569: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Παρεμβολή Προσαρμογή ρ ρμ http://ecouseschemegtug/couses/computtol_methods_fo_egees/
Παρεµβολή Προσαρμογή Παρεµβολή tepolto είναι η διαδικασία µε την οποία βρίσκεται µία συνάρτηση η οποία να διέρχεται ακριβώς από + σηµεία = Συνήθως πολυώνυμο βαθμού Χρησιμοποιείται για α Υπολογισμό τιμών μεταξύ πειραματικών δεδομένων σημείων β Προσέγγιση συνάρτησης f από άλλη πιο απλή p που παρεμβάλει σε + σημεία [δηλαδή ή f =p = ] Πολυωνυμική παρεµβολή poloml tepolto Από + σημεία περνάει ένα και μόνο ένα πολυώνυμο βαθμού p = + + + + Το μοναδικό αυτό πολυώνυμο μπορεί να βρεθεί με διάφορους τρόπους επίλυση γραμμικού συστήματος++ Newto dvded dffeece πολυώνυμα gge
Πολυωνυμική παρεµβολή gge Δίνονται + σημεία: [ή + τιμές μίας προς προσέγγιση συνάρτησης f: f f f ] Ζητάμε τους συντελεστές του p = + + + + που διέρχεται από τα σημεία αυτά Ορίζουμε τα πολυώνυμα gge βαθμού βαθμού + πολυώνυμα ένα για κάθε σημείο = j j j To πολυώνυμo βαθμού P είναι: j P
ου βαθμού gge σημεία: και ου βαθμού gge βαθμού gge 3 σημεία: και
παράδειγμα: προσέγγιση συνάρτησης με πολυωνυμική παρεμβολή Δίνεται η συνάρτηση f = e Να προσεγγιστεί από πολυώνυμο ου βαθμού στο διάστημα [ ] Επιλέγουμε +=3 ισαπέχοντα σημεία στο [ ] = = = Οι τιμές της συνάρτησης μας στα σημεία αυτά είναι: f =e f = f =e Οι τιμές της συνάρτησης μας στα σημεία αυτά είναι: f =e f = f =e Βρίσκουμε το πολυώνυμο που περνά από τα σημεία e e: f 75 543 e e f P P e
Απόκλιση σφάλμα προσέγγισης Για το σφάλμα πολυωνυμικής προσέγγισης E μίας συνάρτησης f ϵ [b] ισχύει:! f P E : ] [ f b : ] [ f b M f! E : ] [ f M b M f Στο προηγούμενο παράδειγμα: = 3 η παράγωγος e = e άρα E= e P ] [ M e e f 8 3 e! E ǁΕǁ =8 E 3!
Πως μπορούμε να βελτιώσουμε την προσέγγιση μιας συνάρτησης α Να αυξήσουμε τον αριθμό των σημείων παρεμβολής + και άρα τον βαθμό του πολυωνύμου? β Να επιλέξουμε τα σημεία παρεμβολής ώστε να μειωθεί το γινόμενο? Θεώρημα Weestss: Για κάθε συνεχή συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα [b] υπάρχει σειρά πολυωνύμων P = που προσεγγίζουν την f όταν το τείνει στο άπειρο: όχι κάθε σειρά f 5 f 5 P 5 P 8
προσέγγιση e με παρεμβολή στις ρίζες Chebshev E= e P ǁΕǁ =564 E e
Προσέγγιση παρεμβολή σε σημεία ίσης απόστασης f 5 παρεμβολή στις ρίζες Chebshev f 5 f 5 P 8 P 8 =cosπ/8 = cos5π/8 4 =cos9π/8 6 =cos3π/8 8 =cos7π/8 = cos3π/8 3 = cos7π/8 5 = cosπ/8 7 =cos5π/8
Προσαρμογή είναι η διαδικασία κατά την οποία επιλέγεται µία συνάρτηση =N η µεταβλητή παράμετροι προσαρμογής και επιλέγονται στη συνέχεια οι τιµές των παραµέτρων ώστε η συνάρτηση να προσεγγίζει βέλτιστα τα ζεύγη τιµών =N πειραματικά δεδομένα συνήθως με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων όταν υπάρχει σημαντικό σφάλμα στα πειραματικά δεδομένα όταν υπάρχει συγκεκριμένη συνάρτηση για να περιγράψει τα πειραματικά δεδομένα P 7 P
Βέλτιστη προσαρμογή best ft ευθείας σε πειραματικά δεδομένα σημεία Δίνονται τα σημεία >> =[ 5 5 4 45 5 55]; >> =[ 8 9 45 44 5 5]; Σό Στόχος: να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους της συνάρτησης =+b για βέλτιστη προσαρμογή της ευθείας στα σημεία σε κάθε σημείο η απόκλιση είναι e = + Έχουμε διάφορες επιλογές για το κριτήριο βελτιστοποίησης: e
Προσαρμογή best ft ευθείας Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Παράδειγμα: Δίνονται τα σημεία 4 Προσδιορίστε την βέλτιστη ευθεία γραμμή με ελάχιστα τετράγωνα =3; Σ =3; Σ =7; Σ =; Σ =9; Σ =5; =7/3; = 83 5 3 7 5 9 5 3 7 3 3 / * * * = Σ + =666 t =Σ =4666 Coeffcet of detemto R = t / t =9643
Γραμματικοποίηση μη γραμμικών εξισώσεων
Προσαρμογή best ft πολυωνύμου Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων P P P P