4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

1 4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f () A Ομάδας Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 164 167 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία = + = 3 1 i = + 1 iv) = 3 + εφω = 1 ω = 45 ο εφω = 3 ω = 60 ο i εφω = 1 ω = 135 ο iv) εφω = 3 ω = 10 ο. Να βρείτε την κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία : Α(1, ) και Β(, 3) Α(1, ) και Β(, 1) Α(, 1) και Β( 1, 1) Α(1, 3) και Β(, 1) 1 Εφαρμόζουμε τον τύπο α = 1 εφόσον είναι 1 α = 3 1 1 i α = 1 1 = 0 iv) α = 1 3 1 1

3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία : Έχει κλίση α = 1 και τέμνει τον άξονα στο σημείο Β(0, ) Σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω = 45 ο και τέμνει τον άξονα στο σημείο Β(0,1) i Είναι παράλληλη με την ευθεία = 3 και διέρχεται από το σημείο Α(1,1) Έστω ε : = α + β η ζητούμενη ευθεία. = 1 + = + Έστω ε : = α + β η ζητούμενη ευθεία. = α + 1 Είναι α = εφω = εφ45 ο = 1, άρα ε : = + 1 i Έστω ε : = α + β η ζητούμενη ευθεία. ε // της = 3 α = Α ε 1 = α.1 + β 1 = + β β = 1 Η ε γίνεται = 1

3 4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία : Α(1, ) και Β(, 3) Α(1, ) και Β(, 1) i Α(, 1) και Β( 1, 1) iv) Α(1, 3) και Β(, 1) Έστω ε : = α + β η ζητούμενη ευθεία. α = = 3 = 1. Άρα ε : = + β 1 Α ε = 1 + β β = 1. Άρα ε : = + 1 Έστω ε : = α + β η ζητούμενη ευθεία. α = = 1 = 1. Άρα ε : = + β 1 Α ε = 1 + β β = 3. Άρα ε : = + 3 i Έστω ε : = α + β η ζητούμενη ευθεία. α = = 1 1 = 0. Άρα ε : = β 1 Α ε 1 = β. Άρα ε : = 1 iv) Έστω ε : = α + β η ζητούμενη ευθεία. α = = 1 3 1 =. Άρα ε : = + β Α ε 3 =. 1 + β β = 5. Άρα ε : = + 5

4 5. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που παριστάνει τη σχέση μεταξύ της θερμοκρασίας C σε βαθμούς Celcius και της θερμοκρασίας F σε βαθμούς Fahrenheit είναι η C = 5 (F 3) 9 Γνωρίζουμε ότι το νερό παγώνει σε 0 ο C ή 3 ο F και βράζει σε 100 ο C ή 1 ο F. Υπάρχει θερμοκρασία που να εκφράζεται και στις δύο κλίμακες με τον ίδιο αριθμό; Έστω ε : C = αf + β (1) η εξίσωση της ευθείας. Για C = 0 και F = 3, η (1) 0 = α 3 + β () Για C = 100 και F = 1, η (1) 100 = α 1 + β (3) Σύστημα των (), (3) : (3) () 100 = 180α α = 100 180 = 10 18 = 5 9 () 0 = 5 9 3 + β β = 5 9 3 Η (1) γίνεται ε : C = 5 9 F 5 9 3 C = 5 (F 3) 9 Έστω ότι κάποια θερμοκρασία εκφράζεται με τον ίδιο αριθμό Τ και στις δύο κλίμακες. Τότε Τ = 5 (Τ 3) 9 9Τ = 5Τ 160 4Τ = 160 Τ = 40

5 6. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση : f() =, 0, 0 1 1, 1 Για = 0 είναι f(0) =, σημείο Κ(0, ) Για = 1 είναι f(1) = 1 + 1 =, σημείο Λ(1, ) Η συνάρτηση f αποτελείται από τρεις κλάδους. 1 ος κλάδος : η ημιευθεία s() = + με < 0 χωρίς την αρχή της Κ. ος κλάδος : Το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ της ευθείας t() = με 0 < 1 χωρίς το άκρο Λ 3 ος κλάδος : η ημιευθεία u() = + 1 με 1 s = -+ t = 4 K O 1 Λ u = +1

6 7. Στο διπλανό σχήμα δίνονται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που είναι ορισμένη σε όλο το και η ευθεία =. Να λύσετε γραφικά : Τις εξισώσεις f() = 1 και f() = Τις ανισώσεις f() < 1 και f() Για την εξίσωση f() = 1 = f() Αναζητάμε τα για τα οποία η τιμή της f είναι 1. Από το σχήμα, αυτά τα είναι = 1 ή = 1 Για την εξίσωση f() = Αναζητάμε τα για τα οποία η τιμή της f είναι. Από το σχήμα, αυτά τα είναι = ή = 0 ή = 1 Για την ανίσωση f() < 1 Αναζητάμε τα για τα οποία η τιμή της f είναι < 1. Από το σχήμα, αυτά τα είναι εκείνα για τα οποία η ευθεία = 1, δηλαδή είναι τα (, 1) ( 1, 1). Για την ανίσωση f() Αναζητάμε τα για τα οποία η τιμή της f είναι. Από το σχήμα, αυτά τα είναι εκείνα για τα οποία η Κ - 1 - -1 Ο 1 Λ = = 1 C f είναι κάτω από την C f είναι πάνω από την ευθεία = ή τέμνει αυτή, δηλαδή είναι τα [, 0) [1, + )

7 8. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = και g() = 1 και με τη βοήθεια αυτών να λύσετε τις ανισώσεις : 1 και > 1 Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τις απαντήσεις σας στο προηγούμενο ερώτημα. Είναι f() =, 0, 0 Για την ανίσωση 1 f = g = 1 Αναζητάμε τα για τα οποία 1, -1 O 1 τα για τα οποία f() g() τα για τα οποία η Για την ανίσωση > 1 Από το σχήμα, αυτά είναι τα [ 1, 1] Αναζητάμε τα για τα οποία > 1 τα για τα οποία f() >g() C f είναι κάτω από τη Cg ή την τέμνει. τα για τα οποία η C f είναι πάνω από τη Cg Από το σχήμα, αυτά είναι τα (, 1) (1, + ). 1 1 1 [ 1, 1] Ιδιότητες απολύτων τιμών > 1 < 1 ή > 1 (, 1) (1, + ).

8 Β Ομάδας 1. Η πολυγωνική γραμμή ΑΒΓΔΕ του παρακάτω σχήματος είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που είναι ορισμένη στο διάστημα [-6, 5] 1 Α r 1 = Γ Δ -5 Ο 1 5 Β - Ε Να βρείτε την τιμή της συνάρτησης f σε κάθε ακέραιο [ 6, 5] Να λύσετε τις εξισώσεις : f() = 0, f() = 1 και f() = 1 i Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΒΔ και στη συνέχεια να λύσετε γραφικά την ανίσωση f() 0,5 f( 6) = 1, f( 5) = 0,5, f( 4) = 0, f( 3) = 0,5, f( ) = 1, f( 1) = 0 f(0) = 1, f(1) = 1, f() = 1, f(3) = 0 f(4) = 1, f(5) = Οι λύσεις της εξίσωσης f() = 0 είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της C f με τον άξονα, δηλαδή = 4 ή 1 ή 3 Οι λύσεις της εξίσωσης f() = 1 είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της C f με την ευθεία = 1, δηλαδή = ή = 4 Οι λύσεις της εξίσωσης f() = 1 είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της i C f με την ευθεία = 1, δηλαδή [0, ] ή = 6 Είναι Β(, 1) και Δ(, 1) Έστω = α + β η εξίσωση της ευθείας ΒΔ. Β ΒΔ 1 = α( ) + β α β = 1 (1) Δ ΒΔ 1 = α. + β α + β = 1 ()

9 (1) + () 4α = α = 0,5 () 1 + β = 1 β = 0 Άρα ΒΔ : = 0,5 g() = 0,5 Η ανίσωση f() 0,5 γίνεται f() g() Οπότε αναζητάμε τα [ 6, 5] για τα οποία η C f είναι κάτω από τη Cg ή έχουν κοινό σημείο. Από το σχήμα, αυτά είναι τα [, 5] ή =. Μια φωτεινή ακτίνα κινείται κατά μήκος της ευθείας = 1 και ανακλάται στον άξονα των. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας κατά μήκος της οποίας κινείται η ανακλώμενη ακτίνα. Έστω Α, Β τα σημεία τομής της ευθείας = 1 με τους άξονες. Για = 0 έχουμε 0 = 1 = 1. Άρα Α(1,0) Για = 0 έχουμε = 1 Άρα Β(0,1) = 1 - Β = 1 Ο Α = - 1 Γ(,1) Η ανακλώμενη ακτίνα. είναι συμμετρική της ευθείας = 1 ως προς την κατακόρυφη ευθεία = 1. χ Το συμμετρικό του Β ως προς την = 1 είναι το Γ(,1) Έστω ε : = α + β η ευθεία της ανακλώμενης ακτίνας Α(1,0) ε 0 = α 1 + β β = α Γ(,1) ε 1 = α + β 1 = α. α α = 1. Άρα β = 1 Επομένως η ευθεία της ανακλώμενης ακτίνας είναι = 1, 1.

10 3. Σε μια δεξαμενή υπάρχουν 600 lt βενζίνης. Ένα βυτιοφόρο, που περιέχει 000 lt, βενζίνης αρχίζει να γεμίζει τη δεξαμενή. Αν η παροχή του βυτιοφόρου είναι 100 lt το λεπτό και η δεξαμενή χωράει όλη τη βενζίνη του βυτιοφόρου : Να βρείτε τις συναρτήσεις που εκφράζουν, συναρτήσει του χρόνου t, την ποσότητα της βενζίνης : α) στο βυτιοφόρο και β) στη δεξαμενή Να παραστήσετε γραφικά τις παραπάνω συναρτήσεις και να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία το βυτιοφόρο και η δεξαμενή έχουν την ίδια ποσότητα βενζίνης. Έστω lt απομένουν στο βυτιοφόρο σε χρόνο t. Τότε = 000 100t. Έστω lt η ποσότητα της βενζίνης στη δεξαμενή σε χρόνο t. Τότε = 600 + 100t. i Θεωρούμε σύστημα αξόνων, όπου ο οριζόντιος άξονας παριστάνει το χρόνο t σε min και ο κατακόρυφος παριστάνει τη βενζίνη σε lt. H ευθεία = 000 100t Για t = 0 έχουμε = 000. Σημείο Α(0, 000) Για t = 10 έχουμε = 000 1000 = 1000 Σημείο Β(10, 1000) H ευθεία = 600 + 100t Για t = 0 έχουμε = 600. Σημείο Γ(0, 600) Για t = 10 έχουμε = 600 + 1000 = 1600. Σημείο Δ (10, 1600) 000 1500 1000 500 Γ A Σ Δ Β O 4 6 t 8 1 10 14 16 18 0 t Έστω Σ η τομή των δύο ευθειών και 1 t η τετμημένη του. Αυτή είναι η χρονική στιγμή κατά την οποία το βυτιοφόρο και η δεξαμενή έχουν ίσες ποσότητες βενζίνης.

11 4. Στο διπλανό σχήμα το σημείο Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ από το Α προς το Β. Συμβολίζουμε με το μήκος της διαδρομής ΑΜ του σημείου Μ και με f() το εμβαδόν του τριγώνου ΜΓΔ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τον τύπο της συνάρτησης Ε = f() και στη συνέχεια να την παραστήσετε γραφικά. Ε = (ΜΓΔ) = (ΑΒΓΔ) (ΑΜΔ) (ΒΜΓ) = ( ) ( ) ( ) 1 (ΑΜ)(ΑΔ) 1 (ΜΒ)(ΒΓ) = 4 4 1. 4 1 (4 ) = 1 4 + = + 8 Άρα f() = + 8 με 0 4 δηλαδή D f = [0, 4] Δ 4 A 8 5 E= f() Μ 4 f = -+8 O 4 B Γ

1 5. Δύο κεριά 1 και, ύψους 0cm το h (σε cm) καθένα, άρχισαν να καίγονται την ίδια χρονική 0 στιγμή και το πρώτο κερί κάηκε σε 3 ώρες ενώ το δεύτερο κάηκε σε 4 ώρες. Τα ύψη των κεριών 1 και, συναρτήσει του χρόνου t, κατά το χρονικό διάστημα που καθένα από αυτά Κ 1 Κ καιγόταν, παριστάνονται με τα ευθύγραμμα O 3 4 t (σε ώρες) τμήματα 1 και του διπλανού σχήματος. Να βρείτε τις συναρτήσεις h = h 1 (t) και h = h (t) που εκφράζουν, συναρτήσει του χρόνου t, τα ύψη των κεριών 1 και αντιστοίχως. Να βρείτε πότε το κερί είχε διπλάσιο ύψος από το κερί 1. i Να λύσετε το ίδιο πρόβλημα και στη γενική περίπτωση που το αρχικό ύψος των κεριών ήταν ίσο με υ. Έστω h 1 (t)= αt + β (1) η ζητούμενη. (3, 0) (1) 0 = 3α + β () (0, 0) (1) 0 = β. Η () γίνεται 0 = 3α + 0 α = 0 3 Οπότε h 1 (t)= 0 3 t + 0, 0 t 3 Ομοίως βρίσκουμε h (t) = 5t + 0, 0 t 4 h (t) = h 1 (t) 5t + 0 = ( 0 3 t + 0) 5t + 0 = 40 3 t + 40 15t + 60 = 40t + 10 5t = 60 t =,4 Άρα το κερί είχε διπλάσιο ύψος από το κερί 1,4 ώρες μετά την έναρξη της καύσης. i Με τον ίδιο τρόπο, έχοντας στη θέση του ύψους 0 το ύψος υ, βρίσκουμε πάλι,4 ώρες.