ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας
Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β)
Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων με συνδέσμους Τα ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους είναι σύνθετοι φορείς. Ο υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής γίνεται σύμφωνα με όσα αναφέρονται στην Παρουσίαση 3 για τους σύνθετους φορείς. Τα διαγράμματα των εσωτερικών δυνάμεων M, N, Q σχεδιάζονται για όλα τα τμήματα σε ένα ενιαίο σχήμα του πλαισίου.
Γραμμές επιρροής Οι φορείς φέρουν μόνιμα (ίδιο βάρος, τοιχοποιίες, κλπ.) και κινητά φορτία (χιόνι, άνεμος, έπιπλα, κλπ.). Τα μόνιμα φορτία έχουν σταθερό μέγεθος και θέση. Τα κινητά φορτία έχουν σταθερό μέγεθος και μεταβλητή θέση. Το μέγεθος των κινητών φορτίων μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερο από των μονίμων. Επομένως, μεγαλύτερα είναι και τα μεγέθη έντασης που προκαλούνται από αυτά. Συνεπώς, είναι φανερή η σπουδαιότητα υπολογισμού τους. Η μελέτη της επίδρασης των κινητών φορτίων στην καταπόνηση των φορέων γίνεται με τις γραμμές επιρροής. Βρίσκονται οι θέσεις των κινητών φορτίων για τις οποίες τα μεγέθη έντασης εμφανίζουν μέγιστο σε ορισμένες διατομές.
Ορισμός των γραμμών επιρροής Στην αμφιέριστη δοκό του σχήματος ένα μοναδιαίο φορτίο κινείται από το ένα άκρο Α στο άλλο Β. Σε μία διατομή i του φορέα που απέχει απόσταση x i από το Α τα μεγέθη έντασης (φορτία διατομής Μ, Q, N) και παραμόρφωσης (βύθιση u, στροφή θ) μεταβάλλονται και μπορούν να γραφούν ως: [Q i ] = Q i (x), [M i ] = M i (x), [N i ] = N i (x), [u i ] = u i (x), [θ i ] = θ i (x) Η καμπύλη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης [Ε i ] με άξονες (x, E), όπου Ε ένα από τα Q i, M i, N i, u i, θ i, καλείται γραμμή επιρροής του μεγέθους Ε της διατομής i.
Εύρεση των γραμμών επιρροής Η γραμμές επιρροής βρίσκονται με τρεις μεθόδους: 1. Υπολογίζονται οι συναρτήσεις επιρροής με τη χρήση μόνο συνθηκών ισορροπίας και παριστάνονται γραφικά. 2. Υπολογίζεται η γραμμή επιρροής μιας διατομής έμμεσα ως συνάρτηση των γραμμών επιρροής άλλων διατομών [Ε 1 ], [Ε 2 ],, [Ε n ]. 3. Εφαρμόζεται η αρχή των δυνατών έργων στο φορέα, αφού πρώτα δημιουργηθεί η κατάλληλη κινητότητα σ αυτόν και η γραμμή επιρροής συμπίπτει με τον παραμορφωμένο με ορισμένο τρόπο άξονα του φορέα (κινηματική μέθοδος).
ύρεση των γραμμών επιρροής με ρήση συναρτήσεων επιρροής Οι γραμμές επιρροής των ισοστατικών φορέων αποτελούνται από ευθύγραμμα τμήματα με ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στο σημείο στο οποίο αναφέρονται. Υπολογίζονται οι τιμές των γραμμών επιρροής σε χαρακτηριστικά σημεία του φορέα, επιλύοντας το φορέα για κάθε αντίστοιχη θέση του μοναδιαίου φορτίου και φέροντας τις ευθείες που ενώνουν τις τιμές των γραμμών επιρροής στα χαρακτηριστικά σημεία.
Παράδειγμα της 1 ης μεθόδου Να βρεθούν οι γραμμές επιρροής [Q Α ], [M Α ], [Q i ], [M i ] του προβόλου του σχήματος.
ραμμές επιρροής από έμμεση φόρτιση Κατασκευάζεται η γραμμή επιρροής της άμεσης φόρτισης, φέρονται από τις δοκίδες που περιέχουν το σημείο i στικτές ευθείες κάθετες στη δοκό μέχρι αυτές να συναντήσουν τη γραμμή επιρροής της άμεσης φόρτισης και ενώνονται τα σημεία αυτά με μία ευθεία.
Εύρεση της γραμμής επιρροής ενός στατικού μεγέθους από τις γραμμές επιρροής άλλων στατικών μεγεθών Η γραμμή επιρροής του στατικού μεγέθους Ε i ενός φορέα, ο οποίος φορτίζεται με ένα μοναχικό φορτίο P = 1, μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των γραμμών επιρροής των στατικών μεγεθών E 1, E 2,, E n των διατομών 1, 2,, n με τη σχέση [Ε i ] = k 1 [Ε 1 ] + k 2 [Ε 2 ] + + k n [Ε n ] όπου k 1, k 2,, k n σταθεροί συντελεστές που εξαρτώνται από τη θέση των διατομών 1, 2,, n και όχι από τη θέση του μοναδιαίου φορτίου. Η γραμμή επιρροής [Ε i ] μπορεί να προκύψει από τις γραμμές επιρροής [Ε 1 ], [Ε 2 ],,[Ε n ] αρκεί αυτές να πολλαπλασιασθούν με τους αντίστοιχους συντελεστές k 1, k 2,, k n και να προστεθούν.
Παραδείγματα της 2 ης μεθόδου
Αρχή των δυνατών έργων για απολύτως στερεά σώματα: Δυνατές μετακινήσεις Ο απολύτως στερεός δίσκος του σχήματος ισορροπεί υπό την επίδραση των φορτίων P 1, P 2,., P n. Ο δίσκος μπορεί να εκτελέσει τις εξής δυνατές μετακινήσεις: α) Μία απειροστή μεταφορική κίνηση δ (δ x, δ y ) β) Μία απειροστή περιστροφή γωνίας ω γύρω από το σημείο Ο.
Αρχή των δυνατών έργων για απολύτως στερεά σώματα: Δυνατά έργα Τα έργα που παράγονται από τα φορτία P 1, P 2,., P n που ισορροπούν κατά τις δυνατές μετακινήσεις (μεταφορική και περιστροφική) καλούνται δυνατά έργα. Αρχή των δυνατών έργων: Εάν ένα απολύτως στερεό σώμα ισορροπεί υπό την επίδραση ενός συστήματος επιβεβλημένων δυνάμεων, και υποστεί μία οποιαδήποτε δυνατή μετακίνηση, το δυνατό έργο που θα παραχθεί από το σύστημα αυτών των επιβεβλημένων δυνάμεων ισούται με μηδέν. Αντίστροφα, αν για κάθε δυνατή μετατόπιση ενός απολύτως στερεού σώματος, το έργο που παράγεται από τις εξωτερικές δυνάμεις είναι μηδέν, τότε το σύστημα ισορροπεί.
Κινητότητα των φορέων (α) Μονοκινητά συστήματα: Η κίνησή τους, η οποία πρέπει να είναι συμβιβαστή με τους συνδέσμους, καθορίζεται από μία μόνο μεταβλητή, π.χ. τη γωνία θ.
Κινητότητα των φορέων (β) Δικινητά συστήματα: Η κινητότητα n = -2 και η κίνησή τους καθορίζεται από δύο μεταβλητές, π.χ. τις γωνίες θ 1 και θ 2. Η κίνηση του δικινητού συστήματος μπορεί να προκύψει από το άθροισμα των κινήσεων των δύο μονοκινητών συστημάτων του.
Διαγράμματα πόλων, Γραμμή βυθίσεων (α) (α) Μονοκινητός δίσκος Κίνηση ενός δίσκου γύρω από ένα στιγμιαία απόλυτο πόλο στροφής, π.χ. Ω. Γραμμή βυθίσεων: Ο γεωμετρικός τόπος των κατακόρυφων μετατοπίσεων της ΑΒ. (β) Μονοκινητό σύστημα δύο δίσκων Διάγραμμα πόλων: Σχήμα που περιλαμβάνει όλους τους απόλυτους και σχετικούς πόλους. Γραμμή βυθίσεων: Αντικατάσταση του φορέα α από τον b, γιατί δίνει τις ίδιες κατακόρυφες μετατοπίσεις.
ιαγράμματα πόλων, Γραμμή βυθίσεων (β) Διάγραμμα πόλων: Κάθε δίσκος έχει ένα απόλυτο πόλο στροφής, π.χ. μία στήριξη. Δύο δίσκοι στρέφονται μεταξύ τους γύρω από το σχετικό τους πόλο, π.χ. μία άρθρωση ή μονοκινητή πάκτωση. Οι απόλυτοι πόλοι δύο δίσκων και ο σχετικός πόλος τους βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Γραμμή βυθίσεων: Η κατακόρυφη μετατόπιση στις θέσεις των απόλυτων πόλων είναι μηδέν, ενώ στις θέσεις των σχετικών πόλων εμφανίζει γόνατο. Οι βυθίσεις n y μεταβάλλονται γραμμικά κατά μήκος του δίσκου Οι βυθίσεις n x είναι ανεξάρτητες των τεταγμένων των σημείων του δίσκου.
Υπολογισμός αντιδράσεων και φορτίων διατομής με την αρχή των δυνατών έργων 1. Δημιουργείται κινητότητα στο φορέα τέτοια που να ανταποκρίνεται εργικά στο ζητούμενο μέγεθος. Αυτό γίνεται με την κατάργηση της ράβδου που αντιστέκεται στην αντίδραση ή το ζητούμενο φορτίο διατομής. 2. Προσάγεται η άγνωστη αντίδραση ή το φορτίο διατομής, πάντοτε με θετικό πρόσημο, για να διατηρείται η ισορροπία στο φορέα. 3. Εφαρμόζεται η αρχή των δυνατών έργων για μία δυνατή μετακίνηση στο φορέα. Αν για το στατικό μέγεθος που ζητείται προκύψει αρνητική τιμή, σημαίνει πως η φορά του είναι αντίθετη από αυτή που ελήφθη.
Υπολογισμός των γραμμών επιρροής με την αρχή των δυνατών έργων (α) 1. Δημιουργείται κινητότητα στο φορέα τέτοια που να ανταποκρίνεται εργικά στο ζητούμενο μέγεθος. Αυτό γίνεται με την κατάργηση της ράβδου που αντιστέκεται στην αντίδραση ή το ζητούμενο φορτίο διατομής. 2. Βρίσκεται το διάγραμμα πόλων 3. Προσάγεται η άγνωστη αντίδραση ή το φορτίο διατομής, πάντοτε με θετικό πρόσημο, για να διατηρείται η ισορροπία στο φορέα. 4. Προκαλείται μία δυνατή αρνητική μοναδιαία μετακίνηση στο φορέα (n = -1m για Q και Ν και θ = -1 rad για Μ).
Υπολογισμός των γραμμών επιρροής με την αρχή των δυνατών έργων (β) Η γραμμή των βυθίσεων για αυτή τη δυνατή μετατόπιση συμπίπτει με τη γραμμή επιρροής. Οι βυθίσεις μετρούνται με αφετηρία μία ευθεία κάθετη στη διεύθυνση του μοναδιαίου φορτίου και είναι θετικές όταν πραγματοποιούνται κατά την ίδια με αυτά φορά. Τα χαρακτηριστικά των γραμμών επιρροής, των μεγεθών έντασης είναι ίδια με τα χαρακτηριστικά των γραμμών των βυθίσεων των μονοκινητών συστημάτων.
Γραμμές επιρροής των ισοστατικών φορέων α) Είναι ευθύγραμμες πολυγωνικές γραμμές β) Μηδενίζονται στα σημεία που στηρίζεται ο φορέας και οι προβολές των απόλυτων πόλων συναντούν τον κάθετο άξονα προς το μοναδιαίο φορτίο. γ) Έχουν μέγιστες τιμές στα σημεία που δύο διαδοχικοί δοκοί συνδέονται αρθρωτά και οι προβολές των σχετικών πόλων συναντούν τον κάθετο άξονα προς το μοναδιαίο φορτίο. δ) Έχουν ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στο σημείο στο οποίο αναφέρονται, ανεξάρτητα από τη μορφή του φορέα.
Ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της γραμμής επιρροής στο σημείο αναφοράς Η αντίδραση με κλίση ψ ως προς την κάθετη, δίνει άλμα -cosψ (αν ψ = 0, άλμα -1), (Σχ. α) Η ροπή κάμψης, γόνατο με μοναδιαία γωνία Δφ = -1, (Σχ. β) Η τέμνουσα δύναμη, δίνει άλμα ίσο με cosψ μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών, (Σχ. c) Για την αξονική δύναμη, άλμα sinψ, μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών, (αν ψ = 0, άλμα 0), (Σχ. d).
Παραδείγματα της κινηματικής μεθόδου
Εύρεση γραμμών επιρροής Αμφιέρειστων δοκών Αμφιπροεχουσών δοκών Μονοπροεχουσών δοκών Προβόλων Αρθρωτών δοκών Δικτυωμάτων Πλαισίων Τριαρθρωτών τόξων
Χρησιμότητα των γραμμών επιρροής α) Στατικά φορτία Όταν είναι γνωστή η γραμμή επιρροής ενός στατικού μεγέθους E i, τότε μπορεί να υπολογισθεί η τιμή του E i για οποιαδήποτε φόρτιση κάθετη στο φορέα. Δυσμενέστερη φόρτιση. β) Κινούμενα φορτία