ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Απόδειξη, σχοικό ιίο σε 7 Α Ορισμός, σχοικό ιίο σε Α3 Διτύπωση θεωρήμτος, σχοικό ιίο σε 6 Α γ δ ε Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος ΘΕΜΑ Β Β Είνι g = + 9 Η εξίσωση της εφπτομένης της C στο τυχίο σημείο της g ( M,g είνι y g = g Γι ν διέρχετι η εφπτομένη πό το A(, πρέπει ν ισχύει : g( = g ( ( = = ή = Άρ υπάρχουν δύο εφπτόμενες που διέρχοντι πό το σημείο A(, M, 5 με εξίσωση y 9 5 M,9 με εξίσωση y= 5 Μί στο σημείο = κι μί στο σημείο Β Θεωρούμε τη συνάρτηση w = g = 3 + 9+ 5, Η w είνι πργωγίσιμη στο, με w = 3 ln3+ 9, Κι η w είνι πργωγίσιμη στο, με w = 3 ln 3+ > Πρτηρούμε ότι w = w = Θ δείξουμε ότι η w = έχει το πού ρίζες Έστω ότι η w = έχει 3 ρίζες έστω τις ρ, ρ, ρ 3 Τότε επειδή η w είνι πργωγίσιμη στο, είνι κι συνεχής w ρ = w ρ = w ρ = Εφρμόζοντς το θεώρημ Roll στ διστήμτ των ριζών της Ακόμ ( ( ( 3 η w = θ έχει τουάχιστον ρίζες Εφρμόζοντς τώρ το θεώρημ Roll στ διστήμτ των ριζών της w w ρίσκουμε ότι η = έχει μι τουάχιστον ρίζ, που είνι άτοπο (φού w > γι κάθε Άρ η w = έχει κριώς ρίζες, οπότε οι C,C g έχουν δύο κοινά σημεί τ E(, 3 κι Z(,9 8 ( + + 5 33 + 53 83 3 Β3 A= lim = lim = lim = lim = + ( + + + + 33 + 3 + + 3 + + + 3 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 3 8 + B= lim = lim = lim = lim = Β Είνι 5 33 53 83 + + + 33 + 3 + 3 + 3 + Ι= + d Θέτοντς στο 3 + Ι= = 3 + 3 + ( d 3 d Τότε Ι όπου το έχουμε ( + ( 3 + + + 3 Ι+Ι= d+ d Ι= d Ι= + d 3 + 3 + 3 + 3 3 3 3 3 Ι( = + Ι( = + + = + 3 3 3 3 3 ΘΕΜΑ Γ Γ Από υπόθεση έχουμε < γι κάθε [ ] είνι δηδή ντιστρέφετι Το πεδίο ορισμού της, γνησίως φθίνουσ στο [, ] άρ η είνι το σύνοο τιμών της κι φού η είνι γνησίως φθίνουσ σε όο το πεδίο ορισμού της, τότε ([ ] Γ Η ζητούμενη σχέση γράφετι διδοχικά: ( ( d+ d= ( Στο οοκήρωμ ( d, θέτουμε =(t Γι = ( ( t = ( = t Γι = ( ( t = ( = t d= ( t dt D =, =, =, d= t t dt= t t dt= t t dt t t dt= t dt= t dt Με ντικτάστση στην ( έχουμε: ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ d+ d= ( ( t dt + ( = = d = Η δοσμένη ευθεί γράφετι διδοχικά: ( της C στο A(,( Η Η είνι συνεχής στο [, ] Η είνι πργωγίσιμη στο (, ε :y = + 6 με = Έστω ε η εφπτόμενη ε είνι κάθετη στην ευθεί = = = Από Θ Μ Τ έχουμε ότι υπάρχει έν τουάχιστον (, ( = ( = ( = Γ3 Θεωρούμε συνάρτηση: h =, [, ] ε τέτοιο, ώστε: Η h είνι συνεχής στο [, ] ως ποτέεσμ πράξεων συνεχών συνρτήσεων h = h = h( = ( h( = Άρ h( h( = ( ( = ( < Από το θεώρημ Bolzano έχουμε ότι υπάρχει έν τουάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε h= =ξ Η h είνι πργωγίσιμη στο (, ως ποτέεσμ πράξεων πργωγίσιμων συνρτήσεων κι ισχύει ότι: h = ( h = < φού < γι κάθε [, ] Άρ η h είνι, ξ=ξ γνησίως φθίνουσ στο [, ] Επομένως υπάρχει μονδικό ξ ( τέτοιο ώστε Η είνι συνεχής στο [ ξ, ] κι στο [ ξ, ] Η είνι πργωγίσιμη στο (, Από το Θ Μ Τ έχουμε ότι: ξ κι στο, Υπάρχει έν τουάχιστον ξ ξ (, τέτοιο, ώστε Υπάρχει έν τουάχιστον ξ ξ (, τέτοιο, ώστε Τεικά: ξ ξ ξ = = ξ ξ ξ ξ ξ = = ξ ξ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ξ ξ ξ ξ = = = ξ ξ ξ ξ ΘΕΜΑ Δ ΔΙσχύει ότι: ln γι κάθε > Θέτουμε όπου το Οπότε πίρνουμε: ln + ( Έτσι πό την ( ν θέσουμε όπου το έχουμε: + < Επομένως < (, συνεπώς η γνησίως φθίνουσ στο Α=(, + h Δ Θέτουμε h = Τότε: h = h h + h = h h h = h h h h = ( = ( ln = ln+ c (3 ( Όμως το ( = = h( = κι άρ πό τη σχέση (3 έχουμε: = ln+ c c= h Τεικά = ln h = ln( ln = ln( ln = ln( ln με > Επίσης η συνάρτηση είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο Α=(, + οπότε το σύνοο τιμών της θ είνι το διάστημ ( A lim (,lim (, + + lim = lim ln( ln = ( ( + = + + + u ln ( = lim ( ln( u lim ln ln u + u + =+ = = + = u ln ( = lim ( ln( u lim = lim ln ln = ( ( =+ lim ln ln + u u = Δ3 Το ζητούμενο εμδόν χωρίου δίνετι πό τη σχέση: ( = E g d Η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ στο Α= είνι ρνητική στο > < ( = Οπότε η, + κι φού, Γι > ισχύει ln> Οπότε η συνάρτηση g είνι θετική στο διάστημ g < γι κάθε,, οπότε : = έχουμε γι, E = g d= g d = ln( ln d ( ln( ln ln( ln + d ( ln( ln ln == + = ( ln( ln ( ln( ln = ( ln ( ln Συνεπώς: h ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 6 Δ3 Δίνοντι ( t = 3 κι ( t = Ο ρυθμός μετοής του εμδού δίνετι πό τη πράγωγο της συνάρτησης E( = ( ln ( ln όπου το είνι συνάρτηση του χρόνου Έχουμε: ( t ( t ( t ( t ( t ( t Ε ( ( t = ( ln( t ( ln = ( t ln ( t + = ( t ln ( t + ( t ( t 6 6 6 Γι t= t έχουμε: Ε ( 3 = ln3+ = ln3+ 6 6 Δ Η δοσμένη νίσωση μετσχημτίζετι ως εξής: + 7 + + 6> 5+ + 5 + 7 + + 7> 5+ + 5+ ( κι φού το πεδίο ορισμού της είνι το Α=(, + πρέπει + 7> > 6 > 5+> > Θεωρούμε τη συνάρτηση k = + με > Η συνάρτηση k είνι συνεχής κι πργωγίσιμη με k = + πό ( Άρ η k είνι γνησίως φθίνουσ στο Α Από την ( έχουμε: k k 7 k 5 7 5 5 6 3 + > + + < + + < < < κι φού > τότε οι ύσεις είνι: < < 3 Μερικές Γενικές Πρτηρήσεις: Τ Σωστά Λάθος γράφοντι οογράφως (ιώς υπάρχει κίνδυνος ν μην θμοογηθούν! Οι εφρμογές του σχοικού ιίου θεωρούντι σικές κι ποτεούν ποές φορές τις κεντρικές ιδέες γι θέμτ πνεδικών εξετάσεων Ο κθοικός ( κι υπρξικός( ποσοδείκτης δεν ποτεούν σύμο της ύης του σχοικού ιίου κι δεν μπορούν επομένως ν χρησιμοποιηθούν Οι επεξηγήσεις των ημάτων που εκτεούντι κτά την διδικσί επίυσης των θεμάτων (πχ πως υποογίστηκε έν όριο είνι εντεώς πρίτητες Η κή εμφάνιση του γρπτού προκτάει θετικά τους θμοογητές (ρνητικά σε ντίθετη περίπτωση *Ο ΣΥΛΛΟΓΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ ΤΟΥ ΓΕΛ ΑΡΧΑΓΓΕΛΟΥ ΣΑΣ ΕΥΧΕΤΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ* ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ