να δείξετε ότι η εξίσωση x 3 x 1 = 0 έχει τουλάχιστον µία ϱίζα µεταξύ των 1 και 2. 2.4 Ασκήσεις Ασκηση 2.1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : tan(x) i) lim x 0 x sin(kx) ii) lim x 0, (k σταθερά) x iii) lim x (1 + 1 x )3x iv) lim x 2 x 2 4 x 2 3x + 2. Ασκηση 2.2. Να εξεταστεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση x 2 3x + 2, x 2 x 2 1, x = 2 Ασκηση 2.3. ίνεται η συνάρτηση x 2 9 x 3, x 3 a, x = 3 Για ποιο a η f(x) είναι συνεχής; Ασκηση 2.4. Εξετάστε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις x 2 + 2, 2 x < 0 (x 2 + 2), 0 x 2
26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 5 + 3), x 1 g(x) = 6 5x, 1 < x < 3 x 3, x 3 Ασκηση 2.5. Να προσδιοριστεί το a ώστε η συνάρτηση 4 3 x, x < 0 2a + x, x 0 να είναι συνεχής στο σηµείο x = 0. Ασκηση 2.6. Να ϐρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ έτσι ώστε η συνάρτηση x 2 + 3x κ, x < 3 9, x = 3 να είναι συνεχής στο R. 3κx λ, x > 3