1. Παραµετρικές µέθοδοι για κλασµατικά φάσµατα.

. Παραµετρικές µέθοδοι για κλασµατικά φάσµατα... Εισαγγή Η βασική διαφορά ανάµεσα στις µη παραµετρικές µεθόδους φασµατικής εκτίµησης που είδαµε ς τώρα και στις παραµετρικές που θα δούµε από τώρα και στο εξής είναι ότι στις µη παραµετρικές µεθόδους δεν χρειάστηκε να κάνουµε καµία υπόθεση σχετικά µε το σήµα που µας ενδιέφερε εκτός φυσικά από την υπόθεση της στασιµότητας. Οι παραµετρικές µέθοδοι φασµατικής εκτίµησης aametic ή mode-based methods ξεκινάνε µε την υπόθεση ότι το σήµα πηγάζει από κάποιο γενικότερο µοντέλο το οποίο περιγράφεται µε κάποια συγκεκριµένης µορφής συνάρτηση. Για παράδειγµα έστ ότι η PSD ενός σήµατος περιγράφεται από την ακόλουθη εξίσση: και έχει την ακόλουθη µορφή: Στο παράδειγµα αυτό η Pf θα περιγράφεται από δύο αγνώστους. Το και σ f. Αν µπορέσουµε να µάθουµε αυτούς τους δύο όρους µε παραµετρική εκτίµηση τότε ξέρουµε ποια θα είναι η PSD του σήµατος. ηλαδή τα φασµατικά χαρακτηριστικά του σήµατος προκύπτουν από το εκτιµώµενο µοντέλο. Ο αριθµός τν παραµέτρν που χρειάζεται να εκτιµηθεί είναι σχετικά µικρός αν συγκριθεί µε τις µη παραµετρικές µεθόδους όπου δεν υπάρχει καµία πρότερη γνώση του Pf και άρα έχουµε πάρα πολλούς αγνώστους. Μπορούµε να καταλάβουµε λοιπόν ότι στην περίπτση που το µοντέλο είναι µια καλή προσέγγιση της πραγµατικής µορφής του σήµατος οι παραµετρικές µέθοδοι παρέχουν ακριβέστερη φασµατική εκτίµηση σε σχέση µε τις µη παραµετρικές. Αν όµς το αρχικό µοντέλο είναι λάθος τότε η εκτίµηση θα είναι πάντοτε biased όπς δείχνει το παρακάτ σχήµα. Για να χρησιµοποιήσουµε λοιπόν παραµετρικές µεθόδους απαραίτητη προϋπόθεση είναι σστή a-ioi γνώση του µοντέλου. Στο σηµείο αυτό θα αναφερθούµε σε µια ειδική περίπτση εκτίµησης φάσµατος το οποίο έχει την ακόλουθη κλασµατική µορφή atioa secta: Β P σ A όπου: και οι a,..., a, b,..., b είναι πραγµατικοί συντελεστές σταθερές. Ο λόγος που µας ενδιαφέρει η συγκεκριµένη φασµατική µορφή είναι γιατί κάθε συνεχής PSD µπορεί να Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες

προσεγγιστεί πολύ καλά από ένα κλασµατικό PSD της παραπάν µορφής. Επίσης το κλασµατικό φάσµα συνδέεται στενά µε σήµατα που πηγάζουν µε φιλτράρισµα λευκού θορύβου µηδενικού µέσου και διακύµανσης όταν η απόκριση συχνότητας του φίλτρου έχει κλασµατική µορφή σ Α Β H : όπου u είναι ο λευκός θόρυβος µηδενικού µέσου και το παραπάν σύστηµα περιγράφεται µε την ακόλουθη µορφή γραµµικής εξίσσης διαφορών µε σταθερούς συντελεστές: + u b a Τότε το PSD του θα είναι: σ A P Β Σε µορφή µετασχηµατισµού Ζ αν θέσουµε τότε η συνάρτηση µεταφοράς του φίλτρου θα είναι: j z e z z z H Α Β όπου και Αν σε ένα φίλτρο µε την παραπάν συνάρτηση µεταφοράς θέσουµε ς είσοδο λευκό θόρυβο µηδενικού µέσου τότε η τυχαία διαδικασία θα έχει την ακόλουθη µορφή: u z z Α Β Το παραπάν µοντέλο είναι ένα γενικό µοντέλο που περιγράφει ένα µεγάλο σύνολο τυχαίν διαδικασιών. Ανάλογα µε τον βαθµό του πολυνύµου στον αριθµητή και παρανοµαστή µπορούµε να ορίσουµε τα ακόλουθα βασικά µοντέλα τυχαίν διαδικασιών:. autoegessive movig aveage µοντέλο ARMA, όταν: σ A P Β. autoegessive µοντέλο AR όταν: σ A P 3. κινούµενου µέσου όρου µοντέλο movig aveage MA όταν: σ Β P Σηµείση: Τα AR µοντέλα είναι καλύτερα στην µοντελοποίηση PSD µε πολλές κορυφές. Τα MA µοντέλα µοντελοποιούν καλύτερα PSD µε κοιλότητες. Tα ARMA χρησιµοποιούνται για να µοντελοποιήσουνε PSD µε κορυφές και κοιλότητες µαζί. Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες

.. Autoegessive Movig Aveage ARMA µοντέλο Έστ ότι θέτουµε λευκό θόρυβο υt ς σήµα εισόδου σε ένα αιτιατό, γραµµικό και χρονικά αναλλοίτο φίλτρο y t H z υ t, όπου Ηz είναι η συνάρτηση µεταφοράς του φίλτρου η οποία έχει την ακόλουθη µορφή: H z B z A z όπου είναι ο βαθµός του πολυνύµου στον παρανοµαστή και εκφράζει τον αριθµό τν ριζών του που ονοµάζονται πόλοι, ενώ είναι οι ρίζες του πολυνύµου στον αριθµητή που ονοµάζονται µηδενικά. Θερώντας ότι το φίλτρο είναι ευσταθές, η διαδικασία εξόδου yt του φίλτρου θα είναι στάσιµη υπό την ευρεία έννοια. Έστ τώρα ότι ο λευκός θόρυβος που βάζουµε στην είσοδο έχει διακύµανση: va{ υ t} σ. Επειδή ο θόρυβος είναι λευκός και µηδενικού µέσου αυτό σηµαίνει ότι είναι µια ακολουθία ασυσχέτιστν τυχαίν µεταβλητών και άρα υ σ υ δ, οπότε το φάσµα ισχύος του θα είναι: υ υ z συ P + b z a z. Όπς είδαµε πιο πάν το φάσµα ισχύος της διαδικασίας εξόδου yt που προκύπτει όταν φιλτράρουµε µια τυχαία διαδικασία µε κάποιο γραµµικό και χρονικά αναλλοίτο φίλτρο συνδέεται µε το φάσµα ισχύος της διαδικασίας εισόδου και την συνάρτηση µεταφοράς απόκριση συχνότητας του φίλτρου ς εξής: P z P z H z H / z ή P P H. y y Στο παραπάν παράδειγµα λοιπόν το φάσµα ισχύος θα είναι: Β z B / z Py z σ υ A z A / z ή µε όρους συχνότητας : Β σ Β Β P y συ A Α Α Μια τυχαία διαδικασία η οποία έχει φάσµα ισχύος της παραπάν µορφής είναι ευρύτερα γνστή ς autoegessive movig aveage διαδικασία τάξης, και αναφέρεται σε συντοµία ς ARMA, διαδικασία. Σηµειώστε: το φάσµα ισχύος µιας τέτοιας διαδικασίας περιέχει πόλους και µηδενικά. Ανά δύο οι πόλοι και τα µηδενικά έχουν αντίστροφη συζυγή µιγαδική συµµετρία, που σηµαίνει ότι αν η συνάρτηση µεταφοράς έχει ένα πόλο στο σηµείο z z τότε το φάσµα ισχύος P y z θα έχει ένα πόλο στο σηµείο z z και άλλον ένα στο z / z. Το ίδιο θα ισχύει και για τα µηδενικά. Β z Αν οι πόλοι του είναι µέσα στο µοναδιαίο κύκλο τότε το φίλτρο H z A z Α z είναι ευσταθές. Αν τα µηδενικά του Bz είναι µέσα στο µοναδιαίο κύκλο τότε το φίλτρο είναι ελάχιστης φάσης. Στόχος µας είναι να επιλέξουµε την συνάρτηση µεταφοράς Hz του φίλτρου µε τέτοιο τρόπο ώστε να είναι τόσο οι πόλοι όσο και τα µηδενικά µέσα στο µοναδιαίο κύκλο. Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες 3

Παράδειγµα: ARMA, διαδικασία Το φάσµα ισχύος µιας ARMA, τυχαίας διαδικασίας φαίνεται στην παρακάτ εικόνα. Η διαδικασία αυτή δηµιουργήθηκε φιλτράροντας λευκό θόρυβο µε ένα γραµµικό και χρονικά αναλλοίτο φίλτρο το οποίο έχει δύο πόλους και δύο µηδενικά. Τα µηδενικά του είναι στα σηµεία z.95e ± jπ / z.9e ± jπ /5 H z ενώ οι πόλοι είναι στα σηµεία. Με βάση τους πόλους και τα µηδενικά αυτά µπορούµε να βρούµε ότι η συνάρτηση µεταφοράς του φίλτρου θα έχει την ακόλουθη µορφή: Η +.95z.556z +.8z z Παρατηρώντας την παραπάν γραφική παράσταση βλέπουµε ότι υπάρχει µια κορυφή κοντά στο. 4π εξαιτίας τν πόλν στον παρανοµαστή και ένα σηµείο που µηδενίζεται το φάσµα, κοντά στο. 5π λόγ τν µηδενικών στον αριθµητή της συνάρτησης µεταφοράς. Αφού και u σχετίζονται από την ακόλουθη γραµµική διαφορική εξίσση µε σταθερούς συντελεστές: + a b u, άρα η αυτοσυσχέτιση του και η coss-coeatio ανάµεσα στο και υ θα ικανοποιούν την ίδια εξίσση διαφορών. Αυτό προκύπτει ς εξής. Αν πολλαπλασιάσουµε την παραπάν εξίσση και στις δύο µεριές µε το + a και πάρουµε την αναµενόµενη τιµή τότε: b E{ u } Επειδή τόσο ο θόρυβος u όσο και το είναι WSS διαδικασίες άρα θα είναι και από κοινού WSS joity WSS και συνεπώς: + a b u που είναι µια εξίσση διαφορών της ίδιας µορφής µε την αρχική. Σε αυτή τη µορφή της η εξίσση δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιµη όµς µπορούµε να γράψουµε την coss-coeatio συναρτήσει της αυτοσυσχέτισης του και της κρουστικής απόκρισης του φίλτρου ς εξής: m h u u m h m και Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες 4

} { } { h m h m u u E m h m u u E u E m m u σ υ Εισάγοντας την παραπάν εξίσση στην εξίσση διαφορών έχουµε: + b h a υ σ Θερώντας ότι το σύστηµα µε την παραπάν κρουστική απόκριση είναι αιτιατό µπορούµε να γράψουµε για το άθροισµα στο δεξιό σκέλος της εξίσσης: + h b b h c Επειδή όταν >, µπορούµε να γράψουµε την εξίσση διαφορών ς εξής: c > + c a σ υ Οι παραπάν εξισώσεις λέγονται εξισώσεις Yue-Wae και µπορούν να γραφτούν σε µορφή πίνακα για,,,+ ς εξής: Παρατηρήστε ότι το παραπάν σετ εξισώσεν ορίζει µια αναδροµική σχέση της αυτοσυσχέτισης συναρτήσει τν συντελεστών του φίλτρου. Συνεπώς οι εξισώσεις Yue-Wae µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να υπολογιστεί ολόκληρη η ακολουθία αυτοσυσχέτισης ξεκινώντας από ένα πεπερασµένο σετ τιµών της αυτοσυσχέτισης. Για παράδειγµα αν και οι αυτοσυσχετίσεις είναι γνστές τότε µπορούµε να υπολογίσουµε τις αυτοσυσχετίσεις για χρησιµοποιώντας αναδροµικά την ακόλουθη εξίσση:,..., a Επίσης οι εξισώσεις Yue Wae συσχετίζουν τις συνιστώσες του φίλτρου µε την αυτοσυσχέτιση της τυχαίας διαδικασίας. Έτσι οι εξισώσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να εκτιµήσουµε τους συντελεστές του φίλτρου και από την ακολουθία αυτοσυσχέτισης. Παρόλα αυτά εξαιτίας του γινοµένου που εµφανίζεται στις εξισώσεις η επίλυση τους ς προς τους συντελεστές του φίλτρου είναι γενικά πολύ δύσκολη γιατί η µορφή τν εξισώσεν είναι µη γραµµική. a b b h + Παρακάτ θα αναφερθούµε σε ορισµένες τεχνικές για την επίλυση τν εξισώσεν Yue-Wae προσεγγιστικά και την εύρεση τν παραµέτρν του φίλτρου και ακολούθς της πυκνότητας φάσµατος. Στη συνέχεια θα εξετάσουµε το AR και το ΜΑ µοντέλο που στην ουσία αποτελούν ειδική περίπτση του ARMA µοντέλου Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες 5

.3. Autoegessive AR µοντέλο Αν στο ARMA, µοντέλο που είδαµε πιο πάν θέσουµε όπου δηλαδή. B z b φίλτρο που εφαρµόζεται στον λευκό θόρυβο θα είναι ένα a-oe φίλτρο της ακόλουθης µορφής: b b H z A z + a z τότε το Ένα τέτοιο µοντέλο θα λέγεται AR. Σε αυτή την περίπτση το φάσµα ισχύος θα είναι: b Py z συ A z A / z ή µε όρους συχνότητας: b P y συ A Αυτό σηµαίνει ότι το φάσµα ισχύος µιας AR διαδικασίας περιέχει πόλους και κανένα µηδενικό εκτός από z και z. Οι εξισώσεις Yue-Wae για το AR µοντέλο µπορούν να βρεθούν από τις αντίστοιχες για το µοντέλο ARMA θέτοντας. Επειδή c b h b θα έχουµε: + a σ υ b δ, ενώ σε µορφή πίνακα οι παραπάν εξισώσεις µπορούν να γραφτούν ς εξής: Όπς µπορούµε να δούµε οι εξισώσεις αυτές είναι πλέον γραµµικές ς προς τις συνιστώσες φίλτρου και άρα η εκτίµηση αυτών τν συντελεστών από την ακολουθία αυτοσυσχέτισης είναι απλή διαδικασία. Για παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι µας δίνονται οι πρώτες δύο τιµές αυτοσυσχέτισης µιας πραγµατικής AR διαδικασίας. Αν θερήσουµε ότι η διακύµανση του θορύβου είναι σ υ και χρησιµοποιώντας την ιδιότητα που ισχύει για πραγµατικές διαδικασίες ότι: τότε οι εξισώσεις Yue-Wae για, γίνονται ς εξής: + a b a Λύνοντας τις παραπάν εξισώσεις βρίσκουµε: a και b a Οπότε το φίλτρο της AR διαδικασίας µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει τν αυτοσυσχετίσεν ς εξής: H [ z z ] Με παρόµοιο τρόπο µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις εξισώσεις Yue-Wae για να υπολογίσουµε τις αυτοσυσχετίσεις από ένα δοσµένο σετ συντελεστώ ενός φίλτρου. Για παράδειγµα έστ ότι το είναι µια AR διαδικασία. Αν γράψουµε τις πρώτες δύο εξισώσεις Yue-Wae σε µορφή πίνακα θερώντας άγνστες τις αυτοσυσχετίσεις: του Λύνοντας τις παραπάν εξισώσεις βρίσκουµε: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες 6

b a και b a a a Επειδή ισχύει µε βάση τον πρώτο ορισµό τν AR εξισώσεν Yue-Wae για όλα τα >: a, µπορούµε να γράψουµε την ακολουθία αυτοσυσχέτισης για ς εξής: b a a και χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της συµµετρίας για την αυτοσυσχέτιση: b a [ ] a Γενικά, αν.3.. Μέθοδος Φασµατικής Εκτίµησης Yue-Wae { } πίνακα πιο πάν µπορούν να γραφτούν ς εξής: µας ήταν γνστά τότε οι εξισώσεις Yue-Wae όπς τους αναφέραµε σε µορφή όπου στην παραπάν εξίσση αφήσαµε έξ την πρώτη γραµµή όλν τν πινάκν γιατί θέλουµε να λύσουµε ς προς τους συντελεστές του φίλτρου. Η λύση στην παραπάν εξίσση είναι a R. Επειδή συνήθς θερείτε b µπορούµε αφού υπολογίσουµε τους συντελεστές α χρησιµοποιώντας την εξίσση στην πρώτη γραµµή που δεν συµπεριλάβαµε πιο πάν να υπολογίσουµε την διακύµανση του θορύβου. Έτσι µια µέθοδος για AR φασµατική εκτίµηση χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις Yue-Wae θα µπορούσε να είναι ο εξής: Με βάση τα Ν δείγµατα που έχουµε µπορούµε να κάνουµε µια εκτίµηση του διανύσµατος της αυτοσυσχέτισης χρησιµοποιώντας την biased εκτίµηση του coeogam που είδαµε στις µη παραµετρικές µεθόδους. Χρησιµοποιώντας αυτές τις τιµές αυτοσυσχέτισης και τις εξισώσεις Yue-Wae µπορούµε να εκτιµήσουµε τους συντελεστές του φίλτρου ˆ. a ˆ,..., Σηµειώστε ότι: ο πίνακας R τν εξισώσεν Yue Wae είναι ositive semidefiite πίνακας και άρα η λύση της παραπάν εξίσσης είναι µοναδική. Ο πίνακας R είναι Toeitz. Παρότι η ίδια διαδικασία θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί και µε τα ARMA µοντέλα στην πράξη χρησιµοποιείται συνήθς µε AR µοντέλα λόγ απλούστερης λύσης τν εξισώσεν. ˆ { } Αν η ακολουθία είναι ositive defiite τότε οι ρίζες του πολυνύµου + a z +... + a z a a,...,a, όπου οι συντελεστές έχουν βρεθεί µε τη µέθοδο Yue- Wae θα είναι µέσα στον µοναδιαίο κύκλο και συνεπώς το AR σύστηµα θα είναι ευσταθές. Οι εκτιµήσεις τν αυτοσυσχετίσεν µε τη µέθοδο Yue-Wae θα πρέπει να προκύπτουν µε την biased εκτιµήτρια για να είναι το σύστηµα ευσταθές. Rˆ aˆ ˆ Συχνά για την επίλυση της εξίσση Ra ή µε αποδοτικό τρόπο χρησιµοποιούνται κάποιοι άλλοι αλγόριθµοι όπς ο αναδροµικός αλγόριθµος Leviso Dubi LDA, ο αλγόριθµος Desate-Gei DGA και η σχέση Gohbeg-Semecu..3.. Leviso Dubi αλγόριθµος Έστ ο πίνακας τν αυτοσυσχετίσεν ενός πραγµατικού σήµατος ορισµένος ς εξής: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες 7

Έστ επίσης το διάνυσµα τν συντελεστών του φίλτρου: Αν θερήσουµε για απλότητα ότι ο λευκός θόρυβος έχει διακύµανση τότε η βασική ιδέα του αλγόριθµου Leviso-Dubi για την επίλυση της εξίσσης: είναι ότι λόγ της δοµής του πίνακα αυτοσυσχέτισης, µπορούµε να λύσουµε την παραπάν εξίσση αναδροµικά ς προς το ξεκινώντας από. Σηµείση: Για,,,. O LDA χρειάζεται περίπου fos 4 Αν θέλαµε να κάνουµε κανονική αντιστροφή του πίνακα θα χρειαζόµασταν περίπου fos. Γενικά αν Α είναι ένας συµµετρικός και Toeitz πίνακας, τότε αν τότε αν c Ab c~ ~ Ab Απόδειξη: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες 8

Βασισµένοι στην αρχική εξίσση και την φλιασµένη µορφή του πίνακα R έχουµε: όπου αν ορίσουµε το διάνυσµα: τότε θα ισχύει: a θα µπορούσε + a / δ. Τότε µπορούµε να δείξουµε ότι η Η εξίσση θα ήταν ισοδύναµη µε την αρχική εξίσση που θέλουµε να λύσουµε αν το να µηδενιστεί. Για να το πετύχουµε αυτό θέτουµε λύση της εξίσσης για την + τάξη θα είναι: Απόδειξη: Οι εξισώσεις αποτελούν τον πυρήνα της µεθόδου LDA η οποία συνοψίζεται ς εξής: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες 9

Παράδειγµα: Έστ η εξίσση: Άµεση Λύση: LDA λύση: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες

Οι συντελεστές i ονοµάζονται συχνά συντελεστές ανάκλασης efectio coefficiets, ενώ οι συντελεστές i ονοµάζονται συντελεστές atia coeatio PARCOR. Ιδιότητες του LDA: Ισχύει ότι <,,,..., και > αν και µόνο αν το πολυώνυµο A z + a, z +... + a, z έχει ρίζες µέσα στο µοναδιαίο κύκλο. Ισχύει ότι <,,,..., και > αν και µόνο αν R + >..4. Movig Aveage MA Mode Και το µοντέλο αυτό όπς και το µοντέλο AR αποτελεί ειδική περίπτση του ARMA, µοντέλου αν θέσουµε. Στην περίπτση αυτή η διαδικασία παράγεται φιλτράροντας λευκό θόρυβο µε ένα FIR φίλτρο του οποίου η συνάρτηση µεταφοράς έχει την ακόλουθη µορφή: H z b z. ηλαδή µια ARMA, διαδικασία θα είναι γνστή ς διαδικασία κινούµενου µέσου τάξης και θα συµβολίζεται ς MA. Αν το φάσµα ισχύος του λευκού θορύβου είναι: P z υ συ z σ υ Β P τότε το φάσµα ισχύος της ΜΑ διαδικασίας θα ορίζεται ς: z B ή µε όρους συχνότητας: P σ Β υ / z Άρα το φάσµα ισχύος θα έχει µηδενικά και κανένα πόλο εκτός από αυτούς στα σηµεία z, z. Οι εξισώσεις Yue-Wae µπορούν να βρεθούν µε αντίστροφο µετασχηµατισµό Z του παραπάν φάσµατος ισχύος. Εναλλακτικά µπορούµε να τις βρούµε από εκείνες του ARMA µοντέλου θέτοντας και σηµειώνοντας ότι αφού a h b τότε θα ισχύει: c b + b Όποια µέθοδο και αν επιλέξουµε για τον υπολογισµό τν εξισώσεν Yue-Wae αυτές θα έχουν την ακόλουθη µορφή: σ υ b b σ υ b + b όπου στην παραπάν εξίσση χρησιµοποιήσαµε απόλυτη τιµή για το ώστε η έκφραση να είναι έγκυρη για τις αυτοσυσχετίσεις σε όλα τα χρησιµοποιούµε την ιδιότητα συµµετρίας της αυτοσυσχέτισης. Βλέπουµε λοιπόν ότι σε µια MA διαδικασία η ακολουθία αυτοσυσχέτισης θα είναι ίση µε το µηδέν για όλες τις τιµές του που δεν ανήκουν στο διάστηµα [-,], δηλαδή αν. Επίσης σηµειώστε ότι η αυτοσυσχέτιση εξαρτάται µε µη γραµµικό τρόπο από τους συντελεστές της συνάρτησης µεταφοράς του φίλτρου. Για παράδειγµα για : b b b b + b b b + b + b b > Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες

οπότε σε αντίθεση µε την περίπτση τν AR µοντέλν η εκτίµηση τν παραµέτρν ενός µοντέλου MA δεν είναι απλή διαδικασία..4.. Εκτίµηση φάσµατος µιας MA διαδικασίας Μία µέθοδος για την εκτίµηση πυκνότητας φάσµατος µιας MA διαδικασίας σύµφνα µε την ές τώρα ανάλυση θα µπορούσε να απαρτίζεται από τα ακόλουθα βήµατα: Πρώτα κάνουµε εκτίµηση τν παραµέτρν του MA µοντέλου και βάσει τν b σ υ παρατηρήσεν. Εισάγουµε τις παραµέτρους που εκτιµήσαµε στην εξίσση που µας δίνει το MA PSD: P σ Β υ Η δυσκολία στη µέθοδο αυτή βρίσκεται στο πρώτο βήµα αφού όπς ήδη δείξαµε πιο πάν δεν είναι ένα πρόβληµα γραµµικής εκτίµησης. Παρόλα αυτά µπορούµε να βρούµε προσεγγιστικές γραµµικές λύσεις στο πρόβληµα όπς η µέθοδος Dubi που βασίζεται στην µέθοδο ελαχίστν τετραγώνν δύο σταδίν twostage east suaes method. Μια άλλη µέθοδος για την εκτίµηση του MA φάσµατος βασίζεται στην παραµετροποίηση της PSD συναρτήσει της ακολουθίας αυτοσυσχέτισης. Επειδή όπς δείξαµε πιο πάν για > θα ισχύει: P e j Οπότε µια απλή εκτίµηση του PSD προκύπτει εισάγοντας στην παραπάν σχέση εκτιµήσεις της αυτοσυσχέτισης µε βάση τις παρατηρήσεις που έχουµε: Pˆ ˆ e j Παρατηρήσεις: Ο παραπάν τύπος είναι ακριβώς η µέθοδος Bacma-Tuey µε τετραγνικό παράθυρο µήκους +. Ανεξάρτητα αν η εκτίµηση της αυτοσυσχέτισης βασίζεται στην biased ή την ubiased εκτιµήτρια του coeogam, η εκτίµηση που παίρνουµε µε αυτό τον τρόπο µπορεί να γίνει αρνητική. Αν χρησιµοποιηθεί η ubiased εκτίµηση της αυτοσυσχέτισης τότε και η εκτίµηση του PSD θα είναι ubiased. ˆP, Για να µπορέσουµε να εξασφαλίσουµε ότι µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ˆ biased εκτιµήτρια του και ένα παράθυρο µε εύρος ζώνης. Σε µια τέτοια περίπτση η εκτίµηση του PSD θα είναι biased. Και αυτό είναι πάλι όµοιο όπς και µε την µέθοδο BT. W,.5. Τροποποιηµένη Yue-Wae µέθοδος για ARMA σήµατα. Όταν έχουµε φάσµατα µε ταυτόχρονα και έντονες κορυφές και βαθιές κοιλότητες τότε το µοντέλο που θα πρέπει να χρησιµοποιηθεί δεν µπορεί να είναι ούτε AR ούτε ΜΑ εφόσον αυτά µιας σχετικά λογικά µικρής τάξης. Σε αυτές τις περιπτώσεις θα χρησιµοποιηθεί αναγκαστικά το ARMA µοντέλο το οποίο καλείται επίσης και µοντέλο πόλν και µηδενικών. Η χρήση του µοντέλου ARMA στην φασµατική εκτίµηση παρότι υπόσχεται µεγάλη ακρίβεια εκτίµησης, στην πραγµατικότητα λόγ έλλειψης κατάλληλν αλγορίθµν για την επίλυση τν εξισώσεν Yue-Wae και την εκτίµηση τν ARMA παραµέτρν δεν εκπληρώνει τις προσδοκίες τόσο από θερητική όσο και πρακτική σκοπιά. Πιο συγκεκριµένα, οι θερητικά βέλτιστοι εκτιµητές ARMA βασίζονται σε επαναληπτικές µεθόδους οι οποίες δεν εγγυώνται πάντα σύγκλιση. Οι πρακτικοί εκτιµητές ARMA από την άλλη είναι υπολογιστικά απλοί και συχνά αξιόπιστοι όµς η στατιστική ακρίβεια που παρέχουν µπορεί να είναι σε αρκετές περιπτώσεις φτχή. Στη συνέχεια της παραγράφου θα περιγράψουµε ένα τέτοιο αλγόριθµο ARMA φασµατικής εκτίµησης ο οποίος έχει σχετικά καλή επίδοση σε πραγµατικές εφαρµογές. Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες

Γενικά η µέθοδος που ακολουθούµε όταν χρησιµοποιούµε ARMA µοντέλα είναι η εύρεση τν παραµέτρν του φίλτρου και ξεχριστά. Εφαρµόζουµε δηλαδή µια διαδικασία δύο σταδίν όπου στο a b a πρώτο στάδιο κάνουµε εκτίµηση τν παραµέτρν όπς στην περίπτση της AR εκτίµησης και ακολούθς χρησιµοποιώντας τις τιµές τν εκτιµήσεν τν παραµέτρν αυτών εκτιµούµε τις συνιστώσες αυτοσυσχέτισης βάσει τν οποίν όπς είδαµε στην εκτίµηση µε MA µοντέλα µπορούµε να ορίσουµε την πυκνότητα φάσµατος ισχύος..5.. Εκτίµηση τν AR συντελεστών. Ας ξεκινήσουµε πρώτα µε τους συντελεστές a,...,a. Για να τους υπολογίσουµε θα χρειαστούµε εξισώσεις. Χρησιµοποιώντας την συµµετρία που ισχύει για την ακολουθία αυτοσυσχέτισης µπορούµε να γράψουµε τις εξισώσεις Yue-Wae σε µορφή πίνακα ς εξής βλέπε τις ARMA εξισώσεις YW που ορίσαµε στην παράγραφο που περιγράφει τα ARMA µοντέλα: Αν θέσουµε M τότε έχουµε εξισώσεις µε αγνώστους στο παραπάν σύστηµα. Σε αυτή την περίπτση οι παραπάν εξισώσεις θα είναι µια γενίκευση τν εξισώσεν Yue-Wae που είδαµε στην περίπτση τν AR µοντέλν. Γι αυτό οι παραπάν εξισώσεις λέγονται το τροποποιηµένο Yue-Wae σύστηµα εξισώσεν modified Yue-Wae MYW. Παρατηρήσεις: Αντικαθιστώντας στην παραπάν εξίσση τις θερητικές τιµές τν αυτοσυσχετίσεν µε τις αντίστοιχες εκτιµήσεις της αυτοσυσχέτισης ˆ βασισµένες στις παρατηρήσεις που έχουµε τότε µπορούµε να λύσουµε ς προς τους a ˆ,..., ˆ. Οι εκτιµήσεις που υπολογίζονται µε αυτό τον τρόπο θα λέγονται τότε τροποποιηµένες modified Yue-Wae εκτιµήσεις. Ο πίνακας στην αριστερή πλευρά της εξίσσης είναι: o Αντιστρέψιµος υπό κάποιες εύκολα ικανοποιούµενες συνθήκες. o Toeitz o Μη συµµετρικός Υπάρχουν γρήγοροι αλγόριθµοι τύπου Leviso για την επίλυση συστηµάτν εξισώσεν της παραπάν µορφής. Η µέθοδος αυτή MYW AR εκτίµηση έχει λογική ακρίβεια εφόσον τα µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς του φίλτρου είναι καλά µέσα στον µοναδιαίο κύκλο. Μπορεί όµς να παράξει αρκετά ανακριβή αποτελέσµατα στην περίπτση που οι πόλοι και τα µηδενικά του φίλτρου είναι κοντά µεταξύ τους και πολύ κοντά στον µοναδιαίο κύκλο. Τέτοιες ARMA διαδικασίες µε πόλους και µηδενικά που σχεδόν συµπίπτουν µεταξύ τους και µε την περίµετρο του µοναδιαίου κύκλου αντιστοιχούν σε σήµατα στενής ζώνης. Η ακολουθία αυτοσυσχέτισης σηµάτν στενής ζώνης µειώνεται πολύ αργά. Πράγµατι όπς ξέρουµε όσο πιο συγκεντρµένο είναι ένα σήµα στις συχνότητες τόσο απλµένο θα είναι στο χρόνο. Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει πληροφορία σε µεγάλες διαφορές η οποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να βελτιθεί η ακρίβεια της εκτίµησης. Ένας τρόπος για να το πετύχουµε αυτό είναι θέτοντας Μ> στο παραπάν σύνολο εξισώσεν. Αυτό όµς θα κάνει το σύστηµα µας να έχει περισσότερες εξισώσεις από αγνώστους Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες 3 a

ovedetemied. Έτσι αν αντικαταστήσουµε τις αυτοσυσχετίσεις µε τις δειγµατικές εκτιµήσεις τους γενικά δεν θα υπάρχει ακριβής λύση στην εξίσση. Rˆ aˆ ˆ Μια λύση στο πρόβληµα αυτό είναι να λύσουµε την εξίσση µε µεθόδους ελαχίστν τετραγώνν Least Suaes ή Συνολικών Ελαχίστν τετραγώνν Tota Least Suaes. Η τιµή του Μ πρέπει να επιλεγεί ώστε να πετύχουµε ισορροπία ανάµεσα στην ακρίβεια της εκτίµησης και την πληροφορία που θα χρησιµοποιήσουµε σε µεγάλες διαφορές. Η λύση ελαχίστν τετραγώνν σε µια τέτοια περίπτση βασίζεται στο ακόλουθο σκεπτικό: Αν για το ovedetemied σύνολο εξισώσεν που περιγράφεται µε την ακόλουθη εξίσση πινάκν A b ισχύει e A b τότε βρες το έτσι ώστε η ποσότητα e H e να ελαχιστοποιηθεί. Έστ: LS Τότε η Ευκλίδεια Νόρµα θα ορίζεται ς: Για παράδειγµα: Σηµειώστε ότι A b + e Τελικά: LS LS LS Η τιµή υπολογίζεται µεταβάλλοντας το διάνυσµα b έτσι ώστε να υπάρχει κάποια λύση. Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες 4

Σηµειώστε ότι ο δεύτερος όρος στην παραπάν εξίσση είναι ανεξάρτητος του. H ευκλίδεια απόσταση ελαχιστοποιείται όταν: Απεικόνιση της LS λύσης: Αν A [ a Ma ] και LS τότε: Παράδειγµα: Λύση: Η µε βάρη λύση ελαχίστν τετραγώνν δίνεται από την σχέση: aˆ Rˆ WRˆ Rˆ Wˆ όπου W είναι ένας ositive defiite πίνακας βάρους. Μια απλή πρώτη επιλογή για τον πίνακα αυτό είναι WI κάτι που έχει σαν αποτέλεσµα την απλή εκτίµηση ελαχίστν τετραγώνν χρίς βάρος. Κάποια βελτίση στην ακρίβεια εκτίµησης µπορεί να υπάρξει επιλέγοντας τον W να είναι διαγώνιος µε διαρκώς µειούµενα θετικά στοιχεία στη διαγώνιο ώστε να ανακλά την µειµένη πληροφορία στην εκτίµηση αυτοσυσχέτισης σε µεγαλύτερες διαφορές. Έχοντας υπολογίσει του συντελεστές συνεχίζουµε µε την εκτίµηση τν. Ας θερήσουµε ότι a b κάτι που όπς είδαµε πιο πάν καθορίζει µια ειδική κατηγορία µοντέλν ARMA τα µοντέλα µεταβλητού µέσου όρου Movig aveage. Το µοντέλο ARMA τότε θα είναι: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες 5

Αν γ κ είναι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του y τότε σε µια τέτοια περίπτση η PSD του σήµατος θα είναι: j γ κ P y e όπου Επειδή οι παράµετροι είπαµε πιο πάν άρα: a ˆ,..., ˆ a µπορούν να υπολογιστούν µε την τροποποιηµένη µέθοδο YW όπς και η τελική ARMA εκτίµηση του PSD θα είναι: Σηµειώσεις: Η µέθοδος αυτή ονοµάζεται η τροποποιηµένη Yue-Wae ARMA φασµατική εκτίµηση Η εκτίµηση της PSD µε τη µέθοδο αυτή δεν είναι σίγουρο ότι δεν θα πάρει αρνητικές τιµές βλέπε και εκτίµηση MA. Καλή ακρίβεια όταν οι ARMA πόλοι και µηδενικά είναι καλά µέσα στον µοναδιαίο κύκλο. Πολύ κακή εκτίµηση για πόλους και µηδενικά πολύ κοντινά µεταξύ τους και στην περίµετρο του µοναδιαίου κύκλου περίπτση σηµάτν στενού εύρους ζώνης. Παράδειγµα: Ας θερήσουµε το σήµα: όπου φ και φ είναι ανεξάρτητες και οµοιόµορφα κατανεµηµένες τυχαίες µεταβλητές στο διάστηµα [,π]. Η αυτοσυσχέτιση µπορούµε να δείξουµε ότι θα είναι: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες 6

Παρατηρήστε ότι όταν στις διαφορετικές συχνότητες. τότε χρειάζονται µεγάλες τιµές του για να ξεχρίσουν τα ηµίτονα Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοιννίες 7